請從 3 邊 a、b、c 和 3 角 A、B、C（單位是度）中，輸入已知的 3 個（至少 1 個是邊）。邊 a 在角 A 的對面（對邊），邊 b 在角 B 的對面，邊 c 在角 C 的對面。
請輸入「剛好 3 個、至少 1 個是邊」。角度請以度（°）輸入（例如直角是 90）。其餘欄位保持空白。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄，從 3 邊 3 角中填入已知的 3 個（至少 1 個是邊），按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 從三角形的 3 邊 \(a, b, c\) 和 3 角 \(A, B, C\) 中，只要輸入已知的 3 個（至少 1 個是邊），其餘的邊和角就全部知道（輸入 3 邊時，會先檢查是否符合三角形成立的條件）
- 面積、周長、半周長、3 個方向的高、3 條中線，以及內切圓與外接圓的半徑，一次全部算出
- 也會自動判斷「正三角形、等腰三角形、不等邊三角形」和「銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形」的分類
- 輸入「兩邊及其中一邊的對角」（SSA）時，若三角形有 2 種可能，兩個解都會顯示（高中有名的「兩解」問題）
- 餘弦定理、正弦定理、海龍公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表和 Python 使用的公式，都整理在這個頁面
邊和角以同一個字母的大小寫互相對應：邊 a 在角 A 的對面（是角 A 的對邊），其餘依此類推。角度請以度（°）為單位輸入。
這個計算有什麼用？
測量、製作地圖（測量到無法抵達的地點的距離）
到河對岸目標物的距離，就算無法直接拉捲尺也能算出。在這一岸拉一條 100 公尺的基線，從基線兩端測量看目標物的角度，就得到一個已知 100 公尺的邊和 2 個角的三角形。如果角度是 50° 和 60°，剩下的角是 70°，用正弦定理就能求出到目標物的距離是 \(100 \times \sin 50^\circ \div \sin 70^\circ \approx 81.5\) 公尺。
測量人員使用的全站儀，以及製作地圖基礎的三角測量，正是這種計算的累積。
測量三角形土地、田地的面積（海龍公式）
三角形的土地，就算沒有量角度的工具，只用一條捲尺就能知道面積。3 邊是 30 公尺、40 公尺、50 公尺時，半周長是 60 公尺，面積是 \(\sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10} = 600\) 平方公尺（約 181.5 坪）。
「邊長連外行人也能量得準」，正是海龍公式在實務上受歡迎的原因，現在也還能用來大致確認農地或建地的面積。
建築、DIY（先算好斜向材料的長度和角度）
屋頂的斜面、樓梯、斜撐等，建築物裡有很多斜向的構件。水平 3 公尺、高 2 公尺的單斜屋頂，斜面的長度是 \(\sqrt{3^2 + 2^2} \approx 3.61\) 公尺（因為是直角，餘弦定理的修正項消失，就是畢氏定理）。
在切木材之前先算好長度和角度，就能減少材料浪費和現場重工。
機械手臂、機械設計（2 根連桿與關節角度）
工廠的機械手臂，本身就是「2 根手臂連桿和中間的關節角度」構成的三角形。連桿長 50 公分和 30 公分、關節張開 120° 時，用餘弦定理求出從底座到手部前端的距離是 \(\sqrt{50^2 + 30^2 - 2 \times 50 \times 30 \times \cos 120^\circ} = 70\) 公分。
為了把手部移到目標位置而反推關節角度的計算（逆向運動學），也以餘弦定理的變形為基本零件。
天文學（用三角形測量到恆星的距離）
到恆星的距離，是用一個非常細長的三角形來測量：以地球繞太陽公轉半年所移動的距離為底邊（這稱為周年視差）。由底邊和角度的微小偏移推算距離的想法，和本頁「由 1 邊和角求其餘」的計算相同。
「只要能解三角形，就能知道到無法前往的地方的距離」——從土地測量到宇宙都適用，是幾何學最強大的應用之一。
公式與圖
三角形的內角和
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(A\)
\(+\)
\(B\)
\(+\)
\(C\)
\(=\)
\(180^\circ\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(A\)：角 A
\(+\)
②
\(B\)：角 B
\(+\)
③
\(C\)：角 C
\(=\)
④
\(180^\circ\)（固定）
用文字讀公式
①
角 \(A\)
加
②
角 \(B\)
加
③
角 \(C\)
，一定等於
④
\(180^\circ\)
簡單範例
兩個角是 50° 和 60° 的三角形，剩下的角是
剩下的角 \(C\)
\(=\)
\(180^\circ\)
\(-\)
角 \(A\)（50°）
\(-\)
角 \(B\)（60°）
\(180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ\)
思考重點
不論是什麼形狀的三角形，3 個內角的和一定是 180°。所以只要知道 2 個角，剩下的角用減法就能求出。輸入「1 邊和 2 角」時，本計算機會先用這個公式求出第三個角。
