Proportionale und antiproportionale Zuordnungen berechnen (Gleichung und Proportionalitätsfaktor aus einem Punkt)
Wählen Sie proportionale oder antiproportionale Zuordnung und geben Sie die Koordinaten eines Punktes des Graphen ein. Geben Sie zusätzlich ein x ein, wird auch der Wert von y für dieses x berechnet.
Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Geben Sie einen Punkt ein, dessen x- und y-Koordinate beide nicht 0 sind (bei 0 erklärt eine Meldung, warum sich die Gleichung nicht bestimmen lässt).
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie links die Koordinaten eines Punktes des Graphen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und der Graph erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Diagramme
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie die Koordinaten nur eines Punktes des Graphen ein, und Sie erhalten sofort die Gleichung der proportionalen Zuordnung \(y = ax\) oder der antiproportionalen Zuordnung \(y = \dfrac{a}{x}\) und den Proportionalitätsfaktor \(a\)
- Der Proportionalitätsfaktor wird so bestimmt, wie man es in der Schule lernt, als „\(y\) geteilt durch \(x\)“ (bei der antiproportionalen Zuordnung „\(x\) mal \(y\)“), mit den Schritten. Die Antwort ist ein exakter, gekürzter Bruch, etwa \(-\dfrac{2}{3}\)
- Es kann auch den Wert von \(y\) für ein von Ihnen gewähltes \(x\) bestimmen (optional)
- Es zeigt außerdem eine Wertetabelle für \(x = -6\) bis \(6\) und einen Graphen (eine Gerade durch den Ursprung bei der proportionalen Zuordnung, eine Hyperbel bei der antiproportionalen Zuordnung)
- Koordinaten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein
Die proportionale Zuordnung ist eine Funktion der Form \(y = ax\) und die antiproportionale Zuordnung eine Funktion der Form \(y = \dfrac{a}{x}\) (jeweils \(a \neq 0\)). In Schulbüchern heißt der Faktor auch \(m\) oder \(k\) (\(y = mx\), \(y = \dfrac{k}{x}\)), diese Seite verwendet \(a\). Beide Berechnungen können Sie auf dieser einen Seite durchführen.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Den Preis eines Einkaufs abschätzen (der Preis ist proportional zur Menge)
Der Preis von \(x\) Stiften zu je 3 € beträgt \(y = 3x\) Euro. Der Stückpreis ist der Proportionalitätsfaktor, und kauft man doppelt so viele, zahlt man doppelt so viel. Schnelle Schätzungen wie „Was kosten 8?“ sind diese Gleichung bei der Arbeit.
Preise nach Gewicht (Äpfel für angenommene 2 € pro kg: 3 kg kosten \(2 \times 3 = 6\) Euro) und Benzin an der Tankstelle (angenommen 1,80 € pro Liter: 10 Liter kosten \(1{,}80 \times 10 = 18\) Euro) funktionieren genauso. Gibt es keinen Mengenrabatt, ist der Preis proportional zur Menge.
Strecke, Kraftstoff und Zeit (die Strecke ist proportional)
Bei einem Auto, das mit gleichbleibender Geschwindigkeit fährt, ist die zurückgelegte Strecke proportional zur Zeit (bei 60 km/h ist \(y = 60x\)). Ein Auto, das mit 1 Liter 20 km weit kommt (5 Liter auf 100 km), fährt mit \(x\) Litern \(y = 20x\) km weit, mit noch 12 Litern im Tank also etwa \(20 \times 12 = 240\) km.
Das sind Schätzungen, die voraussetzen, dass Geschwindigkeit und Verbrauch ungefähr gleich bleiben, aber es sind die häufigsten proportionalen Zuordnungen bei der Planung einer Reise oder einer Fahrt.
Geschwindigkeit und Fahrzeit (antiproportional bei fester Strecke)
Für eine Fahrt zu einem 120 km entfernten Ziel ist die Fahrzeit \(y = \dfrac{120}{x}\) Stunden, wobei \(x\) die Geschwindigkeit in km/h ist. Bei 60 km/h dauert sie 2 Stunden, bei 30 km/h 4 Stunden. Verdoppelt man die Geschwindigkeit, halbiert sich die Zeit, ein klassisches Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung.
