Helling berekenen (hellingspercentage, graden, verhouding 1:n en lengtes)

Kies hoe je de helling invult en vul een waarde in. De horizontale afstand en het hoogteverschil hieronder mag je leeg laten (vul je ze in, dan berekenen we ook het hoogteverschil, de horizontale afstand en de werkelijke lengte daarvoor).

Hoe wil je de helling invullen?

helling (%)

Bereken ook lengtes (optioneel)

horizontale afstand (mag leeg)

hoogteverschil (mag leeg)

Vul de helling in als positief getal zonder teken, of ze nu omhoog of omlaag loopt. De hoek is kleiner dan 90°.

Resultaat en afbeelding

Vul links een helling in (als percentage, graden, verhouding 1:n of hoogteverschil en horizontale afstand) en klik op “Berekenen”. Hier verschijnt het resultaat.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul een helling in op één van de volgende manieren: als hellingspercentage (%), als hoek (graden), als verhouding 1:n (zoals 1:12 of 1:100) of als hoogteverschil met horizontale afstand. Alle andere schrijfwijzen worden in één keer berekend
Vul een horizontale afstand in en je ziet het hoogteverschil bij die helling en de werkelijke lengte langs de helling (de lengte materiaal die je echt nodig hebt)
Vul een hoogteverschil in en je ziet welke horizontale afstand je nodig hebt bij die helling (de lengte van een hellingbaan of een buis)
De helling wordt getekend als rechthoekige driehoek, zodat je ziet waar de horizontale afstand, het hoogteverschil, de schuine zijde en de hoek liggen
Een eenvoudige uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python staan ook op deze pagina

Deze pagina gaat over de helling van grond, vloeren, daken, buizen en dergelijke: hoeveel iets stijgt (of daalt) over een horizontale afstand. Wil je de richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten in een grafiek berekenen? Gebruik dan “Richtingscoëfficiënt berekenen”. Wil je de optrede, aantrede en hoek van een trap met treden berekenen? Gebruik dan “Trap berekenen” (beide staan bij de verwante pagina’s).

Waarvoor is deze berekening handig?

Een hellingbaan bij een ingang maken (toegankelijkheid)

Voor een hellingbaan bij nieuwbouw hangt de toegestane helling in Nederland af van het hoogteverschil: bij een hoogteverschil tot 25 cm maximaal 1:12, tot 50 cm maximaal 1:16 en tot 100 cm maximaal 1:20 (Bbl, bron: IPLO). Voor een drempel van 60 cm met 1:20 is de benodigde horizontale afstand \(60 \times 20 = 1200\) cm (12 m).
Een helling van 1:12 zou voor 60 cm 7,2 m geven, maar die is voor dat hoogteverschil te steil. Welke helling past, hangt af van de situatie en de regels die gelden. Controleer dat bij je gemeente of een adviseur. Deze pagina is een rekenhulp.

Het afschot van een afvoerbuis of rioolbuis bepalen (klussen en tuin)

Afvoerbuizen krijgen een lichte helling (het afschot), zodat water vanzelf wegstroomt. Het afschot wordt vaak als verhouding geschreven, zoals 1:100: bij een buis met een horizontale afstand van 3 m is dat een hoogteverschil van \(3000 \div 100 = 30\) mm. Voor binnenriolering noemen fabrikanten vaak een afschot van ongeveer 10 mm per meter (1:100).
Hoe langer de buis, hoe groter het benodigde hoogteverschil. Reken het daarom uit voordat je de buis legt, zodat je niet pas na het dichtgooien merkt dat het afschot tekortschiet. Het juiste afschot hangt af van de diameter en het gebruik. Volg dus de voorschriften van de fabrikant en de geldende norm (NEN 3215 voor binnenriolering) of vraag het aan je gemeente.

De hoek en de lengte van de dakbalken uit de dakhelling bepalen (bouw en tuinhuisje)

Een dak wordt vaak in graden opgegeven, bijvoorbeeld 45°. Een helling van 40% komt overeen met \(\arctan 0{,}4 \approx 21{,}8^\circ\).
Heeft een lessenaarsdak van een schuur een horizontale breedte van 3 m en een helling van 40%, dan is het hoogteverschil \(3 \times 0{,}4 = 1{,}2\) m en de lengte langs het dak (een richtlijn voor de lengte van de dakbalken) \(\sqrt{3^{2} + 1{,}2^{2}} \approx 3{,}23\) m. Voor elk dakbedekkingsmateriaal geldt een minimale dakhelling, dus reken je helling om voordat je materiaal kiest.

Het hellingspercentage op een verkeersbord of de promille bij het spoor lezen (fietsen, autorijden en spoor)

Een verkeersbord met “10%” betekent een weg die over 100 m horizontaal 10 m stijgt (of daalt), en de hoek is ongeveer 5,7°. Dat is dus niet 10°. Fietsers merken een helling van 8 tot 10% al duidelijk, dus het is een handige maat bij het kiezen van een route.
Spoorwegen drukken hun helling vaak uit in promille (‰): 25 ‰ is 25 m stijgen over 1000 m horizontaal (2,5%, ongeveer 1,4°). Ook al is de hoek klein, voor een zware trein is het veel, daarom gebruikt men de fijnere eenheid ‰.

Het afschot van een terras, oprit of tuinpad bepalen (tuinaanleg)

Een terras of oprit wordt meestal met een afschot van 1 tot 2 cm per meter (1 tot 2%) aangelegd, weg van het huis, zodat regenwater niet blijft staan (bron: Gamma). Bij een terras met een diepte van 5 m en 2% is het hoogteverschil tussen voor- en achterkant \(5 \times 0{,}02 = 0{,}1\) m (10 cm).
Is een oprit juist te steil, dan kan het glad worden bij regen en kunnen auto’s met de onderkant over het wegdek schuren. Controleer daarom de helling (in % en graden) uit hoogteverschil en horizontale afstand voordat je ontwerpt.

Zie waar tan en arctan voor dienen (wiskunde op havo en vwo)

De helling is “hoogte ÷ basis”, dus precies \(\tan\theta\) in een rechthoekige driehoek. De vraag “hoeveel graden is 1:12?” is een van de meest herkenbare toepassingen van de omgekeerde goniometrische functie (\(\arctan\)).
En het berekenen van de schuine zijde uit horizontale afstand en hoogteverschil is precies de stelling van Pythagoras. Kijk zo hoe een formule uit het schoolboek terugkomt in de afmetingen van een hellingbaan of dak.

Formules en figuren

helling (verhouding tussen hoogteverschil en horizontale afstand)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(i\) \(=\) \(h\) \(\div\) \(L\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ helling \(i\) \(=\) ① hoogteverschil \(h\) \(\div\) ② horizontale afstand \(L\)

De formule in woorden

① hoogteverschil \(h\) gedeeld door

② horizontale afstand \(L\) geeft

③ helling \(i\) (hoeveel je stijgt als je 1 horizontaal gaat)

Een eenvoudig voorbeeld

Een hoogteverschil van 60 cm wordt overbrugd met een helling met een horizontale afstand van 7,2 m (= 720 cm). De helling is dan

helling \(i\) \(=\) hoogteverschil (60 cm) \(\div\) horizontale afstand (720 cm)

\(60 \div 720 = \dfrac{1}{12} \approx 0{,}0833\)

Het belangrijkste idee

helling is de verhouding tussen hoe ver iets stijgt (of daalt) en hoe ver je horizontaal gaat. Teken je een rechthoekige driehoek met de horizontale afstand \(L\) en het hoogteverschil \(h\) als zijden, dan is de helling \(i\) gelijk aan “hoogte ÷ basis”, en dat is precies de goniometrische verhouding \(\tan\theta\) (tangens). Reken hoogteverschil en horizontale afstand eerst om naar dezelfde eenheid en deel dan (60 cm ÷ 720 cm, niet 60 cm ÷ 7,2 m). Met dezelfde eenheden is de helling gewoon een getal zonder eenheid. Je deelt door de horizontale lengte van boven gezien, niet door de lengte langs de helling. Dat verschil komt aan bod in de laatste formule, “hoogteverschil, horizontale afstand en schuine zijde”.

hellingspercentage (%) en promille (‰)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(p\) \(=\) \(i\) \(\times\) \(100\)

\(q\) \(=\) \(i\) \(\times\) \(1000\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ hellingspercentage \(p\) \(=\) ① helling \(i\) \(\times\) ② 100 (omgerekend naar 100 horizontaal)

⑤ promille \(q\) \(=\) helling \(i\) \(\times\) ④ 1000 (omgerekend naar 1000 horizontaal)

De formule in woorden

① helling \(i\) maal

② 100 geeft

③ hellingspercentage \(p\) (bij 100 horizontaal stijg je \(p\))

④ Dezelfde helling \(i\) maal 1000 geeft

⑤ promille \(q\) (bij 1000 horizontaal stijg je \(q\))

Een eenvoudig voorbeeld

Een helling \(i = 0{,}4\) (een dak dat over 10 m horizontaal 4 m stijgt) uitgedrukt als percentage en als promille is

hellingspercentage \(p\) \(=\) helling (0,4) \(\times\) 100

promille \(q\) \(=\) helling (0,4) \(\times\) 1000

\(0{,}4 \times 100 = 40\ (\%)\)

\(0{,}4 \times 1000 = 400\)

Het belangrijkste idee

hellingspercentage zegt hoeveel iets stijgt over 100 horizontaal, promille hoeveel het stijgt over 1000 horizontaal. Beide zijn gewoon een andere schrijfwijze van de helling \(i\). Een verkeersbord met “10%” betekent een weg die over 100 m horizontaal 10 m stijgt (of daalt). Een dak wordt vaak in graden opgegeven: 40% komt overeen met ongeveer 21,8°. Bij spoorwegen wordt de helling vaak in promille (‰) uitgedrukt: dat is \(i \times 1000\) (25 ‰ = 2,5%).

hellingsverhouding (1:n)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(n\) \(=\) \(L\) \(\div\) \(h\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ noemer \(n\) (de \(n\) in helling \(1:n\)) \(=\) ① horizontale afstand \(L\) \(\div\) ② hoogteverschil \(h\)

De formule in woorden

① horizontale afstand \(L\) gedeeld door

② hoogteverschil \(h\) geeft

③ noemer \(n\) (bij \(n\) horizontaal stijg je 1: een helling \(1:n\))

Een eenvoudig voorbeeld

Een hellingbaan met een hoogteverschil van 60 cm en een horizontale afstand van 720 cm uitgedrukt als verhouding is

noemer \(n\) \(=\) horizontale afstand (720 cm) \(\div\) hoogteverschil (60 cm)

\(720 \div 60 = 12\)

\(\dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{12}\)

Het belangrijkste idee

De helling van hellingbanen en afvoeren wordt gewoonlijk geschreven als verhouding met 1 in de teller, zoals “1:12” of “1:100”. De noemer \(n\) betekent “bij \(n\) horizontaal stijg je 1”: hoe groter \(n\), hoe vlakker de helling. Het is ook het omgekeerde van de helling \(i\) (\(n = 1 \div i\)). Een voorbeeld is de “1:12” die volgens het Bbl geldt voor een hellingbaan bij een hoogteverschil tot 25 cm: voor 1 hoogte heb je 12 horizontaal nodig. Bij een hoogteverschil van 20 cm is de horizontale afstand dus \(20 \times 12 = 240\) cm. Deelt \(n\) niet netjes, dan tonen we een decimaal getal (bij 40% is \(n = 100 \div 40 = 2{,}5\), dus 1:2,5).

