書籤    
鞋碼換算    
根號化簡    
梯形面積    
圓的計算    
扇形面積    
橢圓面積    
圓柱體積    
球的體積    
圓錐體積    
圓管體積    
年齡計算    
天數計算    
複利計算    
單利計算    
利息計算    
現值計算    
ROI 計算機    
IRR 計算機    
GDP 計算機    
ROAS 計算    
BMI 計算機    
BMR 計算機    
1RM 計算機    
進位轉換    
薪資換算    
油錢計算    
油耗計算    
坡度計算    
   新增
機率與隨機計算工具
獨立事件機率
獨立事件機率
兩事件機率反推
兩事件機率反推
重複試驗機率
重複試驗機率
條件機率與貝氏定理
條件機率與貝氏定理
期望值計算機
期望值計算機
二項分布計算機
二項分布計算機
排列組合計算
排列組合計算
環狀排列計算
環狀排列計算
重複組合計算
重複組合計算
亂數產生器
亂數產生器
平均與統計計算工具
平均數計算機
平均數計算機
眾數中位數計算
眾數中位數計算
標準差計算機
標準差計算機
四分位數計算機
四分位數計算機
次數分配表
次數分配表
相關係數計算機
相關係數計算機
常態分布機率
常態分布機率
z 分數計算機
z 分數計算機
信賴區間計算機
信賴區間計算機
樣本數計算機
樣本數計算機
捉放法與抽樣調查
捉放法與抽樣調查
p 值計算機
p 值計算機
比例與百分比計算工具
百分比計算機
百分比計算機
增減率計算機
增減率計算機
百分比差異
百分比差異
百分誤差計算機
百分誤差計算機
比例計算機
比例計算機
打折計算機
打折計算機
營業稅計算機
營業稅計算機
毛利率計算機
毛利率計算機
速度計算工具
速率計算機
速率計算機
密度與濃度計算工具
密度計算機
密度計算機
莫耳濃度計算機
莫耳濃度計算機
分子量/莫耳質量
分子量/莫耳質量
物理與電學計算工具
歐姆定律計算
歐姆定律計算
瓦數↔安培換算
瓦數↔安培換算
電阻色碼計算
電阻色碼計算
電壓降計算
電壓降計算
單位換算計算工具
坪↔平方公尺換算
坪↔平方公尺換算
重量單位換算
重量單位換算
鞋碼換算
鞋碼換算
整數與正負數計算工具
除法直式計算
除法直式計算
最小公倍數計算
最小公倍數計算
最大公因數計算
最大公因數計算
正負數計算機
正負數計算機
質因數分解
質因數分解
一次不定方程式
一次不定方程式
同餘與餘數計算
同餘與餘數計算
因數計算機
因數計算機
羅馬數字轉換
羅馬數字轉換
分數、小數與四捨五入計算工具
分數計算機
分數計算機
帶分數計算機
帶分數計算機
約分計算機
約分計算機
分數換小數
分數換小數
小數換分數
小數換分數
四捨五入計算機
四捨五入計算機
方程式與不等式計算工具
一元一次方程式
一元一次方程式
聯立方程式
聯立方程式
一元二次方程式
一元二次方程式
絕對值方程式
絕對值方程式
一元二次不等式
一元二次不等式
多項式與乘法展開計算工具
二項式定理
二項式定理
平方根與 n 次方根計算工具
根號化簡
根號化簡
開根號計算
開根號計算
指數與對數計算工具
次方計算機
次方計算機
對數計算機
對數計算機
常用對數與位數
常用對數與位數
科學記號換算
科學記號換算
科學記號運算
科學記號運算
半衰期計算機
半衰期計算機
複數計算工具
複數計算機
複數計算機
複數極式轉換
複數極式轉換
棣美弗定理
棣美弗定理
函數與圖形計算工具
直線斜率計算
直線斜率計算
一次函數計算機
一次函數計算機
正比反比計算機
正比反比計算機
二次函數 y=ax²
二次函數 y=ax²
兩點距離公式
兩點距離公式
空間兩點距離
空間兩點距離
內分點與外分點
內分點與外分點
點到直線的距離
點到直線的距離
經緯度距離計算
經緯度距離計算
配方法計算機
配方法計算機
圓方程式計算機
圓方程式計算機
圓錐曲線計算機
圓錐曲線計算機
極坐標轉換
極坐標轉換
數列計算工具
等差數列計算
等差數列計算
等比數列計算
等比數列計算
費氏數列計算
費氏數列計算
遞迴關係式計算
遞迴關係式計算
向量計算工具
向量計算機
向量計算機
向量外積計算
向量外積計算
矩陣計算工具
矩陣計算機
矩陣計算機
行列式計算機
行列式計算機
反矩陣計算
反矩陣計算
平面圖形計算工具
sin cos tan 計算
sin cos tan 計算
度與弧度換算
度與弧度換算
三角函數疊合
三角函數疊合
三角形計算機
三角形計算機
三角形面積計算
三角形面積計算
直角三角形計算
直角三角形計算
畢氏定理計算
畢氏定理計算
多邊形內角外角
多邊形內角外角
相似比與面積比
相似比與面積比
平行線與角
平行線與角
長方形面積
長方形面積
平行四邊形面積
平行四邊形面積
梯形面積
梯形面積
圓的計算
圓的計算
扇形面積
扇形面積
圓周角定理
圓周角定理
橢圓面積
橢圓面積
立體圖形計算工具
正方體體積
正方體體積
正方體表面積
正方體表面積
長方體體積
長方體體積
長方體表面積
長方體表面積
圓柱體積
圓柱體積
圓柱表面積
圓柱表面積
球的體積
球的體積
球的表面積
球的表面積
球冠的體積
球冠的體積
球冠的表面積
球冠的表面積
橢球的體積
橢球的體積
橢球的表面積
橢球的表面積
四角錐體積
四角錐體積
四角錐表面積
四角錐表面積
圓錐體積
圓錐體積
圓錐表面積
圓錐表面積
圓錐台體積
圓錐台體積
圓錐台表面積
圓錐台表面積
圓管體積
圓管體積
膠囊形體積
膠囊形體積
膠囊表面積
膠囊表面積
日期與時間計算工具
年齡計算
年齡計算
天數計算
天數計算
幾天後的日期
幾天後的日期
幾小時後的日期時間
幾小時後的日期時間
星期幾查詢
星期幾查詢
時間加減計算機
時間加減計算機
時差計算機
時差計算機
工時計算機
工時計算機
時間差計算機
時間差計算機
打卡工時計算
打卡工時計算
金融與經濟計算工具
複利計算
複利計算
單利計算
單利計算
利息計算
利息計算
財務計算機 TVM
財務計算機 TVM
現值計算
現值計算
未來值計算
未來值計算
ROI 計算機
ROI 計算機
IRR 計算機
IRR 計算機
回收期間計算
回收期間計算
平均報酬率計算
平均報酬率計算
GDP 計算機
GDP 計算機
網路行銷與廣告指標計算工具
CTR 點擊率計算
CTR 點擊率計算
CVR 轉換率計算
CVR 轉換率計算
CPC、CPM、CPA 計算
CPC、CPM、CPA 計算
ROAS 計算
ROAS 計算
損益平衡 CPA
損益平衡 CPA
LTV 顧客終身價值
LTV 顧客終身價值
CAC 顧客取得成本
CAC 顧客取得成本
流失率計算
流失率計算
A/B 測試顯著性
A/B 測試顯著性
A/B 測試樣本數
A/B 測試樣本數
SEO 流量預估
SEO 流量預估
損益平衡點計算
損益平衡點計算
成本率毛利率換算
成本率毛利率換算
CAGR 計算機
CAGR 計算機
健康與健身計算工具
BMI 計算機
BMI 計算機
睡眠週期計算
睡眠週期計算
熱量計算機
熱量計算機
BMR 計算機
BMR 計算機
TDEE 計算機
TDEE 計算機
理想體重計算機
理想體重計算機
體脂率計算機
體脂率計算機
去脂體重計算機
去脂體重計算機
消耗熱量計算機
消耗熱量計算機
蛋白質計算機
蛋白質計算機
三大營養素計算
三大營養素計算
碳水攝取量計算
碳水攝取量計算
脂肪攝取量計算
脂肪攝取量計算
孩子身高預測
孩子身高預測
運動計算工具
高爾夫差點計算
高爾夫差點計算
配速計算機
配速計算機
1RM 計算機
1RM 計算機
目標心跳率計算
目標心跳率計算
氣象計算工具
體感溫度計算
體感溫度計算
風寒效應計算
風寒效應計算
露點溫度計算
露點溫度計算
電腦計算工具
進位轉換
進位轉換
子網路計算機
子網路計算機
下載時間計算
下載時間計算
家計與水電瓦斯費計算工具
家電電費計算
家電電費計算
度數算電費/反推
度數算電費/反推
年耗電量算電費
年耗電量算電費
冷氣坪數計算
冷氣坪數計算
冷氣電費計算
冷氣電費計算
暖氣電費比較
暖氣電費比較
瓦斯與電費比較
瓦斯與電費比較
換 LED 省多少
換 LED 省多少
薪資換算
薪資換算
家庭收支計算
家庭收支計算
汽車計算工具
油錢計算
油錢計算
電動車充電費用
電動車充電費用
電動車 vs 油車
電動車 vs 油車
油耗計算
油耗計算
輪胎尺寸計算
輪胎尺寸計算
太陽能發電與儲能計算工具
太陽能發電量
太陽能發電量
太陽能板片數
太陽能板片數
太陽能回本年限
太陽能回本年限
儲能電池容量試算
儲能電池容量試算
居家與 DIY計算工具
磁磚數量計算
磁磚數量計算
樓梯尺寸計算
樓梯尺寸計算
混凝土用量計算
混凝土用量計算
房間牆面積計算
房間牆面積計算
壁紙用量計算
壁紙用量計算
油漆用量計算
油漆用量計算
木地板片數計算
木地板片數計算
外牆面積計算
外牆面積計算
碎石用量計算
碎石用量計算
水泥砂漿配比
水泥砂漿配比
坡度計算
坡度計算
木材裁切計算
木材裁切計算
建蔽率、容積率
建蔽率、容積率
地板捲材用量
地板捲材用量
隔熱材用量計算
隔熱材用量計算
窗簾尺寸計算
窗簾尺寸計算
電視尺寸與距離
電視尺寸與距離
培養土用量計算
培養土用量計算
草皮用量計算
草皮用量計算
空心磚數量計算
空心磚數量計算
紅磚數量計算
紅磚數量計算
木棧板材料計算
木棧板材料計算
坡道長度計算
坡道長度計算
螺絲導孔與長度
螺絲導孔與長度
換氣量計算
換氣量計算
油漆稀釋計算
油漆稀釋計算
踢腳板長度計算
踢腳板長度計算
百葉窗捲簾尺寸
百葉窗捲簾尺寸
掛畫高度與位置
掛畫高度與位置
排水坡度與高低差
排水坡度與高低差
螺絲數量計算
螺絲數量計算
木材才數計算
木材才數計算
圍籬材料計算
圍籬材料計算
木材收縮計算
木材收縮計算
矽利康用量計算
矽利康用量計算
房間熱損失計算
房間熱損失計算
家具搬入計算
家具搬入計算
搬家紙箱數量
搬家紙箱數量
收納容量計算
收納容量計算
板材裁切計算
板材裁切計算
層板承重計算
層板承重計算

四角錐表面積計算機(底面積 + 側面積)

請輸入四角錐(底面是正方形的金字塔形)的底面邊長和高。會顯示表面積(底面積 + 側面積),以及計算中用到的斜高、底面積、側面積。

底面邊長和高請用相同的單位,只輸入數字(不加單位。例如 6 cm 就輸入「6」)。高是從底面到頂點的垂直長度(和斜高=側面三角形的高不一樣)。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入底面邊長和高,按下「計算」,結果和 3D 圖形就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼

  • 只要輸入底面邊長和高,就能當場求出四角錐(金字塔形)的表面積(底面積 + 側面積)
  • 用 3D 圖形顯示輸入的四角錐形狀(拖曳就能旋轉一圈)
  • 同時顯示斜高(側面三角形的高)、底面積、側面積和計算過程,不只看答案,也能確認計算的步驟
  • 淺顯易懂地解說為什麼會用到畢氏定理、高和斜高有什麼不同,以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式,也都整理在這個頁面
底面邊長和高請用相同的單位輸入(cm 就都用 cm,m 就都用 m)。高是從底面到頂點的垂直長度(不是斜邊或沿著側面的長度)。本頁以頂點在底面中心正上方的「正四角錐」為前提(和體積不同,頂點偏移時表面積會改變)。圓錐、長方體等其他立體的表面積,請使用各自的專用頁面。

這個計算有什麼用?

估算金字塔外層包覆石的面積(歷史)

吉薩大金字塔(古夫金字塔)底面邊長約 230 m,建造時高約 147 m,幾乎是一個正四角錐。從前它的外側包覆著白色石灰岩的「外層包覆石」。這部分的面積(側面積),因為斜高是 \(\sqrt{115^2 + 147^2} \approx 187\,\mathrm{m}\),所以大約是 \(2 \times 230 \times 187 \approx 86000\,\mathrm{m^2}\),相當於約 12 座足球場。
實際的表面是階梯狀的石塊,包覆石現在也幾乎都不見了,所以只是概算,但只用一個「側面積公式」,就能用數字掌握古代巨大工程的規模(底面貼著地面,所以建築物一般只考慮側面積)。

估算單柱帳篷的布料面積(露營)

用中央一根營柱撐起的單柱帳篷(金字塔帳),如果底面是正方形,幾乎就是四角錐的形狀。底面 3 m × 3 m、營柱高 2 m 的話,斜高是 \(\sqrt{1.5^2 + 2^2} = 2.5\,\mathrm{m}\),側面布料的面積是 \(2 \times 3 \times 2.5 = 15\,\mathrm{m^2}\),加上地布就是 \(15 + 9 = 24\,\mathrm{m^2}\)。
知道布料的面積,就能估算需要幾罐防水噴霧、要準備多少接縫防水膠條、布料大約多重(實際的帳篷很多下緣是直立的,所以只是概算)。

估算金字塔形屋頂的屋面材料用量(建築)

蓋在正方形建築上的「四角攢尖頂」,剛好就是四角錐 4 個側面的形狀。底面 6 m × 6 m、高 2 m 的屋頂,斜高是 \(\sqrt{3^2 + 2^2} \approx 3.61\,\mathrm{m}\),屋頂面積大約是 \(2 \times 6 \times 3.61 \approx 43\,\mathrm{m^2}\)。
屋頂面積是估算屋瓦、金屬板、防水布用量,以及重新塗裝報價的依據(實際的屋頂還要加上屋簷伸出的部分,所以只是參考)。屋頂一定比水平量出的面積大,正確算出這一點的就是這個公式。

解國中數學的立體圖形題(學習)

正四角錐的表面積在國中九年級的「立體圖形」單元學到,和斜高有關的題目要搭配畢氏定理(國中八年級)一起用。例如「底面邊長 6 cm、高 4 cm 的正四角錐,表面積是多少?」先由 \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\mathrm{cm}\) 求出斜高,再算 \(36 + 6 \times 5 \div 2 \times 4 = 96\,\mathrm{cm^2}\)。
最常見的錯誤是「算三角形面積時,用了四角錐的高而不是斜高」,把「側面三角形的高=斜高」一起記住,考試就能穩穩拿分。

公式與圖示

四角錐的表面積(底面積加側面積)
圖示
數學寫法 (一般的數學式)
\(S\) \(=\) \(S_1\) \(+\) \(S_2\)
文字寫法 (把符號換成文字的公式)
③ 四角錐的表面積 \(S\) \(=\) ① 底面積 \(S_1\) \(+\) ② 側面積 \(S_2\)
用文字讀公式
① 底面積 \(S_1\) 加上
② 側面積 \(S_2\) ,就得到
③ 四角錐的表面積 \(S\)
簡單範例
底面邊長 6 cm、高 4 cm 的四角錐(底面積 36 cm²、側面積 60 cm²,求法見下方第 2~4 個公式),表面積是
四角錐的表面積 \(S\) \(=\) 底面積(36 cm²) \(+\) 側面積(60 cm²)
\(36 + 60 = 96\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
表面積是立體外側所有面的面積,也就是展開圖(把立體剪開、攤平的圖)的面積總和。四角錐的展開圖是「1 個正方形(底面)+ 4 個全等的等腰三角形(側面)」,所以表面積只要把底面積和側面積(4 個三角形的總和)加起來就能求出。 只想知道 4 個三角形的面積(側面積)時,就直接用相加前的 \(S_2\)(帳篷布料、屋頂面積等沒有底的情況,就輪到它上場)。
底面積(正方形的面積)
圖示
數學寫法 (一般的數學式)
\(S_1\) \(=\) \(a\) \(2\)
文字寫法 (把符號換成文字的公式)
③ 底面積 \(S_1\) \(=\) ① 底面邊長 \(a\) ② 平方(同一個長度乘 2 次)
用文字讀公式
① 底面邊長 \(a\) 的
② 平方(同一個長度乘 2 次) ,就是
③ 底面積 \(S_1\)
簡單範例
底面邊長 6 cm 的四角錐,底面積是
底面積 \(S_1\) \(=\) 底面邊長(6 cm) 平方
\(6 \times 6 = 36\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
底面是正方形,所以面積是「邊長 × 邊長」。同一個數乘 2 次,可以寫成 \(a^2\)(\(a\) 的平方)。如果底面是長方形(長和寬不一樣),就不能用本頁的公式,要用「長 × 寬」求底面積,側面也要分成 2 種三角形來想。
用畢氏定理求斜高(側面三角形的高)
圖示
數學寫法 (一般的數學式)
\(\left(\dfrac{a}{2}\right)^{\!2}\) \(+\) \(h^2\) \(=\) \(l^2\)
文字寫法 (把符號換成文字的公式)
① 邊長的一半 \(\dfrac{a}{2}\) 的平方 \(+\) ② 高 \(h\) 的平方 \(=\) ③ 斜高 \(l\) 的平方
用文字讀公式
① 邊長的一半 \(\dfrac{a}{2}\) 的平方 加上
② 高 \(h\) 的平方 ,就得到
③ 斜高 \(l\) 的平方 (最後開平方根,就能求出斜高 \(l\) 本身)
簡單範例
底面邊長 6 cm、高 4 cm 的四角錐,斜高是
邊長的一半(3 cm)的平方 \(+\) 高(4 cm)的平方 \(=\) 斜高的平方
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(l = \sqrt{25} = 5\,\mathrm{cm}\)
思考重點
斜高 \(l\) 是從側面三角形的頂點向底邊畫垂直線的長度,也就是「側面三角形的高」。它和四角錐的高 \(h\)(從底面到頂點的垂直長度)不一樣,請小心不要混淆。 四角錐裡藏著一個直角三角形,三邊分別是「高 \(h\)」「底面中心到邊中點的長度 \(\dfrac{a}{2}\)」和「斜高 \(l\)」。說到直角三角形三邊的關係,就是畢氏定理(勾股定理),把它套用進來就是這個公式。可複製的公式寫成開完平方根的形式 \(l = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\)。
側面積(4 個全等的三角形)
圖示
數學寫法 (一般的數學式)
\(S_2\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(l\) \(\div\) \(2\) \(\times\) \(4\)
文字寫法 (把符號換成文字的公式)
⑤ 側面積 \(S_2\) \(=\) ① 底面邊長 \(a\) \(\times\) ② 斜高 \(l\) \(\div\) ③ 分成 2 等分的數 \(2\) \(\times\) ④ 側面的個數 \(4\)
用文字讀公式
① 底面邊長 \(a\) 乘以
② 斜高 \(l\) ,
③ 除以 分成 2 等分的數 \(2\) 就是一個側面三角形的面積,
④ 再乘以 側面的個數 \(4\) ,就得到
⑤ 側面積 \(S_2\)
簡單範例
底面邊長 6 cm、斜高 5 cm(高 4 cm 的四角錐,斜高的求法見上方第 3 個公式),側面積是
側面積 \(S_2\) \(=\) 底面邊長(6 cm) \(\times\) 斜高(5 cm) \(\div\) 分成 2 等分的數(2) \(\times\) 側面的個數(4)
\(6 \times 5 \div 2 = 15\,\mathrm{cm^2}\)
\(15 \times 4 = 60\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
側面是 4 個「底 \(a\)、高 \(l\)(斜高)」的全等等腰三角形。用三角形面積公式「底 × 高 ÷ 2」求出 1 個的面積,再乘以 4。這裡三角形的「高」是斜高 \(l\),而不是四角錐的高 \(h\),這是最容易出錯的地方。 「\(\div 2 \times 4\)」合起來就是「\(\times 2\)」,所以可複製的公式寫成簡潔的 \(S_2 = 2al\)。
整合公式(只用邊長和高寫成一條式子)
數學寫法 (一般的數學式)
\(S\) \(=\) \(a^2\) \(+\) \(2a\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^{\!2} + h^2}\)
文字寫法 (把符號換成文字的公式)
③ 四角錐的表面積 \(S\) \(=\) ① 底面積(邊長 \(a\) 的平方) \(+\) ② 側面積 \(2al\)
用文字讀公式
① 底面積(邊長 \(a\) 的平方) 加上
② 側面積 \(2al\) (斜高 \(l\) 的部分直接放入第 3 個公式的平方根 \(\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\)),就得到
③ 四角錐的表面積 \(S\)
簡單範例
用一條式子計算底面邊長 6 cm、高 4 cm 的四角錐表面積,是
四角錐的表面積 \(S\) \(=\) 底面積(6 cm 的平方) \(+\) 側面積(2 × 6 cm × 斜高)
\(l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(S = 6^2 + 2 \times 6 \times 5 = 36 + 60 = 96\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
這是把第 2~4 個公式代入第 1 個公式、整合成一條的式子,國外的數學網站也常用這個形式介紹。想一次輸入計算機或程式時很方便。 手算時,建議像第 2~4 個公式那樣,依「底面積 → 斜高 → 側面積 → 合計」的順序求,中途比較容易檢查。
四角錐的表面積用「底面積(邊長 × 邊長)+ 側面積(邊長 × 斜高 ÷ 2 × 4 個)」求出。斜高(側面三角形的高)由邊長的一半和高,用畢氏定理計算。四角錐的高和斜高不一樣,算三角形面積時一定要用斜高。答案的單位是長度單位的平方(cm 就是 cm²)。

符號與用語解說

符號

\(S\) S 常用來表示面積的符號,源自英文 surface(表面)或 square(四方形)。本頁用來表示四角錐的表面積。
\(S_1\) S 1 本頁用來表示底面積(底面正方形的面積)的符號。右下角的小 1 是下標,意思是「第 1 個 \(S\)」,\(S_1 = a^2\)。
\(S_2\) S 2 本頁用來表示側面積(4 個側面三角形的面積)的符號,\(S_2 = 2al\)(邊長 × 斜高 ÷ 2 × 4 個)。
\(a\) a 底面正方形的邊長。底面的長和寬一樣長,所以用一個符號就能表示。
\(a^2\) a 的平方 同一個數 \(a\) 乘 2 次的值(\(a \times a\))。右上角的小 2 是指數,意思是「乘 2 次」。本頁用來表示底面積(正方形的面積)。
\(h\) h 四角錐的高,取自英文 height(高度)的字首。是從底面到頂點筆直(垂直)量出的長度,和斜邊、斜高都不一樣。
\(l\) l 本頁用來表示斜高(側面三角形的高)的符號。常用來表示斜的長度(slant length),用 \(l = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\) 求出。
\(\sqrt{\ }\) 根號 表示平方根(平方後會等於根號內的數)的符號。例如 \(\sqrt{25} = 5\)(因為 5 的平方是 25)。求斜高的最後一步會用到。
\(\mathrm{cm^2}\) 平方公分 面積的單位。邊長 1 cm 的正方形面積是 1 cm²,讀作「平方公分」,要和體積的 cm³(立方公分)區分。
\(\mathrm{m^2}\) 平方公尺 面積的單位。邊長 1 m 的正方形面積是 1 m²,且 \(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\)(長度換算率 100 的平方)。

用語

四角錐 底面是四邊形,從底面朝一個頂點變尖的立體。本頁處理的是底面為正方形的四角錐(金字塔形)。
正四角錐 底面是正方形,頂點在底面中心正上方的四角錐。埃及的金字塔就是這個形狀。本頁的表面積公式以正四角錐為前提(頂點偏移時,4 個三角形就不再全等,表面積也會改變)。
表面積 立體外側所有面的面積,和展開圖的面積總和相同。四角錐的表面積是「底面積 + 側面積」。它和表示內部空間大小的體積是不同的量,請注意。
底面積 立體底部的面(底面)的面積。四角錐的底面積就是底面正方形的面積(邊長 × 邊長)。
側面積 立體側面(旁邊的面)的面積總和。四角錐的側面積是 4 個全等等腰三角形的面積,用「邊長 × 斜高 ÷ 2 × 4」求出。
斜高 從側面三角形的頂點向底邊畫垂直線的長度(側面三角形的高)。它和四角錐的高不一樣,用畢氏定理 \(\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = l^2\) 求出。
展開圖 把立體沿著邊剪開、攤平的圖。四角錐的展開圖是「1 個正方形和 4 個等腰三角形」,它們的面積總和就是表面積。
畢氏定理 直角三角形中「兩股的平方和 = 斜邊的平方」成立的定理(也叫勾股定理)。本頁把它套用在高、邊長的一半、斜高組成的直角三角形上,求出斜高。
全等 形狀和大小都完全相同。正四角錐的 4 個側面是全等的等腰三角形,所以把 1 個的面積乘以 4 就是側面積。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算,這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。

乘法與除法(國小中年級,8~10 歲)
  • 會算 6 × 5 ÷ 2 × 4 這樣乘除混合的計算(直式)
正方形的面積(國小中年級,8~10 歲)
  • 知道正方形的面積用「邊長 × 邊長」求出(計算四角錐的底面積時會用到)
  • 會讀寫 cm²、m² 這些面積單位
三角形的面積(國小五年級,10~11 歲)
  • 知道三角形的面積用「底 × 高 ÷ 2」求出(計算一個側面時會用到)
  • 知道三角形的「高」是從頂點向底邊畫垂直線的長度
角錐這種立體與展開圖(國中九年級,14~15 歲)
  • 能從立體圖想像四角錐是什麼樣的立體(底面是四邊形,朝一個頂點變尖的立體)
  • 能從展開圖(1 個正方形+ 4 個三角形)知道表面積是「底面積 + 側面積」
  • 知道四角錐的高和斜高(側面三角形的高)不一樣
畢氏定理(國中八年級,13~14 歲)
  • 知道直角三角形中「兩股的平方和 = 斜邊的平方」成立(計算斜高時會用到)
  • 會算 √25 = 5 這樣簡單的平方根

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製,貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「四角錐的表面積(底面積 + 側面積)」的表格
底面積 36
側面積 60
四角錐的表面積 =B1+B2
求「底面積(正方形的面積)」的表格
底面邊長 6
底面積 =B1^2
求「斜高(側面三角形的高)」的表格
底面邊長 6
高 4
斜高 =SQRT((B1/2)^2+B2^2)
求「側面積(4 個三角形)」的表格
底面邊長 6
斜高 5
側面積 =B1*B2/2*4
用「整合公式(由邊長和高一次算出)」求出的表格
底面邊長 6
高 4
四角錐的表面積 =B1^2+2*B1*SQRT((B1/2)^2+B2^2)
貼上後,A 欄是項目名稱,B 欄是數值。上方的列是輸入欄,最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」,「*」是乘號,「/」是除號,「^」是乘方(乘幾次)的符號,「SQRT」是求平方根的函數。
例如第一個表格的 B3 會顯示 36 + 60 = 96(因為用 cm 輸入,所以是 cm²)。第三個表格的 B3 是 5,第四個表格的 B3 是 60,第五個表格的 B3 是 96。只要把輸入欄的數值改成您自己的長度即可使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製,貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「四角錐的表面積(底面積 + 側面積)」的表格
底面積 36
側面積 60
四角錐的表面積 =B1+B2
求「底面積(正方形的面積)」的表格
底面邊長 6
底面積 =B1^2
求「斜高(側面三角形的高)」的表格
底面邊長 6
高 4
斜高 =SQRT((B1/2)^2+B2^2)
求「側面積(4 個三角形)」的表格
底面邊長 6
斜高 5
側面積 =B1*B2/2*4
用「整合公式(由邊長和高一次算出)」求出的表格
底面邊長 6
高 4
四角錐的表面積 =B1^2+2*B1*SQRT((B1/2)^2+B2^2)
和 Excel 相同的公式(SQRT 函數也同名)可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格,再把輸入欄的數值改成您自己的長度即可。

用 Python 計算的方法

import math

a = 6   # 底面邊長(這個例子是 cm)
h = 4   # 高(從底面到頂點的垂直長度,和 a 用相同的單位)

base_area = a ** 2                            # 底面積(正方形的面積)
slant_height = math.sqrt((a / 2) ** 2 + h ** 2)  # 斜高(畢氏定理)
lateral_area = a * slant_height / 2 * 4       # 側面積(1 個三角形 × 4 個)
total_area = base_area + lateral_area         # 四角錐的表面積

print(f"底面積:{base_area} cm2")
print(f"斜高:{slant_height} cm")
print(f"側面積:{lateral_area} cm2")
print(f"四角錐的表面積:{total_area} cm2")
只用標準函式庫就能執行。「**」是乘方(平方),「math.sqrt」是平方根,「*」是乘號,「/」是除號。請改寫開頭的邊長和高後執行(這個例子會顯示底面積 36、斜高 5.0、側面積 60.0、表面積 96.0)。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法(可直接複製)

四角錐的表面積(底面積加側面積)
S = S₁ + S₂
S = S_{1} + S_{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
  </mrow>
</math>
S = S_1 + S_2
s1 + s2
S := S1 + S2;
S = S1 + S2;
S = S_1 + S_2
底面積(正方形的面積)
S₁ = a²
S_{1} = a^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>
S_1 = a^2
a^2
S1 := a^2;
S1 = a^2;
S_1 = a^2
用畢氏定理求斜高(側面三角形的高)
l = √((a/2)² + h²)
l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>l</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
          <mn>2</mn>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>
l = sqrt((a/2)^2 + h^2)
Sqrt[(a/2)^2 + h^2]
l := sqrt((a/2)^2 + h^2);
l = sqrt((a/2)^2 + h^2);
l = √((a/2)^2 + h^2)
側面積(4 個全等的三角形)
S₂ = 2al
S_{2} = 2al
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>a</mi>
    <mi>l</mi>
  </mrow>
</math>
S_2 = 2 a l
2*a*l
S2 := 2*a*l;
S2 = 2*a*l;
S_2 = 2al
整合公式(只用邊長和高寫成一條式子)
S = a² + 2a√((a/2)² + h²)
S = a^{2} + 2a\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>a</mi>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
          <mn>2</mn>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>
S = a^2 + 2 a sqrt((a/2)^2 + h^2)
a^2 + 2*a*Sqrt[(a/2)^2 + h^2]
S := a^2 + 2*a*sqrt((a/2)^2 + h^2);
S = a^2 + 2*a*sqrt((a/2)^2 + h^2);
S = a^2 + 2a√((a/2)^2 + h^2)

請 ChatGPT  幫忙計算的方法

你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算,並且只根據執行結果的數值回答(不要用心算或推測回答)。

有一個底面是邊長 6 cm 的正方形、高 4 cm 的正四角錐。
請分別求出:
1. 這個四角錐的底面積是多少 cm²
2. 這個四角錐的斜高(側面三角形的高)是多少 cm(斜高 = √((邊長的一半)² + 高²))
3. 這個四角錐的側面積是多少 cm²(側面積 = 邊長 × 斜高 ÷ 2 × 4)
4. 這個四角錐的表面積是多少 cm²(表面積 = 底面積 + 側面積)

請列出使用的公式和執行結果的數值。

使用方法
  1. 1
    輸入數值
    在輸入欄中輸入要計算的數值
  2. 2
    計算
    按下「計算」按鈕
  3. 3
    查看結果
    計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說,也都能在同一個頁面查看
  DataChef 的特色
簡單又免費
免費且無使用次數限制
不需專業知識,操作直覺又簡單
免註冊會員
開啟頁面即可立即使用
無須登錄任何個人資料
安全又安心
通訊全程高度加密
按下「下載」後自動刪除檔案
高速
顯示與轉換都快速順暢,毫無等待壓力
無浮水印
沒有浮水印
無須標註來源出處
可商業使用
可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權