Das Kennzeichen der antiproportionalen Zuordnung ist ein Produkt, das gleich bleibt: Geschwindigkeit × Zeit = Strecke. Damit können Sie die Fahrzeiten eines Zuges und eines Busses vergleichen oder Ihr Tempo planen.
Arbeit aufteilen (die Menge pro Person ist antiproportional zur Personenzahl)
Verteilen \(x\) Personen 600 Flyer gleichmäßig, verteilt jede Person \(y = \dfrac{600}{x}\) Flyer. Verdoppelt man die Zahl der Personen, halbiert sich der Anteil jeder Person.
Immer wenn eine feste Menge Arbeit gleichmäßig verteilt wird, etwa bei der Vorbereitung eines Schulfests oder beim Aufteilen von Dateneingaben, gibt diese antiproportionale Zuordnung einen Anhaltspunkt, wie viele Personen man braucht.
Wie weit sich eine Feder dehnt (das Hookesche Gesetz in der Physik ist eine proportionale Zuordnung)
Wie weit sich eine Feder dehnt, ist proportional zum angehängten Gewicht (Hookesches Gesetz, wird im Physikunterricht behandelt). Dehnt sich eine Feder bei 20 g um 4 cm, beträgt die Dehnung \(y = 0{,}2x\) cm (\(x\) ist die Masse in Gramm), bei 50 g dehnt sie sich also um 10 cm. Der Proportionalitätsfaktor zeigt, wie leicht sich die Feder dehnen lässt.
Eine Federwaage, die das Gewicht daran misst, wie weit sich eine Feder dehnt, beruht auf dieser Eigenschaft. Das Gesetz gilt aber nur, solange die Feder nicht so weit gedehnt wird, dass sie nicht mehr zurückfedert.
Formeln und Diagramme
Proportionale Zuordnung \(y = ax\)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(x\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Wert von \(y\)
\(=\)
①
\(a\): Proportionalitätsfaktor
②
Wert von \(x\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(a\): Proportionalitätsfaktor
②
multiplizieren Sie ihn mit dem
Wert von \(x\)
③
so erhalten Sie den
Wert von \(y\)
Einfaches Beispiel
Die Kosten \(y\) (in Euro) von \(x\) Stiften zu je 3 € betragen (Proportionalitätsfaktor \(a = 3\))
Kosten \(y\) Euro
\(=\)
Preis eines Stiftes, 3 €
Anzahl der Stifte \(x\)
\(y = 3x\)
\(y = 3 \times 5 = 15\ \ (x = 5)\)
Der Kerngedanke
Der Kern der proportionalen Zuordnung ist: Wird \(x\) verdoppelt oder verdreifacht, wird auch \(y\) verdoppelt oder verdreifacht. Kauft man doppelt so viele Stifte, zahlt man doppelt so viel.
Der Graph ist immer eine Gerade durch den Ursprung \((0|0)\) (0 Stifte kosten 0 €). Ist der Proportionalitätsfaktor \(a\) positiv, steigt die Gerade nach rechts, ist er negativ, fällt sie nach rechts.
\(y = ax\) ist eine kurze Schreibweise für „\(a \times x\)“ ohne das Malzeichen. Setzt man einen Wert für \(x\) ein, ist \(y\) bestimmt.
Den Faktor der proportionalen Zuordnung bestimmen (\(a = y \div x\))
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a\)
\(=\)
\(y\)
\(\div\)
\(x\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a\): Proportionalitätsfaktor
\(=\)
①
Wert von \(y\)
\(\div\)
②
Wert von \(x\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
Wert von \(y\)
②
teilen Sie ihn durch den
Wert von \(x\)
③
so erhalten Sie den
\(a\): Proportionalitätsfaktor
Einfaches Beispiel
Der Faktor der proportionalen Zuordnung durch den Punkt \((2|6)\) beträgt
\(a\): Proportionalitätsfaktor
\(=\)
Wert von \(y\), 6
\(\div\)
Wert von \(x\), 2
\(a = 6 \div 2 = 3\)
\(y = 3x\)
Der Kerngedanke
Bei einer proportionalen Zuordnung hat „\(y \div x\)“ in jedem Punkt des Graphen denselben Wert. Dieser feste Wert ist der Proportionalitätsfaktor \(a\).
