Kies wat je wilt controleren en vul de maten van het meubel en van de deur, gang of lift in (in cm). De speling trek je voor verpakking, handgrepen en afdekmateriaal af van de opening of gang (standaard 3 cm; laat het veld leeg voor 3 cm of vul 0 in voor geen speling).
Maten van het meubel of apparaat (cm)
cm
cm
cm
Meet de deur van de binnenkant van het kozijn tot de binnenkant van het kozijn. Kun je de deur uit de scharnieren halen, dan kan de uitslag veranderen als je de breedte invult zonder de deur. In Nederland is het deurblad van een binnendeur vaak ongeveer 83 cm breed, maar de lichte doorgang is smaller. Meet daarom altijd zelf.
Resultaat en figuur
Vul links de drie maten van het meubel en de maten van de deur (gang of lift) in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnt de uitslag, met een figuur van het vlak van het meubel over de opening.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Voorwaarde om door een deur te passen (bruikbare opening en een vlak dat erdoor past)
-
Voorwaarde om schuin erdoor te gaan (breedte en hoogte van de omschreven rechthoek van het gekantelde vlak)
-
Langste lengte die om een L-vormige hoek in de gang kan
-
Diagonalen van een liftcabine (de grens voor een lang, dun voorwerp)
-
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul de breedte, diepte en hoogte van een meubel of apparaat in, plus de breedte en hoogte van een deur, raam of andere opening. Je krijgt een van drie uitslagen: “past waarschijnlijk”, “past waarschijnlijk als je het schuin houdt” of “past waarschijnlijk niet”
- Je ziet welk van de drie vlakken van het meubel (voorkant, zijkant of bovenkant) je naar de opening moet draaien (rechtop, op zijn kant of liggend) en hoeveel centimeter je dan overhoudt
- Bij een hoog, dun meubel zie je hoeveel graden je het vanuit de verticale stand moet kantelen. Past het niet, dan zie je hoeveel centimeter er tekortkomt
- Bij een L-vormige hoek in de gang bereken je de langste lengte die nog om de hoek kan, rekening houdend met de breedte van het meubel, en de moeilijkste hoek
- Uit de binnenmaat van een liftcabine zie je of het meubel er zo in past of schuin, en je berekent de diagonaal van de vloer en de ruimtediagonaal (de grens voor een lang, dun voorwerp)
De uitslag is een meetkundige berekening waarin de opening een rechthoek is en het meubel een balk. Ruimte voor verpakking, handgrepen, deurknoppen en afdekmateriaal trek je af in het veld “Speling”. Bij een echte verhuizing hebben de dragers ook ruimte nodig voor hun handen. Houd je maar een paar centimeter over, vraag het dan vooraf aan het verhuisbedrijf.
Waarvoor is deze berekening handig?
Zelf nagaan of grote meubels in je nieuwe huis passen voordat je een offerte aanvraagt (verhuizen)
Een bank van 180 cm breed, 90 cm diep en 75 cm hoog gaat waarschijnlijk door een deur van 80 cm breed en 200 cm hoog (speling 3 cm) als je het zijvlak (diepte 90 × hoogte 75) naar de opening draait: zet de bank op zijn rugleuning en draag hem met de kop eerst naar binnen, met de hoogte van 75 cm in de breedte en de diepte van 90 cm in de hoogte. Er blijft dan 2 cm over in de breedte. Voordat je een bank weggeeft omdat je denkt dat 180 cm nooit door een deur van 80 cm past, kun je met getallen nagaan of de juiste keuze van het vlak het wel mogelijk maakt.
Met maar 2 cm over wordt het in de praktijk erg krap als je ook deurknoppen, scharnieren en afdekmateriaal meerekent. Geef bij zo’n krappe maat de maten door aan het verhuisbedrijf als het komt kijken, en bespreek opties zoals de deur uit de scharnieren halen of de poten van de bank halen.
De voordeur en de deuren in huis controleren voordat je een koelkast of wasmachine koopt (apparaten kopen)
Een wasmachine van 60 cm breed, 60 cm diep en 85 cm hoog past waarschijnlijk niet door een smalle deur van 62 cm (speling 3 cm, dus een bruikbare breedte van 59 cm). Elk vlak heeft een korte zijde van 60 cm, dus er komt 1 cm breedte tekort. Bij apparaten zoals koelkasten en wasmachines, waarvan elk vlak breed is, lost draaien of kantelen een tekort aan breedte niet op. Je moet de deur uit de scharnieren halen, een andere route kiezen of een iets kleiner model nemen.
In de bezorg- en installatiegidsen van winkels en fabrikanten staat de benodigde doorgang vaak als “de breedte van het apparaat plus zoveel centimeter”. Vul die extra ruimte in het veld “Speling” in en je controleert het op dezelfde manier als de gids. Of het apparaat past op de plek waar het moet staan (de afvoer of de hoogte van de kranen) is een aparte vraag. Kijk daarvoor in de installatiehandleiding.
Een hoge boekenkast, kledingkast of passpiegel een kamer in krijgen zonder hem plat te leggen (meubels kopen of verplaatsen)
Een dun paneel van 202 cm hoog en 10 cm dik (een passpiegel of de achterwand van een kledingkast vóór het in elkaar zetten) is, rechtop door een deur van 200 cm hoog, 2 cm te hoog (speling 0). Kantel je het ongeveer 20° vanaf de verticaal, dan is de benodigde hoogte ongeveer 193 cm en de benodigde breedte ongeveer 79 cm, dus het gaat waarschijnlijk door een deur van 90 cm breed. “Even schuin houden” werkt alleen bij zo’n dun meubel dat maar een klein beetje te hoog is.
Een dikke boekenkast of kledingkast heeft bij kantelen meteen veel meer breedte nodig, dus die draag je meestal liggend (met het bovenvlak of het zijvlak naar de opening). Meubels die je zelf in de kamer in elkaar zet, hoeven alleen als losse onderdelen te passen, dus dan hoef je je niet druk te maken over de maat van het eindproduct.
Inschatten of een lange bank of een bed om een L-vormige hoek in de gang of om een trap met bordes kan (huur- en koopappartementen)
Bij een rechte hoek tussen gangen van 85 cm en 110 cm breed (speling 3 cm) kan een stok zonder breedte tot ongeveer 267 cm om de hoek. Maar voor een bank van 60 cm diep (en 230 cm breed) is de langste lengte die om de hoek kan maar ongeveer 145 cm, dus plat gedragen kan hij waarschijnlijk niet om de hoek. Voor een meubel met een breedte geeft de formule voor een stok een flink verkeerd antwoord. Je hebt de formule nodig die voor de breedte corrigeert.
In zo’n geval lukt het vaak als je de bank rechtop draagt (vul de hoogte in als lengte en de diepte als breedte). Bij een trap met een bordes neem je de breedte van de trap en de diepte van het bordes als de breedtes \(a\) en \(b\) van de gang en reken je twee rechte hoeken na elkaar. Dezelfde formule geeft dan een schatting (trek leuningen en lampen af met de speling). Veel Nederlandse trappen zijn steil en smal, dus controleer de hoek en het bordes altijd vooraf.
Kiezen tussen de trap en een verhuislift voor meubels die niet in de lift passen (verhuizen in een flat)
In een cabine van 140 cm breed, 110 cm diep en 230 cm hoog (speling 3 cm) is een opgerold tapijt van 235 cm lang en 20 cm dik langer dan de bruikbare plafondhoogte van 227 cm, maar het past waarschijnlijk als je de lange zijde ongeveer 59° vanaf de vloer omhoog kantelt in het vlak breedte × hoogte van de cabine (benodigde breedte ongeveer 137,0 cm en hoogte ongeveer 212,4 cm). Een plank van 235 cm lang met een dikte van 40 cm past daarentegen waarschijnlijk niet, ook niet schuin. De dikte blijft in de weg, al is er ruimte op de ruimtediagonaal (ongeveer 286 cm).
Weet je dat iets niet in de lift past, dan kun je voor de offerte afwegen of je het via de trap naar boven brengt (controleer de hoeken met de formule voor de hoek in de gang) of met een verhuislift via het raam of het balkon naar binnen takelt (dat kost vaak extra). De binnenmaat van de cabine en de maten van de deur vind je in de specificaties van de liftleverancier of bij de beheerder of VvE. De deur is vaak smaller dan de cabine, dus vul ook de maten van de deur in.
Sinus, cosinus en een minimum in het dagelijks leven (wiskunde in de bovenbouw van havo en vwo)
De benodigde breedte \(p\cos\theta + q\sin\theta\) en hoogte \(p\sin\theta + q\cos\theta\) van een gekanteld vlak zijn niets anders dan de horizontale en verticale delen (\(p\cos\theta\) en \(p\sin\theta\)) van een zijde met lengte \(p\) die onder een hoek \(\theta\) gekanteld is, bij elkaar opgeteld. Dit is het meest basale gebruik van de goniometrische verhoudingen. De langste lengte die om een hoek in de gang kan, is het minimum van \(L(\theta) = \dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta}\). Dat is een klassiek optimalisatieprobleem met afgeleiden (het probleem van de ladder om de hoek).
Denk je aan een echt meubel dat om de hoek moet, dan begrijp je makkelijker waarom het minimum de langste lengte geeft: het meubel gaat tijdens het draaien door alle hoeken.
Formules en figuren
Voorwaarde om door een deur te passen (bruikbare opening en een vlak dat erdoor past)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(w'\)
\(=\)
\(w\)
\(-\)
\(c\)
\(h'\)
\(=\)
\(h\)
\(-\)
\(c\)
\(p\)
\(\le\)
\(w'\)
\(\quad\text{en}\)
\(q\)
\(\le\)
\(h'\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(w'\): bruikbare opening, breedte
\(=\)
①
\(w\): breedte van de opening (lichte maat)
\(-\)
②
\(c\): speling
④
\(h'\): bruikbare opening, hoogte
\(=\)
\(h\): hoogte van de opening (lichte maat)
\(-\)
\(c\): speling
⑤
\(p\): zijde van het vlak in de breedte
\(\le\)
\(w'\): bruikbare opening, breedte
\(\quad\text{en}\)
⑥
\(q\): zijde van het vlak in de hoogte
\(\le\)
\(h'\): bruikbare opening, hoogte
De formule in woorden
①
Trek van de
\(w\): breedte van de opening
de
②
\(c\): speling
(voor verpakking, handgrepen en afdekmateriaal) af en je krijgt de
③
\(w'\): bruikbare opening, breedte
④
Doe hetzelfde voor de hoogte: de hoogte van de opening \(h\) min de speling \(c\) geeft de
\(h'\): bruikbare opening, hoogte
⑤
Kijk voor elk van de drie vlakken van het meubel (voorvlak \(B \times H\), zijvlak \(D \times H\) en bovenvlak \(B \times D\)), als je het naar de opening draait, of de
zijde in de breedte \(p\)
kleiner dan of gelijk aan de bruikbare breedte \(w'\) is, en tegelijk of de
⑥
zijde in de hoogte \(q\)
kleiner dan of gelijk aan de bruikbare hoogte \(h'\) is. Dan kun je dat vlak naar de opening draaien en erdoor krijgen (je mag het vlak ook 90° draaien, zodat \(p\) en \(q\) van plaats wisselen)
Een eenvoudig voorbeeld
Kan een bank van 180 cm breed, 90 cm diep en 75 cm hoog door een deur van 80 cm breed en 200 cm hoog (speling 3 cm), als je het zijvlak (diepte 90 × hoogte 75) naar de opening draait, met de hoogte van 75 cm in de breedte en de diepte van 90 cm in de hoogte (op de rugleuning, met de kop eerst)?
bruikbare opening, breedte \(w'\)
\(=\)
breedte van de opening (80 cm)
\(-\)
speling (3 cm)
zijde in de breedte (75 cm)
\(\le\)
bruikbare opening, breedte (77 cm)
\(\quad\text{en}\)
zijde in de hoogte (90 cm)
\(\le\)
bruikbare opening, hoogte (197 cm)
\(w' = 80 - 3 = 77\ (\mathrm{cm}),\quad h' = 200 - 3 = 197\ (\mathrm{cm})\)
\(75 \le 77,\quad 90 \le 197\)
Het belangrijkste idee
Een balkvormig meubel heeft drie soorten vlakken die je naar de opening kunt draaien. Draai je het voorvlak (breedte \(B\) × hoogte \(H\)) naar de opening, dan duw je het meubel in de richting van de diepte naar binnen. Met het zijvlak (diepte \(D\) × hoogte \(H\)) vooraan gaat het in de richting van de breedte, en met het bovenvlak (breedte \(B\) × diepte \(D\)) vooraan gaat het in de richting van de hoogte (rechtop of liggend). Elk vlak kun je bovendien 90° draaien (op zijn kant leggen), dus er zijn in totaal zes standen. Heb je het gevoel dat een bank van 180 cm breed niet door een deur van 80 cm past, dan klopt dat niet altijd: met het zijvlak van 90 × 75 naar voren gaat hij er wel door. Dat komt door de keuze van het vlak.
De speling \(c\) is de ruimte voor de verpakking (karton, piepschuim), voor handgrepen, deurknoppen en uitstekende scharnieren, en voor het afdekmateriaal op de vloer en het kozijn. Reken er vaak op 2 tot 5 cm voor. De uitslag volgt uit de “bruikbare opening”, waarbij je de speling van zowel de breedte als de hoogte aftrekt. Hoeveel speling je kiest, kan dus de uitslag veranderen. Zit je er net tegenaan, dan kun je de deur uit de scharnieren halen (de bruikbare breedte wordt groter) of de poten en handgrepen van het meubel halen (het meubel wordt kleiner).
Deze voorwaarde gaat uit van een rechthoekig gat in een dunne plaat waar je het meubel recht doorheen duwt. Is de gang te smal om het meubel recht voor de opening te houden, of ligt er een drempel of verhoging voor de deur, bekijk dan ook de berekening voor de hoek in de gang hierna.
Voorwaarde om schuin erdoor te gaan (breedte en hoogte van de omschreven rechthoek van het gekantelde vlak)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(W_{\theta}\)
\(=\)
\(p\)
\(\cos\theta\)
\(+\)
\(q\)
\(\sin\theta\)
\(H_{\theta}\)
\(=\)
\(p\)
\(\sin\theta\)
\(+\)
\(q\)
\(\cos\theta\)
\(W_{\theta}\)
\(\le\)
\(w'\)
\(\quad\text{en}\)
\(H_{\theta}\)
\(\le\)
\(h'\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(W_{\theta}\): benodigde breedte
\(=\)
①
\(p\): lange zijde van het vlak
③
\(\cos\theta\): cosinus van de hoek \(\theta\)
\(+\)
②
\(q\): korte zijde van het vlak
\(\sin\theta\): sinus van de hoek \(\theta\)
⑤
\(H_{\theta}\): benodigde hoogte
\(=\)
\(p\): lange zijde van het vlak
\(\sin\theta\): sinus van de hoek \(\theta\)
\(+\)
\(q\): korte zijde van het vlak
\(\cos\theta\): cosinus van de hoek \(\theta\)
\(W_{\theta}\): benodigde breedte
\(\le\)
⑥
\(w'\): bruikbare opening, breedte
\(\quad\text{en}\)
\(H_{\theta}\): benodigde hoogte
\(\le\)
\(h'\): bruikbare opening, hoogte
De formule in woorden
①
Kantel een vlak met de
\(p\): lange zijde van het vlak
en de
②
\(q\): korte zijde van het vlak
zo dat de lange zijde een hoek \(\theta\) met de vloer maakt.
③
Het horizontale deel van de lange zijde is \(p\) maal de
\(\cos\theta\): cosinus van de hoek \(\theta\)
en het horizontale deel van de korte zijde is \(q\) maal \(\sin\theta\). Samen geven ze de
④
\(W_{\theta}\): benodigde breedte
, de breedte van de rechthoek die het gekantelde vlak helemaal omsluit.
⑤
Tel je op dezelfde manier de verticale delen op, dan is de
\(H_{\theta}\): benodigde hoogte
gelijk aan \(p\sin\theta + q\cos\theta\).
⑥
Zijn bij een hoek tussen 0° en 90° de benodigde breedte en de benodigde hoogte allebei kleiner dan of gelijk aan de
\(w'\), \(h'\): bruikbare opening, breedte en hoogte
, dan kun je het onder die hoek gekanteld erdoor krijgen
Een eenvoudig voorbeeld
Een dun paneel van 202 cm hoog en 10 cm dik (vlak 202 × 10) is, rechtop door een deur van 90 cm breed en 200 cm hoog (speling 0), 2 cm te hoog. Kantel je de lange zijde naar 70° vanaf de vloer (20° vanaf de verticaal; \(\cos 70^\circ \approx 0{,}3420\), \(\sin 70^\circ \approx 0{,}9397\)), dan geldt
benodigde breedte \(W_{\theta}\)
\(=\)
lange zijde (202 cm)
cosinus \(\cos 70^\circ\) (≈ 0,3420)
\(+\)
korte zijde (10 cm)
sinus \(\sin 70^\circ\) (≈ 0,9397)
benodigde hoogte \(H_{\theta}\)
\(=\)
lange zijde (202 cm)
sinus \(\sin 70^\circ\) (≈ 0,9397)
\(+\)
korte zijde (10 cm)
cosinus \(\cos 70^\circ\) (≈ 0,3420)
\(W_{\theta} = 202 \times 0{,}3420 + 10 \times 0{,}9397 \approx 69{,}1 + 9{,}4 = 78{,}5\ (\mathrm{cm}) \le 90\)
\(H_{\theta} = 202 \times 0{,}9397 + 10 \times 0{,}3420 \approx 189{,}8 + 3{,}4 = 193{,}2\ (\mathrm{cm}) \le 200\)
Het belangrijkste idee
Kantel je een vlak, dan zijn de benodigde breedte en hoogte de breedte en hoogte van de omschreven rechthoek van de gekantelde rechthoek. Kantel je de lange zijde \(p\) een hoek \(\theta\) vanaf de vloer omhoog, dan is het horizontale deel van de lange zijde \(p\cos\theta\) en het verticale deel \(p\sin\theta\). De korte zijde \(q\) staat loodrecht op de lange zijde, dus haar horizontale deel is \(q\sin\theta\) en haar verticale deel \(q\cos\theta\). Tel je die op, dan krijg je de benodigde breedte en hoogte (dit is het basisgebruik van de goniometrische verhoudingen \(\sin\) en \(\cos\)).
Uit deze formule volgen twee belangrijke dingen. Ten eerste wordt de benodigde breedte \(p\cos\theta + q\sin\theta\) bij geen enkele hoek kleiner dan de korte zijde \(q\) (bij \(\theta = 90^\circ\) is ze \(q\), het minimum). Kantelen lost een tekort aan breedte dus niet op. Een vierkant vlak (\(p = q\)) krijgt bij kantelen een steeds grotere omschreven rechthoek, dus schuin zetten heeft dan geen zin. Ten tweede helpt schuin zetten alleen bij een dun meubel waarvan de korte zijde in de breedte van de opening past en de lange zijde net iets te lang is voor de hoogte. Bij het paneel van 202 cm, dat een paar centimeter te hoog is, daalt de benodigde hoogte bij een lichte kanteling tot \(p\sin\theta\). Daar staat tegenover dat de benodigde breedte met \(p\cos\theta\) toeneemt. Bij een dik meubel is die toegenomen breedte meteen groter dan de breedte van de opening.
Of er een hoek is waarbij het past, onderzoekt deze rekenmachine door 0 tot 90° fijn af te lopen. In de wiskunde bestaan ook formules om dat exact te bepalen (“wanneer past een rechthoek in een rechthoek”), maar in de praktijk volstaat het om per hoek met deze formule te controleren. Is de diagonaal \(\sqrt{p^{2}+q^{2}}\) van het vlak van het meubel langer dan de diagonaal \(\sqrt{w'^{2}+h'^{2}}\) van de bruikbare opening, dan past het bij geen enkele hoek. Dat is een noodzakelijke voorwaarde om gekanteld te passen: andersom volgt uit een passende diagonaal nog niet dat het erdoor kan.
Langste lengte die om een L-vormige hoek in de gang kan
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(L_{\max}\)
\(=\)
\(\bigl(\)
\(a\)
\(\frac{2}{3}\)
\(+\)
\(b\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
\(L(\theta)\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{\sin\theta}\)
\(+\)
\(\dfrac{b}{\cos\theta}\)
\(-\)
\(\dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\)
\(L_{\max}\)
\(=\)
\(\min_{\theta}\)
\(L(\theta)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(L_{\max}\): langste stok
\(=\)
\(\bigl(\)
①
\(a\): breedte van de gang
macht \(\dfrac{2}{3}\)
\(+\)
②
\(b\): breedte van de gang
macht \(\dfrac{2}{3}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
⑥
\(L(\theta)\): lengte die past
\(=\)
④
\(\dfrac{\text{gang vóór de hoek } a}{\text{sinus van } \theta, \sin\theta}\)
\(+\)
\(\dfrac{\text{gang na de hoek } b}{\text{cosinus van } \theta, \cos\theta}\)
\(-\)
⑤
\(\dfrac{\text{breedte van het meubel } d}{\text{sinus maal cosinus, } \sin\theta\cos\theta}\)
⑦
\(L_{\max}\): langste meubel
\(=\)
\(\min_{\theta}\)
\(L(\theta)\): lengte die past
De formule in woorden
①
breedte van de gang vóór de hoek \(a\)
tot de macht \(\dfrac{2}{3}\), plus
②
breedte van de gang na de hoek \(b\)
tot de macht \(\dfrac{2}{3}\), alles samen tot de macht \(\dfrac{3}{2}\), geeft
③
de langste stok zonder breedte die om de hoek kan, \(L_{\max}\)
④
Heeft het meubel een breedte \(d\), neem dan een stand waarin de binnenzijde van het meubel de binnenhoek van de gang raakt en de buitenzijde beide muren. Maakt het meubel een hoek \(\theta\) met de gang vóór de hoek, dan tel je
\(\dfrac{\text{gang vóór de hoek } a}{\text{sinus van } \theta, \sin\theta}\) en \(\dfrac{\text{gang na de hoek } b}{\text{cosinus van } \theta, \cos\theta}\)
bij elkaar op en trek je
⑤
\(\dfrac{\text{breedte van het meubel } d}{\text{sinus maal cosinus, } \sin\theta\cos\theta}\)
af. Dat geeft de
⑥
lengte die past, \(L(\theta)\)
⑦
Tijdens het draaien om de hoek loopt de hoek van 0° tot 90°, en het meubel moet bij elke hoek passen. Het minimum van \(L(\theta)\) is dus
de langste lengte \(L_{\max}\) van een meubel met breedte \(d\) dat om de hoek kan
Een eenvoudig voorbeeld
Bij een rechte hoek tussen twee gangen van 90 cm breed is dit de langste lengte van een kist van 50 cm breed die om de hoek kan (bij gelijke breedtes is 45° de moeilijkste hoek; \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071\))
langste stok \(L_{\max}\)
\(=\)
\(\bigl(\)
\(90^{\frac{2}{3}}\)
\(+\)
\(90^{\frac{2}{3}}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
langste kist van 50 cm breed \(L(45^\circ)\)
\(=\)
\(\dfrac{90}{\sin 45^\circ}\)
\(+\)
\(\dfrac{90}{\cos 45^\circ}\)
\(-\)
\(\dfrac{50}{\sin 45^\circ \cos 45^\circ}\)
\(L_{\max} = \bigl(2 \times 90^{\frac{2}{3}}\bigr)^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \times 90 = 180\sqrt{2} \approx 254{,}6\ (\mathrm{cm})\)
\(L(45^\circ) = \dfrac{90}{0{,}7071} + \dfrac{90}{0{,}7071} - \dfrac{50}{0{,}5} \approx 127{,}3 + 127{,}3 - 100 = 154{,}6\ (\mathrm{cm})\)
Het belangrijkste idee
De langste stok zonder breedte (een dunne buis of een gordijnroede) die om een rechte hoek kan, is het minimum van de lengte \(\dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta}\) die je krijgt als je de stok tegen de binnenhoek van de gang legt en beide uiteinden de buitenmuren raken, terwijl je de hoek \(\theta\) laat veranderen. Tijdens het draaien om de hoek verandert de hoek continu van 0° tot 90°, dus een stok blijft alleen niet haken als de lengte bij elke tussenliggende hoek past. Dat minimum is de nette vorm \(\bigl(a^{2/3} + b^{2/3}\bigr)^{3/2}\) (de hoek waarbij het minimum optreedt, voldoet aan \(\tan\theta = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{1/3}\)). In de wiskunde staat dit bekend als het probleem van de ladder die om de hoek van een gang moet.
