等比數列計算機（第 n 項、首項到第 n 項的和）

請輸入首項（數列的第一個數）、公比（每往後一項要乘的數）和項數（要求到第幾項），再按「計算」。會一次算出數列的前幾項、第 n 項，以及首項到第 n 項的和。下方的一般項公式和輸入欄是連動的，直接改寫式中的首項、公比、項數也能計算。公比的絕對值小於 1 時，也會顯示無限加下去的和（無窮等比級數的和）。

首項 a

公比 r

項數 n

首項和公比也可以是小數或負數。項數 n 請輸入正整數（1～1000）。

計算結果與圖表

在左邊的輸入欄填入首項、公比、項數，按下「計算」，結果和圖形就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖形
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入首項（第一個數）、公比（每一項要乘的數）和項數這 3 個值，就能一次求出等比數列的第 $n$ 項，以及首項到第 $n$ 項的和
可以直接用在「3, 6, 12, 24,…每次變成 2 倍的數列，第 10 個數是多少？全部加起來是多少？」這類數列問題
首項和公比也可以是小數或負數（每次減半的數列公比設成「0.5」，正負號交替變化的數列把公比設成負數）
公比的絕對值小於 1 時，也會一併顯示無限加下去的和（無窮等比級數的和）
數列的項成倍增加（畫出曲線）的樣子，也能和計算結果一起從圖形確認。淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面

只適用於等比數列（相鄰兩項的比永遠相同＝每次乘以相同的數的數列）。像 5, 8, 11,…這樣「加上相同的數」增加的數列（等差數列），請使用等差數列計算機。

這個計算有什麼用？

看清複利讓錢變多的原理（理財規劃）

利息也會生利息的複利，餘額每年都乘以相同的倍數，所以會形成等比數列。把本金 NT$100 萬以年利率 3% 的複利運用，餘額每年乘以 1.03，10 年後是 $100 \times 1.03^{10} \approx 134.4$ 萬元（假設 10 年間利率都不變）。
「k 年後會變成多少？」正是等比數列第 $n$ 項的計算。和每年增加相同金額的單利（等差數列）的差別，就在於「用加法增加，還是用乘法增加」。

估算細菌或細胞的增殖（生物、食品衛生）

以分裂方式增加的細菌，每分裂一次數量就變成 2 倍，所以是公比 2 的等比數列。如果 1 個細菌每 20 分鐘分裂一次，6 小時後（分裂 18 次）會變成 $2^{18} = 262144$ 個，超過 26 萬個（這是養分和空間充足、細菌也不會死亡的理想情況）。
這種成倍增加的方式（指數成長），也是「食物不要放在室溫下」的理由。

紙每折一次厚度就加倍（感受指數成長）

把厚度 0.1 mm 的影印紙對折 1 次，厚度就變成 2 倍；每折一次都加倍，所以厚度是公比 2 的等比數列。在計算上，折 10 次是 $0.1 \times 2^{10} = 102.4$ mm（約 10 cm），折 23 次約 839 m，比台北 101（508 m）還高。
實際上紙只能折 7、8 次左右。即使如此，「只要加倍 23 次就超過台北 101」，正顯示出等比數列的成長遠遠超過我們對加法的感覺。

計算彈跳的球高度如何遞減（物理、運動）

假設球每次都彈回落下高度的 60%。從 2 m 高的地方落下，彈起的高度會形成公比 0.6 的等比數列而遞減，第 5 次只會彈到 $2 \times 0.6^{5} \approx 0.16$ m（約 16 cm）。
逐漸減弱的振動和聲音、血液中藥物的濃度等，每次以相同比例減少的現象，都可以用公比小於 1 的等比數列來表示。

音樂的音階是頻率的等比數列（音樂、樂器）

鋼琴等樂器使用的十二平均律音階是等比數列：每升高一個半音，頻率就乘以約 1.0595（正好是 2 的 12 次方根）。從 La（A，440 Hz）往上升 12 個半音，就是 $440 \times (\sqrt[12]{2})^{12} = 880$ Hz，正好是高八度的 La。
因為每個半音的比都相同，曲子不論移到哪個調，聽起來都一樣。等比數列就藏在音樂的基礎之中。

公式與圖形

求第 $n$ 項的公式（一般項）

圖形

數學寫法（一般的數學式）

$a_n$ $=$ $a$ $\times$ $r$ $n-1$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 第 $n$ 項 $a_n$ $=$ ① 首項 $a$ $\times$ ② 公比 $r$ ③ 往後走的項數 $(n-1)$

用文字讀公式

① 把首項 $a$ 乘以

② 公比 $r$ ，重複乘

③ 往後走的項數 $(n-1)$ 次，

④ 就得到第 $n$ 項 $a_n$

簡單範例

首項 3、公比 2 的等比數列（3, 6, 12, 24,…）的第 5 項是

第 5 項 $a_5$ $=$ 首項（3） $\times$ 公比（2）往後走的項數（5 − 1 = 4）

$3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48$

思考重點

最容易出錯的地方，是乘的次數不是 $n$ 次而是 $n-1$ 次。從第 1 項到第 $n$ 項，乘上公比的次數是「往後走的次數」，比 $n$ 少 1，也就是 $n-1$ 次。例如從第 1 項到第 3 項，只乘了 2 次（$3-1$ 次）。公比 $r$ 是小於 $1$ 的正數（例如 0.5）時，項會越來越小並接近 $0$；是負數（例如 $-2$）時，項的正負號會交替變化。兩種情況都能直接使用這個公式。

求首項到第 $n$ 項的和的公式（等比級數，公比不是 $1$ 時）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

$S_n$ $=$ $a$ $\times$ $(1 - r^{n})$ $\div$ $(1 - r)$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 首項到第 $n$ 項的和 $S_n$ $=$ ① 首項 $a$ $\times$ ② 1 − 公比的 $n$ 次方 $(1 - r^n)$ $\div$ ③ 1 − 公比 $(1 - r)$

用文字讀公式

① 把首項 $a$ 乘以

② 1 − 公比的 $n$ 次方 $(1 - r^n)$ 後，

③ 再除以 1 − 公比 $(1 - r)$ ，

④ 就得到首項到第 $n$ 項的和 $S_n$

簡單範例

首項 3、公比 2 的等比數列（3, 6, 12, 24,…），首項到第 5 項的和是

到第 5 項的和 $S_5$ $=$ 首項（3） $\times$ 1 − 公比的 5 次方（$1 - 2^5 = -31$） $\div$ 1 − 公比（$1 - 2 = -1$）

$3 \times (1 - 2^{5}) = 3 \times (-31) = -93$

$-93 \div (1 - 2) = -93 \div (-1) = 93$

思考重點

公比大於 1 時，像例子這樣，分子（$1 - r^n$）和分母（$1 - r$）都會是負數，但相除時負負得正，答案還是正數。課本也常用把分子分母同乘以 $-1$、讓正負號反過來的 $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$。它和上面完全是同一個公式，只是公比大於 1 時比較好用。公比是 $1$ 時，分母 $1 - r$ 會變成 $0$，所以不能用這個公式，這時要用下一個公式。

公比是 $1$ 時求和的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

$S_n$ $=$ $a$ $\times$ $n$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 首項到第 $n$ 項的和 $S_n$ $=$ ① 首項 $a$ $\times$ ② 項數 $n$

用文字讀公式

① 把首項 $a$ 乘以

② 項數 $n$ ，

③ 就得到首項到第 $n$ 項的和 $S_n$

簡單範例

首項 5、公比 1 的等比數列（5, 5, 5, 5,…），首項到第 4 項的和是

到第 4 項的和 $S_4$ $=$ 首項（5） $\times$ 項數（4）

$5 \times 4 = 20$

思考重點

公比是 $1$ 的等比數列，每一項都和首項相同（5, 5, 5,…）。所以和只要用「首項 × 個數」就能求出。可以把它記成第 2 個公式不能用的 $r = 1$ 專用公式（本計算機在 $r = 1$ 時也會自動改用這個公式計算）。

求無窮等比級數的和的公式（公比的絕對值小於 $1$ 時）

圖形

數學寫法（一般的數學式）

$S$ $=$ $a$ $\div$ $(1 - r)$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 無限加下去的和 $S$ $=$ ① 首項 $a$ $\div$ ② 1 − 公比 $(1 - r)$

用文字讀公式

① 把首項 $a$ 除以

② 1 − 公比 $(1 - r)$ ，

③ 就得到無限加下去的和 $S$

簡單範例

把首項 100、公比 0.5 的等比數列（100, 50, 25, 12.5,…）無限加下去

無限加下去的和 $S$ $=$ 首項（100） $\div$ 1 − 公比（1 − 0.5 = 0.5）

$100 \div (1 - 0.5) = 100 \div 0.5 = 200$

思考重點

這個公式只有在公比的絕對值小於 $1$（$-1 < r < 1$）時才能使用。這時項會越來越接近 $0$，所以即使無限加下去，和也會越來越接近一個固定的值（這個例子是 200）。這稱為收斂，而接近的那個值就是無窮等比級數的和 $S$。公比的絕對值大於或等於 $1$ 時，和會無限增大（或隨著正負號交替一直擺盪），所以沒有無限加下去的和。本計算機也只在公比的絕對值小於 $1$ 時顯示這個值。這個公式是怎麼來的？在第 2 個公式中，當 $n$ 越來越大，$r^n$ 會接近 $0$，所以 $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ 會接近 $\dfrac{a}{1 - r}$——這就是這個公式的真面目。

等比數列是「不斷乘以相同的數（公比）的數列」。第 $n$ 項是「把首項乘以公比 $n-1$ 次」，和（等比級數）是「首項 × (1 − 公比的 $n$ 次方) ÷ (1 − 公比)」（公比是 $1$ 時為「首項 × 項數」）。公比的絕對值小於 $1$ 時，無限加下去的和也能用 $a \div (1 - r)$ 求出。

符號與用語解說

符號

$a$	a	首項，也就是數列最前面的項（數）。3, 6, 12, 24,…這個數列的首項是 3。
$r$	r	公比，也就是每往後一項要乘的固定的數。3, 6, 12, 24,…的公比是 2。取自英文 ratio（比）的第一個字母，也可能是小數或負數。
$n$	n	項數，表示要考慮到第幾項的正整數。「到第 10 項」就是 $n = 10$。
$a_n$	a 下標 n	第 $n$ 項，也就是數列的第 $n$ 個數。右下角的小字（下標）表示「第幾個」。把第 $n$ 項用 $n$ 的式子表示，稱為一般項。
$r^{n-1}$	r 的 n 減 1 次方	把公比 $r$ 乘 $n-1$ 次的數（次方）。從第 1 項到第 $n$ 項要往後走 $n-1$ 次，所以乘的次數比項的個數 $n$ 少 1（從第 1 項到第 3 項要走 2 次）。
$S_n$	S 下標 n	首項到第 $n$ 項的和，是把 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ 合起來表示的符號，取自英文 sum（和）的第一個字母。
$S$	S	無窮等比級數的和，也就是把項無限加下去時接近的值。也寫成 $S_\infty$（讀作「S 下標無限大」）。
$\cdots$	刪節號	表示「依相同規則繼續下去」的符號。寫成 3, 6, 12, 24,…就表示「之後也繼續變成 2 倍」。

用語

數列	把數排成一列。排在其中的每一個數稱為「項」。台灣在國中八年級學到，高中再深入學習。
等比數列	相鄰兩項的比永遠相同的數列，例如 3, 6, 12, 24,…（每次乘以 2）。因為是「比相等的數列」，所以稱為等比數列。
項	排在數列中的每一個數。從最前面依序稱為第 1 項、第 2 項、…。
首項	數列最前面的項，也就是第 1 項，符號寫成 $a$ 或 $a_1$。
公比	等比數列中每往後一項要乘的固定的數。不論哪兩個相鄰的項做「後項 ÷ 前項」，都會得到相同的值。也可以是小數（例如 0.5＝每次減半）或負數（正負號交替變化）。
項數	數列中項的個數。求到第 10 項時，項數就是 10。
次方	把同一個數乘很多次，也稱為乘方。$2^5$（2 的 5 次方）就是 $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$，右上角的小數字（指數）表示相乘的次數。在國中七年級學到。
一般項	把第 $n$ 項用 $n$ 的式子表示。等比數列的一般項是 $a_n = a r^{n-1}$，把項的編號代入 $n$，馬上就知道那一項的值。
等比級數	把等比數列的各項加起來的式子 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，以及它的和。台灣的課本把數列的和稱為「級數」。
無窮等比級數	把等比數列的項無限加下去。只有在公比的絕對值小於 $1$ 時，和才會收斂到固定的值 $\dfrac{a}{1-r}$。這是高中數學的內容，但想法很簡單：「每次加上的量越來越小」。
收斂	越加下去（或項越往後），就越無限接近一個固定的值。100 + 50 + 25 + 12.5 +…越加越接近 200，所以說它「收斂到 200」。
等差數列	相鄰兩項的差永遠相同的數列，例如 5, 8, 11, 14,…（每次加 3）。它和「乘以」相同的數的等比數列增加方式不同，所以不能用本頁的公式。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習表中的內容是最快的方法。

數量關係與數的規律（國小四年級～六年級，9～12 歲）	能從「3, 6, 12, 24,…」這樣的一串數，找出「每次變成 2 倍」的規律能做成表格，思考「編號」和「值」的對應關係
小數與分數的乘法（國小五年級～六年級，10～12 歲）	知道像 $64 \times 0.5 = 32$ 這樣，乘以 0.5 就會變成一半知道乘以小於 1 的數，答案會比原來小
正負數（國中七年級，12～13 歲）	會像 $(-2) \times (-2) = 4$ 這樣計算負數乘負數（這就是公比為負數時正負號會交替變化的原因）會像 $(-93) \div (-1) = 93$ 這樣計算負數除以負數
代數式與指數（國中七年級，12～13 歲）	會計算 $2^5 = 32$ 這樣的次方（乘上右上角小數字那麼多次）會「代入」，例如把 $n = 10$ 代入 $n - 1$ 算出 9
四則混合運算（國小四年級～國中七年級，9～13 歲）	先算次方和括號內（$3 \times (1 - 2^5)$ 的順序是 $2^5$ → 括號內 → 乘法）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「第 n 項」的表格（首項 3，公比 2，項數 10）

首項 a	3
公比 r	2
項數 n	10
第 n 項	=B1*B2^(B3-1)

求「首項到第 n 項的和」的表格

首項 a	3
公比 r	2
項數 n	10
首項到第 n 項的和	=IF(B2=1,B1B3,B1(1-B2^B3)/(1-B2))

求「無窮等比級數的和」的表格（公比的絕對值小於 1 時）

首項 a	100
公比 r	0.5
無限加下去的和	=B1/(1-B2)

貼上後，上面的儲存格是輸入欄，最下面的儲存格會自動算出結果。
公式中的「B1」「B2」表示「使用該儲存格的數值」，「*」是乘法，「/」是除法，「^」是次方（B2^(B3-1) 就是「公比的（項數 − 1）次方」）。
第 2 個表格的 IF(B2=1,…) 用來分情況：「公比是 1 時用首項 × 項數，否則用和的公式」（公比是 1 時，和的公式的分母會是 0）。
例如第 1 個表格的 B4 會顯示 1536（第 10 項），第 2 個表格的 B4 會顯示 3069（和），第 3 個表格的 B3 會顯示 200。只要把輸入欄改成您自己的數值就能使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「第 n 項」的表格（首項 3，公比 2，項數 10）

首項 a	3
公比 r	2
項數 n	10
第 n 項	=B1*B2^(B3-1)

求「首項到第 n 項的和」的表格

首項 a	3
公比 r	2
項數 n	10
首項到第 n 項的和	=IF(B2=1,B1B3,B1(1-B2^B3)/(1-B2))

求「無窮等比級數的和」的表格（公比的絕對值小於 1 時）

首項 a	100
公比 r	0.5
無限加下去的和	=B1/(1-B2)

可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製並貼到 A1 儲存格，再把輸入欄（B1～B3）改成您自己的數值。

用 Python 計算的方法

first_term = 3        # 首項
common_ratio = 2      # 公比
number_of_terms = 10  # 項數

# 第 n 項 = 首項 * 公比的 (n - 1) 次方
nth_term = first_term * common_ratio ** (number_of_terms - 1)
# 首項到第 n 項的和 = 首項 * (1 - 公比^n) / (1 - 公比)；公比是 1 時為 首項 * n
if common_ratio == 1:
    sum_of_terms = first_term * number_of_terms
else:
    sum_of_terms = first_term * (1 - common_ratio ** number_of_terms) / (1 - common_ratio)
# 數列的前 10 項（確認用）
sequence = [first_term * common_ratio ** k for k in range(min(number_of_terms, 10))]

print(f"前幾項：{sequence}")
print(f"第 {number_of_terms} 項：{nth_term}")
print(f"首項到第 {number_of_terms} 項的和：{sum_of_terms}")

只用標準函式庫就能執行。把開頭的 3 個數值（首項、公比、項數）改掉後執行。這個例子的第 10 項會顯示 1536，和會顯示 3069.0。公比的絕對值小於 1 時，若也想知道無窮等比級數的和，就在最後加上一行「print(first_term / (1 - common_ratio))」。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

求第 $n$ 項的公式（一般項）

aₙ = a × rⁿ⁻¹

a_n = a r^{n-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <msup><mi>r</mi><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
  </mrow>
</math>

a_n = a r^(n-1)

a*r^(n - 1)

an := a*r^(n - 1);

a_n = a*r^(n - 1);

a_n = ar^(n - 1)

求首項到第 $n$ 項的和的公式（等比級數，公比不是 $1$ 時）

Sₙ = a(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)

S_n = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r} \quad (r \neq 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>a</mi>
        <mo>(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S_n = (a(1 - r^n))/(1 - r)

a*(1 - r^n)/(1 - r)

Sn := a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a(1 - r^n)/(1 - r)

公比是 $1$ 時求和的公式

Sₙ = a × n

S_n = a n \quad (r = 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

S_n = a n

a*n

Sn := a*n;

S_n = a*n;

S_n = an

求無窮等比級數的和的公式（公比的絕對值小於 $1$ 時）

S = a ÷ (1 − r)

S = \dfrac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>a</mi>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S = a/(1 - r)

a/(1 - r)

S := a/(1 - r);

S = a/(1 - r);

S = a/(1 - r)

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是等比數列的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或猜測作答）。第 n 項用 a_n = a × r^(n-1) 求，和用 S_n = a(1 - r^n)/(1 - r) 求（r = 1 時用 S_n = a × n），|r| < 1 時無窮等比級數的和用 S = a/(1 - r) 求。

1. 首項 3、公比 2 的等比數列的第 10 項，以及首項到第 10 項的和
2. 首項 100、公比 0.5 的等比數列的第 6 項、首項到第 6 項的和，以及無限加下去的和
3. 首項 3、公比 -2 的等比數列的第 6 項，以及首項到第 6 項的和

請列出所用的公式和執行結果的數值。

使用方法

1

輸入數值

在輸入欄中輸入要計算的數值
2

計算

按下「計算」按鈕
3

查看結果

計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看

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\(a\)	a	首項，也就是數列最前面的項（數）。3, 6, 12, 24,…這個數列的首項是 3。
\(r\)	r	公比，也就是每往後一項要乘的固定的數。3, 6, 12, 24,…的公比是 2。取自英文 ratio（比）的第一個字母，也可能是小數或負數。
\(n\)	n	項數，表示要考慮到第幾項的正整數。「到第 10 項」就是 \(n = 10\)。
\(a_n\)	a 下標 n	第 \(n\) 項，也就是數列的第 \(n\) 個數。右下角的小字（下標）表示「第幾個」。把第 \(n\) 項用 \(n\) 的式子表示，稱為一般項。
\(r^{n-1}\)	r 的 n 減 1 次方	把公比 \(r\) 乘 \(n-1\) 次的數（次方）。從第 1 項到第 \(n\) 項要往後走 \(n-1\) 次，所以乘的次數比項的個數 \(n\) 少 1（從第 1 項到第 3 項要走 2 次）。
\(S_n\)	S 下標 n	首項到第 \(n\) 項的和，是把 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) 合起來表示的符號，取自英文 sum（和）的第一個字母。
\(S\)	S	無窮等比級數的和，也就是把項無限加下去時接近的值。也寫成 \(S_\infty\)（讀作「S 下標無限大」）。
\(\cdots\)	刪節號	表示「依相同規則繼續下去」的符號。寫成 3, 6, 12, 24,…就表示「之後也繼續變成 2 倍」。

等比數列計算機（第 n 項、首項到第 n 項的和）

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