IRR 計算機（由現金流量算內部報酬率）

請輸入期初投資金額，以及從第 1 年起每年的現金流量（當年收到的錢）。計算讓 NPV（淨現值）剛好等於 0 的折現率，也就是 IRR（內部報酬率）。

期初投資金額（元）

金額請以半形數字（元）輸入。期初投資金額直接輸入正數（計算時會當作負的支出）。中途年份有追加投資時，該年請輸入負數（例如 -50000）；沒有資金進出的年份請留空或填 0。可以用「新增一列」最多增加到 20 年（一般的投資評估 20 年就足夠了）。

計算結果與圖表

在左側輸入期初投資金額和每年的現金流量，按下「計算」，結果和圖表就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖表
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
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這個頁面可以做什麼

只要輸入期初投資金額和每年的現金流量（當年收到的錢），就能算出 IRR（內部報酬率，年化）
同時顯示投資期間、總報酬（整段期間的損益）和總報酬率
每年的金額都不一樣也能計算，也支援中途年份的追加投資（負的現金流量）
用 NPV（淨現值）的圖表，一眼看出 NPV 等於 0 的點，也就是 IRR 在哪裡
這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式

這個頁面假設現金流量「每年一次」。每期投入相同金額的投資報酬率，用相關頁面的「財務計算機」（反推利率 I/Y）比較方便。這裡的 IRR 是不含手續費和稅金的「數學計算」，不推薦任何特定投資。

這個計算有什麼用？

判斷是否採行設備投資（資本預算、和門檻報酬率比較）

「引進一台 400 萬元的機器，預計 3 年內可分別節省 100 萬、200 萬、300 萬元的成本。」以這個估計，IRR 約為每年 19.4%。公司做投資決策時，常見的用法是把 IRR 和最低要求的報酬率（門檻報酬率，例如借款利率或資金成本）比較，高於門檻就採用，這也是財務管理教科書一定會出現的內容。
不過將來的現金流量終究只是估計，實務上的訣竅是也用保守的數字算一次。

評估房地產投資的報酬率（每年租金＋最後賣出）

房地產投資的資金流向是「一開始買下房子，每年收租金，最後收到賣出的價款」，每年的金額都不一樣。能把這種高低不一的現金流量整合成一個年報酬率，正是 IRR 的強項，在房地產投資界被廣泛用來比較物件。
和毛租金投報率（租金 ÷ 房價）不同，連賣出的損益、空租導致租金減少的年份都能一起評估。

計算太陽能發電、節能設備能不能回本

屋頂型太陽能發電是「一開始付設置費用，之後每年有電費節省或躉購賣電收入」，很適合用 IRR 計算的資金流向。例如設置花了 50 萬元，把每年的節省金額或售電收入排好後計算 IRR，就能用「這項設備相當於每年幾 % 報酬率的投資」，和定存、基金用同一把尺來比較。
躉購費率、電價的變化或設備的壽命等前提改變時，結果也會改變，建議用幾種情境試算看看。

基金與併購的績效指標（金融實務）

在創投、私募股權等投資基金的世界，IRR 是表示基金績效的標準指標。因為「什麼時候收到資金、什麼時候還回去」每個基金都不一樣，只有考慮時間的 IRR 才能公平比較。
投資銀行或企業評估併購（M&A）時，也會用收購金額和將來的獲利計畫計算 IRR，來判斷是否執行。這是想從事金融工作的人最先學會的計算之一。

用數字確認「越早回來的錢越有價值」

假設有投資 A 和 B，期初投資都是 1,000 萬元，5 年內收到的合計都是 1,500 萬元（總報酬 500 萬元、總報酬率 50%）。A 比較早拿回比較多（50 萬、200 萬、250 萬、400 萬、600 萬），B 則集中在後面（0、100 萬、300 萬、300 萬、800 萬）。
合計相同，但 IRR 是 A 每年 11.290%、B 每年 10.259%，錢比較早回來的 A 比較好。因為回來的錢可以拿去做下一筆投資。把這種「錢的時間價值」用數字呈現出來的，就是 IRR。

公式與圖表

把 \(t\) 年後的錢換算成現在的價值（現值）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(PV\) \(=\) \(CF_t\) \(\div\) \((1+r)\) \(t\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ \(PV\)：現值 \(=\) ① \(CF_t\)：第 \(t\) 年的現金流量 \(\div\) ② 一年的折現倍數 \((1+r)\) ③ \(t\)：經過年數

用文字讀公式

① 把 \(CF_t\)：第 \(t\) 年的現金流量，

② 除以一年的折現倍數 \((1+r)\) （\(r\) 是折現率）的

③ \(t\)：經過年數次方，

④ 就得到 \(PV\)：現值

簡單範例

折現率是 10% 時，2 年後收到的 121 萬元，現值是（單位：萬元）

\(PV\)：現值 \(=\) 2 年後的錢（121 萬元） \(\div\) 折現倍數（1.1）經過年數（2 年）

\(1.1 \times 1.1 = 1.21\)

\(121 \div 1.21 = 100\)

思考重點

在每年能以 10% 運用的世界裡，「現在的 100 萬元」和「2 年後的 121 萬元」價值相同。像這樣把將來的錢換算成「相當於現在的多少錢」，叫做折現，所用的年利率 \(r\) 叫做折現率。錢有時間價值，這就是 IRR 的基礎概念。

求 NPV（淨現值）的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\mathrm{NPV}\) \(=\) \(CF_0\) \(+\) \(\displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ NPV：淨現值 \(=\) ① \(CF_0\)：期初投資（負值） \(+\) ② 第 1 年到第 \(n\) 年現金流量的現值合計

用文字讀公式

① 在 \(CF_0\)：期初投資（因為是支出，所以是負的）上，

② 加上每年現金流量的現值合計（用公式 1 把每年的錢換算成現在價值後全部相加），

③ 就得到 NPV：淨現值

簡單範例

以折現率 10% 計算，期初投資 100 萬元、第 1 年收到 55 萬元、第 2 年收到 60.5 萬元的投資，NPV 是（單位：萬元）

NPV：淨現值 \(=\) 期初投資（−100 萬元） \(+\) 55 萬元和 60.5 萬元的現值合計

\(55 \div 1.1 = 50\)

\(60.5 \div 1.21 = 50\)

\(-100 + 50 + 50 = 0\)

思考重點

NPV 就是「把這項投資的資金進出，全部換算成現在的價值後相加是多少」。正的代表「比用折現率 \(r\) 運用更划算」，負的代表「比較吃虧」，剛好 0 代表「和用折現率 \(r\) 運用完全相同」。例子中的 NPV 剛好等於 0，是因為這項投資的報酬率剛好是 10%。

IRR（內部報酬率）的定義

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(\mathrm{NPV}(\mathrm{IRR})\) \(=\) \(0\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① 以 \(\mathrm{IRR}\) 當作折現率算出的 NPV \(=\) ② 剛好 \(0\)

用文字讀公式

① 以 \(\mathrm{IRR}\) 當作折現率算出的 NPV 等於

② 剛好 \(0\) 。滿足這個等式的折現率就是內部報酬率 IRR，表示這項投資「每年的報酬率」

簡單範例

期初投資 100 萬元、第 1 年收到 55 萬元、第 2 年收到 60.5 萬元的投資，如公式 2 的例子，以折現率 10% 計算時 NPV 剛好等於 0，所以

NPV（以折現率 10% 計算） \(=\) 剛好 0

\(\mathrm{IRR} = 0.10\ \ (10\%)\)

思考重點

這個方程式無法經由移項整理成 \(\mathrm{IRR}=\cdots\) 的形式（因為會變成 \(n\) 次方程式）。所以由電腦一點一點改變折現率 \(r\) 來計算 NPV，找出等於 0 的位置（數值方法）。這個計算機也是用同樣的方法求解。要注意一點：現金流量的正負號變換 2 次以上時，例如「投資 → 收款 → 再大筆追加投資」，讓 NPV 等於 0 的折現率可能有 2 個以上（多重 IRR 問題）。這時計算機會顯示注意事項。出現多個 IRR 的投資，慣例是用 NPV 而不是 IRR 來判斷。

總報酬與總報酬率

數學寫法（一般的數學式）

\(TR\) \(=\) \(S\) \(-\) \(C_0\)

\(G\) \(=\) \(TR\) \(\div\) \(C_0\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(TR\)：總報酬 \(=\) ① \(S\)：收到的錢合計 \(-\) ② \(C_0\)：期初投資金額

⑤ \(G\)：總報酬率 \(=\) \(TR\)：總報酬 \(\div\) ④ \(C_0\)：期初投資金額

用文字讀公式

① 從 \(S\)：收到的錢合計

② 減去 \(C_0\)：期初投資金額，

③ 就是 \(TR\)：總報酬（整段期間的損益）。再把它除以

④ \(C_0\)：期初投資金額，

⑤ 就得到 \(G\)：總報酬率（以 % 表示時再乘 100）

簡單範例

投資 400 萬元，第 1 年收到 100 萬元、第 2 年 200 萬元、第 3 年 300 萬元時（單位：萬元）

\(TR\)：總報酬 \(=\) 收到的合計（600 萬元） \(-\) 期初投資金額（400 萬元）

\(100 + 200 + 300 = 600\)

\(600 - 400 = 200\)

\(200 \div 400 = 0.5\ \ (50\%)\)

思考重點

總報酬率表示「相對於投資金額，整段期間賺了幾 %」，不考慮時間。同樣是 50%，3 年賺 50% 和 10 年賺 50% 差很多。連時間價值都考慮進去、換算成「每年報酬率」的就是 IRR，這是本頁的主角。實際上，這個例子的總報酬率是 50%，IRR 則是每年 19.438%。

IRR（內部報酬率）是「讓 NPV（淨現值）剛好等於 0 的折現率」，也就是這項投資每年的報酬率。因為無法用移項求解，要一點一點改變折現率，用數值方法求出。即使總報酬相同，錢越早回來，IRR 就越高。

符號與用語解說

符號

IRR	I R R	Internal Rate of Return（內部報酬率）。讓 NPV 剛好等於 0 的折現率，表示這項投資每年的報酬率。（例如投資 400 萬元，3 年內收到 100 萬、200 萬、300 萬元，IRR 為每年 19.438%）
NPV	N P V	Net Present Value（淨現值）。把投資的資金進出全部換算成現在的價值後相加的金額。正的代表比折現率更划算的投資。
\(CF_t\)	C F t	第 \(t\) 年的現金流量。當年收到的錢（負的代表付出的錢）。
\(CF_0\)	C F 0	第 0 年（＝現在）的現金流量。期初投資是支出，所以是負值。在這個計算機輸入正的期初投資金額，計算時會當作負值處理。
\(r\)	r	折現率。把將來的錢換算成現在價值時所用的年利率。IRR 就是「讓 NPV 等於 0 的特別的 \(r\)」。
\(t\)	t	經過年數。以投資的時間點為第 0 年，表示是第幾年的錢。
\(n\)	n	投資期間（年）。表示最後一筆現金流量是第幾年。
\(PV\)	P V	現值（Present Value）。把將來的錢換算成現在價值的金額。
\(S\)	S	收到的錢合計。把第 1 年到第 \(n\) 年的現金流量全部相加的金額（追加投資以負數加入）。
\(TR\)	T R	總報酬（Total Return）。收到的合計減掉期初投資金額，也就是整段期間的損益。
\(G\)	G	總報酬率（Gross Return）。表示總報酬是期初投資金額的幾 %，是不考慮時間的「整段期間的合計 %」。另外，基金實務上的 gross return 也常指「扣除費用前的報酬」，意思不同。

用語

現金流量	資金的進出。收到的錢用正數、付出的錢用負數表示。計算 IRR 時，「什麼時候、多少錢」進出都很重要。
折現率	把將來的錢換算成現在價值（折現）時所用的年利率。例如「1 年後的 110 萬元，以年 10% 折現，相當於現在的 100 萬元」。
現值	把將來的錢換算成「相當於現在的多少錢」的金額。因為錢有時間價值，同樣是 100 萬元，越晚收到，現值就越小。
淨現值	英文縮寫 NPV。把投資的所有現金流量的現值加總的金額。正的代表「賺得比折現率多的投資」，是投資評估最基本的尺度。
內部報酬率	英文縮寫 IRR。讓 NPV 剛好等於 0 的折現率。能用一個數字表示這項投資「相當於每年幾 % 的報酬率」，所以廣泛用於事業投資和房地產投資的評估。
門檻報酬率	投資最低要求的報酬率（資金成本等）。實務上的用法是「IRR 高於門檻報酬率就採用」。
多重 IRR 問題	現金流量的正負號變換 2 次以上時，讓 NPV 等於 0 的折現率可能有 2 個以上的數學性質。這時無法只靠 IRR 判斷，要用 NPV 判斷。
數值方法	無法用移項求解的方程式，由電腦一點一點改變數值試算、逐步逼近答案的解法。IRR 就是用這種方法（二分法、牛頓法等）求出。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。

比率與百分率（國小高年級，10～12 歲）	知道比率可以用「比較量 ÷ 基準量」求出能在小數和 % 之間互換，例如 0.5 和 50%
正負數（國中，12～15 歲）	能用負數表示支出（流出的錢）能把正數和負數混在一起相加
次方與指數（國中，12～15 歲）	知道次方就是同一個數重複相乘，例如 \(1.1^2 = 1.1 \times 1.1\) 有「乘越多次比 1 大的數，答案就越大」的感覺
方程式的概念（國中，12～15 歲）	了解方程式就是「找出讓等式成立的未知數的值」知道有些方程式無法用移項求解，這時可以一邊試算一邊逼近答案（數值方法）
複利與錢的時間價值（高中，15～18 歲）	知道錢以年利率 \(r\) 運用時，每年會變成 \((1+r)\) 倍反過來，知道把將來的錢除以 \((1+r)\) 就能換算成「現在的價值」（折現、現值的概念）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「t 年後的錢的現值」的表格

t 年後收到的錢（元）	110000
折現率（%）	10
經過年數 t	1
現值（元）	=B1/(1+B2/100)^B3

求「NPV（淨現值）」的表格

期初投資（以負數輸入）	-1000000
第 1 年的現金流量	550000
第 2 年的現金流量	605000
折現率（%）	10
NPV（元）	=NPV(B4/100,B2:B3)+B1

求「IRR（內部報酬率）」的表格

期初投資（以負數輸入）	-4000000
第 1 年的現金流量	1000000
第 2 年的現金流量	2000000
第 3 年的現金流量	3000000
IRR（%）	=IRR(B1:B4)*100

求「總報酬與總報酬率」的表格

期初投資金額	4000000
收到的錢合計	6000000
總報酬（元）	=B2-B1
總報酬率（%）	=(B2-B1)/B1*100

Excel 有專門計算 IRR 的函數。像第 3 個表格那樣，把期初投資以負數輸入的現金流量序列交給「=IRR(B1:B4)」就能計算，例子約為 19.438（%）。
第 2 個表格的 NPV 函數有一個有名的陷阱。Excel 的 NPV 函數範圍只能放「第 1 年以後」的錢，期初投資（第 0 年）要在函數外面加，這才是正確的用法（例子剛好等於 0）。
第 1 個表格剛好是 100,000 元，第 4 個表格的總報酬是 2,000,000 元、總報酬率 50%。只要把 B 欄改成自己的數字就能使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「t 年後的錢的現值」的表格

t 年後收到的錢（元）	110000
折現率（%）	10
經過年數 t	1
現值（元）	=B1/(1+B2/100)^B3

求「NPV（淨現值）」的表格

期初投資（以負數輸入）	-1000000
第 1 年的現金流量	550000
第 2 年的現金流量	605000
折現率（%）	10
NPV（元）	=NPV(B4/100,B2:B3)+B1

求「IRR（內部報酬率）」的表格

期初投資（以負數輸入）	-4000000
第 1 年的現金流量	1000000
第 2 年的現金流量	2000000
第 3 年的現金流量	3000000
IRR（%）	=IRR(B1:B4)*100

求「總報酬與總報酬率」的表格

期初投資金額	4000000
收到的錢合計	6000000
總報酬（元）	=B2-B1
總報酬率（%）	=(B2-B1)/B1*100

可以直接使用和 Excel 相同的公式，以及同樣的 IRR 函數和 NPV 函數。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把 B 欄改成自己的數字即可。

用 Python 計算的方法

initial_investment = 4000000                     # 期初投資金額（元）
cash_flows = [1000000, 2000000, 3000000]         # 從第 1 年起每年的現金流量（元）

# NPV（淨現值）：把每一筆現金流量換算成現在的價值後相加
def npv(rate, cfs):
    return sum(cf / (1 + rate) ** t for t, cf in enumerate(cfs))

cfs = [-initial_investment] + cash_flows

# 用二分法找出讓 NPV 等於 0 的折現率（IRR）
# （適用於正負號只變換一次的一般投資的簡易版）
low, high = -0.9999, 10.0
for _ in range(200):
    mid = (low + high) / 2
    if npv(low, cfs) * npv(mid, cfs) <= 0:
        high = mid
    else:
        low = mid
irr = (low + high) / 2

total_return = sum(cash_flows) - initial_investment
gross_return = total_return / initial_investment * 100

print(f"IRR：{irr * 100:.3f}%")
print(f"總報酬：{total_return} 元")
print(f"總報酬率：{gross_return:.3f}%")

只用標準函式庫就能執行。IRR 無法用移項求解，所以用二分法（把範圍一次縮小一半、逐步逼近答案的數值方法）來找。請修改開頭的期初投資金額和現金流量清單後執行（例子會得到 19.438%）。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

把 \(t\) 年後的錢換算成現在的價值（現值）

PV = CFₜ ÷ (1 + r)ᵗ

PV = \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PV = (CF_t) / ((1 + r)^t)

cf/(1 + r)^t

PV := cf/(1 + r)^t;

PV = cf/(1 + r)^t;

PV = CF_t/(1 + r)^t

求 NPV（淨現值）的公式

NPV = CF₀ + CF₁/(1 + r)¹ + … + CFₙ/(1 + r)ⁿ

\mathrm{NPV} = \sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>NPV</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

NPV = sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + r)^t)

Sum[cf[t]/(1 + r)^t, {t, 0, n}]

NPV := sum(cf(t)/(1 + r)^t, t = 0 .. n);

NPV = sum(cf ./ (1 + r).^(0:n));

NPV = ∑_(t=0)^n CF_t/(1 + r)^t

IRR（內部報酬率）的定義

CF₀ + CF₁/(1 + IRR)¹ + … + CFₙ/(1 + IRR)ⁿ = 0

\sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+\mathrm{IRR})^{t}} = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>IRR</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + IRR)^t) = 0

Solve[Sum[cf[t]/(1 + x)^t, {t, 0, n}] == 0, x]

solve(sum(cf(t)/(1 + x)^t, t = 0 .. n) = 0, x);

solve(sum(cf ./ (1 + x).^(0:n)) == 0, x)

∑_(t=0)^n CF_t/(1 + IRR)^t = 0

總報酬與總報酬率

G = (S − C₀) ÷ C₀

G = \dfrac{S - C_0}{C_0}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>G</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>S</mi><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
      <msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

G = (S - C_0) / C_0

(s - c0)/c0

G := (s - c0)/c0;

G = (s - c0)/c0;

G = (S − C_0)/C_0

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是投資計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

我投資了新臺幣 400 萬元，第 1 年收到 100 萬元、第 2 年收到 200 萬元、第 3 年收到 300 萬元。
請分別求出下列的值：
1. IRR（內部報酬率，%，小數 3 位）＝ 讓 NPV(r) = -4000000 + 1000000/(1+r) + 2000000/(1+r)^2 + 3000000/(1+r)^3 等於 0 的 r
2. 總報酬（元）
3. 總報酬率（%，小數 3 位）

請列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。