Vul het totale aantal n en het aantal gekozen dingen r in. De rekenmachine berekent tegelijk de permutaties nPr (volgorde telt) en de combinaties nCr (volgorde telt niet). De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt n en r ook rechtstreeks in de formule aanpassen.
Vul n en r in als hele getallen van 0 of meer (r mag niet groter zijn dan n). n kan tot 10.000 zijn en elk cijfer van het antwoord wordt exact getoond, ook als het uit tientallen cijfers bestaat.
Resultaat
Vul links het totale aantal n en het aantal gekozen dingen r in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formule
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul alleen het totale aantal dingen \(n\) en het aantal dat je kiest \(r\) in. Je krijgt tegelijk de permutaties \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (het aantal manieren om te kiezen als de volgorde telt) en de combinaties \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (het aantal manieren om te kiezen als de volgorde niet telt)
- Beantwoord telvragen zoals “Op hoeveel manieren kan een voetbalteam van 11 spelers een aanvoerder en een keeper kiezen?” of “Op hoeveel manieren kan het 2 spitsen kiezen?” in één stap
- Ook bij een grote \(n\) waarvan het antwoord uit tientallen of honderden cijfers bestaat, wordt elk cijfer exact getoond, zonder afronding
- Een eenvoudige uitleg van de formules en kant-en-klare formules voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Deze pagina behandelt permutaties en combinaties zonder herhaling, waarbij een ding niet nog een keer gekozen kan worden als het al gekozen is. Kan hetzelfde ding zo vaak gekozen worden als je wilt, zoals de zijden van een dobbelsteen (permutaties of combinaties met herhaling), dan zijn de formules anders en gaat deze rekenmachine daar niet mee om.
Waarvoor is deze berekening handig?
De kans bij de Eurojackpot in een getal uitdrukken
Bij de Eurojackpot kies je 5 getallen uit 1 t/m 50 en 2 bonusgetallen uit 1 t/m 12. De volgorde van de getallen doet er niet toe, dus het zijn combinaties: \({}_{50}\mathrm{C}_{5} = 2.118.760\) manieren voor de 5 getallen en \({}_{12}\mathrm{C}_{2} = 66\) voor de 2 bonusgetallen. Vermenigvuldig je die, dan krijg je \(139.838.160\) mogelijke combinaties. Slechts 1 daarvan wint de jackpot, dus de kans is ongeveer 1 op 140 miljoen (Nederlandse Loterij, 2026).
Met de formule voor combinaties kun je met echte cijfers nagaan hoe moeilijk het is om een loterij of prijstrekking te winnen, in plaats van op een vaag gevoel.
Tellen op hoeveel manieren je klassenfuncties of taken verdeelt
In een klas van 30 leerlingen betekent het kiezen van een voorzitter en een penningmeester dat de rollen verschillen, dus het is een permutatie: \({}_{30}\mathrm{P}_{2} = 30 \times 29 = 870\) manieren. Twee leerlingen kiezen voor de opruimdienst hangt daarentegen niet af van de volgorde, dus het is een combinatie: \({}_{30}\mathrm{C}_{2} = 435\) manieren.
Als je weet dat het aantal verandert naarmate rollen of volgorde meetellen, kun je goed tellen bij loten en verkiezingen.
Het aantal wedstrijden in een halve competitie berekenen
In een halve competitie speelt elk team één keer tegen elk ander team. Elke wedstrijd is een keuze van 2 teams, dus \(n\) teams spelen \({}_{n}\mathrm{C}_{2}\) wedstrijden. Bij 10 teams zijn dat \({}_{10}\mathrm{C}_{2} = 45\) wedstrijden.
Toernooiorganisatoren gebruiken deze berekening om in te schatten hoeveel wedstrijden, dagen en velden ze nodig hebben.
Tellen hoeveel pincodes en slotcodes er zijn (beveiliging)
Maak je een code van 4 cijfers uit de 10 cijfers 0 tot 9 zonder een cijfer twee keer te gebruiken, dan telt de volgorde mee, dus zijn er \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5.040\) codes. Hoe meer codes er zijn, hoe moeilijker het is om het slot open te krijgen door ze allemaal te proberen, en permutaties laten ook zien hoeveel één extra cijfer helpt.
Een “combinatieslot” gaat trouwens alleen open als de cijfers in de juiste volgorde worden ingevoerd, dus wiskundig gezien gaat het om een permutatie en niet om een combinatie.
Steekproefcontrole bij kwaliteitsbeheer (industrie)
Als je uit een partij van 100 producten er 5 kiest voor controle, zijn er \({}_{100}\mathrm{C}_{5} = 75.287.520\) manieren om ze te kiezen.
De theorie van statistische steekproefcontrole is op zulke aantallen gebouwd. Ze bepaalt de kans dat een controle een defect product in de partij vindt en is een belangrijk onderdeel van kwaliteitszorg in fabrieken.
Formule
Faculteit \(n!\) (het aantal manieren om alle \(n\) dingen te rangschikken)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(n!\)
\(=\)
\(n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(n!\): manieren om alle \(n\) dingen te rangschikken
\(=\)
①
het product van de hele getallen van \(n\) tot en met \(1\)
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig
alle hele getallen van \(n\) tot en met \(1\)
met elkaar
②
en je krijgt de
\(n!\): manieren om alle \(n\) dingen te rangschikken
Een eenvoudig voorbeeld
Het aantal manieren om 4 mensen (A, B, C en D) op een rij te zetten is
manieren om alle 4 mensen op een rij te zetten \(4!\)
\(=\)
het product van 4 tot en met 1
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
Het belangrijkste idee
Voor de eerste plaats zijn er \(n\) keuzes, dan voor de volgende plaats \((n-1)\) keuzes uit wat er overblijft, enzovoort. Het aantal keuzes wordt telkens 1 kleiner, dus als je ze allemaal vermenigvuldigt, krijg je het aantal manieren om alles te rangschikken.
Per definitie is \(0! = 1\) (er is precies 1 manier om niets te rangschikken). Dankzij deze afspraak werken de formules voor permutatie en combinatie hieronder ook gewoon als \(r = n\) of \(r = 0\).
Permutaties \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (volgorde telt)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\({}_{n}P_{r}\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\((n-r)!\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): aantal geordende rangschikkingen
\(=\)
①
\(n!\): manieren om alle \(n\) dingen te rangschikken
\(\div\)
②
\((n-r)!\): manieren om de rest te rangschikken
De formule in woorden
①
Neem de
\(n!\): manieren om alle \(n\) dingen te rangschikken
②
deel dat door de
\((n-r)!\): manieren om de \((n-r)\) niet gekozen dingen te rangschikken
③
en je krijgt de
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): aantal manieren om \(r\) van \(n\) dingen in volgorde te kiezen
Een eenvoudig voorbeeld
Het aantal manieren om uit de 11 spelers van een voetbalteam een aanvoerder en een keeper te kiezen (de rollen verschillen, dus de volgorde telt) is
2 van 11 mensen in volgorde \({}_{11}\mathrm{P}_{2}\)
\(=\)
manieren om alle 11 te rangschikken (11!)
\(\div\)
manieren om de andere 9 te rangschikken (9!)
\({}_{11}P_{2} = \dfrac{11!}{(11-2)!} = \dfrac{11!}{9!} = 11 \times 10 = 110\)
Het belangrijkste idee
Van de \(n!\) manieren om alle \(n\) dingen te rangschikken doet de volgorde van de \((n-r)\) niet gekozen dingen er niet toe, dus delen we door \((n-r)!\). Dat is de betekenis van deze formule.
Als je het met de hand uitrekent, vallen de factoren weg en blijft over: “vermenigvuldig \(r\) getallen, aftellend vanaf \(n\)”. Voor \({}_{11}\mathrm{P}_{2}\) is dat \(11 \times 10 = 110\). Een permutatie telt “aanvoerder A, keeper B” en “aanvoerder B, keeper A” als twee verschillende keuzes.
Combinaties \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (volgorde telt niet)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\({}_{n}C_{r}\)
\(=\)
\({}_{n}P_{r}\)
\(\div\)
\(r!\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\): aantal manieren om te kiezen
\(=\)
①
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): keuzes in volgorde
\(\div\)
②
\(r!\): manieren om de \(r\) gekozen dingen te herordenen
De formule in woorden
①
Neem de
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): keuzes in volgorde
②
deel dat door de
\(r!\): manieren om de \(r\) gekozen dingen te herordenen
om de dubbelen door de volgorde weg te halen
③
en je krijgt de
\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\): aantal manieren om \(r\) van \(n\) dingen te kiezen
Een eenvoudig voorbeeld
Het aantal manieren om uit de 11 spelers van een voetbalteam 2 spitsen te kiezen (de volgorde van de 2 doet er niet toe) is
2 van 11 mensen \({}_{11}\mathrm{C}_{2}\)
\(=\)
keuzes in volgorde (110 manieren)
\(\div\)
manieren om 2 mensen te herordenen (2! = 2 manieren)
\({}_{11}C_{2} = \dfrac{{}_{11}P_{2}}{2!} = \dfrac{110}{2} = 55\)
Het belangrijkste idee
Onder de 110 permutaties wordt elk paar mensen \(2! = 2\) keer geteld, één keer als “A en B” en één keer als “B en A”. Delen door \(r!\) haalt deze dubbelen weg en laat alleen het aantal verschillende groepen over.
Vul de formule voor de permutatie \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\) in en je krijgt de bekende vorm uit leerboeken, \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\). \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) heet ook de binomiaalcoëfficiënt en wordt vaak geschreven als \(\binom{n}{r}\), gelezen als “n boven r”.
De permutaties nPr tellen de manieren om te kiezen als de volgorde telt en de combinaties nCr tellen de manieren om te kiezen als de volgorde niet telt. Het makkelijkst onthoud je ze zo: bepaal eerst de permutaties, deel dan door \(r!\) om de dubbelen door de volgorde weg te halen en je hebt de combinaties.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(n\) | n | Het totale aantal dingen waaruit je kiest. (Voorbeeld: kies je uit 11 mensen, dan is \(n = 11\)) |
| \(r\) | r | Het aantal dingen dat je uit het totaal kiest. (Voorbeeld: kies je 2 mensen, dan is \(r = 2\)) |
| \(n!\) | n faculteit | Het product van alle hele getallen van \(n\) tot en met \(1\). Het is het aantal manieren om alle \(n\) dingen op een rij te zetten. Per definitie is \(0! = 1\). (Voorbeeld: \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Het aantal manieren om \(r\) van \(n\) dingen te kiezen en in volgorde te zetten (permutaties). De P staat voor “permutatie”. Ook geschreven als \(P(n, r)\). |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | n C r | Het aantal manieren om \(r\) van \(n\) dingen te kiezen (combinaties). De C staat voor “combinatie”. Ook geschreven als \(C(n, r)\). |
| \(\binom{n}{r}\) | n boven r (binomiaalcoëfficiënt) | Een andere schrijfwijze van \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). Dit is de vorm die je het vaakst in leerboeken en in het hoger onderwijs ziet (lees: n boven r). |
Begrippen
| tellen | Uitzoeken hoeveel mogelijke uitkomsten er in totaal zijn. Permutaties en combinaties zijn allebei hulpmiddelen om te tellen. |
| permutatie | Een manier om \(r\) van \(n\) dingen te kiezen en op een rij te zetten, waarbij de volgorde telt. Verschillende rollen of plaatsen, zoals “aanvoerder en vice-aanvoerder”, tellen als verschillend. |
| combinatie | Een manier om \(r\) van \(n\) dingen te kiezen waarbij de volgorde er niet toe doet. Zoals bij “2 mensen voor de opruimdienst” telt dezelfde groep mensen als 1 manier. |
| faculteit | Alle hele getallen van \(n\) tot en met \(1\) met elkaar vermenigvuldigen. Het symbool is \(n!\) en het geeft het aantal manieren om alle \(n\) dingen te rangschikken. |
| binomiaalcoëfficiënt | Een andere naam voor \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). De naam komt doordat de coëfficiënten die je krijgt bij het uitwerken van \((a+b)^n\) precies de waarden van \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) zijn. |
| boomdiagram | Een vertakt diagram dat elke mogelijke uitkomst opsomt, zodat je elke uitkomst precies één keer telt. De formules voor permutatie en combinatie doen hetzelfde tellen als een boomdiagram in één berekening. |
| permutatie met herhaling | Een permutatie waarbij hetzelfde ding zo vaak gekozen kan worden als je wilt. Er zijn er \(n^r\). De rekenmachine op deze pagina behandelt alleen het geval zonder herhaling. |
| combinatie met herhaling | Een combinatie waarbij hetzelfde ding zo vaak gekozen kan worden als je wilt. De rekenmachine op deze pagina behandelt alleen het geval zonder herhaling. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina met echt begrip te gebruiken en niet alleen op de knop te drukken.
| Vermenigvuldigen en delen (groep 4-6, 7-10 jaar) |
|
| Tellen en boomdiagrammen (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Het symbool voor de faculteit (bovenbouw havo/vwo, vanaf 15 jaar) |
|
| Permutaties en combinaties (bovenbouw havo/vwo, vanaf 15 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de faculteit n! te berekenen
| Aantal dingen om te rangschikken n | 4 |
| Alle manieren om te rangschikken n! | =FACULTEIT(B1) |
Tabel om de permutaties nPr te berekenen
| Totaal aantal n | 11 |
| Aantal gekozen r | 2 |
| Permutaties nPr | =PERMUTATIES(B1;B2) |
Tabel om de combinaties nCr te berekenen
| Totaal aantal n | 11 |
| Aantal gekozen r | 2 |
| Combinaties nCr | =COMBINATIES(B1;B2) |
Na het plakken zijn B1 (en B2) je invoer en wordt de laatste rij automatisch berekend.
FACULTEIT, PERMUTATIES en COMBINATIES zijn de Excel-functies voor de faculteit, permutaties en combinaties.
In de tweede tabel staat in B3 bijvoorbeeld 110 en in de derde 55. Vervang B1 en B2 gewoon door je eigen getallen.
Let op: Excel bewaart maar 15 significante cijfers, dus als n groot is en het antwoord uit tientallen cijfers bestaat, worden de laatste cijfers afgerond.
FACULTEIT, PERMUTATIES en COMBINATIES zijn de Excel-functies voor de faculteit, permutaties en combinaties.
In de tweede tabel staat in B3 bijvoorbeeld 110 en in de derde 55. Vervang B1 en B2 gewoon door je eigen getallen.
Let op: Excel bewaart maar 15 significante cijfers, dus als n groot is en het antwoord uit tientallen cijfers bestaat, worden de laatste cijfers afgerond.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de faculteit n! te berekenen
| Aantal dingen om te rangschikken n | 4 |
| Alle manieren om te rangschikken n! | =FACULTEIT(B1) |
Tabel om de permutaties nPr te berekenen
| Totaal aantal n | 11 |
| Aantal gekozen r | 2 |
| Permutaties nPr | =PERMUTATIES(B1;B2) |
Tabel om de combinaties nCr te berekenen
| Totaal aantal n | 11 |
| Aantal gekozen r | 2 |
| Combinaties nCr | =COMBINATIES(B1;B2) |
Dezelfde formules als in Excel werken ook hier (FACULTEIT, PERMUTATIES en COMBINATIES hebben in Google Spreadsheets dezelfde namen).
Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang B1 en B2 door je eigen getallen.
Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang B1 en B2 door je eigen getallen.
Berekenen met Python
import math
total_items = 11 # totaal aantal dingen n
chosen_items = 2 # aantal gekozen dingen r
permutations = math.perm(total_items, chosen_items) # permutaties nPr
combinations = math.comb(total_items, chosen_items) # combinaties nCr
print(f"Permutaties nPr (volgorde telt): {permutations}")
print(f"Combinaties nCr (volgorde telt niet): {combinations}")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek math (math.perm en math.comb vragen Python 3.8 of hoger). Gehele getallen in Python hebben geen limiet op het aantal cijfers, dus het antwoord blijft exact, ook bij honderden cijfers. Pas de eerste twee getallen aan en voer het uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Faculteit \(n!\) (het aantal manieren om alle \(n\) dingen te rangschikken)
n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1
n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi><mo>!</mo>
<mo>=</mo>
<mi>n</mi>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
n! = n xx (n-1) xx cdots xx 2 xx 1
Factorial[n]
nFactorial := factorial(n);
n_factorial = factorial(n);
n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1
Permutaties \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (volgorde telt)
ₙPᵣ = n! ÷ (n − r)!
{}_{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>P</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(n, r) = (n!)/((n-r)!)
n!/(n - r)!
nPr := factorial(n)/factorial(n - r);
npr = factorial(n)/factorial(n - r);
P(n,r) = n!/(n − r)!
Combinaties \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (volgorde telt niet)
ₙCᵣ = n! ÷ (r! × (n − r)!)
{}_{n}C_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n, r) = (n!)/(r!(n-r)!)
Binomial[n, r]
nCr := binomial(n, r);
ncr = nchoosek(n, r);
C(n,r) = n!/(r!(n − r)!)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor combinatoriek (permutaties en combinaties). Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (antwoord niet uit je hoofd of op basis van een gok). Een voetbalteam heeft 11 spelers. 1. Op hoeveel manieren kun je een aanvoerder en een keeper kiezen? (De rollen verschillen, dus dit is een permutatie.) 2. Op hoeveel manieren kun je 2 spitsen kiezen? (De volgorde van de 2 doet er niet toe, dus dit is een combinatie.) Zeg bij elke vraag of je de permutaties nPr of de combinaties nCr hebt gebruikt en toon de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Kans op twee gebeurtenissen (en, of, geen van beide)
Berekent uit twee kansen de kans dat beide gebeuren, dat minstens één gebeurt en meer
Kans bij herhaling (n keer achter elkaar, minstens één keer)
Berekent de kans dat iets n keer achter elkaar gebeurt, of minstens één keer in n keer
Normale verdeling berekenen (kans tussen twee waarden en z-tabel)
Berekent de kans om binnen een bepaald bereik te vallen uit het gemiddelde en de standaardafwijking
