Vul de eerste term a₁, de coëfficiënt p en de constante q van de recursieve formule a(n+1) = p·a(n) + q in. De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de getallen ook direct in de formule aanpassen.
Vul alleen getallen in. Decimale getallen, negatieve getallen en breuken zoals 1/2 mogen. Laat je “Nummer van de term n” leeg, dan telt dat als 10.
Resultaat en grafiek
Vul links de eerste term en de coëfficiënten in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een grafiek.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en grafieken
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vind ter plekke de directe formule van de recursieve formule van de eerste orde \(a_{n+1} = p a_n + q\) (met eerste term \(a_1\)), met stappen waarin de karakteristieke vergelijking de formule omzet in een meetkundige rij
- De antwoorden zijn exacte breuken in de eenvoudigste vorm, zoals \(\dfrac{381}{64}\). De bijzondere gevallen \(p = 1\) (rekenkundige rij) en \(q = 0\) (meetkundige rij) worden automatisch afgehandeld
- Je ziet ook de waarde van de term op de plaats \(n\) die je kiest (de \(n\)-de term), plus een tabel en grafiek van de termen 1 tot en met 10. Als de rij convergeert, krijg je ook de waarde waar hij naartoe gaat (de limiet, die gelijk is aan de evenwichtswaarde)
- De eerste term en de coëfficiënten mogen decimale getallen, negatieve getallen of breuken zoals 1/2 zijn
- De rekenmachine toont de recursieve formule zoals je die met de hand zou schrijven, en je kunt de getallen er direct in aanpassen
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Deze pagina behandelt de recursieve formule van de eerste orde \(a_{n+1} = p a_n + q\) (\(p\) en \(q\) zijn constanten). Vormen waarin \(n\) voorkomt, zoals \(a_{n+1} = a_n + n\), en recursieve formules van de tweede orde waarin \(a_{n+2}\) voorkomt, worden niet behandeld.
Waarvoor is deze berekening handig?
Volgen hoe een leensaldo elke maand daalt (geld en levensplanning)
Bij een lening waarover elke maand rente wordt berekend en die elke maand met een vast bedrag wordt afgelost, beweegt het saldo precies volgens de recursieve formule van de eerste orde “saldo volgende maand = (1 + rente per maand) × saldo deze maand − betaling per maand”.
Bij een rente van 0,5% per maand en een betaling van € 1.500 per maand is de evenwichtswaarde bijvoorbeeld 1500 ÷ 0,005 = € 300.000. Dat is het leenbedrag waarbij rente en betalingen elkaar precies in evenwicht houden en het saldo niet meer beweegt. Ligt het saldo eronder, dan daalt het bij elke betaling zeker (dit saldo-idee is de basis van een aflossingsplan).
Schatten waar de hoeveelheid van een dagelijks medicijn op uitkomt (geneeskunde en farmacie)
Het lichaam breekt een medicijn in de loop van de tijd met een vaste snelheid af en scheidt het uit. In een model waarin “na een dag nog 50% van het medicijn in het lichaam zit en je elke dag 200 mg inneemt”, volgt de hoeveelheid in het lichaam de recursieve formule \(a_{n+1} = 0{,}5a_n + 200\) en convergeert ze naar de evenwichtswaarde 200 ÷ (1 − 0,5) = 400 mg.
Deze formule laat zien dat het, ook als je het elke dag blijft innemen, zich niet eindeloos opstapelt maar uitkomt op een vast niveau. Bij het echte ontwerp van geneesmiddelen worden doses en tussenpozen vastgesteld met farmacokinetische modellen die dit soort berekeningen nauwkeuriger maken.
Waar het ledenaantal van een abonnement afvlakt (bedrijfsleven)
Bij een dienst waarbij “90% van de leden elke maand blijft en 1.000 nieuwe mensen zich aanmelden”, volgt het ledenaantal de recursieve formule \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 1000\) en convergeert het naar de evenwichtswaarde 1000 ÷ (1 − 0,9) = 10.000 mensen.
Blijven aanmeldingen en opzeggingspercentage gelijk, dan vlakt het ledenaantal dus af bij ongeveer 10.000. Dit is een basismodel in bedrijfsplanning om het plafond van de groei te schatten en hoeveel hoger dat plafond komt als je het opzeggingspercentage verlaagt (een ruwe richtlijn die ervan uitgaat dat het percentage dat blijft en de aanmeldingen constant blijven).
Hoe een kamer opwarmt als de verwarming aan staat (wonen en natuurkunde)
Als je een koude kamer verwarmt, krimpt het verschil tussen de kamertemperatuur en de ingestelde temperatuur van de thermostaat elke minuut met een vast percentage. Als “het verschil tussen de kamertemperatuur en de ingestelde 20 °C elke minuut met 10% krimpt”, volgt de kamertemperatuur bijvoorbeeld de recursieve formule \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 2\) en convergeert ze naar de evenwichtswaarde 2 ÷ 0,1 = 20 °C, de ingestelde temperatuur.
“Eerst warmt het snel op, en daarna langzamer als het de ingestelde temperatuur nadert” is precies hoe convergeren er bij deze recursieve formule uitziet (in de natuurkunde is het een minuut-voor-minuutversie van de afkoelingswet van Newton).
De groei van een spaarplan als formule opschrijven (geld en vermogen opbouwen)
Het saldo van een spaarplan waarbij “aan het eind van elke maand rente wordt bijgeschreven en je ook elke maand een vast bedrag inlegt” volgt hetzelfde soort recursieve formule: “saldo volgende maand = (1 + rente per maand) × saldo deze maand + inleg”. Hier is de factor echter groter dan 1, dus het convergeert niet en het saldo blijft groeien (een voorbeeld dat divergeert).
Als je de directe formule vindt, kun je “het saldo na n maanden” in één stap uitrekenen. Het is hetzelfde als de formule voor de toekomstige waarde van een annuïteit die in de financiële wereld wordt gebruikt. Schattingen van hoeveel je gaat sparen worden gemaakt met de directe formule van deze recursieve formule.
Formules en grafieken
Recursieve formule van de eerste orde
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(a_{n+1}\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\(a_n\)
\(+\)
\(q\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(a_{n+1}\): volgende term
\(=\)
②
\(p\): factor
\(\times\)
①
\(a_n\): huidige term
\(+\)
③
\(q\): getal dat erbij komt
De formule in woorden
①
Neem de
\(a_n\): huidige term
, vermenigvuldig die met de
②
\(p\): factor
, tel er het
③
\(q\): getal dat erbij komt
bij op,
④
en je krijgt de
\(a_{n+1}\): volgende term
Een eenvoudig voorbeeld
Met eerste term \(a_1 = 1\) en de recursieve formule \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (verdubbel de huidige term en tel er 3 bij op) begint de rij zo
volgende term
\(=\)
2
\(\times\)
huidige term
\(+\)
3
\(a_2 = 2 \times 1 + 3 = 5\)
\(a_3 = 2 \times 5 + 3 = 13\)
\(a_4 = 2 \times 13 + 3 = 29\)
Het belangrijkste idee
Een recursieve formule is een regel die uit de huidige term de volgende term maakt. Met de eerste term \(a_1\) en de regel volgt de hele rij \(a_2\), \(a_3\), … in volgorde.
Maar om op deze manier term 100 te vinden, moet je 99 keer rekenen. Daarom willen we de directe formule, een formule die de \(n\)-de term rechtstreeks uit \(n\) geeft. Het gereedschap om die te vinden is de karakteristieke vergelijking, die hierna wordt uitgelegd.
De karakteristieke vergelijking en de evenwichtswaarde
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(c\)
\(=\)
\(q\)
\(\div\)
\(1 - p\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(c\): evenwichtswaarde
\(=\)
①
\(q\): getal dat erbij komt
\(\div\)
②
\(1 - p\): 1 min de factor \(p\)
De formule in woorden
①
Vervang in de recursieve formule zowel \(a_{n+1}\) als \(a_n\) door \(x\) en los de vergelijking \(x = px + q\) op (de karakteristieke vergelijking). Deel het
\(q\): getal dat erbij komt
door
②
\(1 - p\): 1 min de factor \(p\)
,
③
en je krijgt de
\(c\): evenwichtswaarde
Een eenvoudig voorbeeld
De karakteristieke vergelijking van de recursieve formule \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) is \(x = 2x + 3\). Los je die op, dan krijg je
\(c\): evenwichtswaarde
\(=\)
getal dat erbij komt (3)
\(\div\)
\(1 - 2\)
\(x = 2x + 3\)
\(x - 2x = 3\)
\(-x = 3\)
\(x = -3\)
\(c = \dfrac{3}{1-2} = -3\)
Het belangrijkste idee
De oplossing \(c\) van de karakteristieke vergelijking \(x = px + q\) is een bijzondere waarde: is een term ooit gelijk aan \(c\), dan is de volgende term precies dezelfde waarde (er geldt immers \(c = pc + q\), dus na \(c\) blijft de rij op \(c\) staan). Daarom heet de evenwichtswaarde ook wel het vaste punt van de rij.
Je kunt de vergelijking oplossen door termen te verplaatsen, of gewoon de formule \(c = \dfrac{q}{1-p}\) gebruiken. Omdat de noemer \(1 - p\) is, werkt de karakteristieke vergelijking alleen niet bij \(p = 1\) (dat geval is een rekenkundige rij, die in een aparte formulekaart hieronder staat).
Herschrijven met de evenwichtswaarde (een meetkundige rij maken)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(a_{n+1} - c\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\((a_n - c)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(a_{n+1} - c\): verschil tussen de volgende term en de evenwichtswaarde
\(=\)
②
\(p\): factor
\(\times\)
①
\(a_n - c\): verschil tussen de huidige term en de evenwichtswaarde
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig het
\(a_n - c\): verschil tussen de huidige term en de evenwichtswaarde
met de
②
\(p\): factor
,
③
en je krijgt het
\(a_{n+1} - c\): verschil tussen de volgende term en de evenwichtswaarde
(kijk je alleen naar de verschillen, dan vormen die een meetkundige rij met reden \(p\))
Een eenvoudig voorbeeld
Herschrijf je de recursieve formule \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (evenwichtswaarde \(c = -3\)), dan krijg je
volgende term \(+\,3\)
\(=\)
2
\(\times\)
huidige term \(+\,3\)
\(a_{n+1} + 3 = 2\left(a_n + 3\right)\)
\(a_1 + 3 = 4,\quad a_2 + 3 = 8,\quad a_3 + 3 = 16\)
Het belangrijkste idee
Trek de karakteristieke vergelijking \(c = pc + q\) links en rechts af van de recursieve formule \(a_{n+1} = p a_n + q\) (linkerkant min linkerkant, rechterkant min rechterkant). Het getal dat erbij komt, \(q\), valt weg en er blijft alleen \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\) over.
De rij van verschillen \(\{a_n - c\}\), elke term min de evenwichtswaarde \(c\), is dus een meetkundige rij die elke keer gewoon met \(p\) vermenigvuldigt. Het doel van dit herschrijven is om een lastige recursieve formule met een optelling erin om te zetten in een bekende meetkundige rij.
In het voorbeeld is \(c = -3\), dus het verschil is \(a_n - (-3) = a_n + 3\), en dat gaat \(4,\ 8,\ 16,\ \dots\), elke keer verdubbelend, zoals verwacht.
Directe formule (geval met de karakteristieke vergelijking)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(a_n\)
\(=\)
\((a_1 - c)\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
\(+\)
\(c\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(a_n\): \(n\)-de term (directe formule)
\(=\)
①
\(a_1 - c\): verschil tussen de eerste term en de evenwichtswaarde
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\): de factor \(p\), \(n-1\) keer vermenigvuldigd
\(+\)
③
\(c\): evenwichtswaarde
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig het
\(a_1 - c\): verschil tussen de eerste term en de evenwichtswaarde
met
②
\(p^{n-1}\): de factor \(p\), \(n-1\) keer vermenigvuldigd
, tel er weer de
③
\(c\): evenwichtswaarde
bij op,
④
en je krijgt de
\(a_n\): \(n\)-de term (directe formule)
Een eenvoudig voorbeeld
Met eerste term \(a_1 = 1\) en de recursieve formule \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (evenwichtswaarde \(c = -3\)) is de directe formule
\(n\)-de term
\(=\)
verschil \(1 - (-3) = 4\)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(+\)
evenwichtswaarde \(-3\)
\(a_n = \left(1 - (-3)\right) \times 2^{n-1} + (-3) = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\)
\(a_1 = 4 \times 1 - 3 = 1,\quad a_2 = 4 \times 2 - 3 = 5,\quad a_3 = 4 \times 4 - 3 = 13\)
Het belangrijkste idee
De meetkundige rij \(\{a_n - c\}\) uit het herschrijven heeft eerste term \(a_1 - c\) en reden \(p\), dus met de directe formule voor meetkundige rijen geldt \(a_n - c = (a_1 - c)p^{n-1}\). Tel ten slotte de \(c\) die je had afgetrokken weer op (breng hem naar de andere kant), en je krijgt deze directe formule.
Als \(|p| < 1\) (\(p\) ligt tussen \(-1\) en \(1\)), komt \(p^{n-1}\) steeds dichter bij 0 naarmate \(n\) groeit, dus \(a_n\) komt steeds dichter bij de evenwichtswaarde \(c\) (de rij convergeert). Als de rij convergeert, toont deze rekenmachine \(c\) als de limiet.
Het geval \(p = 1\) (rekenkundige rij)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(+\)
\((n-1)q\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(a_n\): \(n\)-de term (directe formule)
\(=\)
①
\(a_1\): eerste term
\(+\)
②
\((n-1)q\): het verschil \(q\), \(n-1\) keer opgeteld
De formule in woorden
①
Als \(p = 1\), is de recursieve formule \(a_{n+1} = a_n + q\) (je telt er elke keer gewoon \(q\) bij op). Voeg dus bij de
\(a_1\): eerste term
het
②
\((n-1)q\): het verschil \(q\), \(n-1\) keer opgeteld
toe,
③
en je krijgt de
\(a_n\): \(n\)-de term (directe formule)
Een eenvoudig voorbeeld
Met eerste term \(a_1 = 5\) en de recursieve formule \(a_{n+1} = a_n + 3\) (een rekenkundige rij met verschil 3) zijn de directe formule en term 4
\(n\)-de term
\(=\)
eerste term (5)
\(+\)
\(3\), \(n-1\) keer opgeteld
\(a_n = 5 + (n-1) \times 3 = 3n + 2\)
\(a_4 = 3 \times 4 + 2 = 14\)
Het belangrijkste idee
Bij \(p = 1\) wordt de noemer \(1 - p\) in de karakteristieke vergelijking gelijk aan 0, dus de evenwichtswaarde kun je niet gebruiken. In plaats daarvan telt de recursieve formule elke keer gewoon hetzelfde getal \(q\) op, dus de rij is simpelweg een rekenkundige rij met verschil \(q\).
Van term 1 tot term \(n\) tel je \(q\) zo vaak op als er stappen tussen de termen zijn: \(n-1\) keer (van term 1 tot term 4 is 3 keer; het als \(n\) keer rekenen is een veelgemaakte fout).
Het geval \(q = 0\) (meetkundige rij)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(a_n\): \(n\)-de term (directe formule)
\(=\)
①
\(a_1\): eerste term
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\): de reden \(p\), \(n-1\) keer vermenigvuldigd
De formule in woorden
①
Als \(q = 0\), is de recursieve formule \(a_{n+1} = p a_n\) (je vermenigvuldigt er elke keer gewoon met \(p\)). Vermenigvuldig dus de
\(a_1\): eerste term
met
②
\(p^{n-1}\): de reden \(p\), \(n-1\) keer vermenigvuldigd
,
③
en je krijgt de
\(a_n\): \(n\)-de term (directe formule)
Een eenvoudig voorbeeld
Met eerste term \(a_1 = 3\) en de recursieve formule \(a_{n+1} = 2a_n\) (een meetkundige rij met reden 2) zijn de directe formule en term 4
\(n\)-de term
\(=\)
eerste term (3)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(a_n = 3 \times 2^{n-1}\)
\(a_4 = 3 \times 2^{3} = 3 \times 8 = 24\)
Het belangrijkste idee
Bij \(q = 0\) vermenigvuldigt de recursieve formule elke keer gewoon met hetzelfde getal \(p\), dus de rij is simpelweg een meetkundige rij met reden \(p\). Om dezelfde reden als bij de rekenkundige rij vermenigvuldig je \(n-1\) keer.
Als je in de directe formule van het geval met de karakteristieke vergelijking \(q = 0\) neemt, is de evenwichtswaarde \(c = 0\) en geldt \(a_n = (a_1 - 0)p^{n-1} + 0 = a_1 p^{n-1}\). Deze formule is dus een bijzonder geval van die formule.
Bij de recursieve formule van de eerste orde \(a_{n+1} = p a_n + q\) gebruik je de oplossing van de karakteristieke vergelijking \(x = px + q\) (de evenwichtswaarde \(c = \dfrac{q}{1-p}\)) om haar te herschrijven als \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\). De rij van verschillen \(\{a_n - c\}\) is dan meetkundig met reden \(p\), en dat geeft de directe formule \(a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c\). Is \(p = 1\), dan is het een rekenkundige rij; is \(q = 0\), dan is het een meetkundige rij.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(a_n\) | a n | De \(n\)-de term van de rij, geteld vanaf het begin. De letter \(a\) wordt vaak voor rijen gebruikt (omdat het de eerste letter van het alfabet is). In Nederlandse schoolboeken schrijven ze een term vaak als \(u_n\). Het kleine getal \(n\) rechtsonder (de index) zegt welke plaats het is. |
| \(a_{n+1}\) | a n plus 1 | De term direct na de \(n\)-de term, dus term \(n+1\). In een recursieve formule speelt hij de rol van “de volgende term na de huidige term \(a_n\)”. |
| \(a_1\) | a 1 | De eerste term van de rij. Een recursieve formule is een regel die uit de huidige term de volgende maakt, dus de rij ligt pas vast als het beginpunt, de eerste term, bekend is. |
| \(n\) | n | Het nummer van een term (de hoeveelste vanaf het begin). Gewoonlijk heet het \(n\), van “nummer”. Het neemt de waarden 1, 2, 3, … aan (natuurlijke getallen). |
| \(p\) | p | De constante waarmee je de huidige term \(a_n\) vermenigvuldigt. Ze speelt de rol van de reden van een meetkundige rij. Ligt ze tussen \(-1\) en \(1\), dan convergeert de rij naar de evenwichtswaarde. |
| \(q\) | q | De constante die je na het vermenigvuldigen optelt. Ze speelt de rol van het verschil van een rekenkundige rij. Gewoonlijk gebruik je \(q\) als de letter na \(p\). |
| \(c\) | c | De oplossing van de karakteristieke vergelijking \(x = px + q\) (de evenwichtswaarde). De letter \(c\) komt van “constante”. Het is een bijzondere waarde: is een term eenmaal gelijk aan \(c\), dan blijft de volgende term hetzelfde. Het is ook waar een convergerende rij eindigt. |
| \(\{a_n\}\) | de rij a n | Een manier om de hele rij van de termen \(a_n\) op te schrijven. De accolades zeggen “alles van \(a_1, a_2, a_3, \dots\) samen”. |
| \(p^{n-1}\) | p tot de macht n min 1 | \(p\) met zichzelf \(n-1\) keer vermenigvuldigd (een macht). Het kleine getal rechtsboven (de exponent) zegt hoe vaak je vermenigvuldigt. Van term 1 tot term \(n\) vermenigvuldig je \(n-1\) keer met de reden, en daarom komt deze vorm in de directe formule voor. |
| \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\) | de limiet van a n als n naar oneindig gaat | De waarde waar \(a_n\) naartoe gaat als \(n\) onbeperkt groeit (de limiet). \(\lim\) zijn de eerste drie letters van “limiet”. Deze rekenmachine toont de limiet als de rij convergeert. |
Begrippen
| rij | Getallen die in volgorde achter elkaar staan. Elk getal heet een term, en de termen krijgen een nummer, zoals in \(a_1, a_2, a_3, \dots\). |
| term | Elk afzonderlijk getal in een rij. Degene op plaats \(n\) vanaf het begin heet de \(n\)-de term. |
| eerste term | De eerste term \(a_1\) van een rij. Het is het beginpunt als een recursieve formule een rij vastlegt. |
| recursieve formule | Een formule voor de regel die uit de huidige term de volgende term maakt. \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) is bijvoorbeeld de regel “de volgende term is de huidige term verdubbeld, plus 3”. Samen met de eerste term legt ze de hele rij vast. |
| recursieve formule van de eerste orde | Een recursieve formule met alleen twee naburige termen (\(a_n\) en \(a_{n+1}\)). De \(a_{n+1} = p a_n + q\) op deze pagina is de typische vorm. Een formule met drie termen \(a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2}\) heet een recursieve formule van de tweede orde en los je op een andere manier op. |
| directe formule | De \(n\)-de term rechtstreeks als formule in \(n\) opgeschreven. Heb je bijvoorbeeld \(a_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\), dan kost zelfs term 100 maar één stap: vul gewoon \(n = 100\) in. |
| rekenkundige rij | Een rij waarbij het verschil tussen naburige termen altijd hetzelfde is (je telt elke keer hetzelfde getal op). \(5, 8, 11, 14, \dots\) is een rekenkundige rij met verschil 3. Bij de recursieve formule is het het geval \(p = 1\). |
| verschil | Het vaste getal dat een rekenkundige rij elke keer optelt. In de recursieve formule op deze pagina speelt \(q\) deze rol als \(p = 1\). |
| meetkundige rij | Een rij waarbij de verhouding tussen naburige termen altijd hetzelfde is (je vermenigvuldigt elke keer met hetzelfde getal). \(3, 6, 12, 24, \dots\) is een meetkundige rij met reden 2. Bij de recursieve formule is het het geval \(q = 0\). |
| reden | Het vaste getal waarmee een meetkundige rij elke keer vermenigvuldigt. In de recursieve formule op deze pagina speelt \(p\) deze rol. |
| karakteristieke vergelijking | De vergelijking \(x = px + q\) die je krijgt als je zowel \(a_{n+1}\) als \(a_n\) in de recursieve formule door dezelfde letter \(x\) vervangt (ze heet ook evenwichtsvergelijking). Met haar oplossing (de evenwichtswaarde) kun je de recursieve formule herschrijven als een meetkundige rij. |
| evenwichtswaarde | De oplossing \(c = \dfrac{q}{1-p}\) van de karakteristieke vergelijking. Het is het punt waar de rij niet meer beweegt: is een term eenmaal gelijk aan deze waarde, dan blijft de volgende term hetzelfde. Als de rij convergeert, is het ook waar de rij eindigt (de limiet). |
| vast punt | Een waarde die niet verandert als je de regel toepast. Bij een recursieve formule is de evenwichtswaarde \(c\) het vaste punt, want \(c = pc + q\). In de wiskunde aan hbo en universiteit worden recursieve formules en herhaalde functies vanuit dit gezichtspunt bestudeerd. |
| convergeren | Als \(n\) groeit, komen de termen steeds dichter bij één vaste waarde. Deze recursieve formule convergeert naar de evenwichtswaarde \(c\) als \(|p| < 1\) (\(p\) ligt tussen \(-1\) en \(1\)). |
| limiet | De waarde waar een convergerende rij naartoe gaat. Je schrijft haar als \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\). Limieten worden diepgaand bestudeerd in de analyse, maar het idee “het eindpunt waar de termen steeds dichter naartoe gaan” is hier genoeg. |
| divergeren | Niet convergeren. Dat geldt voor termen die onbeperkt groeien (of onbeperkt dalen) en voor termen die heen en weer springen zonder op één waarde uit te komen. Deze recursieve formule divergeert als \(|p| > 1\), tenzij ze precies bij de evenwichtswaarde begint. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina te gebruiken met echt begrip, en niet alleen door op de knop te drukken.
Loop je vast, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.
| Wat een rij is (havo/vwo-bovenbouw, 15-17 jaar) |
|
| Rekenkundige en meetkundige rijen (havo/vwo-bovenbouw, 15-17 jaar) |
|
| Lineaire vergelijkingen oplossen (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Machten en exponenten (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Rekenen met breuken (groep 6-8 tot en met klas 1, 9-13 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de n-de term te vinden met de directe formule (geval met de karakteristieke vergelijking)
| Eerste term a1 | 1 |
| Coëfficiënt p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Nummer van de term n | 10 |
| Evenwichtswaarde c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Verschil tussen eerste term en c, a1−c | =B1-B5 |
| n-de term (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tabel die de recursieve formule stap voor stap volgt (termen 1 tot en met 10)
| Coëfficiënt p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Term 1, a1 | 1 |
| Term 2 | =B1*B3+B2 |
| Term 3 | =B1*B4+B2 |
| Term 4 | =B1*B5+B2 |
| Term 5 | =B1*B6+B2 |
| Term 6 | =B1*B7+B2 |
| Term 7 | =B1*B8+B2 |
| Term 8 | =B1*B9+B2 |
| Term 9 | =B1*B10+B2 |
| Term 10 | =B1*B11+B2 |
Tabel om de n-de term te vinden als p = 1 (rekenkundige rij)
| Eerste term a1 | 5 |
| Verschil q | 3 |
| Nummer van de term n | 4 |
| n-de term a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabel om de n-de term te vinden als q = 0 (meetkundige rij)
| Eerste term a1 | 3 |
| Reden p | 2 |
| Nummer van de term n | 4 |
| n-de term a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Na het plakken zijn de bovenste rijen (eerste term en coëfficiënten) de invoer en laten de onderste rijen de berekende resultaten zien. “^” is een macht en “*” is vermenigvuldigen.
De eerste tabel gebruikt de directe formule om term 10 te vinden van de rij met eerste term 1 en recursieve formule a(n+1) = 2a(n) + 3. De evenwichtswaarde c is −3 en het antwoord is 2045. De formules in deze tabel werken niet als p = 1 (1−p wordt 0 en je zou door 0 delen). Gebruik in dat geval de derde tabel.
De tweede tabel rekent dezelfde rij stap voor stap uit, precies zoals de recursieve formule zegt, zodat je kunt controleren dat term 10 gelijk is aan 2045, net als in de eerste tabel.
De derde tabel is een voorbeeld van het rekenkundige geval (eerste term 5, verschil 3, term 4 = 14) en de vierde tabel is een voorbeeld van het meetkundige geval (eerste term 3, reden 2, term 4 = 24).
De eerste tabel gebruikt de directe formule om term 10 te vinden van de rij met eerste term 1 en recursieve formule a(n+1) = 2a(n) + 3. De evenwichtswaarde c is −3 en het antwoord is 2045. De formules in deze tabel werken niet als p = 1 (1−p wordt 0 en je zou door 0 delen). Gebruik in dat geval de derde tabel.
De tweede tabel rekent dezelfde rij stap voor stap uit, precies zoals de recursieve formule zegt, zodat je kunt controleren dat term 10 gelijk is aan 2045, net als in de eerste tabel.
De derde tabel is een voorbeeld van het rekenkundige geval (eerste term 5, verschil 3, term 4 = 14) en de vierde tabel is een voorbeeld van het meetkundige geval (eerste term 3, reden 2, term 4 = 24).
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de n-de term te vinden met de directe formule (geval met de karakteristieke vergelijking)
| Eerste term a1 | 1 |
| Coëfficiënt p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Nummer van de term n | 10 |
| Evenwichtswaarde c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Verschil tussen eerste term en c, a1−c | =B1-B5 |
| n-de term (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tabel die de recursieve formule stap voor stap volgt (termen 1 tot en met 10)
| Coëfficiënt p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Term 1, a1 | 1 |
| Term 2 | =B1*B3+B2 |
| Term 3 | =B1*B4+B2 |
| Term 4 | =B1*B5+B2 |
| Term 5 | =B1*B6+B2 |
| Term 6 | =B1*B7+B2 |
| Term 7 | =B1*B8+B2 |
| Term 8 | =B1*B9+B2 |
| Term 9 | =B1*B10+B2 |
| Term 10 | =B1*B11+B2 |
Tabel om de n-de term te vinden als p = 1 (rekenkundige rij)
| Eerste term a1 | 5 |
| Verschil q | 3 |
| Nummer van de term n | 4 |
| n-de term a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabel om de n-de term te vinden als q = 0 (meetkundige rij)
| Eerste term a1 | 3 |
| Reden p | 2 |
| Nummer van de term n | 4 |
| n-de term a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Dezelfde formules als in Excel werken zoals ze zijn. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de eerste term en de coëfficiënten door je eigen getallen.
Berekenen met Python
from fractions import Fraction
first_term = Fraction(1) # eerste term a1 (breuken kunnen ook, bijvoorbeeld Fraction(1, 2))
coefficient = Fraction(2) # coëfficiënt p (vermenigvuldigt a_n)
constant = Fraction(3) # constante q (wordt opgeteld)
term_number = 10 # nummer van de term n die je zoekt
# Bereken term 1 tot en met 10 in volgorde, volgens de recursieve formule
# Calculate terms 1 to 10 in order, following the recurrence relation
terms = [first_term]
for _ in range(9):
terms.append(coefficient * terms[-1] + constant)
print("Termen 1-10:", ", ".join(str(t) for t in terms))
# n-de term (pas de recursieve formule n-1 keer toe)
# nth term (apply the recurrence relation n-1 times)
nth_term = first_term
for _ in range(term_number - 1):
nth_term = coefficient * nth_term + constant
print(f"Term {term_number}: {nth_term} (als decimaal getal: {float(nth_term)})")
# Als p niet 1 is, geeft de evenwichtswaarde c = q/(1-p) ook de directe formule
# If p is not 1, the equilibrium value c = q/(1-p) also gives the general term
if coefficient != 1:
fixed_point = constant / (1 - coefficient)
start_diff = first_term - fixed_point
print(f"Evenwichtswaarde c: {fixed_point}")
print(f"Directe formule: a_n = ({start_diff})*({coefficient})^(n-1) + ({fixed_point})")
Met de module fractions uit de standaardbibliotheek kun je met exacte breuken rekenen, zonder afrondingsfout van decimale getallen. Dit voorbeeld is de rij met eerste term 1 en recursieve formule a(n+1) = 2a(n) + 3. Als je de code uitvoert, krijg je de termen 1 tot en met 10 (1, 5, 13, …, 2045), term 10 = 2045, de evenwichtswaarde −3 en de directe formule a_n = (4)*(2)^(n-1) + (-3) (vereenvoudigd 4×2^(n−1) − 3). Pas de eerste term en de coëfficiënten aan en voer de code uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Recursieve formule van de eerste orde
aₙ₊₁ = p·aₙ + q
a_{n+1} = p a_n + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_(n+1) = p a_n + q
RSolve[{a[n + 1] == p a[n] + q, a[1] == a1}, a[n], n]
rsolve({a(n+1) = p*a(n) + q, a(1) = a1}, a(n));
a(n+1) = p*a(n) + q
a_(n+1) = p a_n + q
De karakteristieke vergelijking en de evenwichtswaarde
c = q ÷ (1 − p)
c = \dfrac{q}{1-p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>q</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
c = q/(1-p)
c = q/(1 - p)
c := q/(1 - p);
c = q/(1 - p);
c = q/(1 − p)
Herschrijven met de evenwichtswaarde (een meetkundige rij maken)
aₙ₊₁ − c = p(aₙ − c)
a_{n+1} - c = p(a_n - c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a_(n+1) - c = p(a_n - c)
a[n + 1] - c == p (a[n] - c)
a(n+1) - c = p*(a(n) - c);
a(n+1) - c = p*(a(n) - c)
a_(n+1) − c = p(a_n − c)
Directe formule (geval met de karakteristieke vergelijking)
aₙ = (a₁ − c)·pⁿ⁻¹ + c
a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
a_n = (a_1 - c)p^(n-1) + c
a[n_] := (a1 - c) p^(n - 1) + c
a := n -> (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a_1 − c)p^(n−1) + c
Het geval \(p = 1\) (rekenkundige rij)
aₙ = a₁ + (n − 1)q
a_n = a_1 + (n-1)q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 + (n-1)q
a[n_] := a1 + (n - 1) q
a := n -> a1 + (n-1)*q;
a_n = a1 + (n-1)*q;
a_n = a_1 + (n − 1)q
Het geval \(q = 0\) (meetkundige rij)
aₙ = a₁·pⁿ⁻¹
a_n = a_1 p^{n-1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 p^(n-1)
a[n_] := a1 p^(n - 1)
a := n -> a1*p^(n-1);
a_n = a1*p^(n-1);
a_n = a_1 p^(n−1)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor wiskundige berekeningen (rijen en recursieve formules). Voer de volgende berekeningen uit door Python-code daadwerkelijk uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit de uitvoer (geen hoofdrekenen of gokken). Laat voor de rij met eerste term a_1 = 1 en recursieve formule a_(n+1) = 2·a_n + 3 elk van de volgende zaken zien. 1. De oplossing van de karakteristieke vergelijking x = 2x + 3 (de evenwichtswaarde c) 2. De directe formule a_n (met de stappen waarin je met c een meetkundige rij maakt) 3. De waarden van term 1 tot en met 10, en de waarde van term 10 4. Convergeert deze rij? (Zo ja, geef dan ook de limiet.) Gebruik in Python de module fractions uit de standaardbibliotheek om exact te rekenen en laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit de uitvoer.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Rekenkundige rij berekenen (n-de term en som)
Bereken de n-de term en de som van de eerste n termen uit de eerste term, het verschil en het aantal termen (een rij waarbij je steeds hetzelfde getal optelt, het geval p = 1 van deze recursieve formule)