Hoek van de helling (graden)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\theta\) \(=\) \(\arctan\) \((\) \(i\) \()\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② hoek \(\theta\) \(=\) \(\arctan\) \((\) ① helling \(i\) \()\)

De formule in woorden

① helling \(i\) in de boogtangens \(\arctan\) invullen (de omgekeerde bewerking van \(\tan\)) geeft

② hoek \(\theta\) (in graden)

Een eenvoudig voorbeeld

De hoek van een helling van 1:12 (\(i \approx 0{,}0833\)) is

hoek \(\theta\) \(=\) \(\arctan\) \((\) helling (1:12) \()\)

\(\theta = \arctan\dfrac{1}{12} \approx 4{,}76^\circ\)

Het belangrijkste idee

De helling \(i\) is “hoogte ÷ basis” in een rechthoekige driehoek, dus de goniometrische verhouding \(\tan\theta\). De hoek \(\theta\) vind je daarom met de omgekeerde bewerking \(\arctan\) (arctangens; op een rekenmachine de toets \(\tan^{-1}\)). Wil je omgekeerd de helling uit de hoek weten, dan is \(i = \tan\theta\). Hellingspercentage en hoek zijn niet evenredig. 10% is ongeveer 5,7°, maar 100% is 45° en zelfs 200% is maar ongeveer 63,4° (hoe dichter de hoek bij 90° komt, hoe groter de waarde van de helling wordt). Een helling van 10% is dus niet 10°.

hoogteverschil, horizontale afstand en lengte van de schuine zijde

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(h\) \(=\) \(L\) \(\times\) \(i\)

\(L\) \(=\) \(h\) \(\div\) \(i\)

\(s\) \(=\) \(\sqrt{L^{2} + h^{2}}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ hoogteverschil \(h\) \(=\) ① horizontale afstand \(L\) \(\times\) ② helling \(i\)

⑤ horizontale afstand \(L\) \(=\) ④ hoogteverschil \(h\) \(\div\) helling \(i\)

⑦ lengte van de schuine zijde \(s\) \(=\) ⑥ wortel uit de som van het kwadraat van horizontale afstand \(L\) en het kwadraat van hoogteverschil \(h\)

De formule in woorden

① horizontale afstand \(L\) maal

② helling \(i\) geeft

③ hoogteverschil \(h\) (als je de horizontale afstand weet)

④ Omgekeerd: hoogteverschil \(h\) gedeeld door de helling \(i\) geeft

⑤ horizontale afstand \(L\) (als je het hoogteverschil weet)

⑥ de wortel uit de som van het kwadraat van horizontale afstand \(L\) en het kwadraat van hoogteverschil \(h\) berekend met de stelling van Pythagoras geeft

⑦ lengte van de schuine zijde \(s\) (de werkelijke lengte langs de helling)

Een eenvoudig voorbeeld

Welke horizontale afstand en welke lengte langs de helling heb je nodig voor een hoogteverschil van 60 cm (0,6 m) bij een helling van 1:12?

horizontale afstand \(L\) \(=\) hoogteverschil (0,6 m) \(\div\) helling (1:12)

lengte van de schuine zijde \(s\) \(=\) wortel uit het kwadraat van horizontale afstand (7,2 m) plus het kwadraat van hoogteverschil (0,6 m)

\(L = 0{,}6 \div \dfrac{1}{12} = 0{,}6 \times 12 = 7{,}2\ (\mathrm{m})\)

\(s = \sqrt{7{,}2^{2} + 0{,}6^{2}} = \sqrt{51{,}84 + 0{,}36} = \sqrt{52{,}2} \approx 7{,}225\ (\mathrm{m})\)

Het belangrijkste idee

Uit de formule \(i = h \div L\) volgt \(h = L \times i\) (hoogteverschil uit horizontale afstand) en \(L = h \div i\) (horizontale afstand uit hoogteverschil). Vragen uit de praktijk, zoals “hoe lang moet een hellingbaan zijn voor dit hoogteverschil?” en “hoeveel hoogteverschil krijg ik met een buis van deze lengte?”, komen allebei op deze omwerking neer. De schuine zijde \(s\) is de lengte van de helling zelf (de werkelijke lengte): de lengte van een plank, dakbalk of buis die je echt nodig hebt. Ze volgt uit de stelling van Pythagoras, omdat ze de schuine zijde is van de rechthoekige driehoek met horizontale afstand en hoogteverschil als zijden. Bij een vlakke helling is \(s\) bijna gelijk aan \(L\) (bij 1:12 maar ongeveer 0,35% langer), maar bij een steile helling is het verschil groot (bij 40% ongeveer 7,7% langer en bij 45°, dus 100%, ongeveer 41%).

helling is altijd “hoogteverschil ÷ horizontale afstand”. Percentage (× 100), promille (× 1000) en verhouding 1:n (noemer = horizontale afstand ÷ hoogteverschil) zijn verschillende schrijfwijzen van dezelfde waarde; alleen de hoek vind je met \(\arctan\) (percentage en hoek zijn niet evenredig). Lengtes bereken je met \(h = L \times i\), \(L = h \div i\) en voor de schuine zijde \(s = \sqrt{L^{2} + h^{2}}\).

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(i\)	helling (hoogteverschil ÷ horizontale afstand). De letter \(i\) staat voor de helling. Het is een getal zonder eenheid en heeft dezelfde waarde als \(\tan\theta\).
\(h\)	Het hoogteverschil. De letter h staat voor hoogte. Bijvoorbeeld de hoogte van een drempel, het hoogteverschil tussen nok en goot van een dak of het hoogteverschil tussen de twee uiteinden van een buis.
\(L\)	De horizontale afstand. De letter L staat voor lengte. De lengte van de helling van boven gezien, niet de lengte langs de helling (de schuine zijde \(s\)).
\(p\)	Het hellingspercentage. De letter p staat voor percentage. \(p = i \times 100\): het geeft aan dat je \(p\) stijgt over 100 horizontaal.
\(k\)	De waarde in promille. \(q = i \times 1000\): het geeft aan dat je \(q\) stijgt over 1000 horizontaal (25 ‰ is 25 m over 1000 m).
\(n\)	De noemer van de verhouding \(1:n\). \(n = L \div h = 1 \div i\): bij \(n\) horizontaal stijg je 1 (bij 1:12 is \(n = 12\)).
\(\theta\)	De hellingshoek van de helling met het horizontale vlak. De Griekse letter theta wordt vaak voor hoeken gebruikt. \(\theta = \arctan i\).
\(s\)	De lengte van de schuine zijde (de werkelijke lengte). Je berekent \(s = \sqrt{L^{2} + h^{2}}\).
\(\tan\)	De tangens. In een rechthoekige driehoek is dit “hoogte ÷ basis”. De helling \(i\) is gelijk aan \(\tan\theta\).
\(\arctan\)	De boogtangens. Ze geeft de hoek waarvan de tangens gelijk is aan de gegeven waarde; je schrijft ook \(\tan^{-1}\). Je gebruikt haar om de hoek uit de helling te berekenen.
\(\sqrt{\ }\)	De wortel. Het positieve getal waarvan het kwadraat de gegeven waarde is. Je gebruikt haar bij de stelling van Pythagoras voor de schuine zijde (bijvoorbeeld \(\sqrt{25} = 5\)).
\(\approx\)	Het teken voor “ongeveer gelijk aan”. Je gebruikt het als je een niet netjes deelbare waarde of het resultaat van \(\arctan\) afrondt.

Begrippen

helling	Hoeveel iets stijgt (of daalt) over een horizontale afstand. Je berekent het als hoogteverschil ÷ horizontale afstand. Dezelfde helling kun je schrijven als percentage (%), promille (‰), verhouding (1:n) of hoek (°).
hoogteverschil	Het verschil in hoogte tussen het begin en het einde van een helling, zoals de hoogte van een drempel, het hoogteverschil tussen de nok en de goot van een dak of tussen de twee uiteinden van een buis. Ook wel stijging of daling.
horizontale afstand	De lengte van het begin tot het einde van een helling, van boven gezien. Ze is altijd korter dan de lengte langs de helling (de werkelijke lengte). Bij het berekenen van de helling deel je het hoogteverschil door deze horizontale afstand.
schuine zijde	De langste zijde van een rechthoekige driehoek, tegenover de rechte hoek. In de figuur van de helling is dit de helling zelf, en de lengte ervan is de werkelijke lengte.
werkelijke lengte	De werkelijke lengte langs de helling gemeten (de lengte van de schuine zijde). Dit is de lengte van de plank, dakbalk of buis die je echt nodig hebt. Je berekent haar uit horizontale afstand en hoogteverschil met de stelling van Pythagoras.
hellingspercentage	Een manier om de helling uit te drukken als “hoeveel stijg je over 100 horizontaal”. Een verkeersbord met “10%” betekent 10 m stijgen over 100 m. Je berekent het als helling × 100.
promille	Een eenheid voor “hoeveel per duizend” (symbool ‰). Spoorwegen drukken hun helling vaak in promille uit: 25 ‰ is 25 m stijgen over 1000 m. Je berekent het als helling × 1000 (25 ‰ = 2,5%).
hellingsverhouding (1:n)	De schrijfwijze 1:n voor een helling waarbij je over \(n\) horizontaal 1 stijgt. Hellingbanen (zoals 1:12 bij een hoogteverschil tot 25 cm volgens het Bbl) en afvoeren (zoals 1:100) worden vaak zo aangegeven. Hoe groter \(n\), hoe vlakker de helling.
hellingshoek	De hoek van een helling met het horizontale vlak: de helling uitgedrukt in graden (°). Je berekent haar uit de helling \(i\) met \(\arctan\). Let op: hellingspercentage en hoek zijn niet evenredig (10% is ongeveer 5,7°, maar 100% is 45°).
tangens	De goniometrische verhouding \(\tan\) (tangens). In een rechthoekige driehoek is dit “hoogte ÷ basis”, en dat is precies de waarde van de helling.
boogtangens	De omgekeerde bewerking van \(\tan\) (\(\arctan\), arctangens): ze geeft de hoek waarvan de tangens gelijk is aan de gegeven waarde. Op een rekenmachine is dit de toets \(\tan^{-1}\), in Excel de functie BOOGTAN.
stelling van Pythagoras	In een rechthoekige driehoek geldt: kwadraat van de basis + kwadraat van de hoogte = kwadraat van de schuine zijde. Je gebruikt haar om de schuine zijde (de werkelijke lengte) uit de horizontale afstand en het hoogteverschil te berekenen.
afschot	Het afschot is de lichte helling die je aan een vloer, terras of buis geeft, zodat water vanzelf wegstroomt. Bij buizen wordt het vaak als verhouding (zoals 1:100) of in mm per meter uitgedrukt, bij terrassen en vloeren in procenten (zoals 1 tot 2%). Het is een soort helling.

Handig om vooraf te weten

Dit is wat je vooraf moet weten om de berekeningen op deze pagina echt te begrijpen.
Kom je er niet uit? Dan is het herhalen van de onderdelen in deze tabel de snelste weg.

Verhoudingen en procenten (groep 7-8, 10-12 jaar)	Weten dat een helling (hoogteverschil ÷ horizontale afstand) een verhouding is, namelijk een deel gedeeld door een geheel Kunnen wisselen tussen kommagetallen en procenten, zoals 0,05 = 5% en 0,4 = 40%
Breuken en kommagetallen omzetten, omgekeerde getallen (groep 7-8, 10-12 jaar)	Kunnen omzetten van \(\dfrac{1}{12}\) naar een kommagetal (ongeveer 0,0833), en van 0,05 naar een breuk zoals \(\dfrac{1}{20}\) Begrijpen dat “delen door \(\dfrac{1}{12}\)” hetzelfde is als “maal 12” (vermenigvuldigen met het omgekeerde)
Lengte-eenheden omrekenen (groep 4-5, 7-9 jaar)	1 m = 100 cm en 1 cm = 10 mm kennen en hoogteverschil en horizontale afstand in dezelfde eenheid kunnen zetten
Rechthoekige driehoek en stelling van Pythagoras (klas 2-3, 13-15 jaar)	Weten dat in een rechthoekige driehoek geldt “basis² + hoogte² = schuine zijde²” (bijvoorbeeld 3, 4, 5) Je een rechthoekige driehoek kunnen voorstellen met horizontale afstand en hoogteverschil als zijden, waarvan de schuine zijde de werkelijke lengte van de helling is
Tangens en de omgekeerde goniometrische functie (klas 3-4 havo/vwo, 14-16 jaar)	Weten dat \(\tan\theta\) in een rechthoekige driehoek “hoogte ÷ basis” is en dus precies de waarde van de helling Weten dat \(\arctan\) (\(\tan^{-1}\)) de hoek geeft bij een gegeven waarde van \(\tan\) (de berekening zelf mag met een rekenmachine of Excel) Kunnen inzien aan de grafiek van \(\tan\) dat hellingspercentage en hoek niet evenredig zijn (100% = 45°)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om de helling (hoogteverschil ÷ horizontale afstand) te berekenen

hoogteverschil h (cm)	60
horizontale afstand L (cm)	720
helling i	=B1/B2

Tabel om het hellingspercentage (%) en de promille (‰) te berekenen

helling i	0,4
hellingspercentage p (%)	=B1*100
promille (‰)	=B1*1000

Tabel om de noemer van de verhouding (1:n) te berekenen

hoogteverschil h (cm)	60
horizontale afstand L (cm)	720
noemer n (helling 1:n)	=B2/B1

Tabel om de hoek (in graden) te berekenen

helling i	=1/12
hoek θ (°)	=GRADEN(BOOGTAN(B1))

Tabel om hoogteverschil, horizontale afstand en schuine zijde te berekenen

hoogteverschil h (m)	0,6
helling i	=1/12
horizontale afstand L (m)	=B1/B2
lengte van de schuine zijde s (m)	=WORTEL(B3^2+B1^2)

Na het plakken zijn de bovenste cellen in kolom B invoercellen en is de onderste cel het automatisch berekende resultaat.
B3 van de eerste tabel is ongeveer 0,0833 (= 1/12), de tweede tabel geeft 40 en 400, B3 van de derde tabel is 12 en B2 van de vierde tabel is ongeveer 4,76.
“BOOGTAN” geeft de boogtangens (arctan) en levert het antwoord in radialen, dus “GRADEN” rekent het om naar graden. “WORTEL” is de wortel en “^2” is het kwadraat.
De vijfde tabel berekent de horizontale afstand van 7,2 m met “hoogteverschil ÷ helling” en de schuine zijde van ongeveer 7,225 m met de stelling van Pythagoras. Wil je uit de horizontale afstand het hoogteverschil berekenen, zet dan de horizontale afstand in B1 en gebruik in B3 de formule “=B1*B2”.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om de helling (hoogteverschil ÷ horizontale afstand) te berekenen

hoogteverschil h (cm)	60
horizontale afstand L (cm)	720
helling i	=B1/B2

Tabel om het hellingspercentage (%) en de promille (‰) te berekenen

helling i	0,4
hellingspercentage p (%)	=B1*100
promille (‰)	=B1*1000

Tabel om de noemer van de verhouding (1:n) te berekenen

hoogteverschil h (cm)	60
horizontale afstand L (cm)	720
noemer n (helling 1:n)	=B2/B1

Tabel om de hoek (in graden) te berekenen

helling i	=1/12
hoek θ (°)	=GRADEN(BOOGTAN(B1))

Tabel om hoogteverschil, horizontale afstand en schuine zijde te berekenen

hoogteverschil h (m)	0,6
helling i	=1/12
horizontale afstand L (m)	=B1/B2
lengte van de schuine zijde s (m)	=WORTEL(B3^2+B1^2)

Je kunt dezelfde formules als in Excel gebruiken (BOOGTAN, GRADEN en WORTEL). Kopieer een hele tabel, plak hem in cel A1 en vervang de waarden in kolom B door je eigen getallen.

Berekenen met Python

import math

rise = 0.6        # hoogteverschil h (m)
run = 7.2         # horizontale afstand L (m)

gradient = rise / run                          # helling i (= tanθ)
percent = gradient * 100                       # hellingspercentage (%)
permille = gradient * 1000                     # promille (‰)
sun = gradient * 10                            # stijging per 10 horizontaal
denominator = run / rise                       # de n in de verhouding 1:n
angle_deg = math.degrees(math.atan(gradient))  # hoek (°). atan geeft radialen, dus reken om naar graden
hypotenuse = math.sqrt(run ** 2 + rise ** 2)   # schuine lengte (werkelijke lengte, m)

print(f"Helling: {gradient:.4f}")
print(f"Percentage: {percent:.2f} %")
print(f"Promille: {permille:.2f} ‰")
print(f"Stijging per 10 horizontaal: {sun:.2f}")
print(f"Verhouding: 1:{denominator:.1f}")
print(f"Hoek: {angle_deg:.2f} °")
print(f"Schuine lengte: {hypotenuse:.3f} m")

# Andersom: bereken de benodigde horizontale afstand uit de helling en het hoogteverschil
target_gradient = 1 / 12   # gewenste helling (1:12)
rise2 = 0.6                # hoogteverschil (m)
run2 = rise2 / target_gradient
print(f"Horizontale afstand voor een hoogteverschil van {rise2} m bij helling 1:12: {run2:.3f} m")

Werkt met alleen de standaardbibliotheek. math.atan() is de boogtangens (arctan) en geeft het antwoord in radialen, dus math.degrees() rekent het om naar graden. Vervang bovenaan het hoogteverschil en de horizontale afstand door je eigen getallen en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

helling (verhouding tussen hoogteverschil en horizontale afstand)

i = h ÷ L

i = \frac{h}{L}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>i</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>h</mi><mi>L</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

i = h / L

h/L

i := h/L;

i = h/L;

i = h/L

hellingspercentage (%) en promille (‰)

p = i × 100,  q = i × 1000

p = 100\,i,\quad q = 1000\,i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>p</mi><mo>=</mo><mn>100</mn><mo>&#x2062;</mo><mi>i</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>q</mi><mo>=</mo><mn>1000</mn><mo>&#x2062;</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

p = 100 i,  q = 1000 i

{100*i, 1000*i}

p := 100*i;  q := 1000*i;

p = 100*i; q = 1000*i;  % i is de helling (voer eerst i = h/L; uit)

p = 100i, q = 1000i

hellingsverhouding (1:n)

n = L ÷ h

n = \frac{L}{h}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>L</mi><mi>h</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

n = L / h

L/h

n := L/h;

n = L/h;

n = L/h

Hoek van de helling (graden)

θ = arctan(i)

\theta = \arctan i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>θ</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>arctan</mi>
    <mo>&#x2061;</mo>
    <mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

theta = arctan(i)

ArcTan[i]*180/Pi

theta := arctan(i)*180/Pi;

theta = atand(i);  % i is de helling (voer eerst i = h/L; uit)

θ = tan^(-1)(i)

hoogteverschil, horizontale afstand en lengte van de schuine zijde

h = L × i,  L = h ÷ i,  s = √(L² + h²)

h = L\,i,\quad L = \frac{h}{i},\quad s = \sqrt{L^{2} + h^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi><mo>=</mo><mi>L</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>i</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>L</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>h</mi><mi>i</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>s</mi><mo>=</mo>
    <msqrt><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></msqrt>
  </mrow>
</math>

h = L i,  L = h / i,  s = sqrt(L^2 + h^2)

{L*i, h/i, Sqrt[L^2 + h^2]}

h := L*i;  L := h/i;  s := sqrt(L^2 + h^2);

h = L*i; L = h/i; s = sqrt(L^2 + h^2);  % i is de helling (voer eerst i = h/L; uit)

h = Li, L = h/i, s = √(L^2 + h^2)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een assistent voor hellingsberekeningen in bouw en civiele techniek. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit de uitvoer (geef geen antwoord uit je hoofd of op basis van een schatting).

Een hoogteverschil van 60 cm wordt overbrugd met een helling met een horizontale afstand van 7,2 m.
Bereken de volgende waarden.
1. De helling (hoogteverschil ÷ horizontale afstand; gebruik dezelfde eenheden)
2. Het hellingspercentage (%) en de promille (‰)
3. De n in de verhouding 1:n
4. De hoek (in graden; gebruik arctan en reken radialen om naar graden)
5. De schuine lengte (werkelijke lengte; stelling van Pythagoras)

Geef de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit de uitvoer.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule