Vergelijkingen en ongelijkheden met absolute waarde oplossen (twee methoden met stappen en getallenlijn)

Vul de coëfficiënten a en b van de uitdrukking binnen de absolute waarde, ax + b, het getal c rechts en het soort vergelijking (=, <, ≤, >, ≥) in. De uitdrukking hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de getallen ook er direct in aanpassen.

Coëfficiënt van x, a

Constante b (binnen)

Rechterlid c

Soort (absolute waarde en c)

Je kunt kommagetallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 gebruiken. Een leeg veld bij a telt als 1 (x betekent 1x) en een leeg veld bij b of c telt als 0.

Resultaat en grafiek

Vul links de coëfficiënten a en b, het getal c rechts en het soort vergelijking in en klik op “Berekenen”. De stappen van twee methoden en een getallenlijn verschijnen hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en getallenlijnen
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Los vergelijkingen en ongelijkheden met absolute waarde op, \(|ax+b| = c\), \(< c\), \(\le c\), \(> c\) en \(\ge c\), door alleen de coëfficiënten in te vullen en het soort vergelijking te kiezen. Antwoorden staan als vereenvoudigde breuken (exacte waarden)
De pagina toont de stappen van beide gebruikelijke methoden: (1) de basisregels (zoals “als \(|X| = c\), dan \(X = \pm c\)”) en (2) gevallen onderscheiden (\(ax+b \ge 0\) en \(< 0\)) om de absolute waarde weg te werken. Bij gevallen onderscheiden toets je elk antwoord regel voor regel aan de voorwaarde van het geval
Lastige gevallen zoals \(c = 0\) en \(c < 0\) (maar één punt, alle reële getallen behalve één punt, geen oplossing, alle reële getallen) worden goed herkend, met de reden: “een absolute waarde is altijd 0 of groter”
De oplossing van een ongelijkheid staat op een getallenlijn, met een gevuld bolletje als het eindpunt meedoet en een open bolletje als het niet meedoet
Coëfficiënten mogen kommagetallen, negatieve getallen of breuken zoals 3/4 zijn. Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

Het rechterlid mag alleen een getal \(c\) zijn. Vormen met \(x\) in het rechterlid, zoals \(|x-1| < 2x\), en uitdrukkingen met twee of meer absolute waarden, zoals \(|x-1| + |x-2|\), worden niet ondersteund (je kunt ze met de hand oplossen door gevallen te onderscheiden, zoals hieronder uitgelegd bij “Formules en getallenlijnen”).

Waarvoor is deze berekening handig?

De toegestane maat van een onderdeel bepalen (toleranties in de productie)

De maat van een geproduceerd onderdeel wordt bewaakt als “ontwerpwaarde ± tolerantie”. Bij een onderdeel dat 50 mm lang moet zijn met een tolerantie van ±0,5 mm is de goedkeuringsvoorwaarde precies de ongelijkheid met absolute waarde \(|x - 50| \le 0{,}5\), en de oplossing, \(49{,}5 \le x \le 50{,}5\), is het toegestane gebied.
De notatie “\(50 \pm 0{,}5\)” op een tekening is een korte schrijfwijze van deze ongelijkheid.

De norm voor de netspanning bij je thuis (netbeheer)

In Nederland is de nominale spanning op het stopcontact 230 volt. Volgens de Europese norm NEN-EN 50160 hoort de spanning die bij je aansluiting aankomt meestal binnen ±10% te blijven, dus tussen 207 en 253 volt. Dat is het gebied \(|V - 230| \le 23\), oftewel \(207 \le V \le 253\).
Regels die “het verschil met een standaardwaarde binnen een grens houden” komen in veel vakgebieden voor, zoals bij de waterdruk en de netto-inhoud die op voedselverpakkingen staat, en elk daarvan kun je schrijven als een ongelijkheid met absolute waarde.

Drempelcontroles in programma’s (toleranties en botsingen)

In programmeren schrijf je een controle die twee waarden als gelijk beschouwt als hun verschil klein genoeg is zoals if abs(x - target) <= eps. Het is de standaardmanier om kommagetallen te vergelijken en afrondingsfouten toe te staan, of om in een spel te bepalen dat een personage “bijna aangekomen” is.
Die ene regel is de ongelijkheid met absolute waarde \(|x - t| \le \varepsilon\) als code, en de oplossing is precies het gebied waarin de controle slaagt.

De grootte van een meetfout beoordelen (natuurkunde en keuring)

Het verschil tussen een gemeten waarde en de ware waarde (de fout) kan aan de plus- of aan de minkant zitten. Gaat het om “blijft de grootte van de fout binnen een grens?”, dan laat je het teken weg en kijk je naar \(|\text{gemeten waarde} - \text{referentiewaarde}|\).
Een koortsthermometer met een nauwkeurigheid van “±0,1 °C” garandeert bijvoorbeeld grofweg \(|\text{aflezing} - \text{ware waarde}| \le 0{,}1\). Als je dit gebied in gedachten houdt, lees je het resultaat anders.

Formules en getallenlijnen

Basisregel voor vergelijkingen met absolute waarde (als \(c > 0\))

Op de getallenlijn

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(X\) \(=\) \(c\) \(;\ \ \) \(-c\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(X\): uitdrukking binnen de absolute waarde \(=\) ① \(c\): de positieve kant \(;\ \ \) ② \(-c\): de negatieve kant

De formule in woorden

① De absolute waarde \(|X|\) is de afstand tot 0 op de getallenlijn. De enige getallen waarvan de afstand tot 0 precies \(c\) is, zijn \(c\): de positieve kant en

② \(-c\): de negatieve kant

③ Dus \(X\): uitdrukking binnen de absolute waarde is gelijk aan een van deze twee

Een eenvoudig voorbeeld

De oplossingen van \(|x| = 3\) zijn de getallen op afstand 3 van 0, dus

binnenste \(x\) \(=\) \(3\) \(;\ \ \) \(-3\)

\(x = 3;\ \ x = -3\)

Het belangrijkste idee

Bij een vergelijking van de vorm \(|X| = c\) zie je de uitdrukking \(X\) binnen de absolute waarde als één geheel en schrijf je \(X = \pm c\). Zo splitst \(|2x - 3| = 5\) in twee lineaire vergelijkingen, \(2x - 3 = 5\) en \(2x - 3 = -5\), die je oplost door termen te verplaatsen en te delen. Deze basisregel werkt alleen als het rechterlid \(c\) positief is. Is \(c = 0\), dan is de enige oplossing “het ene punt waar de uitdrukking binnen de absolute waarde 0 is”. Is \(c\) negatief, dan is er geen oplossing, omdat een absolute waarde niet negatief kan zijn (deze rekenmachine herkent deze gevallen automatisch en legt uit waarom).

Basisregel voor ongelijkheden met absolute waarde (\(<\) en \(\le\): het gebied ertussen)

Op de getallenlijn

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(-c\) \(<\) \(X\) \(<\) \(c\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① \(-c\): ondergrens \(<\) ③ \(X\): uitdrukking binnen de absolute waarde \(<\) ② \(c\): bovengrens

De formule in woorden

① Getallen met \(|X| < c\) (afstand tot 0 kleiner dan \(c\)) liggen rechts van \(-c\): ondergrens

② en links van \(c\): bovengrens

③ Dus \(X\): uitdrukking binnen de absolute waarde ligt in het gebied tussen de twee eindpunten

Een eenvoudig voorbeeld

De oplossing van \(|x| \le 2\) is het gebied van getallen op afstand 2 of minder van 0, dus

\(-2\) \(\le\) binnenste \(x\) \(\le\) \(2\)

\(-2 \le x \le 2\)

Het belangrijkste idee

Met het gelijkteken, \(|X| \le c\), zijn de eindpunten zelf ook oplossingen, dus het wordt \(-c \le X \le c\). Op een getallenlijn teken je een eindpunt dat meedoet als gevuld bolletje en een eindpunt dat niet meedoet als open bolletje. \(-c < X < c\) is een korte schrijfwijze voor “\(-c < X\) en \(X < c\)”. Omdat het “en” is, is alleen de doorsnede van de twee voorwaarden de oplossing.

Basisregel voor ongelijkheden met absolute waarde (\(>\) en \(\ge\): de gebieden erbuiten)

Op de getallenlijn

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(X\) \(<\) \(-c\) \(\ \text{of}\ \) \(c\) \(<\) \(X\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(X\): uitdrukking binnen de absolute waarde \(<\) ① \(-c\): ondergrens \(\ \text{of}\ \) ② \(c\): bovengrens \(<\) \(X\): uitdrukking binnen de absolute waarde

De formule in woorden

① Getallen met \(|X| > c\) (afstand tot 0 groter dan \(c\)) liggen óf links van \(-c\): ondergrens

② óf rechts van \(c\): bovengrens

③ Dus \(X\): uitdrukking binnen de absolute waarde ligt in een van de twee gebieden buiten de eindpunten

Een eenvoudig voorbeeld

De oplossing van \(|x| > 1\) zijn de getallen op een afstand van meer dan 1 van 0, dus

binnenste \(x\) \(<\) \(-1\) \(\ \text{of}\ \) \(1\) \(<\) binnenste \(x\)

\(x < -1 \ \text{of}\ 1 < x\)

Het belangrijkste idee

Een handige ezelsbrug: “kleiner dan betekent ertussen, groter dan betekent erbuiten”. Hetzelfde idee van “ertussen of erbuiten” komt ook voor bij kwadratische ongelijkheden (waar de parabool boven of onder de \(x\)-as ligt). Bij \(x < -1\) of \(1 < x\) is het woord “of” belangrijk. Geen enkele \(x\) kan tegelijk in beide gebieden liggen, dus verwar het niet met “en”. (Sommige boeken schrijven dit als \(x < -1\) of \(x > 1\); dat betekent hetzelfde.)

De absolute waarde wegwerken door gevallen te onderscheiden (werkt bij elke uitdrukking)

In een grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\lvert X \rvert\) \(=\) \(X\) \(\quad (X \ge 0)\)

\(\lvert X \rvert\) \(=\) \(-X\) \(\quad (X < 0)\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(|X|\): absolute waarde \(=\) ① \(X\): zoals het is \(\quad (X \ge 0)\)

\(|X|\): absolute waarde \(=\) ② \(-X\): met omgekeerd teken \(\quad (X < 0)\)

De formule in woorden

① Is de uitdrukking binnen de absolute waarde 0 of groter (\(X \ge 0\)), dan wordt hij \(X\): zoals het is

② Is de uitdrukking negatief (\(X < 0\)), dan wordt hij \(-X\): met omgekeerd teken

③ Dus \(|X|\): absolute waarde kun je altijd wegwerken door gevallen te onderscheiden naar het teken van de uitdrukking

Een eenvoudig voorbeeld

Een voorbeeld met een negatieve uitdrukking: bij \(X = -5\) verander je het teken om de absolute waarde weg te werken:

\(\lvert -5 \rvert\) \(=\) met omgekeerd teken, \(-(-5)\)

\(\lvert -5 \rvert = -(-5) = 5\)

Het belangrijkste idee

Verwarrend is dat “je zet een minteken voor het getal, maar het resultaat is positief”. Is \(X\) zelf negatief, dan is \(-X\) positief (bij \(X = -5\) is \(-X = 5\)). Controleer na het wegwerken van de absolute waarde per geval altijd of het antwoord van elk geval past bij de voorwaarde van het geval (\(X \ge 0\) of \(X < 0\), omgeschreven naar een gebied van \(x\)). Verwerp elk antwoord dat niet past en voeg daarna de antwoorden van alle gevallen samen voor het eindantwoord. Op deze pagina is de uitdrukking binnen de absolute waarde steeds een lineaire uitdrukking, zoals \(2x - 3\). Gevallen onderscheiden werkt ook bij lastigere uitdrukkingen waarbij de basisregels niet gelden (bijvoorbeeld met \(x\) in het rechterlid of met twee absolute waarden). In het resultaat laat deze rekenmachine die stappen en toetsingen zien als methode 2.

Is het rechterlid \(c\) positief, dan kun je vergelijkingen en ongelijkheden met absolute waarde met de basisregels omzetten in lineaire vergelijkingen en ongelijkheden: \(=\) geeft \(X = \pm c\), \(<\) geeft het gebied ertussen, \(-c < X < c\), en \(>\) geeft de gebieden erbuiten, \(X < -c\) of \(c < X\). Ook als de basisregels niet gelden, werk je met gevallen onderscheiden naar het teken van de uitdrukking altijd de absolute waarde weg. Vergeet na het onderscheiden van gevallen niet elk antwoord te toetsen aan de voorwaarde van het geval en alleen de doorsnede te bewaren.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(\|x\|\)	absolute waarde van x	Het teken voor de absolute waarde. Een getal tussen twee verticale strepen geeft aan hoe ver het op de getallenlijn van 0 ligt (de afstand). Een afstand is altijd 0 of groter, dus \(\|5\| = 5\) en \(\|-5\| = 5\).
\(X\)	hoofdletter X	Op deze pagina een letter die staat voor de hele uitdrukking binnen de absolute waarde, \(ax+b\), als één geheel. Als je de uitdrukking als één letter ziet, kun je de basisregels direct gebruiken.
\(a,\ b,\ c\)	a, b, c	Letters die vaak voor vaste getallen (constanten) worden gebruikt. Gewoonlijk gebruik je letters aan het begin van het alfabet, \(a,\ b,\ c\), voor vaste getallen. Op deze pagina zijn \(a\) en \(b\) de coëfficiënt en de constante van de uitdrukking \(ax+b\) binnen de absolute waarde, en is \(c\) het getal in het rechterlid.
\(x\)	x	Het onbekende getal dat je wilt vinden (de onbekende). Gewoonlijk gebruik je letters aan het eind van het alfabet, \(x,\ y,\ z\), voor onbekenden, een gewoonte die uit de tijd van de wiskundige Descartes zou komen.
\(\pm\)	plus of min	Een teken dat “zowel het \(+\)-geval als het \(-\)-geval” in één keer opschrijft. \(X = \pm 5\) is een korte manier om zowel \(X = 5\) als \(X = -5\) te schrijven.
\(<,\ >\)	kleiner dan, groter dan	Ongelijkheidstekens die groottes vergelijken. De open kant van het teken wijst naar het grotere getal. Het eindpunt zelf doet niet mee (op een getallenlijn een open bolletje).
\(\ge,\ \le\)	groter dan of gelijk aan, kleiner dan of gelijk aan	Ongelijkheidstekens waarbij het eindpunt zelf wel meedoet (op een getallenlijn een gevuld bolletje). Sommige boeken schrijven ze met een dubbele streep onder het teken (≧, ≦); de betekenis is hetzelfde.
\(\neq\)	is niet gelijk aan	Het teken voor “is niet gelijk aan”. \(x \neq 2\) betekent “elk reëel getal behalve 2” en komt voor in de oplossing van \(\|X\| > 0\).

Begrippen

absolute waarde	De afstand van 0 tot een getal op de getallenlijn. Een afstand is altijd 0 of groter. Een positief getal blijft hetzelfde (\(\|5\| = 5\)) en een negatief getal verliest zijn teken (\(\|-5\| = 5\)). De betekenis leer je in klas 1 (12-13 jaar), en vergelijkingen en ongelijkheden ermee in de bovenbouw (havo en vwo).
vergelijking	Een bewering met een gelijkteken die een onbekend getal bevat. Een waarde van de onbekende waarvoor ze klopt heet een “oplossing”, en alle oplossingen vinden heet “de vergelijking oplossen”.
ongelijkheid	Een bewering die de grootte van getallen of uitdrukkingen vergelijkt met een ongelijkheidsteken (\(<\), \(\le\), \(>\), \(\ge\)). De oplossing is meestal een gebied en geen enkel getal, en op een getallenlijn is ze makkelijker te begrijpen.
lineaire uitdrukking	Een uitdrukking waarin \(x\) alleen in de eerste macht voorkomt, zoals \(2x - 3\). Op deze pagina is de uitdrukking binnen de absolute waarde een lineaire uitdrukking.
gevallenonderscheid	Verandert een uitdrukking van vorm afhankelijk van de situatie, dan splits je het probleem in gevallen en los je elk geval apart op. Absolute waarde is het klassieke voorbeeld, omdat de manier waarop je haar wegwerkt afhangt van het teken van de uitdrukking binnen de absolute waarde.
voorwaarde van het geval	Controleren of een antwoord past bij de voorwaarde waarvan je bent uitgegaan (toetsen aan de voorwaarde van het geval). Bij gevallenonderscheid controleer je altijd of het antwoord van elk geval aan de voorwaarde van dat geval voldoet (bij een gebied: of er een doorsnede is) en verwerp je elk antwoord dat er niet aan voldoet.
doorsnede	Het deel dat in beide gebieden zit (het “en”-gebied). Een gebruikelijke manier om het te vinden is de gebieden op getallenlijnen boven elkaar tekenen en aflezen waar ze overlappen.
getallenlijn	Een tekening waarin getallen als punten op een rechte lijn staan. Naar rechts worden de getallen groter. Je gebruikt hem om absolute waarden (afstanden tot 0) en de oplossingen van ongelijkheden te zien.
termen verplaatsen	Een term van een vergelijking of ongelijkheid naar de andere kant brengen en het teken veranderen. Verplaats je de \(-3\) in \(2x - 3 = 5\) naar het rechterlid, dan krijg je \(2x = 5 + 3\).
reëel getal	Elk getal dat je op de getallenlijn kunt zetten: hele getallen, breuken en kommagetallen, en ook getallen zoals \(\sqrt{2}\) en pi.
geen oplossing	Er is helemaal geen \(x\) die aan de voorwaarde voldoet. \(\|x\| = -2\) heeft bijvoorbeeld geen oplossing, omdat een absolute waarde niet negatief kan zijn.
alle reële getallen	Het klopt welke waarde \(x\) ook heeft. \(\|x\| \ge -1\) klopt bijvoorbeeld altijd, omdat een absolute waarde altijd 0 of groter is.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina écht te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Negatieve getallen en de getallenlijn (klas 1, 12-13 jaar)	Weten dat getallen op de getallenlijn naar rechts groter worden Kunnen optellen en aftrekken met negatieve getallen, zoals bij \(-3 + 5 = 2\) Weten dat een minteken voor een negatief getal het positief maakt, zoals bij \(-(-5) = 5\)
Wat absolute waarde betekent (klas 1, 12-13 jaar)	Weten dat absolute waarde “de afstand van 0 tot het getal op de getallenlijn” is (\(\|5\| = 5\), \(\|-5\| = 5\)) Kunnen uitleggen waarom een absolute waarde altijd 0 of groter is (het is een afstand)
Lineaire vergelijkingen (klas 1–2, 12-14 jaar)	Termen kunnen verplaatsen naar de andere kant (met een ander teken) Kunnen oplossen dat \(2x = 8\) door beide leden door 2 te delen \(x = 4\) geeft
Lineaire ongelijkheden (klas 2–3, 13-15 jaar)	Ook bij een ongelijkheid termen kunnen verplaatsen en beide leden door hetzelfde positieve getal kunnen delen Weten dat het ongelijkheidsteken omdraait als je beide leden met een negatief getal vermenigvuldigt of erdoor deelt (bijvoorbeeld als je beide leden van \(-2x \le 6\) door \(-2\) deelt, krijg je \(x \ge -3\)) Het verschil tussen “en” (de doorsnede) en “of” (beide gebieden samen) op een getallenlijn kunnen voorstellen
Rekenen met breuken (groep 6–8 tot klas 1, 9-13 jaar)	Breuken kunnen vereenvoudigen en breuken met verschillende noemers kunnen optellen en aftrekken (gelijknamig maken) Het gewend zijn om een antwoord als breuk te laten staan, zoals \(\dfrac{3}{2}\)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om |ax+b| = c op te lossen

Coëfficiënt van x, a	2
Constante b	-3
Rechterlid c	5
Oplossing 1 (de x waarvoor de uitdrukking binnen de absolute waarde c is)	=(B3-B2)/B1
Oplossing 2 (de x waarvoor de uitdrukking binnen de absolute waarde −c is)	=(-B3-B2)/B1

Tabel om het oplossingsgebied van |ax+b| ≤ c te vinden

Coëfficiënt van x, a	2
Constante b	-3
Rechterlid c	5
Linkereinde van het gebied	=MIN((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1)
Rechtereinde van het gebied	=MAX((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1)

Tabel om een oplossing te controleren door die in te vullen

Coëfficiënt van x, a	2
Constante b	-3
x om te controleren	4
Waarde van \|ax+b\|	=ABS(B1*B3+B2)

Na het plakken zijn de bovenste rijen (de coëfficiënten en het rechterlid) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
De eerste tabel hoort bij |2x − 3| = 5 en geeft oplossing 1 = 4 en oplossing 2 = −1. Vul je voor c 0 of een negatief getal in, dan zie je nog steeds getallen, maar het echte antwoord is “maar één punt als c = 0, geen oplossing als c negatief is”, dus pas op (de rekenmachine op deze pagina herkent dit automatisch).
De tweede tabel zoekt het oplossingsgebied van |2x − 3| ≤ 5, −1 ≤ x ≤ 4. MIN geeft het linkereinde en MAX het rechtereinde. Bij > en ≥ zijn de twee gebieden buiten deze waarden de oplossing.
De derde tabel is om te controleren. Vul de oplossing x = 4 in en de waarde van ABS (de functie voor de absolute waarde) komt terug op het rechterlid, 5.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om |ax+b| = c op te lossen

Coëfficiënt van x, a	2
Constante b	-3
Rechterlid c	5
Oplossing 1 (de x waarvoor de uitdrukking binnen de absolute waarde c is)	=(B3-B2)/B1
Oplossing 2 (de x waarvoor de uitdrukking binnen de absolute waarde −c is)	=(-B3-B2)/B1

Tabel om het oplossingsgebied van |ax+b| ≤ c te vinden

Coëfficiënt van x, a	2
Constante b	-3
Rechterlid c	5
Linkereinde van het gebied	=MIN((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1)
Rechtereinde van het gebied	=MAX((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1)

Tabel om een oplossing te controleren door die in te vullen

Coëfficiënt van x, a	2
Constante b	-3
x om te controleren	4
Waarde van \|ax+b\|	=ABS(B1*B3+B2)

Dezelfde formules als in Excel werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de coëfficiënten en het rechterlid door je eigen getallen.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction

# Los |a*x + b| ? c op (een breuk zoals 3/4 schrijf je als Fraction(3, 4))
a = Fraction(2)     # coëfficiënt van x
b = Fraction(-3)    # constante (binnen de absolute waarde)
c = Fraction(5)     # getal in het rechterlid
sign = "<="         # kies uit "=", "<", "<=", ">", ">="

lower = (-c - b) / a    # de x waarvoor de uitdrukking binnen de absolute waarde -c is
upper = (c - b) / a     # de x waarvoor de uitdrukking binnen de absolute waarde c is
left, right = min(lower, upper), max(lower, upper)

if c > 0:
    if sign == "=":
        print(f"Oplossing: x = {left}; {right}")
    elif sign in ("<", "<="):
        print(f"Oplossing: {left} {sign} x {sign} {right}")
    else:
        flipped = "<" if sign == ">" else "<="
        print(f"Oplossing: x {flipped} {left} of {right} {flipped} x")
elif c == 0:
    boundary = -b / a   # de x waarvoor de uitdrukking binnen de absolute waarde 0 is
    if sign in ("=", "<="):
        print(f"Oplossing: x = {boundary}")
    elif sign == "<":
        print("Geen oplossing")
    elif sign == ">":
        print(f"Oplossing: x ≠ {boundary}")
    else:
        print("Alle reële getallen")
else:
    # Een absolute waarde is altijd 0 of groter, dus de vergelijking met een negatieve c is meteen beslist
    if sign in (">", ">="):
        print("Alle reële getallen")
    else:
        print("Geen oplossing")

Met de module fractions uit de standaardbibliotheek reken je met exacte breuken, zonder afrondingsfouten van kommagetallen. Dit voorbeeld lost |2x − 3| ≤ 5 op en als je het uitvoert, verschijnt “Oplossing: -1 <= x <= 4”. Pas de coëfficiënten en het soort vergelijking (sign) aan en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Basisregel voor vergelijkingen met absolute waarde (als \(c > 0\))

|X| = c ⇔ X = ±c　(c > 0)

\lvert X \rvert = c \iff X = \pm c \quad (c > 0)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo><mi>c</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>X</mi><mo>=</mo><mo>&#xB1;</mo><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

abs(X) = c iff X = +-c

Solve[Abs[x] == c, x, Reals]

solve(abs(x) = c, x);

solve(abs(x) == c, x)

|X| = c ⇔ X = ±c (c > 0)

Basisregel voor ongelijkheden met absolute waarde (\(<\) en \(\le\): het gebied ertussen)

|X| < c ⇔ −c < X < c

\lvert X \rvert < c \iff -c < X < c

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
    <mo>&lt;</mo><mi>c</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>&lt;</mo><mi>X</mi><mo>&lt;</mo><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

abs(X) < c iff -c < X < c

Reduce[Abs[x] < c, x, Reals]

solve(abs(x) < c, x);

solve(abs(x) < c, x, 'ReturnConditions', true)

|X| < c ⇔ −c < X < c

Basisregel voor ongelijkheden met absolute waarde (\(>\) en \(\ge\): de gebieden erbuiten)

|X| > c ⇔ X < −c of c < X

\lvert X \rvert > c \iff X < -c \ \text{of}\ c < X

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
    <mo>&gt;</mo><mi>c</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>X</mi><mo>&lt;</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi>
    <mtext>&#xA0;of&#xA0;</mtext>
    <mi>c</mi><mo>&lt;</mo><mi>X</mi>
  </mrow>
</math>

abs(X) > c iff X < -c or c < X

Reduce[Abs[x] > c, x, Reals]

solve(abs(x) > c, x);

solve(abs(x) > c, x, 'ReturnConditions', true)

|X| > c ⇔ X < −c of c < X

De absolute waarde wegwerken door gevallen te onderscheiden (werkt bij elke uitdrukking)

|X| = X (X ≥ 0), |X| = −X (X < 0)

\lvert X \rvert = \begin{cases} X & (X \ge 0) \\ -X & (X < 0) \end{cases}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo><mo>=</mo>
    <mrow>
      <mo>{</mo>
      <mtable columnalign="left left">
        <mtr>
          <mtd><mi>X</mi></mtd>
          <mtd><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>&#x2265;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd>
        </mtr>
        <mtr>
          <mtd><mo>&#x2212;</mo><mi>X</mi></mtd>
          <mtd><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>&lt;</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd>
        </mtr>
      </mtable>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

abs(X) = {(X, (X >= 0)), (-X, (X < 0)):}

Abs[x] == Piecewise[{{x, x >= 0}, {-x, x < 0}}]

abs(x) = piecewise(x >= 0, x, x < 0, -x);

piecewise(x >= 0, x, x < 0, -x)

|X| = X (X ≥ 0), |X| = −X (X < 0)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor algebra. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit hoofdrekenen of gokken).

Los de ongelijkheid met absolute waarde |2x − 3| ≤ 5 op.
Laat elk van de volgende onderdelen zien:
1. De ongelijkheid herschreven met de basisregel (in de vorm −c ≤ 2x−3 ≤ c)
2. Het oplossingsgebied (met eindpunten als vereenvoudigde breuken of hele getallen)
3. Los haar ook op door gevallen te onderscheiden (2x−3 ≥ 0 en 2x−3 < 0), laat het antwoord van elk geval en de doorsnede met de voorwaarde van het geval zien en controleer dat je hetzelfde antwoord krijgt als bij 1

Reken in Python exact met solveset van sympy (of een gelijkwaardige Reduce met Abs) en met fractions, en laat de code die je hebt gebruikt en het resultaat van de uitvoering zien.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule

Kenmerken van DataChef

Eenvoudig en gratis

Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening

Geen registratie nodig

Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven

Veilig en betrouwbaar

Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt

Snel

Snelle laadtijden en snelle conversie

Zonder watermerk

Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist

Commercieel gebruik toegestaan

Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig

Vergelijkingen en ongelijkheden met absolute waarde oplossen (twee methoden met stappen en getallenlijn)

Inhoudsopgave

Wat je op deze pagina kunt doen

Waarvoor is deze berekening handig?

Formules en getallenlijnen

Symbolen en begrippen

Symbolen

Begrippen

Handig om vooraf te weten

Berekenen met Excel

Berekenen met Google Spreadsheets

Berekenen met Python

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Zo werkt het

Kenmerken van DataChef

Gerelateerde functies

Kwadratische ongelijkheid oplossen (oplossingsverzameling, discriminant en grafiek)

Los kwadratische ongelijkheden zoals ax²+bx+c>0 op, met stappen per teken van de discriminant en een grafiek van de parabool

Lineaire vergelijking oplossen (x berekenen, stap voor stap)

Na het wegwerken van de absolute waarde los je een lineaire vergelijking op. Los ax+b=cx+d op met stappen, controle en grafiek

Rekenen met negatieve getallen (rekenmachine met stappen)

Herhaal het rekenen met negatieve getallen voordat je met absolute waarden begint. Bekijk de tekenregels met stappen en een getallenlijn

Aanbevolen

Kansrekening en willekeurige getallen

Gemiddelden en statistiek

Procenten en verhoudingen

Snelheid

Dichtheid en concentratie

Natuurkunde en elektriciteit

Eenheden omrekenen

Gehele getallen

Breuken, decimalen en afronden

Vergelijkingen en ongelijkheden

Veeltermen

Wortels

Machten en logaritmen

Complexe getallen

Functies en grafieken

Rijen

Vectoren

Matrices

Vlakke meetkunde

Ruimtemeetkunde

Datum en tijd

Financiën en economie

Online marketing en advertentiecijfers

Gezondheid en fitness

Sport

Weer

Informatica

Energie in huis en budget

Auto

Zonne-energie en batterijen

Wonen en klussen

Advertenties verwijderen