Kruisproduct berekenen (componenten, oppervlakte van een parallellogram, normaalvector)

Vul de componenten van de twee vectoren a en b in. De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt ook rekenen door de getallen onder elkaar in de formule direct aan te passen. Laat bij 2D-vectoren de velden voor de z-component leeg (0).

x-component van a (a₁)

y-component van a (a₂)

z-component van a (a₃)

x-component van b (b₁)

y-component van b (b₂)

z-component van b (b₃)

Vul alleen getallen in. Decimale getallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 worden geaccepteerd. Lege componenten tellen als 0.

Resultaat en figuur

Vul links de componenten van de twee vectoren in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een 3D-figuur.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul de componenten van twee 3D-vectoren \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) in en je krijgt de componenten van het kruisproduct \(\vec{a}\times\vec{b}\), met elke stap van het kruiselings vermenigvuldigen
De lengte \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) (de oppervlakte van het parallellogram dat de twee vectoren vormen) zie je zowel als exacte waarde met wortel, zoals \(3\sqrt{6}\), als in decimalen. De oppervlakte van de driehoek (de helft daarvan) wordt tegelijk berekend
Je krijgt ook de eenheidsnormaalvector \(\vec{n}\), die loodrecht staat op zowel \(\vec{a}\) als \(\vec{b}\), de hoek \(\theta\) tussen de twee vectoren en een controle dat de inproducten 0 zijn (bewijs van loodrechtheid)
Het resultaat wordt ook getekend als een 3D-figuur die je met de muis kunt draaien, zodat je kunt zien hoe het kruisproduct loodrecht op het parallellogram staat (rechterhandregel)
Componenten mogen decimale getallen, negatieve getallen of breuken zoals 3/4 zijn. Laat de z-componenten leeg (0) om het ook voor 2D-vectoren te gebruiken
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

Het kruisproduct bestaat alleen voor vectoren in de driedimensionale ruimte. Bij 2D-vectoren neem je de z-component als 0; het kruisproduct heeft dan alleen een z-component. Het kruisproduct leer je meestal in een vak lineaire algebra of natuurkunde aan hbo of universiteit (op school kan het voorkomen in verdiepende wiskunde). In techniek, natuurkunde en 3D-graphics is het een van de eerste basisgereedschappen die je leert.

Waarvoor is deze berekening handig?

Schaduw in 3D-graphics en games (bepalen welke kant een oppervlak op wijst)

In de 3D-beelden van games en films is het oppervlak van een voorwerp verdeeld in veel kleine driehoeken. De normaalvector die laat zien welke kant elke driehoek op wijst, wordt berekend als het kruisproduct van twee zijde-vectoren ervan. Hoe de lichtrichting zich verhoudt tot deze normaalvector bepaalt of het oppervlak er licht of donker uitziet.
Gebogen oppervlakken zien er vloeiend belicht uit doordat de schaduw per vlak uit deze normaalvectoren wordt berekend.

Een bout vastdraaien met een moersleutel (moment van een kracht)

Het draaiende effect van een kracht heet het moment (of koppel). Het is het kruisproduct van de vector van het draaipunt naar het punt waar je duwt en de vector van de kracht. De lengte ervan, \(|\vec{r}||\vec{F}|\sin\theta\), komt overeen met de dagelijkse ervaring: “een langere sleutel draait gemakkelijker” en “duwen onder een rechte hoek op de steel werkt het best”.
Monteurs gebruiken een momentsleutel om autobouten tot een vaste waarde vast te zetten, omdat dit de grootheid is die ze moeten beheersen.

Hoe een elektromotor draait (kracht van een magnetisch veld)

Een elektrische stroom in een magnetisch veld voelt een kracht die loodrecht staat op zowel de stroom als het veld. De richting en grootte van die kracht volgen uit het kruisproduct van de vector van de stroom en de vector van het magnetisch veld (voor één enkele lading zoals een elektron is het het kruisproduct van zijn snelheid en het veld, \(\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\), de Lorentzkracht). Deze loodrechte kracht laat een motor draaien en beweegt de conus van een luidspreker.
De rechterhandregel die je bij natuurkunde leert, is een manier om de richting van dit kruisproduct met je hand te vinden.

Landmeten en perceeloppervlakte (de oppervlakte uit coördinaten halen)

De oppervlakte van een stuk grond wordt berekend uit de gemeten coördinaten van de grenspunten. Loop de hoekpunten van de veelhoek in volgorde langs, bereken \(x_1y_2 - x_2y_1\) voor elk paar naburige punten, tel alles op en neem de helft van de absolute waarde van het totaal. Zo krijg je de oppervlakte zonder elke zijde te meten. Het gaat erom de termen met hun tekens op te tellen, zonder een voor een de absolute waarde te nemen. De overtollige delen vallen dan automatisch weg, en zelfs een perceel met een inham (niet-convex) geeft de juiste oppervlakte. Dit gebruikt de z-component van het kruisproduct (de georiënteerde oppervlakte) en staat bekend als de schoenveterformule (in het Engels de shoelace formula).
Hetzelfde idee wordt gebruikt om de oppervlakten van percelen te berekenen bij kadastrale metingen en in kaartsoftware (GIS).

Drones en robots richten (de draaias vinden)

Om een drone of robot te draaien van “de richting waarin hij nu wijst” naar “de richting waarin hij moet wijzen”, moet je bepalen om welke as je draait en over hoeveel graden. Het kruisproduct van de twee richtingsvectoren geeft een vector die loodrecht op beide staat, en dat is de draaias zelf. De hoek vind je door de lengte van het kruisproduct (het deel \(\sin\theta\)) en het inproduct (het deel \(\cos\theta\)) te combineren.
Hetzelfde idee wordt gebruikt voor de vluchtregeling van drones en om in 3D-animatie het hoofd of de arm van een personage naar een doel te draaien.

Formules en figuren

Componenten van het kruisproduct (kruiselings vermenigvuldigen)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\vec{a} \times \vec{b}\) \(=\) \((\) \(a_2 b_3 - a_3 b_2\) \(;\) \(a_3 b_1 - a_1 b_3\) \(;\) \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) \()\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(\vec{a}\times\vec{b}\): kruisproduct \(=\) \((\) ① \(x\)-component (kruiselings van \(y\) en \(z\)) \(;\) ② \(y\)-component (kruiselings van \(z\) en \(x\)) \(;\) ③ \(z\)-component (kruiselings van \(x\) en \(y\)) \()\)

De formule in woorden

① Met \(\vec{a} = (a_1;\ a_2;\ a_3)\) en \(\vec{b} = (b_1;\ b_2;\ b_3)\) maak je eerst de \(x\)-component, het kruiselingse verschil van \(y\) en \(z\): \(a_2b_3 - a_3b_2\) ,

② dan de \(y\)-component, het kruiselingse verschil van \(z\) en \(x\): \(a_3b_1 - a_1b_3\) ,

③ en de \(z\)-component, het kruiselingse verschil van \(x\) en \(y\): \(a_1b_2 - a_2b_1\) .

④ De vector met deze drie getallen als componenten is het \(\vec{a}\times\vec{b}\): kruisproduct

Een eenvoudig voorbeeld

Het kruisproduct van \(\vec{a} = (1;\ 2;\ 3)\) en \(\vec{b} = (4;\ 5;\ 6)\) is

\(\vec{a}\times\vec{b}\): kruisproduct \(=\) \((\) \(x\)-component (\(2 \times 6 - 3 \times 5\)) \(;\) \(y\)-component (\(3 \times 4 - 1 \times 6\)) \(;\) \(z\)-component (\(1 \times 5 - 2 \times 4\)) \()\)

\(\vec{a} \times \vec{b} = (2 \times 6 - 3 \times 5;\ \ 3 \times 4 - 1 \times 6;\ \ 1 \times 5 - 2 \times 4)\)

\(= (12 - 15;\ \ 12 - 6;\ \ 5 - 8) = (-3;\ 6;\ -3)\)

Het belangrijkste idee

Je hoeft de drie componenten niet een voor een uit je hoofd te leren; kruiselings vermenigvuldigen bouwt ze op. Denk aan de volgorde \(x \to y \to z \to x \to y \to z\), die in een kring rondgaat (dit heet cyclische volgorde). Dek de letter af van de component die je wilt en lees de volgende twee letters: voor de \(x\)-component is dat \(y,\ z\), voor de \(y\)-component \(z,\ x\) en voor de \(z\)-component \(x,\ y\). Schrijf alleen die twee kolommen van \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) in twee rijen op en neem dan het product naar rechtsonder min het product naar rechtsboven. De figuur hierboven laat deze stappen zien. Alleen de \(y\)-component, \(a_3b_1 - a_1b_3\), lijkt omgekeerd vergeleken met de andere. Dat komt doordat de letters in de volgorde \(z,\ x\) worden gelezen, niet \(x,\ z\). Haal je deze volgorde door elkaar, dan krijgt alleen de \(y\)-component het verkeerde teken. In veel boeken wordt dezelfde berekening opgeschreven als een 3×3-determinant met de eenheidsvectoren \(\mathbf{i},\ \mathbf{j},\ \mathbf{k}\) in de bovenste rij en de componenten van \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) in de twee rijen eronder. Ontwikkel je die naar de bovenste rij, dan krijg je precies deze drie componenten (het minteken voor \(\mathbf{j}\) is de reden dat de \(y\)-component omgekeerd lijkt). Let er ook op dat \(\vec{b} \times \vec{a}\) het tegengestelde teken heeft van \(\vec{a} \times \vec{b}\) (\(\vec{b} \times \vec{a} = -\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)). Het omwisselen van de volgorde verandert het antwoord, dus anders dan bij het inproduct maakt de volgorde uit.

Lengte van het kruisproduct (\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\) \(=\) \(\left| \vec{a} \right|\) \(\left| \vec{b} \right|\) \(\sin\theta\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): lengte van het kruisproduct \(=\) ① \(|\vec{a}|\): lengte van \(\vec{a}\) ② \(|\vec{b}|\): lengte van \(\vec{b}\) ③ \(\sin\theta\): sinus van de hoek \(\theta\) ertussen

De formule in woorden

① Vermenigvuldig de \(|\vec{a}|\): lengte van \(\vec{a}\)

② met de \(|\vec{b}|\): lengte van \(\vec{b}\) ,

③ dan met de \(\sin\theta\): sinus van de hoek \(\theta\) tussen de twee vectoren ,

④ en je krijgt de \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): lengte van het kruisproduct

Een eenvoudig voorbeeld

Als een vector met lengte 4 en een vector met lengte 3 een hoek van 30° vormen, is de lengte van het kruisproduct

lengte van het kruisproduct \(=\) lengte van \(\vec{a}\) (4) lengte van \(\vec{b}\) (3) \(\sin 30^\circ\)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = 4 \times 3 \times \sin 30^\circ = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6\)

Het belangrijkste idee

De oppervlakte van een parallellogram is “basis × hoogte”. Is de basis \(|\vec{a}|\), dan is de hoogte \(|\vec{b}|\sin\theta\) (de stippellijn in de figuur hierboven). Dus \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) is precies de oppervlakte van het parallellogram. De hoek \(\theta\) neem je tussen 0° en 180°. In dit bereik is \(\sin\theta\) nooit negatief, dus ook \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) is nooit negatief en werkt direct als lengte of oppervlakte. (\(\cos\theta\) wordt negatief na 90°, en daarom kan het inproduct negatief zijn.) Het inproduct is \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\), terwijl de lengte van het kruisproduct \(\sin\theta\) gebruikt. Wijzen de twee vectoren dezelfde kant op (\(\theta = 0^\circ\)) of tegengestelde kanten op (\(\theta = 180^\circ\)), dan is \(\sin\theta = 0\) en is het kruisproduct de nulvector. Bij een rechte hoek (\(\theta = 90^\circ\)) is \(\sin\theta = 1\), de grootste waarde. “Nul bij evenwijdig, het grootst bij loodrecht” is precies het omgekeerde van het inproduct. Deze formule is handig als je de hoek kent. Ken je de componenten, dan is het sneller om de componenten met kruiselings vermenigvuldigen te vinden (formule 1) en daarvan de lengte te nemen, en er sluipt geen afrondingsfout van de hoek in. Deze rekenmachine rekent ook exact vanuit de componenten.

Oppervlakte van het parallellogram en van de driehoek

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(S\) \(=\) \(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② \(S\): oppervlakte van het parallellogram \(=\) ① \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): lengte van het kruisproduct

④ \(S_{\triangle}\): oppervlakte van de driehoek \(=\) ③ de helft van de lengte van het kruisproduct

De formule in woorden

① Denk aan het parallellogram met de twee vectoren als twee zijden. De \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): lengte van het kruisproduct is precies de

② \(S\): oppervlakte van het parallellogram ,

③ en de helft van de lengte van het kruisproduct is de

④ \(S_{\triangle}\): oppervlakte van de driehoek met de twee vectoren als twee zijden

Een eenvoudig voorbeeld

De oppervlakten van het parallellogram en de driehoek die \(\vec{a} = (1;\ 2;\ 3)\) en \(\vec{b} = (4;\ 5;\ 6)\) vormen, zijn (het kruisproduct is \((-3;\ 6;\ -3)\) uit formule 1)

oppervlakte van het parallellogram \(=\) lengte van het kruisproduct \((-3;\ 6;\ -3)\)

\(S = \sqrt{(-3)^{2} + 6^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}34846922835\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \times 3\sqrt{6} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3{,}67423461417\)

Het belangrijkste idee

Snij je een parallellogram langs een diagonaal door, dan krijg je twee congruente driehoeken. De oppervlakte van de driehoek is dus precies de helft van de oppervlakte van het parallellogram. Om de oppervlakte te vinden van de driehoek die drie punten A, B en C in de ruimte vormen, neem je het kruisproduct van \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) en \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) en halveer je de lengte ervan. Je hoeft niet de drie zijden te meten en de formule van Heron te gebruiken; kun je de coördinaten, dan heb je de oppervlakte. Dat is een kracht van het kruisproduct. Lengtes hebben vaak grote getallen onder de wortel, zoals \(\sqrt{54}\). Zoek een kwadraat, zoals in \(54 = 9 \times 6\), en vereenvoudig tot \(3\sqrt{6}\) (de regel is dat je elke factor die het kan buiten de wortel haalt). Deze rekenmachine toont zowel de vereenvoudigde wortel als het decimale getal.

Eenheidsnormaalvector (loodrecht op beide, lengte 1)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\vec{n}\) \(=\) \(\dfrac{1}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}\) \(\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(\vec{n}\): eenheidsnormaalvector \(=\) ② deel door de lengte (maakt de lengte 1) ① \(\vec{a}\times\vec{b}\): kruisproduct

De formule in woorden

① Neem het \(\vec{a}\times\vec{b}\): kruisproduct en

② deel het door zijn lengte \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) (= vermenigvuldig met 1 gedeeld door de lengte) . De richting blijft gelijk en alleen de lengte wordt 1, en je krijgt de

③ \(\vec{n}\): eenheidsnormaalvector

Een eenvoudig voorbeeld

Is het kruisproduct \((-3;\ 6;\ -3)\) en is zijn lengte \(3\sqrt{6}\), dan is de eenheidsnormaalvector

\(\vec{n}\): eenheidsnormaalvector \(=\) deel door de lengte \(3\sqrt{6}\) kruisproduct \((-3;\ 6;\ -3)\)

\(\vec{n} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}(-3;\ 6;\ -3) \approx (-0{,}408248290464;\ 0{,}816496580928;\ -0{,}408248290464)\)

\(\vec{a} \cdot \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) = 1 \times (-3) + 2 \times 6 + 3 \times (-3) = 0\)

Het belangrijkste idee

Het kruisproduct staat loodrecht op beide oorspronkelijke vectoren. Reken je de inproducten uit, dan krijg je altijd \(\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) en \(\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) (een inproduct van 0 vertelt je dat de vectoren loodrecht op elkaar staan). Deze rekenmachine controleert dat beide 0 zijn en laat ze in het resultaat zien. Een vector die loodrecht op een vlak staat heet een normaalvector, en een normaalvector met lengte 1 is een eenheidsnormaalvector. Hij laat de lengte weg en houdt alleen de richting, en dat heb je nodig als alleen “welke kant het oppervlak op wijst” telt, zoals bij schaduwberekening in 3D-graphics. Een vlak heeft twee loodrechte richtingen, voor en achter, en je rechterhand bepaalt welke je krijgt. Buig de vingers van je rechterhand van \(\vec{a}\) naar \(\vec{b}\); je duim wijst dan in de richting van \(\vec{a}\times\vec{b}\) (de rechterhandregel). \(\vec{b}\times\vec{a}\) wijst de andere kant op, naar de achterkant van het vlak. Een vlak heeft dus twee eenheidsnormaalvectoren, \(\vec{n}\) en \(-\vec{n}\), en beide hebben “lengte 1 en staan loodrecht op het vlak”. Welke je krijgt, hangt af van de volgorde waarin je \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) vermenigvuldigt; deze rekenmachine toont degene in de richting van \(\vec{a}\times\vec{b}\). Heb je één antwoord nodig, spreek dan zelf een regel af, zoals “degene met een positieve \(z\)-component”.

Voor 2D-vectoren (de formule voor de oppervlakte van een driehoek)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\Bigl|\) \(x_1 y_2\) \(-\) \(x_2 y_1\) \(\Bigr|\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(S_{\triangle}\): oppervlakte van driehoek OAB \(=\) ③ de helft van het parallellogram \(\Bigl|\) ① x-coördinaat van A maal y-coördinaat van B \(-\) ② x-coördinaat van B maal y-coördinaat van A \(\Bigr|\)

De formule in woorden

① Neem voor drie punten \(\mathrm{O}(0;\ 0)\), \(\mathrm{A}(x_1;\ y_1)\) en \(\mathrm{B}(x_2;\ y_2)\) in het vlak het \(x_1y_2\): x-coördinaat van A maal y-coördinaat van B ,

② trek daar het \(x_2y_1\): x-coördinaat van B maal y-coördinaat van A van af en neem de absolute waarde (laat een eventueel minteken weg).

③ Deel door 2 om de helft van het parallellogram te nemen en je krijgt de

④ \(S_{\triangle}\): oppervlakte van driehoek OAB

Een eenvoudig voorbeeld

De oppervlakte van de driehoek met \(\mathrm{O}(0;\ 0)\), \(\mathrm{A}(4;\ 1)\) en \(\mathrm{B}(1;\ 3)\) is

oppervlakte van de driehoek \(=\) de helft van het parallellogram \(\Bigl|\) x van A maal y van B (\(4 \times 3\)) \(-\) x van B maal y van A (\(1 \times 1\)) \(\Bigr|\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\left| 4 \times 3 - 1 \times 1 \right| = \dfrac{1}{2}\left| 12 - 1 \right| = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\)

Het belangrijkste idee

De 2D-vectoren \(\vec{a} = (x_1;\ y_1)\) en \(\vec{b} = (x_2;\ y_2)\) kun je behandelen als de 3D-vectoren \((x_1;\ y_1;\ 0)\) en \((x_2;\ y_2;\ 0)\), met een z-component van 0. Neem je hun kruisproduct, dan zijn de x- en y-componenten 0 en blijft alleen de z-component \(x_1y_2 - x_2y_1\) over. De formule voor de oppervlakte van een driehoek die je in studieboeken ziet, \(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\), is dus precies de helft van (de absolute waarde van) de z-component van het kruisproduct. Laat de velden van de z-component in deze rekenmachine leeg (0) om dit zelf te zien. Het teken van \(x_1y_2 - x_2y_1\), voordat je de absolute waarde neemt, bevat ook informatie. Is het positief, dan is de draai van \(\vec{a}\) naar \(\vec{b}\) tegen de klok in; is het negatief, dan is de draai met de klok mee. Deze “georiënteerde oppervlakte” gebruik je om de oppervlakte van een veelhoek in één keer uit zijn coördinaten te vinden (de schoenveterformule, in het Engels de shoelace formula).

Het kruisproduct \(\vec{a}\times\vec{b}\) maakt uit twee 3D-vectoren een nieuwe vector. De componenten volgen uit drie kruiselingse aftrekkingen. De richting staat loodrecht op beide oorspronkelijke vectoren (rechterhandregel) en de lengte \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram dat de twee vectoren vormen. De helft daarvan is de oppervlakte van de driehoek, en deel je het kruisproduct door zijn lengte, dan krijg je de eenheidsnormaalvector.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(\vec{a}\)	vector a	Een symbool voor een grootheid met een richting en een lengte. De pijl boven de letter markeert het als vector. In studieboeken en de natuurkunde worden vectoren vaak vetgedrukt (a) in plaats van met een pijl geschreven.
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	a één, a twee, a drie	De componenten van vector \(\vec{a}\): drie getallen die zeggen hoe ver hij in de \(x\)-, \(y\)- en \(z\)-richting gaat. Het kleine getal rechtsonder (de index) zegt welke component het is. Sommige boeken schrijven in plaats daarvan \(a_x,\ a_y,\ a_z\).
\(\vec{a} \times \vec{b}\)	a kruis b	Het kruisproduct (ook vectorproduct genoemd). Het is genoemd naar het \(\times\)-teken (kruis) dat het gebruikt. Het antwoord is een vector, geen getal.
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)	a inproduct b	Het inproduct (ook scalair product genoemd). Het is genoemd naar de punt die het gebruikt. Het antwoord is een getal (een scalair). Naam en symbool lijken op die van het kruisproduct, dus houd de twee uit elkaar.
\(\left\| \vec{a} \right\|\)	lengte van a	De lengte van een vector, dat wil zeggen de lengte van de pijl. Uit de componenten is het \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\), gevonden met de stelling van Pythagoras. Het gebruikt dezelfde streepjes als de absolute waarde, en beide beschrijven een afstand tot de oorsprong.
\(\theta\)	theta	De hoek tussen de twee vectoren. Het is een Griekse letter die vaak voor hoeken wordt gebruikt. Bij het kruisproduct neem je hem tussen 0° en 180°.
\(\sin\theta\)	sinus theta	De sinus van de hoek \(\theta\). In een rechthoekige driehoek is het de verhouding “overstaande zijde ÷ schuine zijde”, kort geschreven als \(\sin\). Tussen 0° en 180° is hij nooit negatief: \(\sin 0^\circ = 0\), \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 180^\circ = 0\).
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)	vector AB	De vector die in punt A begint en in punt B eindigt. Zijn componenten zijn “coördinaten van het eindpunt − coördinaten van het beginpunt”. Om de oppervlakte van een driehoek uit drie punten te vinden, maak je eerst op deze manier twee vectoren voor de zijden.
\(S\)	S	Een letter die vaak voor oppervlakte wordt gebruikt (in Nederland ook vaak \(A\) van “area”, of \(O\) van “oppervlakte”). Op deze pagina staat hij voor de oppervlakte van het parallellogram.
\(S_{\triangle}\)	S driehoek	De oppervlakte van de driehoek. Er is een klein driehoekje aan \(S\) toegevoegd om hem te onderscheiden van de oppervlakte van het parallellogram.
\(\vec{n}\)	vector n	De normaalvector. Gewoonlijk gebruik je \(n\), de eerste letter van “normaal” (loodrecht). Op deze pagina is het de eenheidsnormaalvector, op lengte 1 gebracht.
\(\vec{0}\)	nulvector	De vector waarvan alle componenten 0 zijn (de nulvector). Zijn lengte is 0 en hij heeft geen richting. Zijn twee vectoren evenwijdig, dan is hun kruisproduct deze nulvector.
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	wortel	Het wortelteken. \(\sqrt{54}\) is “het positieve getal dat 54 oplevert als je het kwadrateert”. Zit er een kwadraat (\(4,\ 9,\ 16, \dots\)) onder de wortel verstopt, haal dat er dan buiten om te vereenvoudigen, zoals in \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\).

Begrippen

vector	Een grootheid met zowel een richting als een lengte. Twee pijlen met dezelfde richting en lengte tellen als dezelfde vector, waar ze ook getekend zijn. Grootheden die zeggen “welke kant en hoeveel”, zoals kracht, snelheid en wind, zijn vectoren.
componentvorm	Een vector opschrijven als een rijtje dat zegt hoe ver hij in de \(x\)-, \(y\)- en \(z\)-richting gaat, zoals \((1;\ 2;\ 3)\). Je kunt hem ook als kolom opschrijven (een kolomvector) met dezelfde betekenis. Sommige boeken gebruiken \(\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\).
kruisproduct	Een bewerking die uit twee 3D-vectoren een nieuwe vector maakt. Het heet ook vectorproduct, uitwendig product of uitproduct. De nieuwe vector staat loodrecht op beide oorspronkelijke vectoren en zijn lengte is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram dat ze vormen.
inproduct	Een bewerking die uit twee vectoren een getal (een scalair) maakt. Het is gelijk aan \(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\), en als het 0 is, staan de twee vectoren loodrecht op elkaar. Het is iets anders dan het kruisproduct, waarvan het antwoord een vector is.
lengte	De lengte van een vector. Voor componenten \((a_1;\ a_2;\ a_3)\) is het \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\), de stelling van Pythagoras uitgebreid naar de ruimte. Ze heet ook norm.
hoek tussen twee vectoren	De hoek die ontstaat tussen twee vectoren als je ze vanuit hetzelfde beginpunt tekent. Je neemt hem tussen 0° en 180°.
parallellogram	Een vierhoek waarvan de twee paren overstaande zijden evenwijdig zijn. Gebruik je twee vectoren als twee zijden, dan is de oppervlakte de lengte van het kruisproduct.
normaalvector	Een vector die loodrecht op een vlak (of een lijn) staat. Hij laat zien welke kant het oppervlak op wijst, en het kruisproduct maakt er gemakkelijk een uit twee vectoren in het vlak.
eenheidsvector	Een vector met lengte 1. Deel je een vector door zijn eigen lengte, dan blijft de richting gelijk en wordt de lengte 1, en dat geeft een eenheidsvector.
eenheidsnormaalvector	Een normaalvector op lengte 1 gebracht. Je gebruikt hem als je alleen de richting wilt.
kruiselings vermenigvuldigen	Een manier om met vier getallen in twee rijen te rekenen: vermenigvuldig langs de twee diagonalen (naar rechtsonder en naar rechtsboven) en trek af. Het is het patroon van de 2×2-determinant \(ad - bc\), en elke component van het kruisproduct heeft deze vorm.
rechterhandregel	De regel die de richting van het kruisproduct geeft. Buig de vingers van je rechterhand van \(\vec{a}\) naar \(\vec{b}\); je duim wijst in de richting van \(\vec{a}\times\vec{b}\). Een assenstelsel dat deze regel volgt heet rechtshandig. Je kent de regel misschien ook als kurkentrekkerregel.
nulvector	De vector waarvan alle componenten 0 zijn. Zijn lengte is 0 en hij heeft geen richting. Zijn twee vectoren evenwijdig, dan is hun kruisproduct de nulvector.
loodrecht	Als de hoek tussen twee vectoren 90° is. Het heet ook orthogonaal. Je kunt het controleren door te zien dat het inproduct 0 is.
evenwijdig	Als twee vectoren in dezelfde of in precies tegengestelde richting wijzen. Ze kunnen dan op dezelfde lijn liggen, dus ze kunnen geen parallellogram vormen (het klapt plat met oppervlakte 0).
georiënteerde oppervlakte	Een oppervlakte die een plus- of minteken krijgt, afhankelijk van de draairichting. In het vlak is \(x_1y_2 - x_2y_1\) een georiënteerde oppervlakte: positief tegen de klok in en negatief met de klok mee. De absolute waarde ervan is de gewone oppervlakte.
determinant	Eén getal dat bepaald wordt door getallen die in een vierkant zijn gerangschikt. De 2×2-determinant \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\) is precies kruiselings vermenigvuldigen, en elke component van het kruisproduct heeft de vorm van deze 2×2-determinant.
cyclische volgorde	Een volgorde die in een kring rondgaat en terugkeert naar het begin, zoals in \(x \to y \to z \to x\). De drie componenten van het kruisproduct herhalen dezelfde vorm in deze cyclische volgorde.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina te gebruiken met echt begrip, en niet alleen door op de knop te drukken.
Loop je vast, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Wat een vector is (vwo-bovenbouw, 15-18 jaar)	Weten dat een vector een grootheid is met een richting en een lengte en als pijl getekend kan worden (een grootheid die zegt “welke kant en hoeveel”, zoals kracht of snelheid) Een vector kunnen opschrijven met componenten zoals \((1;\ 2;\ 3)\) (hoe ver hij in elk van de \(x\)-, \(y\)- en \(z\)-richtingen gaat)
Coördinaten in de 3D-ruimte (klas 1 tot en met de bovenbouw, 12-18 jaar)	Weten dat je met een hoogte \(z\) bij de coördinaten van het vlak \((x;\ y)\) het punt \((x;\ y;\ z)\) krijgt, dat de plaats van een punt in de ruimte vastlegt Je kunnen voorstellen dat de \(x\)-, \(y\)- en \(z\)-as onder rechte hoeken op elkaar staan
De stelling van Pythagoras en de lengte van een vector (klas 2, 13-14 jaar, tot en met de bovenbouw)	Weten dat \(a^2 + b^2 = c^2\) geldt in een rechthoekige driehoek Weten dat de lengte van een 3D-vector \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) is (de stelling van Pythagoras twee keer gebruikt)
Rekenen met wortels (klas 2-3, 13-15 jaar)	Een wortel kunnen vereenvoudigen door een kwadraat buiten de wortel te halen, zoals in \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\) De bij benadering decimale waarde van een wortel kennen, zoals \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)
Het inproduct (vwo-bovenbouw, 15-18 jaar)	Weten dat het inproduct \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) gelijk is aan \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) en dat het antwoord een getal is Weten dat twee vectoren loodrecht op elkaar staan als hun inproduct 0 is (deze pagina gebruikt het om te controleren dat het kruisproduct loodrecht staat)
Goniometrie in rechthoekige driehoeken (klas 3, 14-15 jaar)	Weten dat \(\sin\theta\) de verhouding “overstaande zijde ÷ schuine zijde” is in een rechthoekige driehoek Belangrijke waarden kennen, zoals \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) en \(\sin 90^\circ = 1\)
Oppervlakte van parallellogrammen en driehoeken (groep 7-8, 10-12 jaar)	Weten dat de oppervlakte van een parallellogram “basis × hoogte” is Weten dat een driehoek precies de helft van de oppervlakte heeft van een parallellogram met dezelfde basis en hoogte

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om de componenten van het kruisproduct te vinden

x-component van a (a₁)	1
y-component van a (a₂)	2
z-component van a (a₃)	3
x-component van b (b₁)	4
y-component van b (b₂)	5
z-component van b (b₃)	6
x-component van a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
y-component van a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
z-component van a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tabel om te controleren dat de lengte = |a||b|sinθ

x-component van a (a₁)	1
y-component van a (a₂)	2
z-component van a (a₃)	3
x-component van b (b₁)	4
y-component van b (b₂)	5
z-component van b (b₃)	6
Lengte \|a×b\| (uit de componenten)	=WORTEL((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Lengte van a \|a\|	=WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Lengte van b \|b\|	=WORTEL(B4^2+B5^2+B6^2)
Inproduct a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Hoek θ (graden)	=GRADEN(BOOGCOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(RADIALEN(B11))

Tabel om de oppervlakte van het parallellogram en van de driehoek te vinden

x-component van a×b	-3
y-component van a×b	6
z-component van a×b	-3
Oppervlakte S van het parallellogram (= lengte)	=WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Oppervlakte van de driehoek (de helft van het parallellogram)	=B4/2

Tabel om de eenheidsnormaalvector te vinden

x-component van a×b	-3
y-component van a×b	6
z-component van a×b	-3
Lengte \|a×b\|	=WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2)
x-component van de eenheidsnormaalvector	=B1/B4
y-component van de eenheidsnormaalvector	=B2/B4
z-component van de eenheidsnormaalvector	=B3/B4

Tabel om de oppervlakte van een driehoek in het vlak te vinden

x-coördinaat van A (x₁)	4
y-coördinaat van A (y₁)	1
x-coördinaat van B (x₂)	1
y-coördinaat van B (y₂)	3
z-component van het kruisproduct (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Oppervlakte van driehoek OAB	=ABS(B5)/2

Na het plakken zijn de bovenste rijen (de componenten van de vectoren) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
“*” is vermenigvuldigen, “^” is een macht en WORTEL is de functie voor de vierkantswortel. De eerste tabel gebruikt a = (1; 2; 3) en b = (4; 5; 6), en het antwoord is (−3; 6; −3).
De tweede tabel controleert dat “de lengte uit de componenten” en “de waarde uit |a||b|sinθ” overeenkomen. B7 en B12 komen allebei uit op 7,348469… (de hoek is ongeveer 12,93°).
In de derde tabel is de oppervlakte van het parallellogram 7,348469… en de oppervlakte van de driehoek de helft daarvan, 3,674234…. In de vierde tabel is de eenheidsnormaalvector (−0,408248…; 0,816497…; −0,408248…).
De vijfde tabel is het geval van 2D-vectoren met een z-component van 0. De oppervlakte van de driehoek met O(0; 0), A(4; 1) en B(1; 3) is 5,5.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om de componenten van het kruisproduct te vinden

x-component van a (a₁)	1
y-component van a (a₂)	2
z-component van a (a₃)	3
x-component van b (b₁)	4
y-component van b (b₂)	5
z-component van b (b₃)	6
x-component van a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
y-component van a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
z-component van a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tabel om te controleren dat de lengte = |a||b|sinθ

x-component van a (a₁)	1
y-component van a (a₂)	2
z-component van a (a₃)	3
x-component van b (b₁)	4
y-component van b (b₂)	5
z-component van b (b₃)	6
Lengte \|a×b\| (uit de componenten)	=WORTEL((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Lengte van a \|a\|	=WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Lengte van b \|b\|	=WORTEL(B4^2+B5^2+B6^2)
Inproduct a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Hoek θ (graden)	=GRADEN(BOOGCOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(RADIALEN(B11))

Tabel om de oppervlakte van het parallellogram en van de driehoek te vinden

x-component van a×b	-3
y-component van a×b	6
z-component van a×b	-3
Oppervlakte S van het parallellogram (= lengte)	=WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Oppervlakte van de driehoek (de helft van het parallellogram)	=B4/2

Tabel om de eenheidsnormaalvector te vinden

x-component van a×b	-3
y-component van a×b	6
z-component van a×b	-3
Lengte \|a×b\|	=WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2)
x-component van de eenheidsnormaalvector	=B1/B4
y-component van de eenheidsnormaalvector	=B2/B4
z-component van de eenheidsnormaalvector	=B3/B4

Tabel om de oppervlakte van een driehoek in het vlak te vinden

x-coördinaat van A (x₁)	4
y-coördinaat van A (y₁)	1
x-coördinaat van B (x₂)	1
y-coördinaat van B (y₂)	3
z-component van het kruisproduct (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Oppervlakte van driehoek OAB	=ABS(B5)/2

Dezelfde formules als in Excel werken zoals ze zijn (met de Nederlandse functienamen WORTEL, BOOGCOS, GRADEN, RADIALEN en ABS). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de componenten door je eigen getallen.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction
import math

# Componenten van de vectoren (een breuk zoals 3/4 schrijf je als Fraction(3, 4))
# Vector components (a fraction such as 3/4 can be written as Fraction(3, 4))
a = (Fraction(1), Fraction(2), Fraction(3))
b = (Fraction(4), Fraction(5), Fraction(6))

def cross(u, v):
    # Kruisproduct (kruiselings vermenigvuldigen), opgebouwd in de volgorde x, y, z
    # Cross product (criss-cross multiplication), built in the order x, y, z
    return (u[1] * v[2] - u[2] * v[1],
            u[2] * v[0] - u[0] * v[2],
            u[0] * v[1] - u[1] * v[0])

def dot(u, v):
    return u[0] * v[0] + u[1] * v[1] + u[2] * v[2]

c = cross(a, b)
area = math.sqrt(dot(c, c))       # oppervlakte van het parallellogram (= lengte van het kruisproduct)

print(f"Kruisproduct a×b = ({c[0]}, {c[1]}, {c[2]})")
print(f"Oppervlakte van het parallellogram: {area}")
print(f"Oppervlakte van de driehoek: {area / 2}")
print(f"Controle op loodrecht (beide zijn 0): {dot(a, c)}, {dot(b, c)}")

Met de module fractions uit de standaardbibliotheek blijft de berekening exact, zonder afrondingsfout, ook als de componenten breuken zijn. Dit voorbeeld is het kruisproduct van a = (1; 2; 3) en b = (4; 5; 6). Als je de code uitvoert, krijg je “Kruisproduct a×b = (-3, 6, -3)”, de oppervlakte van het parallellogram (ongeveer 7,348), de oppervlakte van de driehoek (ongeveer 3,674) en “Controle op loodrecht (beide zijn 0): 0, 0”. Python schrijft de decimale getallen met een punt in plaats van een komma. Pas de componenten aan en voer de code opnieuw uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Componenten van het kruisproduct (kruiselings vermenigvuldigen)

a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a xx vec b = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

Cross[{a1, a2, a3}, {b1, b2, b3}]

LinearAlgebra:-CrossProduct(Vector([a1, a2, a3]), Vector([b1, b2, b3]));

c = cross(a, b);

a⃗×b⃗ = (a_2 b_3 − a_3 b_2, a_3 b_1 − a_1 b_3, a_1 b_2 − a_2 b_1)

Lengte van het kruisproduct (\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

|a×b| = |a||b|sinθ

\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
  </mrow>
</math>

|vec a xx vec b| = |vec a| |vec b| sin theta

Norm[Cross[a, b]] == Norm[a] Norm[b] Sin[theta]

LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

m = norm(cross(a, b));

|a⃗×b⃗| = |a⃗||b⃗| sin⁡θ

Oppervlakte van het parallellogram en van de driehoek

S = |a×b|,  S△ = |a×b| ÷ 2

S = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|,\quad S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S = |vec a xx vec b|, S_triangle = 1/2 |vec a xx vec b|

area = Norm[Cross[a, b]]; triangle = area/2

S := LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

S = norm(cross(a, b)); tri = S / 2;

S = |a⃗×b⃗|,  S_△ = 1/2 |a⃗×b⃗|

Eenheidsnormaalvector (loodrecht op beide, lengte 1)

n = (a×b) ÷ |a×b|

\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

vec n = (vec a xx vec b) / |vec a xx vec b|

n = Normalize[Cross[a, b]]

n := LinearAlgebra:-Normalize(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

n = cross(a, b) / norm(cross(a, b));

n⃗ = (a⃗×b⃗)/|a⃗×b⃗|

Voor 2D-vectoren (de formule voor de oppervlakte van een driehoek)

S△ = |x₁y₂ − x₂y₁| ÷ 2

S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S_triangle = 1/2 |x_1 y_2 - x_2 y_1|

Abs[x1*y2 - x2*y1]/2

S := abs(x1*y2 - x2*y1)/2;

S = abs(x1*y2 - x2*y1) / 2;

S_△ = 1/2 |x_1 y_2 − x_2 y_1|

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor vectoren (ruimtemeetkunde). Voer de volgende berekening uit door Python-code daadwerkelijk uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken).

Bepaal voor de vectoren a = (1; 2; 3) en b = (4; 5; 6) het volgende.
1. De componenten van het kruisproduct a×b (laat ook de stappen van het kruiselings vermenigvuldigen zien)
2. De lengte |a×b| (zowel als exacte waarde met vereenvoudigde wortel als in decimalen)
3. De oppervlakten van het parallellogram en de driehoek die a en b vormen
4. De waarden van a·(a×b) en b·(a×b), om te controleren dat het kruisproduct loodrecht staat op beide

Bereken in Python de componenten exact met de module fractions uit de standaardbibliotheek; je mag sympy gebruiken om de wortel te vereenvoudigen. Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule

Kenmerken van DataChef

Eenvoudig en gratis

Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening

Geen registratie nodig

Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven

Veilig en betrouwbaar

Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt

Snel

Snelle laadtijden en snelle conversie

Zonder watermerk

Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist

Commercieel gebruik toegestaan

Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig

Kruisproduct berekenen (componenten, oppervlakte van een parallellogram, normaalvector)

Inhoudsopgave

Wat je op deze pagina kunt doen

Waarvoor is deze berekening handig?

Formules en figuren

Symbolen en begrippen

Symbolen

Begrippen

Handig om vooraf te weten

Berekenen met Excel

Berekenen met Google Spreadsheets

Berekenen met Python

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Zo werkt het

Kenmerken van DataChef

Gerelateerde functies

Vectoren berekenen (som, verschil, lengte, inproduct en hoek)

Vectoren optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met een getal, en het inproduct, de lengte en de hoek bepalen. Ook de basis van vectoren wordt daar uitgelegd

Determinant berekenen (2×2, 3×3, 4×4)

Het kruiselingse patroon van het kruisproduct is dezelfde berekening als een determinant. Reken hier determinanten zelf uit

Oppervlakte van een driehoek berekenen (uit drie zijden met de formule van Heron)

Bereken de oppervlakte van een driehoek als je de drie zijden kent. Ken je de coördinaten, dan is het kruisproduct handiger

Aanbevolen

Kansrekening en willekeurige getallen

Gemiddelden en statistiek

Procenten en verhoudingen

Snelheid

Dichtheid en concentratie

Natuurkunde en elektriciteit

Eenheden omrekenen

Gehele getallen

Breuken, decimalen en afronden

Vergelijkingen en ongelijkheden

Veeltermen

Wortels

Machten en logaritmen

Complexe getallen

Functies en grafieken

Rijen

Vectoren

Matrices

Vlakke meetkunde

Ruimtemeetkunde

Datum en tijd

Financiën en economie

Online marketing en advertentiecijfers

Gezondheid en fitness

Sport

Weer

Informatica

Energie in huis en budget

Auto

Zonne-energie en batterijen

Wonen en klussen

Advertenties verwijderen