Geben Sie von Schnittkreisradius r (dem Radius des Schnittkreises), Kugelradius R und Höhe h die zwei bekannten Werte ein. Der dritte Wert und das Volumen werden berechnet.
Geben Sie die Längen als Zahlen ab 0 ein, alle in derselben Einheit (nur die Zahl, ohne Einheit). Das übrige Feld bleibt leer. Rechnen Sie aus Schnittkreisradius und Kugelradius, können zwei Ergebnisse angezeigt werden.
Ergebnis und Figur
Geben Sie in den Feldern links zwei der drei Werte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Sie sehen sofort das Volumen eines Kugelsegments, des Stücks, das entsteht, wenn man eine Kugel mit einem einzigen ebenen Schnitt abtrennt. Es hat die Form einer Kuppel oder einer umgedrehten Schale
- Von Schnittkreisradius \(r\) (dem Radius des Schnittkreises), Kugelradius \(R\) und Höhe \(h\) geben Sie einfach die zwei bekannten ein: Der dritte Wert wird automatisch berechnet
- Rechnen Sie aus Schnittkreisradius und Kugelradius, kann es zwei Ergebnisse geben, je nachdem, ob der Schnitt oberhalb oder unterhalb des Kugelmittelpunkts liegt. Beide werden angezeigt
- Das berechnete Kugelsegment wird auch in 3D dargestellt (durch Ziehen drehbar). Die ganze Kugel vor dem Abschneiden ist mit dünnen Linien zu sehen
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Geben Sie alle drei Werte in derselben Einheit ein (zum Beispiel alle in cm). Das Volumen steht in dieser Einheit hoch 3 (cm³ bei Eingabe in cm, m³ bei Eingabe in m).
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Aus der Füllhöhe berechnen, wie viel Flüssigkeit in einem Kugeltank ist (Industrie und Infrastruktur)
In einem kugelförmigen Tank für Erdöl oder Flüssiggas hat die gelagerte Flüssigkeit genau die Form eines Kugelsegments: Misst man die Füllhöhe \(h\), liefert diese Formel die Restmenge. In einem Kugeltank mit 2 m Radius, der 0,5 m hoch gefüllt ist, befinden sich zum Beispiel \(\pi \times 0{,}5^2 \times (3 \times 2 - 0{,}5) \div 3 \approx 1{,}44\,\mathrm{m^3}\) (etwa 1.440 L).
Eine mit einem Sensor gemessene Höhe in ein Volumen umzurechnen ist der typischste praktische Einsatz dieser Formel.
Abschätzen, wie viel in einer runden Schüssel ist (Kochen)
Sie füllen Suppe 3 cm hoch in eine fast halbkugelförmige Schüssel mit 6 cm Radius. Die Suppe hat die Form eines Kugelsegments: Die Menge beträgt \(\pi \times 3^2 \times (3 \times 6 - 3) \div 3 = 45\pi \approx 141\,\mathrm{cm^3}\) (etwa 141 mL).
Eine volle Schüssel (eine Halbkugel) fasst etwa 452 mL: Die Rechnung zeigt, dass „bei halber Füllhöhe deutlich weniger als die Hälfte“ drin ist (weniger als ein Drittel). Das ist das vertrauteste Beispiel, nützlich für Portionen und Rezeptmengen.
Den Innenraum einer Kuppel oder eines Planetariums abschätzen (Architektur)
Ein Kuppeldach oder eine Kuppeldecke lässt sich näherungsweise als Kugelsegment ansehen. Bei einer Kuppel mit 120 m Durchmesser (Schnittkreis mit 60 m Radius) und 40 m Höhe hat die ursprüngliche Kugel den Radius \(R = (40^2 + 60^2) \div (2 \times 40) = 65\,\mathrm{m}\), und der Innenraum beträgt etwa 260.000 m³.
Dieses Volumen ist der Ausgangspunkt für die Planung von Heizung, Klimatisierung, Lüftung und Akustik (eine echte Kuppel ist nicht immer ein genaues Kugelsegment: Es ist nur eine Schätzung).
