請輸入四角錐(底面是正方形的金字塔形)的底面邊長和高。會顯示表面積(底面積 + 側面積),以及計算中用到的斜高、底面積、側面積。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入底面邊長和高,就能當場求出四角錐(金字塔形)的表面積(底面積 + 側面積)
- 用 3D 圖形顯示輸入的四角錐形狀(拖曳就能旋轉一圈)
- 同時顯示斜高(側面三角形的高)、底面積、側面積和計算過程,不只看答案,也能確認計算的步驟
- 淺顯易懂地解說為什麼會用到畢氏定理、高和斜高有什麼不同,以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式,也都整理在這個頁面
這個計算有什麼用?
吉薩大金字塔(古夫金字塔)底面邊長約 230 m,建造時高約 147 m,幾乎是一個正四角錐。從前它的外側包覆著白色石灰岩的「外層包覆石」。這部分的面積(側面積),因為斜高是 \(\sqrt{115^2 + 147^2} \approx 187\,\mathrm{m}\),所以大約是 \(2 \times 230 \times 187 \approx 86000\,\mathrm{m^2}\),相當於約 12 座足球場。
實際的表面是階梯狀的石塊,包覆石現在也幾乎都不見了,所以只是概算,但只用一個「側面積公式」,就能用數字掌握古代巨大工程的規模(底面貼著地面,所以建築物一般只考慮側面積)。
用中央一根營柱撐起的單柱帳篷(金字塔帳),如果底面是正方形,幾乎就是四角錐的形狀。底面 3 m × 3 m、營柱高 2 m 的話,斜高是 \(\sqrt{1.5^2 + 2^2} = 2.5\,\mathrm{m}\),側面布料的面積是 \(2 \times 3 \times 2.5 = 15\,\mathrm{m^2}\),加上地布就是 \(15 + 9 = 24\,\mathrm{m^2}\)。
知道布料的面積,就能估算需要幾罐防水噴霧、要準備多少接縫防水膠條、布料大約多重(實際的帳篷很多下緣是直立的,所以只是概算)。
蓋在正方形建築上的「四角攢尖頂」,剛好就是四角錐 4 個側面的形狀。底面 6 m × 6 m、高 2 m 的屋頂,斜高是 \(\sqrt{3^2 + 2^2} \approx 3.61\,\mathrm{m}\),屋頂面積大約是 \(2 \times 6 \times 3.61 \approx 43\,\mathrm{m^2}\)。
屋頂面積是估算屋瓦、金屬板、防水布用量,以及重新塗裝報價的依據(實際的屋頂還要加上屋簷伸出的部分,所以只是參考)。屋頂一定比水平量出的面積大,正確算出這一點的就是這個公式。
正四角錐的表面積在國中九年級的「立體圖形」單元學到,和斜高有關的題目要搭配畢氏定理(國中八年級)一起用。例如「底面邊長 6 cm、高 4 cm 的正四角錐,表面積是多少?」先由 \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\mathrm{cm}\) 求出斜高,再算 \(36 + 6 \times 5 \div 2 \times 4 = 96\,\mathrm{cm^2}\)。
最常見的錯誤是「算三角形面積時,用了四角錐的高而不是斜高」,把「側面三角形的高=斜高」一起記住,考試就能穩穩拿分。
公式與圖示
符號與用語解說
符號
| \(S\) | S | 常用來表示面積的符號,源自英文 surface(表面)或 square(四方形)。本頁用來表示四角錐的表面積。 |
| \(S_1\) | S 1 | 本頁用來表示底面積(底面正方形的面積)的符號。右下角的小 1 是下標,意思是「第 1 個 \(S\)」,\(S_1 = a^2\)。 |
| \(S_2\) | S 2 | 本頁用來表示側面積(4 個側面三角形的面積)的符號,\(S_2 = 2al\)(邊長 × 斜高 ÷ 2 × 4 個)。 |
| \(a\) | a | 底面正方形的邊長。底面的長和寬一樣長,所以用一個符號就能表示。 |
| \(a^2\) | a 的平方 | 同一個數 \(a\) 乘 2 次的值(\(a \times a\))。右上角的小 2 是指數,意思是「乘 2 次」。本頁用來表示底面積(正方形的面積)。 |
| \(h\) | h | 四角錐的高,取自英文 height(高度)的字首。是從底面到頂點筆直(垂直)量出的長度,和斜邊、斜高都不一樣。 |
| \(l\) | l | 本頁用來表示斜高(側面三角形的高)的符號。常用來表示斜的長度(slant length),用 \(l = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\) 求出。 |
| \(\sqrt{\ }\) | 根號 | 表示平方根(平方後會等於根號內的數)的符號。例如 \(\sqrt{25} = 5\)(因為 5 的平方是 25)。求斜高的最後一步會用到。 |
| \(\mathrm{cm^2}\) | 平方公分 | 面積的單位。邊長 1 cm 的正方形面積是 1 cm²,讀作「平方公分」,要和體積的 cm³(立方公分)區分。 |
| \(\mathrm{m^2}\) | 平方公尺 | 面積的單位。邊長 1 m 的正方形面積是 1 m²,且 \(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\)(長度換算率 100 的平方)。 |
用語
| 四角錐 | 底面是四邊形,從底面朝一個頂點變尖的立體。本頁處理的是底面為正方形的四角錐(金字塔形)。 |
| 正四角錐 | 底面是正方形,頂點在底面中心正上方的四角錐。埃及的金字塔就是這個形狀。本頁的表面積公式以正四角錐為前提(頂點偏移時,4 個三角形就不再全等,表面積也會改變)。 |
| 表面積 | 立體外側所有面的面積,和展開圖的面積總和相同。四角錐的表面積是「底面積 + 側面積」。它和表示內部空間大小的體積是不同的量,請注意。 |
| 底面積 | 立體底部的面(底面)的面積。四角錐的底面積就是底面正方形的面積(邊長 × 邊長)。 |
| 側面積 | 立體側面(旁邊的面)的面積總和。四角錐的側面積是 4 個全等等腰三角形的面積,用「邊長 × 斜高 ÷ 2 × 4」求出。 |
| 斜高 | 從側面三角形的頂點向底邊畫垂直線的長度(側面三角形的高)。它和四角錐的高不一樣,用畢氏定理 \(\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = l^2\) 求出。 |
| 展開圖 | 把立體沿著邊剪開、攤平的圖。四角錐的展開圖是「1 個正方形和 4 個等腰三角形」,它們的面積總和就是表面積。 |
| 畢氏定理 | 直角三角形中「兩股的平方和 = 斜邊的平方」成立的定理(也叫勾股定理)。本頁把它套用在高、邊長的一半、斜高組成的直角三角形上,求出斜高。 |
| 全等 | 形狀和大小都完全相同。正四角錐的 4 個側面是全等的等腰三角形,所以把 1 個的面積乘以 4 就是側面積。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算,這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
| 乘法與除法(國小中年級,8~10 歲) |
|
| 正方形的面積(國小中年級,8~10 歲) |
|
| 三角形的面積(國小五年級,10~11 歲) |
|
| 角錐這種立體與展開圖(國中九年級,14~15 歲) |
|
| 畢氏定理(國中八年級,13~14 歲) |
|
用 Excel 計算的方法
| 底面積 | 36 |
| 側面積 | 60 |
| 四角錐的表面積 | =B1+B2 |
| 底面邊長 | 6 |
| 底面積 | =B1^2 |
| 底面邊長 | 6 |
| 高 | 4 |
| 斜高 | =SQRT((B1/2)^2+B2^2) |
| 底面邊長 | 6 |
| 斜高 | 5 |
| 側面積 | =B1*B2/2*4 |
| 底面邊長 | 6 |
| 高 | 4 |
| 四角錐的表面積 | =B1^2+2*B1*SQRT((B1/2)^2+B2^2) |
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」,「*」是乘號,「/」是除號,「^」是乘方(乘幾次)的符號,「SQRT」是求平方根的函數。
例如第一個表格的 B3 會顯示 36 + 60 = 96(因為用 cm 輸入,所以是 cm²)。第三個表格的 B3 是 5,第四個表格的 B3 是 60,第五個表格的 B3 是 96。只要把輸入欄的數值改成您自己的長度即可使用。
用 Google 試算表計算的方法
| 底面積 | 36 |
| 側面積 | 60 |
| 四角錐的表面積 | =B1+B2 |
| 底面邊長 | 6 |
| 底面積 | =B1^2 |
| 底面邊長 | 6 |
| 高 | 4 |
| 斜高 | =SQRT((B1/2)^2+B2^2) |
| 底面邊長 | 6 |
| 斜高 | 5 |
| 側面積 | =B1*B2/2*4 |
| 底面邊長 | 6 |
| 高 | 4 |
| 四角錐的表面積 | =B1^2+2*B1*SQRT((B1/2)^2+B2^2) |
用 Python 計算的方法
import math
a = 6 # 底面邊長(這個例子是 cm)
h = 4 # 高(從底面到頂點的垂直長度,和 a 用相同的單位)
base_area = a ** 2 # 底面積(正方形的面積)
slant_height = math.sqrt((a / 2) ** 2 + h ** 2) # 斜高(畢氏定理)
lateral_area = a * slant_height / 2 * 4 # 側面積(1 個三角形 × 4 個)
total_area = base_area + lateral_area # 四角錐的表面積
print(f"底面積:{base_area} cm2")
print(f"斜高:{slant_height} cm")
print(f"側面積:{lateral_area} cm2")
print(f"四角錐的表面積:{total_area} cm2")
用 LaTeX 等數學式語言的寫法(可直接複製)
S = S₁ + S₂
S = S_{1} + S_{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
S = S_1 + S_2
s1 + s2
S := S1 + S2;
S = S1 + S2;
S = S_1 + S_2
S₁ = a²
S_{1} = a^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_1 = a^2
a^2
S1 := a^2;
S1 = a^2;
S_1 = a^2
l = √((a/2)² + h²)
l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>l</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
l = sqrt((a/2)^2 + h^2)
Sqrt[(a/2)^2 + h^2]
l := sqrt((a/2)^2 + h^2);
l = sqrt((a/2)^2 + h^2);
l = √((a/2)^2 + h^2)
S₂ = 2al
S_{2} = 2al
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
<mi>l</mi>
</mrow>
</math>
S_2 = 2 a l
2*a*l
S2 := 2*a*l;
S2 = 2*a*l;
S_2 = 2al
S = a² + 2a√((a/2)² + h²)
S = a^{2} + 2a\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S = a^2 + 2 a sqrt((a/2)^2 + h^2)
a^2 + 2*a*Sqrt[(a/2)^2 + h^2]
S := a^2 + 2*a*sqrt((a/2)^2 + h^2);
S = a^2 + 2*a*sqrt((a/2)^2 + h^2);
S = a^2 + 2a√((a/2)^2 + h^2)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算,並且只根據執行結果的數值回答(不要用心算或推測回答)。 有一個底面是邊長 6 cm 的正方形、高 4 cm 的正四角錐。 請分別求出: 1. 這個四角錐的底面積是多少 cm² 2. 這個四角錐的斜高(側面三角形的高)是多少 cm(斜高 = √((邊長的一半)² + 高²)) 3. 這個四角錐的側面積是多少 cm²(側面積 = 邊長 × 斜高 ÷ 2 × 4) 4. 這個四角錐的表面積是多少 cm²(表面積 = 底面積 + 側面積) 請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說,也都能在同一個頁面查看
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