比例計算機（解比例式、比的放大與縮小）

求出比例式 A:B＝C:D 中空白的 1 項，或把比 A:B 放大、縮小。請依想做的計算輸入。

前項 A

後項 B

前項 C

後項 D

放大倍率（變成 ○ 倍）

縮小倍率（變成 1/○）

【解比例式】在 A～D 中填入 3 項，只把想求的 1 項保持空白。【放大、縮小】在 A 和 B 填入原本的比，放大倍率和縮小倍率只填其中一個（C、D 保持空白）。

計算結果

在左側輸入欄填入比的各項，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

比例式 \(A:B=C:D\) 的 4 個項中，只要輸入已知的 3 個，馬上就能算出剩下的 1 個（例如 3:4＝600:□ 的 □）
同時以「1 : n」「m : 1」的形式，以及前項佔全體的百分率（%）顯示答案的比
比的放大、縮小（例如把 3:4 放大 5 倍成為 15:20，把 250:280 縮小為 1/2.5 成為 100:112），只要輸入倍率就能計算
這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式

當作除數的項是 0 的組合無法計算（因為會除以 0）。也可以輸入負數，但一般的「比」基本上是用正數。

這個計算有什麼用？

把食譜換算成需要的人數份量

「4 人份用 3 杯米」的食譜要改成 6 人份，由比例式 4:3＝6:□，得到 □＝3×6÷4＝4.5 杯（量米杯）。
實際上只要把所有材料都乘以相同的倍率（6÷4＝1.5 倍）就好，這正是「比的放大」。這是每天做菜時最常用到的比的計算。

由地圖比例尺求實際距離（防災、登山）

在 1:25,000 的地形圖（例如內政部的經建版地形圖）上量到 4 cm 的路程，實際上是 4×25000＝100000 cm＝1 km。
估算到避難處所的距離、規劃登山行程時都會用到，比例尺正是比的代表性應用。

計算螢幕或影片的長寬比（16:9）

電視和電腦螢幕的長寬比以 16:9 為主流。寬 1920 像素的畫面，高度由 16:9＝1920:□，得到 □＝9×1920÷16＝1080 像素（Full HD）。
剪輯影片或製作簡報時，常用來求「寬度決定後，高度要設多少」。

飲料或消毒液等的稀釋計算

以「原液 1：水 4」稀釋的飲料，原液 50 mL 要配的水，由 1:4＝50:□，得到 □＝4×50÷1＝200 mL。
稀釋園藝藥劑或漂白水等消毒液也用同樣的計算，這是避免太濃或太淡、直接關係到安全的計算（請務必確認每項產品指定的稀釋比例）。

外幣與新臺幣的匯率換算（旅行、購物）

假設 1 美元＝32 元新臺幣，40 美元的商品由 1:32＝40:□，得到 □＝32×40÷1＝1280 元。
用匯率換算，就是已知「每 1 單位是多少」的比例式，出國旅行或跨境網購時，可以用來估算價格（實際付款時還會加上手續費）。

計算模型的比例

用 1/100 比例製作全長 15 m 的飛機模型，模型的全長是 15 m÷100＝0.15 m＝15 cm。
依照比例尺把所有尺寸都用相同的倍率縮小，這種「比的縮小」是製作模型和建築圖面的基礎。

公式

比例式的性質（外項乘積＝內項乘積）

數學寫法（一般的數學式）

\(A\) \(\times\) \(D\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(C\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① \(A\)：外項 \(\times\) ② \(D\)：外項 \(=\) ③ \(B\)：內項 \(\times\) ④ \(C\)：內項

用文字讀公式

① 比例式 \(A:B=C:D\) 外側的 \(A\)：外項和

② \(D\)：外項相乘得到的「外項乘積」，

③ 一定等於內側的 \(B\)：內項和

④ \(C\)：內項相乘得到的「內項乘積」

簡單範例

用比例式 3:4＝600:800 驗證（兩邊的乘積都是 2400）

外項（3） \(\times\) 外項（800） \(=\) 內項（4） \(\times\) 內項（600）

\(3 \times 800 = 2400\)

\(4 \times 600 = 2400\)

思考重點

為什麼會成立呢？\(A:B=C:D\) 的意思是「左右兩個比的比值相同」，寫成分數就是 \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\)。等號兩邊同乘 \(B \times D\)，就得到 \(A \times D = B \times C\)。也就是常說的「交叉相乘」。不管要反推比例式的哪一項，都是從這一條等式出發。

求剩下的項（求 \(D\) 的情況）

數學寫法（一般的數學式）

\(D\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(C\) \(\div\) \(A\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ \(D\)：剩下的外項 \(=\) ① \(B\)：內項 \(\times\) ② \(C\)：內項 \(\div\) ③ \(A\)：外項

用文字讀公式

① 把 \(B\)：內項和

② \(C\)：內項相乘，求出「內項乘積」，

③ 再除以已知的 \(A\)：外項，

④ 就能求出 \(D\)：剩下的外項

簡單範例

3:4＝600:□ 的 □（\(D\)）是

\(D\)：剩下的外項 \(=\) 內項（4） \(\times\) 內項（600） \(\div\) 外項（3）

\(D = 4 \times 600 \div 3 = 2400 \div 3 = 800\)

思考重點

不管哪一項空白，想法都一樣。先列出「內項乘積＝外項乘積」的等式，再把想求的項對面那一邊的乘積，除以和想求的項同一組的那一項。一共有 \(A = B \times C \div D\)、\(B = A \times D \div C\)、\(C = A \times D \div B\)、\(D = B \times C \div A\) 這 4 種情況。當作除數的項是 0 時，因為會除以 0，所以無法計算。

比的放大（變成 \(k\) 倍）

數學寫法（一般的數學式）

\(a'\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(k\)

\(b'\) \(=\) \(b\) \(\times\) \(k\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(a'\)：放大後的前項 \(=\) ① \(a\)：原本的前項 \(\times\) ② \(k\)：倍率

\(b'\)：放大後的後項 \(=\) \(b\)：原本的後項 \(\times\) \(k\)：倍率

用文字讀公式

① 把 \(a\)：原本的前項

② 乘以 \(k\)：倍率（後項 \(b\) 也同樣乘以 \(k\)），

③ 就得到 \(a'\)：放大後的前項，完成放大後的比 \(a' : b'\)

簡單範例

把 3:4 放大 5 倍（答案是 15:20）

放大後的前項（15） \(=\) 原本的前項（3） \(\times\) 倍率（5 倍）

\(3 \times 5 = 15\)

\(4 \times 5 = 20\)

思考重點

比的前項和後項同乘一個相同的數（0 以外），得到的比和原本的比關係不變，稱為「相等的比」。3:4 和 15:20 的比值（前項 ÷ 後項）都是 0.75。把食譜的分量增加成更多人份、把模型的尺寸換算成實物大小，這些計算正是「比的放大」。

比的縮小（變成 \(1/k\)）

數學寫法（一般的數學式）

\(a'\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(k\)

\(b'\) \(=\) \(b\) \(\div\) \(k\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(a'\)：縮小後的前項 \(=\) ① \(a\)：原本的前項 \(\div\) ② \(k\)：倍率

\(b'\)：縮小後的後項 \(=\) \(b\)：原本的後項 \(\div\) \(k\)：倍率

用文字讀公式

① 把 \(a\)：原本的前項

② 除以 \(k\)：倍率（後項 \(b\) 也同樣除以 \(k\)），

③ 就得到 \(a'\)：縮小後的前項，完成縮小為 \(1/k\) 的比 \(a' : b'\)

簡單範例

把 250:280 縮小為 1/2.5（答案是 100:112）

縮小後的前項（100） \(=\) 原本的前項（250） \(\div\) 倍率（2.5）

\(250 \div 2.5 = 100\)

\(280 \div 2.5 = 112\)

思考重點

除以 \(k\) 和乘以 \(1/k\) 是一樣的，所以縮小後得到的比，也和原本的比是「相等的比」。除不盡時會變成小數的比（例如把 7:9 縮小為 1/3，得到 2.33…:3）。需要整齊的整數比時，就用四捨五入後的「近似的比」。但請注意，四捨五入後的比和原本的比並不完全相等。

比的計算，基礎是「前項和後項同乘一個相同的數，或同除以一個 0 以外的相同的數，比都會相等」這個性質。比例式的未知數用「內項乘積＝外項乘積」反推；放大、縮小則是把前項和後項同乘相同的倍率（同除以相同的數），這就是基本做法。

符號與用語解說

符號

\(A:B\)	A 比 B	比。用冒號（:）把兩個量並排，表示它們之間的比例關係（例如 3:4 讀作「3 比 4」）。
\(A:B=C:D\)	A 比 B 等於 C 比 D	比例式。表示左右兩個比相等（比例關係相同）的式子。
\(A \times D = B \times C\)	A 乘以 D 等於 B 乘以 C	內項乘積＝外項乘積。比例式一定會滿足的性質，也是求未知項的計算的出發點。
\(k\)	k	倍率。表示要把比放大成幾倍（或縮小為 \(1/k\)）的數（例如 2.5 倍就是 \(k = 2.5\)）。
\(a'\)	a prime（a 撇）	放大、縮小後的比的項。右上角的撇號（prime）是表示「變化後的值」的記號。

用語

比	像「3:4」這樣把兩個量並排，表示它們之間的比例關係。方便的地方是，就算全體的量改變，也能只取出比例關係來比較。
比例式	表示兩個比相等的式子。寫成 \(A:B=C:D\) 的形式，「內項乘積＝外項乘積」會成立。
內項	比例式 \(A:B=C:D\) 內側的 2 項（\(B\) 和 \(C\)）。內項乘積和外項乘積相等。
外項	比例式 \(A:B=C:D\) 外側的 2 項（\(A\) 和 \(D\)）。內項乘積和外項乘積相等。
比值	比 \(A:B\) 的「\(A \div B\)」。比值相等的兩個比是「相等的比」。這個頁面「m : 1」形式中的 \(m\)，就是比值本身。
相等的比	比例關係相同的比。比的前項和後項同乘一個相同的數，或同除以一個 0 以外的相同的數，都能得到相等的比（例如 3:4 和 15:20）。
放大	不改變形狀（比例），只把大小變成幾倍大。在比中，相當於前項和後項同乘一個相同的數。
縮小	不改變形狀（比例），只把大小變成幾分之一。在比中，相當於前項和後項同除以一個相同的數。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。

比與比值（國小六年級，11～12 歲）	知道「3:4」這樣的比的寫法，以及「3 比 4」的讀法知道比的前項和後項同乘一個相同的數，或同除以一個 0 以外的相同的數，都會得到相等的比會求比值（前項 ÷ 後項）
放大圖與縮圖（國小六年級，11～12 歲）	知道不改變形狀、只改變大小時，所有的長度都要乘以相同的倍率知道「縮小為 1/2.5」和「除以 2.5」是一樣的
比例式（國中七年級，12～13 歲）	知道在比例式 \(A:B=C:D\) 中，「內項乘積＝外項乘積」（\(A \times D = B \times C\)）會成立會把想求的數設為 \(x\)，列出等式
小數與分數的乘法和除法（國小五、六年級，10～12 歲）	會算像 \(250 \div 2.5\) 這樣的小數除法知道乘法和除法互為相反的計算

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

驗證「外項乘積＝內項乘積」的表格

外項 A	3
內項 B	4
內項 C	600
外項 D	800
外項乘積 A×D	=B1*B4
內項乘積 B×C	=B2*B3

求「比例式剩下的項 D」的表格

外項 A	3
內項 B	4
內項 C	600
剩下的外項 D	=B2*B3/B1

計算「比的放大」的表格

原本的前項	3
原本的後項	4
倍率 k	5
放大後的前項	=B1*B3
放大後的後項	=B2*B3

計算「比的縮小」的表格

原本的前項	250
原本的後項	280
倍率 k	2.5
縮小後的前項	=B1/B3
縮小後的後項	=B2/B3

貼上後，B 欄上方的儲存格是輸入欄，下方有公式的儲存格會自動算出結果。
第 1 個表格中，外項乘積（B5）和內項乘積（B6）都是 2400，可以確認比例式成立。
第 2 個表格的 B4 會顯示剩下的項 D＝800。第 3 個表格顯示放大後的比（15 和 20），第 4 個表格顯示縮小後的比（100 和 112）。
只要把 B 欄的數值改成自己的值就能使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

驗證「外項乘積＝內項乘積」的表格

外項 A	3
內項 B	4
內項 C	600
外項 D	800
外項乘積 A×D	=B1*B4
內項乘積 B×C	=B2*B3

求「比例式剩下的項 D」的表格

外項 A	3
內項 B	4
內項 C	600
剩下的外項 D	=B2*B3/B1

計算「比的放大」的表格

原本的前項	3
原本的後項	4
倍率 k	5
放大後的前項	=B1*B3
放大後的後項	=B2*B3

計算「比的縮小」的表格

原本的前項	250
原本的後項	280
倍率 k	2.5
縮小後的前項	=B1/B3
縮小後的後項	=B2/B3

可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把 B 欄的數值改成自己的值即可。

用 Python 計算的方法

# 求比例式 A:B = C:D 的 D（內項乘積 ÷ A）
ratio_a = 3
ratio_b = 4
ratio_c = 600

ratio_d = ratio_b * ratio_c / ratio_a
print(f"D = {ratio_d}")  # 800.0

# 比的放大、縮小（例：把 250:280 縮小為 1/2.5）
left_term = 250
right_term = 280
scale_factor = 2.5

print(f"縮小後的比 = {left_term / scale_factor} : {right_term / scale_factor}")  # 100.0 : 112.0

只用標準函式庫就能執行。「*」是乘號，「/」是除號。想放大時，把「/ scale_factor」改成「* scale_factor」即可。請改寫開頭的數值後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

比例式的性質（外項乘積＝內項乘積）

A × D = B × C

A \times D = B \times C

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>B</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

A xx D = B xx C

a d == b c

a * d = b * c;  # D 是 Maple 的保留字（微分運算子），所以變數全部用小寫

A * D == B * C;

A×D=B×C

求剩下的項（求 \(D\) 的情況）

D = B × C ÷ A

D = \dfrac{B \times C}{A}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>B</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>C</mi></mrow>
      <mi>A</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

D = (B xx C)/A

b c / a

d := b * c / a;  # D 是 Maple 的保留字（微分運算子），所以變數全部用小寫

D = B * C / A;

D=(B×C)/A

比的放大（變成 \(k\) 倍）

a′ = a × k,  b′ = b × k

a' = a \times k,\quad b' = b \times k

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi>
    <mo>,</mo>
    <msup><mi>b</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi>
  </mrow>
</math>

a' = a xx k, b' = b xx k

{a k, b k}

aNew := a * k; bNew := b * k;

aNew = a * k; bNew = b * k;

a′=a×k, b′=b×k

比的縮小（變成 \(1/k\)）

a′ = a ÷ k,  b′ = b ÷ k

a' = \dfrac{a}{k},\quad b' = \dfrac{b}{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>k</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <msup><mi>b</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>k</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

a' = a/k, b' = b/k

{a/k, b/k}

aNew := a / k; bNew := b / k;

aNew = a / k; bNew = b / k;

a′=a/k, b′=b/k

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是比的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。

1. 請用「內項乘積＝外項乘積」（A×D＝B×C），求出比例式 3:4 = 600:D 的 D。
2. 請求出把比 250:280 縮小為 1/2.5 後的比。

請列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。