Das Volumen eines Tropfens auf einer Oberfläche bestimmen (Druck, Lackierung und Halbleitertechnik)
Kleine Tropfen auf einer Oberfläche, etwa ein Wassertropfen auf einem Blatt oder ein Tintentropfen eines Tintenstrahldruckers, haben wegen der Oberflächenspannung fast die Form eines Kugelsegments. In Forschung und Produktion fotografiert man den Tropfen von der Seite, misst den Radius seiner Grundfläche und seine Höhe und berechnet sein Volumen mit dieser Formel.
Sie dient auch dazu, die Benetzbarkeit eines Materials (den Kontaktwinkel) zu beurteilen: eine Formel, die bis in die mikroskopische Größenordnung nützlich ist.
Die gewölbte Fläche einer Linse behandeln (Optik)
Die gewölbte Fläche eines Brillenglases oder eines Kameraobjektivs ist ein Teil einer Kugeloberfläche, und der gewölbte Teil selbst ist ein Kugelsegment. Diese Formel dient seit Langem dazu, abzuschätzen, wie viel Material beim Schleifen abgetragen wird und wie viel Material benötigt wird.
Auch bei dünnen Kuppelformen wie Kontaktlinsen ist der Zusammenhang von Schnittkreisradius, Kugelradius und Höhe (die Formeln 2 bis 4 dieser Seite) die Grundlage der Konstruktion.
Formeln und Abbildungen
Formel für das Volumen des Kugelsegments (aus Kugelradius und Höhe)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(h\)
\(2\)
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
\(R\)
\(-\)
\(h\)
\()\)
\(\div 3\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑥
\(V\): Volumen des Kugelsegments
\(=\)
③
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
①
\(h\): Höhe
②
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
④
\(R\): Kugelradius
\(-\)
\(h\): Höhe
\()\)
⑤
\(\div 3\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(h\): Höhe
②
und zwar
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
,
③
multiplizieren Sie mit
\(\pi\): Kreiszahl Pi (etwa 3,14)
,
④
dann mit „\(3R - h\)“, also dem Dreifachen des
\(R\): Kugelradius
minus der Höhe \(h\),
⑤
und teilen Sie zum Schluss durch 3, um das
⑥
\(V\): Volumen des Kugelsegments
zu erhalten
Einfaches Beispiel
Schneiden Sie von einer Kugel mit 2 cm Radius ein Segment mit 1 cm Höhe ab (wie eine umgedrehte Schale). Das Volumen dieses Segments beträgt
\(V\): Volumen des Kugelsegments
\(=\)
\(\pi\): Pi
\(\times\)
Höhe (1 cm)
zum Quadrat
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
Kugelradius (2 cm)
\(-\)
Höhe (1 cm)
\()\)
\(\div 3\)
\(\pi \times 1^{2} \times (3 \times 2 - 1) \div 3 = \pi \times 5 \div 3 = \dfrac{5}{3}\pi\)
\(\dfrac{5}{3}\pi \approx \dfrac{5}{3} \times 3{,}14 \approx 5{,}2\,\mathrm{cm^3}\)
Der Kerngedanke
Der häufigste Fehler ist, die Höhe \(h\) mit 2 zu multiplizieren, statt sie zu quadrieren.
Diese Formel benötigt nur die Höhe \(h\) und den Kugelradius \(R\). Der Schnittkreisradius \(r\) kommt darin nicht vor, denn mit \(h\) und \(R\) ist auch \(r\) festgelegt. Für eine Halbkugel (\(h = R\)) ergibt sich \(V = \dfrac{2}{3}\pi R^3\), genau das halbe Volumen der Kugel. Mit \(h = 2R\) (dem ganzen Durchmesser) erhält man \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\), das Volumen der ganzen Kugel.
Wollen Sie direkt aus dem Schnittkreisradius \(r\) und der Höhe \(h\) rechnen, lässt sich dieselbe Formel als \(V = \pi h (3r^2 + h^2) \div 6\) schreiben.
Formel für den Kugelradius \(R\) (aus Schnittkreisradius und Höhe)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h\)
\(2\)
\(+\)
\(r\)
\(2\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
\(h\)
\()\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(R\): Kugelradius
\(=\)
\((\)
①
\(h\): Höhe
②
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
\(+\)
③
\(r\): Radius des Schnittkreises
zum Quadrat
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
④
\(h\): Höhe
\()\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(h\): Höhe
②
und zwar
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
,
③
quadrieren Sie auch den
\(r\): Radius des Schnittkreises
und addieren Sie beide,
④
teilen Sie die Summe dann durch „\(2h\)“, also das Doppelte der
\(h\): Höhe
, und Sie erhalten den
⑤
\(R\): Kugelradius
Einfaches Beispiel
Bei einem kuppelförmigen Gegenstand, dessen Schnittkreis 1 m Radius und dessen Höhe 0,5 m beträgt, hat die ursprüngliche Kugel den Radius
\(R\): Kugelradius
\(=\)
\((\)
Höhe (0,5 m)
zum Quadrat
\(+\)
Radius des Schnittkreises (1 m)
zum Quadrat
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
Höhe (0,5 m)
\()\)
\(R = (0{,}5^{2} + 1^{2}) \div (2 \times 0{,}5) = 1{,}25 \div 1\)
\(1{,}25 \div 1 = 1{,}25\,\mathrm{m}\)
Der Kerngedanke
Hinter dieser Formel steckt der Satz des Pythagoras (Klasse 9). Verbindet man drei Punkte, den Kugelmittelpunkt, den Mittelpunkt des Schnittkreises und einen Punkt auf dem Rand des Schnitts, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, also gilt \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\). Löst man diese Gleichung nach \(R\) auf, erhält man die Formel.
Reizvoll ist, dass sie die Größe der ganzen Kugel aus nur einem Stück liefert. Das ist derselbe Gedanke, mit dem man aus der Scherbe einer zerbrochenen Schale ihre ursprüngliche Größe bestimmt.
Formel für die Höhe \(h\) (aus Schnittkreisradius und Kugelradius, zwei Ergebnisse)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(h\): Höhe des Kugelsegments
\(=\)
①
\(R\): Kugelradius
③
\(\pm\)
②
Quadratwurzel aus der Differenz der Quadrate \(R^2 - r^2\)
Die Formel in Worten
①
Gehen Sie vom
\(R\): Kugelradius
aus,
②
berechnen Sie die
Quadratwurzel aus der Differenz der Quadrate \(R^2 - r^2\)
(das Quadrat des Kugelradius \(R\) minus das Quadrat des Schnittkreisradius \(r\), davon die Wurzel),
③
und ziehen Sie sie ab oder addieren Sie sie (das Zeichen ± bedeutet „sowohl − als auch +“). Dann erhalten Sie die
④
\(h\): Höhe des Kugelsegments
(in der Regel zwei Ergebnisse)
Einfaches Beispiel
Hat der Schnittkreis 1 m Radius und die ursprüngliche Kugel 2 m Radius, beträgt die Höhe des Kugelsegments
\(h\): Höhe des Kugelsegments
\(=\)
Kugelradius (2 m)
\(\pm\)
Quadratwurzel aus „2² − 1²“
\(\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\)
\(h = 2 - 1{,}732 = 0{,}268\,\mathrm{m}\)
\(h = 2 + 1{,}732 = 3{,}732\,\mathrm{m}\)
Der Kerngedanke
Es gibt zwei Ergebnisse, weil derselbe Schnittkreis zu zwei verschiedenen Kugelsegmenten gehören kann: Bei einem Schnitt oberhalb des Kugelmittelpunkts entsteht eine flache Schale, bei einem Schnitt unterhalb ein tiefer Topf.
Nur für \(r = R\) (der Schnitt geht durch den Kugelmittelpunkt) ist \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\): Dann gibt es nur ein Ergebnis, eine Halbkugel mit \(h = R\). Und \(r > R\) ist unmöglich, denn ein Schnittkreis kann nicht größer sein als die Kugel.
Formel für den Schnittkreisradius \(r\) (aus Kugelradius und Höhe)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(r\): Radius des Schnittkreises
\(=\)
①
Quadratwurzel aus \(2Rh - h^2\)
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie das Doppelte des Kugelradius \(R\) mit der Höhe \(h\), ziehen Sie das Quadrat der Höhe \(h\) ab und nehmen Sie die
Quadratwurzel aus \(2Rh - h^2\)
um den zu erhalten
②
\(r\): Radius des Schnittkreises
Einfaches Beispiel
Bei einem Kugelsegment, das von einer Kugel mit 2 cm Radius abgeschnitten wurde und 1 cm hoch ist, hat der Schnittkreis den Radius
\(r\): Radius des Schnittkreises
\(=\)
Quadratwurzel aus „2 × 2 × 1 − 1²“
\(r = \sqrt{2 \times 2 \times 1 - 1^{2}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\,\mathrm{cm}\)
Der Kerngedanke
Auch diese Formel stammt aus dem Satz des Pythagoras: Sie ist \(r^2 = R^2 - (R - h)^2\), rechts ausmultipliziert und zusammengefasst. Man kann auch ausklammern und \(r = \sqrt{h(2R - h)}\) schreiben.
Ist die Höhe der ganze Durchmesser (\(h = 2R\)), ergibt sich \(r = 0\): Es gibt keinen Schnitt mehr, man hat wieder die ganze Kugel. Im Beispiel der Formel 1 (Radius 2 cm, Höhe 1 cm) ist \(r = \sqrt{3} \approx 1{,}73\,\mathrm{cm}\). Setzt man dieses \(r = \sqrt{3}\) und \(R = 2\) in Formel 3 ein, erhält man \(h = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 1\) oder \(3\): Eines der beiden Ergebnisse ist tatsächlich die Ausgangshöhe von 1 cm.
Das Volumen eines Kugelsegments ist „V = π × Höhe zum Quadrat × (3 × Kugelradius − Höhe) ÷ 3“: Es hängt nur von der Höhe und dem Kugelradius ab. Schnittkreisradius, Kugelradius und Höhe sind über den Satz des Pythagoras verbunden: Kennen Sie zwei davon, können Sie den dritten berechnen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(V\) | V | Der übliche Buchstabe für das Volumen, dessen Anfangsbuchstabe er ist. Auf dieser Seite ist es das Volumen des Kugelsegments. |
| \(r\) | kleines r | Der Schnittkreisradius, also der Radius des Kreises, der entsteht, wenn man die Kugel mit einer Ebene schneidet (r wie „Radius“). Viele deutsche Quellen nennen ihn auch \(a\). |
| \(R\) | großes R | Der Radius der ursprünglichen Kugel, der ganzen Kugel vor dem Schnitt. Er wird großgeschrieben, um ihn vom Radius des Schnittkreises, dem kleinen \(r\), zu unterscheiden. |
| \(h\) | h | Die Höhe des Kugelsegments, der Abstand von der Schnittebene bis zum höchsten Punkt (dem Scheitel) des Kugelsegments (h wie „Höhe“). |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl, die angibt, wie oft der Durchmesser eines Kreises in seinen Umfang passt. Sie beträgt etwa 3,14159…, und ihre Nachkommastellen hören nie auf. In der Schule rechnet man mit 3,14. |
| \(\pm\) | plus minus | Ein Zeichen, das „es gibt zwei Fälle, einen mit + und einen mit −“ zusammenfasst. Auf dieser Seite zeigt es, dass es für die Höhe zwei Ergebnisse geben kann. |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | Wurzel (Wurzelzeichen) | Das Zeichen für die Quadratwurzel (die Zahl, die zum Quadrat genommen die Ausgangszahl ergibt). Beispiel: \(\sqrt{9} = 3\), weil \(3^2 = 9\). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | Kubikzentimeter | Eine Einheit für das Volumen. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat ein Volumen von 1 cm³. Nicht zu verwechseln mit cm² (Quadratzentimeter), der Einheit für den Flächeninhalt. |
| \(\mathrm{L}\) | Liter | Eine Einheit, die oft für Flüssigkeitsmengen wie Wasser verwendet wird. \(1\,\mathrm{L} = 1.000\,\mathrm{cm^3}\) (ein Milchkarton enthält genau 1 L). |
Begriffe
| Kugelsegment | Das Stück, das entsteht, wenn man eine Kugel mit einem einzigen ebenen Schnitt abtrennt, in der Form einer umgedrehten Schale. Es ist der Körper, dessen Volumen dieser Rechner ermittelt. Man nennt ihn auch Kugelabschnitt. Streng genommen bezeichnet Kugelkappe (Kalotte) nur die gewölbte Fläche, doch im Alltag sagt man oft auch Kugelkappe für den ganzen Körper. |
| Kugelkappe | Der Name für die gewölbte, gekrümmte Fläche eines Kugelsegments (auch Kalotte). Man unterscheidet sie vom Körper selbst, doch im Alltag nennt man auch den Körper oft Kugelkappe. Im Englischen heißen beide „spherical cap“. |
| Halbkugel | Der Körper, der entsteht, wenn man eine Kugel mit einer Ebene durch ihren Mittelpunkt schneidet. Sie ist ein besonderes Kugelsegment mit der Höhe gleich dem Kugelradius (\(h = R\)), und ihr Volumen ist genau die Hälfte des Volumens der ganzen Kugel. |
| Schnittkreis | Die ebene Fläche des Kugelsegments, also der Kreis, der beim Schnitt entsteht. Der Radius dieses Kreises ist \(r\). |
| Satz des Pythagoras | Der Satz, nach dem in einem rechtwinkligen Dreieck gilt: „Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten.“ Beim Kugelsegment gilt \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\), und alle Formeln, die eine der Längen \(r\), \(R\) und \(h\) aus den beiden anderen ergeben, folgen daraus. |
| Quadratwurzel | Eine Zahl, die zum Quadrat genommen die Ausgangszahl ergibt. Die Zahl 9 hat zwei Quadratwurzeln, 3 und −3, aber bei Längen nimmt man nur die positive (\(\sqrt{9} = 3\)). |
| Volumen | Der Platz, den ein Körper einnimmt, als Zahl angegeben. Man misst ihn, indem man zählt, wie viele Würfel mit 1 cm Kantenlänge (1 cm³) hineinpassen. |
Was Sie vorab wissen sollten
Das hilft Ihnen, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen, statt nur die Schaltfläche zu drücken.
| Der Kreis und die Kreiszahl π – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Das Volumen und seine Einheiten – Klasse 5–6 (10–12 Jahre) |
|
| Potenzen – Klasse 8–9 (13–15 Jahre) |
|
| Das Volumen der Kugel – Klasse 10 (15–16 Jahre) |
|
| Die Quadratwurzel – Klasse 9 (14–15 Jahre) |
|
| Der Satz des Pythagoras – Klasse 9 (14–15 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Volumens aus Kugelradius und Höhe
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h | 1 |
| Volumen des Kugelsegments | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
Tabelle zur Berechnung des Kugelradius aus Schnittkreisradius und Höhe
| Schnittkreisradius r | 1 |
| Höhe h | 0,5 |
| Kugelradius R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Tabelle zur Berechnung der Höhe (zwei Ergebnisse) aus Schnittkreisradius und Kugelradius
| Schnittkreisradius r | 1 |
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe (Lösung 1) | =B2-WURZEL(B2^2-B1^2) |
| Höhe (Lösung 2) | =B2+WURZEL(B2^2-B1^2) |
Tabelle zur Berechnung des Schnittkreisradius aus Kugelradius und Höhe
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h | 1 |
| Schnittkreisradius r | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile rechnet daraus automatisch.
„PI()“ ist die Funktion für die Kreiszahl π und „WURZEL()“ die für die Quadratwurzel. „^“ ist die Potenz (hier zum Quadrat), „*“ die Multiplikation und „/“ die Division.
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel etwa 5,24 (in cm³ bei 2 cm Radius und 1 cm Höhe). Die dritte Tabelle ist der Fall mit zwei Ergebnissen: B3 zeigt etwa 0,268 und B4 etwa 3,732. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen.
„PI()“ ist die Funktion für die Kreiszahl π und „WURZEL()“ die für die Quadratwurzel. „^“ ist die Potenz (hier zum Quadrat), „*“ die Multiplikation und „/“ die Division.
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel etwa 5,24 (in cm³ bei 2 cm Radius und 1 cm Höhe). Die dritte Tabelle ist der Fall mit zwei Ergebnissen: B3 zeigt etwa 0,268 und B4 etwa 3,732. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Volumens aus Kugelradius und Höhe
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h | 1 |
| Volumen des Kugelsegments | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
Tabelle zur Berechnung des Kugelradius aus Schnittkreisradius und Höhe
| Schnittkreisradius r | 1 |
| Höhe h | 0,5 |
| Kugelradius R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Tabelle zur Berechnung der Höhe (zwei Ergebnisse) aus Schnittkreisradius und Kugelradius
| Schnittkreisradius r | 1 |
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe (Lösung 1) | =B2-WURZEL(B2^2-B1^2) |
| Höhe (Lösung 2) | =B2+WURZEL(B2^2-B1^2) |
Tabelle zur Berechnung des Schnittkreisradius aus Kugelradius und Höhe
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h | 1 |
| Schnittkreisradius r | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
Dieselben Formeln wie in Excel (einschließlich der Funktionen PI() und WURZEL()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen.
Mit Python berechnen
import math
ball_radius = 2 # Kugelradius R (in diesem Beispiel in cm)
height = 1 # Höhe des Kugelsegments h
volume = math.pi * height ** 2 * (3 * ball_radius - height) / 3 # Volumen des Kugelsegments (Eingabeeinheit hoch 3)
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * height - height ** 2) # Schnittkreisradius r (Radius des Schnittkreises)
print(f"Volumen des Kugelsegments: {volume} cm3")
print(f"Schnittkreisradius: {base_radius} cm")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „math.sqrt“ die Quadratwurzel, „**“ die Potenz (hier zum Quadrat), „*“ die Multiplikation und „/“ die Division. Ändern Sie am Anfang Kugelradius und Höhe und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Formel für das Volumen des Kugelsegments (aus Kugelradius und Höhe)
V = πh²(3R − h)/3
V = \dfrac{1}{3}\pi h^{2}(3R - h)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn><mi>R</mi>
<mo>−</mo>
<mi>h</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
V = (1/3) pi h^2 (3R - h)
Pi*h^2*(3*R - h)/3
V := Pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = (1/3)πh^2(3R - h)
Formel für den Kugelradius \(R\) (aus Schnittkreisradius und Höhe)
R = (h² + r²)/(2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2)/(2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
Formel für die Höhe \(h\) (aus Schnittkreisradius und Kugelradius, zwei Ergebnisse)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 - r^2)
Formel für den Schnittkreisradius \(r\) (aus Kugelradius und Höhe)
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh - h^2)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht im Kopf oder nach Gefühl). Von einer Kugel mit 2 cm Radius wird mit einer Ebene ein Stück (ein Kugelsegment) so abgeschnitten, dass es vom Scheitel aus 1 cm hoch ist. Berechnen Sie: 1. das Volumen dieses Kugelsegments in cm³ (V = π × h² × (3R − h) ÷ 3) 2. den Radius des Schnittkreises (der Grundfläche) in cm (r = √(2Rh − h²)) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Kommerzielle Nutzung möglich
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Kugelvolumen berechnen (V = 4/3 × π × r³)
Berechnet das Volumen der ganzen Kugel, vor dem Abschneiden
Satz des Pythagoras berechnen (Hypotenuse und Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks)
Rechnet mit dem Satz für rechtwinklige Dreiecke, aus dem sich der Zusammenhang von r, R und h beim Kugelsegment ergibt
Wurzel berechnen (Quadratwurzel, Kubikwurzel, n-te Wurzel)
Berechnet die Quadratwurzeln (√), die beim Zurückrechnen von Höhe oder Schnittkreisradius vorkommen
Ad 
