請在初始量 N₀、剩餘量 N(t)、經過時間 t、半衰期 t½ 這 4 個之中，輸入已知的 3 個。會算出留空的那 1 個，同時顯示衰變常數 λ 和平均壽命 τ。下方的數學式和輸入欄連動，也可以直接改寫式子中的數值來計算。
請只把要求的 1 個欄位留空（剛好輸入 3 個）。所有的值都是大於 0 的半形數字。單位可以自由選擇，但時間的欄位之間、量的欄位之間要統一（例：時間都用「年」）。剩餘量要比初始量小。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄中填入 3 個值，按下「計算」，結果和圖表就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 在初始量 \(N_0\)、剩餘量 \(N(t)\)、經過時間 \(t\)、半衰期 \(t_{1/2}\) 這 4 個之中，只要輸入 3 個，就能反推留空的那 1 個
- 也會同時顯示衰變常數 \(\lambda\) 和平均壽命 \(\tau\)
- 可以用標出每個半衰期的圖表，確認量一半一半減少的樣子（指數衰減）
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
適用於「每經過一定時間就以相同比例減少（指數衰減）」的量。放射性衰變是代表性的例子，藥物血中濃度的模型計算等也使用同樣的公式。單位可以自由選擇，但時間的欄位之間（經過時間和半衰期）、量的欄位之間（初始量和剩餘量）要統一單位。
這個計算有什麼用？
碳十四定年法（考古學）
生物體內的放射性碳十四，死後就停止攝取，以半衰期約 5730 年的速度減少。如果遺址出土的木片，碳十四減少到生前的 25%，就能推估是 \(5730 \times \ln 4 \div \ln 2 = 11460\) 年前（＝2 個半衰期）的東西。
課本上台灣史前文化遺址的「距今幾千年」，很多都是以這個計算為根據。
估算放射性藥物的減少（醫療的計算例）
醫院核子醫學檢查（骨骼掃描等）使用的鎝 99m，半衰期約 6 小時。以計算例來說，檢查 24 小時後會減少到 \((1/2)^{24/6} = (1/2)^4 = 1/16\)，也就是 6.25%。
醫療上選用半衰期短的核種，就是因為它在體內會像這樣快速減少（實際在體內也會因排泄而減少，所以安全性的評估依專業機構的標準）。
藥物和咖啡因從體內排出的時間參考
藥物從血液中減少的速度，也是用「半衰期」表示。例如假設咖啡因的半衰期是 4 小時，約 2 杯咖啡（200 mg）的咖啡因，12 小時後會減少到 \(200 \times (1/2)^{3} = 25\) mg。
半衰期有很大的個人差異，實際用藥請依照醫師、藥師的指示，但能用數字體會「為什麼睡前喝咖啡會影響睡眠」。
解讀新聞中放射性物質的減少（防災）
核能相關新聞中出現的碘 131，半衰期約 8 天。80 天後（10 個半衰期）會減少到 \((1/2)^{10} = 1/1024\)，約 0.1%；而銫 137 的半衰期約 30 年，經過 90 年還剩 \(1/8\)（12.5%）。
了解「半衰期短＝很快減弱，半衰期長＝長期殘留」的關係，就能自己確認報導中的數字。
估算放射性廢棄物的管理期間
核能發電等產生的放射性廢棄物，是依所含核種的半衰期，來規劃「需要隔離、管理多久」。例如半衰期 30 年的銫 137，要減少到接近 1000 分之 1 需要約 10 個半衰期（約 300 年），這樣的估算可以用這個公式算出來。
跨越好幾個世代的管理計畫，基礎就是和這個頁面公式相同的計算。
公式與圖表
求剩餘量的公式（半衰期的基本公式）
圖表
數學寫法
（一般的數學式）
\(N(t)\)
\(=\)
\(N_0\)
\(\times\)
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)
\(t / t_{1/2}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(N(t)\)：經過時間 \(t\) 後剩下的量
\(=\)
①
\(N_0\)：初始量
\(\times\)
②
\(\dfrac{1}{2}\)：一半
③
\(t / t_{1/2}\)：經過時間 ÷ 半衰期
用文字讀公式
①
把
\(N_0\)：初始量
②
乘上
\(\dfrac{1}{2}\)：一半
③
，總共重複乘
\(t / t_{1/2}\)：經過時間 ÷ 半衰期
次（經過時間裡有幾個半衰期），
④
就得到
\(N(t)\)：剩餘量
簡單範例
體內有 8 mg 半衰期 2 天的藥物時，6 天後剩下的量（6 天 ÷ 2 天 ＝ 減半 3 次）：
\(N(t)\)：6 天後剩下的量
\(=\)
初始量（8 mg）
\(\times\)
一半 \(\dfrac{1}{2}\)
6 天 ÷ 2 天（3 次）
\(8 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = 8 \times \dfrac{1}{8} = 1\)
思考重點
右上方的指數 \(t / t_{1/2}\) 是「經過時間裡有幾個半衰期」＝「減半的次數」。6 天 ÷ 2 天 ＝ 3 次，就是 8 mg → 4 mg → 2 mg → 1 mg 減半 3 次。即使次數不是整數（例：2.5 個半衰期），把指數的想法推廣後，這個公式也能直接使用。
求半衰期的公式
圖表
數學寫法
（一般的數學式）
\(t_{1/2}\)
\(=\)
\(t\)
\(\times\)
\(\ln 2\)
\(\div\)
\(\ln\left(\dfrac{N_0}{N(t)}\right)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(t_{1/2}\)：半衰期
\(=\)
①
\(t\)：經過時間
\(\times\)
②
\(\ln 2\)：2 的自然對數（約 0.693）
\(\div\)
③
\(\ln(N_0 / N(t))\)：「初始量 ÷ 剩餘量」的自然對數
用文字讀公式
①
把
\(t\)：經過時間
②
乘上
\(\ln 2\)：2 的自然對數（約 0.693）
，再除以
③
\(\ln(N_0 / N(t))\)：「初始量 ÷ 剩餘量」的自然對數
，
④
就得到
\(t_{1/2}\)：半衰期
簡單範例
100 g 的物質經過 10 年減少到 25 g 時的半衰期：
\(t_{1/2}\)：半衰期
\(=\)
經過時間（10 年）
\(\times\)
\(\ln 2\)（約 0.693）
\(\div\)
\(\ln(100 \div 25)\)（約 1.386）
\(\ln(100 \div 25) = \ln 4 \approx 1.386\)
\(t_{1/2} = 10 \times 0.693 \div 1.386 = 5\)
思考重點
\(\ln 2 \div \ln(N_0 / N(t))\) 的部分，其實是「減半次數」的倒數。100 g → 25 g 是減少為 \(100 \div 25 = 4\) 分之 1＝減半 2 次，所以半衰期是經過時間 10 年 ÷ 2 次 ＝ 5 年。這個公式就是用對數來數「減半了幾次」。
求衰變常數的公式
數學寫法
（一般的數學式）
\(\lambda\)
\(=\)
\(\ln 2\)
\(\div\)
\(t_{1/2}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(\lambda\)：衰變常數
\(=\)
①
\(\ln 2\)：2 的自然對數（約 0.693）
\(\div\)
②
\(t_{1/2}\)：半衰期
用文字讀公式
①
把
\(\ln 2\)：2 的自然對數（約 0.693）
②
除以
\(t_{1/2}\)：半衰期
，
③
就得到
\(\lambda\)：衰變常數
簡單範例
半衰期 5 年的物質的衰變常數：
\(\lambda\)：衰變常數
\(=\)
\(\ln 2\)（約 0.693）
\(\div\)
半衰期（5 年）
\(\lambda = 0.693 \div 5 \approx 0.139\)
思考重點
衰變常數 \(\lambda\) 是表示「在極短的時間內，現在剩下的量之中有多少比例會衰變」的常數。半衰期越短，\(\lambda\) 越大（減少得越快）；半衰期越長，\(\lambda\) 越小（減少得越慢）。
求平均壽命的公式
數學寫法
（一般的數學式）
\(\tau\)
\(=\)
\(t_{1/2}\)
\(\div\)
\(\ln 2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(\tau\)：平均壽命
\(=\)
①
\(t_{1/2}\)：半衰期
\(\div\)
②
\(\ln 2\)：2 的自然對數（約 0.693）
用文字讀公式
①
把
\(t_{1/2}\)：半衰期
②
除以
\(\ln 2\)：2 的自然對數（約 0.693）
，
③
就得到
\(\tau\)：平均壽命
簡單範例
半衰期 5 年的物質的平均壽命：
\(\tau\)：平均壽命
\(=\)
半衰期（5 年）
\(\div\)
\(\ln 2\)（約 0.693）
\(\tau = 5 \div \ln 2 \approx 7.213\)
思考重點
平均壽命 \(\tau\) 是「1 個原子到衰變為止的時間，對全部原子取平均的值」，也是衰變常數的倒數（\(\tau = 1 / \lambda\)）。它比半衰期稍長，約 1.44 倍，是因為不容易衰變的「長壽原子」把平均值拉高了。
半衰期的計算，出發點是「經過時間 ÷ 半衰期 ＝ 減半的次數」這個看法。剩餘量就是初始量乘上該次數個 \(\dfrac{1}{2}\)；反過來求半衰期時，就用對數來數「減半了幾次」。
符號與用語解說
符號
| \(N_0\) | N 0（N sub 0） | 初始量。開始計時那一刻（\(t = 0\)）的量。（例：一開始有 100 g，就是 \(N_0 = 100\)） |
| \(N(t)\) | N of t | 剩餘量。經過時間 \(t\) 後剩下的量。因為它是「\(t\) 的函數（由 \(t\) 的值決定的量）」，所以這樣寫。 |
| \(t\) | t | 經過時間。從初始量減少到剩餘量所花的時間，單位要和半衰期一致。 |
| \(t_{1/2}\) | t 二分之一（半衰期） | 半衰期。量剛好減少到一半所需的時間。每種物質有固定的值，從哪個時間點開始量都一樣長。 |
| \(\lambda\) | lambda | 衰變常數。表示在極短時間內衰變的比例的常數，可以用 \(\lambda = \ln 2 \div t_{1/2}\) 求出。 |
| \(\tau\) | tau | 平均壽命。1 個原子到衰變為止的時間的平均，可以用 \(\tau = 1 \div \lambda = t_{1/2} \div \ln 2\) 求出。 |
| \(\ln x\) | ln x（x 的自然對數） | 自然對數。以 \(e\)（約 2.718）為底的對數，表示「\(e\) 的幾次方會等於 \(x\)」。工程計算機用 ln 鍵、Excel 用 LN 函數就能計算。 |
用語
| 半衰期 | 量剛好減少到一半所需的時間。放射性物質是指原子個數（放射性的強度）減半的時間，藥物則是指血中濃度減半的時間。特徵是每經過同樣的時間就減半：一半 → 4 分之 1 → 8 分之 1。 |
| 指數衰減 | 「以和現在剩下的量成正比的速度減少」的減少方式。一開始減得快，剩得越少就減得越慢。只有用這種方式減少的量，半衰期才會固定。 |
| 放射性衰變 | 不穩定的原子核放出輻射、變成別的原子核的現象。每個原子什麼時候衰變是隨機的，但大量聚集起來，整體就會依照半衰期規律地減少。 |
| 衰變常數 | 表示在極短時間內，剩下的原子之中有多少比例會衰變的常數。和半衰期是一體兩面，知道其中一個就能算出另一個。 |
| 平均壽命 | 1 個原子到衰變為止的時間，對許多原子取平均的值，約是半衰期的 1.44 倍。 |
| 自然對數 | 以 \(e\)（約 2.718，尤拉數）為底的對數。和處理「增加或減少的速度」的計算很搭，會出現在半衰期、衰變常數的公式中。 |
| 指數 | 像 \(2^3\) 右上方的 3 這樣，表示「同一個數乘幾次」的數。在半衰期的公式中，「減半的次數 \(t / t_{1/2}\)」就是指數。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 分數與比例（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 次方與指數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 指數的推廣（高一，15～16 歲） |
|
| 對數（高一～高二，15～17 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「剩餘量」的表
| 初始量 N0 | 100 |
| 經過時間 t | 10 |
| 半衰期 t1/2 | 5 |
| 剩餘量 N(t) | =B1*POWER(1/2,B2/B3) |
求「半衰期」的表
| 初始量 N0 | 100 |
| 剩餘量 N(t) | 25 |
| 經過時間 t | 10 |
| 半衰期 t1/2 | =B3*LN(2)/LN(B1/B2) |
求「經過時間」的表
| 初始量 N0 | 100 |
| 剩餘量 N(t) | 25 |
| 半衰期 t1/2 | 5 |
| 經過時間 t | =B3*LN(B1/B2)/LN(2) |
求「衰變常數與平均壽命」的表
| 半衰期 t1/2 | 5 |
| 衰變常數 λ | =LN(2)/B1 |
| 平均壽命 τ | =B1/LN(2) |
貼上後，B 欄上面幾列是輸入欄，最後一列會自動算出結果。
「POWER(1/2, B2/B3)」是「把 1/2 連乘（經過時間 ÷ 半衰期）次」的次方函數，「LN」是求自然對數（ln）的函數。
例如第 1 個表的 B4 會顯示 25（100 g 經過 10 年變成 25 g），第 2 個表的 B4 會顯示 5（半衰期 5 年）。只要把 B 欄的數值改成您自己的值就能使用。
「POWER(1/2, B2/B3)」是「把 1/2 連乘（經過時間 ÷ 半衰期）次」的次方函數，「LN」是求自然對數（ln）的函數。
例如第 1 個表的 B4 會顯示 25（100 g 經過 10 年變成 25 g），第 2 個表的 B4 會顯示 5（半衰期 5 年）。只要把 B 欄的數值改成您自己的值就能使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「剩餘量」的表
| 初始量 N0 | 100 |
| 經過時間 t | 10 |
| 半衰期 t1/2 | 5 |
| 剩餘量 N(t) | =B1*POWER(1/2,B2/B3) |
求「半衰期」的表
| 初始量 N0 | 100 |
| 剩餘量 N(t) | 25 |
| 經過時間 t | 10 |
| 半衰期 t1/2 | =B3*LN(2)/LN(B1/B2) |
求「經過時間」的表
| 初始量 N0 | 100 |
| 剩餘量 N(t) | 25 |
| 半衰期 t1/2 | 5 |
| 經過時間 t | =B3*LN(B1/B2)/LN(2) |
求「衰變常數與平均壽命」的表
| 半衰期 t1/2 | 5 |
| 衰變常數 λ | =LN(2)/B1 |
| 平均壽命 τ | =B1/LN(2) |
和 Excel 相同的公式（POWER、LN）在 Google 試算表也能直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把 B 欄的數值改成您自己的值。
用 Python 計算的方法
import math
initial_quantity = 100.0 # 初始量 N0
remaining_quantity = 25.0 # 剩餘量 N(t)
elapsed_time = 10.0 # 經過時間 t
# 半衰期 t1/2 = t × ln2 ÷ ln(N0 ÷ N(t))
half_life = elapsed_time * math.log(2) / math.log(initial_quantity / remaining_quantity)
decay_constant = math.log(2) / half_life # 衰變常數 λ
mean_lifetime = half_life / math.log(2) # 平均壽命 τ
print(f"半衰期：{half_life}")
print(f"衰變常數：{decay_constant}")
print(f"平均壽命：{mean_lifetime}")
# 驗算：剩餘量 N(t) = N0 × (1/2)^(t/t1/2)
remaining = initial_quantity * 0.5 ** (elapsed_time / half_life)
print(f"驗算（剩餘量）：{remaining}")
只用標準函式庫的 math 就能執行。math.log() 是自然對數（ln），「**」是次方的運算子。這個例子的半衰期是 5.0，衰變常數約 0.1386，平均壽命約 7.213，驗算的剩餘量是 25.0。請改寫開頭的 3 個值再執行。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
求剩餘量的公式（半衰期的基本公式）
N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t½)
N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<msub><mi>N</mi><mn>0</mn></msub>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>t</mi><mo>/</mo><msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
N(t) = N_0 (1/2)^(t/t_(1/2))
n0*(1/2)^(t/thalf)
Nt := n0*(1/2)^(t/thalf);
Nt = n0*(1/2)^(t/thalf);
N(t) = N_0 (1/2)^(t/t_(1/2))
求半衰期的公式
t½ = t × ln 2 ÷ ln(N₀/N(t))
t_{1/2} = \dfrac{t \ln 2}{\ln(N_0 / N(t))}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>t</mi><mo>⁢</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn></mrow>
<mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><msub><mi>N</mi><mn>0</mn></msub><mo>/</mo><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
t_(1/2) = (t ln 2)/(ln(N_0//N(t)))
t*Log[2]/Log[n0/nt]
thalf := t*ln(2)/ln(n0/nt);
thalf = t*log(2)/log(n0/nt);
t_(1/2) = t ln(2)/ln(N_0/N(t))
求衰變常數的公式
λ = ln 2 ÷ t½
\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>λ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn></mrow>
<msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
</mfrac>
</mrow>
</math>
lambda = (ln 2)/t_(1/2)
Log[2]/thalf
lambda := ln(2)/thalf;
lambda = log(2)/thalf;
λ = ln(2)/t_(1/2)
求平均壽命的公式
τ = t½ ÷ ln 2
\tau = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>τ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
tau = t_(1/2)/(ln 2)
thalf/Log[2]
tau := thalf/ln(2);
tau = thalf/log(2);
τ = t_(1/2)/ln(2)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是半衰期計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。 某放射性物質一開始有 100 g，10 年後減少到 25 g。 假設它依照指數衰減 N(t) = N0 × (1/2)^（t/半衰期）減少。 請分別求出下面的值： 1. 這個物質的半衰期 2. 衰變常數 λ（= ln2 ÷ 半衰期） 3. 平均壽命 τ（= 半衰期 ÷ ln2） 4. 從一開始算起 20 年後剩下的量 請列出計算用的公式，以及執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
次方計算機（乘方、a 的 n 次方）
計算 a 的 n 次方（乘方）。半衰期公式中的「(1/2) 的 n 次方」也是乘方
對數計算機（log 計算機）
由底數、真數、對數值中的 2 個算出剩下的 1 個，是求半衰期公式的基礎
