一元二次不等式計算機（解的範圍、判別式分段討論、附圖形）

請輸入一元二次不等式左邊 ax² + bx + c 的係數 a、b、c，以及和 0 比較的不等號。下方的數學式和輸入欄是連動的，直接改寫式中的係數也能計算。

x² 的係數 a

x 的係數 b

常數項 c

不等號（右邊為 0）

請用半形輸入數字。可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。a 空白時當成 1（x² 就是 1x²），b、c 空白時當成 0。a 填 0 時當成一元一次不等式來解。

計算結果與圖表

在左邊的輸入欄填入係數 a、b、c 和不等號，按下「計算」，這裡就會顯示解的範圍、計算過程和圖形。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖形
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
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用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
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這個頁面可以做什麼

只要輸入係數並選擇不等號，就能求出一元二次不等式 $ax^{2}+bx+c>0$ 的解的範圍。支援 $>$、$\ge$、$<$、$\le$ 四種不等號
依判別式 $D=b^{2}-4ac$ 的正負分段討論，用和課本相同的步驟逐行列出過程。除了「兩根的外側」「兩根之間」，連 $x \neq \alpha$、無解、所有實數這類容易出錯的答案也能正確判斷
$x^{2}$ 的係數是負數時，也會自動列出兩邊同乘以 $-1$、改變不等號方向的過程
分界點以 $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ 這樣根號化簡後的精確值顯示，是無理數時也會附上小數。係數除了小數、負數，也能輸入像 3/4 這樣的分數
會畫出用顏色區分拋物線和解的範圍的圖形，可以親眼確認「$y>0$ 的解＝圖形在 $x$ 軸上方的 $x$ 的範圍」這個關係
淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面

右邊固定為 0。像 $x^{2}+2x > 3x+1$ 這樣右邊有式子時，請先移項讓右邊變成 0 再輸入（這個例子就輸入 $x^{2}-x-1>0$）。$x^{2}$ 的係數 $a$ 填 0 時就不是一元二次不等式，會當成一元一次不等式 $bx+c>0$ 來解（$b$ 也是 0 時只剩常數，答案會是「所有實數」或「無解」）。

這個計算有什麼用？

往上拋的球在一定高度以上的時間（運動、物理）

垂直往上拋的物體，高度是經過時間 $t$ 秒的二次函數 $h = v_{0}t - 4.9t^{2}$（$v_{0}$ 是拋出瞬間的速度）。求「高度在幾公尺以上的時間從何時到何時」，直接就是一元二次不等式。
以初速每秒 20 m 往上拋的球，在 15 m 以上的時間要解 $20t - 4.9t^{2} \ge 15$，也就是 $4.9t^{2} - 20t + 15 \le 0$，結果是拋出後約 0.99 秒到 3.09 秒，大約 2.1 秒。雖然忽略了空氣阻力，但可以用來估算煙火看得到的時間、棒球高飛球的滯空時間。

求能安全停車的速度上限（交通安全、汽車）

汽車的停車距離，是「發現危險到煞車開始作用前前進的距離（反應距離）」加上「煞車作用後到停下的距離（煞車距離）」。反應距離和速度成正比，煞車距離卻和速度的平方成正比，所以停車距離是速度的二次函數。
設反應時間 1 秒、路面與輪胎的摩擦係數 0.7，停車距離是 $v + \dfrac{v^{2}}{13.72}$（$v$ 是每秒公尺數）。「想在視線良好的 40 m 內停下」就解 $v + \dfrac{v^{2}}{13.72} \le 40$，速度上限是每秒約 17.5 m＝時速約 63 km。速限和行車安全距離的標準，就是根據這種二次的關係決定的。

求能獲利的價格範圍（做生意、損益兩平）

漲價後每個的利潤會增加，但賣出的數量會減少。賣出數量能用價格的一次式表示時，利潤（＝每個的利潤 × 數量 − 固定成本）就是價格的二次函數，「利潤大於或等於 0 的價格範圍」可以用一元二次不等式求出。
假設成本 NT$300 的商品，訂價 $p$ 元時能賣出 $1000-2p$ 個，固定成本是 NT$10,000。解 $(p-300)(1000-2p) - 10000 \ge 0$，可知訂價大約在 NT$330 到 NT$470 之間就會獲利。「太便宜或太貴都會虧錢」的感覺，可以用數字確認。

用固定長度的材料圍出需要的面積（設計、DIY、農業）

周長固定的長方形，決定長度後寬度也跟著決定，所以面積是長度的二次函數。「能圍出需要面積的尺寸從多少到多少」，正是一元二次不等式。
假設要用全長 40 m 的圍籬圍出長方形花圃，面積要在 91 m² 以上。設長為 $x$ m，寬就是 $20-x$ m，得 $x(20-x) \ge 91$，解出長度在 7 m 以上、13 m 以下。同時也能看出越接近正方形面積越大（這個例子在長 10 m 時有最大面積 100 m²）。

求隧道或拱門「高度足夠的寬度」（建築、土木、運輸）

拋物線形狀的拱橋或隧道斷面，可以用二次函數表示。求「高的車輛能通過的範圍是離中心左右幾公尺內」，就是在解一元二次不等式。
中心高 4.5 m、寬 30 m 的拱形斷面可以寫成 $y = -0.02x^{2} + 4.5$（$x$ 是離中心的距離）時，高度 4 m 以上的部分要解 $-0.02x^{2} + 4.5 \ge 4$，結果是離中心左右各 5 m，共 10 m 寬。把大型車的車道指定在中央、標示可通行的車高等判斷，都是根據這樣的計算。

公式與圖形

$x^{2}$ 的係數為正、有兩根時（$>0$ 取「兩根的外側」）

圖形

數學寫法（一般的數學式）

$x$ $<$ $\alpha$ $\ \text{或}\ $ $\beta$ $<$ $x$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ $x$：解 $<$ ① $\alpha$：較小的根 $\ \text{或}\ $ ② $\beta$：較大的根 $<$ $x$：解

用文字讀公式

① 設一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 的兩根為 $\alpha < \beta$。比 $\alpha$：較小的根小的部分，

② 以及比 $\beta$：較大的根大的部分（也就是兩根的外側），

③ 就是 $x$：解（因為開口向上的拋物線，在兩個交點的外側位於 $x$ 軸上方）

簡單範例

$x^{2}-3x+2>0$ 的解（因為 $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$，$=0$ 的根是 $x=1,\ 2$）：

$x$：解 $<$ 較小的根（1） $\ \text{或}\ $ 較大的根（2） $<$ $x$：解

$(x-1)(x-2) > 0$

$x < 1 \ \text{或}\ 2 < x$

思考重點

把一元二次不等式想成「讀出圖形哪裡在 $x$ 軸上方（下方）的問題」而不是「計算」，要背的東西就會一口氣少很多。 $x^{2}$ 的係數為正的拋物線是開口向上（山谷的形狀）。和 $x$ 軸交於兩點時，只有包含谷底的中間部分沉到 $x$ 軸下方，外側都在 $x$ 軸上方。所以 $>0$ 的解在外側，$<0$ 的解在兩根之間。「外側」分成兩個範圍，所以要用「或」連接，寫成 $x<1$ 或 $2<x$。寫成 $2<x<1$ 這樣一個式子是錯的，因為那代表 $x$ 同時大於 2 又小於 1。像 $\ge 0$ 這樣含等號時，分界點本身也包含在解中，寫成 $x \le 1$ 或 $2 \le x$。

$x^{2}$ 的係數為正、有兩根時（$<0$ 取「兩根之間」）

圖形

數學寫法（一般的數學式）

$\alpha$ $<$ $x$ $<$ $\beta$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① $\alpha$：較小的根 $<$ ③ $x$：解 $<$ ② $\beta$：較大的根

用文字讀公式

① 比 $\alpha$：較小的根大、

② 而且比 $\beta$：較大的根小的部分（也就是兩根之間），

③ 就是 $x$：解（因為開口向上的拋物線，在兩個交點之間沉到 $x$ 軸下方）

簡單範例

$x^{2}-3x+2<0$ 的解（$=0$ 的根和前面一樣是 $x=1,\ 2$）：

較小的根（1） $<$ $x$：解 $<$ 較大的根（2）

$(x-1)(x-2) < 0$

$1 < x < 2$

思考重點

同樣是 $x^{2}-3x+2$，只要不等號方向改變，解就從「外側」整個換成「之間」。左邊相同時，分界點（$=0$ 的根）永遠一樣，改變的只有「取分界點的哪一側」。 $1<x<2$ 是同時滿足 $1<x$ 和 $x<2$ 兩個條件的 $x$，也就是「大於 1 且小於 2」。像這樣求同時滿足多個不等式的 $x$，叫做聯立不等式，$A<B<C$ 的形式就是把它合成一個式子的寫法。像 $\le 0$ 這樣含等號時，變成 $1 \le x \le 2$，兩端的 1 和 2 也包含在解中。

判別式（決定解的形式的值）

圖形

數學寫法（一般的數學式）

$D$ $=$ $b^{2}$ $-$ $4ac$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ $D$：判別式 $=$ ① $b^{2}$：$x$ 的係數的平方 $-$ ② $4ac$：4、$x^{2}$ 的係數 $a$、常數項 $c$ 的乘積

用文字讀公式

① 從 $b^{2}$：$x$ 的係數的平方

② 減去 $4ac$：4、$x^{2}$ 的係數 $a$、常數項 $c$ 的乘積，

③ 就得到 $D$：判別式（只看它的正負，就能決定拋物線和 $x$ 軸的交點情形，也就是解的形式）

簡單範例

$x^{2}-3x+2$ 的判別式：

$D$：判別式 $=$ $-3$ 的平方 $-$ 4、1、2 的乘積

$D = (-3)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1 > 0$

思考重點

判別式告訴我們拋物線和 $x$ 軸交於幾點：$D>0$ 交於兩點，$D=0$ 相切於一點，$D<0$ 不相交。就算是無法因式分解的二次式，也只要這一個值就能決定解的形式。 $x^{2}$ 的係數為正（拋物線開口向上）時，四種不等號的解如下： $D>0$（交於兩點）：$>0$ 和 $\ge 0$ 取兩根的外側，$<0$ 和 $\le 0$ 取兩根之間。 $D=0$（相切於一點）：設切點為 $x=\alpha$，$>0$ 是 $x \neq \alpha$（只除去切點），$\ge 0$ 是所有實數，$<0$ 無解，$\le 0$ 只有一點 $x=\alpha$。 $D<0$（不相交）：整條拋物線都在 $x$ 軸上方，所以 $>0$ 和 $\ge 0$ 是所有實數，$<0$ 和 $\le 0$ 無解。 $D=0$ 和 $D<0$ 時答案不是範圍，是考試常漏掉的地方。先畫出圖形，問自己「拋物線有沒有任何部分沉到 $x$ 軸下方？」，就不會迷路。

$x^{2}$ 的係數為負時（兩邊同乘以 $-1$ 變成正數）

圖形

數學寫法（一般的數學式）

$ax^{2}+bx+c$ $< 0$

$\Longleftrightarrow$ $-ax^{2}-bx-c$ $> 0$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① $ax^{2}+bx+c$：$x^{2}$ 的係數 $a$ 為負的二次式 $< 0$

$\Longleftrightarrow$ ② $-ax^{2}-bx-c$：每一項都變號的二次式（$x^{2}$ 的係數為正） $> 0$

用文字讀公式

① 「 $ax^{2}+bx+c$：$x^{2}$ 的係數 $a$ 為負的二次式小於 0」這個不等式，

② 可以改寫成「 $-ax^{2}-bx-c$：每一項都變號的二次式（$x^{2}$ 的係數為正）大於 0」（兩邊同乘以負數 $-1$，所以不等號方向也改變）

簡單範例

$-x^{2}+4x-3 \ge 0$ 兩邊同乘以 $-1$：

$-x^{2}+4x-3$（$x^{2}$ 的係數是 $-1$） $\ge 0$

$\Longleftrightarrow$ $x^{2}-4x+3$（$x^{2}$ 的係數是 $1$） $\le 0$

$-x^{2}+4x-3 \ge 0 \Longleftrightarrow x^{2}-4x+3 \le 0$

$(x-1)(x-3) \le 0$

$1 \le x \le 3$

思考重點

$x^{2}$ 的係數保持負數時，拋物線是開口向下（山的形狀），「外側」和「之間」會對調，容易搞混。先兩邊同乘以 $-1$ 變成開口向上的拋物線，就只要記一種模式。在不等式中，兩邊同乘或同除以負數時，不等號方向會改變。例如 $2<3$ 兩邊同乘以 $-1$ 得 $-2>-3$，因為變號會讓數線上的左右對調。方程式沒有這個問題，只有不等式需要注意。兩邊同乘以 $-1$，判別式 $D$ 不會改變（$(-b)^{2}-4(-a)(-c)=b^{2}-4ac$）。例子中的 $-x^{2}+4x-3$ 和 $x^{2}-4x+3$ 都是 $D=4$。

解一元二次不等式的基本步驟是：先把 $x^{2}$ 的係數變成正數（是負數就兩邊同乘以 $-1$ 並改變不等號方向），再依判別式 $D=b^{2}-4ac$ 的正負分段討論。$D>0$ 時，$>0$ 取兩根的外側，$<0$ 取兩根之間；$D=0$ 或 $D<0$ 時，答案可能是「所有實數」「無解」或「只有一點」。想像一條開口向上的拋物線，讀出它在 $x$ 軸上方的部分，所有情況都能用同一個方法處理。

符號與用語解說

符號

$a,\ b,\ c$	a、b、c	一元二次不等式 $ax^{2}+bx+c>0$ 的係數：$a$ 是 $x^{2}$ 的係數，$b$ 是 $x$ 的係數，$c$ 是常數項。習慣上用字母表前面的 $a,\ b,\ c$ 表示事先給定的數。
$x$	x	要求的未知數。一元二次不等式問的是「$x$ 從多少到多少時不等式成立」，所以答案是範圍而不是一個數。習慣上用字母表後面的 $x,\ y,\ z$ 表示未知數。
$D$	D	判別式 $b^{2}-4ac$。$D$ 取自英文 Discriminant（用來區分情況的東西）的第一個字母。只看它的正負，就能決定拋物線和 $x$ 軸的交點情形（解的形式）。
$\alpha,\ \beta$	alpha、beta	一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 兩根的名稱。是希臘字母的第 1 個和第 2 個，習慣上 $\alpha < \beta$（$\alpha$ 是較小的那個）。在一元二次不等式中，這兩個值就是解的範圍的分界。
$>,\ <$	大於、小於	不等號。$A>B$ 表示「$A$ 大於 $B$」，$A<B$ 表示「$A$ 小於 $B$」，開口永遠朝向較大的數。不含等號，所以分界點本身不是解。
$\ge,\ \le$	大於或等於、小於或等於	含等號的不等號。$A \ge B$ 表示「$A$ 大於或等於 $B$」，$A \le B$ 表示「$A$ 小於或等於 $B$」。分界點本身也是解。日本的課本把等號部分寫成兩條線（≧、≦），意思相同。
$\neq$	不等於	表示「不相等」的符號。$x \neq 3$ 表示「$x$ 可以是 3 以外的任何值」。在一元二次不等式中，拋物線和 $x$ 軸相切（$D=0$）時會出現這種形式的答案。
$\sqrt{\phantom{x}}$	根號	表示平方後等於裡面的數的正數（平方根）的符號。$\sqrt{5}$ 是「平方後等於 5 的正數」，大約是 2.236。據說源自拉丁文 radix（根）的字首 r 變形而來。分界點開不盡時會出現。
$\Longleftrightarrow$	等價	表示左右兩邊意義相同的符號。$P \Longleftrightarrow Q$ 表示「$P$ 成立時 $Q$ 也成立，反過來也一樣」。改寫不等式時，要注意保持這個關係（讓解不改變）。
$y$	y	二次函數 $y=ax^{2}+bx+c$ 的值，也就是拋物線的「高度」。解 $ax^{2}+bx+c>0$，就等於求這個高度大於 0（圖形在 $x$ 軸上方）的 $x$ 的範圍。

用語

一元二次不等式	像 $ax^{2}+bx+c>0$ 這樣，含有 $x$ 的二次項的不等式。答案不是一個數，而是「$x$ 的範圍」。在高一學到。
不等式	用 $>$、$<$、$\ge$、$\le$ 表示兩個量大小關係的式子。兩邊同加或同減相同的數，方向不變；但同乘或同除以負數時方向會相反。
二次函數	$y=ax^{2}+bx+c$（$a \neq 0$）形式的函數，圖形是拋物線。一元二次不等式可以換句話說成讀出這個圖形在 $x$ 軸上方或下方的部分。
拋物線	二次函數的圖形，是左右對稱的平滑曲線。斜斜拋出的物體軌跡就是這個形狀，所以叫「拋物」線。
開口向上	拋物線呈山谷的形狀（兩端朝上）。$x^{2}$ 的係數為正時就是這個形狀。反過來係數為負時呈山的形狀，叫做「開口向下」。
判別式	$D=b^{2}-4ac$。告訴我們一元二次方程式有幾個實根（拋物線和 $x$ 軸交於幾點）：$D>0$ 有 2 個，$D=0$ 有 1 個（重根），$D<0$ 有 0 個。
實根	方程式的解中，可以放在數線上的一般的數（實數），也叫實數解。$D<0$ 時沒有實根，拋物線和 $x$ 軸不相交。
重根	$D=0$ 時的解。像 $(x-3)^{2}=0$ 這樣，兩個相同的根重疊在一起，拋物線和 $x$ 軸相切於一點。
公式解	$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。無法因式分解的一元二次方程式也能解，在一元二次不等式中用來求分界點。
因式分解	像 $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$ 這樣，把式子改寫成乘法的形式。在一元二次不等式中，能因式分解就能一眼看出分界點。
分界點	解的範圍開始或結束的值。在一元二次不等式中，就是 $ax^{2}+bx+c=0$ 的根，也就是拋物線和 $x$ 軸交點的 $x$ 坐標。$\ge$、$\le$ 時包含在解中，$>$、$<$ 時不包含。
解的範圍	使不等式成立的所有 $x$。可能是像 $1<x<2$ 這樣的一個範圍，也可能是像 $x<1$ 或 $2<x$ 這樣分開的兩個範圍。
聯立不等式	求同時滿足多個不等式的 $x$。同時滿足 $1<x$ 和 $x<2$ 的範圍，合成一個式子寫成 $1<x<2$。
無解	一個使不等式成立的 $x$ 都沒有。例如 $x^{2}+2x+5<0$，開口向上的拋物線永遠不會沉到 $x$ 軸下方，就是這種情況。
所有實數	代入任何 $x$，不等式都成立。$x^{2}$ 的係數為正時，$D<0$（拋物線和 $x$ 軸不相交）的 $>0$、$\ge 0$ 就是這個答案。$D=0$ 時 $\ge 0$ 也因為等號包含切點而成為所有實數。（同樣 $D<0$ 時，$<0$、$\le 0$ 則無解。）
數線	把數排列在一條直線上的圖。表示一元二次不等式的解時，用粗線畫出範圍，包含的分界點畫實心圓點，不包含的畫空心圓點。
移項	把不等式或方程式的項變號後移到另一邊。右邊有式子時，先移到左邊讓右邊變成 0 再解。
常數項	像 $x^{2}+3x+5$ 的 5 這樣，不含 $x$、「只有數字的項」。不論 $x$ 是什麼值都不會改變，所以叫做常數。
係數	寫在文字前面的數。$3x^{2}$ 的 3 就是係數。像 $x^{2}$ 這樣沒寫數字時，係數是 1。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習表中的內容是最快的方法。

不等式的性質（國中七年級～高一，12～16 歲）	能區分 $>$、$<$、$\ge$、$\le$ 四個符號的意義（「大於或等於、小於或等於」包含分界點，「大於、小於」不包含）知道兩邊同加或同減相同的數，不等號方向不變；但同乘或同除以負數時方向相反（例如：$2<3$ 兩邊同乘以 $-1$ 得 $-2>-3$）知道 $1<x<2$ 這種寫法，是把「大於 1 且小於 2」兩個條件合成一個式子
因式分解（國中八年級，13～14 歲）	能找出相加為 $-3$、相乘為 $2$ 的兩個數來因式分解，例如 $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$ $x^{2}$ 的係數不是 1 時，也能用十字交乘法因式分解，例如 $2x^{2}-5x+2=(2x-1)(x-2)$ 能把 $(x-3)^{2}$ 這樣的平方展開成 $x^{2}-6x+9$
一元二次方程式的解法（國中八年級，13～14 歲）	能利用「若 $AB=0$，則 $A=0$ 或 $B=0$」的性質，由因式分解求出根能用公式解 $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 解無法因式分解的一元二次方程式能把根號裡的平方因數提到外面來化簡，例如 $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
二次函數的圖形（國中九年級～高一，14～16 歲）	知道 $y=ax^{2}+bx+c$ 的圖形是拋物線，$a$ 為正時開口向上（山谷形），為負時開口向下（山形）知道圖形和 $x$ 軸交點的 $x$ 坐標，就是 $ax^{2}+bx+c=0$ 的根能讀出圖形高度 $y$ 為正的區間在 $x$ 軸上方，為負的區間在 $x$ 軸下方
平方根（國中八年級，13～14 歲）	知道 $\sqrt{5}$ 是「平方後等於 5 的正數」，大約是 2.236 知道完全平方數的平方根是整數，例如 $\sqrt{9}=3$
數線與範圍的表示法（國中七年級，12～13 歲）	知道在數線上越往右數越大（$-2$ 比 $-5$ 大）知道在數線上用粗線畫出範圍，包含端點時畫實心圓點、不包含時畫空心圓點的規則

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「有兩根時的外側（ax²+bx+c > 0）」的表格

x² 的係數 a	1
x 的係數 b	-3
常數項 c	2
判別式 D = b^2-4ac	=B2^2-4B1B3
較小的根 α	=(-B2-SQRT(B4))/(2*B1)
較大的根 β	=(-B2+SQRT(B4))/(2*B1)
解的範圍（外側）	="x < "&B5&" 或 "&B6&" < x"

求「有兩根時的之間（ax²+bx+c < 0）」的表格

x² 的係數 a	1
x 的係數 b	-3
常數項 c	2
判別式 D = b^2-4ac	=B2^2-4B1B3
較小的根 α	=(-B2-SQRT(B4))/(2*B1)
較大的根 β	=(-B2+SQRT(B4))/(2*B1)
解的範圍（之間）	=B5&" < x < "&B6

求「判別式 D = b²−4ac」的表格

x² 的係數 a	1
x 的係數 b	-3
常數項 c	2
判別式 D = b^2-4ac	=B2^2-4B1B3
和 x 軸的交點個數	=IF(B4>0,2,IF(B4=0,1,0))

確認「x² 的係數為負時的變號」的表格

x² 的係數 a	-1
x 的係數 b	4
常數項 c	-3
乘以 −1 後 x² 的係數	=-B1
乘以 −1 後 x 的係數	=-B2
乘以 −1 後的常數項	=-B3
變號後的判別式（和原來的值相同）	=B5^2-4B4B6

貼上後，上方 3 列（係數 a、b、c）就是輸入欄，下方的列會自動算出結果。
「^」是次方，「SQRT」是平方根，「&」用來連接文字。
第一個和第二個表格都是 a=1、b=−3、c=2（也就是 x²−3x+2）的例子。判別式是 1，分界點是 1 和 2，解分別是「x < 1 或 2 < x」（外側）和「1 < x < 2」（之間）。如果輸入使判別式為負的係數，SQRT 會出現錯誤，請先用第三個表格確認交點個數。
第三個表格只求判別式，並用 IF 函數判斷和 x 軸的交點個數（2、1、0）。
第四個表格是 x² 的係數為負（a=−1、b=4、c=−3）時把每一項變號，變號後的係數是 1、−4、3，可以確認判別式在變號前後都是 4。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「有兩根時的外側（ax²+bx+c > 0）」的表格

x² 的係數 a	1
x 的係數 b	-3
常數項 c	2
判別式 D = b^2-4ac	=B2^2-4B1B3
較小的根 α	=(-B2-SQRT(B4))/(2*B1)
較大的根 β	=(-B2+SQRT(B4))/(2*B1)
解的範圍（外側）	="x < "&B5&" 或 "&B6&" < x"

求「有兩根時的之間（ax²+bx+c < 0）」的表格

x² 的係數 a	1
x 的係數 b	-3
常數項 c	2
判別式 D = b^2-4ac	=B2^2-4B1B3
較小的根 α	=(-B2-SQRT(B4))/(2*B1)
較大的根 β	=(-B2+SQRT(B4))/(2*B1)
解的範圍（之間）	=B5&" < x < "&B6

求「判別式 D = b²−4ac」的表格

x² 的係數 a	1
x 的係數 b	-3
常數項 c	2
判別式 D = b^2-4ac	=B2^2-4B1B3
和 x 軸的交點個數	=IF(B4>0,2,IF(B4=0,1,0))

確認「x² 的係數為負時的變號」的表格

x² 的係數 a	-1
x 的係數 b	4
常數項 c	-3
乘以 −1 後 x² 的係數	=-B1
乘以 −1 後 x 的係數	=-B2
乘以 −1 後的常數項	=-B3
變號後的判別式（和原來的值相同）	=B5^2-4B4B6

和 Excel 相同的公式可以直接使用（SQRT、IF、& 名稱都相同）。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把係數改成您自己的數值即可。

用 Python 計算的方法

from fractions import Fraction
import math

# 一元二次不等式的係數（左邊 a*x^2 + b*x + c 和 0 比較）與不等號（">"、">="、"<"、"<=")
a = Fraction(1)
b = Fraction(-3)
c = Fraction(2)
sign = ">"

# 把 x^2 的係數變成正數（是負數就兩邊同乘以 -1，並改變不等號方向）
if a < 0:
    a, b, c = -a, -b, -c
    sign = {">": "<", ">=": "<=", "<": ">", "<=": ">="}[sign]

discriminant = b * b - 4 * a * c
is_greater = sign in (">", ">=")
has_equal = sign in (">=", "<=")

if discriminant > 0:
    root = math.sqrt(discriminant)
    alpha = (-b - root) / (2 * a)
    beta = (-b + root) / (2 * a)
    mark = "<=" if has_equal else "<"
    if is_greater:
        answer = f"x {mark} {alpha} 或 {beta} {mark} x"   # 兩根的外側
    else:
        answer = f"{alpha} {mark} x {mark} {beta}"        # 兩根之間
elif discriminant == 0:
    alpha = -b / (2 * a)
    answer = {">": f"x != {alpha}", ">=": "所有實數",
              "<": "無解", "<=": f"x = {alpha}"}[sign]
else:
    answer = "所有實數" if is_greater else "無解"

print(f"判別式 D = {discriminant}")
print(f"解的範圍：{answer}")

只用標準函式庫就能寫。把係數設成 fractions.Fraction，判別式的正負就不會受小數捨入誤差影響。這個例子是 x² − 3x + 2 > 0，執行後會顯示「判別式 D = 1」「解的範圍：x < 1.0 或 2.0 < x」兩行。請改寫係數和不等號後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

$x^{2}$ 的係數為正、有兩根時（$>0$ 取「兩根的外側」）

x < α 或 β < x

x < \alpha \ \text{或}\ \beta < x

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi><mo>&lt;</mo><mi>&#x3B1;</mi>
    <mtext>&#xA0;或&#xA0;</mtext>
    <mi>&#x3B2;</mi><mo>&lt;</mo><mi>x</mi>
  </mrow>
</math>

x < alpha " 或 " beta < x

Reduce[a x^2 + b x + c > 0 && a > 0, x, Reals]

solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x);

solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x)

x < α 或 β < x

$x^{2}$ 的係數為正、有兩根時（$<0$ 取「兩根之間」）

α < x < β

\alpha < x < \beta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B1;</mi><mo>&lt;</mo><mi>x</mi><mo>&lt;</mo><mi>&#x3B2;</mi>
  </mrow>
</math>

alpha < x < beta

Reduce[a x^2 + b x + c < 0 && a > 0, x, Reals]

solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x);

solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x)

α < x < β

判別式（決定解的形式的值）

D = b² − 4ac

D = b^{2} - 4ac

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi><mo>=</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

D = b^2 - 4ac

Discriminant[a x^2 + b x + c, x]

discrim(a*x^2 + b*x + c, x);

D = b^2 - 4*a*c;

D = b^2 - 4ac

$x^{2}$ 的係數為負時（兩邊同乘以 $-1$ 變成正數）

ax² + bx + c < 0 ⟺ −ax² − bx − c > 0

ax^{2} + bx + c < 0 \Longleftrightarrow -ax^{2} - bx - c > 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
    <mo>&lt;</mo><mn>0</mn>
    <mo>&#x27FA;</mo>
    <mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi>
    <mo>&gt;</mo><mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

ax^2 + bx + c < 0 hArr -ax^2 - bx - c > 0

Reduce[-a x^2 - b x - c > 0, x, Reals]

solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x);

solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x)

ax^2 + bx + c < 0 ⟺ -ax^2 - bx - c > 0

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是數學計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來解以下問題，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或猜測作答）。

請解一元二次不等式 x² − 3x + 2 > 0。
請分別列出以下內容：
1. 判別式 D = b² − 4ac 的值
2. 分界點（x² − 3x + 2 = 0 的根）
3. 解的範圍（並說明是「兩根的外側」「兩根之間」「所有實數」「無解」中的哪一種）
4. 如果 x² 的係數是負數，也請列出兩邊同乘以 −1 並改變不等號方向的步驟

請在 Python 中同時使用 sympy 的 solve_univariate_inequality 和用 fractions 精確計算判別式，確認兩者結果一致後再回答。

使用方法

1

輸入數值

在輸入欄中輸入要計算的數值
2

計算

按下「計算」按鈕
3

查看結果

計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看

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\(a,\ b,\ c\)	a、b、c	一元二次不等式 \(ax^{2}+bx+c>0\) 的係數：\(a\) 是 \(x^{2}\) 的係數，\(b\) 是 \(x\) 的係數，\(c\) 是常數項。習慣上用字母表前面的 \(a,\ b,\ c\) 表示事先給定的數。
\(x\)	x	要求的未知數。一元二次不等式問的是「\(x\) 從多少到多少時不等式成立」，所以答案是範圍而不是一個數。習慣上用字母表後面的 \(x,\ y,\ z\) 表示未知數。
\(D\)	D	判別式 \(b^{2}-4ac\)。\(D\) 取自英文 Discriminant（用來區分情況的東西）的第一個字母。只看它的正負，就能決定拋物線和 \(x\) 軸的交點情形（解的形式）。
\(\alpha,\ \beta\)	alpha、beta	一元二次方程式 \(ax^{2}+bx+c=0\) 兩根的名稱。是希臘字母的第 1 個和第 2 個，習慣上 \(\alpha < \beta\)（\(\alpha\) 是較小的那個）。在一元二次不等式中，這兩個值就是解的範圍的分界。
\(>,\ <\)	大於、小於	不等號。\(A>B\) 表示「\(A\) 大於 \(B\)」，\(A<B\) 表示「\(A\) 小於 \(B\)」，開口永遠朝向較大的數。不含等號，所以分界點本身不是解。
\(\ge,\ \le\)	大於或等於、小於或等於	含等號的不等號。\(A \ge B\) 表示「\(A\) 大於或等於 \(B\)」，\(A \le B\) 表示「\(A\) 小於或等於 \(B\)」。分界點本身也是解。日本的課本把等號部分寫成兩條線（≧、≦），意思相同。
\(\neq\)	不等於	表示「不相等」的符號。\(x \neq 3\) 表示「\(x\) 可以是 3 以外的任何值」。在一元二次不等式中，拋物線和 \(x\) 軸相切（\(D=0\)）時會出現這種形式的答案。
\(\sqrt{\phantom{x}}\)	根號	表示平方後等於裡面的數的正數（平方根）的符號。\(\sqrt{5}\) 是「平方後等於 5 的正數」，大約是 2.236。據說源自拉丁文 radix（根）的字首 r 變形而來。分界點開不盡時會出現。
\(\Longleftrightarrow\)	等價	表示左右兩邊意義相同的符號。\(P \Longleftrightarrow Q\) 表示「\(P\) 成立時 \(Q\) 也成立，反過來也一樣」。改寫不等式時，要注意保持這個關係（讓解不改變）。
\(y\)	y	二次函數 \(y=ax^{2}+bx+c\) 的值，也就是拋物線的「高度」。解 \(ax^{2}+bx+c>0\)，就等於求這個高度大於 0（圖形在 \(x\) 軸上方）的 \(x\) 的範圍。

一元二次不等式	像 \(ax^{2}+bx+c>0\) 這樣，含有 \(x\) 的二次項的不等式。答案不是一個數，而是「\(x\) 的範圍」。在高一學到。
不等式	用 \(>\)、\(<\)、\(\ge\)、\(\le\) 表示兩個量大小關係的式子。兩邊同加或同減相同的數，方向不變；但同乘或同除以負數時方向會相反。
二次函數	\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a \neq 0\)）形式的函數，圖形是拋物線。一元二次不等式可以換句話說成讀出這個圖形在 \(x\) 軸上方或下方的部分。
拋物線	二次函數的圖形，是左右對稱的平滑曲線。斜斜拋出的物體軌跡就是這個形狀，所以叫「拋物」線。
開口向上	拋物線呈山谷的形狀（兩端朝上）。\(x^{2}\) 的係數為正時就是這個形狀。反過來係數為負時呈山的形狀，叫做「開口向下」。
判別式	\(D=b^{2}-4ac\)。告訴我們一元二次方程式有幾個實根（拋物線和 \(x\) 軸交於幾點）：\(D>0\) 有 2 個，\(D=0\) 有 1 個（重根），\(D<0\) 有 0 個。
實根	方程式的解中，可以放在數線上的一般的數（實數），也叫實數解。\(D<0\) 時沒有實根，拋物線和 \(x\) 軸不相交。
重根	\(D=0\) 時的解。像 \((x-3)^{2}=0\) 這樣，兩個相同的根重疊在一起，拋物線和 \(x\) 軸相切於一點。
公式解	\(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)。無法因式分解的一元二次方程式也能解，在一元二次不等式中用來求分界點。
因式分解	像 \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\) 這樣，把式子改寫成乘法的形式。在一元二次不等式中，能因式分解就能一眼看出分界點。
分界點	解的範圍開始或結束的值。在一元二次不等式中，就是 \(ax^{2}+bx+c=0\) 的根，也就是拋物線和 \(x\) 軸交點的 \(x\) 坐標。\(\ge\)、\(\le\) 時包含在解中，\(>\)、\(<\) 時不包含。
解的範圍	使不等式成立的所有 \(x\)。可能是像 \(1<x<2\) 這樣的一個範圍，也可能是像 \(x<1\) 或 \(2<x\) 這樣分開的兩個範圍。
聯立不等式	求同時滿足多個不等式的 \(x\)。同時滿足 \(1<x\) 和 \(x<2\) 的範圍，合成一個式子寫成 \(1<x<2\)。
無解	一個使不等式成立的 \(x\) 都沒有。例如 \(x^{2}+2x+5<0\)，開口向上的拋物線永遠不會沉到 \(x\) 軸下方，就是這種情況。
所有實數	代入任何 \(x\)，不等式都成立。\(x^{2}\) 的係數為正時，\(D<0\)（拋物線和 \(x\) 軸不相交）的 \(>0\)、\(\ge 0\) 就是這個答案。\(D=0\) 時 \(\ge 0\) 也因為等號包含切點而成為所有實數。（同樣 \(D<0\) 時，\(<0\)、\(\le 0\) 則無解。）
數線	把數排列在一條直線上的圖。表示一元二次不等式的解時，用粗線畫出範圍，包含的分界點畫實心圓點，不包含的畫空心圓點。
移項	把不等式或方程式的項變號後移到另一邊。右邊有式子時，先移到左邊讓右邊變成 0 再解。
常數項	像 \(x^{2}+3x+5\) 的 5 這樣，不含 \(x\)、「只有數字的項」。不論 \(x\) 是什麼值都不會改變，所以叫做常數。
係數	寫在文字前面的數。\(3x^{2}\) 的 3 就是係數。像 \(x^{2}\) 這樣沒寫數字時，係數是 1。

不等式的性質（國中七年級～高一，12～16 歲）	能區分 \(>\)、\(<\)、\(\ge\)、\(\le\) 四個符號的意義（「大於或等於、小於或等於」包含分界點，「大於、小於」不包含）知道兩邊同加或同減相同的數，不等號方向不變；但同乘或同除以負數時方向相反（例如：\(2<3\) 兩邊同乘以 \(-1\) 得 \(-2>-3\)）知道 \(1<x<2\) 這種寫法，是把「大於 1 且小於 2」兩個條件合成一個式子
因式分解（國中八年級，13～14 歲）	能找出相加為 \(-3\)、相乘為 \(2\) 的兩個數來因式分解，例如 \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\) \(x^{2}\) 的係數不是 1 時，也能用十字交乘法因式分解，例如 \(2x^{2}-5x+2=(2x-1)(x-2)\) 能把 \((x-3)^{2}\) 這樣的平方展開成 \(x^{2}-6x+9\)
一元二次方程式的解法（國中八年級，13～14 歲）	能利用「若 \(AB=0\)，則 \(A=0\) 或 \(B=0\)」的性質，由因式分解求出根能用公式解 \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) 解無法因式分解的一元二次方程式能把根號裡的平方因數提到外面來化簡，例如 \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
二次函數的圖形（國中九年級～高一，14～16 歲）	知道 \(y=ax^{2}+bx+c\) 的圖形是拋物線，\(a\) 為正時開口向上（山谷形），為負時開口向下（山形）知道圖形和 \(x\) 軸交點的 \(x\) 坐標，就是 \(ax^{2}+bx+c=0\) 的根能讀出圖形高度 \(y\) 為正的區間在 \(x\) 軸上方，為負的區間在 \(x\) 軸下方
平方根（國中八年級，13～14 歲）	知道 \(\sqrt{5}\) 是「平方後等於 5 的正數」，大約是 2.236 知道完全平方數的平方根是整數，例如 \(\sqrt{9}=3\)
數線與範圍的表示法（國中七年級，12～13 歲）	知道在數線上越往右數越大（\(-2\) 比 \(-5\) 大）知道在數線上用粗線畫出範圍，包含端點時畫實心圓點、不包含時畫空心圓點的規則

一元二次不等式計算機（解的範圍、判別式分段討論、附圖形）

目錄

這個頁面可以做什麼

這個計算有什麼用？

公式與圖形

符號與用語解說

符號

用語

建議先了解的基礎知識

用 Excel 計算的方法

用 Google 試算表計算的方法

用 Python 計算的方法

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

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使用方法

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