請輸入項數（要算到第幾項），再按「計算」。會一次算出費氏數列（1, 1, 2, 3, 5, 8,…）的前幾項、第 n 項，以及從首項到第 n 項的和。
項數 n 請輸入正整數（1～1000）。所有計算都用精確的整數進行，即使項很大，每一位數也都沒有誤差。
計算結果與圖表
在左側輸入欄輸入項數，按下「計算」，結果和圖表就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入一個數：項數（要算到第幾項），就能一次求出費氏數列（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…）的第 \(n\) 項，以及從首項到第 \(n\) 項的和
- 像「費氏數列的第 20 個數是多少？前 20 個全部加起來是多少？」這類問題，可以直接用來解答
- 最多可以算到第 1000 項（209 位數），每一位數都是精確值
- 除了計算結果，還能用圖表看到費氏數列「前兩項相加就是下一項」的增加方式
- 這個頁面還整理了公式（遞迴關係式）的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式
這個計算機的費氏數列從 1 開始，寫成「1, 1, 2, 3, 5,…」（第 1 項＝1、第 2 項＝1）。有些書會在最前面放 0，寫成「0, 1, 1, 2, 3,…」，這時 0 通常算作「第 0 項」，所以從第 1 項＝1 開始，編號都和本頁相同。（如果把 0 當成「第 1 項」，每一項的編號都會差 1，請特別注意。）
這個計算有什麼用？
學程式的經典題材（資訊科學）
費氏數列的規則很簡單：「把前兩項相加」，因此是程式設計入門學習迴圈和遞迴（呼叫自己的函數）的經典題材。同樣的答案，會因為程式的寫法不同，花費的時間天差地遠（單純用遞迴算到第 50 項，需要非常多次的呼叫），所以在演算法課程中也很常見。
還有以它命名的資料結構（費氏堆積）和搜尋方法（費氏搜尋），是資訊科學的基本題材之一。
相鄰兩項的比接近黃金比例（數學、設計）
數學上已證明，費氏數列相鄰兩項的比（後項 ÷ 前項），越往後越接近黃金比例 \(\varphi = 1.618\cdots\)。實際上 \(55 \div 34 \approx 1.6176\)、\(89 \div 55 \approx 1.6182\)，到第 10 項左右，小數點以下 2 位就已經一致。
黃金比例被視為和諧的比例，有時會用在設計上，例如常有人說信用卡的長寬比很接近黃金比例。只靠整數相加做出來的數列，竟然會出現黃金比例，這正是費氏數列最美妙的性質。
兔子的繁殖（數列由來的問題）
費氏數列源自 13 世紀義大利數學家費波那契的著作《計算之書》（Liber Abaci）中的問題：「一對剛出生的兔子，從出生後第 2 個月起，每個月都會生下一對新的兔子。每個月的兔子對數會怎麼變化？」每個月的對數依 1, 1, 2, 3, 5, 8,…增加，到第 12 個月會有 144 對。
當然，真正的兔子並不會完全照這樣繁殖，這是理想化的模型。不過，它成為用數列描述「數量的增加取決於稍早之前的數量」的起點。
軟體開發的工作量估算（資訊、專案管理）
在敏捷軟體開發中，常用以費氏數列為基礎的數字，例如 1, 2, 3, 5, 8, 13,…（稱為故事點）來估算工作量。
數字越大，間隔也越大，這符合「工作越大越難精確估算」的實際情況，也能避免「這是 8 還是 9？」這種過度細瑣的爭論。
出現在植物的螺旋數中（生物、自然觀察）
有許多例子顯示螺旋的條數是費氏數（8, 13, 21, 34, 55,…），例如向日葵種子排列的螺旋（例如一個方向 34 條、另一個方向 55 條），以及松果、鳳梨鱗片的螺旋。這可以用植物的生長方式來解釋：新的芽和種子會朝著不和既有部分重疊的方向長出來。
不過，並不是所有植物、所有樣本都符合，這是「很多例子剛好是費氏數」的傾向。不妨數數看身邊植物的螺旋，說不定就會遇見這個數列。
公式與圖表
求下一項的公式（費氏數列的遞迴關係式）
圖表
數學寫法
（一般的數學式）
\(a_n\)
\(=\)
\(a_{n-1}\)
\(+\)
\(a_{n-2}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(a_n\)：第 \(n\) 項
\(=\)
①
\(a_{n-1}\)：前一項
\(+\)
②
\(a_{n-2}\)：往前第 2 項
用文字讀公式
①
把
\(a_{n-1}\)：前一項
加上
②
\(a_{n-2}\)：往前第 2 項
，
③
就得到
\(a_n\)：第 \(n\) 項
簡單範例
費氏數列 1, 1, 2, 3, 5, 8,…的第 7 項是
\(a_7\)：第 7 項
\(=\)
前一項（第 6 項＝8）
\(+\)
往前第 2 項（第 5 項＝5）
\(8 + 5 = 13\)
思考重點
光靠這個公式，還無法決定最前面的兩項。要再加上「最前面兩項都是 \(1\)」（\(a_1 = 1,\ a_2 = 1\)）這個規定（初始條件），整個數列才會完全確定。
像這樣寫成「由前面的項決定下一項的規則」的式子，稱為遞迴關係式。它和等差數列、等比數列的一般項（代入 \(n\) 馬上就能得到值的公式）不同，要求第 \(n\) 項，必須從第 2 項開始依序一路加上去。
有些書會在最前面放 \(0\)，寫成 \(0, 1, 1, 2, 3, \cdots\)。這種寫法通常把 \(0\) 算作第 0 項（\(a_0 = 0\)），所以從第 1 項開始（\(a_1 = 1,\ a_2 = 1, \cdots\)），編號和值都和本頁相同。只有把 \(0\) 當成第 1 項時，編號才會差 1。這個計算機採用台灣多數教科書的數法：從 \(1, 1\) 開始，第 1 項＝1。
求首項到第 \(n\) 項之和的公式（和的性質）
圖表
數學寫法
（一般的數學式）
\(S_n\)
\(=\)
\(a_{n+2}\)
\(-\)
\(1\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(S_n\)：第 1 項到第 \(n\) 項的和
\(=\)
①
\(a_{n+2}\)：往後第 2 項
\(-\)
②
\(1\)
用文字讀公式
①
從
\(a_{n+2}\)：往後第 2 項
減去
②
\(1\)
，
③
就得到
\(S_n\)：第 1 項到第 \(n\) 項的和
簡單範例
費氏數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…從首項到第 6 項的和（1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8）是
\(S_6\)：到第 6 項的和
\(=\)
往後第 2 項（第 8 項＝21）
\(-\)
1
\(21 - 1 = 20\)
思考重點
「想知道和，只要看往後第 2 項再減 \(1\)」，這是費氏數列特有的方便性質。不必一項一項相加，一步就能求出和。
為什麼會成立呢？把遞迴關係式改寫成 \(a_k = a_{k+2} - a_{k+1}\)（某一項＝往後第 2 項 − 後一項），套用到 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) 的每一項，相鄰的部分會接連互相抵消，最後只剩下 \(a_{n+2} - a_2 = a_{n+2} - 1\)。
也可以用這個性質來驗算這個計算機。例如到第 10 項的和是 143，剛好比第 12 項的 144 少 1。
費氏數列是「前兩項相加就是下一項」的數列（最前面兩項都是 1）。第 \(n\) 項可以用遞迴關係式 \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\) 依序求出；從首項到第 \(n\) 項的和，則用「往後第 2 項減 \(1\)」（\(S_n = a_{n+2} - 1\)）求出。
符號與用語解說
符號
| \(n\) | n | 項數。表示要考慮到第幾項的正整數。「到第 10 項」就是 \(n = 10\)。 |
| \(a_n\) | a 下標 n | 第 \(n\) 項，也就是數列的第 \(n\) 個數。右下角的小字（下標）表示「第幾個」。在費氏數列中，\(a_1 = 1,\ a_2 = 1,\ a_3 = 2,\ a_4 = 3, \cdots\)。 |
| \(a_{n-1}\) | a 下標 n 減 1 | 第 \(n\) 項的前一項。對第 10 項來說，就是第 9 項。下標裡的減法表示「編號往前一個」。 |
| \(a_{n-2}\) | a 下標 n 減 2 | 第 \(n\) 項的往前第 2 項。對第 10 項來說，就是第 8 項。 |
| \(a_{n+2}\) | a 下標 n 加 2 | 第 \(n\) 項的往後第 2 項。對第 10 項來說，就是第 12 項。從首項到第 \(n\) 項的和，等於這一項減 \(1\)。 |
| \(S_n\) | S 下標 n | 從首項到第 \(n\) 項的和，是把 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) 簡寫的符號。S 取自英文 sum（和）的第一個字母。 |
| \(\varphi\) | phi | 表示黃金比例的符號，值為 \(\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618\cdots\)。費氏數列相鄰兩項的比（後項 ÷ 前項），越往後越接近這個值。 |
| \(\cdots\) | 刪節號 | 表示「依同樣的規則繼續下去」的符號。寫成 1, 1, 2, 3, 5, 8,…就表示「之後也依前兩項相加的規則繼續」。 |
用語
| 數列 | 把數依順序排成一列。排在其中的每一個數稱為「項」。 |
| 費氏數列 | 最前面兩項是 1, 1，之後依「前兩項相加就是下一項」的規則延續的數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…。也稱為費波那契數列，源自 13 世紀義大利數學家費波那契（Fibonacci）在著作中介紹的「兔子繁殖」問題。其中的每一個數稱為費氏數。 |
| 項 | 數列中的每一個數。從最前面開始，依序稱為第 1 項、第 2 項、…。 |
| 首項 | 數列最前面的一項，也就是第 1 項。在費氏數列（本頁的數法）中是 1。 |
| 遞迴關係式 （遞迴式） |
用「由前面的項決定下一項的規則」來表示數列的式子。費氏數列的遞迴關係式是 \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\)。在高一的「數列與級數」中學到。 |
| 初始條件 | 和遞迴關係式一起給定的「最前面幾項的值」。費氏數列的初始條件是 \(a_1 = 1,\ a_2 = 1\)，少了它，光靠遞迴關係式無法決定數列。 |
| 黃金比例 | \(1 : \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\)（約 \(1 : 1.618\)）這個比，也稱為黃金比。自古以來被視為和諧的比例，用符號 \(\varphi\)（phi）表示。數學上已證明，費氏數列相鄰兩項的比，越往後越接近黃金比例。 |
| 一般項 | 把第 \(n\) 項寫成 \(n\) 的式子。費氏數列也有使用黃金比例 \(\varphi\) 的一般項（稱為比內公式），但它含有 \(\sqrt{5}\)，式子稍微複雜，如果只是要求值，用遞迴關係式依序相加比較可靠。 |
| 等差數列 | 相鄰兩項的差永遠相同的數列，例如 5, 8, 11, 14,…（每次加 3）。加上「固定的數」是等差數列，加上「前兩項」則是費氏數列。 |
| 等比數列 | 相鄰兩項的比永遠相同的數列，例如 3, 6, 12, 24,…（每次乘 2）。費氏數列不是等比數列，但越往後，會以「每次約 1.618 倍」這個幾乎固定的比率增加，表現得很像等比數列。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到困難時，回頭複習這張表的內容是最快的方法。
| 整數的加法與直式計算（國小二～三年級，7～9 歲） |
|
| 數量的規律（國小四～六年級，9～12 歲） |
|
| 以符號代表數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 數列的記號與遞迴關係式（國中八年級～高一，13～16 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「第 n 項」的表格（到第 10 項）
| 第 1 項 | 1 |
| 第 2 項 | 1 |
| 第 3 項 | =B1+B2 |
| 第 4 項 | =B2+B3 |
| 第 5 項 | =B3+B4 |
| 第 6 項 | =B4+B5 |
| 第 7 項 | =B5+B6 |
| 第 8 項 | =B6+B7 |
| 第 9 項 | =B7+B8 |
| 第 10 項 | =B8+B9 |
求「首項到第 n 項的和」的表格（到第 10 項的和）
| 第 1 項 | 1 |
| 第 2 項 | 1 |
| 第 3 項 | =B1+B2 |
| 第 4 項 | =B2+B3 |
| 第 5 項 | =B3+B4 |
| 第 6 項 | =B4+B5 |
| 第 7 項 | =B5+B6 |
| 第 8 項 | =B6+B7 |
| 第 9 項 | =B7+B8 |
| 第 10 項 | =B8+B9 |
| 首項到第 10 項的和 | =SUM(B1:B10) |
貼上後，只有 B1、B2（最前面兩項＝1）是輸入欄，B3 以下會自動計算「上一格＋上兩格」。式子中的「B1」「B2」表示「使用該儲存格的數」，「+」是加法，SUM(B1:B10) 表示「把 B1 到 B10 全部加起來」。
第一個表格的 B10 會顯示 55（第 10 項），第二個表格的 B11 會顯示 143（到第 10 項的和）。想知道更後面的項，選取最下面「=B8+B9」的儲存格，把右下角的小方塊往下拖曳，就會依同樣的規則延續下去（儲存格的公式正是「前兩項相加」這個遞迴關係式）。
第一個表格的 B10 會顯示 55（第 10 項），第二個表格的 B11 會顯示 143（到第 10 項的和）。想知道更後面的項，選取最下面「=B8+B9」的儲存格，把右下角的小方塊往下拖曳，就會依同樣的規則延續下去（儲存格的公式正是「前兩項相加」這個遞迴關係式）。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「第 n 項」的表格（到第 10 項）
| 第 1 項 | 1 |
| 第 2 項 | 1 |
| 第 3 項 | =B1+B2 |
| 第 4 項 | =B2+B3 |
| 第 5 項 | =B3+B4 |
| 第 6 項 | =B4+B5 |
| 第 7 項 | =B5+B6 |
| 第 8 項 | =B6+B7 |
| 第 9 項 | =B7+B8 |
| 第 10 項 | =B8+B9 |
求「首項到第 n 項的和」的表格（到第 10 項的和）
| 第 1 項 | 1 |
| 第 2 項 | 1 |
| 第 3 項 | =B1+B2 |
| 第 4 項 | =B2+B3 |
| 第 5 項 | =B3+B4 |
| 第 6 項 | =B4+B5 |
| 第 7 項 | =B5+B6 |
| 第 8 項 | =B6+B7 |
| 第 9 項 | =B7+B8 |
| 第 10 項 | =B8+B9 |
| 首項到第 10 項的和 | =SUM(B1:B10) |
和 Excel 相同的公式可以直接使用。請把表格整個複製，貼到 A1 儲存格。B10 會顯示 55（第 10 項），第二個表格的 B11 會顯示 143（和）。想知道更後面的項，把最下面的公式儲存格往下拖曳就能延續。
用 Python 計算的方法
number_of_terms = 10 # 項數（要算到第幾項）
# 費氏數列：最前面兩項是 1，之後每一項都是前兩項的和
fibonacci = [1, 1]
while len(fibonacci) < number_of_terms:
fibonacci.append(fibonacci[-1] + fibonacci[-2])
fibonacci = fibonacci[:number_of_terms]
nth_term = fibonacci[-1] # 第 n 項
sum_of_terms = sum(fibonacci) # 第 1 項到第 n 項的和
print(f"前幾項：{fibonacci[:10]}")
print(f"第 {number_of_terms} 項：{nth_term}")
print(f"第 1 項到第 {number_of_terms} 項的和：{sum_of_terms}")
只用標準函式庫就能執行。請修改最上面的數值（項數）再執行。這個例子會顯示第 10 項 55、和 143。Python 的整數沒有位數限制，所以即使是 1000 項（第 1000 項有 209 位數）也能得到精確值。fibonacci[-1] 的「-1」表示「串列的最後一個」，[-2] 表示「倒數第二個」，所以程式碼直接寫出了「前兩項相加」這個遞迴關係式。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
求下一項的公式（費氏數列的遞迴關係式）
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3,\ a_1 = a_2 = 1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
</mrow>
</math>
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
a[n] == a[n - 1] + a[n - 2]
a(n) := a(n - 1) + a(n - 2);
a(n) = a(n - 1) + a(n - 2);
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
求首項到第 \(n\) 項之和的公式（和的性質）
Sₙ = aₙ₊₂ − 1
S_n = a_{n+2} - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
S_n = a_(n+2) - 1
Fibonacci[n + 2] - 1
Sn := a(n + 2) - 1;
S_n = a(n + 2) - 1;
S_n = a_(n+2) - 1
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是費氏數列的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。費氏數列定義為 a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_(n-1) + a_(n-2)（n ≥ 3）。和請實際把各項相加求出，並確認它也符合 S_n = a_(n+2) - 1 這個性質。 1. 費氏數列的第 10 項，以及第 1 項到第 10 項的和 2. 費氏數列的第 20 項，以及第 1 項到第 20 項的和 3. 費氏數列的第 50 項，以及第 50 項除以第 49 項的值（也確認它接近黃金比例 1.6180…） 請列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
等差數列計算機（第 n 項、首項到第 n 項的和）
由首項、公差和項數算出第 n 項與總和（每次「加上」同一個數的數列，和費氏數列一樣是最具代表性的數列）
等比數列計算機（第 n 項、首項到第 n 項的和）
由首項、公比和項數算出第 n 項與總和（每次「乘上」同一個數的數列。費氏數列越往後，也會以幾乎固定的比值，也就是黃金比例增加）
