請把想調查關係的兩種資料，各自用逗號（,）分隔輸入。會算出相關係數 r、共變異數與迴歸直線的方程式，並在散布圖上疊畫迴歸直線。
x 和 y 依順序配對：第 1 個 x 配第 1 個 y、第 2 個 x 配第 2 個 y……。請輸入相同個數（2 組以上）。也可以輸入小數和負數。
計算結果與圖表
在左側輸入欄用逗號分隔輸入 x 和 y 的資料，按下「計算」，結果和散布圖就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入成對的 \(x\)、\(y\) 資料（兩個變量），馬上就能知道相關係數 \(r\) 與共變異數 \(s_{xy}\)
- 同時算出 \(x\)、\(y\) 各自的平均數、變異數、標準差，以及迴歸直線（最小平方法）\(y = ax + b\) 的方程式
- 在散布圖上疊畫迴歸直線與平均點，兩組資料的關係（往右上升、往右下降，還是散亂）一目了然
- 依相關係數的值，顯示「高度正相關」「幾乎沒有相關」等參考解讀
- 這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式
共變異數與變異數和台灣高中課本一樣，用「除以資料組數 \(n\)」的定義計算（和除以 \(n-1\) 的樣本版的差別，在 Excel 章節說明）。相關係數 \(r\) 和迴歸直線不論用哪一種，結果都相同。\(x\) 和 \(y\) 的資料個數要相同，至少需要 2 組。
這個計算有什麼用？
用數字確認讀書時間與成績的關係（教育、學習）
用資料而不是憑感覺來確認「讀書時間增加，成績會不會進步」，是相關係數最具代表性的用法。用每個學生讀書時間與分數的成對資料算出 \(r\)，一個數字就能看出關係有多強。
學校或補習班有時也會調查模擬考各科之間的相關（數學好的學生，自然科是不是也好等），作為教學的參考。不過要注意，有相關並不能證明「只要增加時間，成績一定會進步」這樣的因果。
由氣溫與銷售量的關係決定進貨（零售、餐飲）
冰淇淋和冷飲的銷售量和氣溫有正相關，關東煮和熱飲則和氣溫有負相關。便利商店和餐廳會從過去「氣溫與銷售數量」的資料確認相關，再依天氣預報調整進貨量和陳列。
再進一步求出迴歸直線，就能做出「明天預報最高氣溫 33 度，大約能賣出幾個」這樣具體的預估。
組合價格走勢相關性低的資產來降低風險（金融、理財）
在投資的世界，股票、債券、黃金等資產之間價格走勢的相關係數，是分散投資的基本工具。組合相關性低（或負相關）的資產，當一方下跌時，另一方比較不容易跟著下跌，整體投資組合的起伏就會比較小。
退休基金和共同基金在決定資產配置之前，也一定會分析資產之間的相關性。
由製造條件與不良率的關係縮小原因範圍（製造、品質管理）
工廠的不良品增加時，調查「加工溫度」「濕度」「機器運轉時間」等條件與不良率之間的相關係數，就能縮小範圍，找出哪些條件和不良一起變動。這是非常基本的方法，用來分析的散布圖甚至是品質管理「QC 七大手法」之一。
找到相關性強的條件後，再用實驗改變條件來確認因果關係，依這樣的流程推動改善。
探究健康與疾病因素的研究起點（醫療、流行病學）
像「運動量與血壓」「吸菸量與罹患某種疾病的機率」這種調查生活習慣與健康關係的研究，也是從確認資料的相關開始。
同時，這也是訓練自己不要把「相關」草率當成「原因」的好機會。有名的例子是「冰淇淋的銷售量和溺水事故的件數有正相關」，其實兩者只是都因為氣溫這個共同因素而增加。醫學研究會用各種方法排除這種第三個因素的影響，以接近真正的因果關係。
公式與圖示
共變異數 \(s_{xy}\)
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(s_{xy}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\)
\((x_i - \bar{x})\)
\((y_i - \bar{y})\)
\(\div\)
\(n\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
\(s_{xy}\)：共變異數
\(=\)
③
\(\displaystyle\sum\)：全部加起來
①
\((x_i - \bar{x})\)：\(x\) 的離均差
②
\((y_i - \bar{y})\)：\(y\) 的離均差
\(\div\)
④
\(n\)：資料組數
用文字讀公式
①
對每一組資料，把
\(x\) 的離均差（\(x\) 的值與 \(x\) 的平均數的差）
②
乘上
\(y\) 的離均差（\(y\) 的值與 \(y\) 的平均數的差）
，
③
再把這些乘積
全部加起來 \(\displaystyle\sum\)
，
④
除以
\(n\)：資料組數
，
⑤
就得到
\(s_{xy}\)：共變異數
。
簡單範例
5 個人的讀書時間 \(x\)（小時）是 1, 2, 3, 4, 5，小考分數 \(y\)（分）是 2, 4, 4, 4, 6（平均數 \(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\)）時
\(s_{xy}\)：共變異數
\(=\)
離均差乘積的總和（8）
\(\div\)
組數（5 組）
\((-2)(-2) + (-1)(0) + (0)(0) + (1)(0) + (2)(2) = 4 + 0 + 0 + 0 + 4 = 8\)
\(s_{xy} = 8 \div 5 = 1.6\)
思考重點
共變異數是把「兩組資料一起變動的傾向」化為數字。\(x\)、\(y\) 同時大於平均數（＋×＋）或同時小於平均數（−×−）的組越多，乘積的總和就是正的；只有其中一個大於平均數（＋×−）的組越多，總和就是負的。
所以共變異數為正，代表「\(x\) 越大，\(y\) 也越大」的傾向（散布圖往右上升）；為負，代表「\(x\) 越大，\(y\) 越小」的傾向（往右下降）；接近 0，代表「沒有明顯的傾向」。
分母和本頁的變異數一樣是資料組數 \(n\)（母體的式子，和台灣高中課本相同）。統計軟體中也有除以 \(n-1\) 的「樣本共變異數」，Excel 用函數名稱來區分（請見 Excel 章節）。
相關係數 \(r\)
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(r\)
\(=\)
\(s_{xy}\)
\(\div\)
\((\)
\(s_x\)
\(\times\)
\(s_y\)
\()\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(r\)：相關係數
\(=\)
①
\(s_{xy}\)：共變異數
\(\div\)
\((\)
②
\(s_x\)：\(x\) 的標準差
\(\times\)
③
\(s_y\)：\(y\) 的標準差
\()\)
用文字讀公式
①
把
\(s_{xy}\)：共變異數
②
除以
\(s_x\)：\(x\) 的標準差
③
與
\(s_y\)：\(y\) 的標準差
的乘積，
④
就得到
\(r\)：相關係數
（\(r\) 一定在 \(-1\) 到 \(1\) 之間）。
簡單範例
以剛才讀書時間與分數的例子（\(s_{xy} = 1.6\)、\(s_x = \sqrt{2}\)、\(s_y = \sqrt{1.6}\)）來算
\(r\)：相關係數
\(=\)
共變異數（1.6）
\(\div\)
\((\)
\(\sqrt{2}\)
\(\times\)
\(\sqrt{1.6}\)
\()\)
\(s_x \times s_y = \sqrt{2} \times \sqrt{1.6} = \sqrt{3.2} \approx 1.789\)
\(r = 1.6 \div 1.789 \approx 0.894\)
思考重點
共變異數很好用，但會受單位影響（把時間從「小時」改成「分鐘」，值就變成 60 倍）。把共變異數除以 \(x\)、\(y\) 的標準差，就變成不受單位影響、介於 \(-1\) 到 \(1\) 的數，這就是相關係數 \(r\)。
\(r\) 越接近 \(1\)，正相關越強（越接近往右上升的直線）；越接近 \(-1\)，負相關越強（越接近往右下降的直線）；越接近 \(0\)，直線關係越弱。本頁使用的參考標準是：\(0.7 \le |r|\) 為高度相關，\(0.4 \le |r| < 0.7\) 為中度相關，\(0.2 \le |r| < 0.4\) 為低度相關，\(|r| < 0.2\) 為幾乎沒有相關（分界值依課本與領域而不同）。
要注意的是，相關係數衡量的只有「直線關係」。像 U 字形的關係，即使有關係，\(r\) 也可能接近 0。相關係數也很容易受離群值影響，記得搭配散布圖確認。另外，「有相關」不等於有因果關係（一方是另一方的原因）。
迴歸直線（最小平方法）\(y = ax + b\)
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(a\)
\(=\)
\(s_{xy}\)
\(\div\)
\(s_x^{2}\)
\(b\)
\(=\)
\(\bar{y}\)
\(-\)
\(a\,\bar{x}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(a\)：迴歸直線的斜率
\(=\)
①
\(s_{xy}\)：共變異數
\(\div\)
②
\(s_x^2\)：\(x\) 的變異數
⑥
\(b\)：迴歸直線的截距
\(=\)
④
\(\bar{y}\)：\(y\) 的平均數
\(-\)
⑤
斜率 \(a\) × \(x\) 的平均數 \(\bar{x}\)
用文字讀公式
①
把
\(s_{xy}\)：共變異數
②
除以
\(s_x^2\)：\(x\) 的變異數
，
③
就得到
\(a\)：迴歸直線的斜率
。
④
從
\(\bar{y}\)：\(y\) 的平均數
⑤
減去
斜率 \(a\) 與 \(x\) 的平均數 \(\bar{x}\) 的乘積
，
⑥
就得到
\(b\)：迴歸直線的截距
。
簡單範例
以剛才的例子（\(s_{xy} = 1.6\)、\(s_x^2 = 2\)、\(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\)）來算
斜率 \(a\)
\(=\)
共變異數（1.6）
\(\div\)
\(x\) 的變異數（2）
\(a = 1.6 \div 2 = 0.8\)
\(b = 4 - 0.8 \times 3 = 1.6\)
\(y = 0.8x + 1.6\)
思考重點
迴歸直線是最符合散布圖上一群點的直線。它的決定方式是：讓每個點和直線之間的垂直誤差平方後加起來的總和最小。這種決定直線的方法稱為最小平方法（需要的計算只有上面的除法和減法）。
迴歸直線一定會通過平均點 \((\bar{x},\ \bar{y})\)，可以在本頁的散布圖上確認。
台灣的高中課本常把迴歸直線寫成 \(y - \bar{y} = r \times \dfrac{s_y}{s_x}(x - \bar{x})\)。因為 \(a = \dfrac{s_{xy}}{s_x^2} = r \times \dfrac{s_y}{s_x}\)，所以和本頁的 \(y = ax + b\) 是同一條直線。
用迴歸直線就能做預測，例如「讀書 3.5 小時，分數大約是 \(0.8 \times 3.5 + 1.6 = 4.4\) 分」。不過，把直線延伸到資料範圍之外很遠的預測並不可靠；相關很弱時，用直線預測也沒有什麼意義。
相關係數的求法依序是：(1) 求出 \(x\)、\(y\) 各自的平均數 →(2) 把離均差的乘積 \((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) 全部加起來，除以組數 \(n\)，得到共變異數 \(s_{xy}\) →(3) 把共變異數除以 \(x\)、\(y\) 的標準差的乘積。\(r\) 一定在 \(-1\) 到 \(1\) 之間，越接近 \(1\) 表示往右上升的直線關係越強，越接近 \(-1\) 表示往右下降的直線關係越強。
符號與用語解說
符號
| \(x_i,\ y_i\) | x 下標 i、y 下標 i | 第 \(i\) 組資料的 \(x\) 值與 \(y\) 值。（例：第 3 個人的讀書時間 \(x_3\) 與分數 \(y_3\)）。\(i\) 是常用來表示編號（index）的文字。 |
| \(n\) | n | 資料組數，是英文 number（數）的第一個字母。（例：5 個人的成對資料，\(n = 5\)） |
| \(\bar{x},\ \bar{y}\) | x bar、y bar | \(x\)、\(y\) 各自的平均數。文字上方的橫線（bar）是表示「平均」的慣用符號。台灣高中課本也寫成 \(\mu_x,\ \mu_y\)。 |
| \(x_i - \bar{x}\) | x 下標 i 減 x bar | \(x\) 的離均差，表示每筆資料離 \(x\) 的平均數有多遠。\(y_i - \bar{y}\) 是 \(y\) 的離均差。 |
| \(s_{xy}\) | s 下標 xy | \(x\) 與 \(y\) 的共變異數，是離均差乘積的平均，表示兩組資料一起變動的傾向。\(s\) 是表示和標準差（standard deviation）同類統計量的慣用文字。 |
| \(s_x,\ s_y\) | s 下標 x、s 下標 y | \(x\)、\(y\) 各自的標準差（分散程度的大小），是變異數的平方根。台灣高中課本也寫成 \(\sigma_x,\ \sigma_y\)。 |
| \(s_x^2,\ s_y^2\) | s 下標 x 平方、s 下標 y 平方 | \(x\)、\(y\) 各自的變異數，是離均差平方的平均（除以 \(n\)）。 |
| \(r\) | r | 相關係數，據說來自英文 correlation（相關）或 relation（關係）的 \(r\)。一定介於 \(-1\) 到 \(1\) 之間。 |
| \(\sum\) | sigma（連加符號） | 表示「全部加起來」的符號。\(\sum_{i=1}^{n}\) 讀作「從 \(i = 1\) 加到 \(n\)」。 |
| \(a,\ b\) | a、b | 迴歸直線 \(y = ax + b\) 的斜率與截距，和一次函數的符號相同。 |
用語
| 相關 | 一方增加時另一方也增加（或減少），兩組資料之間直線關係的傾向。關係越強，散布圖上的點越接近排成一條直線。 |
| 正相關 | \(x\) 增加時 \(y\) 也增加的傾向。散布圖往右上升，相關係數為正。 |
| 負相關 | \(x\) 增加時 \(y\) 減少的傾向。散布圖往右下降，相關係數為負。 |
| 相關係數 | 用 \(-1\) 到 \(1\) 的一個數值表示相關強度與方向的指標（也稱為皮爾森相關係數）。由共變異數除以 \(x\)、\(y\) 的標準差的乘積求出。因為不受單位影響，不同的資料之間也能比較強弱。 |
| 共變異數 | \(x\) 的離均差與 \(y\) 的離均差乘積的平均。為正表示往右上升的傾向，為負表示往右下降的傾向。本頁和台灣高中課本一樣除以組數 \(n\)。 |
| 散布圖 | 把成對資料 \((x,\ y)\) 當作坐標平面上的點畫出來的圖。從點的排列方式，一眼就能看出相關的方向與強弱。 |
| 變量 | 像身高、分數、氣溫這樣，當作資料來測量的量。本頁調查 \(x\) 與 \(y\) 這「兩個變量」的關係。 |
| 離均差 | 每筆資料與平均數的差。正數表示比平均數大，負數表示比平均數小。共變異數、變異數、標準差都是由離均差算出來的。 |
| 變異數 | 離均差平方的平均，表示資料分散程度的大小。出現在迴歸直線斜率的分母。 |
| 標準差 | 變異數的平方根。單位和資料相同，很適合當作分散程度的參考。出現在相關係數的分母。 |
| 迴歸直線 | 最符合散布圖上一群點的直線 \(y = ax + b\)，也稱為最適直線。用來由 \(x\) 的值預測 \(y\) 的值。 |
| 最小平方法 | 讓每個點與直線之間的垂直誤差平方後加起來的值最小，以此決定直線斜率與截距的方法。迴歸直線就是用這個方法決定的直線。 |
| 離群值 | 和其他點相差很遠的值。相關係數很容易受離群值影響，所以基本上要搭配散布圖一起確認。 |
| 相關關係 | 兩個量一起變動（一方增加時，另一方也增加或減少）的關係。即使有相關，也不一定是一方為原因、另一方為結果（因果關係），可能只是背後有共同的原因（第三個因素）。 |
| 因果關係 | 一方是原因、另一方是它的結果的關係。只有相關關係（一起變動），並不能說有因果關係，可能只是背後有共同的原因（第三個因素）。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的捷徑。
| 平均數（國小高年級、國中七年級） |
|
| 正負數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 坐標與一次函數（國中七年級～八年級，12～14 歲） |
|
| 平方根（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 數據分析（高一「一維數據分析」「二維數據分析」，15～16 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「共變異數 s_xy」的表格
| 第 1 組的 x | 1 |
| 第 2 組的 x | 2 |
| 第 3 組的 x | 3 |
| 第 4 組的 x | 4 |
| 第 5 組的 x | 5 |
| 第 1 組的 y | 2 |
| 第 2 組的 y | 4 |
| 第 3 組的 y | 4 |
| 第 4 組的 y | 4 |
| 第 5 組的 y | 6 |
| 共變異數 s_xy（除以 n） | =COVARIANCE.P(B1:B5,B6:B10) |
| （參考）除以 n−1 的樣本共變異數 | =COVARIANCE.S(B1:B5,B6:B10) |
求「相關係數 r」的表格
| 第 1 組的 x | 1 |
| 第 2 組的 x | 2 |
| 第 3 組的 x | 3 |
| 第 4 組的 x | 4 |
| 第 5 組的 x | 5 |
| 第 1 組的 y | 2 |
| 第 2 組的 y | 4 |
| 第 3 組的 y | 4 |
| 第 4 組的 y | 4 |
| 第 5 組的 y | 6 |
| 相關係數 r | =CORREL(B1:B5,B6:B10) |
| （參考）用 PEARSON 函數也是相同的值 | =PEARSON(B1:B5,B6:B10) |
求「迴歸直線 y = ax + b」的表格
| 第 1 組的 x | 1 |
| 第 2 組的 x | 2 |
| 第 3 組的 x | 3 |
| 第 4 組的 x | 4 |
| 第 5 組的 x | 5 |
| 第 1 組的 y | 2 |
| 第 2 組的 y | 4 |
| 第 3 組的 y | 4 |
| 第 4 組的 y | 4 |
| 第 5 組的 y | 6 |
| 斜率 a | =SLOPE(B6:B10,B1:B5) |
| 截距 b | =INTERCEPT(B6:B10,B1:B5) |
求「平均數、變異數、標準差（除以 n）」的表格
| 第 1 組的 x | 1 |
| 第 2 組的 x | 2 |
| 第 3 組的 x | 3 |
| 第 4 組的 x | 4 |
| 第 5 組的 x | 5 |
| 第 1 組的 y | 2 |
| 第 2 組的 y | 4 |
| 第 3 組的 y | 4 |
| 第 4 組的 y | 4 |
| 第 5 組的 y | 6 |
| x 的平均數 x̄ | =AVERAGE(B1:B5) |
| y 的平均數 ȳ | =AVERAGE(B6:B10) |
| x 的變異數 s_x² | =VARP(B1:B5) |
| x 的標準差 s_x | =STDEVP(B1:B5) |
| y 的變異數 s_y² | =VARP(B6:B10) |
| y 的標準差 s_y | =STDEVP(B6:B10) |
貼上後，B1～B5 是 x 的輸入欄，B6～B10 是 y 的輸入欄，綠色粗體的儲存格會自動算出結果。
第 1 個表格的共變異數是 1.6（樣本共變異數是 2），第 2 個表格的相關係數約為 0.8944，第 3 個表格算出斜率 0.8、截距 1.6。
請注意，共變異數的函數有 2 種。COVARIANCE.P 是「除以 n」的共變異數（和本計算機、台灣高中課本相同），COVARIANCE.S 是「除以 n − 1」的樣本共變異數。在舊版 Excel（2007 以前），請改用 COVAR 代替 COVARIANCE.P。
CORREL 和 PEARSON 算出的相關係數相同（r 不論除以 n 或 n − 1 都一樣，所以不必選擇）。
SLOPE 和 INTERCEPT 的引數順序是「y 的範圍，x 的範圍」（注意 x 不是放在前面）。
想改變資料組數時，請增加（或減少）數值的列數，再把公式中的「B1:B5」「B6:B10」改成實際的資料範圍。
第 1 個表格的共變異數是 1.6（樣本共變異數是 2），第 2 個表格的相關係數約為 0.8944，第 3 個表格算出斜率 0.8、截距 1.6。
請注意，共變異數的函數有 2 種。COVARIANCE.P 是「除以 n」的共變異數（和本計算機、台灣高中課本相同），COVARIANCE.S 是「除以 n − 1」的樣本共變異數。在舊版 Excel（2007 以前），請改用 COVAR 代替 COVARIANCE.P。
CORREL 和 PEARSON 算出的相關係數相同（r 不論除以 n 或 n − 1 都一樣，所以不必選擇）。
SLOPE 和 INTERCEPT 的引數順序是「y 的範圍，x 的範圍」（注意 x 不是放在前面）。
想改變資料組數時，請增加（或減少）數值的列數，再把公式中的「B1:B5」「B6:B10」改成實際的資料範圍。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「共變異數 s_xy」的表格
| 第 1 組的 x | 1 |
| 第 2 組的 x | 2 |
| 第 3 組的 x | 3 |
| 第 4 組的 x | 4 |
| 第 5 組的 x | 5 |
| 第 1 組的 y | 2 |
| 第 2 組的 y | 4 |
| 第 3 組的 y | 4 |
| 第 4 組的 y | 4 |
| 第 5 組的 y | 6 |
| 共變異數 s_xy（除以 n） | =COVAR(B1:B5,B6:B10) |
求「相關係數 r」的表格
| 第 1 組的 x | 1 |
| 第 2 組的 x | 2 |
| 第 3 組的 x | 3 |