Kennt man also einen Punkt des Graphen, teilt man einfach seine \(y\)-Koordinate durch seine \(x\)-Koordinate, und die Gleichung ist gefunden.
Geht die Division nicht auf, lässt man das Ergebnis in der Mathematik üblicherweise als gekürzten Bruch stehen, etwa \(a = -4 \div 6 = -\dfrac{2}{3}\) (auch dieser Rechner zeigt Brüche an).
Antiproportionale Zuordnung \(y = \dfrac{a}{x}\)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\div\)
\(x\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Wert von \(y\)
\(=\)
①
\(a\): Proportionalitätsfaktor
\(\div\)
②
Wert von \(x\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(a\): Proportionalitätsfaktor
②
teilen Sie ihn durch den
Wert von \(x\)
③
so erhalten Sie den
Wert von \(y\)
Einfaches Beispiel
Bei einem Rechteck mit dem Flächeninhalt 12 hängen die Breite \(x\) und die Höhe \(y\) so zusammen (Proportionalitätsfaktor \(a = 12\))
Höhe \(y\)
\(=\)
Flächeninhalt, 12
\(\div\)
Breite \(x\)
\(y = \dfrac{12}{x}\)
\(y = \dfrac{12}{4} = 3\ \ (x = 4)\)
Der Kerngedanke
Der Kern der antiproportionalen Zuordnung ist: Wird \(x\) verdoppelt oder verdreifacht, wird \(y\) halb bzw. \(\dfrac{1}{3}\) so groß. Verdoppelt man bei einem Rechteck mit dem Flächeninhalt 12 die Breite, halbiert sich die Höhe.
Die Division \(a \div x\) lässt sich als Bruch \(\dfrac{a}{x}\) schreiben, deshalb schreibt man die antiproportionale Zuordnung meist als \(y = \dfrac{a}{x}\).
Der Graph besteht aus zwei glatten Kurven, die man Hyperbel nennt. Bei \(x = 0\) müsste man durch 0 teilen, es gibt also keinen Wert von \(y\), und der Graph schneidet die \(y\)-Achse nie.
Den Faktor der antiproportionalen Zuordnung bestimmen (\(a = x \times y\))
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a\)
\(=\)
\(x\)
\(\times\)
\(y\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a\): Proportionalitätsfaktor
\(=\)
①
Wert von \(x\)
\(\times\)
②
Wert von \(y\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
Wert von \(x\)
②
multiplizieren Sie ihn mit dem
Wert von \(y\)
③
so erhalten Sie den
\(a\): Proportionalitätsfaktor
Einfaches Beispiel
Der Faktor der antiproportionalen Zuordnung durch den Punkt \((2|6)\) beträgt
\(a\): Proportionalitätsfaktor
\(=\)
Wert von \(x\), 2
\(\times\)
Wert von \(y\), 6
\(a = 2 \times 6 = 12\)
\(y = \dfrac{12}{x}\)
Der Kerngedanke
Multipliziert man beide Seiten von \(y = \dfrac{a}{x}\) mit \(x\), erhält man \(x \times y = a\). Das zeigt die Schlüsseleigenschaft der antiproportionalen Zuordnung: Das Produkt von \(x\) und \(y\) ist immer gleich.
Kennt man also einen Punkt des Graphen, multipliziert man einfach seine \(x\)-Koordinate mit seiner \(y\)-Koordinate, und der Proportionalitätsfaktor ist gefunden.
Ist \(a\) positiv, hat das Rechteck, dessen gegenüberliegende Ecken der Ursprung und ein Punkt des Graphen sind, den Flächeninhalt (\(x \times y\)) \(a\), welchen Punkt man auch wählt (das Rechteck im „Diagramm“ unten zeigt diesen Flächeninhalt). Ist \(a\) negativ, ist \(x \times y\) trotzdem immer gleich \(a\).
Proportionale Zuordnung ist \(y = ax\) (der Faktor ist \(a = y \div x\)), antiproportionale Zuordnung ist \(y = \dfrac{a}{x}\) (der Faktor ist \(a = x \times y\)). In beiden Fällen genügt ein Punkt des Graphen, um die Gleichung zu bestimmen. Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch den Ursprung, der Graph einer antiproportionalen Zuordnung eine Hyperbel.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(x,\ y\) | x, y | Buchstaben für zwei Größen, die sich gemeinsam ändern (Variablen). Üblicherweise stehen Buchstaben vom Ende des Alphabets, \(x,\ y,\ z\), für Zahlen, die viele Werte annehmen können und noch nicht festgelegt sind (das soll auf die Verwendung durch den Mathematiker Descartes zurückgehen). |
| \(a\) | a | Der Buchstabe für den Proportionalitätsfaktor. Üblicherweise stehen Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\), für feste Zahlen (Konstanten). In Schulbüchern wird oft auch \(m\) oder \(k\) verwendet. Sowohl bei \(y = ax\) als auch bei \(y = \dfrac{a}{x}\) ist die ganze Gleichung bekannt, sobald \(a\) bekannt ist. |
| \((2|6)\) | zwei, sechs (ein Punkt) | Die Schreibweise für die Koordinaten eines Punktes. Die erste Zahl in der Klammer ist die \(x\)-Koordinate, die zweite die \(y\)-Koordinate. „Geht durch den Punkt \((2|6)\)“ heißt, dass \(y = 6\) ist, wenn \(x = 2\) ist. |
| \(\div\), \(\times\) | geteilt durch, mal | Die Zeichen für Division und Multiplikation. Der Proportionalitätsfaktor ist bei der proportionalen Zuordnung \(y \div x\) und bei der antiproportionalen Zuordnung \(x \times y\). In der Algebra lässt man das Malzeichen weg, \(ax\) steht also für \(a \times x\). |
| \(\neq\) | ungleich | Das Zeichen für „nicht gleich“. Es ist ein Gleichheitszeichen mit einem Schrägstrich. Das „\(a \neq 0\)“ in den Definitionen der proportionalen und antiproportionalen Zuordnung sagt, dass \(a\) jede Zahl außer 0 sein darf. |
Begriffe
| proportionale Zuordnung | Eine Beziehung, bei der sich mit \(x\) auch \(y\) verdoppelt oder verdreifacht. Man sagt auch „\(y\) ist proportional zu \(x\)“. Die Gleichung ist \(y = ax\) (\(a \neq 0\)), und der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung. Sie wird in Klasse 6–7 behandelt. |
| antiproportionale Zuordnung | Eine Beziehung, bei der \(y\) halb bzw. \(\dfrac{1}{3}\) so groß wird, wenn man \(x\) verdoppelt bzw. verdreifacht. Man sagt auch „\(y\) ist antiproportional zu \(x\)“. Die Gleichung ist \(y = \dfrac{a}{x}\) (\(a \neq 0\)), und \(x \times y\) ist immer gleich. Der Graph ist eine Hyperbel. |
| Proportionalitätsfaktor | Das \(a\) in \(y = ax\) und \(y = \dfrac{a}{x}\), auch Proportionalitätskonstante genannt. Es ist die feste Zahl, die die Gleichung bestimmt: \(y \div x\) bei der proportionalen Zuordnung und \(x \times y\) bei der antiproportionalen Zuordnung ergeben in jedem Punkt diesen Wert. |
| Funktion | Eine Vorschrift, die zu einer eingegebenen Zahl genau eine Zahl zurückgibt. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen sind beide Funktionen, weil jeder Wert von \(x\) genau einen Wert von \(y\) ergibt. |
| Variable | Ein Buchstabe, der viele Werte annehmen kann. Bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen sind \(x\) und \(y\) die Variablen, im Unterschied zu einer festen Zahl (einer Konstanten) wie \(a\). |
| Koordinate (Koordinaten) | Ein Zahlenpaar \((x|y)\), das die Lage eines Punktes angibt. Die waagerechte Position ist die \(x\)-Koordinate und die senkrechte Position die \(y\)-Koordinate. Ein Graph ist die Menge aller Punkte \((x|y)\), für die die Gleichung wahr ist. |
| Ursprung | Die Mitte des Koordinatensystems, \((0|0)\). Er wird mit \(O\) bezeichnet. Der Graph einer proportionalen Zuordnung geht immer durch den Ursprung. |
| Hyperbel | Das Paar glatter Kurven, das den Graphen einer antiproportionalen Zuordnung bildet. Die Kurven nähern sich der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse immer mehr an, berühren sie aber nie. |
| Wertetabelle | Eine Tabelle, die Werte von \(x\) mit den passenden Werten von \(y\) auflistet. Schulbücher nutzen sie, um die Eigenschaften proportionaler und antiproportionaler Zuordnungen zu prüfen (wie sich \(y\) ändert, wenn \(x\) verdoppelt oder verdreifacht wird). |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, zu diesen Themen zurückzugehen.
| Positive und negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Terme (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
| Das Koordinatensystem (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
| Zwei Größen, die sich gemeinsam ändern (Zuordnungen und Dreisatz, Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Bestimmung der proportionalen Zuordnung y = ax
| x-Koordinate des Punktes | 2 |
| y-Koordinate des Punktes | 6 |
| Faktor a = y ÷ x | =B2/B1 |
| x, für das y bestimmt wird | 5 |
| y = a × x | =B3*B4 |
Tabelle zur Bestimmung der antiproportionalen Zuordnung y = a/x
| x-Koordinate des Punktes | 2 |
| y-Koordinate des Punktes | 6 |
| Faktor a = x × y | =B1*B2 |
| x, für das y bestimmt wird | 8 |
| y = a ÷ x | =B3/B4 |
Wertetabelle einer proportionalen Zuordnung
| Faktor a | 3 | ||||||
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y = ax | =B2*$B$1 | =C2*$B$1 | =D2*$B$1 | =E2*$B$1 | =F2*$B$1 | =G2*$B$1 | =H2*$B$1 |
Wertetabelle einer antiproportionalen Zuordnung
| Faktor a | 12 | |||||||
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y = a/x | =$B$1/B2 | =$B$1/C2 | =$B$1/D2 | =$B$1/E2 | =$B$1/F2 | =$B$1/G2 | =$B$1/H2 | =$B$1/I2 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koordinaten des Punktes und so weiter) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. „*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division.
Die erste Tabelle ist die proportionale Zuordnung durch den Punkt (2|6): Der Faktor a ist 3, und y ist 15, wenn x = 5 ist.
Die zweite Tabelle ist die antiproportionale Zuordnung durch denselben Punkt (2|6): a ist 12, und y ist 1,5 (= 3/2), wenn x = 8 ist.
Die dritte und die vierte Tabelle bauen eine Wertetabelle mit einer x-Zeile und einer y-Zeile auf, wie in Schulbüchern. Das $ in $B$1 hält den Bezug auf den Faktor fest, wenn Sie die Formel nach rechts kopieren. Die Tabelle der antiproportionalen Zuordnung hat kein x = 0, weil man nicht durch 0 teilen kann (die antiproportionale Zuordnung ist bei x = 0 nicht definiert).
Die erste Tabelle ist die proportionale Zuordnung durch den Punkt (2|6): Der Faktor a ist 3, und y ist 15, wenn x = 5 ist.
Die zweite Tabelle ist die antiproportionale Zuordnung durch denselben Punkt (2|6): a ist 12, und y ist 1,5 (= 3/2), wenn x = 8 ist.
Die dritte und die vierte Tabelle bauen eine Wertetabelle mit einer x-Zeile und einer y-Zeile auf, wie in Schulbüchern. Das $ in $B$1 hält den Bezug auf den Faktor fest, wenn Sie die Formel nach rechts kopieren. Die Tabelle der antiproportionalen Zuordnung hat kein x = 0, weil man nicht durch 0 teilen kann (die antiproportionale Zuordnung ist bei x = 0 nicht definiert).
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Bestimmung der proportionalen Zuordnung y = ax
| x-Koordinate des Punktes | 2 |
| y-Koordinate des Punktes | 6 |
| Faktor a = y ÷ x | =B2/B1 |
| x, für das y bestimmt wird | 5 |
| y = a × x | =B3*B4 |
Tabelle zur Bestimmung der antiproportionalen Zuordnung y = a/x
| x-Koordinate des Punktes | 2 |
| y-Koordinate des Punktes | 6 |
| Faktor a = x × y | =B1*B2 |
| x, für das y bestimmt wird | 8 |
| y = a ÷ x | =B3/B4 |
Wertetabelle einer proportionalen Zuordnung
| Faktor a | 3 | ||||||
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y = ax | =B2*$B$1 | =C2*$B$1 | =D2*$B$1 | =E2*$B$1 | =F2*$B$1 | =G2*$B$1 | =H2*$B$1 |
Wertetabelle einer antiproportionalen Zuordnung
| Faktor a | 12 | |||||||
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y = a/x | =$B$1/B2 | =$B$1/C2 | =$B$1/D2 | =$B$1/E2 | =$B$1/F2 | =$B$1/G2 | =$B$1/H2 | =$B$1/I2 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes oder den Faktor durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
# Ein Punkt (x1, y1) des Graphen (ein Bruch wie 3/4 lässt sich als Fraction(3, 4) schreiben)
x1 = Fraction(2)
y1 = Fraction(6)
# Proportionale Zuordnung y = ax: der Faktor ist „y geteilt durch x“
constant_direct = y1 / x1
print(f"Faktor a = {constant_direct} -> Gleichung y = {constant_direct}x")
# Antiproportionale Zuordnung y = a/x: der Faktor ist „x mal y“
constant_inverse = x1 * y1
print(f"Faktor a = {constant_inverse} -> Gleichung y = {constant_inverse}/x")
# Der Wert von y für ein gewähltes x
x_value = Fraction(8)
print(f"Proportional: für x = {x_value} ist y = {constant_direct * x_value}")
print(f"Antiproportional: für x = {x_value} ist y = {constant_inverse / x_value}")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen und ohne Rundungsfehler bei Dezimalzahlen. Dieses Beispiel zeigt die proportionale und die antiproportionale Zuordnung durch den Punkt (2|6). Beim Ausführen erscheinen die Faktoren 3 und 12, und die Werte von y bei x = 8 sind 24 und 3/2. Ändern Sie die Koordinaten des Punktes und den Wert von x und führen Sie den Code erneut aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Proportionale Zuordnung \(y = ax\)
y = ax
y = ax
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</math>
y = a x
y == a x
y := a*x;
y = a*x;
y = ax
Den Faktor der proportionalen Zuordnung bestimmen (\(a = y \div x\))
a = y ÷ x
a = \frac{y}{x}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>y</mi>
<mi>x</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
a = y/x
a == y/x
a := y/x;
a = y/x;
a = y/x
Antiproportionale Zuordnung \(y = \dfrac{a}{x}\)
y = a/x
y = \frac{a}{x}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>a</mi>
<mi>x</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
y = a/x
y == a/x
y := a/x;
y = a/x;
y = a/x
Den Faktor der antiproportionalen Zuordnung bestimmen (\(a = x \times y\))
a = x × y
a = xy
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mi>x</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</math>
a = x y
a == x y
a := x*y;
a = x*y;
a = xy
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für proportionale und antiproportionale Zuordnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). y ist proportional zu x, und der Graph geht durch den Punkt (2|6). 1. Der Proportionalitätsfaktor a (y geteilt durch x) und y als Gleichung in x 2. Der Wert von y bei x = 5 Außerdem sei y antiproportional zu x, und der Graph gehe durch denselben Punkt (2|6): 3. Der Proportionalitätsfaktor a (x mal y) und y als Gleichung in x 4. Der Wert von y bei x = 8 (als gekürzter Bruch und als Dezimalzahl) Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek, um exakt zu rechnen. Nennen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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