Geben Sie zwei der drei Größen ein – Radius r des Grundkreises, Kugelradius R oder Höhe h. Berechnet werden die dritte Größe und das Volumen.
Geben Sie nur Zahlen ab 0 in derselben Einheit ein (ohne Einheit). Das dritte Feld bleibt leer. Aus Grundkreisradius und Kugelradius ergeben sich oft zwei Lösungen.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links zwei der drei Werte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie erhalten sofort das Volumen eines Kugelsegments – des Stücks, das man mit einem ebenen Schnitt von einer Kugel abtrennt. Es sieht aus wie eine Kuppel oder eine umgedrehte Schüssel. Die gewölbte Fläche daran heißt Kugelkappe (Kugelkalotte).
- Von den drei Größen Radius des Grundkreises \(r\), Kugelradius \(R\) und Höhe \(h\) geben Sie die zwei bekannten ein – die dritte wird automatisch berechnet
- Rechnen Sie mit Grundkreisradius und Kugelradius, gibt es oft zwei Lösungen – je nachdem, ob der Schnitt über oder unter dem Mittelpunkt liegt. Dann werden beide angezeigt
- Das Kugelsegment erscheint auch als 3D-Modell, das Sie mit der Maus drehen können (die ganze Kugel ist dünn eingezeichnet)
- Dazu: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Geben Sie alle Werte in derselben Einheit ein (z. B. alle in cm). Das Volumen steht dann in dieser Einheit hoch 3 (bei cm in cm³, bei m in m³).
Wofür braucht man diese Berechnung?
Füllmenge eines Kugeltanks aus der Füllhöhe berechnen (Industrie und Infrastruktur)
In kugelförmigen Tanks für Öl oder Flüssiggas hat die Flüssigkeit genau die Form eines Kugelsegments. Misst man die Füllhöhe \(h\), ergibt diese Formel die Restmenge. Steht die Flüssigkeit in einem Kugeltank mit 2 m Radius 0,5 m hoch, sind es \(\pi \times 0{,}5^2 \times (3 \times 2 - 0{,}5) \div 3 \approx 1{,}44\,\mathrm{m^3}\), also rund 1.440 Liter.
Die von einem Sensor gemessene Füllhöhe in ein Volumen umrechnen – das ist der typischste Einsatz dieser Formel in der Praxis.
Die Menge in einer runden Schüssel abschätzen (Küche)
Füllt man eine fast halbkugelförmige Schüssel (Radius 6 cm) 3 cm hoch mit Suppe, hat die Suppe die Form eines Kugelsegments. Die Menge beträgt also \(\pi \times 3^2 \times (3 \times 6 - 3) \div 3 = 45\pi \approx 141\,\mathrm{cm^3}\), rund 141 ml.
Randvoll (als Halbkugel) fasst die Schüssel etwa 452 ml. Die Rechnung zeigt: Bei halber Füllhöhe ist viel weniger als die Hälfte drin, nämlich nicht einmal ein Drittel. Das hilft beim Portionieren und beim Gefühl für Rezeptmengen.
Den Innenraum einer Kuppel oder eines Planetariums abschätzen (Architektur)
Kuppeldächer und gewölbte Decken lassen sich als Kugelsegment abschätzen. Eine Kuppel mit 120 m Durchmesser (Grundkreisradius 60 m) und 40 m Höhe gehört zu einer Kugel mit \(R = (40^2 + 60^2) \div (2 \times 40) = 65\,\mathrm{m}\), der Innenraum umfasst rund 260.000 m³.
Diese Raumgröße ist der Ausgangspunkt für die Planung von Klimatisierung, Lüftung und Akustik. Echte Kuppeln sind nicht immer exakte Kugelsegmente, es bleibt also eine Abschätzung.
Das Volumen von Tropfen auf einer Oberfläche bestimmen (Druck-, Lack- und Halbleitertechnik)
Kleine Tropfen auf einer Oberfläche – Wassertropfen auf einem Blatt oder Tintentropfen eines Tintenstrahldruckers – haben wegen der Oberflächenspannung fast die Form eines Kugelsegments. In Forschung und Fertigung misst man auf einem seitlichen Foto Grundkreisradius und Höhe des Tropfens und berechnet damit sein Volumen.
Auch bei der Bewertung der Benetzbarkeit eines Materials (Kontaktwinkel) wird die Formel genutzt – sie arbeitet also auch im Mikrobereich.
Die Wölbung von Linsen beschreiben (Optik)
Die gewölbte Fläche einer Brillen- oder Kameralinse ist ein Teil einer Kugelfläche (eine Kugelkappe), der gewölbte Teil selbst ein Kugelsegment. Wie viel Material beim Schleifen abgetragen wird oder wie viel Glas eine Linse braucht, wurde lange mit dieser Formel abgeschätzt.
Auch bei dünnen, kuppelförmigen Teilen wie Kontaktlinsen ist der Zusammenhang von Grundkreisradius, Kugelradius und Höhe (Formel 2 bis 4 dieser Seite) die Grundlage.
Formeln und Abbildungen
Volumen des Kugelsegments (aus Kugelradius und Höhe)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(h\)
\(2\)
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
\(R\)
\(-\)
\(h\)
\()\)
\(\div 3\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑥
\(V\): Volumen des Kugelsegments
\(=\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(h\): Höhe
②
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
④
\(R\): Kugelradius
\(-\)
\(h\): Höhe
\()\)
⑤
\(\div 3\)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man die
\(h\): Höhe
②
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
③
, multipliziert mit der
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
④
und mit dem Dreifachen vom
\(R\): Kugelradius
minus die Höhe \(h\), also mit „\(3R - h\)“,
⑤
und teilt zum Schluss durch 3,
⑥
erhält man das
\(V\): Volumen des Kugelsegments
Einfaches Beispiel
Schneidet man von einer Kugel mit 2 cm Radius ein Segment mit 1 cm Höhe ab (eine Form wie eine umgedrehte Schüssel), hat es das Volumen
\(V\): Volumen des Kugelsegments
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Höhe (1 cm)
hoch 2
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
Kugelradius (2 cm)
\(-\)
Höhe (1 cm)
\()\)
\(\div 3\)
\(\pi \times 1^{2} \times (3 \times 2 - 1) \div 3 = \pi \times 5 \div 3 = \dfrac{5}{3}\pi\)
\(\dfrac{5}{3}\pi \approx \dfrac{5}{3} \times 3{,}14 \approx 5{,}2\,\mathrm{cm^3}\)
Der Grundgedanke
Der häufigste Fehler: die Höhe \(h\) mal 2 statt hoch 2 zu nehmen.
Die Formel braucht nur die Höhe \(h\) und den Kugelradius \(R\) – der Grundkreisradius \(r\) kommt nicht vor, weil er durch \(h\) und \(R\) schon festliegt. Setzt man die Halbkugel ein (\(h = R\)), ergibt sich \(V = \dfrac{2}{3}\pi R^3\), genau das halbe Kugelvolumen. Bei \(h = 2R\) (der ganze Durchmesser) erhält man \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\), also die ganze Kugel.
Wer direkt mit dem Grundkreisradius \(r\) und der Höhe \(h\) rechnen will, kann dieselbe Formel auch so schreiben: \(V = \pi h (3r^2 + h^2) \div 6\).
Kugelradius \(R\) berechnen (aus Grundkreisradius und Höhe)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h\)
\(2\)
\(+\)
\(r\)
\(2\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
\(h\)
\()\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(R\): Kugelradius
\(=\)
\((\)
①
\(h\): Höhe
②
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
\(+\)
③
\(r\): Radius des Grundkreises
hoch 2
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
④
\(h\): Höhe
\()\)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man die
\(h\): Höhe
②
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
③
, addiert den ebenfalls quadrierten
\(r\): Radius des Grundkreises
④
und teilt die Summe durch das Doppelte der
\(h\): Höhe
(also durch \(2h\)),
⑤
erhält man den
\(R\): Kugelradius
Einfaches Beispiel
Bei einer Kuppel mit 1 m Grundkreisradius und 0,5 m Höhe beträgt der Radius der ursprünglichen Kugel
\(R\): Kugelradius
\(=\)
\((\)
Höhe (0,5 m)
hoch 2
\(+\)
Grundkreisradius (1 m)
hoch 2
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
Höhe (0,5 m)
\()\)
\(R = (0{,}5^{2} + 1^{2}) \div (2 \times 0{,}5) = 1{,}25 \div 1\)
\(1{,}25 \div 1 = 1{,}25\,\mathrm{m}\)
Der Grundgedanke
Hinter dieser Formel steckt der Satz des Pythagoras (Klasse 8–9). Verbindet man den Kugelmittelpunkt, den Mittelpunkt des Grundkreises und einen Punkt auf dessen Rand, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\). Nach \(R\) aufgelöst ergibt sich diese Formel.
Das Spannende daran: Obwohl nur ein Stück der Kugel übrig ist, lässt sich die Größe der ganzen Kugel bestimmen – so wie man aus der Scherbe einer zerbrochenen Schüssel auf ihre ursprüngliche Größe schließt.
Höhe \(h\) berechnen (aus Grundkreisradius und Kugelradius, zwei Lösungen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(h\): Höhe des Kugelsegments
\(=\)
①
\(R\): Kugelradius
③
\(\pm\)
②
Quadratwurzel aus \(R^2 - r^2\)
Die Formel in Worten
①
Ausgehend vom
\(R\): Kugelradius
②
berechnet man die
Quadratwurzel aus \(R^2 - r^2\)
(Kugelradius hoch 2 minus Grundkreisradius hoch 2, daraus die Wurzel).
③
Zieht man sie ab oder zählt sie dazu (das Zeichen ± heißt „minus oder plus“),
④
erhält man die
\(h\): Höhe des Kugelsegments
(meist zwei Lösungen).
Einfaches Beispiel
Bei 1 m Grundkreisradius und 2 m Kugelradius ist die Höhe des Kugelsegments
\(h\): Höhe des Kugelsegments
\(=\)
Kugelradius (2 m)
\(\pm\)
Quadratwurzel aus „2² − 1²“
\(\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\)
\(h = 2 - 1{,}732 = 0{,}268\,\mathrm{m}\)
\(h = 2 + 1{,}732 = 3{,}732\,\mathrm{m}\)
Der Grundgedanke
Zwei Lösungen gibt es, weil sich mit derselben Schnittfläche zwei Kugelsegmente bilden lassen: Schnitt über dem Mittelpunkt (eine flache Schale) oder unter dem Mittelpunkt (ein tiefes, fast kugelrundes Gefäß).
Nur bei \(r = R\) (der Schnitt geht durch den Mittelpunkt) wird \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\), und es gibt eine einzige Lösung: die Halbkugel mit \(h = R\). Größer als \(R\) kann \(r\) nicht sein, denn ein Schnitt kann nicht größer sein als die Kugel.
Grundkreisradius \(r\) berechnen (aus Kugelradius und Höhe)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(r\): Radius des Grundkreises
\(=\)
①
Quadratwurzel aus \(2Rh - h^2\)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man das Doppelte des Kugelradius \(R\) mal die Höhe \(h\), zieht die Höhe \(h\) hoch 2 ab und berechnet die
Quadratwurzel aus \(2Rh - h^2\)
②
, erhält man den
\(r\): Radius des Grundkreises
Einfaches Beispiel
Bei einem Kugelsegment mit 2 cm Kugelradius und 1 cm Höhe ist der Radius der Schnittfläche
\(r\): Radius des Grundkreises
\(=\)
Quadratwurzel aus „2 × 2 × 1 − 1²“
\(r = \sqrt{2 \times 2 \times 1 - 1^{2}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\,\mathrm{cm}\)
Der Grundgedanke
Auch hier steckt der Satz des Pythagoras dahinter: Es ist \(r^2 = R^2 - (R - h)^2\) mit ausmultiplizierter rechter Seite. Ausgeklammert lässt es sich auch als \(r = \sqrt{h(2R - h)}\) schreiben.
Ist die Höhe genau so groß wie der Durchmesser (\(h = 2R\)), wird \(r = 0\) – es gibt keine Schnittfläche mehr, nur die ganze Kugel. Im Beispiel von Formel 1 (Kugelradius 2 cm, Höhe 1 cm) ist \(r = \sqrt{3} \approx 1{,}73\,\mathrm{cm}\). Setzt man \(r = \sqrt{3}\) und \(R = 2\) in Formel 3 ein, erhält man \(h = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 1\) oder \(3\) – eine der Lösungen ist wieder die ursprüngliche Höhe 1 cm.
Das Volumen eines Kugelsegments (oft auch Kugelkappe genannt) ist „V = π × Höhe hoch 2 × (3 × Kugelradius − Höhe) : 3“ und hängt nur von Höhe und Kugelradius ab. Grundkreisradius, Kugelradius und Höhe sind über den Satz des Pythagoras verbunden – kennt man zwei davon, lässt sich die dritte berechnen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(V\) | V | Das übliche Zeichen für das Volumen (lateinisch volumen). Hier steht es für das Volumen des Kugelsegments. |
| \(r\) | klein r | Der Radius des Grundkreises, also des Kreises, der beim Schneiden der Kugel entsteht. In vielen deutschen Schulbüchern heißt er \(\rho\) oder \(a\). |
| \(R\) | groß R | Der Radius der ursprünglichen, ganzen Kugel. Er wird groß geschrieben, um ihn vom Grundkreisradius \(r\) (klein) zu unterscheiden. In deutschen Schulbüchern heißt der Kugelradius oft \(r\) – achten Sie also darauf, welcher Radius gemeint ist. |
| \(h\) | h | Die Höhe des Kugelsegments, also der Abstand von der Schnittfläche bis zum höchsten Punkt. |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl. Sie gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt, und geht als 3,14159… endlos weiter. In der Schule rechnet man oft mit 3,14. |
| \(\pm\) | plus minus | Fasst zwei Fälle zusammen – einmal mit Plus, einmal mit Minus. Hier zeigt es, dass es für die Höhe zwei Lösungen geben kann. |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | Wurzel | Das Zeichen für die Quadratwurzel (die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt). Beispiel: \(\sqrt{9} = 3\), weil \(3^2 = 9\). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | Kubikzentimeter | Eine Volumeneinheit. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat das Volumen 1 cm³. Nicht zu verwechseln mit cm² (Quadratzentimeter), der Einheit für Flächen. |
| \(\mathrm{l}\) | Liter | Die übliche Einheit für Flüssigkeitsmengen. Es gilt \(1\,\mathrm{l} = 1000\,\mathrm{cm^3}\) – so viel passt in eine Milchtüte mit 1 Liter. |
Begriffe
| Kugelsegment | Das Stück, das man mit einem einzigen ebenen Schnitt von einer Kugel abtrennt – geformt wie eine umgedrehte Schüssel, auch Kugelabschnitt genannt. Von diesem Körper berechnet der Rechner das Volumen. |
| Kugelkappe | Die gewölbte, gekrümmte Fläche eines Kugelsegments, auch Kugelkalotte genannt. Streng genommen ist sie vom Körper selbst zu unterscheiden, im Alltag nennt man aber oft auch den Körper Kugelkappe. |
| Halbkugel | Der Körper, der beim Schnitt genau durch den Kugelmittelpunkt entsteht. Ein besonderes Kugelsegment mit Höhe gleich Kugelradius (\(h = R\)); sein Volumen ist genau die Hälfte der Kugel. |
| Grundkreis | Die ebene Fläche des Kugelsegments, also der Schnittkreis. Sein Radius ist \(r\). |
| Satz des Pythagoras | Im rechtwinkligen Dreieck gilt: Hypotenuse hoch 2 = Summe der beiden Katheten hoch 2. Beim Kugelsegment gilt \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\). Alle Formeln, mit denen man aus zwei der Größen \(r\), \(R\), \(h\) die dritte berechnet, folgen daraus. |
| Quadratwurzel | Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die gegebene Zahl ergibt. \(x^2 = 9\) hat die Lösungen 3 und −3, die Wurzel \(\sqrt{9}\) ist aber nur die positive Zahl 3 – und bei Längen braucht man ohnehin nur diese. |
| Volumen | Gibt als Zahl an, wie viel Raum ein Körper einnimmt (auch Rauminhalt). Man misst es daran, wie viele Einheitswürfel (z. B. 1 cm³) hineinpassen. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Kreis und Kreiszahl π (Klasse 8, 13–14 Jahre) |
|
| Volumen und Volumeneinheiten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Potenzen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Das Kugelvolumen (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Der Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen aus Kugelradius und Höhe
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h | 1 |
| Volumen des Kugelsegments | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
Tabelle für den Kugelradius aus Grundkreisradius und Höhe
| Grundkreisradius r | 1 |
| Höhe h | 0,5 |
| Kugelradius R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Tabelle für die Höhe aus Grundkreisradius und Kugelradius (zwei Lösungen)
| Grundkreisradius r | 1 |
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe (Lösung 1) | =B2-WURZEL(B2^2-B1^2) |
| Höhe (Lösung 2) | =B2+WURZEL(B2^2-B1^2) |
Tabelle für den Grundkreisradius aus Kugelradius und Höhe
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h | 1 |
| Grundkreisradius r | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„PI()“ liefert die Kreiszahl π, „WURZEL()“ berechnet die Quadratwurzel. „^“ steht für Potenzieren (hier hoch 2), „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen.
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel etwa 5,24 (in cm³ bei Kugelradius 2 cm und Höhe 1 cm). Die dritte Tabelle ist der Fall mit zwei Lösungen: In B3 steht etwa 0,268, in B4 etwa 3,732. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
„PI()“ liefert die Kreiszahl π, „WURZEL()“ berechnet die Quadratwurzel. „^“ steht für Potenzieren (hier hoch 2), „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen.
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel etwa 5,24 (in cm³ bei Kugelradius 2 cm und Höhe 1 cm). Die dritte Tabelle ist der Fall mit zwei Lösungen: In B3 steht etwa 0,268, in B4 etwa 3,732. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen aus Kugelradius und Höhe
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h | 1 |
| Volumen des Kugelsegments | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
Tabelle für den Kugelradius aus Grundkreisradius und Höhe
| Grundkreisradius r | 1 |
| Höhe h | 0,5 |
| Kugelradius R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Tabelle für die Höhe aus Grundkreisradius und Kugelradius (zwei Lösungen)
| Grundkreisradius r | 1 |
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe (Lösung 1) | =B2-WURZEL(B2^2-B1^2) |
| Höhe (Lösung 2) | =B2+WURZEL(B2^2-B1^2) |
Tabelle für den Grundkreisradius aus Kugelradius und Höhe
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h | 1 |
| Grundkreisradius r | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktionen PI() und WURZEL()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
So berechnen Sie es in Python
import math
ball_radius = 2 # Kugelradius R (in diesem Beispiel in cm)
height = 1 # Höhe h des Kugelsegments
volume = math.pi * height ** 2 * (3 * ball_radius - height) / 3 # Volumen des Kugelsegments (Eingabeeinheit hoch 3)
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * height - height ** 2) # Radius r des Grundkreises (der Schnittfläche)
print(f"Volumen des Kugelsegments: {volume} cm3")
print(f"Grundkreisradius: {base_radius} cm")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „math.sqrt“ die Quadratwurzel, „**“ steht für Potenzieren (hier hoch 2), „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen. Ersetzen Sie oben Kugelradius und Höhe durch Ihre Werte und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Volumen des Kugelsegments (aus Kugelradius und Höhe)
V = πh²(3R − h)/3
V = \dfrac{1}{3}\pi h^{2}(3R - h)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn><mi>R</mi>
<mo>−</mo>
<mi>h</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
V = (1/3) pi h^2 (3R - h)
Pi*h^2*(3*R - h)/3
V := Pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = (1/3)πh^2(3R - h)
Kugelradius \(R\) berechnen (aus Grundkreisradius und Höhe)
R = (h² + r²)/(2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2)/(2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
Höhe \(h\) berechnen (aus Grundkreisradius und Kugelradius, zwei Lösungen)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 - r^2)
Grundkreisradius \(r\) berechnen (aus Kugelradius und Höhe)
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh - h^2)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Von einer Kugel mit 2 cm Radius wird mit einem ebenen Schnitt ein Kugelsegment mit 1 cm Höhe abgetrennt. Berechnen Sie: 1. das Volumen des Kugelsegments in cm³ (V = π × h² × (3R − h) : 3) 2. den Radius der Schnittfläche (des Grundkreises) in cm (r = √(2Rh − h²)) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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