度與弧度換算計算機（附 π 的分數精確值與單位圓圖）

請選擇「度換算成弧度」或「弧度換算成度」再輸入。計算後，結果會和單位圓圖一起顯示。

要求什麼

角度（度）

弧度的值

請用半形輸入數值。也可以用負角和超過 360°（2π）的角。弧度可以用「π/6」「2π/3」「1.5π」這樣含 π 的寫法（也可以打 pi），也可以用「1.5」這樣的小數。

計算結果與圖形

在左邊的輸入欄填入角度（或弧度的值），按下「計算」，結果和單位圓圖就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
DataChef 的特色
相關功能
NumberChef 計算機一覽

這個頁面可以做什麼

能把度換算成弧度。像 \(30^\circ \to \dfrac{\pi}{6}\) 這樣，同時以 \(\pi\) 的分數精確值和小數（有效數字 12 位）表示
也能反過來把弧度換算成度。輸入時可以用「π/6」「2π/3」「1.5π」這樣含 \(\pi\) 的寫法（也可以打 pi），也可以用「1.5」這樣的小數
負角（例如 −45°）和超過 \(360^\circ\)（\(2\pi\)）的角也能換算（圖中會畫出終邊的位置）
計算結果附單位圓圖，可以親眼確認「半徑 \(1\) 的圓上的弧長，就是弧度的值」
特殊角對照表（\(0^\circ\)～\(360^\circ\)）、公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表和 Python 使用的公式，都整理在這個頁面

\(\pi\) 是圓周率（\(\approx 3.14159\)）。度 → 弧度的結果，會把 \(\dfrac{\text{度數}}{180}\) 約分成最簡分數，再乘上 \(\pi\) 表示。

這個計算有什麼用？

讓三角函數的微分、積分保持簡單（數學、物理）

「\(\sin x\) 微分後是 \(\cos x\)」這個漂亮的公式，只有在角 \(x\) 以弧度量時才成立。如果用度來微分，每次都會多出係數 \(\dfrac{\pi}{180}\)（約 0.01745），式子越來越複雜。
微積分、大學的物理和工程都把角度寫成弧度，因為這是「讓公式最簡潔的量法」。度與弧度的換算，就是進入那個世界的入口。

快速求出弧長與扇形面積（設計、製造）

圓心角以弧度量時，弧長就是半徑 × 角度（\(l = r\theta\)），扇形面積是 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)，都是簡單的式子。例如半徑 2 公尺、圓心角 \(\dfrac{\pi}{3}\)（\(60^\circ\)）的彎道，長度馬上就能算出是 \(2 \times \dfrac{\pi}{3} \approx 2.09\) 公尺。
用度的話，式子會變長，像 \(2\pi r \times \dfrac{a}{360}\)。所以設計道路彎道或零件的圓弧時，先換成弧度再計算是實務上的慣例。

表示馬達和渦輪的轉速（機械、電機工程）

工程上，旋轉機械的速度通常用每秒轉過的角度，也就是角速度 \(\omega\)（單位 rad/s）表示。例如每分鐘 3,600 轉的馬達（在台灣 60 Hz 的電源下，2 極馬達的轉速約是這個值），因為 1 轉 = \(2\pi\) 弧度，所以是 \(3600 \times 2\pi \div 60 = 120\pi \approx 377\) rad/s。
角速度用弧度表示時，前端的速度 = 半徑 × 角速度（\(v = r\omega\)），旋轉的計算都只要乘法就能完成。馬達規格表和物理課本中出現的 \(\omega\)，就是這個單位。

在程式中正確使用三角函數（遊戲、電腦繪圖）

Python、JavaScript、Excel 等幾乎所有程式環境的 sin、cos，接收的都是弧度。「以為 \(\sin 30^\circ = 0.5\)，寫了 sin(30) 卻得到 −0.988」是初學者常見的錯誤，正確寫法是先把度換成弧度：sin(30 × π/180)。
在遊戲中依角度移動角色，或是畫圖表時，「人用度思考，程式要給弧度」這種換算隨時都在發生。

由經緯度估算距離（地圖、GPS）

地球的圓心角與地表弧長的關係，也正是弧長 = 半徑 × 弧度。地球的半徑約 6,371 公里，所以緯度相差 \(1^\circ\) 的南北距離，可以估算為 \(6371 \times \dfrac{\pi}{180} \approx 111\) 公里。
「緯度差 1 度約 111 公里」這個地理知識，正是由度 → 弧度換算得出的數字，GPS 的距離計算和地圖 App 也用同樣的概念。

公式與圖

弧度量的定義（180° = π 弧度）

圖（弧度量：在半徑 1 的圓上，弧長就是角的大小）

數學寫法（一般的數學式）

文字寫法（把符號換成文字的公式）

\(180^\circ\) \(=\) \(\pi\)

① \(180^\circ\)：度度量的半圈 \(=\) ② \(\pi\)：同一個角的弧度（半徑 \(1\) 的半圓的弧長）

用文字讀公式

① 度度量的 \(180^\circ\)（半圈）

② 用弧度量表示就是 \(\pi\) 弧度（半徑 \(1\) 的圓上，半圓的弧長）

簡單範例

同樣地，四分之一圈（\(90^\circ\)）是半圓的弧的一半，所以

\(90^\circ\) \(=\) \(\dfrac{\pi}{2}\) 弧度

\(90^\circ = \dfrac{\pi}{2} \approx 1.5708\)

思考重點

弧度量是用「在半徑 \(1\) 的圓上，這個角截出的弧長」來量角的大小。半徑 \(1\) 的圓周長是 \(2\pi \times 1 = 2\pi\)（圓周長 = 直徑 × 圓周率），所以一整圈 \(360^\circ\) 是 \(2\pi\)，半圈 \(180^\circ\) 是它的一半 \(\pi\)。「\(1\) 弧度」是弧長剛好等於半徑的角，換成度約是 \(57.3^\circ\)。看起來是個不整齊的數，但用長度量角，能讓微積分和物理的公式變得最簡單。所以到了高中學三角函數之後，就以弧度為主。

度換算成弧度（乘以 π/180）

特殊角對照表（0°～360° 的度與弧度）

數學寫法（一般的數學式）

\(\theta\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(\dfrac{\pi}{180}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(\theta\)：以弧度表示的角 \(=\) ① \(a\)：以度表示的角（去掉 ° 的數字） \(\times\) ② \(\dfrac{\pi}{180}\)：\(1^\circ\) 的弧度

用文字讀公式

① 把 \(a\)：以度表示的角（去掉 ° 的數字）

② 乘以 \(\dfrac{\pi}{180}\)（由 \(180^\circ = \pi\) 得到的 \(1^\circ\) 的弧度）

③ 就得到 \(\theta\)：以弧度表示的角

簡單範例

把 \(30^\circ\) 換算成弧度：

\(30^\circ\) 的弧度 \(=\) \(30\) \(\times\) \(\dfrac{\pi}{180}\)

\(30 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{30\pi}{180} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.5236\)

思考重點

計算的訣竅是「\(\pi\) 保留不動，只把分數 \(\dfrac{a}{180}\) 約分」。\(30^\circ\) 是 \(\dfrac{30}{180} = \dfrac{1}{6}\)，所以答案是 \(\dfrac{\pi}{6}\)；\(120^\circ\) 是 \(\dfrac{120}{180} = \dfrac{2}{3}\)，所以是 \(\dfrac{2\pi}{3}\)。高中數學通常不把答案化成小數，而是保留 \(\pi\) 的分數（這樣能一直用精確值計算下去）。需要小數時，最後再代入 \(\pi \approx 3.14159\) 就好。

弧度換算成度（乘以 180/π）

數學寫法（一般的數學式）

\(a\) \(=\) \(\theta\) \(\times\) \(\dfrac{180}{\pi}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(a\)：以度表示的角 \(=\) ① \(\theta\)：以弧度表示的角 \(\times\) ② \(\dfrac{180}{\pi}\)：\(1\) 弧度的度數

用文字讀公式

① 把 \(\theta\)：以弧度表示的角

② 乘以 \(\dfrac{180}{\pi}\)（由 \(180^\circ = \pi\) 得到的 \(1\) 弧度的度數）

③ 就得到 \(a\)：以度表示的角

簡單範例

把 \(\dfrac{2\pi}{3}\) 換算成度：

\(\dfrac{2\pi}{3}\) 的度數 \(=\) \(\dfrac{2\pi}{3}\) \(\times\) \(\dfrac{180}{\pi}\)

\(\dfrac{2\pi}{3} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{2 \times 180}{3} = 120\)

思考重點

含 \(\pi\) 的寫法（例如 \(\dfrac{\pi}{6}\)、\(\dfrac{2\pi}{3}\)），乘以 \(\dfrac{180}{\pi}\) 時 \(\pi\) 會約掉，所以實際上只要「把式子中的 \(\pi\) 換成 \(180^\circ\)」就能換算。例如 \(\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2 \times 180^\circ}{3} = 120^\circ\)。不含 \(\pi\) 的小數弧度（例如 \(1.5\)），換成度幾乎都除不盡。乘以 \(\dfrac{180}{\pi} \approx 57.2958\)，以小數表示答案（\(1.5\) 弧度 \(\approx 85.94^\circ\)）。

度與弧度由 \(180^\circ = \pi\)（弧度）連結起來。度換算成弧度時，乘以 \(\dfrac{\pi}{180}\) 再約分（\(30^\circ = \dfrac{\pi}{6}\)）；弧度換算成度時，只要把 \(\pi\) 換成 \(180^\circ\)（\(\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2 \times 180^\circ}{3} = 120^\circ\)）。

符號與用語解說

符號

\(^\circ\)（度）	度	度度量的角度單位。把一圈定為 \(360^\circ\) 的量法，也是日常生活中最熟悉的角度表示法。
rad（弧度）	radian（弧度）	弧度量的角度單位。英文 radian 由 radius（半徑）造出，用半徑 \(1\) 的圓上的弧長來量角。數學上通常省略單位，像 \(\dfrac{\pi}{6}\) 這樣只寫數值。
\(\pi\)	pi	圓周率（\(\approx 3.14159\)），是圓周長 ÷ 直徑的值。這個字母據說取自希臘文「周長」的第一個字母。因為 \(180^\circ = \pi\)（弧度），弧度的值常出現 \(\pi\) 的分數。
\(\theta\)	theta	常用來表示角度的希臘字母。本頁中表示以弧度量的角的大小。
\(a\)	a	本頁中表示以度表示的角（去掉 ° 的數字），也就是寫成 \(a^\circ\) 時的 \(a\)。
\(\approx\)	約等於	表示「大約」的符號（近似）。含 \(\pi\) 的精確值化成小數會無限延續，所以小數表示時使用這個符號。

用語

度度量	把一圈定為 360° 來量角的方法，也稱為度數法。360 這個數的因數很多（它的二分之一、三分之一、四分之一……都是整數），從古代就開始使用。國小開始學的就是這種量法。
弧度量（弧度）	用半徑 1 的圓上的弧長來量角的方法，也稱為弧度法，單位是弧度。180° = π（弧度），角度寫成像 60° = π/3 這樣 π 的分數。高中學三角函數時開始使用，到微積分就以弧度量為主。
弧	圓周的一部分。弧度量是用「角在圓上截出的弧長」來量角的大小。
圓心角	在圓心由兩條半徑形成的角。弧長和圓心角成正比（圓心角變 2 倍，弧長也變 2 倍）。這個正比關係就是弧度量的基礎。
單位圓	以原點為圓心、半徑 1 的圓。因為半徑是 1，弧長就是圓心角的弧度值。也用來定義三角函數，是高中數學的重要工具。
終邊	從原點出發，由 \(x\) 軸的正向（始邊）旋轉角 \(\theta\) 後的射線（此時稱為標準位置角），在圖上表示角的大小。負角是順時針旋轉。
特殊角	像 30°、45°、60°、90°、120° 這樣，三角函數值可以寫成精確值的代表性角度。換成弧度是 π/6、π/4、π/3、π/2、2π/3……，也就是分母為 6、4、3、2 的 π 的分數。
約分	把分數的分子和分母除以同一個數，使分數變簡單。度換算成弧度時，先把度數/180 用最大公因數約分，再乘上 π（30/180 → 1/6 → π/6）。
最簡分數	不能再約分的分數。本頁的換算結果，會把 π 的係數約分成最簡分數來表示。
圓周率	圓周長 ÷ 直徑的值（π ≈ 3.14159），不論圓多大都是同一個值。半徑 1 的圓周長是 2π，因為直徑 2 × 圓周率 π = 2π。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議事先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的方法。

角度（國小四年級，9～10 歲）	知道一圈是 \(360^\circ\)、半圈是 \(180^\circ\)、直角是 \(90^\circ\)
圓與圓周率（國小高年級，10～12 歲）	會用圓周長 = 直徑 × 圓周率（圓周率 \(\approx 3.14\)）求圓周長能由公式推出半徑 \(1\) 的圓周長是 \(2 \times 3.14\)（\(= 2\pi\)）
分數的乘法與約分（國小高年級，10～12 歲）	會算分數 × 整數、分數 × 分數能像 \(\dfrac{30}{180} = \dfrac{1}{6}\) 這樣，用最大公因數約分
正比（國小六年級～國中一年級）	了解「圓心角變 2 倍，弧長也變 2 倍」這樣的正比關係（這就是可以用弧長量角的原因）
代數式（國中一年級，12～13 歲起）	看得懂把 \(\pi\) 當成文字使用的式子（\(2\pi\)、\(\dfrac{\pi}{6}\) 等），和圓面積 \(\pi r^2\) 的寫法一樣

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「度 → 弧度（小數）」的表格

角度（度）	30
弧度	=RADIANS(B1)

求「弧度 → 度」的表格

弧度的值	=PI()/6
角度（度）	=DEGREES(B1)

求「度 → π 的分數（約分後的分子與分母）」的表格

角度（度，整數）	30
π 的係數的分子	=B1/GCD(B1,180)
π 的係數的分母	=180/GCD(B1,180)

Excel 的 RADIANS 函數把度換成弧度，DEGREES 函數把弧度換成度。第一個表格用 30°，答案是 0.523598776（π/6 的小數值）。
第二個表格在弧度的儲存格輸入「=PI()/6」（π ÷ 6），答案是 30。像 1.5 這樣的小數弧度，直接在 B1 輸入 1.5 即可（答案是 85.94366927）。
第三個表格求 π 的分數的精確形式。用 GCD 函數（最大公因數）把度數/180 約分，分子是 1、分母是 6，就能讀成「30° = π/6」（這個表格只適用於整數的度數）。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「度 → 弧度（小數）」的表格

角度（度）	30
弧度	=RADIANS(B1)

求「弧度 → 度」的表格

弧度的值	=PI()/6
角度（度）	=DEGREES(B1)

求「度 → π 的分數（約分後的分子與分母）」的表格

角度（度，整數）	30
π 的係數的分子	=B1/GCD(B1,180)
π 的係數的分母	=180/GCD(B1,180)

可以直接使用和 Excel 相同的公式。請把整個表格複製貼到 A1 儲存格，再把角度或弧度的值改成您自己的數值。

用 Python 計算的方法

import math
from fractions import Fraction

# 度換算成弧度（小數）
angle_degree = 30
angle_radian = math.radians(angle_degree)
print(f"{angle_degree}° = {angle_radian} 弧度")

# 度換算成弧度（π 的分數的精確形式）
pi_coefficient = Fraction(angle_degree, 180)   # 自動把 度數/180 約分
print(f"{angle_degree}° = π × {pi_coefficient}")

# 弧度換算成度
radian_value = 1.5
print(f"{radian_value} 弧度 = {math.degrees(radian_value)}°")

只用標準函式庫就能計算。math.radians() 把度換成弧度，math.degrees() 把弧度換成度。π 的分數的精確形式，用 fractions 模組的 Fraction（度數，180）求出（會自動約分）。執行這個例子，會印出 30° = 0.5235987755982988 弧度、30° = π × 1/6（也就是 π/6），以及 1.5 弧度 = 85.94366926962348°。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

弧度量的定義（180° = π 弧度）

180° = π rad

180^\circ = \pi\ \mathrm{rad}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x3C0;</mi><mspace width="0.2em"/><mi>rad</mi>
  </mrow>
</math>

180^@ = pi " rad"

180 Degree == Pi

convert(180*degrees, radians);

deg2rad(180)

180° = π rad

度換算成弧度（乘以 π/180）

θ = a × π/180

\theta = a \times \dfrac{\pi}{180}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mfrac><mi>&#x3C0;</mi><mn>180</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

theta = a xx pi/180

N[30 Degree]

convert(30*degrees, radians);

deg2rad(30)

θ = a × π/180

弧度換算成度（乘以 180/π）

a = θ × 180/π

a = \theta \times \dfrac{180}{\pi}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mfrac><mn>180</mn><mi>&#x3C0;</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

a = theta xx 180/pi

(2 Pi/3)/Degree

convert(2*Pi/3, degrees);

rad2deg(2*pi/3)

a = θ × 180/π

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是數學（弧度量）的計算助理。請實際執行 Python 程式碼來進行以下換算，並且只根據執行結果的數值作答（不要用心算或猜測作答）。

1. 把 45° 和 17.5° 換算成弧度。每一個都請同時以 π 的分數精確值（用 fractions 模組約分）和小數表示。
2. 把 2π/3 弧度和 1.5 弧度換算成度。

在 Python 中請使用 math 模組（radians、degrees）和 fractions 模組。請列出使用的公式和執行結果的數值。