Driehoek berekenen (zijden, hoeken, oppervlakte en meer)

Vul de drie waarden in die je kent van de zijden a, b, c en de hoeken A, B, C (in graden). Minstens één moet een zijde zijn. Zijde a ligt tegenover hoek A, zijde b tegenover hoek B en zijde c tegenover hoek C.

Zijde a (tegenover hoek A)

Hoek A (graden)

Zijde b (tegenover hoek B)

Hoek B (graden)

Zijde c (tegenover hoek C)

Hoek C (graden)

Vul precies drie velden in, waarvan minstens één een zijde is. Voer hoeken in graden (°) in, bijvoorbeeld 90 voor een rechte hoek. Laat de andere velden leeg.

Resultaat en figuur

Vul links de drie waarden in die je kent van de drie zijden en drie hoeken (minstens één moet een zijde zijn) en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul drie van de zijden \(a, b, c\) en de hoeken \(A, B, C\) in die je kent (minstens één moet een zijde zijn) en krijg alle andere zijden en hoeken
Berekent ook in één keer de oppervlakte, de omtrek, de halve omtrek, de drie hoogtes, de drie zwaartelijnen en de stralen van de ingeschreven en de omgeschreven cirkel
Zegt automatisch welk soort driehoek het is: gelijkzijdig, gelijkbenig of ongelijkzijdig, en scherphoekig, rechthoekig of stomphoekig
Als twee zijden en een hoek tegenover een van die zijden (ZZH) twee verschillende driehoeken mogelijk maken, staan beide oplossingen erbij (het bekende ZZH-geval met twee oplossingen)
Een heldere uitleg van de cosinusregel, de sinusregel en de formule van Heron, en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python staan ook op deze pagina

Zijden en hoeken horen bij elkaar via de letter: zijde a ligt tegenover hoek A (de overstaande zijde van hoek A), en zo verder, met kleine letters voor zijden en hoofdletters voor hoeken. Voer hoeken in graden (°) in.

Waarvoor is deze berekening handig?

Landmeten en kaarten maken (de afstand meten tot een plek waar je niet kunt komen)

De afstand tot een oriëntatiepunt aan de overkant van een rivier of kanaal kun je berekenen zonder een meetlint over het water te spannen. Zet aan jouw kant een basislijn van 100 meter uit en meet vanaf beide uiteinden de hoek naar het oriëntatiepunt. Zo krijg je een driehoek met één zijde (100 meter) en twee hoeken. Zijn de hoeken 50° en 60°, dan is de derde hoek 70° en geeft de sinusregel de afstand tot het oriëntatiepunt: \(100 \times \sin 50^\circ \div \sin 70^\circ \approx 81{,}5\) meter.
De total stations van landmeters en de triangulatie waarop het kaarten maken is gebouwd, komen neer op het steeds herhalen van precies deze berekening.

De oppervlakte van een driehoekig perceel of weiland meten (formule van Heron)

Van een driehoekig stuk land vind je de oppervlakte met alleen een rolmaat, zonder gereedschap om hoeken te meten. Zijn de drie zijden 30 meter, 40 meter en 50 meter, dan is de halve omtrek 60 meter en de oppervlakte \(\sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10} = 600\) vierkante meter (0,06 hectare).
“Lengtes kan iedereen nauwkeurig meten” is waarom de formule van Heron in de praktijk zo populair is geweest, en hij is nog steeds handig voor een snelle controle van de oppervlakte van een weiland of een bouwperceel.

Bouw en klussen (de lengte en hoek van schuine onderdelen eerst uitrekenen)

Gebouwen zitten vol schuine onderdelen: dakhellingen, trappen, diagonale schoren en ga zo maar door. Bij een lessenaarsdak dat 3 meter overspant en 2 meter stijgt, is de lengte van de helling \(\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\) meter (bij een rechte hoek verdwijnt de correctieterm van de cosinusregel en houd je de stelling van Pythagoras over).
Reken je lengtes en hoeken uit voordat je het hout zaagt, dan verspil je minder materiaal en hoef je op de bouwplaats minder over te doen.

Robotarmen en machineontwerp (twee armdelen en de hoek van het gewricht)

Een robotarm in een fabriek is zelf een driehoek: twee armdelen en de gewrichtshoek ertussen. Bij armdelen van 50 cm en 30 cm en een gewricht dat 120° open staat, geeft de cosinusregel de afstand van de voet tot de hand: \(\sqrt{50^2 + 30^2 - 2 \times 50 \times 30 \times \cos 120^\circ} = 70\) cm.
Terugrekenen naar de gewrichtshoeken waarmee de hand een doelpositie bereikt (inverse kinematica) gebruikt ook een omgewerkte cosinusregel als basisbouwsteen.

Sterrenkunde (de afstand tot sterren meten met driehoeken)

De afstand tot een ster meet je met een heel lange, smalle driehoek waarvan de basis de afstand is die de aarde in een half jaar langs haar baan om de zon aflegt (dit heet parallax). De afstand vinden uit de basis en de kleine hoekverschuiving is hetzelfde idee als de berekening op deze pagina, “vind de rest uit één zijde en hoeken”.
“Als je een driehoek kunt oplossen, kun je de afstand vinden tot een plek waar je niet kunt komen.” Dit werkt van landmeten tot de ruimte en is een van de krachtigste toepassingen van de meetkunde.

Formules en figuren

Hoekensom van een driehoek

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(A\) \(+\) \(B\) \(+\) \(C\) \(=\) \(180^\circ\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① \(A\): hoek A \(+\) ② \(B\): hoek B \(+\) ③ \(C\): hoek C \(=\) ④ \(180^\circ\) (altijd)

De formule in woorden

① Tel hoek \(A\)

② op bij hoek \(B\)

③ en bij hoek \(C\)

④ en je krijgt altijd \(180^\circ\)

Een eenvoudig voorbeeld

In een driehoek met twee hoeken van 50° en 60° is de derde hoek

derde hoek \(C\) \(=\) \(180^\circ\) \(-\) hoek \(A\) (50°) \(-\) hoek \(B\) (60°)

\(180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ\)

Het belangrijkste idee

In elke driehoek, welke vorm hij ook heeft, zijn de drie hoeken samen 180°. Ken je twee hoeken, dan is de derde dus gewoon een aftrekking. Bij de invoer “één zijde en twee hoeken” gebruikt deze rekenmachine eerst deze formule om de derde hoek te vinden.

Cosinusregel (derde zijde uit twee zijden en de ingesloten hoek)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(c^{2}\) \(=\) \(a^{2}\) \(+\) \(b^{2}\) \(-\) \(2ab\cos C\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(c^{2}\): het kwadraat van de derde zijde \(c\) \(=\) ① \(a^{2}\): het kwadraat van de bekende zijde \(a\) \(+\) ② \(b^{2}\): het kwadraat van de bekende zijde \(b\) \(-\) ③ \(2ab\cos C\): correctieterm

De formule in woorden

① Neem het kwadraat van de bekende zijde \(a\)

② tel daar het kwadraat van de bekende zijde \(b\) bij op

③ trek daar de correctieterm \(2ab\cos C\), die bepaald wordt door hoe wijd de ingesloten hoek is van af

④ en je krijgt het kwadraat van de derde zijde \(c\) (neem tot slot de wortel)

Een eenvoudig voorbeeld

Bij twee zijden van 5 en 7 en een ingesloten hoek van 60° (cos 60° = 0,5) is de derde zijde

het kwadraat van de derde zijde \(c\) \(=\) zijde \(a\) in het kwadraat (5²) \(+\) zijde \(b\) in het kwadraat (7²) \(-\) correctieterm (2×5×7×0,5)

\(c^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39\)

\(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\)

Het belangrijkste idee

\(\cos C\) (cosinus) geeft met een getal van −1 tot 1 aan hoe wijd de ingesloten hoek is. Is de hoek precies 90°, dan is \(\cos 90^\circ = 0\), verdwijnt de correctieterm en krijg je de stelling van Pythagoras \(c^2 = a^2 + b^2\). De cosinusregel is dus de stelling van Pythagoras, uitgebreid naar driehoeken zonder rechte hoek. Ken je alle drie de zijden en zoek je een hoek, gebruik dan de omgewerkte vorm \(A = \arccos\bigl(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\bigr)\) (de invoer “drie zijden” van deze rekenmachine gebruikt deze vorm).

Sinusregel (de brug tussen zijden en tegenoverliggende hoeken)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\dfrac{a}{\sin A}\) \(=\) \(\dfrac{b}{\sin B}\) \(=\) \(\dfrac{c}{\sin C}\) \(=\) \(2R\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① \(\dfrac{a}{\sin A}\): zijde \(a\) ÷ sinus van de tegenoverliggende hoek \(=\) ② \(\dfrac{b}{\sin B}\): zijde \(b\) ÷ sinus van de tegenoverliggende hoek \(=\) ③ \(\dfrac{c}{\sin C}\): zijde \(c\) ÷ sinus van de tegenoverliggende hoek \(=\) ④ \(2R\): diameter van de omgeschreven cirkel

De formule in woorden

① Zijde \(a\) gedeeld door de sinus van de tegenoverliggende hoek \(\dfrac{a}{\sin A}\)

② zijde \(b\) gedeeld door de sinus van de tegenoverliggende hoek \(\dfrac{b}{\sin B}\)

③ en zijde \(c\) gedeeld door de sinus van de tegenoverliggende hoek \(\dfrac{c}{\sin C}\) hebben alle drie dezelfde waarde,

④ en die is gelijk aan de diameter van de omgeschreven cirkel \(2R\)

Een eenvoudig voorbeeld

Bij zijde a = 6, de tegenoverliggende hoek A = 45° en hoek B = 60° is zijde b

zijde \(b\) \(=\) zijde \(a\) (6) \(\times\) sinus van de tegenoverliggende hoek \(\sin 60^\circ\) \(\div\) sinus van de tegenoverliggende hoek \(\sin 45^\circ\)

\(b = \dfrac{6 \times \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 7{,}348\)

Het belangrijkste idee

“Zijde ÷ sinus van de tegenoverliggende hoek” geeft voor alle drie de paren dezelfde waarde. Ken je dus één paar (een zijde en de tegenoverliggende hoek), dan kun je dat als brug gebruiken om de andere zijden en hoeken een voor een te vinden. De invoer “één zijde en twee hoeken” van deze rekenmachine gebruikt deze formule. Bovendien is deze gemeenschappelijke waarde gelijk aan de diameter \(2R\) van de cirkel door de drie hoekpunten van de driehoek (de omgeschreven cirkel). De volledige sinusregel bevat ook dit feit.

Oppervlakte (twee zijden en de ingesloten hoek)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(S\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\times\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\times\) \(\sin C\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

⑤ \(S\): oppervlakte \(=\) ④ een half \(\times\) ① \(a\): bekende zijde \(\times\) ② \(b\): bekende zijde \(\times\) ③ \(\sin C\): sinus van de ingesloten hoek

De formule in woorden

① Vermenigvuldig de bekende zijde \(a\)

② met de bekende zijde \(b\)

③ en met de sinus van de ingesloten hoek \(\sin C\)

④ neem daar de helft van

⑤ en je krijgt de oppervlakte \(S\)

Een eenvoudig voorbeeld

De oppervlakte van een driehoek met twee zijden van 8 en 5 en een ingesloten hoek van 30° (sin 30° = 0,5) is

oppervlakte \(S\) \(=\) een half \(\times\) zijde \(a\) (8) \(\times\) zijde \(b\) (5) \(\times\) sinus van de ingesloten hoek (0,5)

\(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times 0{,}5 = 10\)

Het belangrijkste idee

Dit is de bekende formule “basis × hoogte ÷ 2” van de basisschool, waarbij de hoogte vervangen is door \(b\sin C\) (de hoogte, berekend uit zijde b en de ingesloten hoek). Is de ingesloten hoek 90°, dan is \(\sin 90^\circ = 1\), dus is de hoogte gelijk aan zijde b zelf en is de oppervlakte zo groot als maar kan.

Formule van Heron (oppervlakte uit drie zijden)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(s\) \(=\) \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(S\) \(=\) \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② \(s\): halve omtrek \(=\) ① som van de drie zijden ÷ 2

④ \(S\): oppervlakte \(=\) ③ wortel uit \(s\) maal “\(s\) − elke zijde” (drie factoren)

De formule in woorden

① Tel de drie zijden \(a, b, c\) op en deel door 2. \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

② Dit noem je de halve omtrek \(s\)

③ Vermenigvuldig vervolgens \(s\) met de drie getallen die je krijgt door elke zijde van \(s\) af te trekken (\(s-a\), \(s-b\), \(s-c\)) en neem de wortel

④ en het resultaat is de oppervlakte \(S\)

Een eenvoudig voorbeeld

De oppervlakte van een driehoek met zijden 3, 4 en 5 is

halve omtrek \(s\) \(=\) som van de drie zijden (3+4+5) ÷ 2

\(s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6\)

\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)

Het belangrijkste idee

De kracht van de formule van Heron is dat je de oppervlakte vindt uit alleen de drie lengtes van de zijden, zonder een hoek of hoogte te meten. Drie zijden meten met een rolmaat is genoeg, dus de formule wordt al lang gebruikt om bijvoorbeeld de oppervlakte van een driehoekig stuk grond te vinden. De truc is om eerst de halve omtrek \(s\) (de helft van de omtrek) uit te rekenen.

Straal van de ingeschreven cirkel

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

\(r\) \(=\) \(S\) \(\div\) \(s\)

③ \(r\): straal van de ingeschreven cirkel \(=\) ① \(S\): oppervlakte \(\div\) ② \(s\): halve omtrek

De formule in woorden

① Neem de oppervlakte \(S\)

② deel die door de halve omtrek \(s\) (de helft van de omtrek)

③ en je krijgt de straal \(r\) van de ingeschreven cirkel

Een eenvoudig voorbeeld

Voor de driehoek met zijden 3, 4 en 5 (oppervlakte 6, halve omtrek 6) is de straal van de ingeschreven cirkel

straal van de ingeschreven cirkel \(r\) \(=\) oppervlakte (6) \(\div\) halve omtrek (6)

\(r = 6 \div 6 = 1\)

Het belangrijkste idee

De ingeschreven cirkel is de cirkel die alle drie de zijden van de driehoek van binnenuit raakt. Knip je de driehoek vanuit het middelpunt van de ingeschreven cirkel (het hart van de driehoek, het snijpunt van de deellijnen van de hoeken) in drie kleine driehoeken, dan heeft elke driehoek “basis = één zijde, hoogte = r”. De totale oppervlakte is dus \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs\). Oplossen naar \(r\) geeft \(r = S \div s\).

Straal van de omgeschreven cirkel

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

\(R\) \(=\) \(abc\) \(\div\) \(4S\)

③ \(R\): straal van de omgeschreven cirkel \(=\) ① \(abc\): product van de drie zijden \(\div\) ② \(4S\): vier keer de oppervlakte

De formule in woorden

① Neem het product van alle drie de zijden \(abc\)

② deel dat door vier keer de oppervlakte \(S\)

③ en je krijgt de straal \(R\) van de omgeschreven cirkel

Een eenvoudig voorbeeld

Voor de driehoek met zijden 3, 4 en 5 (oppervlakte 6) is de straal van de omgeschreven cirkel

straal van de omgeschreven cirkel \(R\) \(=\) product van de drie zijden (3×4×5) \(\div\) vier keer de oppervlakte (4×6)

\(R = \dfrac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \dfrac{60}{24} = 2{,}5\)

Het belangrijkste idee

De omgeschreven cirkel is de cirkel door alle drie de hoekpunten van de driehoek. Deze formule ontstaat door de sinusregel \(\frac{a}{\sin A} = 2R\) te combineren met de oppervlakteformule \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\). De 3-4-5-driehoek in het voorbeeld is een rechthoekige driehoek, dus het middelpunt van de omgeschreven cirkel ligt precies in het midden van de schuine zijde en \(R\) is de helft van de schuine zijde (\(5 \div 2 = 2{,}5\)). Het resultaat komt precies uit.

Een driehoek ligt vast door drie gegevens (waarvan minstens één een zijde is). Bij drie zijden gebruik je de cosinusregel, omgewerkt naar de hoek. Bij twee zijden en de ingesloten hoek gebruik je de cosinusregel. Bij één zijde en twee hoeken gebruik je de hoekensom en de sinusregel. Met deze drie hulpmiddelen vind je alle andere zijden en hoeken, en daarna volgen de oppervlakte, de ingeschreven cirkel en de omgeschreven cirkel een voor een.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(a, b, c\)	a, b, c (kleine letters)	De lengtes van de drie zijden van de driehoek. Volgens de gewoonte krijgt elke zijde de kleine letter van de hoek tegenover die zijde (zijde a ligt tegenover hoek A).
\(A, B, C\)	A, B, C (hoofdletters)	De drie hoeken van de driehoek (in graden). Samen zijn ze altijd 180°.
\(S\)	S	De oppervlakte van de driehoek. (In schoolboeken kom je voor oppervlakte ook vaak \(O\) of \(A\) tegen; hier staat \(S\), omdat \(A\) al een hoek is.)
\(s\)	s (kleine letter)	De halve omtrek, de helft van de omtrek (\(a+b+c\)). Je gebruikt hem in de formule van Heron en in de formule voor de straal van de ingeschreven cirkel.
\(\sin\theta\)	sinus theta	Een van de goniometrische verhoudingen. In een rechthoekige driehoek is het de overstaande rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde, en je gebruikt hem om uit een hoek het verticale deel te halen. \(\sin 30^\circ = 0{,}5\) en \(\sin 90^\circ = 1\).
\(\cos\theta\)	cosinus theta	Een van de goniometrische verhoudingen. In een rechthoekige driehoek is het de aanliggende rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde. \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) en \(\cos 90^\circ = 0\). De “cosinus” in de cosinusregel is deze functie.
\(r\)	r (kleine letter)	De straal van de ingeschreven cirkel (de cirkel die alle drie de zijden van binnenuit raakt).
\(R\)	R (hoofdletter)	De straal van de omgeschreven cirkel (de cirkel door alle drie de hoekpunten).

Begrippen

overstaande zijde	De zijde tegenover een hoek heet de overstaande zijde van die hoek. Op deze pagina is zijde a de overstaande zijde van hoek A, zijde b van hoek B en zijde c van hoek C.
tegenoverliggende hoek	De hoek tegenover een zijde heet de tegenoverliggende hoek van die zijde. Op deze pagina is hoek A de tegenoverliggende hoek van zijde a, hoek B van zijde b en hoek C van zijde c. Verwar dit niet met “overstaande hoeken”, de hoeken die ontstaan als twee lijnen elkaar snijden.
hoekensom	De eigenschap dat de drie hoeken van een driehoek samen altijd 180° zijn. Ken je twee hoeken, dan vind je de derde door af te trekken.
driehoeksongelijkheid	De voorwaarde waaronder drie lengtes een driehoek vormen, namelijk dat de som van elke twee zijden groter is dan de derde zijde. Bijvoorbeeld 1, 2 en 4 vormen geen driehoek, omdat 1 + 2 = 3 kleiner is dan 4.
cosinusregel	De regel \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) om uit twee zijden en de ingesloten hoek de derde zijde te vinden. Hij breidt de stelling van Pythagoras uit naar driehoeken zonder rechte hoek en geeft, omgewerkt, een hoek uit drie zijden. Je leert hem in de bovenbouw van havo en vwo.
sinusregel	De regel dat “zijde ÷ sinus van de tegenoverliggende hoek” voor alle drie de paren gelijk is en gelijk aan de diameter \(2R\) van de omgeschreven cirkel. Ken je één zijde en de tegenoverliggende hoek, dan is het een brug naar de andere zijden en hoeken. Je leert hem in de bovenbouw van havo en vwo.
formule van Heron	Een formule die de oppervlakte geeft uit alleen de drie lengtes van de zijden, zonder hoeken. Hij is genoemd naar Heron van Alexandrië, een wiskundige uit de Griekse oudheid.
halve omtrek	De helft van de omtrek van een driehoek. Hij komt voor in de formule van Heron en in de formule voor de straal van de ingeschreven cirkel.
ingeschreven cirkel	De cirkel die alle drie de zijden van de driehoek van binnenuit raakt. Het middelpunt (het hart van de driehoek) is het punt waar de drie deellijnen van de hoeken elkaar snijden.
omgeschreven cirkel	De cirkel die door alle drie de hoekpunten van de driehoek gaat. Het middelpunt is het punt waar de middelloodlijnen van de drie zijden elkaar snijden.
zwaartelijn	Het lijnstuk van een hoekpunt van een driehoek naar het midden van de overstaande zijde. De drie zwaartelijnen snijden elkaar in één punt (het zwaartepunt).
scherphoekige driehoek	Een driehoek waarvan de grootste hoek kleiner is dan 90°. Naar hun hoeken verdeel je driehoeken in scherphoekig, rechthoekig en stomphoekig.
rechthoekige driehoek	Een driehoek waarvan de grootste hoek precies 90° is. Naar hun hoeken verdeel je driehoeken in scherphoekig, rechthoekig en stomphoekig.
stomphoekige driehoek	Een driehoek waarvan de grootste hoek groter is dan 90°. Naar hun hoeken verdeel je driehoeken in scherphoekig, rechthoekig en stomphoekig.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina te gebruiken met begrip van wat je doet, en niet alleen door op de knop te drukken.
Voor de hoekensom en de formule van Heron heb je genoeg aan de wiskunde van de onderbouw. De cosinusregel en de sinusregel horen bij de bovenbouw van havo en vwo.

Hoeken van een driehoek (groep 7 tot en met klas 2, 10-14 jaar)	Weten dat de hoeken van een driehoek samen 180° zijn De eigenschappen van gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken kennen (hoeken tegenover gelijke zijden zijn gelijk)
Wortels (klas 3, 14-15 jaar)	Weten dat een wortel het getal is dat in het kwadraat het oorspronkelijke getal geeft, zoals in \(\sqrt{36} = 6\) Een waarde zoals \(\sqrt{39}\) kunnen schatten, bijvoorbeeld tussen 6 en 7
De stelling van Pythagoras (klas 2, 13-14 jaar)	Weten dat in een rechthoekige driehoek geldt \(c^2 = a^2 + b^2\) (het kwadraat van de schuine zijde is de som van de kwadraten van de andere twee zijden) De cosinusregel kunnen zien als deze stelling, uitgebreid naar driehoeken zonder rechte hoek
Goniometrie in rechthoekige driehoeken (klas 3, 14-15 jaar)	Weten dat sinus en cosinus verhoudingen van de zijden van een rechthoekige driehoek zijn De waarden van veelgebruikte hoeken kunnen gebruiken, zoals \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) en \(\cos 90^\circ = 0\)
De sinusregel en de cosinusregel (havo 4 en vwo 4, 15-16 jaar)	Uit de drie waarden die je kent (ZZZ, ZHZ, HZH of HHZ, enzovoort) kunnen kiezen welke regel je gebruikt Weten dat er bij twee zijden en een hoek tegenover een van die zijden (ZZH) soms twee driehoeken mogelijk zijn

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor het berekenen van de derde hoek (hoekensom)

Hoek A (graden)	50
Hoek B (graden)	60
Derde hoek C (graden)	=180-B1-B2

Tabel voor het berekenen van de derde zijde met de cosinusregel

Zijde a	5
Zijde b	7
Ingesloten hoek C (graden)	60
Derde zijde c	=WORTEL(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(RADIALEN(B3)))

Tabel voor het berekenen van een andere zijde met de sinusregel

Zijde a	6
De tegenoverliggende hoek A (graden)	45
Hoek B (graden)	60
Zijde b	=B1*SIN(RADIALEN(B3))/SIN(RADIALEN(B2))

Tabel voor het berekenen van de oppervlakte (twee zijden en de ingesloten hoek)

Zijde a	8
Zijde b	5
Ingesloten hoek C (graden)	30
Oppervlakte S	=B1B2SIN(RADIALEN(B3))/2

Tabel voor het berekenen van de oppervlakte (formule van Heron)

Zijde a	3
Zijde b	4
Zijde c	5
Halve omtrek s	=(B1+B2+B3)/2
Oppervlakte S	=WORTEL(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tabel voor het berekenen van de straal van de ingeschreven cirkel

Oppervlakte S	6
Halve omtrek s	6
Straal r van de ingeschreven cirkel	=B1/B2

Tabel voor het berekenen van de straal van de omgeschreven cirkel

Zijde a	3
Zijde b	4
Zijde c	5
Oppervlakte S	6
Straal R van de omgeschreven cirkel	=B1B2B3/(4*B4)

Na het plakken zijn de bovenste rijen je invoer en wordt de formule in de laatste rij automatisch berekend.
COS en SIN in Excel verwachten hoeken in radialen, daarom staat de functie RADIALEN ertussen om graden om te rekenen naar radialen. WORTEL is de vierkantswortel.
In de tweede tabel toont B4 bijvoorbeeld ongeveer 6,245. Vervang gewoon de getallen van de invoer door je eigen waarden.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor het berekenen van de derde hoek (hoekensom)

Hoek A (graden)	50
Hoek B (graden)	60
Derde hoek C (graden)	=180-B1-B2

Tabel voor het berekenen van de derde zijde met de cosinusregel

Zijde a	5
Zijde b	7
Ingesloten hoek C (graden)	60
Derde zijde c	=WORTEL(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(RADIALEN(B3)))

Tabel voor het berekenen van een andere zijde met de sinusregel

Zijde a	6
De tegenoverliggende hoek A (graden)	45
Hoek B (graden)	60
Zijde b	=B1*SIN(RADIALEN(B3))/SIN(RADIALEN(B2))

Tabel voor het berekenen van de oppervlakte (twee zijden en de ingesloten hoek)

Zijde a	8
Zijde b	5
Ingesloten hoek C (graden)	30
Oppervlakte S	=B1B2SIN(RADIALEN(B3))/2

Tabel voor het berekenen van de oppervlakte (formule van Heron)

Zijde a	3
Zijde b	4
Zijde c	5
Halve omtrek s	=(B1+B2+B3)/2
Oppervlakte S	=WORTEL(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tabel voor het berekenen van de straal van de ingeschreven cirkel

Oppervlakte S	6
Halve omtrek s	6
Straal r van de ingeschreven cirkel	=B1/B2

Tabel voor het berekenen van de straal van de omgeschreven cirkel

Zijde a	3
Zijde b	4
Zijde c	5
Oppervlakte S	6
Straal R van de omgeschreven cirkel	=B1B2B3/(4*B4)

Dezelfde formules als in Excel werken ook hier (Google Spreadsheets heeft RADIALEN, SIN, COS en WORTEL onder dezelfde namen).
Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen van de invoer door je eigen waarden.

Berekenen met Python

import math

side_a = 3.0   # zijde a
side_b = 4.0   # zijde b
side_c = 5.0   # zijde c (voorbeeld waarin alle drie de zijden bekend zijn)

# Bereken de drie hoeken met de cosinusregel, omgewerkt naar de hoek (in graden)
angle_a = math.degrees(math.acos((side_b**2 + side_c**2 - side_a**2) / (2 * side_b * side_c)))
angle_b = math.degrees(math.acos((side_a**2 + side_c**2 - side_b**2) / (2 * side_a * side_c)))
angle_c = 180 - angle_a - angle_b

# Oppervlakte met de formule van Heron
half_perimeter = (side_a + side_b + side_c) / 2
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - side_a)
                 * (half_perimeter - side_b) * (half_perimeter - side_c))

inradius = area / half_perimeter                            # straal van de ingeschreven cirkel
circumradius = side_a * side_b * side_c / (4 * area)        # straal van de omgeschreven cirkel

print(f"Hoek A = {angle_a}°, hoek B = {angle_b}°, hoek C = {angle_c}°")
print(f"Oppervlakte = {area}")
print(f"Straal ingeschreven cirkel = {inradius}, straal omgeschreven cirkel = {circumradius}")

Werkt met alleen math uit de standaardbibliotheek. math.acos is de arccosinus (de cosinus omgekeerd) en math.degrees rekent radialen om naar graden. Vervang de drie zijden bovenaan door je eigen waarden en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Hoekensom van een driehoek

A + B + C = 180°

A + B + C = 180^\circ

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>+</mo><mi>C</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>180</mn><mo>&#xB0;</mo>
  </mrow>
</math>

A + B + C = 180^@

angleA + angleB + angleC == 180

A + B + C = 180;

C = 180 - A - B;

A + B + C = 180°

Cosinusregel (derde zijde uit twee zijden en de ingesloten hoek)

c² = a² + b² − 2ab·cos C

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C

cSide = Sqrt[a^2 + b^2 - 2 a b Cos[angleC Degree]]

c := sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C*Pi/180));

c = sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cosd(C));

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)

Sinusregel (de brug tussen zijden en tegenoverliggende hoeken)

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn><mi>R</mi>
  </mrow>
</math>

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

bSide = a Sin[angleB Degree]/Sin[angleA Degree]

b := a*sin(B*Pi/180)/sin(A*Pi/180);

b = a*sind(B)/sind(A);

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

Oppervlakte (twee zijden en de ingesloten hoek)

S = (1/2)·ab·sin C

S = \frac{1}{2}ab\sin C

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

S = 1/2 ab sin C

area = (1/2) a b Sin[angleC Degree]

S := (1/2)*a*b*sin(C*Pi/180);

S = a*b*sind(C)/2;

S = (1/2)ab sin(C)

Formule van Heron (oppervlakte uit drie zijden)

s = (a+b+c)/2,  S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))

s = \frac{a+b+c}{2}, \quad S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mi>s</mi>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

area = Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)] /. s -> (a + b + c)/2

s := (a+b+c)/2; S := sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

s = (a+b+c)/2; S = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Straal van de ingeschreven cirkel

r = S/s

r = \dfrac{S}{s}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mi>s</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

r = S/s

inradius = area/s

r := S/s;

r = S/s;

r = S/s

Straal van de omgeschreven cirkel

R = abc/(4S)

R = \dfrac{abc}{4S}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
      <mrow><mn>4</mn><mi>S</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

R = (abc)/(4S)

circumradius = a b c/(4 area)

R := a*b*c/(4*S);

R = a*b*c/(4*S);

R = abc/(4S)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor driehoeken. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken).

In een driehoek is zijde a = 7, zijde b = 10 en hoek A = 40° (hoek A is de hoek tegenover zijde a).
1. Bereken hoek B met de sinusregel. Let op: bij deze gegevens zijn er mogelijk twee driehoeken (het ZZH-geval). Zijn er twee oplossingen, laat dan beide zien.
2. Bereken bij elke oplossing de resterende hoek C, zijde c en de oppervlakte.

Laat de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering zien in een tabel.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule