進位轉換（二進位、八進位、十進位、十六進位）

請選擇原本的進位制，並用該進位制的寫法輸入數值。會一次算出二進位、八進位、十進位、十六進位四種表示法，並顯示計算過程。

原本的進位制

要轉換的數值

支援 0 以上的整數（二進位最多 64 位＝十進位到 18,446,744,073,709,551,615 為止）。十六進位的 A～F 大寫、小寫都可以輸入。

計算結果

在左邊的輸入欄選擇原本的進位制並輸入數值，按下「計算」，這裡就會顯示四種進位制的表示法。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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NumberChef 計算機一覽

這個頁面可以做什麼

只要選擇原本的進位制（二進位、八進位、十進位、十六進位）並輸入數值，就能一次知道四種進位制的表示法
「十六進位的 2AA 是十進位的多少？」「170 換成二進位是多少？」這類轉換一次就能完成
也會顯示位值的展開（每一位數字×位值全部相加），以及除以基數再排列餘數的計算過程，讓您學會轉換的方法本身
可以用來學習國中、高中「資訊科技」課程和資訊類證照考試常出的進位制轉換，或對答案
公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面

可以轉換的是 0 以上的整數（二進位最多 64 位＝十進位約 1844 京）。不支援小數和負數的進位制轉換。

這個計算有什麼用？

「資訊科技」課程和資訊證照考試的經典題型

進位制轉換（基數轉換）是國中、高中「資訊科技」課程，以及各種資訊類證照、程式設計檢定一再出現的經典主題。
「二進位 1010 是十進位的多少」「把十進位 45 用二進位表示」這類題目，正是本頁「位值展開」和「除完排餘數」這兩個步驟本身。一邊看計算過程一邊練習，考試時就不會卡住。

網頁設計、程式設計的色碼（十六進位）

網頁的顏色用「#FF5733」這種十六進位的色碼指定。它是把紅、綠、藍的強度各用 2 位十六進位（00～FF＝十進位的 0～255）排在一起，#FF5733 就是紅 FF（255）、綠 57（87）、藍 33（51）。
能在十六進位和十進位之間來回轉換，就能直接用色碼的數值想像「紅色再淡一點」這類顏色調整。

Linux 的檔案權限是八進位

伺服器管理常用的「chmod 755」中的 755 是八進位。八進位的 1 位對應二進位的 3 位，把 755 換成二進位就是 111 101 101——也就是「讀取、寫入、執行」的許可開關，每 3 位元排成一組。
了解進位制的原理之後，就能看懂這個數字不是密碼，而是「位元的開關表」。

理解 IP 位址和子網路遮罩（二進位）

網路的地址 IP 位址（例如 192.168.1.1），實際上是每 8 位元分成 4 組的二進位，192 是 11000000，255 是 11111111。
「子網路遮罩 255.255.255.0 表示『前 24 位元是網路部分』」這類網路基礎，要能做十進位和二進位的轉換才會真正理解。這是網路工程師的實務和證照考試（CCNA 等）的基礎知識。

學習電腦的原理（位元、位元組、記憶體顯示）

「1 位元組＝8 位元，可以表示 0～255（十六進位的 00～FF）」「記憶體位址和錯誤碼會用 0x7FFF 這樣的十六進位顯示」等，學習電腦內部時，二進位和十六進位就是共通語言。
學程式時容易卡住的位元運算、字元編碼、顏色指定等，只要能自由做進位制轉換，就會一下子豁然開朗。

公式

\(n\) 進位 → 十進位（位值記數法）

數學寫法（一般的數學式）

\(N\) \(=\) \(\displaystyle\sum_{i=0}^{k}\) \(d_i\) \(\times\) \(b^{i}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 十進位的值 \(N\) \(=\) ③ 全部相加 \(\displaystyle\sum\) ① 每一位的數字 \(d_i\) \(\times\) ② 位值 \(b^i\)

用文字讀公式

① 把每一位的數字 \(d_i\)

② 乘以位值 \(b^i\)（把基數 \(b\) 連乘位數位置 \(i\) 次的數），

③ 再全部相加 \(\displaystyle\sum\) ，

④ 就得到十進位的值 \(N\)

簡單範例

把十六進位的 2AA 換成十進位（A 是十進位的 10，基數是 \(b=16\)）：

十進位的值 \(N\) \(=\) \(2\) \(\times\) \(16^2\) \(+\) \(10\) \(\times\) \(16^1\) \(+\) \(10\) \(\times\) \(16^0\)

\(2 \times 256 + 10 \times 16 + 10 \times 1 = 512 + 160 + 10 = 682\)

思考重點

「位值記數法」是每個位數的位置都有固定位值的數的寫法。和平常十進位的 \(682 = 6 \times 100 + 8 \times 10 + 2 \times 1\) 是完全相同的原理，差別只在位值是 10 的次方，還是 2、8、16 的次方。最右邊的位是位置 \(i=0\)（位值 \(b^0=1\)），每往左一位，位值就變成基數 \(b\) 倍。十六進位的 A～F 是表示十進位 10～15 的字母。

十進位 → \(n\) 進位（除以基數，餘數倒過來排）

數學寫法（一般的數學式）

\(N\) \(=\) \(b\) \(\times\) \(q\) \(+\) \(r\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① 十進位的值 \(N\) \(=\) ② 基數 \(b\) \(\times\) ③ 商 \(q\) \(+\) ④ 餘數 \(r\)

用文字讀公式

① 把十進位的值 \(N\)

② 除以基數 \(b\) ，就會得到

③ 商 \(q\) 和

④ 餘數 \(r\) 。對商重複這個步驟直到商為 0，再把餘數由下往上倒過來排列（讓最後得到的餘數成為最高位），就是 \(n\) 進位的每一位

簡單範例

把十進位的 682 換成十六進位（第 1 次除法。餘數 10 是十六進位的字母 A）：

十進位的值（682） \(=\) 基數（16） \(\times\) 商（42） \(+\) 餘數（10 = A）

\(682 = 16 \times 42 + 10\)

\(42 = 16 \times 2 + 10\)

\(2 = 16 \times 0 + 2\)

思考重點

餘數是從「最低位」開始依序出現的。以 682 為例，餘數依序是 10（A）→ 10（A）→ 2，所以由下往上倒過來讀，就是 \(2\mathrm{AA}_{(16)}\)。請記住「最後得到的餘數是最高位」。換成二進位時用 \(b=2\)，換成八進位時用 \(b=8\)，重複同樣的步驟。這和國小數學的短除法是同樣的寫法。

二進位 ⇔ 十六進位（每 4 位對應）

數學寫法（一般的數學式）

\(h\) \(=\) \(b_3 \times 2^3 + b_2 \times 2^2 + b_1 \times 2^1 + b_0 \times 2^0\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② 十六進位的 1 位 \(h\) \(=\) ① 二進位 4 位的值

用文字讀公式

① 把二進位從右邊每 4 位分成一組，求出 4 位的值（\(b_3 \times 8 + b_2 \times 4 + b_1 \times 2 + b_0 \times 1\)），

② 就直接對應到十六進位的 1 位 \(h\) （八進位則每 3 位分成一組，做同樣的事）

簡單範例

把二進位 001010101010 從右邊每 4 位分成一組，換成十六進位：

0010 / 1010 / 1010 \(\rightarrow\) 2 / A / A

\(0010_{(2)} = 2,\ \ 1010_{(2)} = 10 = \mathrm{A}\)

\(001010101010_{(2)} = 2\mathrm{AA}_{(16)}\)

思考重點

十六進位的 1 位，剛好對應二進位的 4 位（半位元組）。不必經過十進位，只要用每 4 位的對照表（0000=0、0001=1、…、1111=F），再長的二進位也能機械式地換成十六進位。程式設計常用十六進位，就是因為它作為「二進位的壓縮寫法」很方便。八進位對應二進位的 3 位，所以每 3 位分成一組，也能用同樣的方法。

進位制轉換的基本是兩個方向：「\(n\) 進位 → 十進位，把每一位的數字×位值全部相加」、「十進位 → \(n\) 進位，除以基數，再把餘數由下往上倒過來排列」。二進位和十六進位之間是每 4 位（八進位是每 3 位）對應，不必經過十進位就能直接轉換。

符號與用語解說

符號

\(b\)	基數，表示「幾進位」的數，本頁是 2、8、10、16 其中之一。（取自英文 base 的第一個字母）
\(d_i\)	從最右邊數來第 \(i\) 位（最右邊是第 0 位）的數字。十六進位也包含 A～F（十進位的 10～15）。（取自英文 digit 的第一個字母）
\(i\)	位數的位置。最右邊的位是 \(i=0\)，每往左一位就增加 1。
\(N\)	十進位的值。本頁轉換的計算過程一律經過這個十進位。
\(\sum\)	表示「全部相加」的符號（讀作 sigma）。\(\sum_{i=0}^{k}\) 的意思是「讓 \(i\) 從 0 變到 \(k\)，全部相加」。
\(q\)	除法的商。把十進位換成 \(n\) 進位時，要重複除法直到商為 0。（取自英文 quotient 的第一個字母）
\(r\)	除法的餘數。這些餘數就是 \(n\) 進位的各位（從低位開始依序）。（取自英文 remainder 的第一個字母）
\(2\mathrm{AA}_{(16)}\)	數字右下角的小字 \((16)\)，意思是「這個數是用十六進位寫的」。同樣地，\(1010_{(2)}\) 表示二進位。這是在容易搞混是幾進位時使用的寫法。

用語

進位制（基數）	數數時「每幾個就進一位」的規則。平常的數是每 10 個進一位的十進位，電腦內部則是每 2 個進一位的二進位。進一位的那個數（2、8、10、16 等）稱為基數。
位值記數法	依每個位數的位置決定位值來表示數的方法。和十進位的 682 表示 \(6 \times 100 + 8 \times 10 + 2 \times 1\) 是相同的原理，二進位、八進位、十六進位的位值則分別是 2、8、16 的次方。
二進位	只用 0 和 1 兩種數字表示數的寫法。電腦用電的開、關來處理資訊，所以內部的計算全都用二進位進行。
八進位	用 0～7 八種數字表示數的寫法。二進位的 3 位對應八進位的 1 位，Linux 檔案權限的「755」等就是用八進位。
十六進位	用 0～9 和 A～F（A 是 10、B 是 11、…、F 是 15）十六種字元表示數的寫法。二進位的 4 位對應 1 位，所以程式設計中廣泛用來簡短地寫出很長的二進位。
位元	二進位的 1 位（bit），是電腦處理資訊的最小單位，值是 0 或 1 其中之一。
半位元組	把 4 個位元組合起來的單位（nibble，＝十六進位的 1 位）。2 個就是 1 位元組。
位元組	把 8 個位元組合起來的單位（byte，＝十六進位的 2 位）。像「1 位元組＝到 FF 為止的 256 種」這樣，位元組和十六進位是很搭的單位。

建議先了解的基礎知識

為了能「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先了解的基礎知識。

十進位的位值（國小）	能把 682 分解成「6 個 100、8 個 10、2 個 1」＝ \(6 \times 100 + 8 \times 10 + 2 \times 1\) 知道每往左一位，位值就變成 10 倍
除法與餘數（國小三～四年級，8～10 歲）	能在 682 ÷ 16 這樣的除法中，正確求出商和餘數知道「被除數＝除數 × 商＋餘數」的關係
指數（國中一年級，12～13 歲）	知道像 \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) 這樣，「\(n\) 次方」就是同一個數連乘 \(n\) 次知道像 \(16^0 = 1\) 這樣，任何（不為 0 的）數的 0 次方都是 1
n 進位（國中、高中「資訊科技」）	知道數的表示法不只十進位，還有改變基數的各種寫法（在這個頁面就能學到）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「十進位 → 二進位、八進位、十六進位」的表格

十進位的值	170
二進位	=DEC2BIN(B1)
八進位	=DEC2OCT(B1)
十六進位	=DEC2HEX(B1)

求「二進位 → 十進位」的表格

二進位	10101010
十進位	=BIN2DEC(B1)

求「十六進位 → 十進位」的表格

十六進位	2AA
十進位	=HEX2DEC(B1)

大數的轉換（BASE、DECIMAL 函數）表格

十進位的值	1500
十六進位（BASE）	=BASE(B1,16)
由十六進位換回十進位（DECIMAL）	=DECIMAL(B2,16)

第 1 個表格，在 B1 輸入十進位，B2～B4 就會自動算出二進位、八進位、十六進位（170 的話是 10101010、252、AA）。
注意：這些函數有位數的限制。DEC2BIN 只能轉換 −512～511（結果在二進位 10 位以內），DEC2OCT 是 −536,870,912～536,870,911，DEC2HEX 是 −549,755,813,888～549,755,813,887。反方向的 BIN2DEC、OCT2DEC、HEX2DEC 輸入也最多 10 位，超過 10 位會出現錯誤；剛好 10 位且最高位的位元是 1（十六進位則是第一位為 8～F）時，會被當成負數（2 的補數）處理。
超過限制的大數，請使用第 4 個表格的 BASE 函數（十進位 → n 進位）和 DECIMAL 函數（n 進位 → 十進位）（Excel 2013 以後。可以處理到約 9 千兆＝2 的 53 次方 −1）。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「十進位 → 二進位、八進位、十六進位」的表格

十進位的值	170
二進位	=DEC2BIN(B1)
八進位	=DEC2OCT(B1)
十六進位	=DEC2HEX(B1)

求「二進位 → 十進位」的表格

二進位	10101010
十進位	=BIN2DEC(B1)

求「十六進位 → 十進位」的表格

十六進位	2AA
十進位	=HEX2DEC(B1)

大數的轉換（BASE、DECIMAL 函數）表格

十進位的值	1500
十六進位（BASE）	=BASE(B1,16)
由十六進位換回十進位（DECIMAL）	=DECIMAL(B2,16)

和 Excel 相同的函數可以直接使用。把整個表格複製後貼到 A1 儲存格，再把 B1 改成您自己的數值即可。
DEC2BIN 只到 −512～511 等位數限制也和 Excel 相同。超過限制的大數請使用 BASE 函數和 DECIMAL 函數。

用 Python 計算的方法

number = "2AA"   # 要轉換的數值（用原本進位制的寫法）
from_base = 16   # 原本的進位制（2, 8, 10, 16）

value = int(number, from_base)    # 先換成十進位（整數）

binary = format(value, "b")       # 二進位
octal = format(value, "o")        # 八進位
hexadecimal = format(value, "X")  # 十六進位（大寫）

print(f"十進位：{value}")
print(f"二進位：{binary}")
print(f"八進位：{octal}")
print(f"十六進位：{hexadecimal}")

只用標準函式庫就能執行。程式中的 int 負責「n 進位 → 十進位」（第 2 個引數指定進位制），format 負責「十進位 → 二進位/八進位/十六進位」的轉換（格式指定 b、o、X）。Python 的整數沒有位數上限，再大的數都能轉換。把開頭 2 行改掉後執行即可。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

\(n\) 進位 → 十進位（位值記數法）

N = Σ dᵢ × bⁱ

N = \sum_{i=0}^{k} d_i \times b^{i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>k</mi>
    </munderover>
    <msub><mi>d</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <msup><mi>b</mi><mi>i</mi></msup>
  </mrow>
</math>

N = sum_(i=0)^k d_i * b^i

FromDigits[{2, 10, 10}, 16]

N := add(d[i]*b^i, i = 0 .. k);

N = polyval(d, b);

N = ∑_(i=0)^k d_i × b^i

十進位 → \(n\) 進位（除以基數，餘數倒過來排）

N = b × q + r (0 ≤ r < b)

N = b \times q + r \quad (0 \le r < b)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>q</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

N = b q + r, \ 0 <= r < b

QuotientRemainder[682, 16]

q := iquo(n, b); r := irem(n, b);

q = floor(n/b); r = mod(n, b);

N = b × q + r (0 ≤ r < b)

二進位 ⇔ 十六進位（每 4 位對應）

h = b₃×2³ + b₂×2² + b₁×2¹ + b₀×2⁰

h = b_3 \times 2^3 + b_2 \times 2^2 + b_1 \times 2^1 + b_0 \times 2^0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub><mo>&#xD7;</mo><msup><mn>2</mn><mn>3</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#xD7;</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub><mo>&#xD7;</mo><msup><mn>2</mn><mn>1</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>b</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#xD7;</mo><msup><mn>2</mn><mn>0</mn></msup>
  </mrow>
</math>

h = b_3*2^3 + b_2*2^2 + b_1*2 + b_0

FromDigits[{b3, b2, b1, b0}, 2]

h := 8*b3 + 4*b2 + 2*b1 + b0;

h = 8*b3 + 4*b2 + 2*b1 + b0;

h = b_3 × 2^3 + b_2 × 2^2 + b_1 × 2^1 + b_0 × 2^0

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是進位轉換的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（不要用心算或推測回答）。

請把十六進位的 2AA 轉換成下列三種進位制。
1. 十進位
2. 二進位
3. 八進位

另外，十六進位轉十進位的部分，也請列出每一位數字×位值（16 的次方）的展開式。
請列出計算所用的程式碼，以及執行結果的數值。