Standardabweichung Rechner für Grundgesamtheit und Stichprobe

Geben Sie die Zahlen ein, deren Streuung Sie messen möchten, durch Semikolons (;) getrennt. Die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit und die Standardabweichung s der Stichprobe werden zusammen mit dem Mittelwert, den Varianzen und der Summe der Abweichungsquadrate berechnet.

Werte (durch ; getrennt)

Geben Sie mindestens 2 Zahlen durch Semikolons (;) getrennt ein, zum Beispiel 10 ; 12 ; 23 ; 23 ; 16. Dezimalzahlen (3,5) und negative Zahlen sind erlaubt.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie im Feld links Ihre Zahlen durch Semikolons getrennt ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie Zahlen durch Semikolons (;) getrennt ein, und Sie sehen sofort die Standardabweichung
Die Standardabweichung \(\sigma\) der Grundgesamtheit (Division durch \(N\)) und die Standardabweichung \(s\) der Stichprobe (Division durch \(N-1\)) werden zusammen angezeigt
Auch der Mittelwert \(\mu\), die Summe der Abweichungsquadrate \(\sum (x_i-\mu)^2\) und die Varianzen \(\sigma^2,\ s^2\) werden berechnet, sodass Sie jeden Rechenschritt auf einen Blick nachvollziehen können
Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Wenn Ihre Daten die gesamte Gruppe sind, die Sie untersuchen möchten, verwenden Sie die Standardabweichung \(\sigma\) der Grundgesamtheit. Wenn Ihre Daten nur ein Teil (eine Stichprobe) einer größeren Gruppe sind und Sie die Streuung der ganzen Gruppe abschätzen möchten, verwenden Sie die Standardabweichung \(s\) der Stichprobe. Wenn Sie unsicher sind, vergleichen Sie beide. Sie brauchen mindestens 2 Zahlen.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Die Grundlage für z-Werte und die relative Bewertung von Prüfungen (Schule und Tests)

Ein z-Wert (standardisierter Wert) gibt an, wie weit ein Wert vom Mittelwert entfernt ist, gemessen in Standardabweichungen: \(z = \dfrac{x - \text{Mittelwert}}{\text{Standardabweichung}}\). Die Standardabweichung steht direkt im Nenner.
Liegt der Mittelwert einer Klausur bei 70 Punkten und die Standardabweichung bei 10, hat ein Ergebnis von 85 Punkten den Wert \(z = (85 - 70) \div 10 = 1{,}5\), liegt also 1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert. Dieselbe Idee steckt hinter der relativen Bewertung nach dem Notenspiegel und hinter standardisierten Testauswertungen. Sie erklärt auch, warum dieselbe Punktzahl in einer Klausur mit eng beieinanderliegenden Ergebnissen (kleine Streuung) stärker herausragt.

Schwankungen in Fertigung und Qualitätssicherung klein halten (Industrie)

So präzise man auch fertigt: Schraubenlängen und Bauteilgewichte streuen immer ein wenig. Fabriken messen diese Streuung mit der Standardabweichung und steuern den Prozess so, dass „der Mittelwert ± 3 Standardabweichungen“ innerhalb der Spezifikation des Kunden bleibt.
Eine kleinere Standardabweichung steht für gleichmäßigere, bessere Produkte. Sie ist eine so grundlegende Kennzahl, dass Qualitätsverbesserung fast schon bedeutet, sie kleiner zu machen.

Das Risiko einer Geldanlage messen (Geld und Finanzen)

Zwei Geldanlagen können beide eine durchschnittliche Rendite von 5 % haben. Hat aber bei einer die Standardabweichung der Renditen einen höheren Wert, gibt es Jahre mit hohen Gewinnen und Jahre mit hohen Verlusten, und sie gilt als riskanter.
In der Finanzwelt heißt die Standardabweichung der Renditen Volatilität, und sie ist das gebräuchlichste Risikomaß. Bei wichtigen Geldentscheidungen sollten Sie neben dem Durchschnitt auch die Streuung (die Standardabweichung) betrachten.

Vergleichen, wie beständig das Klima ist (Wetter und Datenanalyse)

Zwei Städte können dieselbe durchschnittliche Jahrestemperatur haben. Ist die Standardabweichung der Monatstemperaturen klein, ist die Stadt das ganze Jahr über mild; ist sie groß, unterscheiden sich Sommer und Winter stark.
Die Standardabweichung macht aus „beständig oder wechselhaft“ eine Zahl, was der Durchschnitt allein nicht zeigen kann. Man nutzt sie, um Klimata zu vergleichen und den Anbau von Pflanzen oder den Tourismus zu planen.

Referenzbereiche für Laborwerte festlegen (Medizin und Vorsorgeuntersuchung)

Der Referenzbereich, der auf Laborbefunden wie Blutuntersuchungen angegeben wird, wird manchmal so festgelegt, dass man Daten vieler gesunder Menschen sammelt und etwa „den Mittelwert ± 2 Standardabweichungen“ nimmt (in der Praxis verwendet jede Untersuchung ein Verfahren, das zur Form ihrer Verteilung passt).
Wer die Standardabweichung kennt, bleibt gelassener: Ein Wert knapp außerhalb des Referenzbereichs bedeutet nicht automatisch, dass Sie krank sind, denn auch ein Teil der Gesunden liegt außerhalb.

Formeln und Abbildungen

Mittelwert

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\mu\) \(=\) \((x_1 + x_2 + \cdots + x_N)\) \(\div\) \(N\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\mu\): Mittelwert \(=\) ① Summe der Daten \(\div\) ② \(N\): Anzahl der Werte

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die Summe der Daten

② teilen Sie sie durch die \(N\): Anzahl der Werte

③ und Sie erhalten den \(\mu\): Mittelwert

Einfaches Beispiel

Für die Daten 10 ; 12 ; 23 ; 23 ; 16 ; 23 ; 21 ; 16 (8 Werte) ist der Mittelwert die Summe 144 geteilt durch 8, also

\(\mu\): Mittelwert \(=\) Summe (144) \(\div\) Anzahl (8 Werte)

\(144 \div 8 = 18\)

Der Kerngedanke

Die Standardabweichung misst, wie weit jeder Wert vom Mittelwert entfernt liegt. Deshalb ist der erste Schritt, den Mittelwert zu bestimmen. Wenn Sie die Streuung einer Stichprobe untersuchen, nennt man den Mittelwert Stichprobenmittelwert und schreibt ihn oft \(\bar{x}\) („x quer“). Er wird aber genauso berechnet.

Summe der Abweichungsquadrate

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(S\) \(=\) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\) \((x_i - \mu)\) \(2\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(S\): Summe der Abweichungsquadrate \(=\) ③ \(\displaystyle\sum\): alles addieren ① Differenz zwischen jedem Wert \(x_i\) und dem Mittelwert \(\mu\) (die Abweichung) ② quadriert

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die Differenz zwischen jedem Wert und dem Mittelwert (die Abweichung)

② quadrieren Sie sie (damit jeder Wert positiv wird),

③ addieren Sie dann alle Ergebnisse \(\displaystyle\sum\)

④ und Sie erhalten die \(S\): Summe der Abweichungsquadrate

Einfaches Beispiel

Für die Daten 1 ; 5 (Mittelwert 3) sind die Abweichungen \(1-3=-2\) und \(5-3=2\). Quadrieren Sie jede einzelne und addieren Sie die Ergebnisse

\(S\): Summe der Abweichungsquadrate \(=\) Abweichung (−2) quadriert \(+\) Abweichung (2) quadriert

\((-2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8\)

Der Kerngedanke

Addiert man die Abweichungen (die Differenzen zwischen jedem Wert und dem Mittelwert) einfach auf, erhält man immer 0, weil sich die positiven und die negativen Abweichungen gegenseitig aufheben. Deshalb quadriert man sie zuerst, damit alle positiv sind, und addiert dann. Das Ergebnis ist die Summe der Abweichungsquadrate, die Grundlage dafür, die Streuung in eine Zahl zu fassen. Die Varianz der Grundgesamtheit, die Varianz der Stichprobe und die beiden Standardabweichungen werden alle aus diesem \(S\) gebildet. Der einzige Unterschied zwischen Grundgesamtheit und Stichprobe ist, ob Sie durch \(N\) oder durch \(N-1\) teilen.

Varianz (Grundgesamtheit und Stichprobe)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\sigma^2\) \(=\) \(S\) \(\div\) \(N\)

\(s^2\) \(=\) \(S\) \(\div\) \((N-1)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\sigma^2\): Varianz der Grundgesamtheit \(=\) ① \(S\): Summe der Abweichungsquadrate \(\div\) ② \(N\): Anzahl

⑥ \(s^2\): Varianz der Stichprobe \(=\) ④ \(S\): Summe der Abweichungsquadrate \(\div\) ⑤ \((N-1)\): Anzahl minus 1

Die Formel in Worten

① Teilen Sie die \(S\): Summe der Abweichungsquadrate

② durch die \(N\): Anzahl

③ und Sie erhalten die \(\sigma^2\): Varianz der Grundgesamtheit .

④ Teilen Sie dieselbe Summe der Abweichungsquadrate \(S\)

⑤ durch \((N-1)\): Anzahl minus 1

⑥ und Sie erhalten die \(s^2\): Varianz der Stichprobe

Einfaches Beispiel

Für die Daten 2 ; 8 (Mittelwert 5, Summe der Abweichungsquadrate 18) erhalten Sie die Varianz der Grundgesamtheit, indem Sie 18 durch die Anzahl 2 teilen, und die Varianz der Stichprobe, indem Sie 18 durch (2 − 1) teilen

\(\sigma^2\): Varianz der Grundgesamtheit \(=\) 18 \(\div\) 2

\(\sigma^2 = 18 \div 2 = 9\)

\(s^2 = 18 \div (2 - 1) = 18 \div 1 = 18\)

Der Kerngedanke

Die Varianz zeigt, wie groß die Streuung ist. Weil die Daten aber quadriert werden, ist auch ihre Einheit quadriert (bei Testpunkten „Punkte²“), was schwer vorstellbar ist. Zieht man im nächsten Schritt die Quadratwurzel, kehrt die Einheit zurück, und das ergibt die Standardabweichung. Die Varianz der Stichprobe teilt durch \(N-1\) statt durch \(N\), weil man bei der Schätzung der Streuung einer Grundgesamtheit aus einer Stichprobe mit der Division durch \(N\) die Streuung etwas zu klein schätzt. Die Division durch eine um 1 kleinere Zahl gleicht das aus (das ist die Bessel-Korrektur; \(N-1\) heißt Anzahl der Freiheitsgrade). Manche Statistikbücher nennen die durch \(N\) geteilte Version die Varianz der Stichprobe und die durch \(N-1\) geteilte Version die korrigierte Stichprobenvarianz. Auf dieser Seite wird, wie bei den Funktionen in Excel und Python, die durch \(N-1\) geteilte Version als Varianz der Stichprobe \(s^2\) bezeichnet.

Standardabweichung (Grundgesamtheit und Stichprobe)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{\sigma^2}\)

\(s\) \(=\) \(\sqrt{s^2}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(\sigma\): Standardabweichung der Grundgesamtheit \(=\) ① Quadratwurzel der Varianz \(\sigma^2\) der Grundgesamtheit

④ \(s\): Standardabweichung der Stichprobe \(=\) ③ Quadratwurzel der Varianz \(s^2\) der Stichprobe

Die Formel in Worten

① Ziehen Sie die Quadratwurzel der Varianz \(\sigma^2\) der Grundgesamtheit (die Zahl, die quadriert die Varianz ergibt)

② und Sie erhalten die \(\sigma\): Standardabweichung der Grundgesamtheit .

③ Ziehen Sie die Quadratwurzel der Varianz \(s^2\) der Stichprobe

④ und Sie erhalten die \(s\): Standardabweichung der Stichprobe

Einfaches Beispiel

Für dieselben Daten 2 ; 8 ziehen Sie die Quadratwurzel aus der Varianz 9 der Grundgesamtheit und aus der Varianz 18 der Stichprobe

\(\sigma\): Standardabweichung der Grundgesamtheit \(=\) \(\sqrt{9}\)

\(\sigma = \sqrt{9} = 3\)

\(s = \sqrt{18} \approx 4{,}243\)

Der Kerngedanke

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, ihre Einheit ist also wieder dieselbe wie die der Daten (bei Testpunkten ist auch die Standardabweichung in Punkten angegeben). So lässt sich leicht vorstellen, „wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert entfernt liegen“. Je größer die Standardabweichung, desto stärker streuen die Daten; je kleiner sie ist, desto enger liegen die Daten um den Mittelwert. Sind alle Werte gleich, gibt es keine Streuung, und die Standardabweichung ist 0.

Die Standardabweichung berechnen Sie in vier Schritten. (1) Bestimmen Sie den Mittelwert. (2) Quadrieren Sie jede Differenz zum Mittelwert (jede Abweichung) und addieren Sie alles (Summe der Abweichungsquadrate). (3) Teilen Sie durch die Anzahl N (Grundgesamtheit) oder durch N − 1 (Stichprobe); das ergibt die Varianz. (4) Ziehen Sie die Quadratwurzel. Der einzige Unterschied zwischen Grundgesamtheit und Stichprobe ist, ob Sie durch N oder durch N − 1 teilen.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(x_1, x_2, \ldots, x_N\)	x Index 1, x Index 2, …, x Index N	Die einzelnen Werte, deren Streuung Sie untersuchen möchten. (Beispiel: die Testpunkte von 8 Schülerinnen und Schülern)
\(N\)	N	Die Anzahl der Werte. (Beispiel: bei 8 Personen ist \(N = 8\))
\(\mu\)	My	Der Mittelwert. Dieser griechische Buchstabe steht für den Mittelwert einer Grundgesamtheit. Der Mittelwert einer Stichprobe wird \(\bar{x}\) („x quer“) geschrieben, aber genauso berechnet.
\(x_i - \mu\)	x Index i minus My	Die Abweichung. Sie zeigt, wie weit jeder Wert vom Mittelwert entfernt ist.
\(S\)	S	Die Summe der Abweichungsquadrate \(\sum (x_i-\mu)^2\): Man quadriert jede Abweichung und addiert alles. Aus ihr werden die Varianz und die Standardabweichung gebildet.
\(\sigma^2\)	Sigma Quadrat	Die Varianz der Grundgesamtheit, also die Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch die Anzahl \(N\).
\(\sigma\)	Sigma	Die Standardabweichung der Grundgesamtheit, die Quadratwurzel der Varianz der Grundgesamtheit. Sie ist das bekannteste Symbol für die Streuung.
\(s^2\)	s Quadrat	Die Varianz der Stichprobe (korrigierte Stichprobenvarianz), also die Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch \(N-1\).
\(s\)	s	Die Standardabweichung der Stichprobe, die Quadratwurzel der Varianz der Stichprobe.
\(\sum\)	Sigma (Summenzeichen)	Ein Symbol mit der Bedeutung „alles addieren“. \(\sum_{i=1}^{N} x_i\) ist die Summe von \(x_1\) bis \(x_N\).

Begriffe

Standardabweichung	Eine Zahl, die angibt, wie stark die Daten um den Mittelwert streuen. Sie ist die Quadratwurzel der Varianz. Weil ihre Einheit wieder die der Daten ist, eignet sie sich gut als Maß für den „typischen Abstand vom Mittelwert“. Sie ist das gebräuchlichste Streuungsmaß.
Varianz	Der Mittelwert der quadrierten Abweichungen (der Differenzen zwischen jedem Wert und dem Mittelwert). Sie zeigt, wie groß die Streuung ist, hat aber eine quadrierte Einheit. Deshalb zieht man meist die Quadratwurzel und arbeitet mit der Standardabweichung.
Abweichung	Die Differenz zwischen einem Wert und dem Mittelwert (\(x_i - \mu\)). Ein positiver Wert liegt über dem Mittelwert, ein negativer darunter. Addiert man sie unverändert, ergibt sich immer 0, daher werden sie vor der Verwendung quadriert.
Summe der Abweichungsquadrate	Die quadrierten Abweichungen, alle addiert. Die Varianz und die Standardabweichung werden beide aus diesem Wert gebildet.
Grundgesamtheit	Die gesamte Gruppe, die Sie untersuchen möchten. Wenn Ihre Daten diese ganze Gruppe sind, verwenden Sie die Standardabweichung \(\sigma\) der Grundgesamtheit.
Stichprobe	Ein Teil der Daten, der aus einer Grundgesamtheit (der ganzen Gruppe) entnommen wurde. Wenn Sie aus einer Stichprobe die Streuung der ganzen Gruppe abschätzen, verwenden Sie die Standardabweichung \(s\) der Stichprobe.
korrigierte Stichprobenvarianz	Die Varianz, mit der man aus einer Stichprobe die Varianz einer Grundgesamtheit schätzt (auch erwartungstreue Schätzung genannt). Man teilt die Summe der Abweichungsquadrate durch \(N-1\). Die Division durch \(N\) würde die Streuung der Grundgesamtheit zu klein schätzen, deshalb gleicht man sie durch eine um 1 kleinere Zahl aus.
Bessel-Korrektur	Die Korrektur, bei der man für die Varianz der Stichprobe durch \(N-1\) statt durch \(N\) teilt. \(N-1\) wird auch Anzahl der Freiheitsgrade genannt.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass Mittelwert = Summe ÷ Anzahl ist Wissen, dass der Mittelwert ungefähr angibt, wo die Mitte der Daten liegt
Negative Zahlen und Klammern (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Subtraktionen mit negativem Ergebnis rechnen können, etwa \(1 - 3 = -2\) Wissen, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist, zum Beispiel \((-2)^2 = 4\)
Potenzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Verstehen, dass Quadrieren bedeutet, eine Zahl mit sich selbst zu multiplizieren, etwa \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)
Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Die Quadratwurzel als „die Zahl, die quadriert diese Zahl ergibt“ kennen, etwa \(\sqrt{9} = 3\) Wissen, dass sich eine Quadratwurzel, die nicht aufgeht, etwa \(\sqrt{18}\), als ungefähre Dezimalzahl schreiben lässt
Verteilung und Streuung von Daten (Klasse 6 bis Oberstufe, ab 11 Jahren)	Wissen, dass Daten mit demselben Mittelwert unterschiedlich streuen können Verstehen, dass die Varianz und die Standardabweichung die Größe der Streuung als Zahl ausdrücken

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Mittelwerts

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Anzahl N	=ANZAHL(B1:B8)
Summe Σx	=SUMME(B1:B8)
Mittelwert μ	=MITTELWERT(B1:B8)

Tabelle zur Berechnung der Summe der Abweichungsquadrate S

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Summe der Abweichungsquadrate S	=SUMQUADABW(B1:B8)

Tabelle zur Berechnung der Standardabweichung σ und der Varianz σ² der Grundgesamtheit

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Varianz der Grundgesamtheit σ²	=VARIANZEN(B1:B8)
Standardabweichung der Grundgesamtheit σ	=STABWN(B1:B8)

Tabelle zur Berechnung der Standardabweichung s und der Varianz s² der Stichprobe

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Varianz der Stichprobe s²	=VARIANZ(B1:B8)
Standardabweichung der Stichprobe s	=STABW(B1:B8)

Nach dem Einfügen sind B1 bis B8 die Zellen für Ihre Zahlen, und die fett gedruckten grünen Zellen werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle zeigt für den Mittelwert μ den Wert 18. Die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit in der dritten Tabelle beträgt etwa 4,899, die Standardabweichung s der Stichprobe in der vierten Tabelle etwa 5,237.
Wenn Sie eine andere Anzahl von Werten verwenden möchten, fügen Sie Zeilen mit Zahlen hinzu (oder löschen Sie welche) und ändern Sie dann „B1:B8“ in den Formeln in Ihren tatsächlichen Datenbereich (bei 10 Werten B1:B10).
STABWN und VARIANZEN, mit einem „N“ am Ende, gelten für eine Grundgesamtheit (Division durch N). STABW und VARIANZ, ohne „N“, gelten für eine Stichprobe (Division durch N − 1). SUMQUADABW liefert die Summe der Abweichungsquadrate in einem Schritt.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Mittelwerts

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Anzahl N	=ANZAHL(B1:B8)
Summe Σx	=SUMME(B1:B8)
Mittelwert μ	=MITTELWERT(B1:B8)

Tabelle zur Berechnung der Summe der Abweichungsquadrate S

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Summe der Abweichungsquadrate S	=SUMQUADABW(B1:B8)

Tabelle zur Berechnung der Standardabweichung σ und der Varianz σ² der Grundgesamtheit

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Varianz der Grundgesamtheit σ²	=VARIANZEN(B1:B8)
Standardabweichung der Grundgesamtheit σ	=STABWN(B1:B8)

Tabelle zur Berechnung der Standardabweichung s und der Varianz s² der Stichprobe

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Varianz der Stichprobe s²	=VARIANZ(B1:B8)
Standardabweichung der Stichprobe s	=STABW(B1:B8)

Die gleichen Funktionen wie in Excel (MITTELWERT, SUMQUADABW, STABWN, VARIANZEN, STABW, VARIANZ) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 bis B8 durch Ihre eigenen Zahlen.
Auch in Google Tabellen berechnen Sie mit STABWN und VARIANZEN die Werte für eine Grundgesamtheit und mit STABW und VARIANZ die Werte für eine Stichprobe.

Mit Python berechnen

import statistics

numbers = [10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16]  # die Zahlen, deren Streuung Sie messen möchten

mean = statistics.mean(numbers)               # Mittelwert μ
pstdev = statistics.pstdev(numbers)           # Standardabweichung der Grundgesamtheit σ (Division durch N)
pvariance = statistics.pvariance(numbers)     # Varianz der Grundgesamtheit σ²
sstdev = statistics.stdev(numbers)            # Standardabweichung der Stichprobe s (Division durch N-1)
svariance = statistics.variance(numbers)      # Varianz der Stichprobe s²

print(f"Anzahl: {len(numbers)} / Summe: {sum(numbers)} / Mittelwert: {mean}")
print(f"Varianz der Grundgesamtheit σ²: {pvariance} / Standardabweichung der Grundgesamtheit σ: {pstdev}")
print(f"Varianz der Stichprobe s²: {svariance} / Standardabweichung der Stichprobe s: {sstdev}")

Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek (dem Modul statistics). Ersetzen Sie die Liste numbers am Anfang durch Ihre eigenen Zahlen und führen Sie den Code aus. pstdev und pvariance, die mit „p“ beginnen, gelten für eine Grundgesamtheit (Division durch N); stdev und variance ohne „p“ gelten für eine Stichprobe (Division durch N − 1).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Mittelwert

μ = Σxᵢ ÷ N

\mu = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x03BC;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mo>&#x22EF;</mo>
        <mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mi>N</mi></msub>
      </mrow>
      <mi>N</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

mu = (x_1 + x_2 + cdots + x_N) / N

Mean[data]

mu := add(x[i], i = 1 .. N)/N;

mu = mean(x);

μ = (x_1 + x_2 + ⋯ + x_N)/N

Summe der Abweichungsquadrate

S = Σ(xᵢ − μ)²

S = \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
      <mi>N</mi>
    </munderover>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mn>2</mn>
    </msup>
  </mrow>
</math>

S = sum_(i=1)^N (x_i - mu)^2

Total[(data - Mean[data])^2]

S := add((x[i] - mu)^2, i = 1 .. N);

S = sum((x - mean(x)).^2);

S = ∑_(i=1)^N (x_i − μ)^2

Varianz (Grundgesamtheit und Stichprobe)

σ² = S ÷ N,  s² = S ÷ (N − 1)

\sigma^2 = \frac{S}{N}, \qquad s^2 = \frac{S}{N-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>&#x03C3;</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mi>N</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <msup><mi>s</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

sigma^2 = S/N, s^2 = S/(N-1)

popVar = S/n; sampleVar = Variance[data]  (* N ist in Mathematica eine eingebaute Funktion, deshalb heißt die Anzahl n *)

sigma2 := S/N; s2 := S/(N - 1);

popVar = S/N; sampleVar = var(x);

σ^2 = S/N,  s^2 = S/(N−1)

Standardabweichung (Grundgesamtheit und Stichprobe)

σ = √(σ²),  s = √(s²)

\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\dfrac{S}{N}}, \qquad s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{S}{N-1}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x03C3;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mfrac><mi>S</mi><mi>N</mi></mfrac></msqrt>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <mi>s</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mfrac><mi>S</mi><mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></msqrt>
  </mrow>
</math>

sigma = sqrt(S/N), s = sqrt(S/(N-1))

popSD = Sqrt[S/n]; sampleSD = StandardDeviation[data]  (* N ist in Mathematica eine eingebaute Funktion, deshalb heißt die Anzahl n *)

sigma := sqrt(S/N); s := sqrt(S/(N - 1));

popSD = sqrt(S/numel(x)); sampleSD = std(x);

σ = √(S/N),  s = √(S/(N−1))

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Bestimmen Sie für die folgenden Daten jeden der Werte unten.
Daten: 10 ; 12 ; 23 ; 23 ; 16 ; 23 ; 21 ; 16
1. Die Anzahl, die Summe und den Mittelwert
2. Die Summe der Abweichungsquadrate (die Differenz jedes Werts zum Mittelwert, quadriert und alles addiert)
3. Die Varianz σ² der Grundgesamtheit (Division durch N) und die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit
4. Die Varianz s² der Stichprobe (Division durch N − 1) und die Standardabweichung s der Stichprobe

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

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