請輸入球的半徑。會顯示表面積（4 × π × 半徑的平方），以及換算成 m² 的值。
半徑請只輸入 0 以上的數值（不加單位，只填數字。例如半徑 12 公分就填「12」）。只知道直徑時，請輸入直徑除以 2 的值（半徑）。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入球的半徑，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入球的半徑，馬上就能知道球的表面積（表面積＝\(4 \times \pi \times\) 半徑的平方）
- 計算結果的球也會用 3D 圖形顯示（可以拖曳旋轉）
- 同時顯示表面積的單位換算（以公分輸入時的 m²）
- 也簡單說明只知道直徑時的求法（半徑＝直徑 ÷ 2，或 \(S = \pi d^2\)）
- 公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，都整理在這個頁面
半徑請用同一種單位輸入（用公分就統一用公分）。表面積會是該單位的平方（以公分輸入就是 cm²，以公尺輸入就是 m²）。球的體積（裡面的量）請使用專用的頁面（球體積計算機）。
這個計算有什麼用？
估算球形儲槽的塗裝面積（工業、基礎建設）
在工業區、港口看到的球形儲槽（儲存液化石油氣等），會定期把整個表面重新塗裝。油漆的需要量就用「要塗的面積」＝球的表面積來估算。直徑 20 公尺的儲槽是 \(S = \pi d^2 = \pi \times 20^2 \approx 1257\,\mathrm{m^2}\)。如果是 1 公升能塗 10 m² 的塗料，就需要約 126 公升，可以進一步算出材料費和工期。
實際的儲槽還有管線和鷹架，所以會以這個值為基礎，多留一些餘裕再下訂。
確認地球的表面積與「海洋占 7 成」（地理、天文）
地球幾乎是球（精確來說是稍微扁一點的旋轉橢球體），以半徑約 6371 公里計算，\(4\pi \times 6371^2 \approx 5.1 \times 10^8\,\mathrm{km^2}\)（約 5.1 億平方公里）。自然和地理課本中「地球表面積約 5.1 億平方公里，其中海洋約占 7 成」的數字，就是根據這個公式的概算和實際測量而來。
用月球（半徑約 1737 公里）計算，約 3800 萬平方公里，可知只有地球表面積的約 \(\dfrac{1}{13}\)。
估算球的外皮、拼片的材料（運動、製造）
5 號足球的直徑約 22 公分，外皮面積是 \(\pi \times 22^2 \approx 1521\,\mathrm{cm^2}\)。製球廠會把這個表面積分成一片片拼片（傳統的五邊形、六邊形是 32 片），計算皮革或合成皮的裁切量。
在加上縫份和損耗之前，表面積公式算出的「理論值」就是起點。
思考身體大小和容易失溫的關係（自然、生物）
把動物的身體大致看成球來概算，半徑變成一半時，體積（＝體重的參考）會變成 \(\dfrac{1}{8}\)，但表面積（＝熱量散失的皮膚面積）只變成 \(\dfrac{1}{4}\)。也就是說，身體越小，「每單位體積的表面積」越大，熱量越容易散失。
「寒冷地區的動物體型往往比較大」「嬰兒比大人更容易著涼」這些現象，都可以用表面積和體積的比來說明（當然實際的身體不是球，這只是幫助思考的模型）。
了解水滴、肥皂泡泡為什麼是圓的（自然、化學）
在包住相同體積的各種形狀中，表面積最小的是球，這在數學上已經得到證明。水滴和肥皂泡泡之所以是圓的，是因為表面張力想讓表面積盡量變小。
反過來，像奶粉、即溶咖啡這種「想讓它快點溶解」的東西，或暖暖包裡的鐵粉這種「想讓它快點反應」的東西，就會做成細小的顆粒，增加每單位體積的表面積。表面積公式就是用數字確認這些生活中現象的工具。
公式與圖示
球的表面積（由半徑求）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
球的表面積 \(S\)
\(=\)
④
常數 \(4\)
\(\times\)
③
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
①
半徑 \(r\)
②
平方（同一個數連乘 2 次）
用文字讀公式
①
把
半徑 \(r\)
②
做
平方（同一個數連乘 2 次）
，
③
乘以
圓周率 \(\pi\)
，
④
再乘以
常數 \(4\)
，就得到
⑤
球的表面積 \(S\)
。
簡單範例
半徑 3 公分的球，表面積是
球的表面積 \(S\)
\(=\)
常數 \(4\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
半徑（3 cm）
平方
\(4 \times \pi \times 3^{2} = 4 \times \pi \times 9 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 36 \times 3.14 = 113.04 \approx 113\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
「為什麼要乘以 4π」可以用古希臘數學家阿基米德發現的關係來說明。把球從中心切成兩半，截面的圓（大圓）面積是 \(\pi r^2\)，而球的表面積剛好是它的 4 倍（\(\pi r^2 \times 4 = 4\pi r^2\)）。想像成「用 4 片截面那麼大的圓形外皮，就能把球包起來」，就容易記住。
把公式唸成「4 π r 平方」就好記。它很容易和體積的 \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\)（3 次方）搞混，訣竅是從單位來想：「面積是長度 × 長度，所以是平方；體積是長度 × 長度 × 長度，所以是 3 次方」。
球的表面積（由直徑求）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(d\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
球的表面積 \(S\)
\(=\)
①
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
②
直徑 \(d\)
③
平方（同一個數連乘 2 次）
用文字讀公式
①
用
圓周率 \(\pi\)
乘以
②
直徑 \(d\)
的
③
平方（同一個數連乘 2 次）
，就得到
④
球的表面積 \(S\)
。
簡單範例
直徑 6 公分（半徑 3 公分）的球，表面積是
球的表面積 \(S\)
\(=\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
直徑（6 cm）
平方
\(\pi \times 6^{2} = \pi \times 36 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 113\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
這個公式是把「半徑＝直徑的一半（\(r = d \div 2\)）」代入公式 1 後整理而來（\(4\pi \times \dfrac{d^2}{4} = \pi d^2\)）。像球類這種「量得到直徑，卻無法直接量半徑」的東西，用這個公式很方便。
也可以讀成「球的表面積，是以直徑為邊長的正方形面積（\(d^2\)）的 \(\pi\) 倍（約 3.14 倍）」。直徑 6 公分的例子，和公式 1 中半徑 3 公分的例子答案相同（\(36\pi\)），由此可知兩個公式表示的是同一顆球。學校考試學的是公式 1（用半徑的公式），所以請先記住公式 1。
球的表面積用「把半徑平方，再乘以圓周率 π 和 4」求出，剛好是截面的圓（大圓）面積的 4 倍。只知道直徑時，可以先除以 2 換成半徑，或直接用 S＝πd²。答案的單位是輸入單位的平方（公分就是 cm²），cm² 除以 10000 就是 m²。
符號與用語解說
符號
| \(S\) | S | 常用來表示面積、表面積的符號，取自英文 surface（表面）或 square（平方、面積）的第一個字母。在本頁表示球的表面積。 |
| \(r\) | r | 球的半徑，取自英文 radius（半徑）的第一個字母，表示從球心到球面的距離。 |
| \(d\) | d | 球的直徑，取自英文 diameter（直徑）的第一個字母。是通過球最粗部分的長度，等於半徑的 2 倍（\(d = 2r\)）。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率，表示圓周長是直徑幾倍的常數，約 3.14159…無限延續。國小用 3.14 計算。 |
| \(r^2\) | r 的平方 | 同一個數 \(r\) 連乘 2 次的值（\(r \times r\)）。右上角的小 2 是指數，意思是「乘 2 次」（例如 \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)）。 |
| \(\mathrm{cm^2}\) | 平方公分 | 面積的單位。每邊 1 公分的正方形，面積是 1 cm²。要和體積的 cm³（立方公分）區分清楚。 |
| \(\mathrm{m^2}\) | 平方公尺 | 面積的單位。每邊 1 公尺的正方形，面積是 1 m²。\(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\)（就是長度換算率 100 的平方）。 |
用語
| 球 | 與中心距離相等的所有點所形成的、圓滾滾的立體。像球、彈珠、肥皂泡泡，從哪個方向看都是圓形。 |
| 半徑 | 從球（或圓）的中心到表面的距離，也就是這個計算機要輸入的值，等於直徑的一半。 |
| 直徑 | 通過球（或圓）的中心、從表面一端拉到另一端的線段長度，是半徑的 2 倍。球類的大小常用直徑表示。 |
| 表面積 | 立體整個表面的面積。以球來說，就是「把外皮全部攤開時的大小」。和表示裡面多少的體積是不同的量。 |
| 大圓 | 用通過球心的平面切開球時得到的、最大的截面圓。半徑和球的半徑相同，面積是 \(\pi r^2\)。球的表面積剛好是大圓面積的 4 倍。 |
| 圓周率 | 表示圓周長是直徑幾倍的數（約 3.14），符號是 \(\pi\)（pi）。不只是圓，球的表面積和體積公式也一定會出現。 |
| 次方 | 同一個數連乘好幾次的計算（乘方）。像 \(3^2\) 這樣寫在右上角的小數字（指數）表示乘的次數。面積公式會出現平方，是因為平面向「長和寬」2 個方向延伸。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 圓與圓周率（國小六年級，11～12 歲） |
|
| 圓面積（國小六年級，11～12 歲） |
|
| 面積的意義與單位（國小三～四年級，8～10 歲） |
|
| 次方與指數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 球的性質與表面積公式（國中～高中，12～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
「由半徑求球的表面積」的表格
| 球的半徑 r | 5 |
| 球的表面積 | =4*PI()*B1^2 |
「由直徑求球的表面積」的表格
| 球的直徑 d | 10 |
| 球的表面積 | =PI()*B1^2 |
「cm² 換算成 m²」的表格
| 以 cm² 表示的表面積 | 314.16 |
| 以 m² 表示的表面積 | =B1/10000 |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上面的列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
「PI()」是傳回圓周率 π（3.14159…）的 Excel 函數，「*」是乘法，「/」是除法，「^」是次方（乘幾次）的符號。「=4*PI()*B1^2」就是「4 × π × B1 的平方」的意思。
例如第 1 個表格，B2 會顯示約 314.16（半徑 5 公分就是 cm²）。第 2 個表格是同一顆球（直徑 10 公分），所以也是約 314.16；第 3 個表格的 B2 會顯示 0.031416（約 0.03 m²）。只要把輸入欄的數值改成自己的值就能使用。
「PI()」是傳回圓周率 π（3.14159…）的 Excel 函數，「*」是乘法，「/」是除法，「^」是次方（乘幾次）的符號。「=4*PI()*B1^2」就是「4 × π × B1 的平方」的意思。
例如第 1 個表格，B2 會顯示約 314.16（半徑 5 公分就是 cm²）。第 2 個表格是同一顆球（直徑 10 公分），所以也是約 314.16；第 3 個表格的 B2 會顯示 0.031416（約 0.03 m²）。只要把輸入欄的數值改成自己的值就能使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
「由半徑求球的表面積」的表格
| 球的半徑 r | 5 |
| 球的表面積 | =4*PI()*B1^2 |
「由直徑求球的表面積」的表格
| 球的直徑 d | 10 |
| 球的表面積 | =PI()*B1^2 |
「cm² 換算成 m²」的表格
| 以 cm² 表示的表面積 | 314.16 |
| 以 m² 表示的表面積 | =B1/10000 |
和 Excel 相同的公式（包括 PI() 函數）可以直接使用。把表格整個複製後貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成自己的值即可。
用 Python 計算的方法
import math
radius = 5 # 球的半徑（這個例子用公分）
surface_area = 4 * math.pi * radius ** 2 # 球的表面積（輸入單位的平方，這個例子是 cm2）
surface_area_m2 = surface_area / 10000 # 以公分輸入時，換算成 m2 的表面積
print(f"球的表面積：{surface_area} cm2")
print(f"換算成 m2：{surface_area_m2} m2")
只用標準函式庫就能執行。「math.pi」是圓周率 π，「**」是次方（平方），「*」是乘法，「/」是除法的符號。請改寫開頭的半徑再執行（這是以公分輸入的例子）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
球的表面積（由半徑求）
S = 4πr²
S = 4\pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 4 pi r^2
4*Pi*r^2
S := 4*Pi*r^2;
S = 4*pi*r^2;
S = 4πr^2
球的表面積（由直徑求）
S = πd²
S = \pi d^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = pi d^2
Pi*d^2
S := Pi*d^2;
S = pi*d^2;
S = πd^2
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 有一顆半徑 5 公分的球。 請分別求出下面的值。 1. 這顆球的表面積是多少 cm²（S = 4 × π × r²） 2. 把這個表面積換算成 m² 是多少 請列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
球體積計算機（V＝4/3 × π × 半徑的 3 次方）
計算同一顆球「裡面的量」＝體積。和表面積一起記住吧
圓計算機（半徑、直徑、圓周長、面積互相換算）
針對球的切面「圓」，一次算出半徑、直徑、圓周長、面積
