請輸入式 (1)、式 (2) 的係數和等號右邊的數。下方的式子和輸入欄連動，直接改寫數字的部分也能計算。
數值請用半形輸入，可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。x、y 的係數空白時當作 1（x 就是 1x），等號右邊空白時當作 0。不用的項請輸入 0。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄輸入兩個式子的係數，按下「計算」，計算過程和圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入係數和等號右邊的數，就能馬上解出二元一次聯立方程式 \(ax + by = c,\ dx + ey = f\)。計算機會顯示和手寫一樣的聯立式子，也可以直接改寫數字的部分來計算
- 解法可以選加減消去法（讓係數相同後兩式相加減）或代入消去法（化成 \(y = \) 的形式後代入），並顯示和國中課本相同步驟的計算過程
- 係數除了小數、負數，也可以輸入 3/4 這樣的分數（分數、小數係數會從「兩邊同乘以某數化成整數」開始顯示計算過程）
- 除了恰有一組解的情況，無解（兩直線平行）、無限多解（同一條直線）的情況也會附上理由判定。答案以約分好的分數（精確值）顯示，是分數時也會附上小數。還能看到兩條直線的圖形（交點＝解），以及代入兩個式子的驗算
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
適用於把兩個含 2 個未知數（x、y）的一次方程式組成一組的「二元一次聯立方程式」。不支援 3 個以上未知數的聯立，或含平方項的聯立。
這個計算有什麼用？
求兩種商品的單價（購物、會計）
像「蘋果 1 顆和橘子 1 顆共 NT$50，蘋果 2 顆和橘子 1 顆共 NT$80」這樣，只知道合計金額的收據有 2 張時，把蘋果設為 \(x\) 元、橘子設為 \(y\) 元，就能列出 \(x + y = 50\)、\(2x + y = 80\) 的聯立方程式，算出蘋果 30 元、橘子 20 元的單價。
「沒寫個別價格，但知道組合的合計」這種情況，在會計拆分明細或分析估價單時也常出現，是聯立方程式最經典的應用。
求資費方案的分界點（手機、電費、訂閱）
月租 NT$150 加每 GB NT$50 的方案 A，和月租 NT$300 加每 GB NT$20 的方案 B，把月費設為 \(y\) 元、上網用量設為 \(x\) GB，就是 \(y = 50x + 150\)、\(y = 20x + 300\) 兩個式子，聯立求解就知道 \(x = 5\)（GB）時月費同樣是 400 元。
也就是說「用量超過 5 GB 就選方案 B 比較划算」。求兩直線交點＝分界點的計算，比較電費或訂閱方案時也能同樣使用（假設費用隨用量成比例增加的方案）。
求走路和跑步的距離（上學、通勤）
從家到車站 1,500 m。以分速 60 m 走路，中途改以分速 150 m 跑步，15 分鐘到達時，把走路的距離設為 \(x\) m、跑步的距離設為 \(y\) m，可以列出距離的式子 \(x + y = 1500\) 和時間的式子 \(\dfrac{x}{60} + \dfrac{y}{150} = 15\)。解得走路 500 m、跑步 1,000 m。
「合計」和「由分配決定的另一個量（時間、費用等）」兩個條件湊齊，就會變成聯立方程式——這個題型不只用在速率問題，用途很廣。
混合不同濃度溶液的配方計算（烹飪、製造、農業）
想把濃度 5% 和 10% 的食鹽水混合，做出 300 g 的 8% 食鹽水時，把 5% 的設為 \(x\) g、10% 的設為 \(y\) g，可以列出總量的式子 \(x + y = 300\) 和食鹽量的式子 \(0.05x + 0.1y = 24\)（300 g 的 8%＝24 g），解得 5% 的 120 g、10% 的 180 g。
稀釋漂白水、調配消毒液或肥料、金屬合金等，「把 2 種材料混合成目標濃度」的場合，廣泛使用這個計算。
求損益兩平點（開店、商業）
一個賣 NT$200 的商品，材料費一個 NT$120，每月房租等固定費用 24,000 元時，把每月銷售數設為 \(x\) 個、金額設為 \(y\) 元，求營收的式子 \(y = 200x\) 和費用的式子 \(y = 120x + 24000\) 的交點，得 \(x = 300\) 個、\(y = 6\) 萬元。就知道每月 300 個是賺錢和虧錢的分界（損益兩平點）。
這是擬定事業計畫或訂價時最先確認的數字之一，內容就是聯立方程式本身（前提是售價和成本不隨數量改變）。
公式與圖形
二元一次聯立方程式與它的解
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(ax + by\)
\(=\)
\(c\)
\(dx + ey\)
\(=\)
\(f\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
式 (1) 的左式（\(x\) 項與 \(y\) 項的和）
\(=\)
②
式 (1) 右式的常數 \(c\)
③
式 (2) 的左式（\(x\) 項與 \(y\) 項的和）
\(=\)
④
式 (2) 右式的常數 \(f\)
用文字讀公式
①
式 (1) 的左式（\(x\) 項與 \(y\) 項的和）
等於
②
式 (1) 右式的常數 \(c\)
，以及
③
式 (2) 的左式（\(x\) 項與 \(y\) 項的和）
等於
④
