구의 반지름을 입력하세요. 부피(4/3 × π × 반지름의 세제곱)와 L·m³로 바꾼 값도 보여 줍니다.
반지름은 0 이상의 수만 입력하세요(단위 없이 수만. 예: 반지름 12 cm라면 ‘12’). 지름만 알 때는 지름을 2로 나눈 값(반지름)을 입력하세요.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 구의 반지름을 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 구의 반지름만 넣으면 구의 부피(부피 = \(\dfrac{4}{3} \times \pi \times\) 반지름의 세제곱)를 바로 알 수 있습니다
- 계산한 구를 3D 그림으로도 보여 줍니다(마우스로 끌어서 돌릴 수 있습니다)
- 부피의 단위 환산도 함께 보여 줍니다(cm로 입력했을 때의 L(리터)와 m³)
- 지름만 알 때 구하는 방법(반지름 = 지름 ÷ 2, \(V = \pi d^3 \div 6\))도 쉽게 설명합니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
반지름은 한 가지 단위(cm라면 cm)로 입력하세요. 부피는 그 단위의 세제곱(cm로 입력하면 cm³, m로 입력하면 m³)이 됩니다. 원기둥·원뿔 등 다른 입체도형의 부피는 각각의 전용 페이지에서 다룹니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
공의 크기를 부피로 비교하기(스포츠)
축구공(5호 공)은 지름이 약 22 cm이므로 반지름을 11 cm로 보면 부피는 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 11^3 \fallingdotseq 5575\,\mathrm{cm^3}\)(약 5.6 L)입니다. 야구공(지름 약 7.3 cm)은 약 204 cm³이므로, 축구공 안에는 야구공 약 27개 분량의 공간이 들어가는 셈입니다.
지름이 3배가 되면 부피는 \(3^3 = 27\)배가 됩니다. ‘세제곱으로 커진다’는 감각은 공뿐 아니라 크기를 어림할 때의 기본입니다.
아이스크림이나 식재료의 1인분 양 어림하기(요리·식품)
아이스크림을 뜨는 둥근 스쿱의 지름이 5 cm라면, 한 스쿱은 반지름 2.5 cm의 구로 보고 약 \(65\,\mathrm{cm^3}\)(약 65 mL)입니다. 음식점에서는 이런 계산으로 1인분의 양이나 원가를 관리합니다.
경단·미트볼·멜론 볼처럼 ‘둥글게 빚는 음식’의 양을 어림할 때도 그대로 쓸 수 있습니다.
구 모양 가스 탱크의 용량 알기(공업·기반 시설)
공장이나 가스 시설에서 보이는 구 모양 가스 탱크(구형 저장 탱크)는, 같은 양의 재료로 가장 많은 부피를 감쌀 수 있는 모양이 구이기 때문에 그런 모양을 하고 있습니다. 지름 20 m인 탱크라면 부피는 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 10^3 \fallingdotseq 4189\,\mathrm{m^3}\)(약 419만 L)입니다.
설계나 용량 표시의 바탕에는 바로 이 페이지의 공식이 있습니다.
검사 영상으로 종양 등의 대략적인 부피 어림하기(의료)
CT나 초음파 같은 검사에서는 거의 구 모양인 혹·낭종의 크기를 ‘지름 ○ cm’로 재고, 부피의 대략적인 값을 구의 공식으로 어림하기도 합니다. 지름 2 cm라면 약 \(4.2\,\mathrm{cm^3}\), 지름 4 cm라면 약 \(33.5\,\mathrm{cm^3}\)로, 지름이 2배가 되면 부피는 8배나 됩니다.
실제 병변은 완전한 구가 아니므로 어디까지나 어림값으로, 경과 관찰(커지지 않았는지)의 기준 등에 쓰입니다.
지구나 달 같은 천체의 부피 계산하기(천문)
지구는 거의 구이므로(정확히는 아주 조금 납작한 회전타원체) 반지름을 약 6371 km로 보면 부피는 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6371^3 \fallingdotseq 1.083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\)(약 1조 832억 km³)로 어림할 수 있습니다.
달의 반지름은 약 1737 km로, 부피는 지구의 약 \(\dfrac{1}{50}\)입니다. 과학 교과서나 천문학 입문에 나오는 ‘천체의 크기 비교’는 이 공식으로 계산한 것입니다.
공식과 그림
구의 부피(반지름으로 구하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑤
구의 부피 \(V\)
\(=\)
④
상수 \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
③
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
①
반지름 \(r\)
②
세제곱(같은 수를 3번 곱하기)
공식을 말로 읽으면
①
반지름(\(r\))
을
②
세제곱(같은 수를 3번 곱하기)
하고
③
원주율(\(\pi\))
을 곱한 뒤
④
상수(\(\dfrac{4}{3}\))
를 한 번 더 곱하면
⑤
구의 부피(\(V\))
가 됩니다
간단한 예
반지름이 3 cm인 구의 부피는
구의 부피 \(V\)
\(=\)
상수 \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
반지름(3 cm)
세제곱
\(\dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^{3} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi\)
\(36\pi \fallingdotseq 36 \times 3.14 = 113.04 \fallingdotseq 113\,\mathrm{cm^3}\)
이해의 핵심
‘왜 \(\dfrac{4}{3}\pi\)를 곱할까요?’는 고대 그리스의 수학자 아르키메데스가 발견한 관계로 설명할 수 있습니다. 구가 꼭 맞게 들어가는 원기둥(밑면의 반지름 \(r\), 높이 \(2r\))의 부피는 \(\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3\)이고, 구의 부피는 정확히 그 \(\dfrac{2}{3}\)입니다. 그래서 \(2\pi r^3 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)이 됩니다.
가장 많이 하는 실수는 반지름을 ‘세제곱’할 것을 ‘3배’로 착각하는 것입니다. \(3^3 = 27\)이지 \(3 \times 3 = 9\)가 아니라는 점에 주의하세요.
구의 부피(지름으로 구하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(d\)
\(3\)
\(\div\)
\(6\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑤
구의 부피 \(V\)
\(=\)
①
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
②
지름 \(d\)
③
세제곱(같은 수를 3번 곱하기)
\(\div\)
④
상수 \(6\)
공식을 말로 읽으면
①
원주율(\(\pi\))
에
②
지름(\(d\))
을
③
세제곱(같은 수를 3번 곱하기)
한 것을 곱하고
④
상수(\(6\))
로 나누면
⑤
구의 부피(\(V\))
가 됩니다
간단한 예
지름이 6 cm(반지름 3 cm)인 공의 부피는
구의 부피 \(V\)
\(=\)
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
지름(6 cm)
세제곱
\(\div\)
상수 \(6\)
\(\pi \times 6^{3} \div 6 = \pi \times 216 \div 6 = 36\pi\)
\(36\pi \fallingdotseq 113\,\mathrm{cm^3}\)
이해의 핵심
이 공식은 공식 1에 ‘반지름 = 지름의 절반(\(r = d \div 2\))’을 대입해 정리한 것입니다(\(\dfrac{4}{3}\pi \times \dfrac{d^3}{8} = \dfrac{\pi d^3}{6}\)). 공처럼 ‘지름은 잴 수 있지만 반지름은 직접 재기 어려운’ 물건에 편리합니다.
지름 6 cm의 예가 공식 1의 반지름 3 cm의 예와 같은 답(\(36\pi\))이 나온다는 것에서도 두 공식이 같은 구를 나타낸다는 것을 알 수 있습니다. 학교에서는 공식 1(반지름으로 나타낸 공식)로 배우므로 먼저 공식 1을 익혀 두세요.
구의 부피는 ‘반지름을 세제곱하고 원주율 π와 4/3을 곱한다’로 구합니다. 지름만 알 때는 2로 나누어 반지름으로 바꾼 다음 쓰세요. 답의 단위는 입력한 단위의 세제곱(cm라면 cm³)이고, cm³를 1000으로 나누면 L(리터)가 됩니다.
용어·기호 해설
기호
| \(V\) | 브이 | 부피를 나타낼 때 자주 쓰는 기호입니다. 영어 volume(부피)의 첫 글자로, 이 페이지에서는 구의 부피를 나타냅니다. |
| \(r\) | 알 | 구의 반지름입니다. 영어 radius(반지름)의 첫 글자로, 구의 중심에서 겉면까지의 거리를 나타냅니다. |
| \(d\) | 디 | 구의 지름입니다. 영어 diameter(지름)의 첫 글자로, 구의 가장 굵은 곳을 지나는 길이이며 반지름의 2배(\(d = 2r\))입니다. |
| \(\pi\) | 파이 | 원주율입니다. 원주가 지름의 몇 배인지를 나타내는 상수로, 약 3.14159…로 끝없이 이어지는 수입니다. 초등학교에서는 3.14로 계산합니다. |
| \(r^3\) | 알의 세제곱 | 같은 수 \(r\)을 3번 곱한 값(\(r \times r \times r\))입니다. 오른쪽 위의 작은 3은 ‘3번 곱한다’는 뜻의 지수입니다(예: \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\)). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | 세제곱센티미터 | 부피의 단위입니다. 한 모서리가 1 cm인 정육면체의 부피가 1 cm³입니다. 넓이의 단위 cm²(제곱센티미터)와 구별하세요. |
| \(\mathrm{L}\) | 리터 | 물 같은 것의 양(부피)에 자주 쓰는 단위입니다. \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\)입니다(1 L 우유 팩 하나가 딱 1 L입니다). |
| \(\mathrm{m^3}\) | 세제곱미터 | 부피의 단위입니다. 한 모서리가 1 m인 정육면체의 부피가 1 m³이며, \(1\,\mathrm{m^3} = 1000000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{L}\)입니다. |
용어
| 구 | 한 점(중심)에서 같은 거리에 있는 점을 모두 모아 만든 둥근 입체도형입니다. 공·구슬·비눗방울처럼 어느 쪽에서 보아도 원으로 보이는 모양입니다. |
| 반지름 | 구(나 원)의 중심에서 겉면까지의 거리입니다. 이 계산기에 입력하는 값이며, 지름의 절반입니다. |
| 지름 | 구(나 원)의 중심을 지나 겉면에서 겉면까지 그은 선분의 길이입니다. 반지름의 2배이며, 공은 지름으로 크기를 나타내는 경우가 많습니다. |
| 부피 | 입체도형이 차지하는 공간의 크기를 수로 나타낸 것입니다. ‘한 모서리가 1 cm인 정육면체(1 cm³)가 몇 개 들어가는가’로 잽니다. |
| 원주율 | 원주가 지름의 몇 배인지를 나타내는 수(약 3.14)입니다. 기호는 \(\pi\)(파이)입니다. 원뿐 아니라 구의 부피나 겉넓이 공식에도 반드시 나옵니다. |
| 거듭제곱 | 같은 수를 여러 번 곱하는 계산입니다. \(3^3\)처럼 오른쪽 위에 작게 쓴 수(지수)가 곱하는 횟수를 나타냅니다. 부피 공식에 세제곱이 나오는 것은 입체도형이 ‘가로·세로·높이’의 세 방향으로 퍼져 있기 때문입니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
| 원과 원주율(초등학교 6학년, 11~12세) |
|
| 부피의 뜻과 단위(초등학교 6학년, 11~12세) |
|
| 분수와 자연수의 곱셈(초등학교 5학년, 10~11세) |
|
| 거듭제곱과 지수(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 구의 성질과 부피 공식(중학교 1학년, 12~13세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘반지름으로 구의 부피’를 구하는 표
| 구의 반지름 r | 5 |
| 구의 부피 | =4/3*PI()*B1^3 |
‘지름으로 구의 부피’를 구하는 표
| 구의 지름 d | 10 |
| 구의 부피 | =PI()*B1^3/6 |
‘cm³를 L(리터)로 바꾸는 단위 환산’ 표
| cm³로 나타낸 부피 | 523.6 |
| L로 나타낸 부피 | =B1/1000 |
붙여 넣으면 A열에 항목 이름, B열에 수가 들어갑니다. 위쪽 행이 입력 칸이고, 마지막 행의 수식이 입력 칸의 값으로 자동 계산합니다.
‘PI()’는 원주율 π(3.14159…)를 돌려주는 Excel 함수이고, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱하는지)의 기호입니다. ‘=4/3*PI()*B1^3’은 ‘4/3 × π × B1의 세제곱’이라는 뜻입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B2에 약 523.6이 표시됩니다(반지름 5 cm라면 cm³). 두 번째 표도 같은 구(지름 10 cm)이므로 약 523.6, 세 번째 표는 B2에 0.5236(약 0.52 L)이 나옵니다. 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
‘PI()’는 원주율 π(3.14159…)를 돌려주는 Excel 함수이고, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱하는지)의 기호입니다. ‘=4/3*PI()*B1^3’은 ‘4/3 × π × B1의 세제곱’이라는 뜻입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B2에 약 523.6이 표시됩니다(반지름 5 cm라면 cm³). 두 번째 표도 같은 구(지름 10 cm)이므로 약 523.6, 세 번째 표는 B2에 0.5236(약 0.52 L)이 나옵니다. 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘반지름으로 구의 부피’를 구하는 표
| 구의 반지름 r | 5 |
| 구의 부피 | =4/3*PI()*B1^3 |
‘지름으로 구의 부피’를 구하는 표
| 구의 지름 d | 10 |
| 구의 부피 | =PI()*B1^3/6 |
‘cm³를 L(리터)로 바꾸는 단위 환산’ 표
| cm³로 나타낸 부피 | 523.6 |
| L로 나타낸 부피 | =B1/1000 |
Excel과 같은 수식(PI() 함수 포함)을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
radius = 5 # 구의 반지름(이 예에서는 cm)
volume = 4 / 3 * math.pi * radius ** 3 # 구의 부피(입력 단위의 세제곱. 이 예에서는 cm3)
volume_liter = volume / 1000 # cm로 입력한 경우 L(리터)로 바꾼 부피
print(f"구의 부피: {volume} cm3")
print(f"L로 바꾸면: {volume_liter} L")
표준 라이브러리만으로 동작합니다. ‘math.pi’가 원주율 π, ‘**’가 거듭제곱(세제곱), ‘*’가 곱셈, ‘/’가 나눗셈 기호입니다. 맨 위의 반지름 값을 바꿔 실행하세요(cm로 입력한 경우의 예입니다).
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
구의 부피(반지름으로 구하기)
V = (4/3)πr³
V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
(4/3)*Pi*r^3
V := (4/3)*Pi*r^3;
V = (4/3)*pi*r^3;
V = (4/3)πr^3
구의 부피(지름으로 구하기)
V = πd³/6
V = \dfrac{\pi d^{3}}{6}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>π</mi><msup><mi>d</mi><mn>3</mn></msup></mrow>
<mn>6</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi d^3)/6
Pi*d^3/6
V := Pi*d^3/6;
V = pi*d^3/6;
V = πd^3/6
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 산수·수학 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 반지름이 5 cm인 구가 있습니다. 다음 값을 각각 구하세요. 1. 이 구의 부피는 몇 cm³인가(V = 4/3 × π × r³) 2. 그 부피를 L(리터)로 바꾸면 얼마인가 계산에 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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출처 표기 불필요
출처 표기 불필요
상업적 이용 가능
무료로 상업적 이용 가능
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
원 계산기(반지름·지름·원주·넓이 한 번에 계산)
구를 자른 단면인 원의 반지름·지름·원주·넓이를 한꺼번에 계산합니다
거듭제곱 계산기(지수 계산·a의 n제곱)
구의 부피에 나오는 ‘반지름의 세제곱’ 같은 거듭제곱(a의 n제곱)을 계산합니다
