Proportionale und antiproportionale Zuordnung – Rechner für Gleichung und Proportionalitätsfaktor aus einem Punkt

Wählen Sie proportional oder antiproportional und geben Sie die Koordinaten eines Punktes des Graphen ein. Geben Sie zusätzlich ein x ein, wird auch der y-Wert dazu berechnet.

Art der Zuordnung

x-Koordinate des Punktes

y-Koordinate des Punktes

x, zu dem y gesucht ist (optional)

Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Geben Sie einen Punkt ein, dessen x- und y-Koordinaten beide ungleich 0 sind (bei 0 erklärt eine Meldung, warum sich die Gleichung nicht bestimmen lässt).

Ergebnis und Graph

Geben Sie links die Koordinaten eines Punktes des Graphen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und der Graph erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie geben nur die Koordinaten eines Punktes des Graphen ein und erhalten sofort die Gleichung der proportionalen Zuordnung $y = ax$ oder der antiproportionalen Zuordnung $y = \dfrac{a}{x}$ samt Proportionalitätsfaktor $a$
Der Proportionalitätsfaktor wird wie in der Schule als „$y$ geteilt durch $x$“ berechnet (bei antiproportionalen Zuordnungen „$x$ mal $y$“), mit Rechenweg. Das Ergebnis erscheint als vollständig gekürzter Bruch (exakter Wert) wie $-\dfrac{2}{3}$
Auf Wunsch berechnet der Rechner auch den y-Wert zu einem $x$ Ihrer Wahl
Dazu erhalten Sie eine Wertetabelle für $x = -6$ bis $6$ und den Graphen (bei proportionalen Zuordnungen eine Gerade durch den Ursprung, bei antiproportionalen eine Hyperbel)
Als Koordinaten sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich

Eine proportionale Zuordnung ist eine Funktion der Form $y = ax$, eine antiproportionale Zuordnung eine Funktion der Form $y = \dfrac{a}{x}$ (jeweils $a \neq 0$). Viele Schulbücher schreiben den Faktor als $k$ ($y = k \cdot x$, $y = \dfrac{k}{x}$); diese Seite verwendet $a$. Beide Rechnungen erledigen Sie auf dieser einen Seite.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Den Preis beim Einkaufen überschlagen (Menge und Preis sind proportional)

Kostet ein Heft 3 €, kosten $x$ Hefte $y = 3x$ Euro. Der Einzelpreis ist der Proportionalitätsfaktor: Doppelte Menge, doppelter Preis. Schnelle Überschläge wie „Was kosten 8 Stück?“ – der klassische Dreisatz – sind genau diese Gleichung.
Ware nach Gewicht (Käse zu 2,50 € pro 100 g: 300 g kosten $2{,}50 \cdot 3 = 7{,}50$ €) und Tanken (bei 1,75 € pro Liter kosten 40 Liter 70 €) funktionieren genauso. Solange es keinen Mengenrabatt gibt, ist der Preis proportional zur Menge.

Strecke, Kraftstoff und Zeit (proportionale Zuordnung)

Bei gleichbleibender Geschwindigkeit ist die zurückgelegte Strecke proportional zur Zeit (bei 60 km/h gilt $y = 60x$). Ein Auto, das 6 Liter auf 100 km verbraucht, braucht für $x$ Kilometer $y = 0{,}06x$ Liter – für 350 km also $0{,}06 \cdot 350 = 21$ Liter.
Das sind Schätzungen unter der Annahme, dass Geschwindigkeit und Verbrauch ungefähr gleich bleiben, aber es sind die häufigsten Rechnungen mit proportionalen Zuordnungen bei der Planung einer Fahrt.

Geschwindigkeit und Fahrzeit (antiproportional bei fester Strecke)

Für eine Fahrt zu einem 120 km entfernten Ziel beträgt die Fahrzeit $y = \dfrac{120}{x}$ Stunden, wobei $x$ die Geschwindigkeit in km/h ist. Mit 120 km/h dauert es 1 Stunde, mit 60 km/h 2 Stunden. Halbe Geschwindigkeit, doppelte Zeit – ein klassisches Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung.
Ihr Kennzeichen ist ein gleichbleibendes Produkt: Geschwindigkeit × Zeit = Strecke. Damit vergleichen Sie zum Beispiel die Fahrzeiten von Zug und Bus oder planen Ihr Tempo.

Arbeit aufteilen (Personenzahl und Anteil pro Person sind antiproportional)

Teilen sich $x$ Personen 600 Flyer gleichmäßig auf, verteilt jede $y = \dfrac{600}{x}$ Flyer. Doppelt so viele Leute, halb so viel pro Person.
Immer wenn eine feste Arbeitsmenge gleichmäßig verteilt wird – die Vorbereitung eines Schulfests, das Erfassen von Daten –, gibt diese antiproportionale Zuordnung einen Anhaltspunkt, wie viele Leute man braucht.

Die Dehnung einer Feder (das hookesche Gesetz ist eine proportionale Zuordnung)

Wie weit sich eine Feder dehnt, ist proportional zum angehängten Gewicht (hookesches Gesetz, Thema im Physikunterricht). Dehnt sich eine Feder bei 20 g um 4 cm, beträgt die Dehnung $y = 0{,}2x$ cm ($x$ ist die Masse in Gramm); 50 g dehnen sie also um 10 cm. Der Proportionalitätsfaktor zeigt, wie leicht sich die Feder dehnt.
Eine Federwaage, die das Gewicht über die Dehnung einer Feder misst, beruht auf dieser Eigenschaft. Das Gesetz gilt aber nur, solange die Feder nicht so weit gedehnt wird, dass sie nicht mehr zurückfedert.

Formeln und Graphen

Proportionale Zuordnung $y = ax$

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

$y$ $=$ $a$ $x$

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Wert von $y$ $=$ ① $a$: Proportionalitätsfaktor ② Wert von $x$

Die Formel in Worten

① Multipliziert man den $a$: Proportionalitätsfaktor

② mit dem Wert von $x$ ,

③ erhält man den Wert von $y$ .

Einfaches Beispiel

Kostet ein Heft 3 €, dann kosten $x$ Hefte $y$ Euro (Proportionalitätsfaktor $a = 3$):

Preis $y$ in Euro $=$ Preis eines Hefts, 3 € Anzahl der Hefte $x$

$y = 3x$

$y = 3 \times 5 = 15\ \ (x = 5)$

Der Grundgedanke

Das Kennzeichen einer proportionalen Zuordnung: Verdoppelt oder verdreifacht sich $x$, verdoppelt oder verdreifacht sich auch $y$. Kauft man doppelt so viele Hefte, zahlt man doppelt so viel. Der Graph ist immer eine Gerade durch den Ursprung $(0 \,|\, 0)$ (0 Hefte kosten 0 €), eine sogenannte Ursprungsgerade. Ist der Proportionalitätsfaktor $a$ positiv, steigt die Gerade; ist er negativ, fällt sie. $y = ax$ ist die Kurzschreibweise für „$a \cdot x$“ ohne Malpunkt. Setzt man einen Wert für $x$ ein, ist $y$ festgelegt. Genau das rechnet man auch beim Dreisatz.

Proportionalitätsfaktor der proportionalen Zuordnung bestimmen ($a = y \div x$)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

$a$ $=$ $y$ $\div$ $x$

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ $a$: Proportionalitätsfaktor $=$ ① Wert von $y$ $\div$ ② Wert von $x$

Die Formel in Worten

① Teilt man den Wert von $y$

② durch den Wert von $x$ ,

③ erhält man den $a$: Proportionalitätsfaktor .

Einfaches Beispiel

Der Proportionalitätsfaktor der proportionalen Zuordnung durch den Punkt $P(2 \,|\, 6)$ ist

$a$: Proportionalitätsfaktor $=$ Wert von $y$: 6 $\div$ Wert von $x$: 2

$a = 6 \div 2 = 3$

$y = 3x$

Der Grundgedanke

Bei einer proportionalen Zuordnung hat „$y \div x$“ an jedem Punkt des Graphen denselben Wert (man sagt: sie ist quotientengleich). Dieser feste Wert ist der Proportionalitätsfaktor $a$. Kennt man also einen Punkt des Graphen, teilt man nur seine $y$-Koordinate durch seine $x$-Koordinate – und die Gleichung steht fest. Geht die Division nicht auf, lässt man das Ergebnis in der Mathematik üblicherweise als gekürzten Bruch stehen, etwa $a = -4 \div 6 = -\dfrac{2}{3}$ (auch dieser Rechner zeigt Brüche).

Antiproportionale Zuordnung $y = \dfrac{a}{x}$

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

$y$ $=$ $a$ $\div$ $x$

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Wert von $y$ $=$ ① $a$: Proportionalitätsfaktor $\div$ ② Wert von $x$

Die Formel in Worten

① Teilt man den $a$: Proportionalitätsfaktor

② durch den Wert von $x$ ,

③ erhält man den Wert von $y$ .

Einfaches Beispiel

Bei einem Rechteck mit dem Flächeninhalt 12 hängen Breite $x$ und Höhe $y$ so zusammen (Proportionalitätsfaktor $a = 12$):

Höhe $y$ $=$ Flächeninhalt 12 $\div$ Breite $x$

$y = \dfrac{12}{x}$

$y = \dfrac{12}{4} = 3\ \ (x = 4)$

Der Grundgedanke

Das Kennzeichen einer antiproportionalen Zuordnung: Verdoppelt oder verdreifacht sich $x$, wird $y$ halb oder ein Drittel so groß. Bei einem Rechteck mit dem Flächeninhalt 12 halbiert sich die Höhe, wenn man die Breite verdoppelt. Die Division $a \div x$ lässt sich als Bruch $\dfrac{a}{x}$ schreiben, deshalb schreibt man die antiproportionale Zuordnung meist als $y = \dfrac{a}{x}$. Der Graph besteht aus zwei glatten Kurvenästen und heißt Hyperbel. Bei $x = 0$ müsste man durch 0 teilen; dort gibt es also keinen y-Wert, und der Graph schneidet die $y$-Achse nie.

Proportionalitätsfaktor der antiproportionalen Zuordnung bestimmen ($a = x \times y$)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

$a$ $=$ $x$ $\times$ $y$

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ $a$: Proportionalitätsfaktor $=$ ① Wert von $x$ $\times$ ② Wert von $y$

Die Formel in Worten

① Multipliziert man den Wert von $x$

② mit dem Wert von $y$ ,

③ erhält man den $a$: Proportionalitätsfaktor .

Einfaches Beispiel

Der Proportionalitätsfaktor der antiproportionalen Zuordnung durch den Punkt $P(2 \,|\, 6)$ ist

$a$: Proportionalitätsfaktor $=$ Wert von $x$: 2 $\times$ Wert von $y$: 6

$a = 2 \times 6 = 12$

$y = \dfrac{12}{x}$

Der Grundgedanke

Multipliziert man beide Seiten von $y = \dfrac{a}{x}$ mit $x$, erhält man $x \cdot y = a$. Darin zeigt sich das Kennzeichen der antiproportionalen Zuordnung: Das Produkt aus $x$ und $y$ ist immer gleich (sie ist produktgleich). Kennt man also einen Punkt des Graphen, multipliziert man nur seine $x$-Koordinate mit seiner $y$-Koordinate – und der Proportionalitätsfaktor steht fest. Ist $a$ positiv, hat das Rechteck mit dem Ursprung und einem Punkt des Graphen als gegenüberliegenden Ecken immer den Flächeninhalt $x \cdot y = a$, egal welchen Punkt man wählt (das Rechteck im „Graph“ unten zeigt diese Fläche). Ist $a$ negativ, gilt trotzdem immer $x \cdot y = a$.

Eine proportionale Zuordnung ist $y = ax$ (Faktor $a = y \div x$), eine antiproportionale Zuordnung ist $y = \dfrac{a}{x}$ (Faktor $a = x \cdot y$). In beiden Fällen genügt ein Punkt des Graphen, um die Gleichung zu bestimmen. Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch den Ursprung, der einer antiproportionalen Zuordnung eine Hyperbel.

Symbole und Begriffe

Symbole

$x,\ y$	x, y	Buchstaben für zwei Größen, die sich gemeinsam ändern (Variablen). Üblicherweise stehen Buchstaben vom Ende des Alphabets, $x,\ y,\ z$, für Zahlen, die viele Werte annehmen können und noch nicht festliegen (das soll auf den Mathematiker Descartes zurückgehen).
$a$	a	Der Buchstabe für den Proportionalitätsfaktor. Buchstaben vom Anfang des Alphabets, $a,\ b,\ c$, stehen üblicherweise für feste Zahlen (Konstanten). Viele deutsche Schulbücher nehmen stattdessen $k$. Bei $y = ax$ wie bei $y = \dfrac{a}{x}$ ist mit $a$ die ganze Gleichung bekannt.
$(2 \,\|\, 6)$	2, 6 (ein Punkt)	So schreibt man die Koordinaten eines Punktes. Links vom Strich steht die $x$-Koordinate, rechts die $y$-Koordinate. „Geht durch den Punkt $(2 \,\|\, 6)$“ heißt: Für $x = 2$ ist $y = 6$.
$\div$, $\times$	geteilt durch, mal	Die Zeichen für Division und Multiplikation (in Deutschland schreibt man meist $:$ und $\cdot$). Den Proportionalitätsfaktor erhält man bei proportionalen Zuordnungen mit $y \div x$, bei antiproportionalen mit $x \times y$. In Termen lässt man den Malpunkt weg: $ax$ bedeutet $a \cdot x$.
$\neq$	ungleich	Das Zeichen für „ungleich“: ein Gleichheitszeichen mit Schrägstrich. Das „$a \neq 0$“ in den Definitionen bedeutet „$a$ ist eine Zahl außer 0“.

Begriffe

proportionale Zuordnung	Eine Zuordnung, bei der sich $y$ verdoppelt oder verdreifacht, wenn sich $x$ verdoppelt oder verdreifacht. Man sagt auch „$y$ ist proportional zu $x$“. Die Gleichung ist $y = ax$ ($a \neq 0$), der Graph eine Gerade durch den Ursprung. Thema in Klasse 6–7 (11–13 Jahre).
antiproportionale Zuordnung	Eine Zuordnung, bei der $y$ halb oder ein Drittel so groß wird, wenn sich $x$ verdoppelt oder verdreifacht. Man sagt auch „$y$ ist umgekehrt proportional zu $x$“. Die Gleichung ist $y = \dfrac{a}{x}$ ($a \neq 0$), und $x \cdot y$ ist immer gleich. Der Graph ist eine Hyperbel.
Proportionalitätsfaktor	Das $a$ in $y = ax$ und $y = \dfrac{a}{x}$ (auch Proportionalitätskonstante). Die feste Zahl, die die Gleichung bestimmt: Bei proportionalen Zuordnungen hat $y \div x$, bei antiproportionalen $x \cdot y$ an jedem Punkt diesen Wert.
Funktion	Eine Zuordnung, die jeder eingesetzten Zahl nach einer festen Regel genau eine Zahl zuordnet. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen sind Funktionen, weil zu jedem $x$ genau ein $y$ gehört.
Variable	Ein Buchstabe, der viele Werte annehmen kann. Bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen sind $x$ und $y$ die Variablen – im Unterschied zu einer festen Zahl (Konstante) wie $a$.
Koordinaten	Ein Zahlenpaar $(x \,\|\, y)$, das die Lage eines Punktes angibt. Die waagerechte Lage ist die $x$-Koordinate, die senkrechte die $y$-Koordinate. Ein Graph ist die Menge aller Punkte $(x \,\|\, y)$, die die Gleichung erfüllen.
Ursprung	Der Mittelpunkt des Koordinatensystems, $(0 \,\|\, 0)$. Er heißt $O$ (vom lateinischen „origo“). Der Graph einer proportionalen Zuordnung geht immer durch den Ursprung.
Hyperbel	Die beiden glatten Kurvenäste, die den Graphen einer antiproportionalen Zuordnung bilden. Sie nähern sich der $x$-Achse und der $y$-Achse immer weiter an, berühren sie aber nie.
Wertetabelle	Eine Tabelle mit Werten von $x$ und den zugehörigen Werten von $y$. Im Unterricht prüft man damit die Eigenschaften proportionaler und antiproportionaler Zuordnungen (wie sich $y$ beim Verdoppeln oder Verdreifachen von $x$ ändert).

Das sollten Sie vorher wissen

Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnungen auf dieser Seite wirklich zu verstehen – statt nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist das Wiederholen dieser Themen der schnellste Weg.

Positive und negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren und Dividieren kennen (plus mal minus ergibt minus, minus mal minus ergibt plus; zum Beispiel $4 \cdot (-3) = -12$) Eine negative Zahl in Klammern einsetzen können, etwa $(-3)$
Terme mit Variablen (Klasse 7, 12–13 Jahre)	Verstehen, dass eine Gleichung wie $y = 3x$ eine Regel ist: Wählt man $x$, liegt $y$ fest Wissen, dass $3x$ für $3 \cdot x$ steht (ohne Malpunkt), und Zahlen für Variablen einsetzen können
Das Koordinatensystem (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, wie man Koordinaten wie $(2 \,\|\, 6)$ schreibt (zuerst die $x$-Koordinate, dann die $y$-Koordinate), und den Punkt im Koordinatensystem eintragen können Wissen, wo der Ursprung $(0 \,\|\, 0)$ liegt
Bruchrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Brüche kürzen können (zum Beispiel $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$) Das Ergebnis einer Division als Bruch schreiben können (zum Beispiel $4 : 6 = \dfrac{4}{6}$)
Zuordnungen und Dreisatz (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass es Paare von Größen gibt, die sich gemeinsam ändern – ändert sich die eine, ändert sich auch die andere (Zuordnungen und Dreisatz sind der Einstieg in diese Seite) Die Denkweise „wird das eine verdoppelt, verdoppelt sich auch das andere“ schon kennengelernt haben

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die proportionale Zuordnung y = ax

x-Koordinate des Punktes	2
y-Koordinate des Punktes	6
Faktor a = y : x	=B2/B1
x, zu dem y gesucht ist	5
y = a · x	=B3*B4

Tabelle für die antiproportionale Zuordnung y = a/x

x-Koordinate des Punktes	2
y-Koordinate des Punktes	6
Faktor a = x · y	=B1*B2
x, zu dem y gesucht ist	8
y = a : x	=B3/B4

Wertetabelle einer proportionalen Zuordnung

Faktor a	3
x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y = ax	=B2*$B$1	=C2*$B$1	=D2*$B$1	=E2*$B$1	=F2*$B$1	=G2*$B$1	=H2*$B$1

Wertetabelle einer antiproportionalen Zuordnung

Faktor a	12
x	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4
y = a/x	=$B$1/B2	=$B$1/C2	=$B$1/D2	=$B$1/E2	=$B$1/F2	=$B$1/G2	=$B$1/H2	=$B$1/I2

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koordinaten des Punktes usw.) Ihre Eingaben, die unteren werden automatisch berechnet. „*“ steht für Multiplizieren, „/“ für Dividieren.
Die erste Tabelle ist die proportionale Zuordnung durch den Punkt (2 | 6): Der Faktor a ist 3, und für x = 5 ist y = 15.
Die zweite Tabelle ist die antiproportionale Zuordnung durch denselben Punkt (2 | 6): a ist 12, und für x = 8 ist y = 1,5 (= 3/2).
Die dritte und vierte Tabelle bauen eine Wertetabelle mit einer x-Zeile und einer y-Zeile wie im Schulbuch. Das $ in $B$1 hält den Bezug auf den Faktor fest, wenn Sie die Formel nach rechts kopieren. In der Tabelle der antiproportionalen Zuordnung fehlt x = 0, weil man nicht durch 0 teilen kann.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die proportionale Zuordnung y = ax

x-Koordinate des Punktes	2
y-Koordinate des Punktes	6
Faktor a = y : x	=B2/B1
x, zu dem y gesucht ist	5
y = a · x	=B3*B4

Tabelle für die antiproportionale Zuordnung y = a/x

x-Koordinate des Punktes	2
y-Koordinate des Punktes	6
Faktor a = x · y	=B1*B2
x, zu dem y gesucht ist	8
y = a : x	=B3/B4

Wertetabelle einer proportionalen Zuordnung

Faktor a	3
x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y = ax	=B2*$B$1	=C2*$B$1	=D2*$B$1	=E2*$B$1	=F2*$B$1	=G2*$B$1	=H2*$B$1

Wertetabelle einer antiproportionalen Zuordnung

Faktor a	12
x	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4
y = a/x	=$B$1/B2	=$B$1/C2	=$B$1/D2	=$B$1/E2	=$B$1/F2	=$B$1/G2	=$B$1/H2	=$B$1/I2

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren direkt. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes oder den Faktor durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction

# Ein Punkt (x1, y1) des Graphen (einen Bruch wie 3/4 schreibt man Fraction(3, 4))
x1 = Fraction(2)
y1 = Fraction(6)

# Proportionale Zuordnung y = ax: der Faktor ist „y geteilt durch x“
constant_direct = y1 / x1
print(f"Faktor a = {constant_direct}  ->  Gleichung y = {constant_direct}x")

# Antiproportionale Zuordnung y = a/x: der Faktor ist „x mal y“
constant_inverse = x1 * y1
print(f"Faktor a = {constant_inverse}  ->  Gleichung y = {constant_inverse}/x")

# Der y-Wert zu einem gewählten x
x_value = Fraction(8)
print(f"Proportional:     für x = {x_value} ist y = {constant_direct * x_value}")
print(f"Antiproportional: für x = {x_value} ist y = {constant_inverse / x_value}")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ganz ohne Rundungsfehler. Das Beispiel ist die proportionale und die antiproportionale Zuordnung durch den Punkt (2 | 6). Ausgegeben werden die Faktoren 3 und 12 sowie die y-Werte 24 und 3/2 für x = 8. Ändern Sie die Koordinaten des Punktes und den Wert von x und führen Sie das Skript erneut aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Proportionale Zuordnung $y = ax$

y = ax

y = ax

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mi>x</mi>
  </mrow>
</math>

y = a x

y == a x

y := a*x;

y = a*x;

y = ax

Proportionalitätsfaktor der proportionalen Zuordnung bestimmen ($a = y \div x$)

a = y ÷ x

a = \frac{y}{x}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>y</mi>
      <mi>x</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a = y/x

a == y/x

a := y/x;

a = y/x;

a = y/x

Antiproportionale Zuordnung $y = \dfrac{a}{x}$

y = a/x

y = \frac{a}{x}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>a</mi>
      <mi>x</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

y = a/x

y == a/x

y := a/x;

y = a/x;

y = a/x

Proportionalitätsfaktor der antiproportionalen Zuordnung bestimmen ($a = x \times y$)

a = x × y

a = xy

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>x</mi>
    <mi>y</mi>
  </mrow>
</math>

a = x y

a == x y

a := x*y;

a = x*y;

a = xy

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (proportionale und antiproportionale Zuordnungen). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

y ist proportional zu x, und der Graph geht durch den Punkt (2 | 6).
1. Der Proportionalitätsfaktor a (y geteilt durch x) und die Gleichung für y in Abhängigkeit von x
2. Der Wert von y für x = 5

Außerdem: y ist umgekehrt proportional zu x, und der Graph geht durch denselben Punkt (2 | 6).
3. Der Proportionalitätsfaktor a (x mal y) und die Gleichung für y in Abhängigkeit von x
4. Der Wert von y für x = 8 (als vollständig gekürzter Bruch und als Dezimalzahl)

Rechnen Sie in Python mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek exakt. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel

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Keine vorherige Genehmigung erforderlich

\(x,\ y\)	x, y	Buchstaben für zwei Größen, die sich gemeinsam ändern (Variablen). Üblicherweise stehen Buchstaben vom Ende des Alphabets, \(x,\ y,\ z\), für Zahlen, die viele Werte annehmen können und noch nicht festliegen (das soll auf den Mathematiker Descartes zurückgehen).
\(a\)	a	Der Buchstabe für den Proportionalitätsfaktor. Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\), stehen üblicherweise für feste Zahlen (Konstanten). Viele deutsche Schulbücher nehmen stattdessen \(k\). Bei \(y = ax\) wie bei \(y = \dfrac{a}{x}\) ist mit \(a\) die ganze Gleichung bekannt.
\((2 \,\|\, 6)\)	2, 6 (ein Punkt)	So schreibt man die Koordinaten eines Punktes. Links vom Strich steht die \(x\)-Koordinate, rechts die \(y\)-Koordinate. „Geht durch den Punkt \((2 \,\|\, 6)\)“ heißt: Für \(x = 2\) ist \(y = 6\).
\(\div\), \(\times\)	geteilt durch, mal	Die Zeichen für Division und Multiplikation (in Deutschland schreibt man meist \(:\) und \(\cdot\)). Den Proportionalitätsfaktor erhält man bei proportionalen Zuordnungen mit \(y \div x\), bei antiproportionalen mit \(x \times y\). In Termen lässt man den Malpunkt weg: \(ax\) bedeutet \(a \cdot x\).
\(\neq\)	ungleich	Das Zeichen für „ungleich“: ein Gleichheitszeichen mit Schrägstrich. Das „\(a \neq 0\)“ in den Definitionen bedeutet „\(a\) ist eine Zahl außer 0“.

proportionale Zuordnung	Eine Zuordnung, bei der sich \(y\) verdoppelt oder verdreifacht, wenn sich \(x\) verdoppelt oder verdreifacht. Man sagt auch „\(y\) ist proportional zu \(x\)“. Die Gleichung ist \(y = ax\) (\(a \neq 0\)), der Graph eine Gerade durch den Ursprung. Thema in Klasse 6–7 (11–13 Jahre).
antiproportionale Zuordnung	Eine Zuordnung, bei der \(y\) halb oder ein Drittel so groß wird, wenn sich \(x\) verdoppelt oder verdreifacht. Man sagt auch „\(y\) ist umgekehrt proportional zu \(x\)“. Die Gleichung ist \(y = \dfrac{a}{x}\) (\(a \neq 0\)), und \(x \cdot y\) ist immer gleich. Der Graph ist eine Hyperbel.
Proportionalitätsfaktor	Das \(a\) in \(y = ax\) und \(y = \dfrac{a}{x}\) (auch Proportionalitätskonstante). Die feste Zahl, die die Gleichung bestimmt: Bei proportionalen Zuordnungen hat \(y \div x\), bei antiproportionalen \(x \cdot y\) an jedem Punkt diesen Wert.
Funktion	Eine Zuordnung, die jeder eingesetzten Zahl nach einer festen Regel genau eine Zahl zuordnet. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen sind Funktionen, weil zu jedem \(x\) genau ein \(y\) gehört.
Variable	Ein Buchstabe, der viele Werte annehmen kann. Bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen sind \(x\) und \(y\) die Variablen – im Unterschied zu einer festen Zahl (Konstante) wie \(a\).
Koordinaten	Ein Zahlenpaar \((x \,\|\, y)\), das die Lage eines Punktes angibt. Die waagerechte Lage ist die \(x\)-Koordinate, die senkrechte die \(y\)-Koordinate. Ein Graph ist die Menge aller Punkte \((x \,\|\, y)\), die die Gleichung erfüllen.
Ursprung	Der Mittelpunkt des Koordinatensystems, \((0 \,\|\, 0)\). Er heißt \(O\) (vom lateinischen „origo“). Der Graph einer proportionalen Zuordnung geht immer durch den Ursprung.
Hyperbel	Die beiden glatten Kurvenäste, die den Graphen einer antiproportionalen Zuordnung bilden. Sie nähern sich der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse immer weiter an, berühren sie aber nie.
Wertetabelle	Eine Tabelle mit Werten von \(x\) und den zugehörigen Werten von \(y\). Im Unterricht prüft man damit die Eigenschaften proportionaler und antiproportionaler Zuordnungen (wie sich \(y\) beim Verdoppeln oder Verdreifachen von \(x\) ändert).

Proportionale und antiproportionale Zuordnung – Rechner für Gleichung und Proportionalitätsfaktor aus einem Punkt

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Formeln und Graphen

Symbole und Begriffe

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Verwandte Funktionen

Lineare Funktion aufstellen – Rechner für y = mx + b aus zwei Punkten oder Steigung und Punkt, mit Nullstelle

Bestimmt die lineare Funktion y = mx + b aus zwei Punkten oder aus Steigung und einem Punkt – mit Rechenweg zur Änderungsrate und Graph

Verhältnis berechnen – Verhältnisgleichung lösen, Verhältnis vergrößern und verkleinern

Berechnet die Unbekannte in einer Verhältnisgleichung wie „3 : 4 = 600 : ?“ über die Produktgleichung (Innenglieder mal Außenglieder)

Steigung berechnen – Rechner für Steigung, Abstand und Steigungswinkel einer Geraden

Berechnet aus zwei Punkten Steigung, Abstand, Steigungswinkel und Geradengleichung

Ähnlichkeitsfaktor berechnen – Flächenverhältnis, Volumenverhältnis und Maßstab

Berechnet aus dem Ähnlichkeitsverhältnis m : n das Flächenverhältnis m² : n² und das Volumenverhältnis m³ : n³, rechnet Längen ähnlicher Figuren und Maßstäbe von Karten um – mit Rechenweg

Empfohlen

Wahrscheinlichkeit und Zufallszahlen

Mittelwerte und Statistik

Prozent und Verhältnis

Geschwindigkeit

Dichte und Konzentration

Physik und Elektrizität

Einheitenumrechnung

Ganze Zahlen und Vorzeichen

Brüche, Dezimalzahlen und Runden

Gleichungen und Ungleichungen

Polynome

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