Standardabweichung berechnen für Grundgesamtheit und Stichprobe

Geben Sie die Zahlen ein, deren Streuung Sie messen möchten, getrennt durch Semikolons (;). Berechnet werden die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ und der Stichprobe s, dazu Mittelwert, Varianz und Summe der Abweichungsquadrate.

Datenwerte (durch ; getrennt)

Geben Sie mindestens 2 Zahlen ein, getrennt durch Semikolons (;), z. B. 10 ; 12 ; 23 ; 23 ; 16. Dezimalzahlen (3,5) und negative Zahlen sind möglich.

Ergebnis und Graph

Geben Sie links Ihre Zahlen ein, getrennt durch Semikolons, und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Zahlen eingeben, durch Semikolons (;) getrennt – und Sie sehen sofort die Standardabweichung
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit \(\sigma\) (geteilt durch \(N\)) und die der Stichprobe \(s\) (geteilt durch \(N-1\)) erscheinen nebeneinander
Auch Mittelwert \(\mu\), Summe der Abweichungsquadrate \(\sum (x_i-\mu)^2\) und Varianz \(\sigma^2\) bzw. \(s^2\) werden berechnet – so können Sie jeden Rechenschritt nachvollziehen
Dazu eine verständliche Erklärung der Formeln sowie fertige Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Sind Ihre Daten bereits die ganze Gruppe, die Sie untersuchen wollen, nehmen Sie die Standardabweichung der Grundgesamtheit \(\sigma\). Sind Ihre Daten nur ein Ausschnitt (eine Stichprobe) aus einer größeren Gruppe und wollen Sie deren Streuung schätzen, nehmen Sie die Standardabweichung der Stichprobe \(s\). Im Zweifel vergleichen Sie beide Werte. Sie brauchen mindestens 2 Zahlen.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Grundlage für z-Werte und IQ-Werte (Schule und Tests)

Der z-Wert (Standardwert) gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Ergebnis vom Mittelwert entfernt ist: \(z = \dfrac{x - \text{Mittelwert}}{\text{Standardabweichung}}\). Die Standardabweichung steht direkt im Nenner.
Liegt der Klassendurchschnitt bei 70 Punkten und die Standardabweichung bei 10, hat ein Ergebnis von 85 Punkten \(z = (85 - 70) \div 10 = 1{,}5\) – also 1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert. Nach demselben Prinzip sind IQ-Tests genormt: Mittelwert 100, Standardabweichung 15. Ein IQ von 130 liegt damit genau 2 Standardabweichungen über dem Durchschnitt. Das erklärt auch, warum dasselbe Ergebnis bei einem Test mit eng beieinanderliegenden Punktzahlen (kleine Streuung) stärker heraussticht.

Streuung in Fertigung und Qualitätssicherung klein halten (Industrie)

Wie genau sie auch gefertigt werden: Schraubenlängen und Bauteilgewichte schwanken immer ein wenig. In der Fabrik misst man diese Streuung mit der Standardabweichung und steuert den Prozess so, dass „Mittelwert ± 3 Standardabweichungen“ innerhalb der Toleranzen des Kunden bleibt.
Je kleiner die Standardabweichung, desto gleichmäßiger und besser die Produkte. Sie ist so grundlegend, dass man Qualitätsverbesserung fast als die Arbeit beschreiben kann, sie zu verkleinern.

Das Risiko einer Geldanlage messen (Geld und Finanzen)

Zwei Geldanlagen können beide eine durchschnittliche Rendite von 5 % haben. Hat eine davon eine größere Standardabweichung der Renditen, gibt es dort Jahre mit großen Gewinnen und Jahre mit großen Verlusten – sie gilt als riskanter.
In der Finanzwelt heißt die Standardabweichung der Renditen Volatilität; sie ist das gängigste Maß für das Risiko. Achten Sie bei wichtigen Geldentscheidungen also nicht nur auf den Durchschnitt, sondern auch auf die Streuung.

Vergleichen, wie ausgeglichen ein Klima ist (Wetter und Daten lesen)

Zwei Städte können dieselbe Jahresmitteltemperatur haben. Ist die Standardabweichung der Monatstemperaturen klein, ist das Klima das ganze Jahr über mild; ist sie groß, unterscheiden sich Sommer und Winter stark (etwa Küstenklima gegenüber Kontinentalklima).
Die Standardabweichung macht „ausgeglichen oder wechselhaft“ zu einer Zahl – das kann der Durchschnitt allein nicht. Man nutzt sie zum Vergleich von Klimazonen und bei der Planung von Landwirtschaft und Tourismus.

