向量外積計算機（分量、平行四邊形面積、法向量）

請輸入兩個向量 a、b 的分量。下方的數學式和輸入欄連動，直接改寫直行排列的數字也能計算。處理平面向量時，請把 z 分量的欄位留白（0）。

向量 a 的 x 分量 a₁

向量 a 的 y 分量 a₂

向量 a 的 z 分量 a₃

向量 b 的 x 分量 b₁

向量 b 的 y 分量 b₂

向量 b 的 z 分量 b₃

數值請用半形輸入。可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。留白的分量視為 0。

計算結果與圖形

在左側輸入欄輸入兩個向量的分量，按下「計算」，結果和 3D 圖就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入空間向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 的分量，就能算出外積 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 的分量，並附上交叉相乘的計算過程
外積的長度 \(|\vec{a}\times\vec{b}|\)（＝兩向量所張出的平行四邊形面積），會同時以保留根號的精確值（例如 \(3\sqrt{6}\)）和小數顯示，三角形面積（它的一半）也一起算出
還能一次求出和 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 都垂直的單位法向量 \(\vec{n}\)、兩向量的夾角 \(\theta\)，以及內積為 0（垂直的確認）
計算結果也會以可用滑鼠旋轉的 3D 圖顯示，可以親眼確認外積垂直立在平行四邊形上的方向（右手定則）
分量除了小數、負數，也可以輸入像 3/4 這樣的分數。把 z 分量留白（0），也能用來計算平面向量
這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式

外積是只對空間（三維）向量定義的計算。平面向量把 z 分量視為 0 來計算，這時外積只剩下 z 分量。在台灣，外積是高二下數學 A（第四冊「空間向量」）的內容，數學 B 不教；在大學理工科、物理和 3D 繪圖中，它是最先學到的基本工具之一。

這個計算有什麼用？

3D 繪圖與遊戲的陰影（求面朝向哪個方向）

在遊戲和電影的 3D 影像中，物體的表面被切成許多小三角形。表示每個三角形朝向的法向量，就是用它兩個邊向量的外積算出來的。光線方向和這個法向量的關係，決定了這個面看起來亮還是暗。
曲面看起來光影柔和，就是因為逐面依照這些法向量計算陰影。

用扳手鎖螺栓（力矩）

讓物體轉動的力的效果稱為力矩。它是「從轉動中心到施力點的向量」和「力的向量」的外積。它的長度 \(|\vec{r}||\vec{F}|\sin\theta\)，和「扳手越長越好轉」「和握把垂直施力最有效」的生活經驗一致。
保養廠用扭力扳手把汽車螺栓鎖到規定值，就是因為要控制的正是這個量。

馬達轉動的原理（在磁場中受到的力）

磁場中的電流，會受到和電流、磁場都垂直的力。這個力的方向和大小，由電流的向量和磁場的向量的外積決定（對電子這類單一電荷，是速度和磁場的外積 \(\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\)）。讓馬達轉動、讓喇叭振膜振動的，就是這個垂直的力。
台灣高中物理教的「右手開掌定則」，就是用手找出這個外積方向的方法。

測量與土地面積計算（由坐標求面積）

土地的面積是由測得的界址點坐標算出來的。依序繞著多邊形的頂點，對每一組相鄰兩點計算 \(x_1y_2 - x_2y_1\)，全部加起來再取總和絕對值的一半。不必量每一邊，就能得到面積。關鍵是不要逐項取絕對值，而是帶著正負號相加，多出來的部分會自動抵消，即使是凹進去的土地也能求出正確面積。這用到的是外積的 \(z\) 分量（有向面積），稱為坐標法（鞋帶公式）。
地籍測量和地圖（GIS）軟體計算土地面積時，也是用同樣的想法。

無人機與機器人的姿態控制（求轉動軸）

要把無人機或機器人從「現在朝向的方向」轉到「應該朝向的方向」，必須決定繞哪個軸、轉幾度。兩個方向向量的外積，會得到和兩者都垂直的向量，這正是轉動軸。角度則由外積的長度（\(\sin\theta\) 的部分）和內積（\(\cos\theta\) 的部分）組合求出。
無人機的飛行控制，以及 3D 動畫中讓角色的頭或手臂轉向目標，也都用同樣的想法。

