請輸入 1 個想找因數的正整數。會一次算出因數一覽、因數個數、相乘的組合和質因數分解。
請以半形數字輸入 1～14 位數的正整數（例如：120）。0、負數和小數不能計算因數。
計算結果
在左邊的輸入欄填入正整數，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入 1 個正整數，就會由小到大列出它所有的因數（不遺漏、不重複）
- 同時也能知道相乘等於原數的「因數組合」和「因數個數」
- 也會顯示質因數分解（像 \(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5\) 這樣的形式）和除法的計算過程
- 因數只有 1 和它本身這 2 個，就是質數——也能用來判斷是不是質數
- 找因數方法的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
只能計算正整數（大於或等於 1，最多 14 位數）。不處理 0、負數、小數的因數（因數只考慮正整數之間能不能整除的關係）。
這個計算有什麼用？
分數的約分（解決數學卡關的基礎）
要把 \(\frac{24}{36}\) 約分，就要找出分子 24 和分母 36 共同的因數來除（用最大公因數 12 去除，一次就得到 \(\frac{2}{3}\)）。
能一下子想到因數，約分、通分、化簡比的計算都會變得又快又正確。許多在分數卡關的孩子，其實是卡在這個因數的感覺上。
平分、分組的規劃（日常生活、活動籌辦）
120 個點心要平均分配、不留剩餘，能分的人數只有 120 的因數（1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120）。
班上分組、贈品分裝、用品平均分配——「幾個人（幾袋）可以剛好分完」的所有候選，只要列出因數就全部知道了。
貼磁磚、商品陳列、座位的長方形排列
把 36 片磁磚不留剩餘地排成長方形，方法就是因數的組合——1×36、2×18、3×12、4×9、6×6 這 5 種。
地板或牆面的磁磚配置、賣場的商品陳列、典禮的座位安排等，「把固定個數排成長方形」的場合，因數組合就直接是排列方式的選項。
保護網購和銀行通訊的加密（RSA 加密）
14 位數左右瞬間就能完成的質因數分解，遇到好幾百位數的巨大數，就算動用全世界的電腦，也無法在實際可行的時間內完成。網路上廣泛使用的 RSA 加密，就是以「大數的質因數分解實際上做不到」作為安全性的基礎。
在網購時傳送信用卡號碼，保護您資料的機制的根本，就是這個頁面的質因數分解。
齒輪齒數的設計（機械、汽車、鐘錶）
互相咬合的 2 個齒輪，如果齒數有共同的因數，同樣的齒會一再碰到同一個對象，磨損和刮傷就容易集中在特定的齒上。所以機械設計常會選擇齒數之間除了 1 以外沒有其他公因數（互質）的組合。
從汽車的變速箱到手錶，「有沒有公因數」都是關係到產品壽命的設計要素。
公式
什麼是因數（用乘法的形式確認）
數學寫法
（一般的數學式）
\(N\)
\(=\)
\(A\)
\(\times\)
\(B\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(N\)：想找因數的數
\(=\)
①
\(A\)：因數
\(\times\)
②
\(B\)：配成一組的另一個因數
用文字讀公式
①
\(A\)：因數
乘以
②
\(B\)：配成一組的另一個因數
的積，剛好等於
③
\(N\)：想找因數的數
（這時 \(A\) 和 \(B\) 都是 \(N\) 的因數）
簡單範例
120 可以寫成 4 × 30 的乘法形式，所以 4 和 30 都是 120 的因數
想找因數的數（120）
\(=\)
因數（4）
\(\times\)
另一個因數（30）
\(120 \div 4 = 30\)
\(4 \times 30 = 120\)
思考重點
某個數是不是因數，只要用除法看「能不能整除」就能確認。120 ÷ 4 = 30 沒有餘數，所以 4 是 120 的因數（這時答案 30 自然也是因數）。如果像 120 ÷ 7 = 17…1 這樣有餘數，那個數就不是因數。
因數一定能以這種「相乘等於 \(N\) 的組合」找到，所以較小的那個因數一定小於或等於 \(\sqrt{N}\)（平方後等於 \(N\) 的數）。也就是說，只要試除到 \(\sqrt{N}\) 為止，就能不遺漏地找出所有因數。另外，像 36 = 6 × 6 這樣一組中的 2 個數相同時（完全平方數），6 只算 1 次——所以完全平方數的因數個數是奇數。
質因數分解（寫成只有質數相乘的形式）
數學寫法
（一般的數學式）
\(N\)
\(=\)
\(p\)
\(a\)
\(\times\)
\(q\)
\(b\)
\(\times\)
\(r\)
\(c\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
\(N\)：想找因數的數
\(=\)
①
\(p\)：質數
②
\(a\)：\(p\) 相乘的次數
\(\times\)
③
\(q\)：另一個質數
\(b\)：\(q\) 相乘的次數
\(\times\)
④
\(r\)：再另一個質數
\(c\)：\(r\) 相乘的次數
用文字讀公式
①
\(p\)：質數
依照
②
\(a\)：相乘的次數
重複相乘，
③
\(q\)：另一個質數
和
④
\(r\)：再另一個質數
也同樣各自乘上對應的次數，全部乘起來就剛好回到
⑤
\(N\)：想找因數的數
。
簡單範例
把 120 做質因數分解（可以被 2 整除 3 次、被 3 整除 1 次、被 5 整除 1 次）
想找因數的數（120）
\(=\)
質數（2）
相乘的次數（3 次）
\(\times\)
另一個質數（3）
相乘的次數（1 次）
\(\times\)
再另一個質數（5）
相乘的次數（1 次）
\(120 \div 2 = 60,\quad 60 \div 2 = 30,\quad 30 \div 2 = 15,\quad 15 \div 3 = 5\)
\(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^{3} \times 3 \times 5\)
思考重點
質因數分解只要「從最小的質數開始，能除就一直除下去」就行了（寫成直式就是短除法）。以 120 為例，除以 2 得 60，再除以 2 得 30，再除以 2 得 15。15 不能再被 2 整除，所以改用下一個質數 3 去除，得 5。5 是質數，所以到這裡結束。
質數的種類依數而定，可能只有 1 種，也可能有 4 種以上，但形式永遠是「只有質數相乘」。而且分解的方式（不計相乘的順序）對每個數都只有一種。這稱為「質因數分解的唯一性」，是整數最重要的性質之一。
因數個數的公式
數學寫法
（一般的數學式）
\(d(N)\)
\(=\)
\((a+1)\)
\(\times\)
\((b+1)\)
\(\times\)
\((c+1)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(d(N)\)：因數個數
\(=\)
①
\((a+1)\)：\(p\) 相乘的次數 \(a\) 加 1
\(\times\)
②
\((b+1)\)：\(q\) 相乘的次數 \(b\) 加 1
\(\times\)
③
\((c+1)\)：\(r\) 相乘的次數 \(c\) 加 1
用文字讀公式
①
相乘的次數 \(a\) 加 1
、
②
相乘的次數 \(b\) 加 1
、
③
相乘的次數 \(c\) 加 1
……（有幾種質數就有幾項）全部乘起來，就是
④
\(d(N)\)：因數個數
。
簡單範例
\(120 = 2^{3} \times 3 \times 5\)（相乘的次數：2 是 3 次、3 是 1 次、5 是 1 次），所以 120 的因數個數是
因數個數 \(d(120)\)
\(=\)
2 相乘的次數＋1（3+1）
\(\times\)
3 相乘的次數＋1（1+1）
\(\times\)
5 相乘的次數＋1（1+1）
\((3+1) \times (1+1) \times (1+1) = 4 \times 2 \times 2 = 16\)
思考重點
為什麼這個式子能算出個數呢？120 的因數，都可以用「2 用 0～3 次、3 用 0～1 次、5 用 0～1 次的乘法」做出來（例如：12 = 2 × 2 × 3 是 2 用 2 次、3 用 1 次、5 用 0 次）。使用次數的選法，2 有 4 種、3 有 2 種、5 有 2 種，所以組合有 4 × 2 × 2 = 16 種，這就是因數的個數。「用 0 次」這種選法也要算進去，所以重點是相乘的次數要加 1。
這個公式在國中會考、學測也很常出現。不必把因數一個一個寫出來，只要會質因數分解，個數一下子就知道了。
找因數的基本方法是找「相乘等於原數的組合」，只要試除到 √N 為止，就能不遺漏地全部找到。會質因數分解的話，用「（相乘的次數＋1）的乘積」就能一下子算出因數個數。
符號與用語解說
符號
| \(N\) | 想找因數的正整數。（例如：120） | |
| \(A,\ B\) | 相乘等於 \(N\) 的一組因數。（例如：\(120 = 4 \times 30\) 的 4 和 30） | |
| \(p,\ q,\ r\) | 出現在質因數分解中的質數（質因數）。（例如：\(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) 的 2、3、5） | |
| \(a,\ b,\ c\) | 質因數分解中各個質數相乘的次數（指數）。因數個數的公式，是把它們各加 1 再相乘。（例如：\(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) 時，2 相乘的次數 \(a = 3\)，3 和 5 相乘的次數 \(b = c = 1\)） | |
| \(2^{3}\) | 2 的 3 次方 | 2 自乘 3 次的值（\(2 \times 2 \times 2 = 8\)）。右上角的小數字（指數）表示相乘的次數。 |
| \(d(N)\) | \(N\) 的因數個數，d 取自英文 divisor（因數）的第一個字母。（例如：\(d(120) = 16\)） | |
| \(\sqrt{N}\) | 根號 N | 平方後等於 \(N\) 的數（平方根）。一組因數中一定有一個小於或等於 \(\sqrt{N}\)，所以找因數只要查到這裡就夠了。 |
用語
| 因數 | 能整除某個整數（沒有餘數）的正整數。例如：30 的因數是 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 這 8 個。不論什麼數，1 和它本身一定都是它的因數。 |
| 倍數 | 把某個整數乘以整數（1 倍、2 倍、3 倍……）所得的數。因數和倍數是一體兩面的關係，「4 是 120 的因數」和「120 是 4 的倍數」說的是同一件事。 |
| 質數 | 除了 1 和它本身以外，沒有其他因數的大於或等於 2 的整數。由小到大依序是 2, 3, 5, 7, 11, 13……無限多個。1 不算質數。 |
| 合數 | 不是質數、大於或等於 2 的整數。因數有 3 個以上，可以分解成質數相乘的形式。（1 既不是質數，也不是合數） |
| 質因數 | 能整除某個整數的質數。例如：120 的質因數是 2、3、5 這 3 種。 |
| 質因數分解 | 把整數寫成只有質數相乘的形式。例如：\(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5\)。分解的方式（不計相乘的順序）只有一種。 |
| 約數 | 因數的另一種說法，中國大陸和日本的課本多用「約數」。台灣的國小、國中課本統一用「因數」（因數與倍數、最大公因數），這個頁面也統一寫成「因數」。英文是 divisor 或 factor。 |
| 完全平方數 | 同一個整數乘 2 次所得的數。例如：\(36 = 6 \times 6\)、\(3600 = 60 \times 60\)。完全平方數的因數個數一定是奇數（因為相同的兩個數那一組只算 1 次）。 |
| 次方 | 同一個數自乘好幾次的計算，也叫乘冪。像 \(2^3\) 這樣寫在右上角的小數字（指數）表示相乘的次數。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先了解的基礎知識。
| 九九乘法與除法（國小二～三年級，7～9 歲） |
|
| 因數與倍數（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 質數與質因數分解（國小六年級～國中七年級，11～13 歲） |
|
| 次方與指數（國中七年級，12～13 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
用除法確認「是不是因數」的表格
| 想找因數的數 N | 120 |
| 想確認是不是因數的數 A | 4 |
| N ÷ A 的餘數（0 就是因數） | =MOD(B1,B2) |
| 配成一組的另一個因數 B（餘數為 0 時） | =B1/B2 |
「質因數分解驗算」的表格
| 質因數 1 | 2 |
| 質因數 2 | 2 |
| 質因數 3 | 2 |
| 質因數 4 | 3 |
| 質因數 5 | 5 |
| 全部相乘的答案（回到原數就正確） | =PRODUCT(B1:B5) |
用公式求「因數個數」的表格
| 質數 p 相乘的次數 a | 3 |
| 質數 q 相乘的次數 b | 1 |
| 質數 r 相乘的次數 c | 1 |
| 因數個數 d(N) | =(B1+1)*(B2+1)*(B3+1) |
第 1 個表格是用 MOD(B1,B2)＝「B1 除以 B2 的餘數」來檢查因數。B3 是 0 就是因數，B4 會顯示配成一組的另一個因數（120 和 4 就是 30）。餘數不是 0 時，B4 不是因數，不要使用。
第 2 個表格是質因數分解的驗算。PRODUCT(B1:B5) 是把 B1 到 B5 全部相乘的函數，B6 顯示 120 就能確認分解正確（質因數少於 5 個的數，多出來的欄位請填 1）。
第 3 個表格是因數個數的公式，B4 會顯示 (3+1) × (1+1) × (1+1) = 16。
第 2 個表格是質因數分解的驗算。PRODUCT(B1:B5) 是把 B1 到 B5 全部相乘的函數，B6 顯示 120 就能確認分解正確（質因數少於 5 個的數，多出來的欄位請填 1）。
第 3 個表格是因數個數的公式，B4 會顯示 (3+1) × (1+1) × (1+1) = 16。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
用除法確認「是不是因數」的表格
| 想找因數的數 N | 120 |
| 想確認是不是因數的數 A | 4 |
| N ÷ A 的餘數（0 就是因數） | =MOD(B1,B2) |
| 配成一組的另一個因數 B（餘數為 0 時） | =B1/B2 |
「質因數分解驗算」的表格
| 質因數 1 | 2 |
| 質因數 2 | 2 |
| 質因數 3 | 2 |
| 質因數 4 | 3 |
| 質因數 5 | 5 |
| 全部相乘的答案（回到原數就正確） | =PRODUCT(B1:B5) |
用公式求「因數個數」的表格
| 質數 p 相乘的次數 a | 3 |
| 質數 q 相乘的次數 b | 1 |
| 質數 r 相乘的次數 c | 1 |
| 因數個數 d(N) | =(B1+1)*(B2+1)*(B3+1) |
和 Excel 相同的公式（MOD、PRODUCT）可以直接使用。把整個表格複製後貼到 A1 儲存格，再把 B 欄的數值改成您自己的數即可。
用 Python 計算的方法
n = 120 # 想找因數的正整數
divisors = [] # 因數一覽
pairs = [] # 相乘等於 n 的因數組合
i = 1
while i * i <= n: # 試除到 √n 為止，就能全部找到
if n % i == 0: # 餘數是 0，i 就是因數
divisors.append(i)
if i != n // i: # 配成一組的另一個也是因數（完全平方數 6×6 這種重複的不加）
divisors.append(n // i)
pairs.append((i, n // i))
i += 1
divisors.sort()
prime_factors = [] # 質因數分解（從小的質數開始，能除就一直除下去）
rest = n
p = 2
while p * p <= rest:
while rest % p == 0:
prime_factors.append(p)
rest = rest // p
p += 1
if rest > 1:
prime_factors.append(rest) # 最後剩下的數也是質因數
print(f"{n} 的因數（{len(divisors)} 個）：{divisors}")
print(f"因數組合：{pairs}")
if len(prime_factors) >= 2:
print(f"質因數分解：{n} = {' × '.join(map(str, prime_factors))}")
elif len(prime_factors) == 1:
print(f"{n} 是質數")
只用標準函式庫就能執行。這段程式碼直接寫出第 1 個公式「試除到 √n 為止，就能找到所有因數」的想法。請把開頭的 n 改掉再執行（14 位數左右以內的數，很快就能算完）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
什麼是因數（用乘法的形式確認）
N = A × B
N = A \times B
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mi>A</mi>
<mo>×</mo>
<mi>B</mi>
</mrow>
</math>
N = A xx B
A*B
N := A*B;
N = A*B;
N = A × B
質因數分解（寫成只有質數相乘的形式）
N = pᵃ × qᵇ × rᶜ × …
N = p^{a} \times q^{b} \times r^{c} \times \cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mi>a</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mi>q</mi><mi>b</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mi>r</mi><mi>c</mi></msup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
N = p^a xx q^b xx r^c xx cdots
p^a*q^b*r^c
N := p^a*q^b*r^c;
N = p^a*q^b*r^c;
N = p^a × q^b × r^c × …
因數個數的公式
d(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1) …
d(N) = (a+1)(b+1)(c+1)\cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi><mo>(</mo><mi>N</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
d(N) = (a+1)(b+1)(c+1) cdots
(a + 1)*(b + 1)*(c + 1)
d := (a + 1)*(b + 1)*(c + 1);
d = (a + 1)*(b + 1)*(c + 1);
d(N) = (a+1)(b+1)(c+1)…
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是整數計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（不要用心算或推測回答）。 關於 120，請分別求出下列的值： 1. 由小到大列出所有因數，並數出個數 2. 列出所有相乘等於 120 的因數組合 3. 做質因數分解（寫成 2 × 2 × 2 × 3 × 5 的形式） 4. 用因數個數的公式（把各個質數相乘的次數加 1 後相乘）驗算，確認和第 1 題的個數一致 請列出計算所用的程式碼和執行結果。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
DataChef 的特色
簡單又免費
免費且無使用次數限制
不需專業知識，操作直覺又簡單
不需專業知識，操作直覺又簡單
免註冊會員
開啟頁面即可立即使用
無須登錄任何個人資料
無須登錄任何個人資料
安全又安心
通訊全程高度加密
按下「下載」後自動刪除檔案
按下「下載」後自動刪除檔案
高速
顯示與轉換都快速順暢，毫無等待壓力
無浮水印
沒有浮水印
無須標註來源出處
無須標註來源出處
可商業使用
可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
約分計算機（化成最簡分數）
用分子和分母的最大公因數同時去除，把分數化成最簡分數
分數計算機（分數的加減乘除）
附計算過程，計算分數的加減乘除