Referenzbereiche für Laborwerte festlegen (Medizin und Gesundheits-Check)

Der Referenzbereich auf einem Blutbefund wird manchmal so festgelegt: Man sammelt Werte vieler gesunder Menschen und nimmt etwa „Mittelwert ± 2 Standardabweichungen“ (in der Praxis nutzt jeder Laborwert ein Verfahren, das zur Form seiner Verteilung passt).
Wer die Standardabweichung kennt, bleibt gelassener: Ein Wert knapp außerhalb des Referenzbereichs heißt nicht automatisch, dass man krank ist – auch ein Teil der Gesunden liegt außerhalb.

Formeln und Abbildungen

Mittelwert

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\mu\) \(=\) \((x_1 + x_2 + \cdots + x_N)\) \(\div\) \(N\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\mu\): Mittelwert \(=\) ① Summe aller Werte \(\div\) ② \(N\): Anzahl der Werte

Die Formel in Worten

① Man teilt die Summe aller Werte

② durch die \(N\): Anzahl der Werte

③ und erhält den \(\mu\): Mittelwert

Einfaches Beispiel

Für die Daten 10 ; 12 ; 23 ; 23 ; 16 ; 23 ; 21 ; 16 (8 Werte) ist der Mittelwert die Summe 144 geteilt durch 8, also

\(\mu\): Mittelwert \(=\) Summe (144) \(\div\) Anzahl (8 Werte)

\(144 \div 8 = 18\)

Der Grundgedanke

Die Standardabweichung misst, wie weit die einzelnen Werte vom Mittelwert entfernt sind. Deshalb berechnet man zuerst den Mittelwert. Bei einer Stichprobe spricht man vom Stichprobenmittel und schreibt oft \(\bar{x}\) („x quer“). Gerechnet wird aber genau gleich.

Summe der Abweichungsquadrate

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(S\) \(=\) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\) \((x_i - \mu)\) \(2\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(S\): Summe der Abweichungsquadrate \(=\) ③ \(\displaystyle\sum\): alles addieren ① Differenz zwischen jedem Wert \(x_i\) und dem Mittelwert \(\mu\) (die Abweichung) ② quadriert

Die Formel in Worten

① Man nimmt die Differenz zwischen jedem Wert und dem Mittelwert (die Abweichung) ,

② quadriert sie (so werden alle Werte positiv),

③ dann addiert man alles \(\displaystyle\sum\)

④ und erhält die \(S\): Summe der Abweichungsquadrate

Einfaches Beispiel

Für die Daten 1 ; 5 (Mittelwert 3) sind die Abweichungen \(1-3=-2\) und \(5-3=2\). Jede wird quadriert, dann wird addiert

\(S\): Summe der Abweichungsquadrate \(=\) Abweichung (−2) quadriert \(+\) Abweichung (2) quadriert

\((-2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8\)

Der Grundgedanke

Addiert man die Abweichungen (die Differenzen zwischen den Werten und dem Mittelwert) einfach so, kommt immer 0 heraus – die positiven und negativen heben sich gegenseitig auf. Deshalb quadriert man sie zuerst, damit alle positiv sind, und addiert sie dann. Das ist die Summe der Abweichungsquadrate, die Grundlage, um die Streuung in einer Zahl auszudrücken. Die Varianz und die Standardabweichung – für die Grundgesamtheit wie für die Stichprobe – werden alle aus diesem \(S\) gebildet. Der einzige Unterschied zwischen Grundgesamtheit und Stichprobe: Man teilt durch \(N\) oder durch \(N-1\).

Varianz (Grundgesamtheit und Stichprobe)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\sigma^2\) \(=\) \(S\) \(\div\) \(N\)

\(s^2\) \(=\) \(S\) \(\div\) \((N-1)\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\sigma^2\): Varianz der Grundgesamtheit \(=\) ① \(S\): Summe der Abweichungsquadrate \(\div\) ② \(N\): Anzahl

⑥ \(s^2\): Stichprobenvarianz \(=\) ④ \(S\): Summe der Abweichungsquadrate \(\div\) ⑤ \((N-1)\): Anzahl minus 1

Die Formel in Worten

① Man teilt die \(S\): Summe der Abweichungsquadrate

② durch die \(N\): Anzahl

③ und erhält die \(\sigma^2\): Varianz der Grundgesamtheit .

④ Man teilt dieselbe Summe der Abweichungsquadrate \(S\)

⑤ durch \((N-1)\): Anzahl minus 1

⑥ und erhält die \(s^2\): Stichprobenvarianz

Einfaches Beispiel

Für die Daten 2 ; 8 (Mittelwert 5, Summe der Abweichungsquadrate 18) ist die Varianz der Grundgesamtheit 18 geteilt durch die Anzahl 2, die Stichprobenvarianz 18 geteilt durch (2 − 1)

\(\sigma^2\): Varianz der Grundgesamtheit \(=\) 18 \(\div\) 2

\(\sigma^2 = 18 \div 2 = 9\)

\(s^2 = 18 \div (2 - 1) = 18 \div 1 = 18\)

Der Grundgedanke

Die Varianz gibt an, wie groß die Streuung ist. Weil die Daten quadriert werden, ist aber auch ihre Einheit quadriert (bei Testpunkten „Punkte²“) – das ist schwer vorstellbar. Zieht man im nächsten Schritt die Wurzel, hat man wieder die ursprüngliche Einheit: Das ist die Standardabweichung. Bei der Stichprobenvarianz teilt man durch \(N-1\) statt durch \(N\): Schätzt man die Streuung der Grundgesamtheit aus einer Stichprobe, fällt sie beim Teilen durch \(N\) etwas zu klein aus. Das Teilen durch eine um 1 kleinere Zahl gleicht das aus (Bessel-Korrektur; \(N-1\) heißt Anzahl der Freiheitsgrade). Achtung, die Namen sind nicht einheitlich: In vielen Schulbüchern heißt die durch \(N\) geteilte Größe „empirische Varianz“, die durch \(N-1\) geteilte „korrigierte“ oder „erwartungstreue“ Stichprobenvarianz. Auf dieser Seite heißt – wie bei den Funktionen in Excel und Python – die durch \(N-1\) geteilte Größe Stichprobenvarianz \(s^2\).

Standardabweichung (Grundgesamtheit und Stichprobe)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{\sigma^2}\)

\(s\) \(=\) \(\sqrt{s^2}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(\sigma\): Standardabweichung der Grundgesamtheit \(=\) ① Wurzel aus der Varianz der Grundgesamtheit \(\sigma^2\)

④ \(s\): Standardabweichung der Stichprobe \(=\) ③ Wurzel aus der Stichprobenvarianz \(s^2\)

Die Formel in Worten

① Man zieht die Wurzel aus der Varianz der Grundgesamtheit \(\sigma^2\) (die Zahl, die quadriert die Varianz ergibt)

② und erhält die \(\sigma\): Standardabweichung der Grundgesamtheit .

③ Man zieht die Wurzel aus der Stichprobenvarianz \(s^2\)

④ und erhält die \(s\): Standardabweichung der Stichprobe

Einfaches Beispiel

Für dieselben Daten 2 ; 8 zieht man die Wurzel aus der Varianz der Grundgesamtheit 9 und aus der Stichprobenvarianz 18

\(\sigma\): Standardabweichung der Grundgesamtheit \(=\) \(\sqrt{9}\)

\(\sigma = \sqrt{9} = 3\)

\(s = \sqrt{18} \approx 4{,}243\)

Der Grundgedanke

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz und hat deshalb dieselbe Einheit wie die Daten (bei Testpunkten also wieder „Punkte“). So kann man sich gut vorstellen, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert abweichen. Je größer die Standardabweichung, desto stärker streuen die Daten; je kleiner, desto enger liegen sie um den Mittelwert. Sind alle Werte gleich, gibt es keine Streuung – die Standardabweichung ist dann 0.

So berechnen Sie die Standardabweichung: 1) den Mittelwert bestimmen, 2) jede Differenz zum Mittelwert (jede Abweichung) quadrieren und alles addieren (Summe der Abweichungsquadrate), 3) durch die Anzahl N (Grundgesamtheit) oder durch N − 1 (Stichprobe) teilen – das ergibt die Varianz, 4) die Wurzel ziehen. Grundgesamtheit und Stichprobe unterscheiden sich nur darin, ob man durch N oder durch N − 1 teilt.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(x_1, x_2, \ldots, x_N\)	x eins, x zwei, …, x N	Die einzelnen Werte, deren Streuung Sie messen möchten (z. B. die Testergebnisse von 8 Schülern).
\(N\)	N	Die Anzahl der Werte (z. B. bei 8 Schülern \(N = 8\)).
\(\mu\)	My	Der Mittelwert. Der griechische Buchstabe steht für den Mittelwert der Grundgesamtheit. Den Mittelwert einer Stichprobe schreibt man \(\bar{x}\) („x quer“); berechnet wird er genauso.
\(x_i - \mu\)	x i minus My	Die Abweichung. Sie zeigt, wie weit ein Wert vom Mittelwert entfernt ist.
\(S\)	S	Die Summe der Abweichungsquadrate \(\sum (x_i-\mu)^2\): Jede Abweichung wird quadriert, dann wird alles addiert. Aus ihr werden Varianz und Standardabweichung berechnet.
\(\sigma^2\)	Sigma Quadrat	Die Varianz der Grundgesamtheit: die Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch die Anzahl \(N\).
\(\sigma\)	Sigma	Die Standardabweichung der Grundgesamtheit, die Wurzel aus deren Varianz. Das bekannteste Symbol für die Streuung.
\(s^2\)	s Quadrat	Die Stichprobenvarianz (korrigiert, erwartungstreu): die Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch \(N-1\).
\(s\)	s	Die Standardabweichung der Stichprobe, die Wurzel aus der Stichprobenvarianz.
\(\sum\)	Summenzeichen (großes Sigma)	Das Zeichen für „alles addieren“. \(\sum_{i=1}^{N} x_i\) ist die Summe von \(x_1\) bis \(x_N\).

Begriffe

Standardabweichung	Zahl, die angibt, wie stark die Daten um den Mittelwert streuen. Sie ist die Wurzel aus der Varianz und hat dieselbe Einheit wie die Daten – deshalb eignet sie sich gut als Maß für die „typische Entfernung vom Mittelwert“. Sie ist das gebräuchlichste Streuungsmaß.
Varianz	Der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen (der Differenzen zwischen den Werten und dem Mittelwert). Sie gibt an, wie groß die Streuung ist, hat aber eine quadrierte Einheit. Meist zieht man deshalb die Wurzel und verwendet die Standardabweichung.
Abweichung	Die Differenz zwischen einem Wert und dem Mittelwert (\(x_i - \mu\)). Positiv heißt größer als der Mittelwert, negativ heißt kleiner. Addiert man alle so, wie sie sind, kommt immer 0 heraus – deshalb werden sie vorher quadriert.
Summe der Abweichungsquadrate	Die quadrierten Abweichungen, alle addiert. Varianz und Standardabweichung werden aus diesem Wert berechnet.
Grundgesamtheit	Die ganze Gruppe, die Sie untersuchen wollen. Sind Ihre Daten diese ganze Gruppe, nehmen Sie die Standardabweichung der Grundgesamtheit \(\sigma\).
Stichprobe	Ein Teil der Daten, der aus der Grundgesamtheit (der ganzen Gruppe) ausgewählt wurde. Wollen Sie aus einer Stichprobe die Streuung der ganzen Gruppe schätzen, nehmen Sie die Standardabweichung der Stichprobe \(s\).
Stichprobenvarianz	Die Varianz, mit der man aus einer Stichprobe die Varianz der Grundgesamtheit schätzt (korrigierte oder erwartungstreue Stichprobenvarianz). Man teilt die Summe der Abweichungsquadrate durch \(N-1\). Beim Teilen durch \(N\) fiele die Streuung der Grundgesamtheit zu klein aus – das Teilen durch eine um 1 kleinere Zahl gleicht das aus.
Bessel-Korrektur	Die Korrektur, bei der Stichprobenvarianz durch \(N-1\) statt durch \(N\) zu teilen. \(N-1\) heißt auch Anzahl der Freiheitsgrade.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche klicken, hilft Ihnen dieses Vorwissen.

Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass Mittelwert = Summe ÷ Anzahl Wissen, dass der Mittelwert ungefähr die Mitte der Daten angibt
Negative Zahlen und Klammern (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Subtraktionen mit negativem Ergebnis rechnen können, etwa \(1 - 3 = -2\) Wissen, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist, etwa \((-2)^2 = 4\)
Quadrieren und Potenzen (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Wissen, dass Quadrieren heißt, eine Zahl mit sich selbst zu multiplizieren, etwa \(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\)
Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Die Quadratwurzel als „die Zahl, die quadriert diese Zahl ergibt“ verstehen, etwa \(\sqrt{9} = 3\) Wissen, dass eine nicht aufgehende Wurzel wie \(\sqrt{18}\) als ungefähre Dezimalzahl geschrieben werden kann
Verteilung und Streuung von Daten (Klasse 7 bis Oberstufe, 12–18 Jahre)	Wissen, dass Daten mit demselben Mittelwert unterschiedlich stark streuen können Wissen, dass Varianz und Standardabweichung die Größe der Streuung als Zahl ausdrücken

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Mittelwert

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Anzahl N	=ANZAHL(B1:B8)
Summe Σx	=SUMME(B1:B8)
Mittelwert μ	=MITTELWERT(B1:B8)

Tabelle für die Summe der Abweichungsquadrate S

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Summe der Abweichungsquadrate S	=SUMQUADABW(B1:B8)

Tabelle für Standardabweichung σ und Varianz σ² der Grundgesamtheit

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Varianz der Grundgesamtheit σ²	=VARIANZEN(B1:B8)
Standardabweichung der Grundgesamtheit σ	=STABWN(B1:B8)

Tabelle für Standardabweichung s und Varianz s² der Stichprobe

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Stichprobenvarianz s²	=VARIANZ(B1:B8)
Standardabweichung der Stichprobe s	=STABW(B1:B8)

Nach dem Einfügen sind B1 bis B8 die Zellen für Ihre Zahlen; die grün und fett markierten Zellen werden automatisch berechnet.
In der ersten Tabelle steht beim Mittelwert μ die 18. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ in der dritten Tabelle beträgt etwa 4,899, die der Stichprobe s in der vierten Tabelle etwa 5,237.
Für eine andere Anzahl von Werten fügen Sie Zeilen hinzu (oder löschen welche) und ändern „B1:B8“ in den Formeln auf Ihren Datenbereich (bei 10 Werten B1:B10).
STABWN und VARIANZEN rechnen für die Grundgesamtheit (geteilt durch N), STABW und VARIANZ für eine Stichprobe (geteilt durch N − 1). SUMQUADABW liefert die Summe der Abweichungsquadrate in einem Schritt.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Mittelwert

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Anzahl N	=ANZAHL(B1:B8)
Summe Σx	=SUMME(B1:B8)
Mittelwert μ	=MITTELWERT(B1:B8)

Tabelle für die Summe der Abweichungsquadrate S

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Summe der Abweichungsquadrate S	=SUMQUADABW(B1:B8)

Tabelle für Standardabweichung σ und Varianz σ² der Grundgesamtheit

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Varianz der Grundgesamtheit σ²	=VARIANZEN(B1:B8)
Standardabweichung der Grundgesamtheit σ	=STABWN(B1:B8)

Tabelle für Standardabweichung s und Varianz s² der Stichprobe

Wert 1	10
Wert 2	12
Wert 3	23
Wert 4	23
Wert 5	16
Wert 6	23
Wert 7	21
Wert 8	16
Stichprobenvarianz s²	=VARIANZ(B1:B8)
Standardabweichung der Stichprobe s	=STABW(B1:B8)

Bei deutscher Spracheinstellung funktionieren dieselben Funktionen wie in Excel (MITTELWERT, SUMQUADABW, STABWN, VARIANZEN, STABW, VARIANZ). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 bis B8 durch Ihre eigenen Zahlen.
Auch in Google Tabellen gilt: STABWN und VARIANZEN für die Grundgesamtheit, STABW und VARIANZ für eine Stichprobe.

So berechnen Sie es in Python

import statistics

numbers = [10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16]  # die Zahlen, deren Streuung Sie messen möchten

mean = statistics.mean(numbers)               # Mittelwert μ
pstdev = statistics.pstdev(numbers)           # Standardabweichung der Grundgesamtheit σ (geteilt durch N)
pvariance = statistics.pvariance(numbers)     # Varianz der Grundgesamtheit σ²
sstdev = statistics.stdev(numbers)            # Standardabweichung der Stichprobe s (geteilt durch N-1)
svariance = statistics.variance(numbers)      # Stichprobenvarianz s²

print(f"Anzahl: {len(numbers)} / Summe: {sum(numbers)} / Mittelwert: {mean}")
print(f"Varianz der Grundgesamtheit σ²: {pvariance} / Standardabweichung σ: {pstdev}")
print(f"Stichprobenvarianz s²: {svariance} / Standardabweichung der Stichprobe s: {sstdev}")

Läuft nur mit der Standardbibliothek (Modul statistics). Ersetzen Sie die Liste numbers oben durch Ihre eigenen Zahlen und führen Sie das Skript aus. Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma. pstdev und pvariance mit „p“ am Anfang rechnen für die Grundgesamtheit (geteilt durch N), stdev und variance ohne „p“ für eine Stichprobe (geteilt durch N − 1).

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Mittelwert

μ = Σxᵢ ÷ N

\mu = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x03BC;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mo>&#x22EF;</mo>
        <mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mi>N</mi></msub>
      </mrow>
      <mi>N</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

mu = (x_1 + x_2 + cdots + x_N) / N

Mean[data]

mu := add(x[i], i = 1 .. N)/N;

mu = mean(x);

μ = (x_1 + x_2 + ⋯ + x_N)/N

Summe der Abweichungsquadrate

S = Σ(xᵢ − μ)²

S = \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
      <mi>N</mi>
    </munderover>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mn>2</mn>
    </msup>
  </mrow>
</math>

S = sum_(i=1)^N (x_i - mu)^2

Total[(data - Mean[data])^2]

S := add((x[i] - mu)^2, i = 1 .. N);

S = sum((x - mean(x)).^2);

S = ∑_(i=1)^N (x_i − μ)^2

Varianz (Grundgesamtheit und Stichprobe)

σ² = S ÷ N ;  s² = S ÷ (N − 1)

\sigma^2 = \frac{S}{N}, \qquad s^2 = \frac{S}{N-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>&#x03C3;</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mi>N</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <msup><mi>s</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

sigma^2 = S/N, s^2 = S/(N-1)

popVar = S/n; sampleVar = Variance[data]  (* N ist in Mathematica eine eingebaute Funktion, daher heißt die Anzahl hier n *)

sigma2 := S/N; s2 := S/(N - 1);

popVar = S/N; sampleVar = var(x);

σ^2 = S/N,  s^2 = S/(N−1)

Standardabweichung (Grundgesamtheit und Stichprobe)

σ = √(σ²) ;  s = √(s²)

\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\dfrac{S}{N}}, \qquad s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{S}{N-1}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x03C3;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mfrac><mi>S</mi><mi>N</mi></mfrac></msqrt>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <mi>s</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mfrac><mi>S</mi><mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></msqrt>
  </mrow>
</math>

sigma = sqrt(S/N), s = sqrt(S/(N-1))

popSD = Sqrt[S/n]; sampleSD = StandardDeviation[data]  (* N ist in Mathematica eine eingebaute Funktion, daher heißt die Anzahl hier n *)

sigma := sqrt(S/N); s := sqrt(S/(N - 1));

popSD = sqrt(S/numel(x)); sampleSD = std(x);

σ = √(S/N),  s = √(S/(N−1))

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung unbedingt aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Bestimmen Sie für die folgenden Daten jeweils die unten genannten Werte.
Daten: 10 ; 12 ; 23 ; 23 ; 16 ; 23 ; 21 ; 16
1. Anzahl, Summe und Mittelwert
2. Die Summe der Abweichungsquadrate (die Differenz jedes Werts zum Mittelwert, quadriert und alles addiert)
3. Die Varianz der Grundgesamtheit σ² (geteilt durch N) und die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ
4. Die Stichprobenvarianz s² (geteilt durch N − 1) und die Standardabweichung der Stichprobe s

Geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an. Schreiben Sie Dezimalzahlen mit Komma.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel