Vul van de 8 velden hieronder alleen de twee in die je kent. Je rekent met twee onafhankelijke gebeurtenissen en alle overige kansen worden teruggerekend.
Vul maar twee velden in en laat de andere leeg. Vul elke kans in als een getal van 0 tot 1 (30% is bijvoorbeeld 0,3).
Resultaat en figuur
Vul alleen de twee velden in die je kent en klik op “Berekenen”. De overige kansen verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Bij twee gebeurtenissen horen 8 kansen: dat elk van beide gebeurt of niet gebeurt, dat beide gebeuren, \(P(A \cap B)\), dat minstens één gebeurt, \(P(A \cup B)\), en meer. Vul de twee in die je kent en alle andere worden teruggerekend
- Hij is gemaakt voor “omgekeerde” vragen die een gewone rekenmachine niet makkelijk beantwoordt, zoals “In 58% van de gevallen gebeurt minstens één van de twee en in 12% gebeuren beide. Wat is de kans op elk afzonderlijk?”
- Hij toont niet alleen de antwoorden maar ook elke stap van de berekening, dus je kunt hem gebruiken om huiswerk of je eigen berekeningen na te kijken
- Een eenvoudige uitleg van de formules en kant-en-klare formules voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Dit werkt alleen als de twee gebeurtenissen elkaar niet beïnvloeden (ze zijn onafhankelijk). Een dobbelsteen en een munt, waarbij de ene uitkomst niets met de andere te maken heeft, zijn prima. Het werkt niet als de ene uitkomst de kans op de andere verandert, zoals bij “twee lootjes trekken zonder het eerste terug te leggen”.
Waarvoor is deze berekening handig?
Individuele percentages terugrekenen uit enquêteresultaten (marketing)
Uit een enquêteresultaat als “58% van de mensen kent minstens één van de producten A en B en 12% kent beide” kun je de naamsbekendheid van elk product terugrekenen (30% en 40%). (Dit is een modelberekening waarbij de bekendheid van de twee als onafhankelijk wordt gezien.)
In marketing heb je vaak alleen de samengevatte, gecombineerde cijfers. Dit terugrekenen helpt als je de afzonderlijke cijfers daaruit wilt halen.
De oorspronkelijke kansen inschatten uit vastgelegde resultaten
“Op 14,5% van de dagen in het jaar viel minstens één van twee machines uit. Op 0,5% van de dagen vielen beide tegelijk uit.” Uit zulke gegevens kun je het uitvalpercentage van elke machine terugrekenen (5% en 10%).
In echte gegevens worden vaak alleen de gecombineerde resultaten vastgelegd. Daaruit de afzonderlijke kansen inschatten is een gangbare aanpak bij onderhoud van apparatuur en procesverbetering.
Meten hoe goed een dubbelcontrole werkt (kwaliteitsbeheer en nalezen)
Twee mensen controleren documenten. Eerdere resultaten laten zien dat “minstens één van hen in 90% van de gevallen een fout vindt en beiden in 40%”. Hieruit kun je het ontdekkingspercentage van elk terugrekenen (80% en 50%). (Dit is een modelberekening waarbij hun controles als onafhankelijk worden gezien.)
Je kunt de vaardigheid van elke controleur inschatten aan de hand van eerdere resultaten, zonder iedereen apart te testen. Zo kun je de opzet (wie met wie samenwerkt, of één persoon genoeg is) op basis van cijfers heroverwegen.
Individuele percentages aflezen uit gegevens over bezit
Uit een enquêteresultaat als “85% van de mensen heeft minstens één van een smartphone en een tablet en 35% heeft beide” kun je het bezit van elk terugrekenen (70% en 50%). (Dit is een grove schatting waarbij het bezit van de twee als onafhankelijk wordt gezien.)
Gepubliceerde statistieken geven soms alleen getallen in de vorm “minstens één” en “beide”. Hiermee kun je de afzonderlijke percentages halen die je wilt weten.
Formules en figuren
De relaties die altijd gelden voor twee onafhankelijke gebeurtenissen
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B)\)
\(P(A \cup B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(P(A)\,P(B)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(P(A \cap B)\): kans dat beide gebeuren
\(=\)
①
\(P(A)\): kans dat A gebeurt
\(\times\)
②
\(P(B)\): kans dat B gebeurt
④
\(P(A \cup B)\): kans dat minstens één gebeurt
\(=\)
\(P(A)\): kans dat A gebeurt
\(+\)
\(P(B)\): kans dat B gebeurt
\(-\)
kans dat beide gebeuren (het product)
De formule in woorden
①
Neem
\(P(A)\): kans dat A gebeurt
②
vermenigvuldig dat met
\(P(B)\): kans dat B gebeurt
③
en je krijgt
\(P(A \cap B)\): kans dat beide gebeuren
(de eerste formule)
④
Tel de twee kansen op, trek het product (de kans dat beide gebeuren) eraf en je krijgt
\(P(A \cup B)\): kans dat minstens één gebeurt
(de tweede formule)
Deze twee relaties gelden altijd voor twee onafhankelijke gebeurtenissen. Als je dus twee van de 8 kansen kent, kun je de relaties omgekeerd volgen en alle andere kansen vinden.
Een eenvoudig voorbeeld
Weet je dat de kans dat beide gebeuren 0,12 is en de kans dat minstens één gebeurt 0,58, zoek dan “twee getallen met som 0,7 en product 0,12”. Dat zijn P(A) en P(B)
beide gebeuren (0,12)
\(=\)
\(P(A)\): A gebeurt (?)
\(\times\)
\(P(B)\): B gebeurt (?)
\(P(A) + P(B) = 0{,}58 + 0{,}12 = 0{,}7\)
\(P(A) \times P(B) = 0{,}12\)
\(\Rightarrow\ P(A) = 0{,}3;\ \ P(B) = 0{,}4\)
Het belangrijkste idee
Waarom zijn twee waarden genoeg om alle andere te vinden? Elk van de 8 kansen is te schrijven met \(P(A)\) en \(P(B)\), dus er zijn eigenlijk maar twee onbekenden. Bij twee onbekenden zijn twee aanwijzingen (vergelijkingen) genoeg om ze op te lossen. Het is hetzelfde idee als bij een stelsel van vergelijkingen: “twee vergelijkingen met \(x\) en \(y\) kun je oplossen”.
Let op: “beide gebeuren” en “minstens één gebeurt” veranderen niet als je A en B verwisselt. Als je vanuit deze twee terugrekent, kun je dus niet zien welke van de twee A is en krijg je mogelijk twee oplossingen waarin A en B verwisseld zijn. Bij tegenstrijdige invoer, zoals “beide gebeuren” groter dan “minstens één gebeurt”, past geen enkel stel kansen en is het resultaat “geen oplossing”.
Het vierkant rechts in de figuur hierboven behandelt het geheel als een vierkant met oppervlakte 1, met breedte \(P(A)\) en hoogte \(P(B)\). De oppervlakte van de rechthoek linksonder, \(P(A) \times P(B)\), is de kans dat beide gebeuren. Daarom is de eerste formule een vermenigvuldiging. Het venndiagram links laat alleen zien welk deel welk is: alles binnen de twee cirkels is de kans dat minstens één gebeurt. (De oppervlakten van de cirkels komen niet overeen met de grootte van de kansen.)
Alle 8 kansen worden bepaald door slechts twee waarden, \(P(A)\) en \(P(B)\). Omgekeerd kun je dus, als je er twee kent, alle andere vinden.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(P(A)\) | P van A | De kans dat gebeurtenis A plaatsvindt. De P komt van het Engelse woord “probability” (kans). |
| \(A'\) | A accent (complement) | De gebeurtenis “A gebeurt niet”, het complement van A. Ook geschreven als \(A^c\) of \(\overline{A}\). Je berekent het met \(P(A') = 1 - P(A)\). |
| \(\cap\) | doorsnede | Het symbool voor “en”. \(A \cap B\) is de gebeurtenis “A en B gebeuren allebei”. In een venndiagram is het het deel waar de twee cirkels elkaar overlappen. |
| \(\cup\) | vereniging | Het symbool voor “of”. \(A \cup B\) is de gebeurtenis “minstens één van A en B gebeurt”. In een venndiagram is het alles binnen de twee cirkels. |
| \(\Delta\) | delta (symmetrisch verschil) | Het symbool voor “precies één”. \(A \Delta B\) is de gebeurtenis “precies één van A en B gebeurt (niet allebei)”. |
Begrippen
| gebeurtenis | Iets wat wel of niet gebeurt, zoals “een 6 gooien” of “morgen regen”. In de kansrekening noem je zulke uitkomsten gebeurtenissen en geef je ze namen als A en B. |
| onafhankelijk | Als de uitkomst van de ene gebeurtenis niets verandert aan de kans op de andere. Een tweede lootje trekken zonder het eerste terug te leggen is niet onafhankelijk, want de eerste uitkomst verandert de kans op de tweede. Het terugrekenen op deze pagina geldt alleen voor onafhankelijke gebeurtenissen. |
| complement | De tegenovergestelde gebeurtenis, namelijk dat de gebeurtenis niet gebeurt. Is de kans dat iets gebeurt 0,3, dan is de kans dat het niet gebeurt (de kans op het complement) \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\). |
| stelsel van vergelijkingen | Een manier om twee onbekende getallen te vinden door twee vergelijkingen te combineren. Het terugrekenen op deze pagina lost een stelsel van vergelijkingen op met de twee onbekenden \(P(A)\) en \(P(B)\). |
| kwadratische vergelijking | Het zoeken van “twee getallen met som \(S\) en product \(P\)” leidt tot een kwadratische vergelijking. De meeste terugberekeningen op deze pagina eindigen in deze vorm. |
| abc-formule | De formule waarmee je elke kwadratische vergelijking stap voor stap oplost, \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). De kwadratische vergelijkingen waarop de berekeningen op deze pagina uitkomen, los je ermee op. |
| discriminant | Het deel onder het wortelteken in de abc-formule, \(b^2 - 4ac\) (ook wel \(D\) genoemd). Is het positief, dan zijn er twee oplossingen, is het 0, dan is er precies één en is het negatief, dan past geen enkel getal (geen reële oplossing). Een negatieve discriminant is de meest voorkomende reden dat deze pagina “geen oplossing” toont. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina met echt begrip te gebruiken en niet alleen op de knop te drukken.
| Basisbegrippen kans (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Kans op twee onafhankelijke gebeurtenissen (een verwante pagina op deze site) |
|
| Lineaire vergelijkingen (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Kwadratische vergelijkingen en de abc-formule (havo/vwo, klas 3-4, 14-16 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om P(A) en P(B) te berekenen uit “beide gebeuren” en “minstens één gebeurt”
| Beide gebeuren, P(A∩B) | 0,12 |
| Minstens één gebeurt, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (de kleinste oplossing) | =(B1+B2-WORTEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (de grootste oplossing) | =(B1+B2+WORTEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Na het plakken zijn B1 en B2 je invoer en tonen B3 en B4 de teruggerekende P(A) en P(B).
Er worden de relaties P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) en P(A) × P(B) = P(A∩B) gebruikt en de ontstane kwadratische vergelijking wordt opgelost met de abc-formule.
WORTEL is de functie voor de vierkantswortel. Bij invoer waarbij het getal onder het wortelteken negatief wordt, is er geen oplossing en toont Excel een foutmelding (#GETAL!).
Voor andere combinaties (bijvoorbeeld als je P(A) en P(A∪B) kent) kun je het onderdeel “Stappen van de berekening” gebruiken dat de rekenmachine van deze pagina toont.
Er worden de relaties P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) en P(A) × P(B) = P(A∩B) gebruikt en de ontstane kwadratische vergelijking wordt opgelost met de abc-formule.
WORTEL is de functie voor de vierkantswortel. Bij invoer waarbij het getal onder het wortelteken negatief wordt, is er geen oplossing en toont Excel een foutmelding (#GETAL!).
Voor andere combinaties (bijvoorbeeld als je P(A) en P(A∪B) kent) kun je het onderdeel “Stappen van de berekening” gebruiken dat de rekenmachine van deze pagina toont.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om P(A) en P(B) te berekenen uit “beide gebeuren” en “minstens één gebeurt”
| Beide gebeuren, P(A∩B) | 0,12 |
| Minstens één gebeurt, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (de kleinste oplossing) | =(B1+B2-WORTEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (de grootste oplossing) | =(B1+B2+WORTEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Dezelfde formules als in Excel werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen in B1 en B2 door je eigen waarden.
Berekenen met Python
import math
p_both = 0.12 # beide gebeuren, P(A∩B)
p_at_least_one = 0.58 # minstens één gebeurt, P(A∪B)
sum_of_pa_pb = p_at_least_one + p_both # P(A) + P(B)
product_of_pa_pb = p_both # P(A) × P(B)
discriminant = sum_of_pa_pb ** 2 - 4 * product_of_pa_pb # discriminant van de kwadratische vergelijking
if discriminant < 0:
print("Geen oplossing (er past geen enkel stel kansen bij deze combinatie)")
else:
sqrt_of_discriminant = math.sqrt(discriminant)
p_a = (sum_of_pa_pb - sqrt_of_discriminant) / 2
p_b = (sum_of_pa_pb + sqrt_of_discriminant) / 2
print(f"P(A) = {p_a}, P(B) = {p_b}")
Dit voorbeeld is voor als je “beide gebeuren” en “minstens één gebeurt” kent. Pas de twee waarden bovenaan aan en voer het uit. Zijn er twee antwoorden, dan is de andere oplossing dezelfde waarden met P(A) en P(B) verwisseld.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
De relaties die altijd gelden voor twee onafhankelijke gebeurtenissen
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)×P(B)
P(A \cap B) = P(A)\,P(B), \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\,P(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"></mspace>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) P(B), P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)
Solve[{pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58}, {pa, pb}]
solve({pa*pb = 0.12, pa + pb - pa*pb = 0.58}, {pa, pb});
syms pa pb; sol = solve(pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58, pa, pb);
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)×P(B)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor kansberekening. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (antwoord niet uit je hoofd of op basis van een gok). Voor twee onafhankelijke gebeurtenissen A en B weten we dat de kans dat beide gebeuren P(A∩B) = 0,12 is en de kans dat minstens één gebeurt P(A∪B) = 0,58. Bereken P(A) en P(B). Bereken daarna ook de kans dat elk van beide niet gebeurt, de kans dat precies één gebeurt, P(AΔB), en de kans dat geen van beide gebeurt. Zijn er twee oplossingen, toon er dan beide. Toon de formules die je hebt gebruikt en de resultaten van de uitvoering in een tabel.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Kans op twee gebeurtenissen (en, of, geen van beide)
Berekent uit twee kansen de kans dat beide gebeuren, dat minstens één gebeurt en meer
Kans bij herhaling (n keer achter elkaar, minstens één keer)
Berekent de kans dat iets n keer achter elkaar gebeurt, of minstens één keer in n pogingen