式 (2) 右式的常數 \(f\)
，能讓這兩個式子同時成立的 \(x,\ y\)，就稱為「解」
簡單範例
以 (1) \(x + y = 5\)、(2) \(2x - y = 1\) 為例，能讓兩式同時成立的只有 \(x = 2,\ y = 3\) 這一組：
式 (1) 的左式 \(x + y\)
\(=\)
式 (1) 的右式 \(5\)
式 (2) 的左式 \(2x - y\)
\(=\)
式 (2) 的右式 \(1\)
\(x = 2,\ y = 3\)
\(2 + 3 = 5\)
\(2 \times 2 - 3 = 1\)
思考重點
只有 \(x + y = 5\) 一個式子時，能讓它成立的組合有 \((1,\ 4)\)、\((2,\ 3)\)、\((0.5,\ 4.5)\)……無限多組。再加上「另一個式子也要同時成立」的條件，答案就被縮小到一組。
用圖形來想，讓一個式子成立的點會形成一條直線，聯立方程式的解就是「兩條直線相交的點（交點）」的座標。所以兩直線平行就無解，兩直線完全重合就有無限多解。
加減消去法（讓係數相同後兩式相減）
數學寫法
（一般的數學式）
\((ax + by)\)
\(-\)
\((ax + ey)\)
\(=\)
\(c - f\)
\((b - e)y\)
\(=\)
\(c - f\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
式 (1) 的左式
\(-\)
②
式 (2) 的左式（\(x\) 的係數已和式 (1) 相同）
\(=\)
③
兩個右式的差 \(c - f\)
④
\(x\) 消失、只剩 \(y\) 的式子
\(=\)
兩個右式的差 \(c - f\)
用文字讀公式
①
先讓兩式 \(x\) 的係數相同，從
式 (1) 的左式
②
減去
\(x\) 的係數已和式 (1) 相同的式 (2) 左式
（兩個右式也同樣相減），
③
右式會是
兩個右式的差 \(c - f\)
，
④
左式的 \(ax\) 互相抵消，只留下
\(x\) 消失、只剩 \(y\) 的式子
。接著兩邊同除以 \(y\) 的係數，就能求出 \(y\)
簡單範例
消去 (1) \(x + y = 5\)、(2) \(2x - y = 1\) 的 \(y\)。\(y\) 的係數是 \(+1\) 和 \(-1\)（絕對值相同、正負號相反），不必再調整，直接兩式相加：
式 (1) 的左式 \(x + y\)
\(+\)
式 (2) 的左式 \(2x - y\)
\(=\)
兩個右式的和 \(5 + 1\)
\((x + y) + (2x - y) = 5 + 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
思考重點
要相減還是相加，看「調整後係數的正負號」決定。調整後的係數同號（\(+2\) 和 \(+2\) 等）就兩式相減，異號（\(+2\) 和 \(-2\) 等）就兩式相加，那個未知數就會消失。
係數不同時，把式子兩邊同乘以某數來調整。例如 \(x\) 的係數是 2 和 3，就為了化成最小公倍數 6，做 (1) ×3、(2) ×2。「兩邊同乘以一個數」「左式和左式、右式和右式相加減」，都是根據等量公理（兩邊做同樣的操作仍然相等）的變形，所以答案不會變。
消去 \(x\) 或 \(y\) 都可以，訣竅是消去調整係數比較省事的那一個。
代入消去法（化成 \(y = \) 的形式後代入）
數學寫法
（一般的數學式）
\(y\)
\(=\)
\(px + q\)
\(dx + e(px + q)\)
\(=\)
\(f\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
把式 (1) 變形求出的 \(y\)
\(=\)
②
只有 \(x\) 的式子 \(px + q\)
③
把 \(px + q\) 代入 \(y\)，只剩 \(x\) 的式 (2) 左式
\(=\)
④
式 (2) 右式的常數 \(f\)
用文字讀公式
①
用移項和除法把式 (1) 變形，把
把式 (1) 變形求出的 \(y\)
②
表示成
只有 \(x\) 的式子 \(px + q\)
的形式，
③
再把它放到式 (2) 中 \(y\) 的位置（代入），式 (2) 的左式就變成
只剩 \(x\) 的式 (2) 左式
。
④
接著解「它等於
式 (2) 右式的常數 \(f\)
」這個「只有 \(x\) 的一元一次方程式」，就能求出 \(x\)；再把 \(x\) 代入 \(px + q\)，就能求出 \(y\)
簡單範例
對 (1) \(x + y = 5\)、(2) \(2x - y = 1\)，把式 (1) 對 \(y\) 求解得 \(y = 5 - x\)，再把它代入式 (2) 的 \(y\)：
把 \(5 - x\) 代入式 (2) 的 \(y\) 後的左式 \(2x - (5 - x)\)
\(=\)
式 (2) 的右式 \(1\)
\(2x - (5 - x) = 1\)
\(3x - 5 = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
思考重點
要把哪個式子對哪個未知數求解都可以。選係數是 1 或 \(-1\) 的未知數，變形時比較不會出現分數，計算比較輕鬆（這個計算機也是用同樣的標準選擇）。
代入時，重點是把整個式子加上括號再替換。去掉 \(2x - (5 - x)\) 的括號時弄錯正負號，是代入消去法最常見的錯誤。