餘弦定理（由兩邊及其夾角求第三邊）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(+\)
\(b^{2}\)
\(-\)
\(2ab\cos C\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(c^{2}\)：第三邊 \(c\) 的平方
\(=\)
①
\(a^{2}\)：已知邊 \(a\) 的平方
\(+\)
②
\(b^{2}\)：已知邊 \(b\) 的平方
\(-\)
③
\(2ab\cos C\)：修正項
用文字讀公式
①
已知邊 \(a\) 的平方
加上
②
已知邊 \(b\) 的平方
，減去
③
由夾角張開程度決定的修正項 \(2ab\cos C\)
，就得到
④
第三邊 \(c\) 的平方
（最後再開平方根）
簡單範例
兩邊是 5 和 7、夾角是 60°（cos60° = 0.5）時，第三邊是
第三邊 \(c\) 的平方
\(=\)
邊 \(a\) 的平方（5²）
\(+\)
邊 \(b\) 的平方（7²）
\(-\)
修正項（2×5×7×0.5）
\(c^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39\)
\(c = \sqrt{39} \approx 6.245\)
思考重點
\(\cos C\)（餘弦）是用 −1～1 的數表示「夾角張開的程度」。夾角剛好是 90° 時 \(\cos 90^\circ = 0\)，修正項消失，就變成畢氏定理 \(c^2 = a^2 + b^2\)。也就是說，餘弦定理是把畢氏定理推廣到沒有直角的三角形。
已知 3 邊而要求角時，用變形後的 \(A = \arccos\bigl(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\bigr)\)（本計算機輸入「3 邊」時就是用這個形式）。
正弦定理（邊與對角之間的橋梁）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(\dfrac{a}{\sin A}\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{\sin B}\)
\(=\)
\(\dfrac{c}{\sin C}\)
\(=\)
\(2R\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(\dfrac{a}{\sin A}\)：邊 \(a\) ÷ 其對角的正弦
\(=\)
②
\(\dfrac{b}{\sin B}\)：邊 \(b\) ÷ 其對角的正弦
\(=\)
③
\(\dfrac{c}{\sin C}\)：邊 \(c\) ÷ 其對角的正弦
\(=\)
④
\(2R\)：外接圓的直徑
用文字讀公式
①
邊 \(a\) 除以其對角的正弦 \(\sin A\)
、
②
邊 \(b\) 除以其對角的正弦 \(\sin B\)
、
③
邊 \(c\) 除以其對角的正弦 \(\sin C\)
三者都相等，而且等於
④
外接圓的直徑 \(2R\)
簡單範例
邊 a 是 6、它的對角 A 是 45°、角 B 是 60° 時，邊 b 是
邊 \(b\)
\(=\)
邊 \(a\)（6）
\(\times\)
對角的正弦 \(\sin 60^\circ\)
\(\div\)
對角的正弦 \(\sin 45^\circ\)
\(b = \dfrac{6 \times \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 7.348\)
思考重點
「邊 ÷ 對角的正弦」不論用 3 組中的哪一組計算，值都相同。所以只要知道 1 組（一個邊和它的對角），就能以它為橋梁，依序求出其他的邊和角。本計算機輸入「1 邊和 2 角」時就是用這個公式。
而且這個共同的值，等於通過三角形 3 個頂點的圓（外接圓）的直徑 \(2R\)。完整的正弦定理也包含這個事實。
面積（兩邊及其夾角）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\times\)
\(\sin C\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
\(S\)：面積
\(=\)
④
二分之一
\(\times\)
①
\(a\)：已知邊
\(\times\)
②
\(b\)：已知邊
\(\times\)
③
\(\sin C\)：夾角的正弦
用文字讀公式
①
已知邊 \(a\)
乘以
②
已知邊 \(b\)
，再乘以
③
夾角的正弦 \(\sin C\)
，然後取它的
④
二分之一
，就得到
⑤
面積 \(S\)
簡單範例
兩邊是 8 和 5、夾角是 30°（sin30° = 0.5）的三角形，面積是
面積 \(S\)
\(=\)
二分之一
\(\times\)
邊 \(a\)（8）
\(\times\)
邊 \(b\)（5）
\(\times\)
夾角的正弦（0.5）
\(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times 0.5 = 10\)
思考重點
這是把國小學的「底 × 高 ÷ 2」中的高，換成 \(b\sin C\)（由邊 b 和夾角算出的高）的公式。夾角是 90° 時 \(\sin 90^\circ = 1\)，高就是邊 b 本身，面積達到最大。
海龍公式（由 3 邊求面積）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(s\)
\(=\)
\(\dfrac{a+b+c}{2}\)
\(S\)
\(=\)
\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
\(s\)：半周長
\(=\)
①
3 邊的和 ÷ 2
④
\(S\)：面積
\(=\)
③
\(s\) 與 3 個「\(s\) − 各邊」的乘積的平方根
用文字讀公式
①
3 邊 \(a, b, c\) 全部相加再除以 2
稱為
②
半周長 \(s\)
。接著，
③
把 \(s\) 和 \(s\) 減去各邊得到的 3 個數（\(s-a\)、\(s-b\)、\(s-c\)）全部相乘，再開平方根
，就得到
④
面積 \(S\)
簡單範例
3 邊是 3、4、5 的三角形，面積是
半周長 \(s\)
\(=\)
3 邊的和（3+4+5）÷ 2
\(s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6\)
\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)
思考重點
海龍公式的優點是不必量角度和高，只靠 3 邊的長度就能求出面積。只要用捲尺量 3 個邊就夠了，所以自古就用來計算三角形土地的面積等。訣竅是先算出半周長 \(s\)（周長的一半）。
內切圓的半徑
圖
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(r\)
\(=\)
\(S\)
\(\div\)
\(s\)
③
\(r\)：內切圓半徑
\(=\)
①
\(S\)：面積
\(\div\)
②
\(s\)：半周長
用文字讀公式
①
面積 \(S\)
除以
②
半周長 \(s\)（周長的一半）
，就得到
③
內切圓半徑 \(r\)
簡單範例
3 邊是 3、4、5 的三角形（面積 6、半周長 6），內切圓半徑是
內切圓半徑 \(r\)
\(=\)
面積（6）
\(\div\)
半周長（6）
\(r = 6 \div 6 = 1\)
思考重點
內切圓是從內側與三角形 3 個邊都剛好相切的圓。從內切圓的圓心（內心）把三角形切成 3 個小三角形，每個都是「底 = 一個邊、高 = r」，所以總面積是 \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs\)。把它對 \(r\) 求解，就得到 \(r = S \div s\)。
外接圓的半徑
圖
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(R\)
\(=\)
\(abc\)
\(\div\)
\(4S\)
③
\(R\)：外接圓半徑
\(=\)
①
\(abc\)：3 邊的乘積
\(\div\)
②
\(4S\)：面積的 4 倍
用文字讀公式
①
3 邊全部相乘的 \(abc\)
除以
②
面積 \(S\) 的 4 倍
，就得到
③
外接圓半徑 \(R\)
簡單範例
3 邊是 3、4、5 的三角形（面積 6），外接圓半徑是
外接圓半徑 \(R\)
\(=\)
3 邊的乘積（3×4×5）
\(\div\)
面積的 4 倍（4×6）
\(R = \dfrac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \dfrac{60}{24} = 2.5\)
思考重點
外接圓是通過三角形 3 個頂點的圓。這個公式是把正弦定理 \(\frac{a}{\sin A} = 2R\) 和面積公式 \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\) 組合起來得到的。
例子中 3、4、5 的三角形是直角三角形，所以外接圓的圓心剛好在斜邊的中點，\(R\) 是斜邊的一半（\(5 \div 2 = 2.5\)），結果完全一致。
三角形由「3 個條件（至少 1 個是邊）」決定。已知 3 邊用餘弦定理的變形，已知兩邊及其夾角用餘弦定理，已知 1 邊和 2 角用內角和與正弦定理。用這三種工具求出其餘的邊和角之後，面積、內切圓、外接圓也都能依序求出。
符號與用語解說
符號
| \(a, b, c\) | a, b, c（小寫） | 三角形 3 個邊的長度。數學上習慣用同一個字母的大小寫互相對應，例如邊 a 在角 A 的對面（對邊）。 |
| \(A, B, C\) | A, B, C（大寫） | 三角形的 3 個內角（單位是度），3 個相加一定是 180°。 |
| \(S\) | S | 三角形的面積（課本中也常寫成「△ABC 的面積」）。 |
| \(s\) | s（小寫） | 半周長，也就是周長（\(a+b+c\)）的一半。用於海龍公式和內切圓半徑的計算。 |
| \(\sin\theta\) | sine theta（正弦） | 三角比之一。在直角三角形中表示「高相對於斜邊的比值」，用來由角度求出垂直方向的成分。\(\sin 30^\circ = 0.5\)、\(\sin 90^\circ = 1\)。 |
| \(\cos\theta\) | cosine theta（餘弦） | 三角比之一。在直角三角形中表示「底邊相對於斜邊的比值」。\(\cos 60^\circ = 0.5\)、\(\cos 90^\circ = 0\)。餘弦定理的「餘弦」就是 cosine。 |
| \(r\) | r（小寫） | 內切圓（從內側與 3 邊都相切的圓）的半徑。 |
| \(R\) | R（大寫） | 外接圓（通過 3 個頂點的圓）的半徑。 |
用語
| 對邊 | 某個角對面的邊，稱為那個角的「對邊」。本頁中邊 a 是角 A 的對邊，邊 b 是角 B 的對邊，邊 c 是角 C 的對邊。 |
| 對角 | 某個邊對面的角，稱為那個邊的「對角」。本頁中角 A 是邊 a 的對角，角 B 是邊 b 的對角，角 C 是邊 c 的對角。 |
| 內角和 | 三角形 3 個內角相加一定是 180° 的性質。只要知道 2 個角，剩下的角用減法就能求出。 |
| 三角形成立的條件 | 3 個長度能構成三角形的條件，也就是「任兩邊之和大於第三邊」（三角不等式）。例如 1、2、4，因為 1+2=3 小於 4，所以無法構成三角形。 |
| 餘弦定理 | 由兩邊及其夾角求第三邊的定理 \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)。它把畢氏定理推廣到沒有直角的三角形，變形後也能由 3 邊求角。在高中數學學到。 |
| 正弦定理 | 「邊 ÷ 對角的正弦」3 組都相等，而且等於外接圓直徑 \(2R\) 的定理。只要知道一個邊和它的對角，就能以它為橋梁求出其他的邊和角。在高中數學學到。 |
| 海龍公式 | 不用角度、只靠 3 邊長就能求出面積的公式，以古希臘數學家海龍（Heron，也譯作希羅）命名。 |
| 半周長 | 三角形周長的一半，出現在海龍公式和內切圓半徑的公式中。 |
| 內切圓 | 從內側與三角形 3 邊都相切的圓。圓心（內心）是 3 個角的角平分線的交點。 |
| 外接圓 | 通過三角形 3 個頂點的圓。圓心（外心）是 3 邊的垂直平分線的交點。 |
| 中線 | 連接三角形頂點與其對邊中點的線段。3 條中線交於一點（重心）。 |
| 銳角三角形 | 最大的內角小於 90° 的三角形。依內角的大小，三角形分為銳角、直角、鈍角三角形 3 類。 |
| 直角三角形 | 最大的內角剛好是 90° 的三角形。依內角的大小，三角形分為銳角、直角、鈍角三角形 3 類。 |
| 鈍角三角形 | 最大的內角大於 90° 的三角形。依內角的大小，三角形分為銳角、直角、鈍角三角形 3 類。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議事先了解的基礎知識。
內角和和海龍公式，用國中以前的知識就能使用；餘弦定理和正弦定理是高中的內容。
| 三角形的角（國小～國中） |
|
| 平方根（國中二年級，13～14 歲） |
|
| 畢氏定理（國中二年級，13～14 歲） |
|
| 三角比（高中，15～18 歲） |
|
| 正弦定理與餘弦定理（高中，15～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「剩下的角（內角和）」的表格
| 角 A（度） | 50 |
| 角 B（度） | 60 |
| 剩下的角 C（度） | =180-B1-B2 |
求「用餘弦定理求第三邊」的表格
| 邊 a | 5 |
| 邊 b | 7 |
| 夾角 C（度） | 60 |
| 第三邊 c | =SQRT(B1^2+B2^2-2*B1*B2*COS(RADIANS(B3))) |
求「用正弦定理求其他邊」的表格
| 邊 a | 6 |
| 它的對角 A（度） | 45 |
| 角 B（度） | 60 |
| 邊 b | =B1*SIN(RADIANS(B3))/SIN(RADIANS(B2)) |
求「面積（兩邊及其夾角）」的表格
| 邊 a | 8 |
| 邊 b | 5 |
| 夾角 C（度） | 30 |
| 面積 S | =B1*B2*SIN(RADIANS(B3))/2 |
求「面積（海龍公式）」的表格
| 邊 a | 3 |
| 邊 b | 4 |
| 邊 c | 5 |
| 半周長 s | =(B1+B2+B3)/2 |
| 面積 S | =SQRT(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
求「內切圓半徑」的表格
| 面積 S | 6 |
| 半周長 s | 6 |
| 內切圓半徑 r | =B1/B2 |
求「外接圓半徑」的表格
| 邊 a | 3 |
| 邊 b | 4 |
| 邊 c | 5 |
| 面積 S | 6 |
| 外接圓半徑 R | =B1*B2*B3/(4*B4) |
貼上後，上面幾列是輸入欄，最後一列的公式是自動計算的結果。
Excel 的 COS 和 SIN 接收的角度是弧度，所以中間用 RADIANS 函數把度換成弧度。SQRT 是平方根。
例如第二個表格的 B4 會顯示約 6.245。把輸入的數字換成您自己的值即可。
Excel 的 COS 和 SIN 接收的角度是弧度，所以中間用 RADIANS 函數把度換成弧度。SQRT 是平方根。
例如第二個表格的 B4 會顯示約 6.245。把輸入的數字換成您自己的值即可。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「剩下的角（內角和）」的表格
| 角 A（度） | 50 |
| 角 B（度） | 60 |
| 剩下的角 C（度） | =180-B1-B2 |
求「用餘弦定理求第三邊」的表格
| 邊 a | 5 |
| 邊 b | 7 |
| 夾角 C（度） | 60 |
| 第三邊 c | =SQRT(B1^2+B2^2-2*B1*B2*COS(RADIANS(B3))) |
求「用正弦定理求其他邊」的表格
| 邊 a | 6 |
| 它的對角 A（度） | 45 |
| 角 B（度） | 60 |
| 邊 b | =B1*SIN(RADIANS(B3))/SIN(RADIANS(B2)) |
求「面積（兩邊及其夾角）」的表格
| 邊 a | 8 |
| 邊 b | 5 |
| 夾角 C（度） | 30 |
| 面積 S | =B1*B2*SIN(RADIANS(B3))/2 |
求「面積（海龍公式）」的表格
| 邊 a | 3 |
| 邊 b | 4 |
| 邊 c | 5 |
| 半周長 s | =(B1+B2+B3)/2 |
| 面積 S | =SQRT(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
求「內切圓半徑」的表格
| 面積 S | 6 |
| 半周長 s | 6 |
| 內切圓半徑 r | =B1/B2 |
求「外接圓半徑」的表格
| 邊 a | 3 |
| 邊 b | 4 |
| 邊 c | 5 |
| 面積 S | 6 |
| 外接圓半徑 R | =B1*B2*B3/(4*B4) |
可以直接使用和 Excel 相同的公式（Google 試算表也有同名的 RADIANS、SIN、COS、SQRT）。
請把整個表格複製貼到 A1 儲存格，再把輸入的數字換成您自己的值。
請把整個表格複製貼到 A1 儲存格，再把輸入的數字換成您自己的值。
用 Python 計算的方法
import math
side_a = 3.0 # 邊 a
side_b = 4.0 # 邊 b
side_c = 5.0 # 邊 c（已知 3 邊的例子）
# 用餘弦定理的變形求 3 個角（單位：度）
angle_a = math.degrees(math.acos((side_b**2 + side_c**2 - side_a**2) / (2 * side_b * side_c)))
angle_b = math.degrees(math.acos((side_a**2 + side_c**2 - side_b**2) / (2 * side_a * side_c)))
angle_c = 180 - angle_a - angle_b
# 用海龍公式求面積
half_perimeter = (side_a + side_b + side_c) / 2
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - side_a)
* (half_perimeter - side_b) * (half_perimeter - side_c))
inradius = area / half_perimeter # 內切圓半徑
circumradius = side_a * side_b * side_c / (4 * area) # 外接圓半徑
print(f"角 A = {angle_a}°，角 B = {angle_b}°，角 C = {angle_c}°")
print(f"面積 = {area}")
print(f"內切圓半徑 = {inradius}，外接圓半徑 = {circumradius}")
只用標準函式庫的 math 就能執行。math.acos 是反餘弦（由 cos 的值反求角度），math.degrees 把弧度換成度。把開頭的 3 個邊改成您自己的值再執行即可。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
三角形的內角和
A + B + C = 180°
A + B + C = 180^\circ
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>+</mo><mi>C</mi>
<mo>=</mo>
<mn>180</mn><mo>°</mo>
</mrow>
</math>
A + B + C = 180^@
angleA + angleB + angleC == 180
A + B + C = 180;
C = 180 - A - B;
A + B + C = 180°
餘弦定理（由兩邊及其夾角求第三邊）
c² = a² + b² − 2ab·cos C
c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>C</mi>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C
cSide = Sqrt[a^2 + b^2 - 2 a b Cos[angleC Degree]]
c := sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C*Pi/180));
c = sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cosd(C));
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)
正弦定理（邊與對角之間的橋梁）
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>R</mi>
</mrow>
</math>
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
bSide = a Sin[angleB Degree]/Sin[angleA Degree]
b := a*sin(B*Pi/180)/sin(A*Pi/180);
b = a*sind(B)/sind(A);
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R
面積（兩邊及其夾角）
S = (1/2)·ab·sin C
S = \frac{1}{2}ab\sin C
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<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
<mi>a</mi><mi>b</mi>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>C</mi>
</mrow>
</math>
S = 1/2 ab sin C
area = (1/2) a b Sin[angleC Degree]
S := (1/2)*a*b*sin(C*Pi/180);
S = a*b*sind(C)/2;
S = (1/2)ab sin(C)
海龍公式（由 3 邊求面積）
s = (a+b+c)/2, S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
s = \frac{a+b+c}{2}, \quad S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
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<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mi>s</mi>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))
area = Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)] /. s -> (a + b + c)/2
s := (a+b+c)/2; S := sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));
s = (a+b+c)/2; S = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
內切圓的半徑
r = S/s
r = \dfrac{S}{s}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>S</mi><mi>s</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
r = S/s
inradius = area/s
r := S/s;
r = S/s;
r = S/s
外接圓的半徑
R = abc/(4S)
R = \dfrac{abc}{4S}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
<mrow><mn>4</mn><mi>S</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (abc)/(4S)
circumradius = a b c/(4 area)
R := a*b*c/(4*S);
R = a*b*c/(4*S);
R = abc/(4S)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是三角形的計算助理。請實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值作答（不要用心算或猜測作答）。 某三角形中，邊 a = 7、邊 b = 10、角 A = 40°（角 A 是邊 a 的對角）。 1. 用正弦定理求角 B。注意，這個條件下三角形可能有 2 種（兩解的情形）。如果有 2 個解，請兩個都列出。 2. 對每個解，求出剩下的角 C、邊 c 和面積。 請用表格列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
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2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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