公式與圖示

外積的分量（交叉相乘）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\vec{a} \times \vec{b}\) \(=\) \((\) \(a_2 b_3 - a_3 b_2\) \(,\) \(a_3 b_1 - a_1 b_3\) \(,\) \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) \()\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ \(\vec{a}\times\vec{b}\)：外積 \(=\) \((\) ① \(x\) 分量（\(y\) 與 \(z\) 交叉相乘的差） \(,\) ② \(y\) 分量（\(z\) 與 \(x\) 交叉相乘的差） \(,\) ③ \(z\) 分量（\(x\) 與 \(y\) 交叉相乘的差） \()\)

用文字讀公式

① 設 \(\vec{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)\)、\(\vec{b} = (b_1,\ b_2,\ b_3)\)，先算出 \(x\) 分量：\(y\) 與 \(z\) 交叉相乘的差 \(a_2b_3 - a_3b_2\) ，

② 再算出 \(y\) 分量：\(z\) 與 \(x\) 交叉相乘的差 \(a_3b_1 - a_1b_3\) ，

③ 以及 \(z\) 分量：\(x\) 與 \(y\) 交叉相乘的差 \(a_1b_2 - a_2b_1\) 。

④ 以這 3 個數為分量的向量，就是 \(\vec{a}\times\vec{b}\)：外積

簡單範例

\(\vec{a} = (1,\ 2,\ 3)\)、\(\vec{b} = (4,\ 5,\ 6)\) 的外積是

\(\vec{a}\times\vec{b}\)：外積 \(=\) \((\) \(x\) 分量（\(2 \times 6 - 3 \times 5\)） \(,\) \(y\) 分量（\(3 \times 4 - 1 \times 6\)） \(,\) \(z\) 分量（\(1 \times 5 - 2 \times 4\)） \()\)

\(\vec{a} \times \vec{b} = (2 \times 6 - 3 \times 5,\ \ 3 \times 4 - 1 \times 6,\ \ 1 \times 5 - 2 \times 4)\)

\(= (12 - 15,\ \ 12 - 6,\ \ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)\)

思考重點

3 個分量不必一個一個背，用交叉相乘就能做出來。想像 \(x \to y \to z \to x \to y \to z\) 繞成一圈的順序（稱為輪換）。遮住想求的分量的字母，讀出後面兩個字母：\(x\) 分量是 \(y,\ z\)，\(y\) 分量是 \(z,\ x\)，\(z\) 分量是 \(x,\ y\)。把 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 的這兩行分量排成上下兩列，用「右下方向的乘積減去右上方向的乘積」計算。上方的圖示就是這個步驟。只有 \(y\) 分量 \(a_3b_1 - a_1b_3\) 看起來和其他相反，這是因為字母的讀法是 \(z,\ x\)，而不是 \(x,\ z\)。弄錯這個順序，只有 \(y\) 分量的正負號會錯。台灣的教科書會把這個計算寫成 3 個二階行列式：\(\vec{a}\times\vec{b}=\left(\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}\right)\)。大學的課本則常把單位向量 \(\mathbf{i},\ \mathbf{j},\ \mathbf{k}\) 放在第一列、\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 的分量放在下面兩列，寫成三階行列式，沿第一列展開就得到同樣的 3 個分量。另外要注意，\(\vec{b} \times \vec{a}\) 和 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 正負號相反（\(\vec{b} \times \vec{a} = -\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)）。交換順序答案就會改變，這點和內積不同。

外積的長度（\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\) \(=\) \(\left| \vec{a} \right|\) \(\left| \vec{b} \right|\) \(\sin\theta\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\)：外積的長度 \(=\) ① \(|\vec{a}|\)：\(\vec{a}\) 的長度 ② \(|\vec{b}|\)：\(\vec{b}\) 的長度 ③ \(\sin\theta\)：夾角 \(\theta\) 的正弦

用文字讀公式

① 把 \(|\vec{a}|\)：\(\vec{a}\) 的長度乘上

② \(|\vec{b}|\)：\(\vec{b}\) 的長度，再乘上

③ \(\sin\theta\)：兩向量夾角 \(\theta\) 的正弦，

④ 就得到 \(|\vec{a}\times\vec{b}|\)：外積的長度

簡單範例

長度 4 的向量和長度 3 的向量夾角為 30° 時，外積的長度是

外積的長度 \(=\) \(\vec{a}\) 的長度（4） \(\vec{b}\) 的長度（3） \(\sin 30^\circ\)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = 4 \times 3 \times \sin 30^\circ = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6\)

思考重點

平行四邊形的面積是「底 × 高」。以 \(|\vec{a}|\) 為底時，高就是 \(|\vec{b}|\sin\theta\)（上圖的虛線）。所以 \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) 正好就是平行四邊形的面積。夾角 \(\theta\) 取 0° 到 180°。在這個範圍內 \(\sin\theta\) 不會是負的，所以 \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) 也不會是負的，可以直接當作長度或面積。（\(\cos\theta\) 超過 90° 就變成負的，所以內積可能是負的。）內積是 \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)，外積的長度則用 \(\sin\theta\)。兩向量同方向（\(\theta = 0^\circ\)）或反方向（\(\theta = 180^\circ\)）時，\(\sin\theta = 0\)，外積是零向量；成直角（\(\theta = 90^\circ\)）時，\(\sin\theta = 1\)，是最大值。「平行時為 0、垂直時最大」，正好和內積相反。這個公式適合在知道角度時使用。知道分量時，先用交叉相乘（公式 1）求出分量再求長度比較快，也不會混入角度的捨入誤差。這個計算機也是由分量精確計算的。

平行四邊形面積與三角形面積

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(S\) \(=\) \(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② \(S\)：平行四邊形面積 \(=\) ① \(|\vec{a}\times\vec{b}|\)：外積的長度

④ \(S_{\triangle}\)：三角形面積 \(=\) ③ 外積長度的一半

用文字讀公式

① 考慮以兩個向量為兩邊的平行四邊形， \(|\vec{a}\times\vec{b}|\)：外積的長度就直接是

② \(S\)：平行四邊形面積；

③ 外積長度的一半就是

④ \(S_{\triangle}\)：以兩個向量為兩邊的三角形面積

簡單範例

\(\vec{a} = (1,\ 2,\ 3)\)、\(\vec{b} = (4,\ 5,\ 6)\) 所張出的平行四邊形和三角形面積是（外積是公式 1 求出的 \((-3,\ 6,\ -3)\)）

平行四邊形面積 \(=\) 外積 \((-3,\ 6,\ -3)\) 的長度

\(S = \sqrt{(-3)^{2} + 6^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.34846922835\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \times 3\sqrt{6} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3.67423461417\)

思考重點

平行四邊形沿著對角線切開，會分成 2 個全等的三角形，所以三角形面積正好是平行四邊形面積的一半。要求空間中 A、B、C 三點所成三角形的面積，只要取 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) 和 \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) 的外積，再把長度除以 2。不必量出三邊再用海龍公式，只要知道坐標就能求面積，這是外積的長處。長度常常會出現 \(\sqrt{54}\) 這種根號內數字很大的情形。找出完全平方數，例如 \(54 = 9 \times 6\)，化簡成 \(3\sqrt{6}\)（規則是能提到根號外的都提出來）。這個計算機會同時顯示化簡後的根號和小數。

單位法向量（和兩者都垂直、長度為 1 的向量）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\vec{n}\) \(=\) \(\dfrac{1}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}\) \(\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(\vec{n}\)：單位法向量 \(=\) ② 除以外積的長度（把長度調成 1） ① \(\vec{a}\times\vec{b}\)：外積

用文字讀公式

① 把 \(\vec{a}\times\vec{b}\)：外積

② 除以外積的長度 \(|\vec{a}\times\vec{b}|\)（＝乘上長度的倒數），方向不變、只有長度變成 1，就得到

③ \(\vec{n}\)：單位法向量

簡單範例

外積是 \((-3,\ 6,\ -3)\)、長度是 \(3\sqrt{6}\) 時，單位法向量是

\(\vec{n}\)：單位法向量 \(=\) 除以長度 \(3\sqrt{6}\) 外積 \((-3,\ 6,\ -3)\)

\(\vec{n} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}(-3,\ 6,\ -3) \approx (-0.408248290464,\ 0.816496580928,\ -0.408248290464)\)

\(\vec{a} \cdot \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) = 1 \times (-3) + 2 \times 6 + 3 \times (-3) = 0\)

思考重點

外積和原來的兩個向量都垂直。計算內積一定會得到 \(\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) 和 \(\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\)（內積為 0 表示垂直）。這個計算機會確認兩者都是 0，並顯示在結果中。和平面垂直的向量稱為法向量，把法向量的長度調成 1 就是單位法向量。它捨去長度、只留下方向，在 3D 繪圖的陰影計算等「只在乎面朝哪個方向」的場合會用到。和平面垂直的方向有正面、背面兩個，由右手決定是哪一個。把右手四指從 \(\vec{a}\) 彎向 \(\vec{b}\)，大拇指的方向就是 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 的方向（右手定則）。\(\vec{b}\times\vec{a}\) 則朝向相反的背面。所以平面的單位法向量有 \(\vec{n}\) 和 \(-\vec{n}\) 兩個，兩者都是「長度 1、和平面垂直」。得到哪一個取決於 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 相乘的順序，這個計算機顯示 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 方向的那一個。如果需要唯一的答案，請自己訂規則，例如「取 \(z\) 分量為正的那一個」。

平面向量的情形（三角形面積公式）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\Bigl|\) \(x_1 y_2\) \(-\) \(x_2 y_1\) \(\Bigr|\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ \(S_{\triangle}\)：三角形 OAB 的面積 \(=\) ③ 取平行四邊形的一半 \(\Bigl|\) ① A 點的 \(x\) 坐標與 B 點的 \(y\) 坐標的乘積 \(-\) ② B 點的 \(x\) 坐標與 A 點的 \(y\) 坐標的乘積 \(\Bigr|\)

用文字讀公式

① 對平面上的三點 \(\mathrm{O}(0,\ 0)\)、\(\mathrm{A}(x_1,\ y_1)\)、\(\mathrm{B}(x_2,\ y_2)\)，從 \(x_1y_2\)：A 點的 \(x\) 坐標與 B 點的 \(y\) 坐標的乘積減去

② \(x_2y_1\)：B 點的 \(x\) 坐標與 A 點的 \(y\) 坐標的乘積，取絕對值（有負號就去掉），再

③ 除以 2，取平行四邊形的一半，就得到

④ \(S_{\triangle}\)：三角形 OAB 的面積

簡單範例

\(\mathrm{O}(0,\ 0)\)、\(\mathrm{A}(4,\ 1)\)、\(\mathrm{B}(1,\ 3)\) 所成三角形的面積是

三角形面積 \(=\) 平行四邊形的一半 \(\Bigl|\) A 的 \(x\) 坐標與 B 的 \(y\) 坐標（\(4 \times 3\)） \(-\) B 的 \(x\) 坐標與 A 的 \(y\) 坐標（\(1 \times 1\)） \(\Bigr|\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\left| 4 \times 3 - 1 \times 1 \right| = \dfrac{1}{2}\left| 12 - 1 \right| = \dfrac{11}{2} = 5.5\)

思考重點

平面向量 \(\vec{a} = (x_1,\ y_1)\)、\(\vec{b} = (x_2,\ y_2)\)，可以看成 \(z\) 分量為 0 的空間向量 \((x_1,\ y_1,\ 0)\)、\((x_2,\ y_2,\ 0)\)。取它們的外積，\(x\)、\(y\) 分量都是 0，只剩下 \(z\) 分量 \(x_1y_2 - x_2y_1\)。也就是說，教科書中的三角形面積公式 \(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\)（台灣的課本也寫成二階行列式的絕對值的一半），正是外積 \(z\) 分量（取絕對值）的一半。在這個計算機把 \(z\) 分量的欄位留白（0），就能親自確認。去掉絕對值之前，\(x_1y_2 - x_2y_1\) 的正負號也有意義：正的表示從 \(\vec{a}\) 轉向 \(\vec{b}\) 是逆時針，負的表示順時針。這個「有向面積」可以用來由坐標一次求出多邊形的面積（測量上的坐標法，也稱為鞋帶公式）。

外積 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 是由兩個空間向量做出新向量的計算。分量用 3 個交叉相乘的減法求出；方向和原來兩個向量都垂直（右手定則）；長度 \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) 等於兩向量所張出的平行四邊形面積。三角形面積是它的一半，除以長度就得到單位法向量。

符號與用語解說

符號

\(\vec{a}\)	向量 a	表示「有方向和大小（長度）的量」的符號。字母上方的箭頭是「這是向量」的記號。大學以後也常不寫箭頭，改用粗體（a）表示。
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	a 下標 1、a 下標 2、a 下標 3	向量 \(\vec{a}\) 的分量：表示往 \(x\)、\(y\)、\(z\) 方向各前進多少的 3 個數。右下角的小數字（下標）表示第幾個分量。也有寫成 \(a_x,\ a_y,\ a_z\) 的寫法。
\(\vec{a} \times \vec{b}\)	a 外積 b（a cross b）	外積（向量積）。因為使用乘號 \(\times\)（cross），英文稱為 cross product。答案不是數，而是向量。
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)	a 內積 b（a dot b）	內積（純量積）。因為使用中間的點，英文稱為 dot product。答案是一個數（純量）。名稱和符號都和外積很像，請注意區別。
\(\left\| \vec{a} \right\|\)	向量 a 的長度	向量的長度，也就是箭頭的長。由分量用畢氏定理求出 \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)。和絕對值使用相同的直線符號，兩者都表示離原點的距離。
\(\theta\)	theta	兩個向量的夾角。這是常用來表示角度的希臘字母。外積中取 0° 到 180° 的範圍。
\(\sin\theta\)	sine theta	角 \(\theta\) 的正弦。在直角三角形中相當於「對邊 ÷ 斜邊」的比，簡寫為 \(\sin\)。在 0° 到 180° 之間不會是負的：\(\sin 0^\circ = 0\)、\(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\)、\(\sin 90^\circ = 1\)、\(\sin 180^\circ = 0\)。
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)	向量 AB	以 A 點為起點、B 點為終點的向量。分量是「終點坐標 − 起點坐標」。要由三點求三角形面積，先用這個形式做出兩個邊的向量。
\(S\)	S	常用來表示面積的字母，據說取自 Square（正方形、平方）或 Surface（面）的第一個字母。本頁表示平行四邊形的面積。
\(S_{\triangle}\)	S 三角形	三角形的面積。在表示面積的 \(S\) 加上三角形的記號，和平行四邊形的面積區別。
\(\vec{n}\)	向量 n	法向量。習慣上用 normal（法線、垂直）的第一個字母 \(n\)。本頁表示長度調成 1 的單位法向量。
\(\vec{0}\)	零向量	分量全部為 0 的向量（零向量）。長度為 0，沒有方向。兩個向量平行時，外積就是零向量。
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	根號	平方根的符號。\(\sqrt{54}\) 是「平方後等於 54 的正數」。根號內藏有完全平方數（\(4,\ 9,\ 16, \dots\)）時，提到外面化簡，例如 \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\)。

用語

向量	同時具有方向和大小的量。方向和長度相同的兩個箭頭，不管畫在哪裡都視為同一個向量。力、速度、風這類表示「往哪裡、多少」的量，就是向量。
坐標表示	把向量寫成 \((1,\ 2,\ 3)\) 這樣，往 \(x\)、\(y\)、\(z\) 方向前進量的一組數。也可以直行排列（行向量），意思相同。
外積	由兩個空間向量做出新向量的計算，也稱為向量積。新向量和原來兩個向量都垂直，長度等於兩向量所張出的平行四邊形面積。
內積	由兩個向量得到一個數（純量）的計算。等於 \(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\)，為 0 時兩向量垂直。和答案是向量的外積不同。
長度	向量的長。分量為 \((a_1,\ a_2,\ a_3)\) 時是 \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)，也就是把畢氏定理推廣到空間。也稱為大小或範數。
夾角	把兩個向量的起點對齊時，兩者之間形成的角，取 0° 到 180°。
平行四邊形	兩組對邊分別平行的四邊形。以兩個向量為兩邊時，它的面積就是外積的長度。
法向量	和平面（或直線）垂直的向量，表示面朝向哪個方向。用平面上的兩個向量取外積，就能輕鬆做出法向量。
單位向量	長度為 1 的向量。把向量除以自己的長度，方向不變、長度變成 1，就是單位向量。
單位法向量	把法向量的長度調成 1 的單位向量。用在只想取出方向資訊的時候。
交叉相乘	把排成上下兩列的 4 個數，沿右下和右上兩條斜線相乘再相減的計算方法，也就是二階行列式 \(ad - bc\) 的形式。外積的每個分量都是這個形式。
右手定則	決定外積方向的規則。把右手四指從 \(\vec{a}\) 彎向 \(\vec{b}\)，大拇指的方向就是 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 的方向。依這個規則取的坐標系稱為右手坐標系。
零向量	分量全部為 0 的向量。長度為 0，沒有方向。兩個向量平行時，它們的外積就是零向量。
垂直	兩個向量的夾角為 90°，也稱為正交。可以由內積為 0 來確認。
平行	兩個向量方向相同或正好相反。這時兩者可以落在同一條直線上，無法張出平行四邊形（被壓扁，面積為 0）。
有向面積	依旋轉方向加上正負號的面積。在平面上，\(x_1y_2 - x_2y_1\) 就是有向面積：逆時針為正，順時針為負。取絕對值就是一般的面積。
行列式	由排成正方形的數決定的一個數。二階行列式 \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\) 正是交叉相乘，外積的每個分量都是二階行列式的形式。
輪換	像 \(x \to y \to z \to x\) 這樣，順序繞成一圈回到原處。外積的 3 個分量，就是依這個輪換順序重複同樣的形式。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到困難時，回頭複習這張表的內容是最快的方法。

什麼是向量（高二，16～17 歲）	知道向量是「有方向和大小的量」，可以用箭頭表示（像力、速度這種表示「往哪裡、多少」的量）能用 \((1,\ 2,\ 3)\) 這樣的分量表示向量（坐標表示：往 \(x\)、\(y\)、\(z\) 各方向前進多少）
空間坐標（國中七年級～高二，12～17 歲）	知道在平面坐標 \((x,\ y)\) 加上高度 \(z\) 成為 \((x,\ y,\ z)\)，就能決定空間中點的位置能想像 \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸彼此垂直相交
畢氏定理與向量的長度（國中八年級～高二，13～17 歲）	知道直角三角形中 \(a^2 + b^2 = c^2\) 成立知道空間向量的長度是 \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)（用了兩次畢氏定理的形式）
平方根的計算（國中八年級，13～14 歲）	能把根號內的平方數提到外面化簡，例如 \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\) 知道根號大約的小數值，例如 \(\sqrt{3} \approx 1.732\)
內積（高二，16～17 歲）	知道內積 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) 可以用 \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) 計算，答案是一個數知道內積為 0 時兩向量垂直（本頁用來確認外積是垂直的）
三角比（高一，15～16 歲）	知道 \(\sin\theta\) 是直角三角形中「對邊 ÷ 斜邊」的比記得 \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\)、\(\sin 90^\circ = 1\) 這類代表性的值
平行四邊形與三角形的面積（國小五年級，10～11 歲）	知道平行四邊形的面積是「底 × 高」知道三角形面積正好是同底同高平行四邊形的一半

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「外積的分量」的表格

a 的 x 分量（a₁）	1
a 的 y 分量（a₂）	2
a 的 z 分量（a₃）	3
b 的 x 分量（b₁）	4
b 的 y 分量（b₂）	5
b 的 z 分量（b₃）	6
a×b 的 x 分量（a₂b₃ − a₃b₂）	=B2B6-B3B5
a×b 的 y 分量（a₃b₁ − a₁b₃）	=B3B4-B1B6
a×b 的 z 分量（a₁b₂ − a₂b₁）	=B1B5-B2B4

確認「外積的長度＝|a||b|sinθ」的表格

a 的 x 分量（a₁）	1
a 的 y 分量（a₂）	2
a 的 z 分量（a₃）	3
b 的 x 分量（b₁）	4
b 的 y 分量（b₂）	5
b 的 z 分量（b₃）	6
長度 \|a×b\|（由分量求出）	=SQRT((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
a 的長度 \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
b 的長度 \|b\|	=SQRT(B4^2+B5^2+B6^2)
內積 a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
夾角 θ（度）	=DEGREES(ACOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(RADIANS(B11))

求「平行四邊形面積與三角形面積」的表格

a×b 的 x 分量	-3
a×b 的 y 分量	6
a×b 的 z 分量	-3
平行四邊形面積 S（＝長度）	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
三角形面積（平行四邊形的一半）	=B4/2

求「單位法向量」的表格

a×b 的 x 分量	-3
a×b 的 y 分量	6
a×b 的 z 分量	-3
長度 \|a×b\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
單位法向量的 x 分量	=B1/B4
單位法向量的 y 分量	=B2/B4
單位法向量的 z 分量	=B3/B4

求「平面上三角形面積」的表格

A 的 x 坐標（x₁）	4
A 的 y 坐標（y₁）	1
B 的 x 坐標（x₂）	1
B 的 y 坐標（y₂）	3
外積的 z 分量（x₁y₂ − x₂y₁）	=B1B4-B3B2
三角形 OAB 的面積	=ABS(B5)/2

貼上後，上面幾列（向量的分量）是輸入欄，下面幾列會自動計算。
「*」是乘法，「^」是次方，SQRT 是平方根函數。第一個表格使用 a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6)，答案是 (−3, 6, −3)。
第二個表格確認「由分量求出的長度」和「由 |a||b|sinθ 求出的值」一致。B7 和 B12 都是 7.348469…（夾角約 12.93°）。
第三個表格中，平行四邊形面積是 7.348469…，三角形面積是它的一半 3.674234…。第四個表格中，單位法向量是 (−0.408248…, 0.816497…, −0.408248…)。
第五個表格是 z 分量為 0 的平面向量的情形。O(0, 0)、A(4, 1)、B(1, 3) 所成三角形的面積是 5.5。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「外積的分量」的表格

a 的 x 分量（a₁）	1
a 的 y 分量（a₂）	2
a 的 z 分量（a₃）	3
b 的 x 分量（b₁）	4
b 的 y 分量（b₂）	5
b 的 z 分量（b₃）	6
a×b 的 x 分量（a₂b₃ − a₃b₂）	=B2B6-B3B5
a×b 的 y 分量（a₃b₁ − a₁b₃）	=B3B4-B1B6
a×b 的 z 分量（a₁b₂ − a₂b₁）	=B1B5-B2B4

確認「外積的長度＝|a||b|sinθ」的表格

a 的 x 分量（a₁）	1
a 的 y 分量（a₂）	2
a 的 z 分量（a₃）	3
b 的 x 分量（b₁）	4
b 的 y 分量（b₂）	5
b 的 z 分量（b₃）	6
長度 \|a×b\|（由分量求出）	=SQRT((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
a 的長度 \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
b 的長度 \|b\|	=SQRT(B4^2+B5^2+B6^2)
內積 a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
夾角 θ（度）	=DEGREES(ACOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(RADIANS(B11))

求「平行四邊形面積與三角形面積」的表格

a×b 的 x 分量	-3
a×b 的 y 分量	6
a×b 的 z 分量	-3
平行四邊形面積 S（＝長度）	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
三角形面積（平行四邊形的一半）	=B4/2

求「單位法向量」的表格

a×b 的 x 分量	-3
a×b 的 y 分量	6
a×b 的 z 分量	-3
長度 \|a×b\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
單位法向量的 x 分量	=B1/B4
單位法向量的 y 分量	=B2/B4
單位法向量的 z 分量	=B3/B4

求「平面上三角形面積」的表格

A 的 x 坐標（x₁）	4
A 的 y 坐標（y₁）	1
B 的 x 坐標（x₂）	1
B 的 y 坐標（y₂）	3
外積的 z 分量（x₁y₂ − x₂y₁）	=B1B4-B3B2
三角形 OAB 的面積	=ABS(B5)/2

和 Excel 相同的公式可以直接使用（SQRT、ACOS、DEGREES、RADIANS、ABS 在 Google 試算表中名稱相同）。請把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把分量改成您自己的數值。

用 Python 計算的方法

from fractions import Fraction
import math

# 向量的分量（3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
a = (Fraction(1), Fraction(2), Fraction(3))
b = (Fraction(4), Fraction(5), Fraction(6))

def cross(u, v):
    # 外積（交叉相乘），依 x、y、z 的順序計算
    return (u[1] * v[2] - u[2] * v[1],
            u[2] * v[0] - u[0] * v[2],
            u[0] * v[1] - u[1] * v[0])

def dot(u, v):
    return u[0] * v[0] + u[1] * v[1] + u[2] * v[2]

c = cross(a, b)
area = math.sqrt(dot(c, c))       # 平行四邊形面積（＝外積的長度）

print(f"外積 a×b = ({c[0]}, {c[1]}, {c[2]})")
print(f"平行四邊形面積：{area}")
print(f"三角形面積：{area / 2}")
print(f"垂直的確認（兩者都是 0）：{dot(a, c)}, {dot(b, c)}")

使用標準函式庫的 fractions 模組，即使分量是分數，也能保持精確、沒有捨入誤差地計算。這個例子是 a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6) 的外積。執行後會顯示「外積 a×b = (-3, 6, -3)」「平行四邊形面積：7.3484692283495345」「三角形面積：3.6742346141747673」和「垂直的確認（兩者都是 0）：0, 0」。請修改分量後再執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

外積的分量（交叉相乘）

a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a xx vec b = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

Cross[{a1, a2, a3}, {b1, b2, b3}]

LinearAlgebra:-CrossProduct(Vector([a1, a2, a3]), Vector([b1, b2, b3]));

c = cross(a, b);

a⃗×b⃗ = (a_2 b_3 − a_3 b_2, a_3 b_1 − a_1 b_3, a_1 b_2 − a_2 b_1)

外積的長度（\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)）

|a×b| = |a||b|sinθ

\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
  </mrow>
</math>

|vec a xx vec b| = |vec a| |vec b| sin theta

Norm[Cross[a, b]] == Norm[a] Norm[b] Sin[theta]

LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

m = norm(cross(a, b));

|a⃗×b⃗| = |a⃗||b⃗| sin⁡θ

平行四邊形面積與三角形面積

S = |a×b|,  S△ = |a×b| ÷ 2

S = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|,\quad S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S = |vec a xx vec b|, S_triangle = 1/2 |vec a xx vec b|

area = Norm[Cross[a, b]]; triangle = area/2

S := LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

S = norm(cross(a, b)); tri = S / 2;

S = |a⃗×b⃗|,  S_△ = 1/2 |a⃗×b⃗|

單位法向量（和兩者都垂直、長度為 1 的向量）

n = (a×b) ÷ |a×b|

\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

vec n = (vec a xx vec b) / |vec a xx vec b|

n = Normalize[Cross[a, b]]

n := LinearAlgebra:-Normalize(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

n = cross(a, b) / norm(cross(a, b));

n⃗ = (a⃗×b⃗)/|a⃗×b⃗|

平面向量的情形（三角形面積公式）

S△ = |x₁y₂ − x₂y₁| ÷ 2

S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S_triangle = 1/2 |x_1 y_2 - x_2 y_1|

Abs[x1*y2 - x2*y1]/2

S := abs(x1*y2 - x2*y1)/2;

S = abs(x1*y2 - x2*y1) / 2;

S_△ = 1/2 |x_1 y_2 − x_2 y_1|

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是向量（空間圖形）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。

針對向量 a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6)，請求出下列各項。
1. 外積 a×b 的分量（也請列出交叉相乘的計算過程）
2. 長度 |a×b|（化簡根號後的精確值和小數兩種）
3. 以 a、b 為兩邊的平行四邊形和三角形的面積
4. a·(a×b) 和 b·(a×b) 的值，確認外積和兩者都垂直

在 Python 中請用標準函式庫的 fractions 模組精確計算分量；化簡根號可以使用 sympy。請列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。

使用方法

1

輸入數值

在輸入欄中輸入要計算的數值
2

計算

按下「計算」按鈕
3

查看結果

計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看

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向量外積計算機（分量、平行四邊形面積、法向量）

目錄

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公式與圖示

符號與用語解說

符號

用語

建議先了解的基礎知識

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使用方法

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