加減消去法和代入消去法，都是「消去一個未知數，變成只有一個未知數的方程式」這個相同方針的不同路線，所以答案一定相同。像 \(y = 2x + 1\) 這樣，一開始就有 \(y = \) 形式的式子時，適合用代入消去法。
一次求出解的公式，以及無解、無限多解的判定
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(x\)
\(=\)
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
\(y\)
\(=\)
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
解的 \(x\)
\(=\)
①
係數交叉相乘再相減的分數 \(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
④
解的 \(y\)
\(=\)
③
係數交叉相乘再相減的分數 \(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
用文字讀公式
①
分母是 \(a\) 和 \(e\)、\(b\) 和 \(d\)，分子是 \(c\) 和 \(e\)、\(b\) 和 \(f\) 交叉相乘再相減，計算
由係數組成的分數 \(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
，
②
就得到
解的 \(x\)
；
③
分母不變、只把分子換成 \(af - cd\)，計算
由係數組成的分數 \(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
，
④
就得到
解的 \(y\)
簡單範例
以 (1) \(x + y = 5\)、(2) \(2x - y = 1\)（\(a = 1,\ b = 1,\ c = 5,\ d = 2,\ e = -1,\ f = 1\)）為例：
解的 \(x\)
\(=\)
由係數組成的分數 \(\dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{1 \times (-1) - 1 \times 2}\)
\(ae - bd = 1 \times (-1) - 1 \times 2 = -3\)
\(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd} = \dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2\)
\(y = \dfrac{af - cd}{ae - bd} = \dfrac{1 \times 1 - 5 \times 2}{-3} = \dfrac{-9}{-3} = 3\)
思考重點
分母 \(ae - bd\) 不是 0 時，解恰好只有一組。這個公式稱為克拉瑪公式，是把用加減消去法消去未知數的結果，直接用係數的文字整理出來的公式。
分母 \(ae - bd = 0\) 時不能除，解不只一組或沒有解。這時兩個式子的左式成比例（＝兩直線的斜率相同），如果右式也是同樣的比，就是同一條直線（無限多解）；只有右式的比不同，就是平行（無解）。用式子來說，分子的 \(ce - bf\) 和 \(af - cd\) 也都是 0 就是無限多解，否則就是無解。
這個公式在驗算，或用試算表一次解很多聯立方程式時很方便；但在國中考試的答案卷上，基本上還是要寫加減消去法、代入消去法的計算過程。
解聯立方程式的基本方針是「消去一個未知數，變成只有一個未知數的方程式」。加減消去法是讓係數相同後兩式相加減來消去，代入消去法是化成 \(y = \) 的形式後代入來消去，兩種方法答案都一樣。解不只一組或沒有解時，不是兩直線平行（無解），就是同一條直線（無限多解）。
符號與用語解說
符號
| \(x,\ y\) | x、y | 表示要求的 2 個數（未知數）的文字。方程式中習慣用字母表後面的字母 \(x,\ y,\ z\) 表示「還不知道的數」。 |
| \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) | a、b、c、d、e、f | 一般化地表示係數和右式常數（已知的數）的文字。「固定的數」習慣用字母表前面的字母。這個頁面把式 (1) 寫成 \(ax + by = c\)、式 (2) 寫成 \(dx + ey = f\)。 |
| (1)、(2) | 式 (1)、式 (2) | 式子的編號。用來像「(1) ×2」「(1) + (2)」這樣，簡短寫出對哪個式子做了什麼操作。課本和答案卷上也會這樣寫。 |
| \(\{\) | 大括號 | 加在聯立方程式左邊的大括號，表示「讓這兩個式子同時成立」，代表兩個式子是一組。 |
| \(ae - bd\) | ae 減 bd | 出現在一次求出解的公式分母中，係數交叉相乘再相減的值。是不是 0，決定了「解是否恰有一組」。用矩陣的說法，就是把係數排成矩陣的行列式。 |
| \((x,\ y)\) | 數對 (x, y) | 把 2 個值寫成一組的寫法。聯立方程式的解是 \(x\) 和 \(y\) 的組合，所以寫成 \((2,\ 3)\) 這樣的數對。和圖形上點的座標寫法相同。 |
用語
| 聯立方程式 | 把 2 個以上的方程式（例如二元一次方程式）組成一組，求出讓所有式子同時成立的未知數的值。台灣在國中七年級學習。 |
| 二元一次方程式 | 有 2 個未知數（元），而且每一項都是一次（沒有平方，也沒有未知數彼此相乘）的方程式。「元」表示未知數的個數，「次」表示未知數的最高次數。\(x + y = 5\) 是二元一次方程式。 |
| 解 | 使方程式成立的未知數的值。聯立方程式的解是 \(x\) 和 \(y\) 的值的組合，在圖形上相當於兩直線交點的座標。 |
| 加減消去法 | 讓兩個式子的係數相同，再把左式和左式、右式和右式相加或相減，消去一個未知數來解的方法。 |
| 兩式相加減 | 把兩個等式的「左式和左式」「右式和右式」分別相加（或相減），用「=」連起來，做出新的等式。 |
| 代入消去法 | 把一個式子變形成「\(y = \)（\(x\) 的式子）」的形式，再把它代入另一個式子的 \(y\)，消去一個未知數來解的方法。 |
| 代入 | 把值或式子放到文字的位置。把 \(y = 5 - x\) 代入 \(2x - y = 1\)，會得到 \(2x - (5 - x) = 1\)。 |
| 消去 | 從式子中消掉 2 個未知數中的 1 個，變成只有 1 個未知數的方程式。加減消去法、代入消去法都是消去的手段。 |
| 移項 | 把等式的項變號後移到另一邊。把 \(x + 3 = 7\) 的 \(3\) 移項，會得到 \(x = 7 - 3\)。是「兩邊同減去一個數」的簡寫。 |
| 係數 | 文字前面的數。\(2x\) 的 2 就是係數。像 \(x\) 這樣沒寫數字的項，係數看成 1；\(-y\) 的係數看成 \(-1\)。 |
| 等量公理 | 等式兩邊同加、同減、同乘一個數，或同除以一個不是 0 的數，等式仍然成立的規則（日本稱為「等式的性質」）。就像天平兩邊放上同樣的重量仍然平衡。加減消去法、代入消去法的所有變形都以此為根據。 |
| 最小公倍數 | 兩個數共同的倍數中最小的一個。加減消去法讓係數相同時，作為目標的數（係數 2 和 3 就化成 6）。 |
| 平行 | 兩條直線無論延伸到哪裡都不相交。聯立方程式中，兩個式子的圖形平行時沒有交點，所以「無解」。 |
| 無限多解 | 解不只一組、有無限多組的情況（日本稱為「不定」）。兩個式子表示同一條直線時，直線上所有的點都是解。 |
| 交點 | 兩個圖形相交的點。聯立方程式的解，和兩個式子的圖形（兩條直線）交點的座標一致。 |
| 驗算 | 把求出的解代入原本的兩個式子，確認左式和右式是否真的相等。聯立方程式只要代入就能確認，養成驗算的習慣，就能自己發現計算錯誤。 |
| 克拉瑪公式 | 由係數直接算出解的公式，可以寫成 \(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd},\ y = \dfrac{af - cd}{ae - bd}\)。名稱來自瑞士數學家克拉瑪（Cramer）。台灣在高中學行列式時會學到，但二元一次的情況只用國中範圍的計算就能確認。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
卡住的時候，回到這裡的內容複習是最快的方法。
| 用文字表示的式子（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 正負數的計算（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 等量公理與一元一次方程式（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 直角座標與圖形（國中七～八年級，12～14 歲） |
|
| 分數的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「聯立方程式的解」的表
| 式 (1) x 的係數 a | 1 |
| 式 (1) y 的係數 b | 1 |
| 式 (1) 的右式 c | 5 |
| 式 (2) x 的係數 d | 2 |
| 式 (2) y 的係數 e | -1 |
| 式 (2) 的右式 f | 1 |
| 分母 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 解 x（(ce−bf)÷(ae−bd)） | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| 解 y（(af−cd)÷(ae−bd)） | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
「無解、無限多解的判定」表
| 式 (1) x 的係數 a | 1 |
| 式 (1) y 的係數 b | 1 |
| 式 (1) 的右式 c | 3 |
| 式 (2) x 的係數 d | 2 |
| 式 (2) y 的係數 e | 2 |
| 式 (2) 的右式 f | 6 |
| 分母 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 分子 ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| 分子 af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| 判定 | =IF(B7<>0,"恰有一組解",IF(AND(B8=0,B9=0),"無限多解","無解")) |
「驗算（代入兩個式子）」表
| 式 (1) x 的係數 a | 1 |
| 式 (1) y 的係數 b | 1 |
| 式 (1) 的右式 c | 5 |
| 式 (2) x 的係數 d | 2 |
| 式 (2) y 的係數 e | -1 |
| 式 (2) 的右式 f | 1 |
| 解 x | 2 |
| 解 y | 3 |
| 式 (1) 的左式 ax+by（和 c 相同就正確） | =B1*B7+B2*B8 |
| 式 (2) 的左式 dx+ey（和 f 相同就正確） | =B4*B7+B5*B8 |
貼上後，上面幾列（係數和右式）是輸入欄，下面幾列會自動算出結果。
第 1 個表是解 x + y = 5、2x − y = 1 的例子，分母 ae−bd 是 −3，解是 x = 2、y = 3。分母是 0 時除法會出現錯誤（#DIV/0!），這就是「解不只一組或沒有解」的訊號。
第 2 個表是 x + y = 3、2x + 2y = 6 的例子，判定是「無限多解」。把式 (2) 的右式 f 改成 10，就會變成「無解」（平行）。
第 3 個表是把解代入兩個式子的驗算，式 (1) 的左式是 5、式 (2) 的左式是 1，分別和各自的右式相同。
第 1 個表是解 x + y = 5、2x − y = 1 的例子，分母 ae−bd 是 −3，解是 x = 2、y = 3。分母是 0 時除法會出現錯誤（#DIV/0!），這就是「解不只一組或沒有解」的訊號。
第 2 個表是 x + y = 3、2x + 2y = 6 的例子，判定是「無限多解」。把式 (2) 的右式 f 改成 10，就會變成「無解」（平行）。
第 3 個表是把解代入兩個式子的驗算，式 (1) 的左式是 5、式 (2) 的左式是 1，分別和各自的右式相同。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「聯立方程式的解」的表
| 式 (1) x 的係數 a | 1 |
| 式 (1) y 的係數 b | 1 |
| 式 (1) 的右式 c | 5 |
| 式 (2) x 的係數 d | 2 |
| 式 (2) y 的係數 e | -1 |
| 式 (2) 的右式 f | 1 |
| 分母 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 解 x（(ce−bf)÷(ae−bd)） | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| 解 y（(af−cd)÷(ae−bd)） | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
「無解、無限多解的判定」表
| 式 (1) x 的係數 a | 1 |
| 式 (1) y 的係數 b | 1 |
| 式 (1) 的右式 c | 3 |
| 式 (2) x 的係數 d | 2 |
| 式 (2) y 的係數 e | 2 |
| 式 (2) 的右式 f | 6 |
| 分母 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 分子 ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| 分子 af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| 判定 | =IF(B7<>0,"恰有一組解",IF(AND(B8=0,B9=0),"無限多解","無解")) |
「驗算（代入兩個式子）」表
| 式 (1) x 的係數 a | 1 |
| 式 (1) y 的係數 b | 1 |
| 式 (1) 的右式 c | 5 |
| 式 (2) x 的係數 d | 2 |
| 式 (2) y 的係數 e | -1 |
| 式 (2) 的右式 f | 1 |
| 解 x | 2 |
| 解 y | 3 |
| 式 (1) 的左式 ax+by（和 c 相同就正確） | =B1*B7+B2*B8 |
| 式 (2) 的左式 dx+ey（和 f 相同就正確） | =B4*B7+B5*B8 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把係數和右式改成您自己的數值。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
# 式 (1)：a1*x + b1*y = c1
# 式 (2)：a2*x + b2*y = c2 （3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
a1, b1, c1 = Fraction(1), Fraction(1), Fraction(5)
a2, b2, c2 = Fraction(2), Fraction(-1), Fraction(1)
denominator = a1 * b2 - a2 * b1 # 公式的分母 ae − bd
if denominator != 0:
x = (c1 * b2 - c2 * b1) / denominator
y = (a1 * c2 - a2 * c1) / denominator
print(f"解: x = {x}, y = {y}")
print(f"化成小數: x = {float(x)}, y = {float(y)}")
elif c1 * b2 - c2 * b1 == 0 and a1 * c2 - a2 * c1 == 0:
print("無限多解（兩個式子表示同一條直線）")
else:
print("無解（兩條直線平行，沒有交點）")
使用標準函式庫的 fractions 模組，可以用沒有小數捨入誤差的精確分數來計算。這個例子是解 x + y = 5、2x − y = 1，執行後會顯示「解: x = 2, y = 3」。請改寫係數和右式後執行。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
二元一次聯立方程式與它的解
ax + by = c, dx + ey = f
\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd>
<mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>c</mi>
</mtd></mtr>
<mtr><mtd>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi>
</mtd></mtr>
</mtable>
</mrow>
</math>
{(ax + by = c),(dx + ey = f):}
Solve[{a*x + b*y == c, d*x + e*y == f}, {x, y}]
solve({a*x + b*y = c, d*x + e*y = f}, {x, y});
S = solve(a*x + b*y == c, d*x + e*y == f, [x, y])
ax + by = c, dx + ey = f
加減消去法（讓係數相同後兩式相減）
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi><mo>−</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
Simplify[(a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f]
(a*x + b*y) - (a*x + e*y) = c - f;
simplify((a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
代入消去法（化成 \(y = \) 的形式後代入）
y = px + q, dx + e(px + q) = f
y = px + q,\quad dx + e(px + q) = f
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<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi>
<mo>,</mo>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Solve[{y == p*x + q, d*x + e*y == f}, {x, y}]
subs(y = p*x + q, d*x + e*y = f);
subs(d*x + e*y == f, y, p*x + q)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
一次求出解的公式，以及無解、無限多解的判定
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
x = \frac{ce - bf}{ae - bd},\quad y = \frac{af - cd}{ae - bd}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>f</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>f</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (ce - bf)/(ae - bd), y = (af - cd)/(ae - bd)
{x, y} = {(c*e - b*f)/(a*e - b*d), (a*f - c*d)/(a*e - b*d)}
x := (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y := (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（聯立方程式）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。 請解聯立方程式 x + y = 5、2x − y = 1。 請分別列出下列內容： 1. 解 x, y（是分數時，同時以約分好的分數和小數表示） 2. 用加減消去法（讓其中一個未知數的係數相同後兩式相加減）的計算過程 3. 把求出的解代入兩個式子的驗算 請在 Python 中使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，並列出計算用的公式和執行結果的數值。如果無解或有無限多解，也請說明理由。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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同樣是 ax+by=c 的形式，但只找「整數解」的方程式。用輾轉相除法求整數解的方法請看這裡
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