Een meubel heeft een breedte \(d\) en blijft daarom veel eerder haken dan een stok. De laatste term \(\dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\) in de formule is dat verlies. In het voorbeeld met gangen van 90 cm kan een stok ongeveer 255 cm om de hoek, maar een kist van 50 cm breed slechts ongeveer 155 cm. Een meubel dat half zo breed is als de gang raakt de binnen- en buitenkant van de hoek gemakkelijk tegelijk en houdt bijna geen lengte over. De controle bestaat uit twee voorwaarden: de breedte \(d\) van het meubel mag niet groter zijn dan de bruikbare breedte van beide gangen, en de lengte \(L\) mag niet groter zijn dan \(L_{\max}\).
Is de lengte van het meubel niet groter dan de breedte van de gang na de hoek (\(L \le b\) en \(d \le a\), of andersom), dan kun je het zonder draaien van richting laten veranderen en hoef je niet met \(L_{\max}\) te vergelijken. Is de lengte groter dan \(L_{\max}\), dan lukt het vaak wel als je het meubel rechtop draagt (vul de hoogte in als lengte en de diepte als breedte; dan moet de gang wel minstens zo hoog zijn als de breedte van het meubel). Ook een trap met een bordes kun je zo benaderen: neem de breedte van de trap en de diepte van het bordes als \(a\) en \(b\) en tel twee rechte hoeken na elkaar.
Diagonalen van een liftcabine (de grens voor een lang, dun voorwerp)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(D_{\text{vloer}}\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(D_{\text{zij}}\)
\(=\)
\(\sqrt{b^{2} + h^{2}}\)
\(D_{\text{ruimte}}\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2} + h^{2}}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(D_{\text{vloer}}\): diagonaal van de vloer
\(=\)
①
wortel uit de som van het kwadraat van de breedte \(a\) en het kwadraat van de diepte \(b\)
④
\(D_{\text{zij}}\): diagonaal bij schuin rechtop zetten
\(=\)
②
wortel uit de som van het kwadraat van de diepte \(b\) en het kwadraat van de hoogte \(h\)
⑤
\(D_{\text{ruimte}}\): ruimtediagonaal
\(=\)
wortel uit de som van de kwadraten van de breedte \(a\), de diepte \(b\) en de hoogte \(h\)
De formule in woorden
①
het kwadraat van de breedte van de cabine \(a\) en het kwadraat van de diepte \(b\)
tel je op en je neemt de wortel (stelling van Pythagoras)
③
\(D_{\text{vloer}}\): diagonaal van de vloer
(de langste lengte die je liggend schuin neer kunt zetten)
②
het kwadraat van de diepte \(b\) en het kwadraat van de hoogte \(h\)
tel je op en je neemt de wortel
④
\(D_{\text{zij}}\): diagonaal bij schuin rechtop zetten
(voor het vlak breedte \(a\) × hoogte \(h\) geldt hetzelfde; neem de grootste)
⑤
Tel je de kwadraten van alle drie de maten op en neem je de wortel, dan krijg je de
\(D_{\text{ruimte}}\): ruimtediagonaal
, de langste rechte lijn in de cabine (de grens voor een dunne stok)
Een eenvoudig voorbeeld
De drie diagonalen van een cabine van 90 cm breed, 120 cm diep en 200 cm hoog (speling 0) zijn
diagonaal van de vloer \(D_{\text{vloer}}\)
\(=\)
\(\sqrt{90^{2} + 120^{2}}\)
schuin rechtop \(D_{\text{zij}}\)
\(=\)
\(\sqrt{120^{2} + 200^{2}}\)
ruimtediagonaal \(D_{\text{ruimte}}\)
\(=\)
\(\sqrt{90^{2} + 120^{2} + 200^{2}}\)
\(D_{\text{vloer}} = \sqrt{8100 + 14400} = \sqrt{22500} = 150\ (\mathrm{cm})\)
\(D_{\text{zij}} = \sqrt{14400 + 40000} = \sqrt{54400} \approx 233{,}2\ (\mathrm{cm})\)
\(D_{\text{ruimte}} = \sqrt{8100 + 14400 + 40000} = \sqrt{62500} = 250\ (\mathrm{cm})\)
Het belangrijkste idee
Een liftcabine is een balk van “breedte × diepte × hoogte”. Of een meubel er zo in past, hangt dus af van de vraag of je de drie maten van het meubel zo kunt rangschikken dat ze alle drie kleiner dan of gelijk aan de maten van de cabine zijn (de binnenmaat min de speling). Daar zijn zes volgordes voor. Is een meubel langer dan de plafondhoogte, dan kan het er toch in als je het schuin in een vlak van de cabine zet. De bovengrens daarvoor is de diagonaal. De diagonaal van de vloer is de grens als je het liggend schuin neerzet, de diagonaal van het vlak diepte × hoogte (of breedte × hoogte) als je het schuin rechtop tegen de wand zet, en de ruimtediagonaal als je het van de ene hoek naar de overliggende hoek van de cabine legt. Ze volgen alle uit de stelling van Pythagoras (de schuine zijde van een rechthoekige driehoek).
Een diagonaal is wel de grens voor een stok zonder dikte. Een dik meubel past er daarom vaak niet in, ook als het veel korter is. Of een dik meubel schuin past, bepaalt deze rekenmachine met dezelfde formule als bij “schuin erdoor” hierboven: past de omschreven rechthoek van het gedraaide vlak in een vlak van de cabine? Voor elk van de drie vlakken van de cabine zet de rekenmachine één zijde van het meubel loodrecht op dat vlak en draait ze de rechthoek van de twee overige zijden binnen het vlak.
Bij een lift is de deur vaak smaller en lager dan de cabine, dus sommige apparaten passen wel in de cabine maar blijven bij de deur steken. Vul je de maten van de deur in, dan controleert de rekenmachine ook de deur zoals een gewone deur (past een van de drie vlakken door de bruikbare opening van de deur?). De binnenmaat van de cabine en de maten van de deur vind je in de specificaties van de liftleverancier of bij de beheerder of VvE. De echte binnenmaat is kleiner door de lampafdekking, leuningen en spiegels.
De controle werkt met de “bruikbare maat”, dat is de maat van de opening, gang of cabine min de speling \(c\). Het basisidee is of een van de drie vlakken van het meubel erdoor past (\(p \le w'\) en \(q \le h'\)). Past een dun meubel zo niet, dan kun je het schuin erdoor krijgen als er een hoek is waarbij de breedte \(p\cos\theta + q\sin\theta\) en de hoogte \(p\sin\theta + q\cos\theta\) van de omschreven rechthoek in de bruikbare opening passen. Bij een hoek in de gang is het minimum van \(L(\theta) = \dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta} - \dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\) de langste lengte die om de hoek kan (voor een stok \((a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2}\)), en bij een lift is de diagonaal \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}\) de grens voor een lang, dun voorwerp.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(B,\ D,\ H\) | bee, dee, ha | De breedte, diepte en hoogte van het meubel, in de volgorde “breedte × diepte × hoogte” van de catalogus. De eenheid is cm. |
| \(w,\ h\) | wee, ha (kleine letters) | De breedte en hoogte van een opening (deur, raam of liftdeur), als lichte maat. Ze staan in kleine letters om ze te onderscheiden van \(B\) en \(H\) van het meubel. In de formule voor de lift is \(h\) de hoogte van de cabine (de bruikbare binnenmaat). |
| \(c\) | see | De speling (Engels: clearance), de lengte in cm die je voor verpakking, handgrepen en afdekmateriaal aftrekt van de opening, de gang of de cabine. |
| \(w',\ h'\) | wee-accent, ha-accent | De breedte en hoogte van de bruikbare opening: \(w' = w - c\) en \(h' = h - c\). Het accent rechtsboven betekent “na aftrek van de speling”. |
| \(p,\ q\) | pee, kuu | De twee zijden van het vlak dat naar de opening wijst. Bij “een vlak past” zijn het de zijde in de breedte en de zijde in de hoogte, bij “schuin erdoor” de lange zijde \(p\) en de korte zijde \(q\). Het zijn twee van de maten \(B\), \(D\) en \(H\) van het meubel. |
| \(\theta\) | theta | Een hoek. De Griekse letter theta wordt vaak voor hoeken gebruikt. Bij “schuin erdoor” is het de hoek van de lange zijde van het vlak met de vloer, bij “hoek in de gang” de hoek die het meubel maakt met de gang vóór de hoek. |
| \(W_{\theta},\ H_{\theta}\) | wee theta, ha theta | De benodigde breedte en hoogte als je het vlak een hoek \(\theta\) kantelt (de breedte en hoogte van de omschreven rechthoek van het gekantelde vlak). De \(\theta\) rechtsonder betekent dat de waarde met de hoek verandert. |
| \(a,\ b\) | aa, bee | Bij “hoek in de gang” de breedte \(a\) van de gang vóór de hoek en de breedte \(b\) van de gang na de hoek. Bij “lift” de breedte \(a\) en diepte \(b\) van de cabine (in beide gevallen de bruikbare maat na aftrek van de speling). |
| \(L,\ d\) | el, dee | De lengte \(L\) (Engels: length) en breedte \(d\) van het meubel dat je bij de hoek draait. Dit zijn de lange en korte zijde van bovenaf gezien. Is \(d = 0\), dan rekent de rekenmachine met een stok zonder dikte. |
| \(L_{\max}\) | el max | De langste lengte die om de hoek kan. max staat voor maximum. Voor een stok is het \(\bigl(a^{2/3}+b^{2/3}\bigr)^{3/2}\), voor een meubel met breedte \(d\) het minimum van \(L(\theta)\). |
| \(\min_{\theta}\) | minimum over theta | Het symbool voor “het minimum als je de hoek \(\theta\) laat variëren”. min staat voor minimum. Tijdens het draaien om de hoek loopt het meubel door alle hoeken, dus de lengte bij de moeilijkste hoek is de bovengrens. |
| \(\sin\theta,\ \cos\theta\) | sinus theta, cosinus theta | Goniometrische verhoudingen. In een rechthoekige driehoek is \(\sin\theta\) de verhouding van de overstaande zijde tot de schuine zijde en \(\cos\theta\) die van de aanliggende zijde tot de schuine zijde. Kantel je een zijde met lengte \(p\) onder een hoek \(\theta\), dan is het verticale deel \(p\sin\theta\) en het horizontale deel \(p\cos\theta\). |
| \(D_{\text{vloer}},\ D_{\text{zij}},\ D_{\text{ruimte}}\) | dee vloer, dee zij, dee ruimte | De diagonaal van de cabinevloer, de diagonaal van een zijvlak bij schuin rechtop zetten en de ruimtediagonaal. De \(D\) is de eerste letter van diagonaal. |
| \(\sqrt{\ }\) | wortel | Een wortel (vierkantswortel): het positieve getal dat je met zichzelf vermenigvuldigt om dat getal te krijgen. Je gebruikt het met de stelling van Pythagoras om de lengte van een diagonaal te berekenen (bijvoorbeeld \(\sqrt{90^{2}+120^{2}} = \sqrt{22500} = 150\)). |
| \(\le\) | kleiner dan of gelijk aan | Het teken voor “de linkerwaarde is kleiner dan of gelijk aan de rechterwaarde”. \(p \le w'\) betekent “de zijde \(p\) van het meubel is niet groter dan de bruikbare breedte \(w'\)”, dus het past ook als beide precies gelijk zijn. |
| \(a^{2/3}\) | a tot de macht twee derde | \(a\) tot de macht \(\dfrac{2}{3}\): “kwadrateer \(a\) en neem dan de derdemachtswortel”, hetzelfde als \(\sqrt[3]{a^{2}}\). Zo is \(8^{2/3} = \sqrt[3]{64} = 4\). Het komt voor in de formule voor de langste stok die om de hoek kan. |
| \(\approx\) | ongeveer gelijk aan | Het teken voor “ongeveer gelijk aan”. Je gebruikt het als je een getal dat niet netjes uitkomt, zoals een goniometrische waarde of een wortel, afrondt op decimalen. |
Begrippen
| lichte maat | De maat van een deur- of raamkozijn van de binnenkant tot de binnenkant. Die is kleiner dan de maat over de buitenkant van het kozijn en het is de maat waar een meubel echt doorheen kan. Kan de deur er niet af, meet dan de breedte die overblijft als de deur 90° openstaat, want die is smaller met de dikte van de deur. |
| bruikbare opening | De lichte maat van de opening min de speling voor verpakking, handgrepen, deurknoppen en afdekmateriaal. Het is de maat die het meubel echt kan gebruiken. Elke controle op deze pagina gebruikt deze maat en toont hem ook in het resultaat. |
| speling | De ruimte die je tussen het meubel en de opening nodig hebt. Je houdt rekening met de dikte van de verpakking, handgrepen en scharnieren die uitsteken, het afdekmateriaal en de handen van de dragers. Reken vaak op 2 tot 5 cm. De waarde hangt af van het meubel en de manier van dragen, dus je kunt hem in het invoerveld aanpassen. |
| afdekmateriaal | Beschermend materiaal (platen, folie, karton of dekens) dat tijdens een verhuizing op de vloer, de muren en het deurkozijn wordt gelegd om schade te voorkomen. Verhuizers brengen het vaak zelf aan. De opening wordt zo smaller met de dikte ervan, dus reken het mee in de speling. |
| voorvlak | Het vlak breedte × hoogte van het meubel. Draai je dit vlak naar de opening, dan beweegt het meubel in de richting van de diepte. Bij een bank is het de kant waar je naar kijkt als je erop zit. |
| zijvlak | Het vlak diepte × hoogte van het meubel. Draai je dit vlak naar de opening, dan beweegt het meubel in de richting van de breedte. Een brede bank of een bed draag je meestal met dit vlak naar voren. |
| bovenvlak | Het vlak breedte × diepte van het meubel. Draai je dit vlak naar de opening, dan beweegt het meubel in de richting van de hoogte. Bij een hoog meubel zoals een boekenkast of koelkast komt dat neer op het meubel liggend dragen. |
| omschreven rechthoek | De kleinste rechthoek met horizontale en verticale zijden die een gekantelde vorm helemaal omsluit. Of een gekanteld vlak door de opening past, hangt af van de vraag of de breedte en hoogte van deze rechthoek in de bruikbare opening passen. |
| diagonaal | De lijn die twee tegenoverliggende hoekpunten van een rechthoek verbindt (en haar lengte). Bij een rechthoek met zijden \(x\) en \(y\) is het \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\). Is de diagonaal van een vlak van het meubel langer dan de diagonaal van de opening, dan past het bij geen enkele kanteling. |
| ruimtediagonaal | De lijn die twee tegenoverliggende hoekpunten van een balk verbindt. Bij de zijden \(a\), \(b\) en \(h\) is het \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}\), de langste rechte lijn in de cabine. Een dunne stok past tot deze lengte. |
| stelling van Pythagoras | De stelling dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de ene rechthoekszijde plus het kwadraat van de andere gelijk is aan het kwadraat van de schuine zijde. Alle diagonalen op deze pagina volgen uit deze stelling. |
| goniometrische verhouding | De verhoudingen van de zijden van een rechthoekige driehoek: \(\sin\), \(\cos\) en \(\tan\). Je gebruikt ze om uit een bekende hoek een lengte te berekenen, hier voor “de breedte en hoogte van een gekanteld vlak” en voor de formule van de hoek in de gang. |
| minimum | De kleinste waarde die een functie aanneemt als je de hoek laat variëren. Bij een hoek in de gang loopt het meubel tijdens het draaien door alle hoeken, dus de lengte die bij de moeilijkste hoek nog past, het minimum, is de langste lengte die om de hoek kan. |
| binnenmaat | Een maat gemeten aan de binnenkant van een doos of cabine. Die is kleiner dan de buitenmaat met de dikte van de wanden. In de specificaties van een lift staat dit vaak als “cabine-afmetingen”. |
| bordes | Het vlakke deel halverwege een trap. Bij een trap met een bordes draai je het meubel hier 180° om. Neem je de breedte van de trap en de diepte van het bordes als de breedtes \(a\) en \(b\) van de gang, dan geeft de formule voor de hoek een schatting. |
Handig om vooraf te weten
Dit is wat je helpt om de berekening op deze pagina echt te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, ga dan terug naar deze onderwerpen om ze te herhalen.
| Lengte-eenheden en meten (groep 4-5, 7-9 jaar) |
|
| Groter en kleiner dan en ongelijkheidstekens (groep 5-8, 8-12 jaar, en klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Balken en hun vlakken (groep 6-7, 9-11 jaar) |
|
| De stelling van Pythagoras (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
| Goniometrische verhoudingen sin en cos (havo 4 / vwo 4, 15-16 jaar) |
|
| Gebroken exponenten en het minimum van een functie (havo 5 / vwo 5-6, 16-18 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel voor de voorwaarde om door een deur te passen (een vlak past)
| Breedte van het meubel B (cm) | 180 |
| Diepte van het meubel D (cm) | 90 |
| Hoogte van het meubel H (cm) | 75 |
| Breedte van de opening w (cm) | 80 |
| Hoogte van de opening h (cm) | 200 |
| Speling c (cm) | 3 |
| Bruikbare opening, breedte w' (cm) | =B4-B6 |
| Bruikbare opening, hoogte h' (cm) | =B5-B6 |
| Past het voorvlak (B×H)? | =ALS(OF(EN(B1<=B7;B3<=B8);EN(B3<=B7;B1<=B8));"past";"past niet") |
| Past het zijvlak (D×H)? | =ALS(OF(EN(B2<=B7;B3<=B8);EN(B3<=B7;B2<=B8));"past";"past niet") |
| Past het bovenvlak (B×D)? | =ALS(OF(EN(B1<=B7;B2<=B8);EN(B2<=B7;B1<=B8));"past";"past niet") |
Tabel voor de voorwaarde om schuin erdoor te gaan (breedte en hoogte van het gekantelde vlak)
| Lange zijde van het vlak p (cm) | 202 |
| Korte zijde van het vlak q (cm) | 10 |
| Hoek van de lange zijde met de vloer θ (graden) | 70 |
| Benodigde breedte Wθ (cm) | =B1*COS(RADIALEN(B3))+B2*SIN(RADIALEN(B3)) |
| Benodigde hoogte Hθ (cm) | =B1*SIN(RADIALEN(B3))+B2*COS(RADIALEN(B3)) |
Tabel voor de langste lengte die om een hoek in de gang kan
| Breedte van de gang vóór de hoek a (cm) | 90 |
| Breedte van de gang na de hoek b (cm) | 90 |
| Breedte van het meubel d (cm) | 50 |
| Hoek θ (graden) | 45 |
| Langste stok die om de hoek kan (cm) | =(B1^(2/3)+B2^(2/3))^(3/2) |
| Lengte die past bij hoek θ, L(θ) (cm) | =B1/SIN(RADIALEN(B4))+B2/COS(RADIALEN(B4))-B3/(SIN(RADIALEN(B4))*COS(RADIALEN(B4))) |
Tabel voor de diagonalen van een liftcabine
| Breedte van de cabine a (cm) | 90 |
| Diepte van de cabine b (cm) | 120 |
| Hoogte van de cabine h (cm) | 200 |
| Diagonaal van de vloer (cm) | =WORTEL(B1^2+B2^2) |
| Diagonaal schuin rechtop (cm) | =WORTEL(B2^2+B3^2) |
| Ruimtediagonaal (cm) | =WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2) |
Na het plakken zijn de bovenste rijen in kolom B de invoer en de onderste rijen het automatisch berekende resultaat.
De eerste tabel gaat over een bank van 180 breed, 90 diep en 75 hoog en een deur van 80 × 200 (speling 3). B7 wordt 77 en B8 wordt 197, B9 (voorvlak) en B10 (zijvlak) geven “past” en B11 (bovenvlak) geeft “past niet”. “ALS” kiest een tekst op basis van een voorwaarde, “EN” betekent “beide waar” en “OF” betekent “een van beide waar”. Met OF vang je twee standen af: het vlak zoals het is en het vlak 90° gedraaid.
De tweede tabel is het voorbeeld van een vlak van 202 × 10 dat naar 70° is gekanteld: B4 is ongeveer 78,5 en B5 ongeveer 193,2. “RADIALEN” zet graden om in radialen, de eenheid voor hoeken in COS en SIN. De derde tabel is de hoek tussen gangen van 90 breed: B5 (stok) is ongeveer 254,6 en B6 (breedte 50, 45°) ongeveer 154,6. De langste lengte van een meubel met breedte verander je door de hoek in B4 telkens met 1° te veranderen en de hoek te zoeken waarbij B6 het kleinst is (bij gelijke gangbreedtes is dat 45°). De vierde tabel is een cabine van 90 × 120 × 200: B4 is 150, B5 ongeveer 233,2 en B6 is 250.
De eerste tabel gaat over een bank van 180 breed, 90 diep en 75 hoog en een deur van 80 × 200 (speling 3). B7 wordt 77 en B8 wordt 197, B9 (voorvlak) en B10 (zijvlak) geven “past” en B11 (bovenvlak) geeft “past niet”. “ALS” kiest een tekst op basis van een voorwaarde, “EN” betekent “beide waar” en “OF” betekent “een van beide waar”. Met OF vang je twee standen af: het vlak zoals het is en het vlak 90° gedraaid.
De tweede tabel is het voorbeeld van een vlak van 202 × 10 dat naar 70° is gekanteld: B4 is ongeveer 78,5 en B5 ongeveer 193,2. “RADIALEN” zet graden om in radialen, de eenheid voor hoeken in COS en SIN. De derde tabel is de hoek tussen gangen van 90 breed: B5 (stok) is ongeveer 254,6 en B6 (breedte 50, 45°) ongeveer 154,6. De langste lengte van een meubel met breedte verander je door de hoek in B4 telkens met 1° te veranderen en de hoek te zoeken waarbij B6 het kleinst is (bij gelijke gangbreedtes is dat 45°). De vierde tabel is een cabine van 90 × 120 × 200: B4 is 150, B5 ongeveer 233,2 en B6 is 250.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel voor de voorwaarde om door een deur te passen (een vlak past)
| Breedte van het meubel B (cm) | 180 |
| Diepte van het meubel D (cm) | 90 |
| Hoogte van het meubel H (cm) | 75 |
| Breedte van de opening w (cm) | 80 |
| Hoogte van de opening h (cm) | 200 |
| Speling c (cm) | 3 |
| Bruikbare opening, breedte w' (cm) | =B4-B6 |
| Bruikbare opening, hoogte h' (cm) | =B5-B6 |
| Past het voorvlak (B×H)? | =ALS(OF(EN(B1<=B7;B3<=B8);EN(B3<=B7;B1<=B8));"past";"past niet") |
| Past het zijvlak (D×H)? | =ALS(OF(EN(B2<=B7;B3<=B8);EN(B3<=B7;B2<=B8));"past";"past niet") |
| Past het bovenvlak (B×D)? | =ALS(OF(EN(B1<=B7;B2<=B8);EN(B2<=B7;B1<=B8));"past";"past niet") |
Tabel voor de voorwaarde om schuin erdoor te gaan (breedte en hoogte van het gekantelde vlak)
| Lange zijde van het vlak p (cm) | 202 |
| Korte zijde van het vlak q (cm) | 10 |
| Hoek van de lange zijde met de vloer θ (graden) | 70 |
| Benodigde breedte Wθ (cm) | =B1*COS(RADIALEN(B3))+B2*SIN(RADIALEN(B3)) |
| Benodigde hoogte Hθ (cm) | =B1*SIN(RADIALEN(B3))+B2*COS(RADIALEN(B3)) |
Tabel voor de langste lengte die om een hoek in de gang kan
| Breedte van de gang vóór de hoek a (cm) | 90 |
| Breedte van de gang na de hoek b (cm) | 90 |
| Breedte van het meubel d (cm) | 50 |
| Hoek θ (graden) | 45 |
| Langste stok die om de hoek kan (cm) | =(B1^(2/3)+B2^(2/3))^(3/2) |
| Lengte die past bij hoek θ, L(θ) (cm) | =B1/SIN(RADIALEN(B4))+B2/COS(RADIALEN(B4))-B3/(SIN(RADIALEN(B4))*COS(RADIALEN(B4))) |
Tabel voor de diagonalen van een liftcabine
| Breedte van de cabine a (cm) | 90 |
| Diepte van de cabine b (cm) | 120 |
| Hoogte van de cabine h (cm) | 200 |
| Diagonaal van de vloer (cm) | =WORTEL(B1^2+B2^2) |
| Diagonaal schuin rechtop (cm) | =WORTEL(B2^2+B3^2) |
| Ruimtediagonaal (cm) | =WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2) |
Dezelfde formules als in Excel werken in Google Spreadsheets (met een Nederlandse taalinstelling zijn de functienamen ook ALS, EN, OF, RADIALEN en WORTEL). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen in kolom B door je eigen waarden.
Berekenen met Python
import math
# ---- Deur: past een meubel B×D×H door een opening w×h (speling c)? ----
W, D, H = 180, 90, 75 # breedte, diepte en hoogte van het meubel (cm)
w, h, c = 80, 200, 3 # breedte en hoogte van de opening (lichte maat) en speling (cm)
w_eff, h_eff = w - c, h - c
faces = {"voorvlak(B×H)": (W, H), "zijvlak(D×H)": (D, H), "bovenvlak(B×D)": (W, D)}
def fits_upright(p, q, width, height):
"""Past het vlak p×q zo (ook 90° gedraaid)?"""
return (p <= width and q <= height) or (q <= width and p <= height)
def fits_tilted(p, q, width, height):
"""Is er een hoek van 0 tot 90° waarbij de omschreven rechthoek van het gekantelde vlak p×q past? (stappen van 0,01°)"""
p, q = max(p, q), min(p, q)
for i in range(9001):
t = math.radians(i / 100)
need_w = p * math.cos(t) + q * math.sin(t)
need_h = p * math.sin(t) + q * math.cos(t)
if need_w <= width and need_h <= height:
return i / 100
return None
print(f"Bruikbare opening: {w_eff} × {h_eff} cm")
for name, (p, q) in faces.items():
if fits_upright(p, q, w_eff, h_eff):
print(f"{name} naar de opening: past waarschijnlijk")
else:
angle = fits_tilted(p, q, w_eff, h_eff)
print(f"{name}: " + (f"past waarschijnlijk als je de lange zijde {angle}° vanaf de vloer kantelt" if angle is not None else "past waarschijnlijk niet"))
# ---- Hoek in de gang: past een meubel met lengte L en breedte d om een rechte hoek tussen gangen met breedte a en b? ----
a, b, L, d = 90, 90, 150, 50
rod_max = (a ** (2 / 3) + b ** (2 / 3)) ** 1.5
lengths = []
for i in range(1, 9000):
t = math.radians(i / 100)
lengths.append((a * math.cos(t) + b * math.sin(t) - d) / (math.sin(t) * math.cos(t)))
L_max = min(lengths)
print(f"Langste stok die om de hoek kan: {rod_max:.1f} cm, meubel van {d} cm breed: {L_max:.1f} cm -> "
+ ("kan waarschijnlijk om de hoek" if L <= L_max else "kan waarschijnlijk niet om de hoek"))
# ---- Lift: diagonalen van een cabine a×b×h ----
ea, eb, eh = 90, 120, 200
print(f"Diagonaal vloer {math.hypot(ea, eb):.1f} cm, schuin rechtop {math.hypot(eb, eh):.1f} cm, "
f"ruimtediagonaal {math.sqrt(ea**2 + eb**2 + eh**2):.1f} cm")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. fits_upright() controleert of een vlak zo past en fits_tilted() zoekt in stappen van 0,01° een hoek waarbij het gekanteld past. Bij de hoek in de gang verandert de code de hoek telkens met 0,01° en neemt ze het minimum van de lengte die past. math.hypot() geeft uit twee zijden de schuine zijde (diagonaal). Vervang de maten bovenaan door je eigen waarden en voer de code uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Voorwaarde om door een deur te passen (bruikbare opening en een vlak dat erdoor past)
w' = w − c, h' = h − c, p ≤ w' en q ≤ h'
w' = w - c,\quad h' = h - c,\quad p \le w' \ \text{en}\ q \le h'
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>w</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mi>w</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<msup><mi>h</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mi>h</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<mi>p</mi><mo>≤</mo><msup><mi>w</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>∧</mo>
<mi>q</mi><mo>≤</mo><msup><mi>h</mi><mo>′</mo></msup>
</mrow>
</math>
w' = w - c, h' = h - c, p <= w' and q <= h'
weff = w - c; heff = h - c; fits = (p <= weff && q <= heff) || (q <= weff && p <= heff)
weff := w - c; heff := h - c; fits := (p <= weff and q <= heff) or (q <= weff and p <= heff);
weff = w - c; heff = h - c; fits = (p <= weff && q <= heff) || (q <= weff && p <= heff); % p en q zijn de twee zijden van het vlak dat naar de opening gaat
w' = w − c, h' = h − c, p ≤ w' ∧ q ≤ h'
Voorwaarde om schuin erdoor te gaan (breedte en hoogte van de omschreven rechthoek van het gekantelde vlak)
W_θ = p cos θ + q sin θ, H_θ = p sin θ + q cos θ, W_θ ≤ w' en H_θ ≤ h'
W_{\theta} = p\cos\theta + q\sin\theta,\quad H_{\theta} = p\sin\theta + q\cos\theta,\quad W_{\theta} \le w' \ \text{en}\ H_{\theta} \le h'
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>W</mi><mi>θ</mi></msub><mo>=</mo>
<mi>p</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>,</mo>
<msub><mi>H</mi><mi>θ</mi></msub><mo>=</mo>
<mi>p</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
W_theta = p cos theta + q sin theta, H_theta = p sin theta + q cos theta
{p*Cos[theta] + q*Sin[theta], p*Sin[theta] + q*Cos[theta]} (* theta in radialen; in graden: theta Degree *)
Wt := p*cos(theta) + q*sin(theta); Ht := p*sin(theta) + q*cos(theta);
Wt = p*cosd(theta) + q*sind(theta); Ht = p*sind(theta) + q*cosd(theta); % theta in graden
W_θ = p cos θ + q sin θ, H_θ = p sin θ + q cos θ
Langste lengte die om een L-vormige hoek in de gang kan
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2) (stok), L(θ) = a/sin θ + b/cos θ − d/(sin θ cos θ), L_max = min L(θ)
L_{\max} = \left(a^{2/3} + b^{2/3}\right)^{3/2},\quad L(\theta) = \frac{a}{\sin\theta} + \frac{b}{\cos\theta} - \frac{d}{\sin\theta\cos\theta},\quad L_{\max} = \min_{0 < \theta < 90^\circ} L(\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>L</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow>
</msup>
<mo>,</mo>
<mi>L</mi><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
<mo>−</mo>
<mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2), L(theta) = a/sin theta + b/cos theta - d/(sin theta cos theta)
lrod = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); NMinimize[{a/Sin[t] + b/Cos[t] - d/(Sin[t]*Cos[t]), 0.01 < t < Pi/2 - 0.01}, t]
lrod := (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); L := theta -> a/sin(theta) + b/cos(theta) - d/(sin(theta)*cos(theta)); Lmax := minimize(L(theta), theta = 0.01 .. Pi/2 - 0.01);
lrod = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); L = @(t) a./sin(t) + b./cos(t) - d./(sin(t).*cos(t)); [t0, Lmax] = fminbnd(L, 0.01, pi/2 - 0.01); % t in radialen
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2), L(θ) = a/sin θ + b/cos θ − d/(sin θ cos θ)
Diagonalen van een liftcabine (de grens voor een lang, dun voorwerp)
D_vloer = √(a² + b²), D_zij = √(b² + h²), D_ruimte = √(a² + b² + h²)
D_{\text{vloer}} = \sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad D_{\text{zij}} = \sqrt{b^{2}+h^{2}},\quad D_{\text{ruimte}} = \sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>D</mi><mtext>vloer</mtext></msub><mo>=</mo>
<msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt>
<mo>,</mo>
<msub><mi>D</mi><mtext>zij</mtext></msub><mo>=</mo>
<msqrt><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></msqrt>
<mo>,</mo>
<msub><mi>D</mi><mtext>ruimte</mtext></msub><mo>=</mo>
<msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></msqrt>
</mrow>
</math>
D_floor = sqrt(a^2 + b^2), D_side = sqrt(b^2 + h^2), D_space = sqrt(a^2 + b^2 + h^2)
{Sqrt[a^2 + b^2], Sqrt[b^2 + h^2], Sqrt[a^2 + b^2 + h^2]}
Dfloor := sqrt(a^2 + b^2); Dside := sqrt(b^2 + h^2); Dspace := sqrt(a^2 + b^2 + h^2);
Dfloor = sqrt(a^2 + b^2); Dside = sqrt(b^2 + h^2); Dspace = sqrt(a^2 + b^2 + h^2); % a, b en h zijn de bruikbare binnenmaten van de cabine
D_vloer = √(a^2 + b^2), D_zij = √(b^2 + h^2), D_ruimte = √(a^2 + b^2 + h^2)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent die controleert of meubels ergens doorheen passen. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit het hoofd of op gevoel). Een bank van 180 cm breed, 90 cm diep en 75 cm hoog moet door een deur van 80 cm breed en 200 cm hoog (lichte maat). Houd 3 cm speling aan voor verpakking en afdekmateriaal. Bereken elk van de volgende dingen: 1. De bruikbare breedte en hoogte van de opening (trek de speling van 3 cm af van de breedte en van de hoogte van de opening) 2. Of elk van de drie vlakken van het meubel (breedte × hoogte, diepte × hoogte, breedte × diepte) zo in de bruikbare opening past (de twee zijden p en q van het vlak voldoen aan p ≤ bruikbare breedte en q ≤ bruikbare hoogte; p en q mogen van plaats wisselen) 3. Past er geen vlak, of er een hoek van 0° tot 90° is waarbij, als je de lange zijde van het vlak θ graden vanaf de vloer kantelt, zowel de benodigde breedte p cosθ + q sinθ als de benodigde hoogte p sinθ + q cosθ past 4. De langste lengte van een kist van 50 cm breed die om een rechte hoek tussen twee gangen van 90 cm breed kan (het minimum van L(θ) = a/sinθ + b/cosθ − d/(sinθ cosθ) voor θ van 0° tot 90°) Geef de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Tv-formaat en kijkafstand berekenen (4K, Full HD en 8K)
Bereken de breedte en hoogte van een nieuw tv-scherm uit het aantal inches. Handig om te combineren met de maatcontrole vóór de levering
Schilderij ophangen: hoogte van de haak en fotowand berekenen (ophanghoogte, afstand tussen lijsten)
Versier de wand als het meubilair er staat. Bereken de hoogte van de haak voor een lijst en de tussenruimte bij een rij lijsten
Wandoppervlakte berekenen (wanden, plafond en vloer, met deuren, ramen, omtrek en inhoud)
Zet de maten en openingen van de kamer op een rij en bereken de oppervlakte van wanden en vloer en de omtrek
Stelling van Pythagoras (schuine zijde en rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek berekenen)
Bereken de diagonaal van een opening of van een vlak van een meubel uit twee zijden, met tussenstappen. Op deze stelling berusten de diagonalen op deze pagina
Verhuisdozen berekenen (hoeveel dozen heb je nodig voor je verhuizing?)
Ook voor je verhuizing. Schat hoeveel verhuisdozen je nodig hebt uit je spullen of het aantal personen in je huishouden
