Standaardafwijking berekenen voor populatie en steekproef

Vul de getallen in waarvan je de spreiding wilt weten, gescheiden door puntkomma’s (;). De standaardafwijking van de populatie σ en van de steekproef s worden samen met het gemiddelde, de varianties en de kwadratensom berekend.

Gegevens (gescheiden door puntkomma’s)

Vul 2 of meer getallen in, gescheiden door puntkomma’s (;), bijvoorbeeld 10; 12; 23; 23; 16. Decimalen (met een komma, zoals 3,5) en negatieve getallen mag je ook gebruiken.

Resultaat en grafiek

Vul links je getallen in, gescheiden door puntkomma’s (;), en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul getallen in, gescheiden door puntkomma’s (;), en je ziet meteen de standaardafwijking
Je ziet de standaardafwijking van de populatie \(\sigma\) (delen door \(N\)) en van de steekproef \(s\) (delen door \(N-1\)) allebei meteen naast elkaar
Ook het gemiddelde \(\mu\), de kwadratensom \(\sum (x_i-\mu)^2\) en de varianties \(\sigma^2,\ s^2\) worden berekend, zodat je elke stap van de berekening in één oogopslag kunt volgen
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

Zijn je gegevens de hele groep die je wilt onderzoeken? Gebruik dan de standaardafwijking van de populatie \(\sigma\). Zijn het gegevens van een deel (een steekproef) uit een grotere groep en wil je de spreiding van die hele groep schatten? Gebruik dan de standaardafwijking van de steekproef \(s\). Twijfel je? Vergelijk dan beide. Je hebt minstens 2 getallen nodig.

Waarvoor is deze berekening handig?

De basis van z-scores en het normeren van toetsen (school en examens)

Een z-score (standaardscore) laat zien hoeveel standaardafwijkingen een score van het gemiddelde af ligt: \(z = \dfrac{x - \text{gemiddelde}}{\text{standaardafwijking}}\). De standaardafwijking staat dus in de noemer.
Is het klassengemiddelde 70 en de standaardafwijking 10, dan heeft een score van 85 een z-score van \(z = (85 - 70) \div 10 = 1{,}5\): dat is 1,5 standaardafwijkingen boven het gemiddelde. Leraren die een toets normeren en rapporten van gestandaardiseerde toetsen gebruiken hetzelfde idee. Het verklaart ook waarom dezelfde score meer opvalt bij een toets waarop de scores dicht bij elkaar liggen (kleine spreiding).

Spreiding beperken bij productie en kwaliteitscontrole (industrie)

Hoe nauwkeurig ze ook worden gemaakt, de lengte van schroeven en het gewicht van onderdelen verschillen altijd een beetje. Fabrieken meten die variatie met de standaardafwijking en sturen het proces zo bij dat “het gemiddelde ± 3 standaardafwijkingen” binnen de specificaties van de klant blijft.
Een kleinere standaardafwijking betekent gelijkmatigere, betere producten. De standaardafwijking is zo fundamenteel dat kwaliteitsverbetering bijna neerkomt op het kleiner maken ervan.

Het risico van beleggingen meten (geld en financiën)

Twee beleggingen kunnen allebei een gemiddeld rendement van 5% hebben, maar bij de belegging waarvan het rendement een grotere standaardafwijking heeft, zitten jaren met grote winsten en jaren met grote verliezen. Die wordt daarom als riskanter gezien.
In de financiële wereld heet de standaardafwijking van het rendement volatiliteit en dat is de meest gebruikte maat voor risico. Kijk bij belangrijke geldbeslissingen dus niet alleen naar het gemiddelde, maar ook naar de spreiding (de standaardafwijking).

Klimaten vergelijken op stabiliteit (weer en gegevens lezen)

Twee steden kunnen dezelfde gemiddelde jaartemperatuur hebben. Is de standaardafwijking van de maandtemperaturen klein, dan is het in die stad het hele jaar mild. Is die groot, dan verschillen zomer en winter sterk.
De standaardafwijking maakt van “stabiel of wisselvallig” een getal, iets wat het gemiddelde alleen niet kan laten zien. Ze wordt gebruikt om klimaten te vergelijken en om teelt en toerisme te plannen.

Referentiewaarden voor medische tests bepalen (bloedonderzoek)

De referentiewaarden bij een bloeduitslag worden soms bepaald door gegevens van veel gezonde mensen te verzamelen en ongeveer “het gemiddelde ± 2 standaardafwijkingen” te nemen (in de praktijk gebruikt elke test een methode die past bij de vorm van de verdeling).
Weten wat een standaardafwijking is helpt je rustig te blijven: een uitslag net buiten de referentiewaarden betekent niet automatisch dat je ziek bent, want ook sommige gezonde mensen vallen erbuiten. Bespreek een afwijkende uitslag altijd met je huisarts.

Formules en figuren

Gemiddelde

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\mu\) \(=\) \((x_1 + x_2 + \cdots + x_N)\) \(\div\) \(N\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(\mu\): gemiddelde \(=\) ① som van de gegevens \(\div\) ② \(N\): aantal waarden

De formule in woorden

① Neem de som van de gegevens

② deel die door het \(N\): aantal waarden

③ en je krijgt het \(\mu\): gemiddelde

Een eenvoudig voorbeeld

Voor de gegevens 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16 (8 waarden) is het gemiddelde de som 144 gedeeld door 8, dus

\(\mu\): gemiddelde \(=\) som (144) \(\div\) aantal (8 waarden)

\(144 \div 8 = 18\)

Het belangrijkste idee

De standaardafwijking meet hoe ver elke waarde van het gemiddelde ligt, dus je begint met het berekenen van het gemiddelde. Werk je met de spreiding van een steekproef, dan heet het gemiddelde het steekproefgemiddelde en wordt het vaak geschreven als \(\bar{x}\) (x-streep). De berekening is precies hetzelfde.

Kwadratensom

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(S\) \(=\) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\) \((x_i - \mu)\) \(2\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(S\): kwadratensom \(=\) ③ \(\displaystyle\sum\): alles bij elkaar optellen ① verschil tussen elke waarde \(x_i\) en het gemiddelde \(\mu\) (de afwijking) ② gekwadrateerd

De formule in woorden

① Neem het verschil tussen elke waarde en het gemiddelde (de afwijking)

② kwadrateer dat (zodat elke waarde positief wordt),

③ tel dan alles op \(\displaystyle\sum\)

④ en je krijgt de \(S\): kwadratensom

Een eenvoudig voorbeeld

Voor de gegevens 1; 5 (gemiddelde 3) zijn de afwijkingen \(1-3=-2\) en \(5-3=2\). Kwadrateer elke afwijking en tel ze op

\(S\): kwadratensom \(=\) afwijking (−2) gekwadrateerd \(+\) afwijking (2) gekwadrateerd

\((-2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8\)

Het belangrijkste idee

Tel je de afwijkingen (de verschillen tussen elke waarde en het gemiddelde) gewoon bij elkaar op, dan krijg je altijd 0, omdat de positieve en negatieve verschillen elkaar opheffen. Daarom kwadrateer je ze eerst, zodat ze allemaal positief zijn, en tel je ze daarna op. Dat is de kwadratensom, de basis om spreiding in een getal uit te drukken. De variantie van de populatie, de variantie van de steekproef, de standaardafwijking van de populatie en de standaardafwijking van de steekproef zijn allemaal opgebouwd uit deze \(S\). Het enige verschil tussen een populatie en een steekproef is of je deelt door \(N\) of door \(N-1\).

Variantie (populatie en steekproef)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\sigma^2\) \(=\) \(S\) \(\div\) \(N\)

\(s^2\) \(=\) \(S\) \(\div\) \((N-1)\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(\sigma^2\): variantie van de populatie \(=\) ① \(S\): kwadratensom \(\div\) ② \(N\): aantal

⑥ \(s^2\): variantie van de steekproef \(=\) ④ \(S\): kwadratensom \(\div\) ⑤ \((N-1)\): één minder dan het aantal

De formule in woorden

① Deel de \(S\): kwadratensom

② door het \(N\): aantal

③ en je krijgt de \(\sigma^2\): variantie van de populatie .

