Kwartielen en boxplot berekenen (Q1, Q2, Q3, IQR, uitschieters)

Vul de waarden van je gegevens in, gescheiden door puntkomma’s (;) of spaties. De volgorde maakt niet uit (bij het berekenen worden ze van klein naar groot gesorteerd).

Gegevens (puntkomma’s of spaties)

Scheid de getallen met puntkomma’s of spaties (gegevens die je plakt met één waarde per regel werken zoals ze zijn). Negatieve getallen en decimalen mogen ook.

Resultaat en grafiek

Vul links je gegevens in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een boxplot verschijnen hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul je gegevens in en je krijgt in één keer het eerste kwartiel \(Q_1\), de mediaan (tweede kwartiel) \(Q_2\), het derde kwartiel \(Q_3\), de kwartielafstand IQR, de halve kwartielafstand, het minimum en het maximum
Uit het resultaat wordt meteen een boxplot getekend (je kunt hem opslaan als PNG of SVG)
Uitschieters (waarden onder \(Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\) of boven \(Q_3 + 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\)) worden automatisch gevonden en als aparte stippen in de boxplot getoond
Kwartielen worden gevonden met de methode van de mediaan van de helften die op school wordt geleerd, en de stappen (hoe de gegevens in een onderste helft en een bovenste helft worden gesplitst) worden ook getoond
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python staan ook op deze pagina

Deze pagina richt zich op kwartielen en boxplots. Wil je het gemiddelde, de modus of de variatiebreedte (maximum − minimum) vinden, gebruik dan de gerelateerde pagina “Gemiddelde, mediaan, modus en variatiebreedte berekenen”.

Waarvoor is deze berekening handig?

Toetsresultaten bekijken als een verdeling (school en toetsen)

Het klasgemiddelde alleen vertelt je niet hoe de toetscijfers verdeeld zijn. Met kwartielen kun je aflezen “tussen welke cijfers de middelste helft van de leerlingen zat” en “welk cijfer je nodig hebt om bij de beste 25% te horen”.
In rapportages en de analyse van oefentoetsen worden boxplots per klas of vak naast elkaar gezet, zodat je de verschillen in de verdeling in één oogopslag kunt vergelijken.

Gegevens lezen waarbij het gemiddelde niet klopt met je gevoel, zoals salarissen (statistiek en economie)

Bij gegevens zoals salarissen of spaargeld trekken een paar extreem grote waarden het gemiddelde omhoog, dus “het gemiddelde” is niet wat een gewoon persoon heeft. Voor zulke gegevens geven de mediaan en het eerste en derde kwartiel een beeld dat dichter bij de werkelijkheid ligt. Het CBS deelt huishoudens bijvoorbeeld naar hoogte van het inkomen in tien even grote groepen (10%-groepen) en publiceert naast het gemiddelde ook de mediaan.
Wil je weten waar je zelf staat in de hele groep, dan zijn kwartielen een betrouwbaardere maatstaf dan het gemiddelde.

Meetfouten en ongewone waarden opsporen (kwaliteitscontrole en data-analyse)

Zoek je verdachte waarden in productmetingen, sensorwaarden of een gegevensverzameling vóór de analyse, dan is de 1,5×IQR-regel een van de meest gebruikte vuistregels. Anders dan het gemiddelde en de standaardafwijking hebben de uitschieters zelf er nauwelijks invloed op, waardoor het een handige maatstaf is om ze te vinden.
Maar een uitschieter is niet altijd een fout, dus in de praktijk gooi je hem niet automatisch weg. Controleer eerst de oorzaak (een typefout, of een echt ongewoon voorval) en beslis dan hoe je ermee omgaat.

De regelmaat van prestaties vergelijken (sport en weer)

Bij hardloop- en zwemtijden telt naast gemiddeld snel zijn ook regelmatig zijn. Zet de resultaten van meerdere sporters, of van verschillende seizoenen, naast elkaar als boxplots, en je kunt snelheid en regelmaat (hoe klein de box is) tegelijk vergelijken.
Ook in de weer- en klimaatkunde worden boxplots vaak gebruikt om te vergelijken hoeveel de temperatuur of neerslag per plaats of per maand varieert.

Formules en figuren

Zo vind je de kwartielen (Q1, Q2, Q3)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(Q_2\) \(=\) \(\text{mediaan van alle gegevens}\)

\(Q_1\) \(=\) \(\text{mediaan van de onderste helft}\)

\(Q_3\) \(=\) \(\text{mediaan van de bovenste helft}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① \(Q_2\): mediaan (tweede kwartiel) \(=\) mediaan van alle gegevens

\(Q_1\): eerste kwartiel \(=\) ② mediaan van de onderste helft

\(Q_3\): derde kwartiel \(=\) ③ mediaan van de bovenste helft

De formule in woorden

① Sorteer de gegevens van klein naar groot. Gebruik de \(Q_2\): mediaan (tweede kwartiel) om de gegevens te splitsen in een onderste helft en een bovenste helft (bij een oneven aantal waarden hoort de mediaan bij geen van beide helften)

② De mediaan van de onderste helft is het eerste kwartiel \(Q_1\)

③ De mediaan van de bovenste helft is het derde kwartiel \(Q_3\)

Een eenvoudig voorbeeld

Bij de 9 waarden 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 laat je de mediaan 5 weg. De onderste helft is 1, 2, 3, 4 en de bovenste helft is 6, 7, 8, 9, dus

\(Q_2\): mediaan \(=\) 5e waarde van klein naar groot (5)

\(Q_1\): eerste kwartiel \(=\) mediaan van de onderste helft 1, 2, 3, 4

\(Q_3\): derde kwartiel \(=\) mediaan van de bovenste helft 6, 7, 8, 9

\(Q_2 = 5\)

\(Q_1 = \dfrac{2 + 3}{2} = 2{,}5\)

\(Q_3 = \dfrac{7 + 8}{2} = 7{,}5\)

Het belangrijkste idee

Kwartielen zijn de drie waarden die gesorteerde gegevens in vier delen met evenveel waarden verdelen. In elk deel zit ongeveer 25% van de gegevens: tot \(Q_1\), van \(Q_1\) tot \(Q_2\), van \(Q_2\) tot \(Q_3\) en vanaf \(Q_3\). \(Q_2\) zit precies in het midden van alle gegevens, dus het is de mediaan zelf. Er zijn meerdere methoden om kwartielen te vinden. Deze pagina gebruikt de methode “mediaan van de helften”, de manier die op school gangbaar is en die ook de grafische rekenmachine (GR, bijvoorbeeld de TI-84) gebruikt. Functies zoals KWARTIEL.INC in Excel gebruiken een andere methode die tussen de gegevens interpoleert, dus hun uitkomsten kunnen een beetje afwijken van deze pagina (in het Excel-gedeelte hieronder staat meer uitleg).

Kwartielafstand (IQR) en halve kwartielafstand

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\text{IQR}\) \(=\) \(Q_3\) \(-\) \(Q_1\)

\(\text{halve kwartielafstand}\) \(=\) \(\text{IQR}\) \(\div\) \(2\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ IQR: kwartielafstand \(=\) ① \(Q_3\): derde kwartiel \(-\) ② \(Q_1\): eerste kwartiel

⑤ halve kwartielafstand \(=\) ④ IQR: kwartielafstand \(\div\) \(2\)

De formule in woorden

① Neem het \(Q_3\): derde kwartiel

② trek daar het \(Q_1\): eerste kwartiel af

③ en zo vind je de IQR: kwartielafstand (de breedte van de “box” in een boxplot).

④ Deel de IQR: kwartielafstand door 2

⑤ en zo vind je de halve kwartielafstand

Een eenvoudig voorbeeld

Bij de 9 waarden 1 tot en met 9 (\(Q_1 = 2{,}5\), \(Q_3 = 7{,}5\))

IQR: kwartielafstand \(=\) derde kwartiel (7,5) \(-\) eerste kwartiel (2,5)

\(7{,}5 - 2{,}5 = 5\)

\(5 \div 2 = 2{,}5\)

Het belangrijkste idee

De kwartielafstand IQR is de breedte waarin de middelste ongeveer 50% van de gegevens zit en meet hoe ver de gegevens uit elkaar liggen. Anders dan de variatiebreedte (maximum − minimum) heeft ze nauwelijks last van extreme waarden aan beide uiteinden (uitschieters), en dat is haar sterke punt. IQR komt van het Engelse “interquartile range”; in het Nederlands zeg je ook interkwartielafstand. De halve kwartielafstand (ook wel semi-interkwartielafstand genoemd) is de helft van de IQR. Je gebruikt hem als maat voor spreiding: de middelste helft van de gegevens ligt binnen ongeveer deze afstand aan weerszijden van de mediaan.

Uitschieters vinden (de 1,5×IQR-regel)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x\) \(<\) \(Q_1\) \(-\) \(1{,}5 \times \text{IQR}\)

\(x\) \(>\) \(Q_3\) \(+\) \(1{,}5 \times \text{IQR}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(x\): gegevenswaarde \(<\) ① \(Q_1\): eerste kwartiel \(-\) ② 1,5 keer de IQR

\(x\): gegevenswaarde \(>\) ③ \(Q_3\): derde kwartiel \(+\) 1,5 keer de IQR

De formule in woorden

① Een waarde is een mogelijke uitschieter als hij onder het \(Q_1\): eerste kwartiel

② min 1,5 keer de IQR ligt, of boven

③ het \(Q_3\): derde kwartiel plus hetzelfde bedrag ligt.

④ Zo’n \(x\): gegevenswaarde wordt aangemerkt als een mogelijke uitschieter

Een eenvoudig voorbeeld

Bij de 7 waarden 10, 11, 12, 13, 14, 15, 40 (\(Q_1 = 11\), \(Q_3 = 15\), kwartielafstand 4)

gegevenswaarde (40) \(>\) derde kwartiel (15) \(+\) 1,5 keer de IQR (6)

\(Q_3 + 1{,}5 \times 4 = 15 + 6 = 21\)

\(40 > 21\)

Het belangrijkste idee

De 1,5×IQR-regel is een gangbare vuistregel: een waarde die meer dan 1,5 boxbreedtes van het uiteinde van de box af ligt, wordt gezien als extreem ver van de rest. Op school wordt dit als een standaardmanier geleerd om uitschieters te herkennen, maar het is geen absolute definitie en sommige vakgebieden gebruiken andere regels. Net als de grafische rekenmachine en de meeste statistiekprogramma’s gebruikt deze pagina strikte ongelijkheden (< en >), dus een waarde precies op een grens is geen uitschieter. Sommige boeken tellen een waarde precies op een grens wel als uitschieter (≤ en ≥). De twee verschillen alleen als een waarde precies op een grens valt. In de basisvorm van de boxplot lopen de snorren helemaal door tot het minimum en het maximum. In de variant die uitschieters apart toont, stoppen de snorren bij de kleinste en grootste waarde die geen uitschieter is, en wordt elke uitschieter als een eigen stip getekend (de boxplot op deze pagina gebruikt deze variant, vaak een aangepaste boxplot genoemd). Een uitschieter is niet altijd een foute waarde. Het kan een typ- of meetfout zijn, maar ook een echt ongewone waarde, dus gooi hem niet automatisch weg. Het is belangrijk om na te gaan waarom de waarde zo uitkwam.

Om de kwartielen \(Q_1\), \(Q_2\) en \(Q_3\) te vinden sorteer je de gegevens, splits je ze bij de mediaan \(Q_2\) in een onderste helft en een bovenste helft en neem je van elke helft de mediaan (bij een oneven aantal waarden hoort de mediaan bij geen van beide helften). De kwartielafstand \(\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1\) is de breedte waarin de middelste ongeveer 50% van de gegevens zit en is de breedte van de “box” in een boxplot.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(Q_1\)	Q één	Het eerste kwartiel. De \(Q\) komt van de eerste letter van “kwartiel”. Het is de waarde ongeveer een kwart (25%) van de weg omhoog in de gesorteerde gegevens, gevonden als de mediaan van de onderste helft.
\(Q_2\)	Q twee	Het tweede kwartiel. Het is de waarde precies in het midden van alle gegevens, en dat is de mediaan zelf. In een boxplot is het de lijn die de box verdeelt.
\(Q_3\)	Q drie	Het derde kwartiel. Het is de waarde ongeveer driekwart (75%) van de weg omhoog in de gesorteerde gegevens, gevonden als de mediaan van de bovenste helft.
\(\mathrm{IQR}\)	I Q R	De kwartielafstand, van de beginletters van het Engelse “interquartile range” (de variatiebreedte tussen de kwartielen). Ze is gelijk aan \(Q_3 - Q_1\), de breedte waarin de middelste ongeveer 50% van de gegevens zit.
\(x\)	x	Een letter voor elke afzonderlijke gegevenswaarde. Op deze pagina komt hij voor in de test voor uitschieters (zoals \(x < Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\)).
\(n\)	n	Het aantal waarden, van de eerste letter van “aantal” (in het Engels “number”). Hoe je de mediaan behandelt bij het vinden van kwartielen hangt ervan af of \(n\) even of oneven is.

Begrippen

kwartiel	De drie waarden die gesorteerde gegevens in vier delen met evenveel waarden verdelen. Van klein naar groot zijn dat het eerste kwartiel \(Q_1\), het tweede kwartiel \(Q_2\) (= de mediaan) en het derde kwartiel \(Q_3\).
mediaan	De waarde precies in het midden als de gegevens van klein naar groot gesorteerd zijn. Bij een even aantal waarden is het het gemiddelde van de twee middelste waarden. Anders dan het gemiddelde is het een centrummaat waar extreem grote of kleine waarden nauwelijks invloed op hebben.
onderste helft	De eerste helft van de gegevens (de kant onder de mediaan) als je de gegevens bij de mediaan splitst. Bij een oneven aantal waarden blijft de mediaan zelf weg. De mediaan van de onderste helft is \(Q_1\).
bovenste helft	De tweede helft van de gegevens (de kant boven de mediaan) als je de gegevens bij de mediaan splitst. Bij een oneven aantal waarden blijft de mediaan zelf weg. De mediaan van de bovenste helft is \(Q_3\).
kwartielafstand	Het is \(Q_3 - Q_1\) (de IQR, ook interkwartielafstand genoemd). Het is de breedte waarin de middelste ongeveer 50% van de gegevens zit en wordt gebruikt om spreiding te meten. Haar sterke punt is dat uitschieters er nauwelijks invloed op hebben.
halve kwartielafstand (semi-interkwartielafstand)	De kwartielafstand gedeeld door 2. Een maat voor hoe ver aan weerszijden van de mediaan de middelste helft van de gegevens verspreid ligt.
boxplot	Een diagram dat vijf waarden, het minimum, \(Q_1\), de mediaan, \(Q_3\) en het maximum (de vijfgetallensamenvatting), toont als een “box” en snorren boven een getallenlijn. Het is handig om de spreiding van meerdere gegevensverzamelingen naast elkaar te vergelijken. Je komt boxplots op school tegen bij statistiek.
snor	Een lijn die links of rechts van de box van een boxplot uitloopt. In de basisvorm loopt hij tot het minimum of het maximum. In de variant die uitschieters apart toont, stopt hij bij de kleinste of grootste waarde die geen uitschieter is, en worden uitschieters als aparte stippen getekend.
uitschieter	Een waarde die extreem ver van de andere waarden ligt. Een veelgebruikte vuistregel is de 1,5×IQR-regel (waarden onder \(Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\) of boven \(Q_3 + 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\)).
centrummaat	Eén getal dat samenvat waar het midden van de gegevens ligt, zoals het gemiddelde, de mediaan of de modus. Kwartielen breiden het idee van de mediaan uit naar “de punten die de gegevens in vier delen snijden”.
variatiebreedte	Het maximum min het minimum. Ze laat zien hoe breed alle gegevens zijn uitgespreid, maar haar zwakke punt is dat één uitschieter haar sterk kan veranderen. De kwartielafstand maakt dit goed.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Loop je vast, dan is het snelst om deze onderwerpen nog eens door te nemen.

Getallen vergelijken en de getallenlijn (groep 3 tot klas 1, 6-13 jaar)	Getallen, ook decimalen en negatieve getallen, van klein naar groot kunnen sorteren Je kunnen voorstellen waar elke waarde op een getallenlijn staat
Centrummaten zoals het gemiddelde en de mediaan (groep 7 tot klas 1, 10-13 jaar)	Weten dat de mediaan de middelste waarde van de gesorteerde gegevens is, en het gemiddelde van de twee middelste waarden als er een even aantal waarden is Weten dat het gemiddelde en de mediaan verschillende waarden zijn, en dat het gemiddelde veel meer verschuift als er een extreme waarde is
Boxplots en de kwartielafstand (klas 2 tot 3, 13-15 jaar)	Een boxplot kunnen tekenen uit de vijf waarden: het minimum, \(Q_1\), de mediaan, \(Q_3\) en het maximum Weten dat de breedte van de box de kwartielafstand toont, en dat een kleinere box betekent dat de middelste helft van de gegevens dichter bij elkaar ligt
Rekenen met decimalen en breuken (groep 6 tot 8, 9-12 jaar)	Het gemiddelde van twee waarden, \(\dfrac{a + b}{2}\), kunnen berekenen (bijvoorbeeld \(\dfrac{2 + 3}{2} = 2{,}5\)) Kunnen vermenigvuldigen met een decimaal getal als 1,5 (bijvoorbeeld \(4 \times 1{,}5 = 6\))
Gegevensanalyse (bovenbouw havo/vwo, 15-18 jaar)	Weten dat de variatiebreedte, de kwartielafstand, de variantie en de standaardafwijking allemaal spreiding meten, en dat elke maat het best past bij andere situaties De vorm van een verdeling (waar de piek ligt, naar welke kant hij overhelt) kunnen aflezen uit een histogram of een boxplot

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor het berekenen van de kwartielen met de methode van de mediaan van de helften (voorbeeld met 10 waarden)

Waarde 1 (vul in van klein naar groot)	2
Waarde 2	3
Waarde 3	4
Waarde 4	5
Waarde 5	6
Waarde 6	7
Waarde 7	7
Waarde 8	7
Waarde 9	8
Waarde 10	10
Mediaan Q2 (mediaan van alle gegevens)	=MEDIAAN(B1:B10)
Eerste kwartiel Q1 (mediaan van de onderste helft = eerste 5 waarden)	=MEDIAAN(B1:B5)
Derde kwartiel Q3 (mediaan van de bovenste helft = laatste 5 waarden)	=MEDIAAN(B6:B10)
Kwartielafstand IQR	=B13-B12
Halve kwartielafstand	=B14/2

Tabel om te vergelijken met de Excel-functie voor kwartielen KWARTIEL.INC (dezelfde gegevens)

Waarde 1	2
Waarde 2	3
Waarde 3	4
Waarde 4	5
Waarde 5	6
Waarde 6	7
Waarde 7	7
Waarde 8	7
Waarde 9	8
Waarde 10	10
Q1 (KWARTIEL.INC)	=KWARTIEL.INC(B1:B10;1)
Q2 (KWARTIEL.INC)	=KWARTIEL.INC(B1:B10;2)
Q3 (KWARTIEL.INC)	=KWARTIEL.INC(B1:B10;3)

Tabel voor het berekenen van de grenzen voor uitschieters (1,5×IQR-regel)

Eerste kwartiel Q1	4
Derde kwartiel Q3	7
Kwartielafstand IQR	=B2-B1
Ondergrens voor uitschieters Q1−1,5×IQR	=B1-1,5*B3
Bovengrens voor uitschieters Q3+1,5×IQR	=B2+1,5*B3

De eerste tabel vindt de kwartielen met dezelfde methode van de mediaan van de helften als deze pagina. Vul de gegevens in van klein naar groot en gebruik de functie MEDIAAN op drie bereiken: alle gegevens, de eerste helft en de tweede helft. In dit voorbeeld (10 waarden) is de eerste helft B1:B5 en de tweede helft B6:B10, wat Q2 = 6,5, Q1 = 4, Q3 = 7, IQR = 3 en halve kwartielafstand = 1,5 geeft. Bij een oneven aantal waarden laat je de middelste weg als je de bereiken voor de twee helften instelt (bij 9 waarden B1:B4 en B6:B9).
De functie KWARTIEL.INC in de tweede tabel gebruikt een andere methode die tussen de gegevens interpoleert, dus haar uitkomsten kunnen afwijken van de methode van de mediaan van de helften. Voor dezelfde gegevens geeft KWARTIEL.INC Q1 = 4,25, wat afwijkt van Q1 = 4 in de eerste tabel (in dit voorbeeld komen Q2 = 6,5 en Q3 = 7 toevallig overeen). Gebruik voor het controleren van huiswerkantwoorden de eerste tabel.
De derde tabel geeft de grenzen voor uitschieters: −0,5 voor de ondergrens en 11,5 voor de bovengrens. Gegevenswaarden onder de ondergrens (−0,5) of boven de bovengrens (11,5) zijn uitschieters.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor het berekenen van de kwartielen met de methode van de mediaan van de helften (voorbeeld met 10 waarden)

Waarde 1 (vul in van klein naar groot)	2
Waarde 2	3
Waarde 3	4
Waarde 4	5
Waarde 5	6
Waarde 6	7
Waarde 7	7
Waarde 8	7
Waarde 9	8
Waarde 10	10
Mediaan Q2 (mediaan van alle gegevens)	=MEDIAAN(B1:B10)
Eerste kwartiel Q1 (mediaan van de onderste helft = eerste 5 waarden)	=MEDIAAN(B1:B5)
Derde kwartiel Q3 (mediaan van de bovenste helft = laatste 5 waarden)	=MEDIAAN(B6:B10)
Kwartielafstand IQR	=B13-B12
Halve kwartielafstand	=B14/2

Tabel om te vergelijken met de functie voor kwartielen KWARTIEL van Google Spreadsheets (dezelfde gegevens)

Waarde 1	2
Waarde 2	3
Waarde 3	4
Waarde 4	5
Waarde 5	6
Waarde 6	7
Waarde 7	7
Waarde 8	7
Waarde 9	8
Waarde 10	10
Q1 (KWARTIEL)	=KWARTIEL(B1:B10;1)
Q2 (KWARTIEL)	=KWARTIEL(B1:B10;2)
Q3 (KWARTIEL)	=KWARTIEL(B1:B10;3)

Tabel voor het berekenen van de grenzen voor uitschieters (1,5×IQR-regel)

Eerste kwartiel Q1	4
Derde kwartiel Q3	7
Kwartielafstand IQR	=B2-B1
Ondergrens voor uitschieters Q1−1,5×IQR	=B1-1,5*B3
Bovengrens voor uitschieters Q3+1,5×IQR	=B2+1,5*B3

Dezelfde formules als in Excel werken zonder aanpassing. Kopieer de hele tabel en plak die in cel A1. De functie KWARTIEL in Google Spreadsheets gebruikt dezelfde interpolatie als KWARTIEL.INC in Excel, dus haar uitkomsten kunnen afwijken van de methode van de mediaan van de helften (de eerste tabel).

Berekenen met Python

# gegevens (vervang door je eigen waarden)
data = [3, 7, 7, 4, 10, 8, 6, 5, 7, 2]

def median(sorted_values):
    # mediaan van een gesorteerde lijst (bij een even aantal het gemiddelde van de twee middelste waarden)
    count = len(sorted_values)
    middle = count // 2
    if count % 2 == 1:
        return sorted_values[middle]
    return (sorted_values[middle - 1] + sorted_values[middle]) / 2

values = sorted(data)
n = len(values)
lower_half = values[: n // 2]        # onderste helft (bij een oneven aantal de eerste helft zonder de mediaan)
upper_half = values[(n + 1) // 2:]   # bovenste helft (de tweede helft, op dezelfde manier)

q1 = median(lower_half)
q2 = median(values)
q3 = median(upper_half)
iqr = q3 - q1
quartile_deviation = iqr / 2
fence_low = q1 - 1.5 * iqr
fence_high = q3 + 1.5 * iqr
outliers = [v for v in values if v < fence_low or v > fence_high]

print(f"Q1 = {q1}, Q2 (mediaan) = {q2}, Q3 = {q3}")
print(f"Kwartielafstand IQR = {iqr}, halve kwartielafstand = {quartile_deviation}")
print(f"Uitschieters (1,5×IQR-regel): {outliers if outliers else 'Geen'}")

De functie statistics.quantiles uit de standaardbibliotheek interpoleert tussen de gegevens, wat een andere methode is, dus de methode van de mediaan van de helften wordt zoals in dit voorbeeld zelf uitgerekend. Als je het uitvoert, krijg je Q1 = 4, Q2 = 6,5, Q3 = 7, kwartielafstand = 3, halve kwartielafstand = 1,5 en geen uitschieters (Python schrijft decimalen met een punt). Vervang de inhoud van data en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Zo vind je de kwartielen (Q1, Q2, Q3)

Q₂ = Med(alle gegevens),  Q₁ = Med(onderste helft),  Q₃ = Med(bovenste helft)

Q_2 = \mathrm{Med}(\text{alle gegevens}),\quad Q_1 = \mathrm{Med}(\text{onderste helft}),\quad Q_3 = \mathrm{Med}(\text{bovenste helft})

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>Q</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo>
    <mi>Med</mi><mo>(</mo><mtext>alle gegevens</mtext><mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo>
    <mi>Med</mi><mo>(</mo><mtext>onderste helft</mtext><mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo>
    <mi>Med</mi><mo>(</mo><mtext>bovenste helft</mtext><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

Q_2 = "Med"("alle gegevens"), Q_1 = "Med"("onderste helft"), Q_3 = "Med"("bovenste helft")

q2 = Median[data]; q1 = Median[lower]; q3 = Median[upper]  (* lower/upper = de onderste en bovenste helft, gesplitst bij de mediaan *)

q2 := Statistics:-Median(data); q1 := Statistics:-Median(lower); q3 := Statistics:-Median(upper);

q2 = median(x); q1 = median(lower); q3 = median(upper);

Q_2 = Med(alle gegevens), Q_1 = Med(onderste helft), Q_3 = Med(bovenste helft)

Kwartielafstand (IQR) en halve kwartielafstand

IQR = Q₃ − Q₁,  halve kwartielafstand = IQR ÷ 2

\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1,\quad \text{halve kwartielafstand} = \dfrac{\mathrm{IQR}}{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>IQR</mi><mo>=</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <mtext>halve kwartielafstand</mtext><mo>=</mo>
    <mfrac><mi>IQR</mi><mn>2</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

IQR = Q_3 - Q_1, "halve kwartielafstand" = IQR / 2

iqr = q3 - q1; quartileDeviation = iqr/2

iqr := q3 - q1; qd := iqr/2;

iqr_value = q3 - q1; qd = iqr_value/2;

IQR = Q_3 − Q_1, halve kwartielafstand = IQR/2

Uitschieters vinden (de 1,5×IQR-regel)

x < Q₁ − 1,5×IQR of x > Q₃ + 1,5×IQR

x < Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR} \quad \text{of} \quad x > Q_3 + 1{,}5 \times \mathrm{IQR}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi><mo>&lt;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>1,5</mn><mo>&#x00D7;</mo><mi>IQR</mi>
    <mtext>&#x2003;of&#x2003;</mtext>
    <mi>x</mi><mo>&gt;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <mn>1,5</mn><mo>&#x00D7;</mo><mi>IQR</mi>
  </mrow>
</math>

x < Q_1 - 1.5 xx IQR " of " x > Q_3 + 1.5 xx IQR

Select[data, # < q1 - 1.5 iqr || # > q3 + 1.5 iqr &]

select(v -> v < q1 - 1.5*iqr or v > q3 + 1.5*iqr, data);

outliers = x(x < q1 - 1.5*iqr | x > q3 + 1.5*iqr);

x < Q_1 − 1,5×IQR of x > Q_3 + 1,5×IQR

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een assistent voor statistische berekeningen (gegevensanalyse). Doe de volgende berekening door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit het hoofd of op gevoel).

Bereken de kwartielen van de volgende gegevens met de methode van de mediaan van de helften die op school wordt geleerd.
Gegevens: 3, 7, 7, 4, 10, 8, 6, 5, 7, 2

De methode: sorteer de gegevens van klein naar groot en splits ze bij de mediaan in een onderste helft en een bovenste helft (bij een oneven aantal waarden hoort de mediaan bij geen van beide helften). Het eerste kwartiel Q1 is de mediaan van de onderste helft en het derde kwartiel Q3 is de mediaan van de bovenste helft. Gebruik geen functies die interpoleren, zoals statistics.quantiles.

Toon elk van de volgende:
1. De gesorteerde gegevens en hoe ze in de onderste helft en de bovenste helft zijn gesplitst
2. De waarden van Q1, de mediaan Q2 en Q3
3. De kwartielafstand IQR en de halve kwartielafstand
4. De uitschieters volgens de 1,5×IQR-regel (waarden onder Q1 − 1,5×IQR of boven Q3 + 1,5×IQR)

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule