請輸入球的半徑。會顯示體積（4/3 × π × 半徑的 3 次方），以及換算成公升（L）、m³ 的值。
半徑請只輸入 0 以上的數值（不加單位，只填數字。例如半徑 12 公分就填「12」）。只知道直徑時，請輸入直徑除以 2 的值（半徑）。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入球的半徑，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入球的半徑，馬上就能知道球的體積（體積＝\(\dfrac{4}{3} \times \pi \times\) 半徑的 3 次方）
- 計算結果的球也會用 3D 圖形顯示（可以拖曳旋轉）
- 同時顯示體積的單位換算（以公分輸入時的公升 L 和 m³）
- 也簡單說明只知道直徑時的求法（半徑＝直徑 ÷ 2，或 \(V = \pi d^3 \div 6\)）
- 公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，都整理在這個頁面
半徑請用同一種單位輸入（用公分就統一用公分）。體積會是該單位的 3 次方（以公分輸入就是 cm³，以公尺輸入就是 m³）。圓柱、圓錐等其他立體的體積，請使用各自專用的頁面。
這個計算有什麼用？
用體積比較球的大小（運動）
5 號足球的直徑約 22 公分，以半徑 11 公分計算，體積是 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 11^3 \approx 5575\,\mathrm{cm^3}\)（約 5.6 公升）。棒球（直徑約 7.3 公分）約 204 cm³，算起來一顆足球的空間可以裝下約 27 顆棒球。
直徑變成 3 倍，體積就變成 \(3^3 = 27\) 倍。這種「受 3 次方影響」的感覺，不只是球，也是估算各種大小的基礎。
估算冰淇淋、食材的一人份份量（料理、食品）
挖冰淇淋的圓形挖球器如果直徑是 5 公分，一球就當作半徑 2.5 公分的球，約 \(65\,\mathrm{cm^3}\)（約 65 mL）。餐飲店就是用這樣的計算來管理一人份的份量和成本。
湯圓、芋圓、貢丸等「搓成圓球的食物」，也能直接用來估算份量。
了解球形儲槽的容量（工業、基礎建設）
在工業區、港口看到的球形儲槽（儲存液化石油氣等），之所以做成那個形狀，是因為用同樣多的材料，球能包住最大的體積。直徑 20 公尺的儲槽，體積是 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 10^3 \approx 4189\,\mathrm{m^3}\)（約 419 萬公升）。
儲槽的設計與容量標示，正是以這個頁面的公式為基礎。
從檢查影像估算腫瘤等的大約體積（醫療）
在電腦斷層（CT）、超音波等檢查中，對於接近球形的腫塊、囊腫，會量出「直徑幾公分」，再用球的公式估算大約的體積。直徑 2 公分約 \(4.2\,\mathrm{cm^3}\)，直徑 4 公分約 \(33.5\,\mathrm{cm^3}\)，直徑變 2 倍，體積竟然變成 8 倍。
實際的病變並不是完美的球，所以只是概算，用來作為追蹤觀察（有沒有變大）的參考。
計算地球、月球等天體的體積（天文）
地球幾乎是球（精確來說是稍微扁一點的旋轉橢球體），以半徑約 6371 公里計算，體積可估算為 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6371^3 \approx 1.083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\)（約 1 兆 832 億立方公里）。
月球的半徑約 1737 公里，體積大約只有地球的 \(\dfrac{1}{50}\)。自然課本和天文學入門中「天體大小比較」，就是用這個公式算出來的。
公式與圖示
球的體積（由半徑求）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
球的體積 \(V\)
\(=\)
④
常數 \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
③
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
①
半徑 \(r\)
②
3 次方（同一個數連乘 3 次）
用文字讀公式
①
把
半徑 \(r\)
②
做
3 次方（同一個數連乘 3 次）
，
③
乘以
圓周率 \(\pi\)
，
④
再乘以
常數 \(\dfrac{4}{3}\)
，就得到
⑤
球的體積 \(V\)
。
簡單範例
半徑 3 公分的球，體積是
球的體積 \(V\)
\(=\)
常數 \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
半徑（3 cm）
3 次方
\(\dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^{3} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 36 \times 3.14 = 113.04 \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)
思考重點
「為什麼要乘以 \(\dfrac{4}{3}\pi\)」可以用古希臘數學家阿基米德發現的關係來說明。剛好能放進一顆球的圓柱（底面半徑 \(r\)、高 \(2r\)），體積是 \(\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3\)，而球的體積剛好是它的 \(\dfrac{2}{3}\)。所以 \(2\pi r^3 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)。
把公式唸成「三分之四 π r 立方」就容易記住。最常見的錯誤是把半徑的「3 次方」（\(r \times r \times r\)）誤算成「乘以 3」，請特別注意。
球的體積（由直徑求）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(d\)
\(3\)
\(\div\)
\(6\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
球的體積 \(V\)
\(=\)
①
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
②
直徑 \(d\)
③
3 次方（同一個數連乘 3 次）
\(\div\)
④
常數 \(6\)
用文字讀公式
①
用
圓周率 \(\pi\)
乘以
②
直徑 \(d\)
的
③
3 次方（同一個數連乘 3 次）
，
④
再除以
常數 \(6\)
，就得到
⑤
球的體積 \(V\)
。
簡單範例
直徑 6 公分（半徑 3 公分）的球，體積是
球的體積 \(V\)
\(=\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
直徑（6 cm）
3 次方
\(\div\)
常數 \(6\)
\(\pi \times 6^{3} \div 6 = \pi \times 216 \div 6 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)
思考重點
這個公式是把「半徑＝直徑的一半（\(r = d \div 2\)）」代入公式 1 後整理而來（\(\dfrac{4}{3}\pi \times \dfrac{d^3}{8} = \dfrac{\pi d^3}{6}\)）。像球類這種「量得到直徑，卻無法直接量半徑」的東西，用這個公式很方便。
直徑 6 公分的例子，和公式 1 中半徑 3 公分的例子答案相同（\(36\pi\)），由此可知兩個公式表示的是同一顆球。學校考試學的是公式 1（用半徑的公式），所以請先記住公式 1。
球的體積用「把半徑做 3 次方，再乘以圓周率 π 和 4/3」求出。只知道直徑時，先除以 2 換成半徑再代入。答案的單位是輸入單位的 3 次方（公分就是 cm³），cm³ 除以 1000 就是公升（L）。
符號與用語解說
符號
| \(V\) | V | 常用來表示體積的符號，取自英文 volume（體積）的第一個字母。在本頁表示球的體積。 |
| \(r\) | r | 球的半徑，取自英文 radius（半徑）的第一個字母，表示從球心到球面的距離。 |
| \(d\) | d | 球的直徑，取自英文 diameter（直徑）的第一個字母。是通過球最粗部分的長度，等於半徑的 2 倍（\(d = 2r\)）。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率，表示圓周長是直徑幾倍的常數，約 3.14159…無限延續。國小用 3.14 計算。 |
| \(r^3\) | r 的 3 次方 | 同一個數 \(r\) 連乘 3 次的值（\(r \times r \times r\)）。右上角的小 3 是指數，意思是「乘 3 次」（例如 \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\)）。 |
| \(\mathrm{cm^3}\) | 立方公分 | 體積的單位。每邊 1 公分的正方體，體積是 1 cm³。要和面積的 cm²（平方公分）區分清楚。 |
| \(\mathrm{L}\) | 公升 | 常用來表示水等液體多少（體積）的單位，\(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\)（也就是 1000 毫升）。 |
| \(\mathrm{m^3}\) | 立方公尺 | 體積的單位。每邊 1 公尺的正方體，體積是 1 m³。\(1\,\mathrm{m^3} = 1000000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{L}\)。 |
用語
| 球 | 與中心距離相等的所有點所形成的、圓滾滾的立體。像球、彈珠、肥皂泡泡，從哪個方向看都是圓形。 |
| 半徑 | 從球（或圓）的中心到表面的距離，也就是這個計算機要輸入的值，等於直徑的一半。 |
| 直徑 | 通過球（或圓）的中心、從表面一端拉到另一端的線段長度，是半徑的 2 倍。球類的大小常用直徑表示。 |
| 體積 | 用數字表示立體占有空間的大小，以「有幾個每邊 1 公分的正方體（1 cm³）」來量。 |
| 圓周率 | 表示圓周長是直徑幾倍的數（約 3.14），符號是 \(\pi\)（pi）。不只是圓，球的體積和表面積公式也一定會出現。 |
| 次方 | 同一個數連乘好幾次的計算（乘方）。像 \(3^3\) 這樣寫在右上角的小數字（指數）表示乘的次數。體積公式會出現 3 次方，是因為立體向「長、寬、高」3 個方向延伸。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 圓與圓周率（國小六年級，11～12 歲） |
|
| 體積的意義與單位（國小四～五年級，9～11 歲） |
|
| 分數與整數的乘法（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 次方與指數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 球的性質與體積公式（國中～高中，12～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
「由半徑求球的體積」的表格
| 球的半徑 r | 5 |
| 球的體積 | =4/3*PI()*B1^3 |
「由直徑求球的體積」的表格
| 球的直徑 d | 10 |
| 球的體積 | =PI()*B1^3/6 |
「cm³ 換算成公升（L）」的表格
| 以 cm³ 表示的體積 | 523.6 |
| 以 L 表示的體積 | =B1/1000 |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上面的列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
「PI()」是傳回圓周率 π（3.14159…）的 Excel 函數，「*」是乘法，「/」是除法，「^」是次方（乘幾次）的符號。「=4/3*PI()*B1^3」就是「4/3 × π × B1 的 3 次方」的意思。
例如第 1 個表格，B2 會顯示約 523.6（半徑 5 公分就是 cm³）。第 2 個表格是同一顆球（直徑 10 公分），所以也是約 523.6；第 3 個表格的 B2 會顯示 0.5236（約 0.52 公升）。只要把輸入欄的數值改成自己的值就能使用。
「PI()」是傳回圓周率 π（3.14159…）的 Excel 函數，「*」是乘法，「/」是除法，「^」是次方（乘幾次）的符號。「=4/3*PI()*B1^3」就是「4/3 × π × B1 的 3 次方」的意思。
例如第 1 個表格，B2 會顯示約 523.6（半徑 5 公分就是 cm³）。第 2 個表格是同一顆球（直徑 10 公分），所以也是約 523.6；第 3 個表格的 B2 會顯示 0.5236（約 0.52 公升）。只要把輸入欄的數值改成自己的值就能使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
「由半徑求球的體積」的表格
| 球的半徑 r | 5 |
| 球的體積 | =4/3*PI()*B1^3 |
「由直徑求球的體積」的表格
| 球的直徑 d | 10 |
| 球的體積 | =PI()*B1^3/6 |
「cm³ 換算成公升（L）」的表格
| 以 cm³ 表示的體積 | 523.6 |
| 以 L 表示的體積 | =B1/1000 |
和 Excel 相同的公式（包括 PI() 函數）可以直接使用。把表格整個複製後貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成自己的值即可。
用 Python 計算的方法
import math
radius = 5 # 球的半徑（這個例子用公分）
volume = 4 / 3 * math.pi * radius ** 3 # 球的體積（輸入單位的 3 次方，這個例子是 cm3）
volume_liter = volume / 1000 # 以公分輸入時，換算成公升（L）的體積
print(f"球的體積：{volume} cm3")
print(f"換算成公升：{volume_liter} L")
只用標準函式庫就能執行。「math.pi」是圓周率 π，「**」是次方（3 次方），「*」是乘法，「/」是除法的符號。請改寫開頭的半徑再執行（這是以公分輸入的例子）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
球的體積（由半徑求）
V = (4/3)πr³
V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
(4/3)*Pi*r^3
V := (4/3)*Pi*r^3;
V = (4/3)*pi*r^3;
V = (4/3)πr^3
球的體積（由直徑求）
V = πd³/6
V = \dfrac{\pi d^{3}}{6}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>π</mi><msup><mi>d</mi><mn>3</mn></msup></mrow>
<mn>6</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi d^3)/6
Pi*d^3/6
V := Pi*d^3/6;
V = pi*d^3/6;
V = πd^3/6
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 有一顆半徑 5 公分的球。 請分別求出下面的值。 1. 這顆球的體積是多少 cm³（V = 4/3 × π × r³） 2. 把這個體積換算成公升（L）是多少 請列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
圓計算機（半徑、直徑、圓周長、面積互相換算）
針對球的切面「圓」，一次算出半徑、直徑、圓周長、面積
次方計算機（乘方、a 的 n 次方）
計算像球體積中「半徑的 3 次方」這樣的乘方（a 的 n 次方）
