請輸入三角形的 3 邊長。就算不知道高，也能用海龍公式計算面積，並顯示計算過程中的半周長 s。
3 邊請用相同的單位輸入（例如全部用 cm）。面積會以該單位的平方表示（輸入 cm 就是 cm²）。任兩邊的和都必須大於第三邊，才能構成三角形。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入三角形的 3 邊長，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入三角形的 3 邊長，馬上就知道面積（不必量高）
- 計算時使用海龍公式 \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)，也一併顯示計算過程中的半周長 \(s\)
- 國小學過的「底邊 × 高 ÷ 2」，以及正三角形面積的求法 \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)，也附淺顯的解說一起介紹
- 公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表和 Python 使用的公式，都整理在這個頁面
3 邊請用相同的單位輸入（例如全部用 cm）。面積會以該單位的平方表示（輸入 cm 就是 cm²）。另外，不符合「任兩邊長的和都大於第三邊」這個三角形成立的條件的 3 邊，根本構不成三角形，所以無法計算。
這個計算有什麼用？
測量土地面積（測量、不動產）
把土地分成幾個三角形、再把面積加起來，是自古以來求土地面積的基本方法。在現場很難量出每個三角形的高時，也可以量 3 邊的距離，用海龍公式算出面積。
例如 3 邊是 30 公尺、45 公尺、50 公尺的三角形土地，面積約 666.6 平方公尺（約 201.6 坪）。能憑自己的感覺確認廣告或權狀上的面積是否合理，在買土地這種人生最大筆的消費時，是很令人安心的知識。
估算屋頂和牆面的油漆、材料（建築、DIY）
斜屋頂山牆（屋頂下方的三角形部分）、有斜度的屋頂邊緣等，建築物上有許多三角形的面。底邊 8 公尺、高 3 公尺的三角形牆面，面積是 \(8 \times 3 \div 2 = 12\)（平方公尺）。
油漆罐上會標示「一罐可以塗多少面積」，只要算出面積，就能自己估算需要幾罐和費用。
估算手作、勞作的材料
三角旗、拼布的布片等，手作常會用到三角形的零件。底邊 20 公分、高 30 公分的三角旗，一面的面積是 \(20 \times 30 \div 2 = 300\)（平方公分）。
把需要的片數的面積加總，就能不浪費地決定要買多少布。
3D 繪圖和遊戲的世界是由三角形構成的
遊戲和電影的 3D 模型，是由大量的小三角形（多邊形網格）組合而成。看起來是曲面的角色臉部，放大後也是一堆三角形的集合。
對電腦來說，能由 3 個頂點之間的距離（＝3 邊長）求出面積的海龍公式很好處理，至今仍是圖形處理程式的基礎之一，也是支撐遊戲程式設計師和 CG 設計師的數學之一。
公式與圖
海龍公式（由 3 邊長求面積）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(s\)
\(=\)
\((a+b+c)\)
\(\div\)
\(2\)
\(S\)
\(=\)
\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(s\)：半周長
\(=\)
①
\((a+b+c)\)：3 邊長的總和
\(\div\)
②
2（取一半）
⑤
\(S\)：三角形的面積
\(=\)
④
\(s\)、\(s-a\)、\(s-b\)、\(s-c\) 相乘後的平方根
用文字讀公式
①
3 邊長的總和 \((a+b+c)\)
除以
②
2（取一半）
，得到
③
半周長 \(s\)
。接著，
④
\(s\)、\(s-a\)、\(s-b\)、\(s-c\) 這 4 個數相乘後的平方根
，就是
⑤
三角形的面積 \(S\)
簡單範例
3 邊長是 3 m、4 m、5 m 的三角形，先求半周長，再求面積：
半周長 \(s\)
\(=\)
3 邊的總和（3 + 4 + 5）
\(\div\)
2
三角形的面積 \(S\)
\(=\)
\(\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1}\)
\(s = (3 + 4 + 5) \div 2 = 6\)
\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)
思考重點
海龍公式最大的重點，是「不必量高，只靠 3 邊長就能求出面積」。名稱來自約西元 1 世紀亞歷山卓的數學家海龍（Heron，也譯作希羅，所以也稱為希羅公式），在台灣的高中數學會學到。
3 邊構不成三角形時（不符合公式 4 的三角形成立的條件時），根號裡的數會小於或等於 0，無法算出面積。公式本身就會告訴您這 3 邊能不能構成三角形。
底邊 × 高 ÷ 2（國小學到的基本公式）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(b\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(S\)：三角形的面積
\(=\)
①
\(b\)：底邊
\(\times\)
②
\(h\)：高
\(\div\)
③
2（取一半）
用文字讀公式
①
底邊 \(b\)
乘以
②
高 \(h\)
，再除以
③
2（取一半）
，就得到
④
三角形的面積 \(S\)
簡單範例
底邊 6 cm、高 4 cm 的三角形，面積是
三角形的面積 \(S\)
\(=\)
底邊（6 cm）
\(\times\)
高（4 cm）
\(\div\)
2
\(6 \times 4 \div 2 = 12\)
思考重點
為什麼要除以 2？再準備一個同樣的三角形，倒過來拼在一起，就剛好變成「底邊 × 高」的平行四邊形。三角形是它的一半，所以要除以 2。底邊選哪一邊都可以；高是從對面的頂點，垂直量到底邊（或底邊延長線）的距離。
如果知道高，這個公式是最快的方法。例如 3 邊為 3、4、5 的三角形是直角三角形，以 3 為底邊、4 為高，\(3 \times 4 \div 2 = 6\)，和用海龍公式求出的面積 6 一致。
正三角形的面積（只用 1 邊長求出）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\times\)
\(a^2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(S\)：正三角形的面積
\(=\)
②
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)：常數（約 0.433）
\(\times\)
①
\(a^2\)：邊長 \(a\) 的平方
用文字讀公式
①
邊長 \(a\) 的平方
乘以
②
常數 \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)（約 0.433）
，就得到
③
正三角形的面積 \(S\)
簡單範例
邊長 10 cm 的正三角形，面積是
正三角形的面積 \(S\)
\(=\)
常數（約 0.433）
\(\times\)
邊長的平方（10 × 10 = 100）
\(S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 10^{2} \approx 0.433 \times 100 = 43.3\)
思考重點
正三角形的 3 邊都相等，所以把 \(a = b = c\) 代入海龍公式，就能一路化簡成這個形式（\(s = \frac{3a}{2}\)、\(s - a = \frac{a}{2}\)，所以 \(S = \sqrt{\frac{3a}{2} \times (\frac{a}{2})^3} = \sqrt{\frac{3a^4}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)）。
因為 \(\sqrt{3} \approx 1.732\)，所以 \(\frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433\)。記成「邊長平方的約 43%」，心算估計時也很方便。
三角形成立的條件（3 邊能不能構成三角形）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(a + b\)
\(>\)
\(c\)
\(b + c\)
\(>\)
\(a\)
\(c + a\)
\(>\)
\(b\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(a + b\)：邊 \(a\) 與邊 \(b\) 的和
\(>\)
②
\(c\)：第三邊
\(b + c\)：邊 \(b\) 與邊 \(c\) 的和
\(>\)
\(a\)：第三邊
\(c + a\)：邊 \(c\) 與邊 \(a\) 的和
\(>\)
\(b\)：第三邊
用文字讀公式
①
兩邊長的和
大於
②
第三邊的長度
——只有 3 種組合都符合這個關係時，3 邊才能構成三角形
簡單範例
3 邊是 1, 2, 10 時，其餘兩邊的和（1 + 2 = 3）搆不到最長的邊 10，所以構不成三角形
兩邊的和（1 + 2 = 3）
\(<\)
第三邊（10）
\(1 + 2 = 3 < 10\)
思考重點
兩邊的和「剛好等於」第三邊時（例如 1, 2, 3）也不行。3 邊會被壓扁在一條直線上（面積為 0），不算是三角形。本計算機也把相等的情形視為錯誤。
它和海龍公式的關係也很漂亮：不符合三角形成立的條件時，根號裡的 \(s(s-a)(s-b)(s-c)\) 會小於或等於 0，無法算出面積。
只知道 3 邊時，「先求半周長 s，再用海龍公式」；知道高時，用「底邊 × 高 ÷ 2」——兩條路都會得到相同的面積。計算之前，只要先確認 3 邊能不能構成三角形（三角形成立的條件）就好。
符號與用語解說
符號
| \(a\)、\(b\)、\(c\) | a、b、c | 三角形 3 邊的長度。3 個都要用相同的單位（用 cm 就全部用 cm）。 |
| \(s\) | s（小寫） | 半周長，也就是 3 邊總和（周長）的一半，用 \(s = (a+b+c) \div 2\) 求出。用於海龍公式的計算過程。 |
| \(S\) | S（大寫） | 要求的三角形面積。注意它和小寫的 \(s\)（半周長）是不同的東西。 |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | 根號 | 表示「平方後等於該數的數」（平方根）的符號。例如 \(\sqrt{36} = 6\)（6 的平方回到 36）。 |
| \(b\)、\(h\)（公式 2 使用） | b、h | 在「底邊 × 高 ÷ 2」的公式中，\(b\) 表示底邊（base），\(h\) 表示高（height）。注意這裡的 \(b\) 和海龍公式中的邊 \(b\) 意思不同。 |
用語
| 海龍公式 | 只由 3 邊長求出三角形面積的公式。名稱來自約西元 1 世紀亞歷山卓的數學家海龍（Heron，也譯作希羅），所以也稱為希羅公式。 |
| 半周長 | 周長（3 邊的總和）的一半。是海龍公式計算過程中使用的量，符號是小寫的 \(s\)。 |
| 三角形成立的條件 | 3 個邊長能構成三角形的條件，也就是「任兩邊長的和都大於第三邊」。兩邊的和剛好等於第三邊時，形狀會壓扁成一條直線，不是三角形。 |
| 底邊 | 求面積時選來當作基準的邊。選哪一邊都可以，高會依選的底邊而決定。 |
| 高 | 從底邊對面的頂點，垂直畫到底邊（或底邊延長線）的線段長度。會隨著選哪一邊當底邊而改變。 |
| 正三角形 | 3 邊長都相等的三角形。只靠邊長 \(a\) 就能決定面積，用 \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\) 求出。 |
| 平方根 | 平方後等於該數的數，符號是 \(\sqrt{\phantom{a}}\)（根號）。例如 \(\sqrt{144} = 12\)。在國中二年級學到。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議事先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的方法。
| 三角形的面積（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 三角形成立的條件（國小～國中） |
|
| 代數式與代入（國中一年級，12～13 歲） |
|
| 平方根（國中二年級，13～14 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「用海龍公式求面積」的表格
| 邊 a 的長度 | 3 |
| 邊 b 的長度 | 4 |
| 邊 c 的長度 | 5 |
| 半周長 s | =(B1+B2+B3)/2 |
| 三角形的面積 S | =SQRT(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
求「用底邊 × 高 ÷ 2 求面積」的表格
| 底邊的長度 | 6 |
| 高 | 4 |
| 三角形的面積 S | =B1*B2/2 |
求「正三角形的面積」的表格
| 邊長 a | 10 |
| 正三角形的面積 S | =SQRT(3)/4*B1^2 |
第一個表格中，B1～B3 是 3 邊的輸入欄，B4（半周長）和 B5（面積）會自動計算。「SQRT」是 Excel 的平方根（√）函數，「^2」表示平方。
例如第一個表格的 B4 顯示 6、B5 顯示 6（3 邊為 3、4、5 的三角形面積是 6）。第二個表格的 B3 顯示 12，第三個表格的 B2 顯示約 43.3。把輸入的數字換成您自己三角形的值即可。
例如第一個表格的 B4 顯示 6、B5 顯示 6（3 邊為 3、4、5 的三角形面積是 6）。第二個表格的 B3 顯示 12，第三個表格的 B2 顯示約 43.3。把輸入的數字換成您自己三角形的值即可。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「用海龍公式求面積」的表格
| 邊 a 的長度 | 3 |
| 邊 b 的長度 | 4 |
| 邊 c 的長度 | 5 |
| 半周長 s | =(B1+B2+B3)/2 |
| 三角形的面積 S | =SQRT(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
求「用底邊 × 高 ÷ 2 求面積」的表格
| 底邊的長度 | 6 |
| 高 | 4 |
| 三角形的面積 S | =B1*B2/2 |
求「正三角形的面積」的表格
| 邊長 a | 10 |
| 正三角形的面積 S | =SQRT(3)/4*B1^2 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式和函數（SQRT）。請把整個表格複製貼到 A1 儲存格，再把輸入的數字換成您自己三角形的值。
用 Python 計算的方法
import math
edge_a = 3.0 # 邊 a 的長度
edge_b = 4.0 # 邊 b 的長度
edge_c = 5.0 # 邊 c 的長度
# 先確認三角形成立的條件（任兩邊的和大於第三邊）
if edge_a + edge_b > edge_c and edge_b + edge_c > edge_a and edge_c + edge_a > edge_b:
half_perimeter = (edge_a + edge_b + edge_c) / 2 # 半周長 s
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - edge_a)
* (half_perimeter - edge_b) * (half_perimeter - edge_c))
print(f"半周長 s：{half_perimeter}")
print(f"三角形的面積 S：{area}")
else:
print("這 3 個邊長無法構成三角形")
只用標準函式庫的 math 就能執行。math.sqrt(...) 是平方根（√）的計算。把開頭的 3 邊長改成您自己的值再執行即可。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
海龍公式（由 3 邊長求面積）
S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c) / 2
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \dfrac{a+b+c}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</msqrt>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>s</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2
s = (a + b + c)/2; Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)]
s := (a + b + c)/2; S := sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c));
s = (a + b + c)/2; S = sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c));
S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c)/2
底邊 × 高 ÷ 2（國小學到的基本公式）
S = b × h ÷ 2
S = \dfrac{1}{2} b h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
<mi>b</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S = 1/2 b h
b*h/2
S := b*h/2;
S = b*h/2;
S = bh/2
正三角形的面積（只用 1 邊長求出）
S = (√3 / 4) × a²
S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msqrt><mn>3</mn></msqrt>
<mn>4</mn>
</mfrac>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = (sqrt(3)/4) a^2
Sqrt[3]/4*a^2
S := sqrt(3)/4*a^2;
S = sqrt(3)/4*a^2;
S = (√3/4)a^2
三角形成立的條件（3 邊能不能構成三角形）
a + b > c, b + c > a, c + a > b
a + b > c, \quad b + c > a, \quad c + a > b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>></mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>></mo><mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>></mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
a + b > c, b + c > a, c + a > b
a + b > c && b + c > a && c + a > b
is(a + b > c and b + c > a and c + a > b);
(a + b > c) && (b + c > a) && (c + a > b)
a + b > c, b + c > a, c + a > b
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是圖形的計算助理。請實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值作答（不要用心算或猜測作答）。 某三角形的 3 邊長是 7.5、10.2、12.3（單位是 m）。 1. 確認這 3 邊能否構成三角形（三角形成立的條件）。 2. 求半周長 s = (a + b + c) ÷ 2。 3. 用海龍公式 S = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) 求三角形的面積。 請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
DataChef 的特色
簡單又免費
免費且無使用次數限制
不需專業知識，操作直覺又簡單
不需專業知識，操作直覺又簡單
免註冊會員
開啟頁面即可立即使用
無須登錄任何個人資料
無須登錄任何個人資料
安全又安心
通訊全程高度加密
按下「下載」後自動刪除檔案
按下「下載」後自動刪除檔案
高速
顯示與轉換都快速順暢，毫無等待壓力
無浮水印
沒有浮水印
無須標註來源出處
無須標註來源出處
可商業使用
可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
開根號計算機（平方根、立方根、n 次方根）
從 √1458 這樣的平方根到立方根、n 次方根，只要輸入「幾次方根」和數就能計算
次方計算機（乘方、a 的 n 次方）
計算「10 的 2 次方」這樣的乘冪，也能反求指數和底數