④ Deel dezelfde kwadratensom \(S\)

⑤ door \((N-1)\): één minder dan het aantal

⑥ en je krijgt de \(s^2\): variantie van de steekproef

Een eenvoudig voorbeeld

Voor de gegevens 2; 8 (gemiddelde 5, kwadratensom 18) is de variantie van de populatie 18 gedeeld door het aantal 2 en de variantie van de steekproef 18 gedeeld door (2 − 1)

\(\sigma^2\): variantie van de populatie \(=\) 18 \(\div\) 2

\(\sigma^2 = 18 \div 2 = 9\)

\(s^2 = 18 \div (2 - 1) = 18 \div 1 = 18\)

Het belangrijkste idee

De variantie laat zien hoe groot de spreiding is, maar omdat de gegevens gekwadrateerd zijn, is ook de eenheid gekwadrateerd (bij toetspunten: “punten²”). Dat is lastig voor te stellen. Neem je in de volgende stap de wortel, dan krijg je de oorspronkelijke eenheid terug en dat is de standaardafwijking. De variantie van de steekproef deelt door \(N-1\) in plaats van \(N\), omdat je de spreiding van de populatie iets te klein inschat als je bij een steekproef door \(N\) deelt. Door te delen door één minder corrigeer je dat (dit heet de correctie van Bessel, en \(N-1\) noem je het aantal vrijheidsgraden). Sommige leerboeken noemen de versie die door \(N\) deelt de variantie van de steekproef en de versie die door \(N-1\) deelt een zuivere schatter van de variantie van de populatie. Op deze pagina heet de versie met \(N-1\) (net als bij de functies in Excel en Python) de variantie van de steekproef \(s^2\).

Standaardafwijking (populatie en steekproef)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{\sigma^2}\)

\(s\) \(=\) \(\sqrt{s^2}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② \(\sigma\): standaardafwijking van de populatie \(=\) ① wortel uit de variantie van de populatie \(\sigma^2\)

④ \(s\): standaardafwijking van de steekproef \(=\) ③ wortel uit de variantie van de steekproef \(s^2\)

De formule in woorden

① Neem de wortel uit de variantie van de populatie \(\sigma^2\) (het getal dat gekwadrateerd de variantie geeft)

② en je krijgt de \(\sigma\): standaardafwijking van de populatie .

③ Neem de wortel uit de variantie van de steekproef \(s^2\)

④ en je krijgt de \(s\): standaardafwijking van de steekproef

Een eenvoudig voorbeeld

Voor dezelfde gegevens 2; 8 neem je de wortel uit de variantie van de populatie (9) en uit de variantie van de steekproef (18)

\(\sigma\): standaardafwijking van de populatie \(=\) \(\sqrt{9}\)

\(\sigma = \sqrt{9} = 3\)

\(s = \sqrt{18} \approx 4{,}243\)

Het belangrijkste idee

De standaardafwijking is de wortel uit de variantie, dus de eenheid is weer dezelfde als die van de gegevens (bij toetspunten is de standaardafwijking ook in punten). Zo kun je je goed voorstellen “hoe ver de waarden doorgaans van het gemiddelde liggen”. Hoe groter de standaardafwijking, hoe verder de gegevens uit elkaar liggen; hoe kleiner, hoe dichter ze bij het gemiddelde liggen. Zijn alle waarden gelijk, dan is er geen spreiding en is de standaardafwijking 0.

Zo bereken je de standaardafwijking: (1) bereken het gemiddelde, (2) kwadrateer elk verschil met het gemiddelde (elke afwijking) en tel alles op (de kwadratensom), (3) deel door het aantal N (populatie) of door N − 1 (steekproef) om de variantie te krijgen en (4) neem de wortel. Het enige verschil tussen een populatie en een steekproef is of je door N of door N − 1 deelt.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(x_1, x_2, \ldots, x_N\)	x met index 1, x met index 2, …, x met index N	De afzonderlijke waarden waarvan je de spreiding wilt meten. (Voorbeeld: de toetspunten van 8 leerlingen)
\(N\)	N	Het aantal waarden. (Voorbeeld: bij 8 leerlingen is \(N = 8\))
\(\mu\)	mu	Het gemiddelde. Deze Griekse letter staat voor het gemiddelde van een populatie. Het gemiddelde van een steekproef schrijf je als \(\bar{x}\) (x-streep), maar het wordt op dezelfde manier berekend.
\(x_i - \mu\)	x index i min mu	De afwijking. Die laat zien hoe ver elke waarde van het gemiddelde ligt.
\(S\)	S	De kwadratensom, \(\sum (x_i-\mu)^2\): je kwadrateert elke afwijking en telt alles op. De variantie en de standaardafwijking worden hieruit berekend.
\(\sigma^2\)	sigma kwadraat	De variantie van de populatie: de kwadratensom gedeeld door het aantal \(N\).
\(\sigma\)	sigma	De standaardafwijking van de populatie: de wortel uit de variantie van de populatie. Het is het bekendste symbool voor spreiding.
\(s^2\)	s kwadraat	De variantie van de steekproef (een zuivere schatter van de variantie van de populatie): de kwadratensom gedeeld door \(N-1\).
\(s\)	s	De standaardafwijking van de steekproef: de wortel uit de variantie van de steekproef.
\(\sum\)	sigma (sommatieteken)	Een symbool dat “alles optellen” betekent. \(\sum_{i=1}^{N} x_i\) is de som van \(x_1\) tot en met \(x_N\).

Begrippen

standaardafwijking	Een getal dat laat zien hoe ver de gegevens rond het gemiddelde verspreid liggen. Het is de wortel uit de variantie en heeft dezelfde eenheid als de gegevens, daarom is het een handige maat voor “de gebruikelijke afstand tot het gemiddelde”. Het is de meest gebruikte maat voor spreiding.
variantie	Het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen (de verschillen tussen elke waarde en het gemiddelde). Het laat zien hoe groot de spreiding is, maar de eenheid is gekwadrateerd, dus meestal neem je de wortel om de standaardafwijking te krijgen.
afwijking	Het verschil tussen een waarde en het gemiddelde (\(x_i - \mu\)). Positief betekent boven het gemiddelde en negatief eronder. Alle afwijkingen bij elkaar opgeteld geven altijd 0, daarom kwadrateer je ze eerst.
kwadratensom	De gekwadrateerde afwijkingen, allemaal bij elkaar opgeteld. De variantie en de standaardafwijking worden allebei uit deze waarde berekend.
populatie	De hele groep die je wilt onderzoeken. Zijn je gegevens deze hele groep, gebruik dan de standaardafwijking van de populatie \(\sigma\).
steekproef	Een deel van de gegevens uit een populatie (de hele groep). Wil je de spreiding van de hele groep schatten met een steekproef, gebruik dan de standaardafwijking van de steekproef \(s\).
zuivere schatter	De variantie waarmee je de variantie van een populatie schat met een steekproef. Deel de kwadratensom door \(N-1\). Delen door \(N\) geeft een te kleine spreiding van de populatie, dus delen door één minder corrigeert dat.
correctie van Bessel	De correctie waarbij je bij de variantie van een steekproef deelt door \(N-1\) in plaats van \(N\). \(N-1\) heet ook het aantal vrijheidsgraden.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina écht te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.

Het gemiddelde (groep 7, 10-11 jaar)	Weten dat gemiddelde = som ÷ aantal Weten dat het gemiddelde ongeveer aangeeft waar het midden van de gegevens ligt
Negatieve getallen en haakjes (klas 1, 12-13 jaar)	Aftrekkingen kunnen maken met een negatief antwoord, zoals \(1 - 3 = -2\) Weten dat het kwadraat van een negatief getal positief is, zoals in \((-2)^2 = 4\)
Machten (klas 1–2, 12-14 jaar)	Weten dat kwadrateren betekent dat je een getal met zichzelf vermenigvuldigt, zoals in \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)
Wortels (klas 2–3, 13-15 jaar)	Weten dat een wortel het getal is dat je moet kwadrateren om het getal onder het wortelteken te krijgen, zoals in \(\sqrt{9} = 3\) Weten dat je een wortel die niet mooi uitkomt, zoals \(\sqrt{18}\), kunt benaderen met een decimaal getal
Verdeling en spreiding van gegevens (klas 1 tot en met havo/vwo 4–5, 12-17 jaar)	Weten dat gegevens met hetzelfde gemiddelde verschillend gespreid kunnen zijn Weten dat de variantie en de standaardafwijking de grootte van de spreiding in een getal uitdrukken

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om het gemiddelde te berekenen

Waarde 1	10
Waarde 2	12
Waarde 3	23
Waarde 4	23
Waarde 5	16
Waarde 6	23
Waarde 7	21
Waarde 8	16
Aantal N	=AANTAL(B1:B8)
Som Σx	=SOM(B1:B8)
Gemiddelde μ	=GEMIDDELDE(B1:B8)

Tabel om de kwadratensom S te berekenen

Waarde 1	10
Waarde 2	12
Waarde 3	23
Waarde 4	23
Waarde 5	16
Waarde 6	23
Waarde 7	21
Waarde 8	16
Kwadratensom S	=DEV.KWAD(B1:B8)

Tabel om de standaardafwijking σ en de variantie σ² van de populatie te berekenen

Waarde 1	10
Waarde 2	12
Waarde 3	23
Waarde 4	23
Waarde 5	16
Waarde 6	23
Waarde 7	21
Waarde 8	16
Variantie van de populatie σ²	=VARP(B1:B8)
Standaardafwijking van de populatie σ	=STDEVP(B1:B8)

Tabel om de standaardafwijking s en de variantie s² van de steekproef te berekenen

Waarde 1	10
Waarde 2	12
Waarde 3	23
Waarde 4	23
Waarde 5	16
Waarde 6	23
Waarde 7	21
Waarde 8	16
Variantie van de steekproef s²	=VAR(B1:B8)
Standaardafwijking van de steekproef s	=STDEV(B1:B8)

Na het plakken zijn B1 tot en met B8 de cellen voor je getallen en worden de cellen in vet groen automatisch berekend.
In de eerste tabel zie je 18 voor het gemiddelde μ. De standaardafwijking van de populatie σ in de derde tabel is ongeveer 4,899 en de standaardafwijking van de steekproef s in de vierde tabel ongeveer 5,237.
Wil je een ander aantal waarden gebruiken, voeg dan rijen met getallen toe (of haal ze weg) en pas “B1:B8” in de formules aan naar je echte gegevensbereik (bij 10 waarden: B1:B10).
STDEVP en VARP, met een “P”, zijn voor een populatie (delen door N). STDEV en VAR, zonder “P”, zijn voor een steekproef (delen door N − 1). DEV.KWAD geeft de kwadratensom in één stap.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om het gemiddelde te berekenen

Waarde 1	10
Waarde 2	12
Waarde 3	23
Waarde 4	23
Waarde 5	16
Waarde 6	23
Waarde 7	21
Waarde 8	16
Aantal N	=AANTAL(B1:B8)
Som Σx	=SOM(B1:B8)
Gemiddelde μ	=GEMIDDELDE(B1:B8)

Tabel om de kwadratensom S te berekenen

Waarde 1	10
Waarde 2	12
Waarde 3	23
Waarde 4	23
Waarde 5	16
Waarde 6	23
Waarde 7	21
Waarde 8	16
Kwadratensom S	=DEV.KWAD(B1:B8)

Tabel om de standaardafwijking σ en de variantie σ² van de populatie te berekenen

Waarde 1	10
Waarde 2	12
Waarde 3	23
Waarde 4	23
Waarde 5	16
Waarde 6	23
Waarde 7	21
Waarde 8	16
Variantie van de populatie σ²	=VARP(B1:B8)
Standaardafwijking van de populatie σ	=STDEVP(B1:B8)

Tabel om de standaardafwijking s en de variantie s² van de steekproef te berekenen

Waarde 1	10
Waarde 2	12
Waarde 3	23
Waarde 4	23
Waarde 5	16
Waarde 6	23
Waarde 7	21
Waarde 8	16
Variantie van de steekproef s²	=VAR(B1:B8)
Standaardafwijking van de steekproef s	=STDEV(B1:B8)

Dezelfde functies als in Excel (GEMIDDELDE, DEV.KWAD, STDEVP, VARP, STDEV, VAR) werken ongewijzigd. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang B1 tot en met B8 door je eigen getallen.
Ook in Google Spreadsheets gebruik je STDEVP en VARP voor een populatie en STDEV en VAR voor een steekproef.

Berekenen met Python

import statistics

numbers = [10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16]  # de getallen waarvan je de spreiding wilt meten

mean = statistics.mean(numbers)               # gemiddelde μ
pstdev = statistics.pstdev(numbers)           # standaardafwijking van de populatie σ (delen door N)
pvariance = statistics.pvariance(numbers)     # variantie van de populatie σ²
sstdev = statistics.stdev(numbers)            # standaardafwijking van de steekproef s (delen door N-1)
svariance = statistics.variance(numbers)      # variantie van de steekproef s²

print(f"Aantal: {len(numbers)} / Som: {sum(numbers)} / Gemiddelde: {mean}")
print(f"Variantie populatie σ²: {pvariance} / Standaardafwijking populatie σ: {pstdev}")
print(f"Variantie steekproef s²: {svariance} / Standaardafwijking steekproef s: {sstdev}")

Werkt met alleen de standaardbibliotheek (de module statistics). Vervang de lijst numbers bovenaan door je eigen getallen en voer de code uit. pstdev en pvariance, met een “p” ervoor, zijn voor een populatie (delen door N). stdev en variance, zonder “p”, zijn voor een steekproef (delen door N − 1).

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Gemiddelde

μ = Σxᵢ ÷ N

\mu = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x03BC;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mo>&#x22EF;</mo>
        <mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mi>N</mi></msub>
      </mrow>
      <mi>N</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

mu = (x_1 + x_2 + cdots + x_N) / N

Mean[data]

mu := add(x[i], i = 1 .. N)/N;

mu = mean(x);

μ = (x_1 + x_2 + ⋯ + x_N)/N

Kwadratensom

S = Σ(xᵢ − μ)²

S = \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
      <mi>N</mi>
    </munderover>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mn>2</mn>
    </msup>
  </mrow>
</math>

S = sum_(i=1)^N (x_i - mu)^2

Total[(data - Mean[data])^2]

S := add((x[i] - mu)^2, i = 1 .. N);

S = sum((x - mean(x)).^2);

S = ∑_(i=1)^N (x_i − μ)^2

Variantie (populatie en steekproef)

σ² = S ÷ N,  s² = S ÷ (N − 1)

\sigma^2 = \frac{S}{N}, \qquad s^2 = \frac{S}{N-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>&#x03C3;</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mi>N</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <msup><mi>s</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

sigma^2 = S/N, s^2 = S/(N-1)

popVar = S/n; sampleVar = Variance[data]  (* N is een ingebouwde functie in Mathematica, dus het aantal heet n *)

sigma2 := S/N; s2 := S/(N - 1);

popVar = S/N; sampleVar = var(x);

σ^2 = S/N,  s^2 = S/(N−1)

Standaardafwijking (populatie en steekproef)

σ = √(σ²),  s = √(s²)

\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\dfrac{S}{N}}, \qquad s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{S}{N-1}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x03C3;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mfrac><mi>S</mi><mi>N</mi></mfrac></msqrt>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <mi>s</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mfrac><mi>S</mi><mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></msqrt>
  </mrow>
</math>

sigma = sqrt(S/N), s = sqrt(S/(N-1))

popSD = Sqrt[S/n]; sampleSD = StandardDeviation[data]  (* N is een ingebouwde functie in Mathematica, dus het aantal heet n *)

sigma := sqrt(S/N); s := sqrt(S/(N - 1));

popSD = sqrt(S/numel(x)); sampleSD = std(x);

σ = √(S/N),  s = √(S/(N−1))

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een assistent voor statistische berekeningen. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit het hoofd of op basis van een gok).

Zoek voor de volgende gegevens elk van de onderstaande waarden.
Gegevens: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16
1. Het aantal, de som en het gemiddelde
2. De kwadratensom (het verschil van elke waarde met het gemiddelde, gekwadrateerd en alles bij elkaar opgeteld)
3. De variantie van de populatie σ² (delen door N) en de standaardafwijking van de populatie σ
4. De variantie van de steekproef s² (delen door N − 1) en de standaardafwijking van de steekproef s

Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule