請選擇要算的方式，並輸入種類數 n 和要選的個數 r（重新排列字串時輸入字串）。下方的數學式和輸入欄連動，直接改寫數字的部分也能計算。
n、r 請輸入半形整數（n 為 1～1,000，r 為 0～1,000）。答案即使有幾十位數，也會完整正確地顯示。重新排列字串時最多可輸入 30 個字元，空白會被忽略，大寫和小寫算成不同的字母。
計算結果與圖形
在左側輸入欄選擇要算的方式，輸入種類數與個數（或字串），按下「計算」，結果與圖示就會顯示在這裡。
目錄
這個頁面可以做什麼
- 可以計算從 \(n\) 種中、同一種可以重複選取，排出 \(r\) 個的「重複排列 \(n^{r}\)」（例：用 0～9 這 10 種數字組成的 4 位數密碼）
- 可以計算同一種可以重複選取，選出 \(r\) 個的「重複組合 \(H^{n}_{r} = C^{n+r-1}_{r}\)」（例：從 3 種果汁中買 5 瓶）
- 像「TOMATO」這樣混有相同字母的字串，有幾種重新排列的方法（不盡相異物的排列），只要輸入字串就能算出來（最多 30 個字元）
- 不知道該用 \(n^{r}\)、\(H^{n}_{r}\)、\(P^{n}_{r}\)、\(C^{n}_{r}\) 哪一個時，可以看由「要排列？只是選取？」「同一個可以重複選嗎？」決定的判斷圖
- 答案即使有幾十位數，也不會四捨五入，完整顯示每一位數；位數很多時，也會附上 \(1.2345 \times 10^{18}\) 形式的近似值
- 這個頁面還整理了用圓圈與隔板圖解重複組合的說明，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式
如果只想求選過就不能再選（不重複）的排列 \(P^{n}_{r}\) 與組合 \(C^{n}_{r}\)，請使用排列組合計算機的頁面。
這個計算有什麼用？
用數字了解密碼有多難破解（資訊安全）
用 0～9 這 10 種數字組成 4 位數密碼，同一個數字可以使用好幾次，所以有 \(10^{4} = 10{,}000\) 種。只要多 1 位數就變成 10 倍，6 位數就有 100 萬種。
可以使用英文大寫、小寫和數字共 62 種字元的密碼，8 個字元就有 \(62^{8} = 218{,}340{,}105{,}584{,}896\) 種（約 218 兆種）。「增加字元種類」和「加長」各有多大效果，可以用這個重複排列的公式來比較。
數位資料的表現能力（電腦）
電腦只用 0 和 1 兩種來表示資訊。排 8 個的 1 位元組可以表示的模式有 \(2^{8} = 256\) 種，這就是「1 位元組有 256 階」的原因。
照片的顏色用紅、綠、藍各 8 位元表示（24 位元色），有 \(2^{24} = 16{,}777{,}216\) 種，大約 1,677 萬色。螢幕的顏色數、聲音的量化位元數、IP 位址的個數等，數位裝置「能表示的數量」都由重複排列的計算決定。
遺傳密碼為什麼以 3 個字母為單位（生命科學）
DNA 由 A、T、G、C 這 4 種鹼基組成，3 個一組（密碼子）對應構成身體的 1 個胺基酸。相同的鹼基可以連續出現，所以密碼子的種類有 \(4^{3} = 64\) 種。
身體使用的胺基酸有 20 種，2 個一組只有 \(4^{2} = 16\) 種，不夠用。「3 個一組就夠了」這個生命的機制，可以用這個重複排列的計算來確認。
組合禮盒與訂貨的模式數（零售、餐飲）
從 5 種甜甜圈中，同一種可以選好幾個，裝成 10 個一盒的方法，是不考慮順序的重複組合，共有 \(H^{5}_{10} = C^{14}_{10} = 1{,}001\) 種。
計算「哪種商品各幾個」的訂貨或庫存組成也是同樣形式的計算，能用數字而不是感覺，估算多加 1 種品項時需要管理的模式會增加多少。
計算捷徑走法（物流、電路設計）
在棋盤狀的街道上，向右走 3 格、向上走 2 格的捷徑走法，和「右、右、右、上、上」這 5 個字的排法數相同，所以有 \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\) 種。可以直接用不盡相異物的排列。
這是估算配送路線的候選數、電路板配線模式數的基礎計算，也能用數字確認格數越多，候選就會急遽增加。
公式與圖示
重複排列 \(n^{r}\)（可重複選取，排出 \(r\) 個）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(N\)
\(=\)
\(n\)
\(r\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(N\)：可重複選取、排出 \(r\) 個的方法數
\(=\)
①
\(n\)：每個位置可放的種類數
②
\(r\)：要排的個數
用文字讀公式
①
把
\(n\)：每個位置可放的種類數
②
連乘
\(r\)：要排的個數
次，
③
就得到
\(N\)：可重複選取、排出 \(r\) 個的方法數
。
簡單範例
用 0～9 這 10 種數字組成 4 位數密碼的方法數是
4 位數密碼的組法
\(=\)
每一位可用的數字（10 種）
位數（4 位）
\(10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000\)
思考重點
同一個可以重複選取，所以不論第 2 個位置還是第 3 個位置，可選的種類都還是 \(n\) 種，不會減少。因此一直是乘 \(n\)，\(n\) 連乘 \(r\) 次就是 \(n^{r}\)。
和每選一次選項就少 1 個的排列 \(P^{n}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots\) 的差別，只有這一點。想成「庫存會不會減少」就能分辨。
台灣的高中課本不另外用符號，直接把重複排列的總數寫成 \(n^{r}\)。本頁計算結果中的 \({}_{n}\Pi_{r}\)，是部分國外教材使用的寫法（\(\Pi\) 是表示乘積的希臘字母 pi 的大寫，相當於英文 Product〈積〉的字首 P），意思和 \(n^{r}\) 相同。寫答案時用 \(n^{r}\) 最保險。
重複組合 \(H^{n}_{r}\)（可重複選取，選出 \(r\) 個）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(H^{n}_{r}\)
\(=\)
\(n+r-1\)
\( ext{ 中取 }\)
\(r\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(H^{n}_{r}\)：可重複選取、選出 \(r\) 個的方法數
\(=\)
①
\(n+r-1\)：圓圈與隔板的位置數
\( ext{ 中取 }\)
②
\(r\)：放圓圈的位置數
用文字讀公式
①
排 \(r\) 個 ○ 與表示種類分界的隔板 \(n-1\) 根，在
\(n+r-1\)：圓圈與隔板合計的位置數
之中，
②
數出
\(r\)：放圓圈的位置
的選法，
③
就得到
\(H^{n}_{r}\)：可重複選取、選出 \(r\) 個的方法數
。
簡單範例
從 3 種果汁（蘋果、柳橙、葡萄）中買 5 瓶，同一種可以買好幾瓶，買法是
從 3 種中買 5 瓶的方法
\(=\)
位置數（3 + 5 − 1 = 7 個）
\( ext{ 中取 }\)
放圓圈的位置數（5 個）
\(H^{3}_{5} = C^{3+5-1}_{5} = C^{7}_{5} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)
思考重點
明明只是「選取」，為什麼會變成組合 \(C^{n+r-1}_{r}\)？關鍵就在「換成圓圈與隔板」（隔板法）。在當成公式背起來之前，請一步一步確認看看。
首先，把種類的順序先定為「蘋果、柳橙、葡萄」。接著用 ○ 表示買到的 1 瓶，用隔板表示種類的分界，蘋果 2 瓶、柳橙 1 瓶、葡萄 2 瓶就寫成 ○○｜○｜○○。蘋果 3 瓶、柳橙 0 瓶、葡萄 2 瓶則是 ○○○｜｜○○。0 瓶的種類只是變成隔板相鄰，也能好好表示出來。
反過來，先看到圓圈與隔板的排列，也能讀出唯一的買法。由左往右看被隔板分成的 3 格，每格裡 ○ 的個數，就是蘋果、柳橙、葡萄的瓶數。○○｜｜○○○ 就是蘋果 2 瓶、柳橙 0 瓶、葡萄 3 瓶。從買法到符號排列、從符號排列到買法，都只有一種對應。所以買法和符號排列剛好一對一對應，不會漏數，也不會重複計算。
這樣一來，只要數符號的排列有幾種就好。隔板要分出 3 種，所以是 2 根（一般是 \(n-1\) 根），○ 是買的瓶數 \(r\) 個。排列的符號合計 \(n+r-1\) 個，這些位置由左往右編號為第 1 個、第 2 個……。決定一種排列，就等於決定在編了號的 \(n+r-1\) 個位置中，哪 \(r\) 個放 ○。到這裡，就變成「同一個位置不能選兩次的一般組合」了。所以 \(H^{n}_{r} = C^{n+r-1}_{r}\)。
改成選隔板的位置也一樣，因為剩下的位置自動就是 ○。寫成 \(C^{n+r-1}_{n-1}\)，答案也不變。
另外，H 據說取自表示「把相同次數的項全部集合起來」的 homogeneous（齊次）的字首。台灣的高中課本和考試直接使用 \(H^{n}_{r}\) 這個符號。本頁計算結果中的 \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) 是日本等地的寫法，意思相同。
不盡相異物的排列（混有相同字母的重新排列）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(N\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\(p!\,q!\,r!\cdots\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(N\)：含有相同物的 \(n\) 個的排法
\(=\)
①
\(n!\)：全部當成不同東西的排法
\(\div\)
②
\(p! \times q! \times \cdots\)：相同物之間的排法
用文字讀公式
①
把
\(n!\)：全部當成不同東西的排法
②
除以
\(p! \times q! \times \cdots\)：相同物之間的排法
，消去重複，
③
就得到
\(N\)：含有相同物的 \(n\) 個的排法
。
簡單範例
把「TOMATO」這 6 個字母重新排列，可以排出的字串有（T 有 2 個、O 有 2 個、M 有 1 個、A 有 1 個）
TOMATO 的排法
\(=\)
6 個字母當成不同時的排法（6!）
\(\div\)
相同字母之間的排法（2! × 2! × 1! × 1!）
\(N = \dfrac{6!}{2!\,2!\,1!\,1!} = \dfrac{720}{2 \times 2 \times 1 \times 1} = \dfrac{720}{4} = 180\)
思考重點
暫時給 2 個 T 編號，寫成 \(\mathrm{T}_1\)、\(\mathrm{T}_2\) 來區分，6 個字母就全都不同，排法有 \(6! = 720\) 種。但把編號拿掉後，\(\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2\) 和 \(\mathrm{T}_2\mathrm{T}_1\) 就分不出來，同一種排法被各數了 2 次。
相同的字母有 \(p\) 個時，這 \(p\) 個之間的排法 \(p!\) 種全都重複，所以每種字母都要除以 \(p!\)。只有 1 個的字母是 \(1! = 1\)，寫不寫答案都一樣。
這裡要注意字母的意思。這個公式的 \(n\)，和上面 2 個公式的 \(n\)（可選的種類數）不同，指的是要排的東西的全部個數。「TOMATO」出現的字母種類是 T、O、M、A 這 4 種，但要排的是 6 個字母，所以 \(n = 6\)。
分母的 \(p,\ q,\ r,\ \dots\) 是每種的個數，所以全部加起來一定是 \(p + q + r + \cdots = n\)。TOMATO 是 \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\)，確實和字母數一致。這個加法對不上時，就表示哪裡漏數或重複計算了（另外，這裡第 3 個出現的 \(r\)，是表示個數的第 3 個字母，和上面 2 個公式的「要選的個數 \(r\)」是不同的東西）。
\(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) 也稱為多項式係數，和重複組合並列為「混有相同物的計數」的代表。在棋盤狀的道路上向右走 3 格、向上走 2 格的捷徑走法有 \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\) 種，也是這個公式的應用。
該用哪個公式？（排列、只選取 × 可重複、不可重複）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(n^{r}\)
\(H^{n}_{r} = C^{n+r-1}_{r}\)
\(P^{n}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
\(C^{n}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
排列 × 同一個可以重複選取
②
只選取 × 同一個可以重複選取
③
排列 × 選過的就不能再選
④
只選取 × 選過的就不能再選
用文字讀公式
①
連順序（角色、名次、位數）都要區分地排列，且同一個可以重複選取時，
用重複排列 \(n^{r}\)
。
②
只數選了哪些，且同一個可以重複選取時，
用重複組合 \(H^{n}_{r} = C^{n+r-1}_{r}\)
。
③
連順序都要區分地排列，且選過的就不能再選時，
用排列 \(P^{n}_{r}\)
。
④
只數選了哪些，且選過的就不能再選時，
用組合 \(C^{n}_{r}\)
。
簡單範例
同樣是「4」和「3」，情境不同，用的公式也不同
從 4 種冰淇淋中買 3 個的方法（同一種口味可以買好幾個）
\(=\)
重複組合
從 4 人中選 3 人，決定第 1、2、3 名的方法
\(=\)
排列
\(H^{4}_{3} = C^{6}_{3} = 20\)
\(P^{4}_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24\)
思考重點
在進入這 4 個之前，前面還有一個岔路。是「從 \(n\) 種中選出 \(r\) 個」的情境，還是「像 TOMATO 的 6 個字母那樣，要排的東西已經在手上，把它們全部排列」的情境？後者沒有選取的步驟，所以不用上面 4 個，而是用不盡相異物的排列 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\)。請先分辨是「選了再排」，還是「把現有的全部排列」。
確定是選取的情境後，再依序確認下面 2 點。(1) 是要排列，還是只數選了哪些？(2) 同一個可以選 2 次以上，還是選過就結束？
(1) 的判斷依據是「每個位置有沒有意義」。像第 1 名、第 2 名，隊長和副隊長，密碼的第 1 位、第 2 位這樣，位置有角色的話是排列；像 2 名值日生、購物籃裡的東西這樣，只在意選了哪些的話是只選取。
(2) 的判斷依據是「庫存會不會減少」。像擲好幾次骰子、同一種口味可以買好幾個、同一個數字可以用好幾次這樣，選了也不會減少的話就是可重複。像 1 個人不能擔任 2 個角色、同一支籤不能抽 2 次這樣，會減少的話就是不可重複。
另外，\(n^{r}\) 和 \(P^{n}_{r}\) 在 \(r\) 越大時差距越大（10 種選 4 個時，\(10^{4} = 10000\) 種，而 \(P^{10}_{4} = 5040\) 種）。搞錯 (2)，答案會差將近 2 倍，所以這個確認不要省略。
可重複選取且要「排列」，用重複排列 \(n^{r}\)；可重複選取且「只選取」，用重複組合 \(H^{n}_{r} = C^{n+r-1}_{r}\)；把混有相同物的東西全部排列，用 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\)。重複組合換成圓圈與隔板後，馬上變成一般的組合 \(C^{n+r-1}_{r}\)——這是這個單元的重點。
符號與用語解說
符號
| \(n\) | n | 可供選取的種類數。（例：從 3 種果汁中選，\(n = 3\)；用 0～9 的數字，\(n = 10\)）。表示個數的字母常用 number（數）的字首 \(n\)。但只有不盡相異物的排列 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) 的 \(n\) 意思不同，指要排的東西的全部個數（「TOMATO」的字母種類是 4 種，但 \(n = 6\)）。 |
| \(r\) | r | 可重複選取（排列）的個數。（例：買 5 瓶果汁，\(r = 5\)；4 位數密碼，\(r = 4\)）。和排列、組合的符號 \(P^{n}_{r}\)、\(C^{n}_{r}\) 放在相同位置的字母。 |
| \(n!\) | n 階乘 | 從 \(n\) 到 \(1\) 的整數全部相乘的數，表示 \(n\) 個全部排成一列的排法總數。另外規定 \(0! = 1\)。（例：\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)） |
| \({}_{n}\Pi_{r}\) | n pi r | 重複排列的符號（本頁計算結果使用的寫法）。從 \(n\) 種中可重複選取 \(r\) 個，並考慮順序排列的方法總數，值是 \(n^{r}\)。\(\Pi\) 是表示乘積的希臘字母 pi 的大寫，相當於英文 Product（積）的字首 P。台灣的課本不用這個符號，直接寫成 \(n^{r}\)。 |
| \(H^{n}_{r}\) | H n 取 r | 重複組合。從 \(n\) 種中可重複選取 \(r\) 個、不考慮順序的選法總數，值是 \(C^{n+r-1}_{r}\)。H 據說取自 homogeneous（齊次）的字首。本頁計算結果寫成 \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)（例：\({}_{3}\mathrm{H}_{5}\)），意思相同。 |
| \(P^{n}_{r}\) | P n 取 r | 排列。從 \(n\) 個中選 \(r\) 個依序排列的方法總數，選過的就不能再選。P 是英文 permutation（排列）的字首。 |
| \(C^{n}_{r}\) | C n 取 r | 組合。從 \(n\) 個中選 \(r\) 個的方法總數，選過的就不能再選，也不考慮順序。C 是英文 combination（組合）的字首。本頁計算結果寫成 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)，意思相同。 |
| \(N\) | 大寫 N | 本頁用來表示排法總數的字母（重複排列、不盡相異物的排列）。是 number（數）字首的大寫，常用來表示「想求的總數」。 |
| \(p,\ q\) | p、q | 不盡相異物的排列中，表示相同物各有幾個的字母。（例：「TOMATO」的 T 有 \(p = 2\) 個、O 有 \(q = 2\) 個、M 有 1 個、A 有 1 個）。種類有 3 種以上時，依序寫成 \(p,\ q,\ r,\ \dots\)（這個 \(r\) 和「要選的個數 \(r\)」是不同的東西）。全部加起來一定是 \(p + q + r + \cdots = n\)（要排的東西的全部個數）。 |
| \(\bigcirc\) 與 \(|\) | 圓圈、隔板 | 計算重複組合時使用的符號。○ 表示「選到的 1 個」，\(|\)（隔板）表示「種類的分界」。○○｜○｜○○ 就表示第 1 種選 2 個、第 2 種選 1 個、第 3 種選 2 個。 |
用語
| 方法數 | 數出所有可能的情形共有幾種的數。排列、組合、重複排列、重複組合，都是有效率地計算方法數的工具。 |
| 重複 | 同一個東西出現 2 次以上。在這個單元，是「同一個可以選 2 次以上」的意思。 |
| 重複排列 | 從 \(n\) 種中、同一種可以重複選取，選出 \(r\) 個並考慮順序排列的排法。總數是 \(n^{r}\)。 |
| 重複組合 | 從 \(n\) 種中、同一種可以重複選取，選出 \(r\) 個、不考慮順序的選法。總數是 \(H^{n}_{r} = C^{n+r-1}_{r}\)。 |
| 不盡相異物的排列 | 像「TOMATO」這樣，把混有相同物的 \(n\) 個全部排列的排法。總數是 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\)，除以相同物之間的排法數來消去重複。 |
| 排列 | 從 \(n\) 個中選 \(r\) 個，考慮順序排成一列的排法。符號是 \(P^{n}_{r}\)，選過的就不能再選。 |
| 組合 | 從 \(n\) 個中只選出 \(r\) 個、不考慮順序的選法。符號是 \(C^{n}_{r}\)，選過的就不能再選。 |
| 階乘 | 把從 \(n\) 到 \(1\) 的整數全部相乘的計算。符號是 \(n!\)，表示 \(n\) 個全部排列的排法總數。 |
| 隔板 | 計算重複組合時，為了表示種類的分界而放的符號 \(|\)。分出 \(n\) 種需要 \(n-1\) 根，就能換成從和 ○ 合計 \(n+r-1\) 個位置中選出 ○ 的位置的問題（隔板法）。 |
| 多項式係數 | 不盡相異物的排列總數 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) 的別名。因為展開 \((a+b+c)^{n}\) 時各項的係數就是這個形式，所以這樣稱呼。 |
| 樹狀圖 | 為了不遺漏、不重複地數出方法數，用分枝的圖把所有情形寫出來的方法。重複排列相當於每個分枝都長出相同數量分枝的樹狀圖。 |
| 捷徑 | 在棋盤狀的道路上，不繞遠路到達目的地的走法（最短路徑）。向右走 \(p\) 格、向上走 \(q\) 格的捷徑走法數，可以用不盡相異物的排列 \(\dfrac{(p+q)!}{p!\,q!}\) 求出。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。
卡住的時候，回到這裡的內容複習，是最快的捷徑。
| 乘法與除法（國小三～五年級，8～11 歲） |
|
| 指數（國中七年級～高一，12～16 歲） |
|
| 方法數與樹狀圖（國中，12～15 歲） |
|
| 階乘（高一，15～16 歲） |
|
| 排列與組合（高一，15～16 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「重複排列 nʳ」的表格
| 種類數 n | 10 |
| 要排的個數 r | 4 |
| 重複排列 nʳ | =B1^B2 |
求「重複組合 H」的表格
| 種類數 n | 3 |
| 要選的個數 r | 5 |
| 圓圈與隔板合計的位置數 | =B1+B2-1 |
| 重複組合 H | =COMBIN(B3,B2) |
求「不盡相異物的排列」的表格
| 全部的字母數 n（TOMATO） | 6 |
| T 的個數 | 2 |
| O 的個數 | 2 |
| M 的個數 | 1 |
| A 的個數 | 1 |
| 排法總數 N | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B3)*FACT(B4)*FACT(B5)) |
貼上後，上面的列就是輸入的儲存格，最後一列會自動算出結果。
「^」是次方的符號，FACT 計算階乘，COMBIN 計算組合（nCr），都是 Excel 的函數。
第 1 個表格是用 0～9 這 10 種數字組成 4 位數密碼的例子，B3 會顯示 10000。
第 2 個表格是從 3 種果汁中買 5 瓶的例子，B3 會顯示 7（＝3+5−1），B4 會顯示 21。
第 3 個表格是把「TOMATO」重新排列的例子，B6 會顯示 180。相同字母的種類增加時，請在除數的部分再乘上 FACT。寫成 =MULTINOMIAL(B2,B3,B4,B5) 也一樣會得到 180。
另外，Excel 的數值只有 15 位有效數字，所以答案有 16 位數以上時，尾數會被捨入。
「^」是次方的符號，FACT 計算階乘，COMBIN 計算組合（nCr），都是 Excel 的函數。
第 1 個表格是用 0～9 這 10 種數字組成 4 位數密碼的例子，B3 會顯示 10000。
第 2 個表格是從 3 種果汁中買 5 瓶的例子，B3 會顯示 7（＝3+5−1），B4 會顯示 21。
第 3 個表格是把「TOMATO」重新排列的例子，B6 會顯示 180。相同字母的種類增加時，請在除數的部分再乘上 FACT。寫成 =MULTINOMIAL(B2,B3,B4,B5) 也一樣會得到 180。
另外，Excel 的數值只有 15 位有效數字，所以答案有 16 位數以上時，尾數會被捨入。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「重複排列 nʳ」的表格
| 種類數 n | 10 |
| 要排的個數 r | 4 |
| 重複排列 nʳ | =B1^B2 |
求「重複組合 H」的表格
| 種類數 n | 3 |
| 要選的個數 r | 5 |
| 圓圈與隔板合計的位置數 | =B1+B2-1 |
| 重複組合 H | =COMBIN(B3,B2) |
求「不盡相異物的排列」的表格
| 全部的字母數 n（TOMATO） | 6 |
| T 的個數 | 2 |
| O 的個數 | 2 |
| M 的個數 | 1 |
| A 的個數 | 1 |
| 排法總數 N | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B3)*FACT(B4)*FACT(B5)) |
可以直接使用和 Excel 相同的公式（Google 試算表也有同名的 FACT、COMBIN、MULTINOMIAL 函數）。
把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把數值改成自己的情境即可。
把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把數值改成自己的情境即可。
用 Python 計算的方法
import math
from collections import Counter
# 1) 重複排列（從 n 種中可重複選取 r 個，並考慮順序排列）
kinds = 10 # 種類數 n（0～9 共 10 種）
picks = 4 # 要排的個數 r（4 位數）
repeated_permutations = kinds ** picks
# 2) 重複組合（從 n 種中可重複選取 r 個，不考慮順序）
juice_kinds = 3 # 種類數 n（3 種果汁）
bottles = 5 # 要選的個數 r（5 瓶）
repeated_combinations = math.comb(juice_kinds + bottles - 1, bottles)
# 3) 不盡相異物的排列（混有相同字母的字串重新排列）
word = "TOMATO"
letter_counts = Counter(word)
same_item_permutations = math.factorial(len(word))
for count in letter_counts.values():
same_item_permutations //= math.factorial(count)
print(f"重複排列（從 {kinds} 種排出 {picks} 個）：{repeated_permutations}")
print(f"重複組合（從 {juice_kinds} 種選出 {bottles} 個）：{repeated_combinations}")
print(f"{word} 的重新排列：{same_item_permutations}")
只用標準函式庫就能執行（math.comb 需要 Python 3.8 以上）。執行後會顯示 10000、21、180。Python 的整數沒有位數上限，答案即使有幾百位數也能正確計算。把開頭的數值和字串改掉後執行即可。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
重複排列 \(n^{r}\)（可重複選取，排出 \(r\) 個）
N = nʳ
N = n^{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>n</mi><mi>r</mi></msup>
</mrow>
</math>
n^r
n^r
repeatedPermutation := n^r;
repeated_permutation = n^r;
n^r
重複組合 \(H^{n}_{r}\)（可重複選取，選出 \(r\) 個）
Hⁿᵣ = C(n+r−1, r)
H^{n}_{r} = C^{n+r-1}_{r} = \dfrac{(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msubsup><mi>H</mi><mi>r</mi><mi>n</mi></msubsup>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi>
<mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow>
</msubsup>
</mrow>
</math>
H_r^n = C_r^(n+r-1)
Binomial[n + r - 1, r]
nHr := binomial(n + r - 1, r);
nhr = nchoosek(n + r - 1, r);
H_r^n = C_r^(n+r−1) = (n+r−1)!/(r!(n−1)!)
不盡相異物的排列（混有相同字母的重新排列）
N = n! ÷ (p! × q! × r! × ⋯)
N = \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!\cdots}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>p</mi><mo>!</mo>
<mi>q</mi><mo>!</mo>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (n!)/(p!q!r!cdots)
Multinomial[p, q, r]
N := factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = n!/(p!q!r!⋯)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是方法數（排列、組合）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列 3 個計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。 1. 用 0～9 這 10 種數字組成 4 位數密碼，有幾種方法？（同一個數字可以使用好幾次） 2. 從 3 種果汁中買 5 瓶，同一種可以買好幾瓶，有幾種買法？（只數各買幾瓶的組合，不區分選取的順序） 3. 把「TOMATO」這 6 個字母重新排列，可以排出幾種字串？ 請分別說明使用的是重複排列、重複組合、不盡相異物的排列中的哪一個、理由，以及執行結果的數值。Python 請使用 math 模組（math.comb、math.factorial）與 collections.Counter。
使用方法
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1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
排列組合計算機（排列 nPr、組合 nCr）
計算選過就不能再選時的排法（排列）與選法（組合）
環狀排列與項鍊排列計算機（排成圓形的方法數）
計算排成圓形的排法（環狀排列），以及把翻面後相同的排法視為同一種的項鍊排列
