次方計算機（乘方、a 的 n 次方）

在底數 a、指數 n、乘方的結果 y 這 3 個欄位中，只要填入已知的 2 個，剩下的 1 個會自動算出（一般求「a 的 n 次方」時，填入底數和指數）。下方的數學式和輸入欄連動，也可以直接改寫式子中的底數、指數或結果來計算。

底數 a（連乘的數）

指數 n（乘的次數）

乘方的結果 y（反求時輸入）

數值請用半形輸入。指數可以是負數（-3）或小數（0.5）。底數也可以輸入代表尤拉數的「e」。3 個欄位都填入會出現錯誤。

計算結果

在左邊的輸入欄輸入底數和指數（或要反求時已知的 2 個值），按下「計算」，結果就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入「底數 \(a\)」和「指數 \(n\)」，馬上就能知道乘方 \(a^n\)（\(a\) 的 \(n\) 次方）
負指數（\(2^{-3}\)）、小數指數（\(4^{0.5}\)）、負的底數（\((-2)^5\)）也能計算。底數想用尤拉數時，可以輸入「e」
也能反過來計算，例如「2 的幾次方是 1024？」（反求指數）、「哪個數的 3 次方是 125？」（反求底數）
像 \(2^{60} = 1152921504606846976\) 這樣的大數，也會把每一位都算出來，不會省略
淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面

在底數、指數、乘方的結果這 3 個之中，輸入「已知的 2 個」，就會算出剩下的 1 個。負數搭配小數指數的計算（例：(-4) 的 0.5 次方），答案不是實數，所以無法計算。

這個計算有什麼用？

了解複利讓錢變多的速度（存款、投資、貸款）

以年利率 3% 投資，10 年後本金會變成 \(1.03^{10} \approx 1.344\) 倍（約 1.34 倍）。利息再生利息的「複利」，正是「同樣的倍率一再相乘」的乘方計算。
反過來說，貸款和信用卡循環利息的餘額也是用同樣的公式膨脹。這是最貼近生活的乘方，能幫您用數字而不是感覺來規劃人生的財務。

估算細菌增加的速度（食品衛生）

有些細菌在條件好時，大約每 20 分鐘分裂 1 次。3 小時就分裂 9 次，1 個細菌會增加到 \(2^{9} = 512\) 個（這是養分和溫度都維持在理想條件下的估計）。
常說「食物不要放在室溫下」，原因就在於這種乘方爆炸性的增加方式。

計算藥物和放射性物質減少的方式（醫療、防災）

體內的藥量每經過一個「半衰期」就減為一半。經過 5 個半衰期，會減少到 \(0.5^{5} = 0.03125\)（約 3%）（實際的減少方式會受個人差異和身體狀況影響）。
放射性物質的衰變也是完全相同的公式，是醫療和防災估計「還會剩下多少」的基礎。

電腦與資料容量（2 的次方）

電腦是用 0 和 1 兩種選擇（位元）的組合來運作，所以到處都會出現 2 的次方。1 KB 習慣上是 \(2^{10} = 1024\) 位元組（依規格也有算成 1000 位元組的做法），32 位元能表示的組合有 \(2^{32} = 4294967296\)（約 43 億）種，全彩影像的顏色數是 \(2^{24}\)（約 1678 萬）色。
這是工程師和遊戲開發者每天都在用、支撐現代社會的乘方。

正確解讀地震規模「差 1」的意義（防災）

地震規模大 1 的地震，釋放的能量是 \(10^{1.5} \approx 31.6\) 倍（約 32 倍），大 2 就是 \(10^{3} = 1000\) 倍。
「規模 7 和規模 8 數字只差 1，災情卻完全不同」，透過乘方就能實際體會，幫助您正確解讀防災新聞。

公式

乘方（\(a\) 的 \(n\) 次方）

數學寫法（一般的數學式）

\(y\) \(=\) \(a\) \(n\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(y\)：乘方的結果 \(=\) ① \(a\)：底數 ② \(n\)：指數

用文字讀公式

① 把 \(a\)：底數

② 自己連乘 \(n\)：指數所表示的次數，

③ 就得到 \(y\)：乘方的結果

簡單範例

2 的 5 次方（2 連乘 5 次）：

\(y\)：乘方的結果 \(=\) 底數（2）指數（5 次）

\(2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\)

思考重點

指數就是把「乘的次數」小小地寫在數的右上方。再一起記住 \(a^1 = a\)（只有 1 個＝維持原樣）、\(a^0 = 1\)（不是 0 的數的 0 次方都規定為 1）這兩個約定，接下來的負指數、分數指數就能順利理解。

負指數（\(a\) 的 \(-n\) 次方）

數學寫法（一般的數學式）

\(a^{-n}\) \(=\) \(1\) \(\div\) \(a^{n}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(a^{-n}\)：a 的 −n 次方 \(=\) ① \(1\)：基準的 1 \(\div\) ② \(a^n\)：a 的 n 次方

用文字讀公式

① 把 \(1\)：基準的 1

② 除以 \(a^n\)：a 的 n 次方（\(a\) 連乘 \(n\) 次），

③ 就得到 \(a^{-n}\)：a 的 −n 次方（乘方的倒數）

簡單範例

2 的 −3 次方：

\(2^{-3}\)：2 的 −3 次方 \(=\) \(1\)：基準的 1 \(\div\) 2 的 3 次方（8）

\(2^{-3} = 1 \div 2^{3} = 1 \div 8 = 0.125\)

思考重點

負指數代表「乘」的相反——「除」。這是為了讓 \(a^{n} \times a^{-n} = a^{n-n} = a^{0} = 1\) 成立而規定的，是和指數律（公式 4）不矛盾的自然推廣。

分數、小數指數（\(a\) 的 \(\frac{1}{n}\) 次方）

數學寫法（一般的數學式）

\(a^{1/n}\) \(=\) \(\sqrt[n]{a}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② \(a^{1/n}\)：a 的 1/n 次方 \(=\) ① \(\sqrt[n]{a}\)：a 的 n 次方根

用文字讀公式

① \(\sqrt[n]{a}\)：a 的 n 次方根是「\(n\) 次方後等於 \(a\) 的數」，用指數表示就是

② \(a^{1/n}\)：a 的 1/n 次方（分數、小數指數代表方根）

簡單範例

4 的 0.5 次方（因為 \(0.5 = \frac{1}{2}\)，就是平方根）：

\(4^{0.5}\)：4 的 0.5 次方 \(=\) \(\sqrt{4}\)：4 的正平方根

\(4^{0.5} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)

思考重點

在計算機和這個頁面，分數指數要換成小數輸入（\(\frac{1}{2}\) 就是 0.5）。但負數搭配分數、小數指數時，答案不是實數，所以無法計算（例：\((-4)^{0.5}\) 是「平方後等於 \(-4\) 的數」，在實數中不存在）。

指數律（相乘就是指數相加）

數學寫法（一般的數學式）

\(a^{n}\) \(\times\) \(a^{m}\) \(=\) \(a^{n+m}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① \(a^n\)：乘方 \(\times\) ② \(a^m\)：乘方 \(=\) ③ \(a^{n+m}\)：指數相加後的乘方

用文字讀公式

① 把 \(a^n\)：底數相同的乘方

② 乘上 \(a^m\)：底數相同的乘方，把指數相加，

③ 就得到 \(a^{n+m}\)：乘方

簡單範例

2 的 3 次方 × 2 的 4 次方：

2 的 3 次方（8） \(\times\) 2 的 4 次方（16） \(=\) 2 的 7 次方（128）

\(2^{3} \times 2^{4} = 2^{3+4} = 2^{7} = 128\)

思考重點

「2 連乘 3 次」再乘上「2 連乘 4 次」，等於 2 總共連乘 7 次——這就是指數律的意思。同樣的道理，相除是指數相減 \(a^{n} \div a^{m} = a^{n-m}\)，乘方的乘方是指數相乘 \((a^{n})^{m} = a^{nm}\)。

反求指數（求幾次方、對數）

數學寫法（一般的數學式）

\(n\) \(=\) \(\ln y\) \(\div\) \(\ln a\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(n\)：指數 \(=\) ① \(\ln y\)：結果的自然對數 \(\div\) ② \(\ln a\)：底數的自然對數

用文字讀公式

① 把 \(\ln y\)：結果的自然對數

② 除以 \(\ln a\)：底數的自然對數，

③ 就得到 \(n\)：指數（\(a\) 的幾次方會等於 \(y\)）

簡單範例

2 的幾次方等於 1024（\(2^{n} = 1024\) 的 \(n\)）：

\(n\)：指數 \(=\) 1024 的自然對數（約 6.931） \(\div\) 2 的自然對數（約 0.693）

\(n = \ln 1024 \div \ln 2 = 10\ \ (2^{10} = 1024)\)

思考重點

求「幾次方」的計算叫做對數（log）。原本寫成 \(\log_2 1024\)（以 2 為底的對數），但大多數工程計算機只有 log（常用對數）和 ln（自然對數）兩個按鍵，所以改用「結果的對數 ÷ 底數的對數」求出同樣的值（換底公式）。用 log 或 ln 都可以，只要分子和分母用同一種，結果就一樣。

反求底數（\(n\) 次方等於 \(y\) 的數、方根）

數學寫法（一般的數學式）

\(a\) \(=\) \(y\) \(1/n\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(a\)：底數 \(=\) ① \(y\)：乘方的結果 ② \(\frac{1}{n}\)：指數的倒數

用文字讀公式

① 把 \(y\)：乘方的結果

② 取 \(\frac{1}{n}\)：指數的倒數次方（也就是開 \(n\) 次方根），

③ 就得到 \(a\)：底數

簡單範例

3 次方等於 125 的數（\(a^{3} = 125\) 的 \(a\)）：

\(a\)：底數 \(=\) 結果（125）指數的倒數（1/3）

\(a = 125^{1/3} = \sqrt[3]{125} = 5\ \ (5 \times 5 \times 5 = 125)\)

思考重點

「\(n\) 次方等於 \(y\) 的數」（\(y\) 的 \(n\) 次方根），正是公式 3 的分數、小數指數。結果 \(y\) 是負數時，只有指數是奇數才找得到答案（例：\((-2)^5 = -32\)，所以 5 次方等於 \(-32\) 的數是 \(-2\)）。偶數次方的結果不可能是負數，所以無解。

乘方是「把同一個數（底數）連乘指數所表示的次數」的計算。負指數代表「倒數」，分數、小數指數代表「方根」。反求時的訣竅是：求指數用對數，求底數用方根（1/n 次方）。

符號與用語解說

符號

\(a\)	a（底數）	連乘的原本的數（底數）。（例：2 的 5 次方就是 2）
\(n\)	n（指數）	乘的次數（指數），小小地寫在數的右上方。（例：2 的 5 次方就是 5）
\(a^n\)	a 的 n 次方	\(a\) 連乘 \(n\) 次的值（乘方）。（例：\(2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\)）
\(y\)	y	在這個頁面，代表乘方的計算結果。
\(\sqrt[n]{a}\)	a 的 n 次方根	\(n\) 次方後等於 \(a\) 的數（方根）。用指數寫就和 \(a^{1/n}\) 相同。
\(\ln y\)	ln y（y 的自然對數）	以尤拉數 \(e\) 為底的對數。表示「\(e\) 的幾次方會等於 \(y\)」，用來反求指數。
\(e\)	e（尤拉數）	約 2.71828 的特別常數，代表連續的成長（複利的極限），在微積分和統計中隨處可見。這個計算機可以在底數輸入「e」來使用。

用語

乘方（次方）	把同一個數連乘好幾次的計算。台灣的課本叫做「乘方」，結果讀作「2 的 3 次方」，也有人說「冪」，意思都相同。
底數	在乘方中被連乘的原本的數，也就是 \(a^n\) 的 \(a\)。
指數	表示乘的次數、小小寫在右上方的數，也就是 \(a^n\) 的 \(n\)。意義已推廣到 0 次方、負指數、分數指數。
指數律	\(a^n \times a^m = a^{n+m}\)（相乘就是指數相加）等乘方計算規則的總稱。0 次方等於 1、負指數代表倒數，也都是為了和這些規則不矛盾而規定的。
方根（n 次方根）	\(n\) 次方後等於原本的數的數。是平方根、立方根等的總稱，和分數、小數指數（\(1/n\) 次方）相同。
倒數	1 除以該數所得的數（相乘會等於 1 的數）。2 的倒數是 1/2。負指數代表乘方的倒數。
對數	表示「底數的幾次方會等於目標的數」的數，記號是 log。是反求乘方的「指數」的工具。
自然對數	以尤拉數 \(e\) 為底的對數，記號是 ln。工程計算機的 ln 鍵就是這個。
常用對數	以 10 為底的對數，通常省略底數寫成 log。台灣在高一學到。
尤拉數（自然常數）	\(e = 2.71828\cdots\) 這個特別的常數。是自然對數的底數，在連續計算利息時的極限等「連續成長」的場合出現。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。

乘法（國小二年級，7～8 歲）	會把同一個數重複相乘好幾次
小數、分數的計算（國小五～六年級，10～12 歲）	會算 \(0.5 \times 0.5\) 這樣的小數乘法能把 \(\frac{1}{2}\) 和 0.5 這樣的分數和小數互相換算
次方與指數的意義（國中七年級，12～13 歲）	知道像 \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\) 這樣，右上方的小數字（指數）代表「乘的次數」知道負數的偶數次方是正數、奇數次方是負數（\((-2)^4 = 16\)、\((-2)^5 = -32\)）
平方根（國中八年級，13～14 歲）	能像 \(\sqrt{4} = 2\) 這樣，求出「平方後等於原本的數的數」
指數的推廣與指數律（高一，15～16 歲）	知道規定 0 次方等於 1、負指數代表倒數、分數指數代表方根能用指數律 \(a^n \times a^m = a^{n+m}\) 整理乘方的乘法
對數（高一～高二，15～17 歲）	知道求「底數的幾次方會等於目標的數」的計算就是對數（log）（反求指數時使用）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「乘方（a 的 n 次方）」的表

底數 a	2
指數 n	5
乘方 a^n	=B1^B2

求「負指數」的表

底數 a	2
指數 n（要取負的次數）	3
−n 次方 a^(-n)	=B1^(-B2)
用倒數計算也是同樣的值 1/a^n	=1/B1^B2

求「分數、小數指數（方根）」的表

底數 a	4
指數（用小數輸入）	0.5
a^0.5（和平方根相同）	=B1^B2
用 SQRT 函數驗算	=SQRT(B1)

確認「指數律（相乘就是指數相加）」的表

底數 a	2
指數 n	3
指數 m	4
a^n × a^m	=B1^B2*B1^B3
a^(n+m)（會是同樣的值）	=B1^(B2+B3)

求「反求指數（幾次方）」的表

底數 a	2
乘方的結果 y	1024
指數 n（a 的幾次方等於 y）	=LOG(B2,B1)

求「反求底數（n 次方等於 y 的數）」的表

指數 n	3
乘方的結果 y	125
底數 a（y 的 1/n 次方）	=B2^(1/B1)

貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上面幾列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
「^」是乘方的符號，「=B1^B2」的意思是「把 B1 的值連乘 B2 次」。反求指數時使用 LOG 函數（=LOG（數值，底數））。
例如第 1 個表的 B3 會顯示 32，第 5 個表的 B3 會顯示 10。只要把輸入欄的數值改成您自己的值就能使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「乘方（a 的 n 次方）」的表

底數 a	2
指數 n	5
乘方 a^n	=B1^B2

求「負指數」的表

底數 a	2
指數 n（要取負的次數）	3
−n 次方 a^(-n)	=B1^(-B2)
用倒數計算也是同樣的值 1/a^n	=1/B1^B2

求「分數、小數指數（方根）」的表

底數 a	4
指數（用小數輸入）	0.5
a^0.5（和平方根相同）	=B1^B2
用 SQRT 函數驗算	=SQRT(B1)

確認「指數律（相乘就是指數相加）」的表

底數 a	2
指數 n	3
指數 m	4
a^n × a^m	=B1^B2*B1^B3
a^(n+m)（會是同樣的值）	=B1^(B2+B3)

求「反求指數（幾次方）」的表

底數 a	2
乘方的結果 y	1024
指數 n（a 的幾次方等於 y）	=LOG(B2,B1)

求「反求底數（n 次方等於 y 的數）」的表

指數 n	3
乘方的結果 y	125
底數 a（y 的 1/n 次方）	=B2^(1/B1)

和 Excel 相同的公式（^ 運算子、LOG 函數、SQRT 函數）可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的值。

用 Python 計算的方法

base = 2       # 底數（被連乘的數）
exponent = 5   # 指數（乘的次數）

power = base ** exponent   # 乘方（底數的指數次方）
print(f"{base} 的 {exponent} 次方：{power}")

# --- 反求（對數、方根）時使用 math 模組 ---
import math

n = math.log(1024, 2)   # 反求指數：2 的幾次方是 1024
a = 125 ** (1 / 3)      # 反求底數：3 次方等於 125 的數（立方根）
print(f"2 的幾次方是 1024：{n}")
print(f"3 次方等於 125 的數：{round(a, 10)}")

只用標準函式庫就能執行。「**」是乘方的運算子，負指數（2 ** -3）和小數指數（4 ** 0.5）也能直接寫。反求底數時，小數計算的誤差可能讓結果有極小的偏差（變成 4.999…），所以用 round 捨入。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

乘方（\(a\) 的 \(n\) 次方）

y = aⁿ

y = a^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup>
  </mrow>
</math>

y = a^n

a^n

y := a^n;

y = a^n;

y = a^n

負指數（\(a\) 的 \(-n\) 次方）

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mrow><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup></mfrac>
  </mrow>
</math>

a^(-n) = 1/a^n

a^(-n)

y := 1/a^n;

y = 1/a^n;

a^(-n) = 1/a^n

分數、小數指數（\(a\) 的 \(\frac{1}{n}\) 次方）

a^(1/n) = ⁿ√a

a^{1/n} = \sqrt[n]{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
    <mo>=</mo>
    <mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
  </mrow>
</math>

a^(1/n) = root(n)(a)

Surd[a, n]

y := surd(a, n);

y = nthroot(a, n);

a^(1/n) = √(n&a)

指數律（相乘就是指數相加）

aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ

a^{n} \times a^{m} = a^{n+m}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <msup><mi>a</mi><mi>m</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>m</mi></mrow></msup>
  </mrow>
</math>

a^n xx a^m = a^(n+m)

a^n*a^m

y := a^n*a^m;

y = a^n*a^m;

a^n × a^m = a^(n+m)

反求指數（求幾次方、對數）

n = ln y ÷ ln a

n = \frac{\ln y}{\ln a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>y</mi></mrow>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n = ln(y)/ln(a)

Log[a, y]

n := log[a](y);

n = log(y)/log(a);

n = ln(y)/ln(a)

反求底數（\(n\) 次方等於 \(y\) 的數、方根）

a = y^(1/n) = ⁿ√y

a = y^{1/n} = \sqrt[n]{y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>y</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
    <mo>=</mo>
    <mroot><mi>y</mi><mi>n</mi></mroot>
  </mrow>
</math>

a = y^(1/n) = root(n)(y)

Surd[y, n]

a := surd(y, n);

a = nthroot(y, n);

a = y^(1/n) = √(n&y)

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是乘方（次方）計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。

1. 求 2 的 5 次方。
2. 求 2 的幾次方會等於 1024（指數）。
3. 求 3 次方等於 125 的數（底數）。

請分別列出計算用的公式，以及執行結果的數值。