| 第 4 組的 x | 4 |
| 第 5 組的 x | 5 |
| 第 1 組的 y | 2 |
| 第 2 組的 y | 4 |
| 第 3 組的 y | 4 |
| 第 4 組的 y | 4 |
| 第 5 組的 y | 6 |
| 相關係數 r | =CORREL(B1:B5,B6:B10) |
求「迴歸直線 y = ax + b」的表格
| 第 1 組的 x | 1 |
| 第 2 組的 x | 2 |
| 第 3 組的 x | 3 |
| 第 4 組的 x | 4 |
| 第 5 組的 x | 5 |
| 第 1 組的 y | 2 |
| 第 2 組的 y | 4 |
| 第 3 組的 y | 4 |
| 第 4 組的 y | 4 |
| 第 5 組的 y | 6 |
| 斜率 a | =SLOPE(B6:B10,B1:B5) |
| 截距 b | =INTERCEPT(B6:B10,B1:B5) |
可以直接使用和 Excel 幾乎相同的函數。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把 B1～B10 改成自己的數值即可。
在 Google 試算表中，「除以 n」的共變異數用 COVAR 函數求出（和本計算機的定義相同；用 COVARIANCE.P 這個名稱也能呼叫同一個函數）。相關係數和 Excel 一樣用 CORREL。
在 Google 試算表中，「除以 n」的共變異數用 COVAR 函數求出（和本計算機的定義相同；用 COVARIANCE.P 這個名稱也能呼叫同一個函數）。相關係數和 Excel 一樣用 CORREL。
用 Python 計算的方法
import statistics
xs = [1, 2, 3, 4, 5] # x 的資料（例：讀書時間）
ys = [2, 4, 4, 4, 6] # y 的資料（例：小考分數）
n = len(xs)
mean_x = statistics.mean(xs) # x 的平均數
mean_y = statistics.mean(ys) # y 的平均數
# 共變異數 s_xy（母體的式子：除以 n）
covariance = sum((x - mean_x) * (y - mean_y) for x, y in zip(xs, ys)) / n
sd_x = statistics.pstdev(xs) # x 的標準差（除以 n）
sd_y = statistics.pstdev(ys) # y 的標準差（除以 n）
r = covariance / (sd_x * sd_y) # 相關係數
slope = covariance / statistics.pvariance(xs) # 迴歸直線的斜率 a
intercept = mean_y - slope * mean_x # 迴歸直線的截距 b
print(f"共變異數 s_xy：{covariance}")
print(f"相關係數 r：{r}")
# 截距可能出現浮點數誤差（1.5999...），所以四捨五入到有效數字 10 位
print(f"迴歸直線：y = {slope:.10g}x + {intercept:.10g}")
只用標準函式庫（statistics 模組）就能執行。開頭有「p」的 pstdev、pvariance 是除以 n。執行這個例子，會顯示共變異數 1.6、相關係數 0.894…，以及迴歸直線 y = 0.8x + 1.6。在 Python 3.10 以後，statistics.correlation(xs, ys) 也能算出相同的相關係數（r 不論除以 n 或 n − 1 都一樣）。不過 statistics.covariance(xs, ys) 是除以 n − 1 的樣本共變異數，想和本頁的共變異數一致時，請像上面的例子那樣計算。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
共變異數 \(s_{xy}\)
s_xy = {(x₁ − x̄)(y₁ − ȳ) + … + (xₙ − x̄)(yₙ − ȳ)} ÷ n
s_{xy} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mrow>
<mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo>−</mo><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover><mo>)</mo>
<mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mi>i</mi></msub><mo>−</mo><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover><mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
s_(xy) = (1/n) sum_(i=1)^n (x_i - bar x)(y_i - bar y)
Covariance[xdata, ydata]*(Length[xdata] - 1)/Length[xdata] (* Covariance 是除以 n-1，所以換算成除以 n 的值 *)
s_xy := add((x[i] - x_bar)*(y[i] - y_bar), i = 1 .. n)/n;
s_xy = mean((x - mean(x)).*(y - mean(y)));
s_xy = (1/n) ∑_(i=1)^n (x_i − x̄)(y_i − ȳ)
相關係數 \(r\)
r = s_xy ÷ (s_x × s_y)
r = \dfrac{s_{xy}}{s_x\, s_y}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<mrow><msub><mi>s</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>s</mi><mi>y</mi></msub></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
r = s_(xy) / (s_x s_y)
Correlation[xdata, ydata]
r := s_xy/(s_x*s_y);
R = corrcoef(x, y); r = R(1, 2);
r = s_xy/(s_x s_y)
迴歸直線（最小平方法）\(y = ax + b\)
y = ax + b, a = s_xy ÷ s_x², b = ȳ − a·x̄
y = ax + b, \quad a = \dfrac{s_{xy}}{s_x^{2}}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi>
<mo>,</mo><mspace width="1em"/>
<mi>a</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<msubsup><mi>s</mi><mi>x</mi><mn>2</mn></msubsup>
</mfrac>
<mo>,</mo><mspace width="1em"/>
<mi>b</mi><mo>=</mo>
<mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover>
</mrow>
</math>
y = a x + b, a = s_(xy)/s_x^2, b = bar y - a bar x
lm = LinearModelFit[Transpose[{xdata, ydata}], t, t]; lm["BestFitParameters"]
a := s_xy/s_x^2; b := y_bar - a*x_bar;
p = polyfit(x, y, 1); % p(1) 為斜率 a，p(2) 為截距 b
y = ax + b, a = s_xy/s_x^2, b = ȳ − ax̄
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是統計計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。 請針對下列成對資料，分別求出以下各值。 x：1, 2, 3, 4, 5 y：2, 4, 4, 4, 6 1. x 和 y 的平均數，以及除以 n 的變異數與標準差 2. 共變異數 s_xy（離均差乘積的總和除以組數 n；不要除以 n − 1） 3. 相關係數 r 4. 迴歸直線 y = ax + b（最小平方法）的斜率 a 與截距 b 請列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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