Lineaire functie berekenen (formule opstellen uit twee punten of uit de richtingscoëfficiënt en een punt, met snijpunten)

Kies een modus en vul de coördinaten van twee punten in (of de richtingscoëfficiënt en de coördinaten van één punt). Vul je ook een x in, dan wordt ook de waarde van y bij die x berekend.

Vind de lijn uit

x-coördinaat van punt 1, x1

y-coördinaat van punt 1, y1

x-coördinaat van punt 2, x2

y-coördinaat van punt 2, y2

Richtingscoëfficiënt m (veranderingssnelheid)

x waarvoor je y zoekt (optioneel)

Decimale getallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 mogen. De velden die je niet nodig hebt, schakelen automatisch mee met de modus.

Resultaat en grafiek

Vul links de coördinaten (of de richtingscoëfficiënt) in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een grafiek verschijnen hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en grafieken
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Stel meteen de vergelijking \(y = mx + b\) op van de lijn door twee punten \((x_1;\ y_1)\) en \((x_2;\ y_2)\), door alleen de coördinaten in te vullen
Je kunt ook een modus kiezen die de vergelijking vindt uit de richtingscoëfficiënt \(m\) en één punt op de lijn
De richtingscoëfficiënt (veranderingssnelheid) wordt getoond met de stappen van \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Antwoorden staan als zo ver mogelijk vereenvoudigde breuken (exacte waarden)
Het vindt ook waar de lijn de x-as en de y-as snijdt en de waarde van \(y\) bij een \(x\) die je kiest, en tekent een grafiek van de lijn
Hebben de twee punten dezelfde x-coördinaat, zodat de lijn geen lineaire functie is, dan meldt het dat de lijn de verticale lijn “x = constante” is en legt het uit waarom
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

Coördinaten en richtingscoëfficiënten mogen decimale getallen, negatieve getallen of breuken zoals 3/4 zijn.

Waarvoor is deze berekening handig?

Kosten voorspellen bij een tarief (telefoon, energie, taxi)

Een prijs die bestaat uit “een vast bedrag plus een bedrag per gebruikte eenheid” is precies de lineaire functie \(y = mx + b\): het snijpunt met de y-as \(b\) is het vaste bedrag en de richtingscoëfficiënt \(m\) is de prijs per eenheid. Een taxi die € 3,50 instaptarief rekent plus € 2,50 per kilometer kost bijvoorbeeld \(y = 2{,}5x + 3{,}5\), dus een rit van 4 km kost \(2{,}5 \times 4 + 3{,}5 = 13{,}50\) euro.
De prijs per eenheid en het vaste bedrag uitrekenen uit twee maandrekeningen (twee punten van verbruik en bedrag) is precies “de vergelijking opstellen uit twee punten”. Een voorbeeld is een energiecontract met vaste kosten plus een prijs per kWh.

Begrijpen hoe een veer uitrekt (natuurkunde, de wet van Hooke)

Een veer rekt evenredig uit met het gewicht dat eraan hangt (de wet van Hooke), dus de totale lengte van de veer, “beginlengte + uitrekking”, is een lineaire functie. Een veer met een beginlengte van 10 cm die 2 cm uitrekt per gewichtje, heeft lengte \(y = 2x + 10\) (\(x\) is het aantal gewichtjes).
Stel je de vergelijking op uit twee metingen in een proef (twee punten), dan kun je de lengte voorspellen voor gewichten die je nog niet hebt geprobeerd. Het is een klassiek voorbeeld dat natuurkunde en wiskunde in de onderbouw verbindt.

De temperatuur schatten uit de hoogte (wandelen en weer)

Gemiddeld wordt de lucht ongeveer 0,6 °C kouder bij elke 100 m die je stijgt (dit heet de temperatuurgradiënt). Ken je de temperatuur beneden, dan geeft een lineaire functie een ruwe schatting van de temperatuur boven. Is het bijvoorbeeld 20 °C aan het begin van het pad, dan is de temperatuur op \(x\) honderd meter hoger ongeveer \(y = 20 - 0{,}6x\), dus op een top 1.000 m hoger (\(x = 10\)) is het ongeveer 14 °C.
De werkelijke temperatuur hangt ook af van het weer en de luchtvochtigheid, dus dit is geen exacte formule, maar het is een praktische benadering om te bepalen wat je bij een wandeling aantrekt.

Omzet en kosten voorspellen (bedrijfseconomie, break-evenpunt)

Bedrijfskosten hebben vaak de vorm “vaste kosten zoals huur + variabele kosten per gemaakt product”, en dat is ook een lineaire functie: het snijpunt met de y-as zijn de vaste kosten en de richtingscoëfficiënt zijn de variabele kosten per product.
De kostenlijn vergelijken met de omzetlijn laat zien “hoeveel je moet verkopen om winst te maken” (het break-evenpunt). Het is een veelgebruikte eerste stap in een ondernemingsplan.

Temperatuureenheden omrekenen (Celsius en Fahrenheit)

Fahrenheit (°F), dat in de VS wordt gebruikt, en Celsius (°C), dat in de meeste andere landen wordt gebruikt, hangen precies samen via de lineaire functie \(F = 1{,}8C + 32\). Met richtingscoëfficiënt 1,8 en snijpunt met de y-as 32 is het een bekend voorbeeld van een exact lineair verband.
Zo is 20 °C gelijk aan \(1{,}8 \times 20 + 32 = 68\) °F. Je kunt deze formule direct gebruiken om een weerbericht uit de VS of een oventemperatuur in een Amerikaans recept te lezen.

Formules en grafieken

Vergelijking van een lineaire functie \(y = mx + b\) (met de richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de y-as)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(x\) \(+\) \(b\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ y-coördinaat van een punt op de lijn \(y\) \(=\) ② richtingscoëfficiënt \(m\) (veranderingssnelheid) \(\times\) ① x-coördinaat \(x\) \(+\) ③ snijpunt met de y-as \(b\)

De formule in woorden

① Neem de x-coördinaat \(x\)

② vermenigvuldig die met de richtingscoëfficiënt \(m\) (hoeveel y toeneemt als x met 1 toeneemt)

③ tel er het snijpunt met de y-as \(b\) (de waarde van y als x = 0) bij op

④ en je krijgt de y-coördinaat van het punt op de lijn \(y\)

Een eenvoudig voorbeeld

Bij de lineaire functie \(y = 2x + 1\), met richtingscoëfficiënt 2 en snijpunt met de y-as 1, is de waarde van \(y\) als \(x = 3\)

y-coördinaat \(y\) \(=\) richtingscoëfficiënt (2) \(\times\) x-coördinaat (3) \(+\) snijpunt met de y-as (1)

\(y = 2 \times 3 + 1 = 7\)

Het belangrijkste idee

Een lineaire functie is een functie van de vorm \(y = mx + b\), en de grafiek is een rechte lijn. Het woord “lineair” zegt dat \(x\) alleen in de eerste macht voorkomt (geen \(x^2\) of \(x^3\)). In Nederlandse schoolboeken staat de formule meestal als \(y = ax + b\); op deze pagina schrijven we \(m\) voor de richtingscoëfficiënt. De richtingscoëfficiënt \(m\) vertelt “hoeveel y verandert als x met 1 toeneemt” en het snijpunt met de y-as \(b\) is “de starthoogte (y als x = 0)”. Een prijsplan van “een vast bedrag \(b\) euro plus \(m\) euro voor elke eenheid \(x\) die je gebruikt” heeft bijvoorbeeld precies deze vorm. Een recht evenredig verband \(y = kx\) is de bijzondere lineaire functie waarvan het snijpunt met de y-as 0 is (de lijn gaat door de oorsprong).

De richtingscoëfficiënt \(m\) (veranderingssnelheid) berekenen uit twee punten

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(m\) \(=\) \(y_2 - y_1\) \(\div\) \(x_2 - x_1\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ richtingscoëfficiënt \(m\) (veranderingssnelheid) \(=\) ① verandering van y (stijging) \(\Delta y = y_2 - y_1\) \(\div\) ② verandering van x (horizontale afstand) \(\Delta x = x_2 - x_1\)

De formule in woorden

① Neem de verandering van y, \(\Delta y\) (hoeveel de lijn is gestegen of gedaald)

② deel die door de verandering van x, \(\Delta x\) (hoeveel de lijn naar rechts is gegaan)

③ en je krijgt de richtingscoëfficiënt \(m\) (veranderingssnelheid)

Een eenvoudig voorbeeld

De richtingscoëfficiënt (veranderingssnelheid) van de lijn door de twee punten (1; 3) en (4; 9) is

richtingscoëfficiënt \(m\) \(=\) verandering van y (9 − 3 = 6) \(\div\) verandering van x (4 − 1 = 3)

\(m = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2\)

Het belangrijkste idee

De veranderingssnelheid, die je in de onderbouw bij lineaire functies leert, is \(\dfrac{\text{verandering van } y}{\text{verandering van } x}\), ook wel “stijging gedeeld door horizontale afstand” genoemd. Bij een lineaire functie is deze waarde overal hetzelfde en is het precies de richtingscoëfficiënt \(m\) (bij een kromme hangt het af van waar je meet). Trek in dezelfde volgorde af bij teller en noemer. Trek je punt 1 van punt 2 af, doe dat dan in die volgorde bij beide. Als je de volgorde mengt, komt het teken omgekeerd uit. Hebben de twee punten dezelfde x-coördinaat (\(\Delta x = 0\)), dan zou je door 0 delen, dus de richtingscoëfficiënt is niet gedefinieerd. De lijn door de twee punten is dan een verticale lijn evenwijdig aan de y-as, “x = constante”, en dat is niet de grafiek van een lineaire functie (deze rekenmachine herkent dit geval en legt het uit).

Het snijpunt met de y-as \(b\) berekenen uit de richtingscoëfficiënt en één punt

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(b\) \(=\) \(y_1\) \(-\) \(m\) \(\times\) \(x_1\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ snijpunt met de y-as \(b\) \(=\) ③ y-coördinaat van het punt \(y_1\) \(-\) ① richtingscoëfficiënt \(m\) \(\times\) ② x-coördinaat van het punt \(x_1\)

De formule in woorden

① Vermenigvuldig de richtingscoëfficiënt \(m\)

② met de x-coördinaat van het punt \(x_1\) (zoveel groeit y op weg van x = 0 naar het punt)

③ en trek het af van de y-coördinaat van het punt \(y_1\)

④ om het snijpunt met de y-as \(b\) te krijgen

Een eenvoudig voorbeeld

Het snijpunt met de y-as van de lijn met richtingscoëfficiënt 2 door het punt (3; 7) is

snijpunt met de y-as \(b\) \(=\) y-coördinaat (7) \(-\) richtingscoëfficiënt (2) \(\times\) x-coördinaat (3)

\(b = 7 - 2 \times 3 = 1\)

\(y = 2x + 1\)

Het belangrijkste idee

Zeggen dat het punt \((x_1;\ y_1)\) op de lijn ligt, betekent dat invullen in de vergelijking, \(y_1 = m x_1 + b\), klopt. Los je dit op naar \(b\), dan krijg je \(b = y_1 - m x_1\). (Dat is hetzelfde als beginnen met \(y - y_1 = m(x - x_1)\) en dat herschrijven tot de vorm \(y = mx + b\).) Als je de vergelijking uit twee punten opstelt, vind je eerst de richtingscoëfficiënt \(m\) als veranderingssnelheid, en dan hoef je alleen nog een van beide punten in deze formule in te vullen. In beide modi komt de laatste stap dus neer op deze formule.

Waar de lijn de x-as en de y-as snijdt (de snijpunten met de assen)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x\) \(=\) \(-\) \(b\) \(\div\) \(m\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ snijpunt met de x-as (waar de lijn de x-as snijdt) \(=\) \(-\) ① snijpunt met de y-as \(b\) \(\div\) ② richtingscoëfficiënt \(m\)

De formule in woorden

① Neem het snijpunt met de y-as \(b\) met omgekeerd teken

② deel dat door de richtingscoëfficiënt \(m\)

③ en je krijgt het snijpunt met de x-as (waar de lijn de x-as snijdt) (de y-as snijdt ze in \((0;\ b)\))

Een eenvoudig voorbeeld

Om te vinden waar \(y = 2x + 1\) de x-as snijdt, vul je \(y = 0\) in:

snijpunt met de x-as \(=\) \(-\) snijpunt met de y-as (1) \(\div\) richtingscoëfficiënt (2)

\(0 = 2x + 1\)

\(x = -\dfrac{1}{2}\)

Het belangrijkste idee

De lijn snijdt de x-as “waar \(y = 0\)”, dus \(0 = mx + b\) oplossen naar \(x\) geeft het snijpunt met de x-as \(x = -\dfrac{b}{m}\). Dit is een belangrijke manier om lineaire functies te bekijken: de oplossing van de vergelijking \(mx + b = 0\) komt overeen met het punt waar de grafiek de x-as snijdt. De lijn snijdt de y-as “waar \(x = 0\)”, en invullen geeft \(y = b\). Het snijpunt met de y-as \(b\) is dus precies “de hoogte waarop de grafiek de y-as snijdt”. Is de richtingscoëfficiënt 0 (de horizontale lijn \(y = b\)), dan loopt de lijn evenwijdig aan de x-as en snijdt die nooit (is \(b = 0\), dan is de lijn de x-as zelf).

Om de vergelijking \(y = mx + b\) van een lijn uit twee punten op te stellen, bepaal je eerst de richtingscoëfficiënt \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) (de veranderingssnelheid) en dan het snijpunt met de y-as \(b = y_1 - m x_1\). Uit de richtingscoëfficiënt en één punt heb je alleen het snijpunt met de y-as nodig. Het snijpunt met de y-as \(b\) is de hoogte waarop de lijn de y-as snijdt, en \(-\dfrac{b}{m}\) is de x-coördinaat waar ze de x-as snijdt.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(y = mx + b\)	y is gelijk aan m x plus b	De vorm met richtingscoëfficiënt en snijpunt met de y-as van een lineaire functie: \(m\) is de richtingscoëfficiënt en \(b\) het snijpunt met de y-as. In Nederlandse schoolboeken schrijf je dit meestal als \(y = ax + b\), met \(a\) als rc.
\(m\)	m	De richtingscoëfficiënt (veranderingssnelheid): hoeveel y toeneemt als x met 1 toeneemt. Op deze pagina heet die \(m\); in Nederlandse schoolboeken meestal \(a\).
\(b\)	b	Het snijpunt met de y-as: de waarde van y als x = 0, dat is de hoogte waarop de grafiek de y-as snijdt.
\(x_1,\ y_1\)	x één, y één	De coördinaten van punt 1. Het kleine getal rechtsonder heet een index; het geeft aan “welk punt” (het is geen vermenigvuldiging of exponent).
\(\Delta\)	delta	De Griekse hoofdletter delta, de Griekse D, van “difference” (verschil). Die staat voor “verandering”. \(\Delta x\) is de verandering van x en \(\Delta y\) is de verandering van y.
\(\left(-\dfrac{b}{m},\ 0\right)\)	min b gedeeld door m, nul	Het punt waar de lijn de x-as snijdt. De y-coördinaat is 0 en de x-coördinaat is \(-\dfrac{b}{m}\), de oplossing van de vergelijking \(mx + b = 0\).
\((0,\ b)\)	nul, b	Het punt waar de lijn de y-as snijdt. De x-coördinaat is 0 en de y-coördinaat is het snijpunt met de y-as \(b\) zelf.

Begrippen

lineaire functie (lineair verband)	Een functie van de vorm \(y = mx + b\). De grafiek is een rechte lijn. Het woord “lineair” zegt dat x alleen in de eerste macht voorkomt. Je leert dit in de onderbouw (klas 2, 13-14 jaar).
functie	Een regel die voor elk getal dat je invoert precies één getal teruggeeft. Zie het als een machine: stop \(x\) erin en er komt \(y\) uit. Stop je bijvoorbeeld 3 in de machine \(y = 2x + 1\), dan komt er 7 uit.
richtingscoëfficiënt (helling)	Een getal dat aangeeft “hoeveel de lijn stijgt of daalt bij elke 1 naar rechts” (stijging gedeeld door horizontale afstand). Een positieve richtingscoëfficiënt stijgt van links naar rechts, een negatieve daalt en een richtingscoëfficiënt van 0 geeft een horizontale lijn.
veranderingssnelheid	De verandering van y gedeeld door de verandering van x, \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Bij een lineaire functie is die overal hetzelfde en gelijk aan de richtingscoëfficiënt \(m\).
snijpunt met de y-as (startgetal)	De y-coördinaat van het punt waar de grafiek de y-as snijdt (de waarde van y als x = 0). Bij de lineaire functie \(y = mx + b\) is dat \(b\). (Het snijpunt met de x-as is waar de grafiek de x-as snijdt.)
recht evenredig (recht evenredig verband)	Een verband van de vorm \(y = kx\). Verdubbelt of verdrievoudigt x, dan verdubbelt of verdrievoudigt y ook. Het is de bijzondere lineaire functie waarvan het snijpunt met de y-as \(b\) 0 is (de lijn gaat door de oorsprong). Je leert het in de onderbouw (klas 1-2, 12-14 jaar).
coördinaten	Een paar getallen \((x;\ y)\) dat de plaats van een punt geeft. De horizontale positie is de x-coördinaat en de verticale positie is de y-coördinaat.
assenstelsel (coördinatenstelsel)	Een vlak dat ontstaat als een horizontale getallenlijn (de x-as) en een verticale getallenlijn (de y-as) elkaar haaks snijden. Het is het raster waarop je grafieken tekent.
oorsprong	Het punt \((0;\ 0)\) waar de x-as en de y-as elkaar snijden. Het wordt geschreven als \(O\).
snijpunt	Het punt waar twee lijnen elkaar snijden. Op deze pagina vind je de punten waar een lijn de x-as en de y-as snijdt.
verandering van y	Hoeveel een waarde is toegenomen, berekend als “daarna − daarvoor” (de verandering van x vind je op dezelfde manier). Is de waarde gedaald, dan is de verandering negatief.
constante	Een vast getal dat niet verandert. In een vergelijking als “x = 2” is de 2 een constante, en de vergelijking staat voor de verticale lijn waarvan de x-coördinaat altijd 2 is.
constante functie	Een functie waarvan de y-waarde altijd hetzelfde is, wat x ook is. De vergelijking heeft de vorm \(y = b\) en de grafiek is een horizontale lijn evenwijdig aan de x-as. Het is \(y = mx + b\) met \(m = 0\); sommige boeken rekenen het tot de lineaire functies en andere niet.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Als je vastloopt, is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Positieve en negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar)	Kunnen aftrekken met negatieve getallen (voorbeeld: \(3 - (-1) = 4\)) De tekenregels kennen voor vermenigvuldigen en delen met negatieve en positieve getallen (voorbeeld: \((-3) \times 2 = -6\))
Het assenstelsel (groep 7-8, 10-12 jaar)	De plaats van een punt kunnen schrijven als een paar \((x;\ y)\) (voorbeeld: het punt \((2;\ 3)\) is “2 naar rechts en 3 omhoog”) Weten waar de x-as, de y-as en de oorsprong liggen
Recht evenredige verbanden (klas 1-2, 12-14 jaar)	Weten dat de grafiek van een recht evenredig verband \(y = kx\) een lijn door de oorsprong is Weten dat de constante \(k\) aangeeft “hoeveel y toeneemt als x met 1 toeneemt”
Formules en vergelijkingen (klas 1-3, 12-15 jaar)	Getallen kunnen invullen in een formule zoals \(y_1 = m x_1 + b\) Een lineaire vergelijking kunnen oplossen, zoals \(0 = 2x - 6\) (nodig om te vinden waar de lijn de x-as snijdt)
Rekenen met breuken (groep 6-8, 9-12 jaar)	Breuken kunnen vereenvoudigen, zoals \(\dfrac{6}{3} = 2\) Het prettig vinden om antwoorden als breuk te laten staan (en \(\dfrac{3}{2}\) kunnen omzetten in 1,5)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor het opstellen van de vergelijking van een lijn uit twee punten

x-coördinaat punt 1, x1	1
y-coördinaat punt 1, y1	3
x-coördinaat punt 2, x2	4
y-coördinaat punt 2, y2	9
Richtingscoëfficiënt m (veranderingssnelheid)	=(B4-B2)/(B3-B1)
Snijpunt met de y-as b	=B2-B5*B1
Snijpunt met de x-as (x waar de lijn de x-as snijdt)	=-B6/B5

Tabel voor het opstellen van de vergelijking van een lijn uit de richtingscoëfficiënt en één punt

Richtingscoëfficiënt m	2
x-coördinaat van het punt, x1	3
y-coördinaat van het punt, y1	7
Snijpunt met de y-as b	=B3-B1*B2
x waarvoor je y zoekt	5
Waarde van y bij die x	=B1*B5+B4

Tabel voor het berekenen van waar de lijn de x-as en de y-as snijdt

Richtingscoëfficiënt m	2
Snijpunt met de y-as b	1
Snijpunt met de x-as (x waar de lijn de x-as snijdt)	=-B2/B1
y waar de lijn de y-as snijdt	=B2

Na het plakken zijn de bovenste rijen (coördinaten en richtingscoëfficiënt) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
De eerste tabel vindt de vergelijking uit de twee punten (1; 3) en (4; 9): de richtingscoëfficiënt m is 2, het snijpunt met de y-as b is 1 (de vergelijking van de lijn is y = 2x + 1) en het snijpunt met de x-as is −0,5. “/” is delen en “*” is vermenigvuldigen.
De tweede tabel werkt vanuit de richtingscoëfficiënt 2 en het punt (3; 7): het snijpunt met de y-as b is 1 en y is 11 als x = 5.
De derde tabel vindt alleen waar de lijn de assen snijdt, uit de vergelijking (richtingscoëfficiënt en snijpunt met de y-as). Hebben de twee punten dezelfde x-coördinaat, dan is de deler 0 en verschijnt een fout (#DEEL/0!). Dat komt overeen met het feit dat de richtingscoëfficiënt niet gedefinieerd is (de lijn is geen lineaire functie).

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor het opstellen van de vergelijking van een lijn uit twee punten

x-coördinaat punt 1, x1	1
y-coördinaat punt 1, y1	3
x-coördinaat punt 2, x2	4
y-coördinaat punt 2, y2	9
Richtingscoëfficiënt m (veranderingssnelheid)	=(B4-B2)/(B3-B1)
Snijpunt met de y-as b	=B2-B5*B1
Snijpunt met de x-as (x waar de lijn de x-as snijdt)	=-B6/B5

Tabel voor het opstellen van de vergelijking van een lijn uit de richtingscoëfficiënt en één punt

Richtingscoëfficiënt m	2
x-coördinaat van het punt, x1	3
y-coördinaat van het punt, y1	7
Snijpunt met de y-as b	=B3-B1*B2
x waarvoor je y zoekt	5
Waarde van y bij die x	=B1*B5+B4

Tabel voor het berekenen van waar de lijn de x-as en de y-as snijdt

Richtingscoëfficiënt m	2
Snijpunt met de y-as b	1
Snijpunt met de x-as (x waar de lijn de x-as snijdt)	=-B2/B1
y waar de lijn de y-as snijdt	=B2

Dezelfde formules als in Excel werken ongewijzigd. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de coördinaten en de richtingscoëfficiënt door je eigen getallen.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction

# Coördinaten van de twee punten (een breuk zoals 3/4 schrijf je als Fraction(3, 4))
x1, y1 = Fraction(1), Fraction(3)
x2, y2 = Fraction(4), Fraction(9)

slope = (y2 - y1) / (x2 - x1)   # richtingscoëfficiënt m (veranderingssnelheid) = Δy ÷ Δx
intercept = y1 - slope * x1     # snijpunt met de y-as b = y1 − m×x1

print(f"Richtingscoëfficiënt m = {slope}")
print(f"Snijpunt met de y-as b = {intercept}")
print(f"Vergelijking van de lijn: y = {slope}x + {intercept}")
if slope != 0:
    print(f"Snijdt de x-as in: ({-intercept / slope}, 0)")
print(f"Snijdt de y-as in: (0, {intercept})")

x_value = Fraction(5)           # de x waarvoor je y zoekt
print(f"Als x = {x_value}, is y = {slope * x_value + intercept}")

Met de module fractions uit de standaardbibliotheek reken je met exacte breuken en zonder afrondingsfouten van decimale getallen. Dit voorbeeld stelt de vergelijking op uit de twee punten (1; 3) en (4; 9). Uitvoeren geeft de richtingscoëfficiënt 2 en het snijpunt met de y-as 1 (y = 2x + 1), het snijpunt met de x-as (-1/2, 0) en y = 11 als x = 5. Pas de coördinaten aan en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Vergelijking van een lineaire functie \(y = mx + b\) (met de richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de y-as)

y = mx + b

y = mx + b

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi><mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
  </mrow>
</math>

y = m x + b

y == m x + b

y := m*x + b;

y = m*x + b;

y = mx + b

De richtingscoëfficiënt \(m\) (veranderingssnelheid) berekenen uit twee punten

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

(y2 - y1)/(x2 - x1)

m := (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

Het snijpunt met de y-as \(b\) berekenen uit de richtingscoëfficiënt en één punt

b = y₁ − mx₁

b = y_1 - m x_1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>m</mi>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
  </mrow>
</math>

b = y_1 - m x_1

y1 - m x1

b := y1 - m*x1;

b = y1 - m*x1;

b = y_1 - m x_1

Waar de lijn de x-as en de y-as snijdt (de snijpunten met de assen)

x = −b ÷ m

x = -\frac{b}{m}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>m</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -b/m

-b/m

x := -b/m;

x = -b/m;

x = −b/m

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor lineaire functies. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef dus geen antwoord uit je hoofd of op gevoel).

Stel de vergelijking y = mx + b op van de lijn door de twee punten (1; 3) en (4; 9).
Laat het volgende zien:
1. De richtingscoëfficiënt m (veranderingssnelheid), met de stappen van Δy/Δx
2. Het snijpunt met de y-as, b
3. De vergelijking van de lijn y = mx + b
4. De coördinaten van de punten waar de lijn de x-as en de y-as snijdt
5. De waarde van y als x = 5

Gebruik in Python de module fractions uit de standaardbibliotheek om exact te rekenen, en laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering. Is een antwoord een breuk, geef die dan zo ver mogelijk vereenvoudigd.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule