Durchbiegung und Tragfähigkeit eines Regalbodens berechnen (maximale Spannweite, Belastung oder Dicke je nach Material)

Wählen Sie, „was berechnet werden soll“, und geben Sie Dicke, Tiefe, Spannweite (Abstand der Auflager), Material und Last des Regalbodens ein. Bei Auswahl eines Materials werden Richtwerte für Elastizitätsmodul und zulässige Biegespannung eingetragen, die Sie ändern können. Beim Rückwärtsrechnen geben Sie die zulässige Durchbiegung (mm oder L/n) an.

Einheiten

Was berechnen?

Lagerung (beide Enden des Regalbodens)

Dicke des Regalbodens

Tiefe (Breite) des Regalbodens

Spannweite (Abstand von Auflager zu Auflager)

Material (trägt Richtwerte für Elastizitätsmodul und zulässige Biegespannung ein)

Art der Last

Last

Kriechfaktor (Faktor, um den die Durchbiegung unter Dauerlast wächst)

-fach

Richtwerte des Materials (werden bei Auswahl des Materials eingetragen; änderbar)

Elastizitätsmodul E (GPa)

GPa

Richtwert für die zulässige Biegespannung f_b (N/mm²)

N/mm²

Das Ergebnis ist ein Richtwert nach der Grundformel für ein „gleichmäßiges Brett auf zwei Auflagern“. Elastizitätsmodul und Festigkeit streuen mit Produkt, Güte, Ästen und Holzfeuchte, und die Festigkeit von Verbindungen und Regalträgern ist nicht berücksichtigt. Bei Regalen mit schwerer Last, Regalen, auf die jemand steigen könnte, und tragender Verwendung fragen Sie die Herstellerangaben oder eine Fachperson.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links Dicke, Tiefe und Spannweite (Abstand der Auflager) des Regalbodens, das Material und die Last ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen die maximale Durchbiegung (mm), das Durchbiegungsverhältnis (L/δ), der Vergleich mit Richtwerten, die Biegespannung (zur Orientierung) und eine Zeichnung des Regalbodens mit übertrieben dargestellter Durchbiegung.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Aus Dicke, Tiefe, Spannweite (Abstand der Auflager), Material und Last des Regalbodens erhalten Sie die maximale Durchbiegung (mm) und das Durchbiegungsverhältnis (\(L/\delta\) = wie oft die Spannweite die Durchbiegung enthält)
Wählen Sie das Material (japanische Sicheltanne, Hinoki, Kiefer-Leimholz, Eiche, Sperrholz, MDF, Spanplatte, Glas, Aluminium, Stahl), und ein Richtwert für den Elastizitätsmodul wird eingetragen (Sie können ihn ändern)
Die Last können Sie als „gleichmäßig verteilte Gesamtlast in kg“, „kg je Meter“ oder „Einzellast in der Mitte in kg“ angeben, und die Lagerung schalten Sie um zwischen „auf Regalträgern aufgelegt (gelenkig gelagert)“ und „an den Seitenwänden verschraubt oder eingenutet (beidseitig eingespannt)“
Aus einer zulässigen Durchbiegung wie „höchstens 3 mm (oder 1/300 der Spannweite)“ berechnen Sie umgekehrt die maximale Spannweite, die maximale Last und die nötige Dicke
Auch dass sich Holz unter Dauerlast stärker durchbiegt (Kriechen), lässt sich über einen Faktor berücksichtigen, und zur Orientierung zeigt der Rechner die Biegespannung im Vergleich mit einem Richtwert für die zulässige Biegespannung des Materials

Dieser Rechner betrachtet den Regalboden als „gleichmäßiges Brett, das an beiden Enden aufliegt“ (Balken) und berechnet mit der Grundformel der Festigkeitslehre nur die Durchbiegung. Elastizitätsmodul und zulässige Biegespannung sind üblicherweise angegebene Richtwerte; sie ändern sich auch bei gleichem Material stark mit Produkt, Güte, Ästen und Holzfeuchte. Die Tragfähigkeit (ob es bricht) ist nur eine Orientierung und keine Sicherheitsgarantie. Bei Regalen mit schwerer Last, Regalen, auf die jemand steigen könnte, und tragenden Bauteilen fragen Sie die Herstellerangaben oder eine Fachperson.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Beim Bau eines Bücherregals Dicke des Regalbodens und Abstand der Seitenwände festlegen (Holzarbeiten, Heimwerken)

„Ich möchte ein Bücherregal mit 900 mm Breite bauen; reicht 18-mm-Leimholz?“ ist eine klassische Frage beim Regalbau. Für ein Regal mit Zeitschriften und Fachbüchern rechnen wir mit 30 kg Büchern je Meter (ein Richtwert auf der sicheren Seite). Bei Kiefer-Leimholz mit 250 mm Tiefe, 18 mm Dicke und 860 mm Spannweite beträgt die Durchbiegung direkt nach dem Aufbringen etwa 1,9 mm und bei doppeltem Kriechfaktor etwa 3,8 mm (\(L/224\)); sie liegt damit über dem Richtwert \(L/300\) und kann auffallen, das lässt sich mit Zahlen beurteilen.
Bei 25 mm Dicke sinkt die Durchbiegung auf das \((18/25)^3 \approx 0{,}37\)-Fache, und mit einer Trennwand in der Mitte, die die Spannweite halbiert, auf ein Sechzehntel. Ob „ein dickeres Brett“, „eine Trennwand“ oder „weniger Tiefe und damit weniger Last“ am meisten bringt, können Sie vor dem Bauen vergleichen.

Prüfen, ob ein gekaufter Regalboden die gewünschte Last trägt (Aufbewahrung, Möbel)

Die Regalböden von Bausatzmöbeln sind oft aus Spanplatte oder MDF und haben bei gleicher Dicke nur etwa ein Drittel des Elastizitätsmoduls von Holz. Stehen auf einem Regal aus Spanplatte mit 18 mm Dicke, 300 mm Tiefe und 800 mm Spannweite Ordner und Zeitschriften mit zusammen 25 kg, biegt es sich direkt nach dem Aufbringen um etwa 4,5 mm und auf Dauer um etwa 9 mm durch; das ist ein Grund, „schwere Bücher und Geschirr auf schmalere Regale“ zu stellen.
Nennt der Hersteller eine „Tragfähigkeit von ○ kg“, hat dieser Wert Vorrang. Nutzen Sie diese Berechnung als Richtwert für Regale ohne Angabe der Tragfähigkeit oder wenn Sie selbst einen Regalboden ergänzen.

Bei einem Wandregal oder Küchenhängeschrank den Abstand der Regalträger festlegen (Wohnen, Renovieren)

Befestigen Sie ein Brett mit L-förmigen Regalträgern an der Wand, ist der Abstand der Träger zugleich die Spannweite. Stützen zwei Träger ein Regal mit 1.200 mm Breite, beträgt die Spannweite etwa 1.100 mm; bei Kiefer-Leimholz mit 250 mm Tiefe und 20 mm Dicke biegt sich der Boden schon mit 20 kg Geschirr direkt nach dem Aufbringen um etwa 2,3 mm und bei doppeltem Kriechfaktor um etwa 4,5 mm durch (\(L/243\)). Nimmt man drei Träger und halbiert die Spannweite, sinkt die Durchbiegung bei gleicher Anordnung auf ein Sechzehntel.
Die Tragfähigkeit der Träger selbst und die Festigkeit der Wand (Gipskarton oder tragfähiger Untergrund) sind in dieser Rechnung nicht enthalten; das prüfen Sie getrennt anhand der Herstellerangaben der Träger und des Wanduntergrunds.

Bei Fernsehschrank und Aquariumunterschrank die Durchbiegung bei schwerer Last in der Mitte abschätzen (Elektrogeräte, Aquaristik)

Ein Aquarium mit 60 cm Länge wiegt mit Wasser und Kies 70 bis 80 kg, und die Last liegt konzentriert nahe der Mitte der Abdeckplatte. Bei gleichem Gewicht biegt es sich mit der Last in der Mitte um das 1,6-Fache stärker durch als bei gleichmäßiger Verteilung; wer mit „Einzellast in der Mitte“ rechnet, liegt auf der sicheren Seite. Das Ergebnis hängt stark davon ab, ob die Platte aus dickem Vollholz oder aus einer dünnen Dekorplatte besteht.
Bei Dingen wie Aquarium oder Fernseher, bei denen Durchbiegen und Neigen stören, möchte man die Durchbiegung oft auf 1 bis 2 mm begrenzen, und der Rückwärts-Modus für die nötige Dicke ist dann nützlich. Ein Aquarium sollte aber grundsätzlich auf einem eigens dafür gebauten Unterschrank stehen (auch wegen Kippen und Erschütterungen); nutzen Sie diese Berechnung nur als Richtwert für die Auslegung eines selbst gebauten Untergestells.

Bei den Dielen einer Terrasse den Abstand der Lagerhölzer festlegen (Außenanlagen, Heimwerken)

Eine Terrassendiele ist ein „Balken mit Spannweite = Abstand der Lagerhölzer“, der auf den Lagerhölzern liegt. Steht eine Person (60 kg) auf einer Terrassendiele aus Kiefer mit 27 mm Dicke und 145 mm Breite, deren Lagerhölzer 600 mm Abstand haben, wirkt ein Teil des Körpergewichts als Einzellast auf eine Diele. Nimmt man an, dass 30 kg in der Mitte einer Diele wirken, beträgt die Durchbiegung etwa 0,6 mm; bei 900 mm Abstand der Lagerhölzer wächst sie um das \((900/600)^3 \approx 3{,}4\)-Fache auf etwa 2,1 mm.
Zahlen zeigen, dass ein enger Abstand der Lagerhölzer am meisten dagegen bringt, dass der Boden beim Gehen „schwingt“. Bei einem Boden, auf dem Menschen stehen, sind außer der Durchbiegung auch Festigkeit und Befestigung (Zahl der Schrauben) wichtig; verlassen Sie sich daher auf Verarbeitungsanleitung und Fachleute.

Erleben, dass „die Durchbiegung mit der vierten Potenz der Spannweite wächst“ (Physik in der Oberstufe, Ingenieurstudium)

Die Formel für die Durchbiegung eines Balkens gehört zu den ersten Formeln der Festigkeitslehre und überträgt das Hookesche Gesetz (Kraft und Dehnung sind proportional) auf die Biegung. Dass die Spannweite in der Formel mit der vierten und die Dicke mit der dritten Potenz eingeht, also „Potenzen unterschiedlich wirken“, ist ein Gefühl, das für den Entwurf von Brücken, Gebäuden und Maschinenteilen gleichermaßen gilt.
Prüfen Sie am vertrauten Bücherregal mit Zahlen „macht man die Seitenwände 10 % weiter auseinander, wächst die Durchbiegung um etwa 50 % (\(1{,}1^4 \approx 1{,}46\))“ und „macht man das Brett 10 % dicker, sinkt die Durchbiegung um etwa 25 % (\(1 \div 1{,}1^3 \approx 0{,}75\))“, sehen Sie, warum Brückenträger einen hohen Querschnitt haben und warum lange Regalböden in der Mitte eine Stütze haben.

Formeln und Abbildungen

Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment (die „Biegesteifigkeit“ des Querschnitts des Regalbodens)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(I\) \(=\) \(b\) \(\times\) \(h^{3}\) \(\div\ 12\)

\(Z\) \(=\) \(b\) \(\times\) \(h^{2}\) \(\div\ 6\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Flächenträgheitsmoment \(I\) (mm⁴) \(=\) ① Tiefe des Regalbodens \(b\) (mm) \(\times\) ② Dicke \(h\) hoch 3, \(h^3\) \(\div\ 12\)

⑤ Widerstandsmoment \(Z\) (mm³) \(=\) Tiefe des Regalbodens \(b\) (mm) \(\times\) ④ Dicke \(h\) hoch 2, \(h^2\) \(\div\ 6\)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die Tiefe des Regalbodens \(b\) mit der

② Dicke \(h\) hoch 3, \(h^3\) und teilen Sie durch 12, dann erhalten Sie das

③ Flächenträgheitsmoment \(I\) (wird für die Durchbiegung gebraucht).

④ Multiplizieren Sie dieselbe Tiefe mit der Dicke \(h\) hoch 2, \(h^2\) und teilen Sie durch 6, dann erhalten Sie das

⑤ Widerstandsmoment \(Z\) (wird für die Biegespannung gebraucht).

Einfaches Beispiel

Das Flächenträgheitsmoment und das Widerstandsmoment eines Regalbodens aus Kiefer-Leimholz mit 250 mm Tiefe und 18 mm Dicke sind

Flächenträgheitsmoment \(I\) \(=\) Tiefe (250 mm) \(\times\) Dicke (18 mm) hoch 3 \(\div\ 12\)

Widerstandsmoment \(Z\) \(=\) Tiefe (250 mm) \(\times\) Dicke (18 mm) hoch 2 \(\div\ 6\)

\(I = \dfrac{250 \times 18^{3}}{12} = \dfrac{250 \times 5.832}{12} = 121.500\ (\mathrm{mm^4})\)

\(Z = \dfrac{250 \times 18^{2}}{6} = \dfrac{250 \times 324}{6} = 13.500\ (\mathrm{mm^3})\)

Der Kerngedanke

Biegt man ein Brett, wird die Oberseite gestaucht, die Unterseite gedehnt, und die Mitte (die neutrale Faser) wird weder gedehnt noch gestaucht. Teile, die weit von der neutralen Faser entfernt sind, werden stärker gedehnt oder gestaucht und widerstehen der Biegung; entscheidend für die Biegesteifigkeit ist also, „wie viel Fläche des Querschnitts wie weit von der neutralen Faser entfernt liegt“. Zusammengefasst in einer Zahl ist das das Flächenträgheitsmoment \(I\), bei einem Rechteck \(I = \dfrac{b h^3}{12}\). Wichtig ist, dass die Dicke \(h\) mit der dritten Potenz eingeht: Erhöht man die Dicke von 18 mm auf 25 mm, wird \(I\) auf das \(\left(\dfrac{25}{18}\right)^3 \approx 2{,}7\)-Fache größer, und die Durchbiegung sinkt auf 1/2,7. Die Tiefe \(b\) geht dagegen nur mit der ersten Potenz ein; bei doppelter Tiefe halbiert sich die Durchbiegung nur (da die tragbare Last leicht ebenfalls auf das Doppelte steigt, ändert sich in der Praxis oft nichts). Das Widerstandsmoment \(Z = \dfrac{b h^2}{6}\) braucht man für die Biegespannung (die Kraft an der Oberfläche des Materials); es ist \(I\) geteilt durch den Abstand \(\dfrac{h}{2}\) von der neutralen Faser bis zur Oberfläche (\(\dfrac{b h^3}{12} \div \dfrac{h}{2} = \dfrac{b h^2}{6}\)).

Maximale Durchbiegung (gleichmäßig über das ganze Brett verteilte Last = Gleichlast)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\delta\) \(=\) \(\dfrac{5}{384}\) \(\times\) \(w\) \(\times\) \(L^{4}\) \(\div\) \(E\) \(\div\) \(I\)

\(\delta\) \(=\) \(\dfrac{1}{384}\) \(\times\) \(w\) \(\times\) \(L^{4}\) \(\div\) \(E\) \(\div\) \(I\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑤ Maximale Durchbiegung \(\delta\) (mm), gelenkig gelagert \(=\) \(\dfrac{5}{384}\) \(\times\) ① Last je mm \(w\) (N/mm) \(\times\) ② Spannweite \(L\) hoch 4, \(L^4\) \(\div\) ③ Elastizitätsmodul \(E\) (N/mm²) \(\div\) ④ Flächenträgheitsmoment \(I\) (mm⁴)

Maximale Durchbiegung \(\delta\) (mm), beidseitig eingespannt \(=\) \(\dfrac{1}{384}\) \(\times\) Last je mm \(w\) (N/mm) \(\times\) Spannweite \(L\) hoch 4, \(L^4\) \(\div\) Elastizitätsmodul \(E\) (N/mm²) \(\div\) Flächenträgheitsmoment \(I\) (mm⁴)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die Last je mm \(w\) (die Gesamtlast \(W\) geteilt durch die Spannweite \(L\); kg werden mit 9,80665 zu N umgerechnet) mit der

② Spannweite \(L\) hoch 4, \(L^4\) und bei gelenkiger Lagerung mit \(\dfrac{5}{384}\) (bei beidseitiger Einspannung mit \(\dfrac{1}{384}\)); teilen Sie dann durch den

③ Elastizitätsmodul \(E\) und durch das

④ Flächenträgheitsmoment \(I\) und Sie erhalten die

⑤ maximale Durchbiegung \(\delta\) (das Absinken in der Mitte des Regalbodens).

Einfaches Beispiel

Ein Regalboden aus Kiefer-Leimholz mit 250 mm Tiefe und 18 mm Dicke (\(I = 121.500\) mm⁴; Elastizitätsmodul 9 GPa = 9.000 N/mm²) liegt auf Regalträgern mit 900 mm Spannweite, und Bücher mit zusammen 30 kg (= 294,2 N; je mm \(294{,}2 \div 900 \approx 0{,}3269\) N/mm) stehen gleichmäßig darauf. Die maximale Durchbiegung ist

Maximale Durchbiegung \(\delta\) (gelenkig gelagert) \(=\) \(\dfrac{5}{384}\) \(\times\) Last je mm (0,3269 N/mm) \(\times\) Spannweite (900 mm) hoch 4 \(\div\) Elastizitätsmodul (9.000 N/mm²) \(\div\) Flächenträgheitsmoment (121.500 mm⁴)

\(\delta = \dfrac{5 \times 0{,}3269 \times 900^{4}}{384 \times 9.000 \times 121.500} = \dfrac{5 \times 0{,}3269 \times 6{,}561 \times 10^{11}}{4{,}199 \times 10^{11}} \approx 2{,}55\ (\mathrm{mm})\)

\(\text{beidseitig eingespannt:} \ \delta \approx 2{,}55 \times \dfrac{1}{5} \approx 0{,}51\ (\mathrm{mm})\)

Der Kerngedanke

Das ist die in der Festigkeitslehre bekannte Formel für die maximale Durchbiegung eines „gelenkig gelagerten Balkens (Balken auf zwei Stützen) unter Gleichlast“; sie gilt unmittelbar für Regalböden, Dielen, Brückenträger und alle „an beiden Enden aufliegenden Bauteile, die seitlich belastet werden“. Der Zähler ist „Größe der Last × Spannweite hoch 4“, der Nenner „Steifigkeit des Materials (Elastizitätsmodul) × Biegesteifigkeit des Querschnitts (Flächenträgheitsmoment)“; die Formel drückt also aus, was man ahnt: je schwerer und länger, desto stärker die Durchbiegung, je steifer und dicker, desto weniger. Die Wirkung ist unterschiedlich stark. Die Spannweite \(L\) geht mit der vierten Potenz ein; verlängern Sie sie um 10 %, wächst die Durchbiegung auf das \(1{,}1^4 \approx 1{,}46\)-Fache, bei 20 % auf das \(1{,}2^4 \approx 2{,}07\)-Fache. Die Dicke \(h\) geht in \(I\) mit der dritten Potenz ein; machen Sie sie 10 % dicker, sinkt die Durchbiegung auf 1/\(1{,}1^3 \approx 1{,}33\). Dass man bei einem durchhängenden Regal am besten mittendrin eine Stütze einbaut, um die Spannweite zu verkürzen, oder ein dickeres Brett nimmt, folgt aus dieser vierten und dritten Potenz. Bei beidseitiger Einspannung (an den Seitenwänden verschraubt oder eingenutet) beträgt die Durchbiegung nur \(\dfrac{1}{5}\) des gelenkig gelagerten Falls, weil sich die Enden nicht drehen können. Ein wirkliches Regal ist aber nie vollständig eingespannt, sondern liegt zwischen gelenkig gelagert und beidseitig eingespannt; wer auf der sicheren Seite bleiben will, rechnet daher mit gelenkiger Lagerung. Die Last \(w\) geben Sie als „N je mm“ ein. Ist die Gesamtlast \(W\) (N), so ist \(w = W \div L\), und die Formel lässt sich als \(\delta = \dfrac{5 W L^3}{384 E I}\) schreiben (aus der vierten wird die dritte Potenz). In kg gemessene Gewichte rechnen Sie mit \(9{,}80665\) in N um (ein Gegenstand von 1 kg übt etwa 9,8 N aus). Der Elastizitätsmodul wird oft in GPa (Gigapascal) angegeben; \(1\ \mathrm{GPa} = 1.000\ \mathrm{N/mm^2}\).

Maximale Durchbiegung (Last, die in der Mitte konzentriert ist = Einzellast)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\delta\) \(=\) \(P\) \(\times\) \(L^{3}\) \(\div\) \(E\) \(\div\) \(I\) \(\div\ 48\)

\(\delta\) \(=\) \(P\) \(\times\) \(L^{3}\) \(\div\) \(E\) \(\div\) \(I\) \(\div\ 192\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑤ Maximale Durchbiegung \(\delta\) (mm), gelenkig gelagert \(=\) ① Einzellast in der Mitte \(P\) (N) \(\times\) ② Spannweite \(L\) hoch 3, \(L^3\) \(\div\) ③ Elastizitätsmodul \(E\) (N/mm²) \(\div\) ④ Flächenträgheitsmoment \(I\) (mm⁴) \(\div\ 48\)

Maximale Durchbiegung \(\delta\) (mm), beidseitig eingespannt \(=\) Einzellast in der Mitte \(P\) (N) \(\times\) Spannweite \(L\) hoch 3, \(L^3\) \(\div\) Elastizitätsmodul \(E\) (N/mm²) \(\div\) Flächenträgheitsmoment \(I\) (mm⁴) \(\div\ 192\)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die Einzellast in der Mitte \(P\) (kg werden mit 9,80665 zu N umgerechnet) mit der

② Spannweite \(L\) hoch 3, \(L^3\) und teilen Sie durch den

③ Elastizitätsmodul \(E\) und durch das

④ Flächenträgheitsmoment \(I\) und bei gelenkiger Lagerung außerdem durch 48 (bei beidseitiger Einspannung durch 192); Sie erhalten die

⑤ maximale Durchbiegung \(\delta\) (das Absinken direkt unter der Last in der Mitte).

Einfaches Beispiel

Wird ein Eichen-Regalboden mit 300 mm Tiefe und 25 mm Dicke (\(I = 390.625\) mm⁴; Elastizitätsmodul 11 GPa = 11.000 N/mm²) bei 800 mm Spannweite gestützt und in der Mitte mit 20 kg (= 196,1 N) belastet, ist die maximale Durchbiegung

Maximale Durchbiegung \(\delta\) (gelenkig gelagert) \(=\) Einzellast (196,1 N) \(\times\) Spannweite (800 mm) hoch 3 \(\div\) Elastizitätsmodul (11.000 N/mm²) \(\div\) Flächenträgheitsmoment (390.625 mm⁴) \(\div\ 48\)

\(\delta = \dfrac{196{,}1 \times 800^{3}}{48 \times 11.000 \times 390.625} = \dfrac{196{,}1 \times 5{,}12 \times 10^{8}}{2{,}0625 \times 10^{11}} \approx 0{,}49\ (\mathrm{mm})\)

\(\text{beidseitig eingespannt:} \ \delta \approx 0{,}49 \times \dfrac{1}{4} \approx 0{,}12\ (\mathrm{mm})\)

Der Kerngedanke

Das ist die Formel für die maximale Durchbiegung eines „gelenkig gelagerten Balkens mit Einzellast in der Mitte“. Dass die Spannweite im Vergleich zur Gleichlast-Formel nur mit der dritten statt der vierten Potenz eingeht, liegt daran, dass die Last hier nicht „je mm“, sondern als „Gesamtkraft“ angegeben wird (auch bei Gleichlast ergibt sich mit der Gesamtlast \(W\) die dritte Potenz, \(\dfrac{5 W L^3}{384 E I}\)). Bei gleicher Gesamtlast biegt sich der Balken mit der Last in der Mitte um das \(\dfrac{1/48}{5/384} = \dfrac{384}{240} = 1{,}6\)-Fache stärker durch als bei gleichmäßiger Verteilung. Als Faustregel gilt: Steht nur ein schwerer Gegenstand wie Fernseher oder Aquarium mitten auf dem Regalboden, biegt er sich um 60 % stärker durch, als wenn Bücher mit gleichem Gewicht darauf stehen. Rückt man den schweren Gegenstand dagegen in die Nähe eines Auflagers, wird die Durchbiegung viel kleiner. Bei beidseitiger Einspannung wird der Faktor 48 zu 192, und die Durchbiegung beträgt \(\dfrac{1}{4}\) des gelenkig gelagerten Falls. Beachten Sie, dass das etwas anders ist als die \(\dfrac{1}{5}\) bei Gleichlast.

Durchbiegung auf Dauer (Kriechen) und Durchbiegungsverhältnis L/δ

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\delta_{\text{lang}}\) \(=\) \(k_c\) \(\times\) \(\delta_0\)

\(n\) \(=\) \(L\) \(\div\) \(\delta_{\text{lang}}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Durchbiegung auf Dauer \(\delta_{\text{lang}}\) (mm) \(=\) ② Kriechfaktor \(k_c\) \(\times\) ① Durchbiegung direkt nach dem Aufbringen \(\delta_0\) (mm)

⑤ Nenner des Durchbiegungsverhältnisses \(n\) (das \(n\) in \(L/n\)) \(=\) ④ Spannweite \(L\) (mm) \(\div\) Durchbiegung auf Dauer \(\delta_{\text{lang}}\) (mm)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die Durchbiegung direkt nach dem Aufbringen \(\delta_0\) mit dem

② Kriechfaktor \(k_c\) (bei Holz rechnet man oft mit 1,5 bis 2), dann erhalten Sie die

③ Durchbiegung auf Dauer \(\delta_{\text{lang}}\)

④ Teilen Sie die Spannweite \(L\) durch die Durchbiegung auf Dauer, dann erhalten Sie den

⑤ Nenner des Durchbiegungsverhältnisses \(n\) („die Durchbiegung beträgt \(1/n\) der Spannweite“; je größer \(n\), desto kleiner die Durchbiegung).

Einfaches Beispiel

Bei einem Regalboden aus Sperrholz mit 1.200 mm Spannweite (300 mm Tiefe, 24 mm Dicke, Bücher mit 30 kg je Meter), einer Durchbiegung von 3,28 mm direkt nach dem Aufbringen und einem Kriechfaktor von 2 ist

Durchbiegung auf Dauer \(=\) Kriechfaktor (2) \(\times\) Durchbiegung direkt nach dem Aufbringen (3,28 mm)

Nenner des Durchbiegungsverhältnisses \(n\) \(=\) Spannweite (1.200 mm) \(\div\) Durchbiegung auf Dauer (6,57 mm)

\(\delta_{\text{lang}} = 2 \times 3{,}28 \approx 6{,}57\ (\mathrm{mm})\)

\(n = 1.200 \div 6{,}57 \approx 183 \quad \Rightarrow \quad \text{Die Durchbiegung beträgt } 1/183 \text{ der Spannweite}\)

Der Kerngedanke

Holz und Holzwerkstoffe (Sperrholz, MDF, Spanplatte) biegen sich unter einer Dauerlast mit der Zeit allmählich stärker durch (Kriechen). Bei einem Regal, auf dem Jahre lang die Last steht, ist es oft das 1,5- bis 2-Fache der Durchbiegung direkt nach dem Aufbringen; an feuchten Orten oder bei Spanplatte kann es noch mehr sein. Dieser Rechner schätzt die Durchbiegung auf Dauer mit dem Kriechfaktor \(k_c\) (Standard 1 = der Wert direkt nach dem Aufbringen; bei Stahl und Glas ist das Kriechen praktisch vernachlässigbar). Betrachtet man die Durchbiegung nur in „mm“, sind Regale mit großer Spannweite im Nachteil. Deshalb nimmt man oft das Durchbiegungsverhältnis \(L/\delta\), das die Durchbiegung auf die Spannweite bezieht; in der Praxis werden als Richtwerte, bei denen die Durchbiegung kaum auffällt, \(L/300\) (ein Dreihundertstel der Spannweite) und je nach Verwendung bis etwa \(L/200\) genannt. Daneben verwendet man auch absolute Richtwerte wie „höchstens 3 mm“. Das sind Erfahrungswerte für Aussehen und Gebrauch und keine Sicherheitsgrenzen. Der „Vergleich mit Richtwerten“ dieses Rechners beurteilt die Durchbiegung auf Dauer nach \(L/300\), \(L/200\) und 3 mm.

Rückwärts (aus der zulässigen Durchbiegung die maximale Spannweite und die maximale Last berechnen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(L_{\max}^{4}\) \(=\) \(\dfrac{384}{5}\) \(\times\) \(E\) \(\times\) \(I\) \(\times\) \(\delta_a\) \(\div\) \(w\) \(\div\) \(k_c\)

\(w_{\max}\) \(=\) \(\dfrac{384}{5}\) \(\times\) \(E\) \(\times\) \(I\) \(\times\) \(\delta_a\) \(\div\) \(k_c\) \(\div\) \(L^{4}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ Maximale Spannweite \(L_{\max}\) hoch 4 \(=\) \(\dfrac{384}{5}\) \(\times\) Elastizitätsmodul \(E\) (N/mm²) \(\times\) Flächenträgheitsmoment \(I\) (mm⁴) \(\times\) ① Zulässige Durchbiegung \(\delta_a\) (mm) \(\div\) ② Last je mm \(w\) (N/mm) \(\div\) ③ Kriechfaktor \(k_c\)

⑥ Maximale Last \(w_{\max}\) (N/mm) \(=\) \(\dfrac{384}{5}\) \(\times\) Elastizitätsmodul \(E\) (N/mm²) \(\times\) Flächenträgheitsmoment \(I\) (mm⁴) \(\times\) Zulässige Durchbiegung \(\delta_a\) (mm) \(\div\) Kriechfaktor \(k_c\) \(\div\) ⑤ Spannweite \(L\) hoch 4, \(L^4\)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die zulässige Durchbiegung \(\delta_a\) mit \(E\), mit \(I\) und mit \(\dfrac{384}{5}\) und teilen Sie das Ergebnis durch die

② Last je mm \(w\) und durch den

③ Kriechfaktor \(k_c\) und Sie erhalten die

④ maximale Spannweite \(L_{\max}\) hoch 4 (für Gleichlast und gelenkige Lagerung; die vierte Wurzel daraus ist die maximale Spannweite \(L_{\max}\)).

⑤ Teilen Sie denselben Zähler durch den Kriechfaktor und die Spannweite \(L\) hoch 4, \(L^4\) und Sie erhalten die

⑥ maximale Last \(w_{\max}\) (N je mm; mit 1.000 multiplizieren und durch 9,80665 teilen ergibt kg/m).

Einfaches Beispiel

Stehen auf einem Regal aus Kiefer-Leimholz mit 250 mm Tiefe und 18 mm Dicke (\(I = 121.500\) mm⁴; 9.000 N/mm²) Bücher mit 25 kg je Meter (\(25 \times 9{,}80665 \div 1.000 \approx 0{,}2452\) N/mm) und soll die Durchbiegung höchstens 3 mm betragen, sind die maximale Spannweite (Kriechfaktor 1) und die maximale Last bei 900 mm Spannweite

Maximale Spannweite \(L_{\max}\) hoch 4 \(=\) \(\dfrac{384}{5}\) \(\times\) Elastizitätsmodul (9.000) \(\times\) Flächenträgheitsmoment (121.500) \(\times\) Zulässige Durchbiegung (3 mm) \(\div\) Last (0,2452 N/mm) \(\div\) Kriechfaktor (1)

\(L_{\max} = \sqrt[4]{\dfrac{384 \times 9.000 \times 121.500 \times 3}{5 \times 0{,}2452 \times 1}} = \sqrt[4]{\dfrac{1{,}2597 \times 10^{12}}{1{,}226}} \approx \sqrt[4]{1{,}0275 \times 10^{12}} \approx 1.006\ (\mathrm{mm})\)

\(w_{\max} = \dfrac{384 \times 9.000 \times 121.500 \times 3}{5 \times 1 \times 900^{4}} = \dfrac{1{,}2597 \times 10^{12}}{3{,}2805 \times 10^{12}} = 0{,}384\ (\mathrm{N/mm}) \quad \Rightarrow \quad 0{,}384 \times 1.000 \div 9{,}80665 \approx 39{,}16\ (\mathrm{kg/m})\)

Der Kerngedanke

Das ist nur die nach der gesuchten Größe aufgelöste Durchbiegungsformel \(\delta = \dfrac{5 w L^4}{384 E I} \times k_c\). Setzt man die Bedingung „Durchbiegung höchstens \(\delta_a\)“ als \(\delta_a = \) (rechte Seite) an und löst nach \(L\) auf, erhält man die maximale Spannweite, nach \(w\) die maximale Last. Für die Dicke berechnen Sie zuerst das nötige Flächenträgheitsmoment \(I_{\text{erf}} = \dfrac{5 w L^4 k_c}{384 E \delta_a}\) und lösen dann \(I = \dfrac{b h^3}{12}\) nach \(h\) auf: \(h_{\min} = \sqrt[3]{\dfrac{12 I_{\text{erf}}}{b}}\) ergibt die nötige Dicke. Auch bei Einzellast und beidseitiger Einspannung geht man genauso vor; man tauscht nur den Faktor (\(\dfrac{5}{384}\) gegen \(\dfrac{1}{384}\), \(\dfrac{1}{48}\) oder \(\dfrac{1}{192}\)) und den Exponenten von \(L\) (bei Gesamtlast oder Einzellast die dritte Potenz) aus. Der Rechner schaltet je nach gewählten Bedingungen automatisch um. Wird die zulässige Durchbiegung als \(L/n\) (zum Beispiel \(L/300\)) angegeben, ist \(\delta_a\) selbst proportional zur Spannweite, und die Formel für die maximale Spannweite hat statt \(L^{4}\) nur \(L^{3}\) (\(L_{\max} = \sqrt[3]{\dfrac{384 E I}{5 w k_c n}}\)). Damit das Rückwärtsrechnen auf der sicheren Seite bleibt, wird die maximale Spannweite auf 1 mm, die maximale Last auf 0,1 abgerundet und die nötige Dicke auf 0,1 mm aufgerundet angezeigt; mit diesem Wert werden Durchbiegung und Spannung neu berechnet (im Beispiel oben maximale Spannweite 1.006,8 mm → 1.006 mm, maximale Last 39,16 kg/m → 39,1 kg/m). Handelsübliche Platten gibt es nur in Stufen der Dicke, etwa 12, 15, 18, 21, 25 und 30 mm; ergibt sich eine nötige Dicke von 19,4 mm, wählen Sie also die nächste Stufe darüber, hier 21 mm oder 25 mm.

Biegespannung (zur Orientierung: ob das Material bricht)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(M\) \(=\) \(w\) \(\times\) \(L^{2}\) \(\div\ 8\)

\(\sigma\) \(=\) \(M\) \(\div\) \(Z\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Maximales Biegemoment \(M\) (N·mm) \(=\) ① Last je mm \(w\) (N/mm) \(\times\) ② Spannweite \(L\) hoch 2, \(L^2\) \(\div\ 8\)

⑤ Biegespannung \(\sigma\) (N/mm²) \(=\) Maximales Biegemoment \(M\) (N·mm) \(\div\) ④ Widerstandsmoment \(Z = \dfrac{b h^2}{6}\) (mm³)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die Last je mm \(w\) mit dem

② Spannweite \(L\) hoch 2, \(L^2\) und teilen Sie durch 8 (für Gleichlast und gelenkige Lagerung), dann erhalten Sie das

③ maximale Biegemoment \(M\) (in der Mitte des Regalbodens am größten).

④ Teilen Sie es durch das Widerstandsmoment \(Z\) und Sie erhalten die

⑤ Biegespannung \(\sigma\) (die Kraft je Flächeneinheit an Ober- und Unterseite des Regalbodens).

Einfaches Beispiel

Bei einem Regalboden aus Kiefer-Leimholz mit 900 mm Spannweite, 250 mm Tiefe und 18 mm Dicke (\(Z = 13.500\) mm³) und Büchern mit zusammen 30 kg (0,3269 N/mm) ist die Biegespannung (gelenkig gelagert)

Maximales Biegemoment \(M\) \(=\) Last (0,3269 N/mm) \(\times\) Spannweite (900 mm) hoch 2 \(\div\ 8\)

Biegespannung \(\sigma\) \(=\) Biegemoment (33.097 N·mm) \(\div\) Widerstandsmoment (13.500 mm³)

\(M = \dfrac{0{,}3269 \times 900^{2}}{8} = \dfrac{0{,}3269 \times 810.000}{8} \approx 33.097\ (\mathrm{N \cdot mm})\)

\(\sigma = \dfrac{33.097}{13.500} \approx 2{,}45\ (\mathrm{N/mm^2}) \quad \Rightarrow \quad \text{ca. } 27\,\%\text{ des Richtwerts für die zulässige Biegespannung } 9\ \mathrm{N/mm^2}\)

Der Kerngedanke

„Sich durchbiegen“ und „Brechen“ sind zwei verschiedene Dinge. Die Durchbiegung ist eine Frage von Aussehen und Gebrauch; ob es bricht, hängt davon ab, ob die Kraft im Material (die Spannung) die Festigkeit des Materials übersteigt. Beim Balken gilt als Richtwert dafür, dass er nicht bricht, dass die Biegespannung \(\sigma\), also das durch die Last entstehende Biegemoment \(M\) geteilt durch das Widerstandsmoment \(Z\), nicht größer ist als die zulässige Biegespannung \(f_b\) des Materials. Das maximale Biegemoment ist bei Gleichlast und gelenkiger Lagerung \(\dfrac{w L^2}{8}\) (in der Mitte), bei Gleichlast und beidseitiger Einspannung \(\dfrac{w L^2}{12}\) (an beiden Enden), bei Einzellast in der Mitte und gelenkiger Lagerung \(\dfrac{P L}{4}\) (in der Mitte) und bei beidseitiger Einspannung \(\dfrac{P L}{8}\) (an beiden Enden). Der Rechner schaltet je nach gewählten Bedingungen automatisch um. Bei einem gewöhnlichen Bücherregal bleibt die Biegespannung oft bei wenigen N/mm², verglichen mit einer zulässigen Biegespannung von Holz (als Richtwert etwa 8 bis 10 N/mm² auf Dauer); üblich ist also, dass „es sich schon so stark durchbiegt, dass es stört, bevor es bricht“. Die Auslegung eines Regalbodens wird meist von der Durchbiegung bestimmt, und deshalb steht sie auf dieser Seite im Mittelpunkt. Auf die Spannung kommt es dagegen an, wenn ein dünnes Brett schwer belastet wird, ein Material mit geringer Festigkeit wie Spanplatte verwendet wird oder die Halterung durch Ausreißen von Regalträgern oder Schrauben zuerst versagt. Die hier angegebene zulässige Biegespannung ist ein „üblicherweise genannter Richtwert“; die tatsächliche Festigkeit ändert sich stark mit Holzart, Güte, Ästen, Holzfeuchte und Produktstreuung, und die Festigkeit von Verbindungen wie Regalträgern, Bodenträgern und Schrauben ist in dieser Rechnung nicht enthalten. Die Anzeige zur Orientierung ist keine Sicherheitsgarantie. Bei schwer belasteten Regalen, Regalen, auf die jemand steigen könnte, und tragenden Bauteilen fragen Sie die Herstellerangaben oder eine Fachperson.

Ein Regalboden ist ein „Balken auf zwei Auflagern“; die maximale Durchbiegung ergibt sich als Last × Spannweite hoch 4 (bei Einzellast hoch 3) ÷ (Elastizitätsmodul × Flächenträgheitsmoment), multipliziert mit einem Faktor (\(\dfrac{5}{384}\), \(\dfrac{1}{384}\), \(\dfrac{1}{48}\) oder \(\dfrac{1}{192}\)). Das Flächenträgheitsmoment ist Tiefe × Dicke hoch 3 ÷ 12; um die Durchbiegung zu verringern, verkürzt man also die Spannweite (wirkt mit der vierten Potenz) oder erhöht die Dicke (wirkt mit der dritten Potenz). Bei Dauerlast rechnet man wegen des Kriechens mit dem 1,5- bis 2-Fachen und nimmt als Richtwerte das Durchbiegungsverhältnis \(L/300\) bis \(L/200\) und 3 mm. Ob es bricht, prüft man, indem man die Biegespannung \(M/Z\) mit der zulässigen Biegespannung vergleicht; das ist ein Orientierungswert und keine Sicherheitsgarantie.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\delta\)	Die maximale Durchbiegung (mm). Der griechische Buchstabe Delta \(\delta\) steht oft für eine Verschiebung. Auf dieser Seite ist es das Absinken in der Mitte des Regalbodens (auch bei beidseitiger Einspannung und Einzellast in der Mitte). \(\delta_0\) ist die Durchbiegung direkt nach dem Aufbringen der Last, \(\delta_{\text{lang}}\) die Durchbiegung auf Dauer unter Berücksichtigung des Kriechens und \(\delta_a\) die zulässige Durchbiegung (a steht für „allowable“).
\(w\)	Die Last je mm (N/mm). Sie beschreibt die Größe einer Gleichlast und geht auf „weight“ (Gewicht) zurück. Es ist die Gesamtkraft \(W\) auf dem ganzen Regalboden geteilt durch die Spannweite \(L\).
\(W\)	Die Gesamtlast auf dem Regalboden (N). In kg gemessene Gewichte rechnen Sie mit 9,80665 in N um. Die Last je mm ist \(w = W \div L\).
\(P\)	Die Einzellast in der Mitte (N). Ein Symbol für eine Kraft, oft für „load“ (Last) oder „point load“ (Einzellast). In kg gemessene Gewichte rechnen Sie mit 9,80665 in N um.
\(L\)	Die Spannweite (mm). \(L\) steht für „length“ (Länge) und ist der Abstand zwischen zwei Auflagern. Verwendet wird nicht das Außenmaß des Regals, sondern der Abstand zwischen den Innenseiten der Seitenwände (oder zwischen den Regalträgern).
\(E\)	Der Elastizitätsmodul (Längselastizitätsmodul). \(E\) steht für „elasticity“ (Elastizität) und beschreibt den Widerstand des Materials gegen Verformung. Er wird oft in GPa angegeben; in der Rechnung wird er mit \(1\ \mathrm{GPa} = 1.000\ \mathrm{N/mm^2}\) in N/mm² umgerechnet.
\(I\)	Das Flächenträgheitsmoment (mm⁴). \(I\) steht für „moment of inertia of area“ (Flächenträgheitsmoment) und beschreibt die Biegesteifigkeit, die sich aus der Form des Querschnitts ergibt. Bei einem Rechteck ist \(I = \dfrac{b h^3}{12}\).
\(b\)	Die Tiefe des Regalbodens (mm). Sie entspricht der Breite (breadth) des Querschnitts des Balkens und ist das Maß in Richtung der Tiefe der aufgestellten Dinge.
\(h\)	Die Dicke des Regalbodens (mm). Sie entspricht der Höhe (height) des Querschnitts des Balkens. Sie geht mit der dritten Potenz in die Durchbiegung ein und ist das einflussreichste Maß. \(h_{\min}\) ist die nötige Dicke, um die zulässige Durchbiegung einzuhalten.
\(k_c\)	Der Kriechfaktor. \(k_c\) steht für „creep“ (Kriechen) und gibt an, um welchen Faktor die Durchbiegung unter Dauerlast wächst. Standard ist 1 (die Durchbiegung direkt nach dem Aufbringen); bei Holz und Holzwerkstoffen rechnet man oft mit etwa 1,5 bis 2.
\(n\)	Der Nenner des Durchbiegungsverhältnisses \(L/n\). Die Spannweite geteilt durch die Durchbiegung; gelesen: „die Durchbiegung beträgt \(1/n\) der Spannweite“. Bei \(L/300\) ist \(n = 300\).
\(M\)	Das maximale Biegemoment (N·mm). \(M\) steht für „moment“ und beschreibt die Größe der Kraft, die das Brett zu biegen versucht. Bei Gleichlast und gelenkiger Lagerung ist es in der Mitte \(\dfrac{w L^2}{8}\).
\(Z\)	Das Widerstandsmoment (mm³). Die Querschnittsgröße, die man zur Berechnung der Biegespannung braucht; bei einem Rechteck ist \(Z = \dfrac{b h^2}{6}\).
\(\sigma\)	Die Biegespannung (N/mm²). Der griechische Buchstabe Sigma \(\sigma\) steht für eine Spannung (Kraft je Flächeneinheit). Sie ergibt sich als \(\sigma = M \div Z\) und wird mit der zulässigen Biegespannung \(f_b\) verglichen.
\(f_b\)	Der Richtwert für die zulässige Biegespannung (N/mm²). f steht für eine zulässige Spannung (üblicherweise kleines f), der Index b für „bending“ (Biegung). Die Obergrenze der Biegespannung, bei der das Material eine Dauerlast noch sicher trägt; sie ergibt sich aus der Grundfestigkeit des Materials mit einem Sicherheitsbeiwert.
\(\mathrm{N}\)	Die Einheit der Kraft. Ein Gegenstand von 1 kg übt durch die Schwerkraft etwa 9,80665 N aus (\(1\ \mathrm{kgf} = 9{,}80665\ \mathrm{N}\)). Diese Seite rechnet in kg eingegebene Gewichte intern in N um.
\(\mathrm{N/mm^2}\)	Die Einheit für Spannung und Elastizitätsmodul. Sie gibt an, wie viel N Kraft auf 1 mm² wirken; es ist \(1\ \mathrm{N/mm^2} = 1\ \mathrm{MPa}\) (Megapascal). Der Elastizitätsmodul ist \(1\ \mathrm{GPa} = 1.000\ \mathrm{N/mm^2}\).
\(\approx\)	Das Zeichen für „ungefähr gleich“. Es wird verwendet, wenn ein Wert, der nicht aufgeht, als gerundete Dezimalzahl geschrieben wird.

Begriffe

Durchbiegung	Die Strecke, um die sich ein Brett oder ein Stab unter einer seitlichen Kraft biegt und nach unten absinkt (mm). Beim Regalboden sinkt die Mitte am tiefsten, deshalb meint die „maximale Durchbiegung“ auf dieser Seite das Absinken in der Mitte. Eine große Durchbiegung sieht nicht nur schlecht aus, sondern kann auch dazu führen, dass der Regalboden von den Regalträgern rutscht oder eine Schiebetür klemmt.
Balken	Ein langes, schmales Bauteil, das an den Enden aufliegt und Lasten von der Seite aufnimmt, sodass es sich biegt. Regalboden, Lagerholz unter einem Boden und Brückenträger lassen sich alle als Balken berechnen, und die Formeln dieser Seite sind die Grundformeln der „Durchbiegung eines Balkens“ aus der Festigkeitslehre.
Spannweite	Der Abstand zwischen zwei Auflagern (mm). Bei einem Regal ist es der Abstand zwischen den Innenseiten der Seitenwände oder zwischen den Regalträgern, nicht die Gesamtlänge des Regalbodens. Die Durchbiegung ist proportional zur vierten Potenz der Spannweite (bei Einzellast zur dritten); baut man in der Mitte eine Stütze ein und halbiert die Spannweite, sinkt die Durchbiegung auf ein Sechzehntel.
Gleichlast	Eine Last, die gleichmäßig über das ganze Brett verteilt ist. Ein dicht mit Büchern gefülltes Regal oder ein Regal mit Geschirr kommt dem nahe; man gibt sie als Last je mm \(w\) (N/mm) an. Geben Sie die Gesamtlast \(W\) ein, wird mit \(w = W \div L\) gerechnet.
Einzellast	Eine Last, die an einem Punkt angreift, zum Beispiel wenn ein einzelner Fernseher oder ein Aquarium mitten auf dem Regal steht. Bei gleichem Gewicht biegt sich das Brett um das 1,6-Fache stärker durch als bei Gleichlast. Rückt man die Last in die Nähe der Auflager, wird die Durchbiegung viel kleiner.
gelenkig gelagert	Eine Lagerung, bei der beide Enden nur aufliegen und sich frei neigen (drehen) können. Ein beweglicher Einlegeboden auf Regalträgern oder Bodenträgern kommt dem nahe; unter gleichen Bedingungen biegt er sich stärker durch als bei beidseitiger Einspannung. Im Zweifel rechnen Sie auf der sicheren Seite mit dieser Lagerung. Man spricht auch von „Balken auf zwei Stützen“.
beidseitig eingespannt	Eine Lagerung, bei der beide Enden fest so befestigt sind, dass sie sich nicht drehen. Ein fester Boden, der an die Seitenwände geschraubt oder in eine Nut gesetzt ist, kommt dem nahe; die Durchbiegung ist dann nur ein Fünftel (bei Einzellast ein Viertel) des gelenkig gelagerten Falls. Ein wirkliches Regal ist aber nie vollständig eingespannt und liegt zwischen den beiden Fällen.
Elastizitätsmodul	Ein Wert für die Steifigkeit (den Widerstand gegen Verformung) eines Materials, auch E-Modul oder Längselastizitätsmodul genannt. Bei gleicher Form und gleicher Last biegt sich ein Material mit doppeltem Elastizitätsmodul nur halb so stark durch. Als Richtwerte werden üblicherweise genannt: Holz 7 bis 12 GPa, Sperrholz 6 bis 8 GPa, MDF 3 bis 4 GPa, Spanplatte 2 bis 3 GPa, Glas etwa 70 GPa, Aluminium etwa 69 GPa, Stahl etwa 200 GPa. Bei Holz unterscheidet er sich stark in Faserrichtung und quer dazu; diese Seite verwendet den Wert in Längsrichtung (Faserrichtung) des Regalbodens.
Flächenträgheitsmoment	Eine Größe, die angibt, wie gut die Form des Querschnitts der Biegung widersteht (Biegesteifigkeit); Einheit mm⁴. Bei einem Rechteck Tiefe × Dicke hoch 3 ÷ 12; bei doppelter Dicke ist sie achtmal so groß. Bei gleichem Material und gleicher Menge wird sie größer, je „hochkantiger“ der Querschnitt genutzt wird (deshalb biegt sich ein Brett hochkant stehend weniger durch als flach liegend).
Widerstandsmoment	Eine Querschnittsgröße, die man zur Berechnung der Biegespannung braucht; Einheit mm³. Es ist das Flächenträgheitsmoment geteilt durch den Abstand von der neutralen Faser zur Oberfläche (bei einem Rechteck die halbe Dicke); bei einem Rechteck ist es Tiefe × Dicke hoch 2 ÷ 6.
neutrale Faser	Wird ein Brett gebogen, wird die Oberseite gestaucht und die Unterseite gedehnt, dazwischen gibt es aber eine Fläche ohne Dehnung und Stauchung. Sie heißt neutrale Faser (Nulllinie) und liegt bei einem Rechteck genau in der Mitte der Dicke. Teile, die weit von ihr entfernt sind, werden stärker gedehnt oder gestaucht und widerstehen der Biegung stärker.
Biegemoment	Die Größe der Kraft, die das Brett zu biegen versucht (N·mm). Sie ergibt sich als „Kraft × Abstand vom Auflager“ und ist bei einem Regalboden mit Gleichlast und gelenkiger Lagerung in der Mitte am größten, \(\dfrac{w L^2}{8}\). Bei beidseitiger Einspannung ist es an den Enden am größten.
Biegespannung	Die Kraft je Flächeneinheit (N/mm²), die durch die Biegung an der Oberfläche (Ober- und Unterseite) des Materials entsteht. Sie ergibt sich aus Biegemoment ÷ Widerstandsmoment; übersteigt sie die zulässige Biegespannung des Materials nicht, gilt das als Richtwert dafür, dass es nicht bricht.
zulässige Biegespannung	Ein Richtwert (N/mm²) für die Biegespannung, bei der das Material eine Dauerlast noch sicher trägt. Er ergibt sich aus der Grundfestigkeit des Materials geteilt durch einen Sicherheitsbeiwert; bei Holz nennt man auf Dauer üblicherweise etwa 8 bis 10 N/mm². Er ändert sich stark mit Güte, Ästen, Holzfeuchte und Produkt; der Wert auf dieser Seite ist ein Orientierungswert und keine Sicherheitsgarantie.
Kriechen	Die Erscheinung, dass eine dauerhaft wirkende Last die Verformung mit der Zeit allmählich weiter vergrößert. Es tritt bei Holz, Sperrholz, MDF, Spanplatte und anderen Holzwerkstoffen deutlich auf; die Durchbiegung auf Dauer ist oft das 1,5- bis 2-Fache der Durchbiegung direkt nach dem Aufbringen. Hohe Feuchte verstärkt es. Bei Stahl und Glas ist es bei Raumtemperatur praktisch vernachlässigbar.
Durchbiegungsverhältnis	Die Spannweite geteilt durch die Durchbiegung (\(L/\delta\)); es gibt an, welcher Bruchteil der Spannweite die Durchbiegung ist. In der Praxis werden oft \(L/300\) (ein Dreihundertstel der Spannweite) als Wert genannt, bei dem sie kaum auffällt, und \(L/200\) als Wert, der je nach Verwendung stört. Es ist keine Sicherheitsgrenze, sondern ein Erfahrungswert für Aussehen und Gebrauch.
Leimholz	Ein Werkstoff, bei dem schmale Holzlamellen mit gleicher Faserrichtung zu einer großen Platte verleimt sind. Er ist ein Standard für Regalböden im Baumarkt, meist aus Kiefer. Er verzieht sich weniger als Vollholz und ist gleichmäßiger in der Qualität, aber sein Elastizitätsmodul weicht nicht stark von dem der ursprünglichen Holzart ab.
MDF	Ein Holzwerkstoff, bei dem Holzfasern mit Harz zu einer Platte gepresst sind (mitteldichte Faserplatte, engl. Medium Density Fiberboard). Die Oberfläche ist glatt und lässt sich gut bearbeiten, aber der Elastizitätsmodul beträgt weniger als die Hälfte von Holz (3 bis 4 GPa), es biegt sich leichter durch, und das Kriechen ist eher groß. Bei gleicher Dicke biegt es sich stärker durch als Leimholz.
Spanplatte	Ein Holzwerkstoff, bei dem Holzspäne mit Harz zu einer Platte gepresst sind; er wird oft als Regalboden von Bausatzmöbeln mit Melaminharzbeschichtung verwendet. Der Elastizitätsmodul ist mit 2 bis 3 GPa niedrig und die Festigkeit gering, sodass sie bei Durchbiegung und Tragfähigkeit im Nachteil ist. Für lange Regalböden und schwere Bücher ist sie nicht geeignet.
N (Newton)	Die Einheit der Kraft. Ein Gegenstand von 1 kg übt durch die Schwerkraft etwa 9,80665 N aus. Diese Seite rechnet in kg eingegebene Gewichte mit 9,80665 in N um und rechnet mit der Einheit der Kraft.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengefasst, was Sie vorab verstehen sollten, um die Berechnungen dieser Seite wirklich zu verstehen und sicher anzuwenden.
Wenn Sie an einer Stelle hängen bleiben, ist das Zurückgehen zu den Inhalten dieser Tabelle der kürzeste Weg.

Potenzrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Rechnungen wie \(18^3 = 18 \times 18 \times 18 = 5.832\) ausführen können, bei denen dieselbe Zahl mehrfach multipliziert wird Die unterschiedliche Wirkung von Potenzen vergleichen können: „doppelte Dicke, dritte Potenz, also das Achtfache“, „doppelte Spannweite, vierte Potenz, also das Sechzehnfache“
Proportionale und antiproportionale Zuordnungen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Die Beziehungen kennen: „doppelte Last, doppelte Durchbiegung (proportional)“ und „doppelter Elastizitätsmodul, halbe Durchbiegung (antiproportional)“ Bei einem Bruch „was im Zähler steht, ist proportional, was im Nenner steht, antiproportional“ lesen können
Terme und Umformen von Gleichungen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Zahlen in Formeln wie \(\delta = \dfrac{5 w L^4}{384 E I}\) einsetzen können Eine Formel umstellen können, wenn \(\delta\) bekannt ist und \(L\) gesucht wird, zu \(L^4 = \cdots\) (Rückwärtsrechnen)
Quadratwurzeln und höhere Wurzeln (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass \(\sqrt[4]{x}\) (vierte Wurzel) die Zahl ist, die hoch 4 \(x\) ergibt, und \(\sqrt[3]{x}\) (dritte Wurzel) die Zahl, die hoch 3 \(x\) ergibt Wissen, dass sich die vierte Wurzel als „Wurzel aus der Wurzel“ berechnen lässt (\(\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}\))
Zehnerpotenzen und Rechnen mit großen Zahlen (Klasse 9–10, Physik ab Klasse 8, 14–16 Jahre)	Mit großen Zahlen in der Schreibweise \(4{,}096 \times 10^{11}\) umgehen, multiplizieren und dividieren können Einheiten umrechnen können, etwa \(1\ \mathrm{GPa} = 1.000\ \mathrm{N/mm^2}\) und \(1\ \mathrm{kgf} = 9{,}80665\ \mathrm{N}\)
Kraft und Druck, Hookesches Gesetz (Physik, Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Die Einheit der Kraft N (Newton) kennen und wissen, wie sie mit der Schwerkraft auf eine Masse in kg zusammenhängt (etwa 9,8 N/kg) Den Gedanken des Hookeschen Gesetzes „Kraft und Verformung sind proportional“ kennen (der Elastizitätsmodul ist seine Materialversion) Wissen, dass Druck und Spannung „Kraft je Flächeneinheit“ sind

Mit Excel berechnen

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Tabelle zur Berechnung von Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment

Tiefe des Regalbodens b (mm)	250
Dicke des Regalbodens h (mm)	18
Flächenträgheitsmoment I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Widerstandsmoment Z (mm³)	=B1*B2^2/6

Tabelle zur Berechnung der maximalen Durchbiegung (Gleichlast, gelenkig gelagert)

Tiefe des Regalbodens b (mm)	250
Dicke des Regalbodens h (mm)	18
Spannweite L (mm)	900
Elastizitätsmodul E (GPa)	9
Gesamtlast W (kg)	30
Kriechfaktor k_c	1
Flächenträgheitsmoment I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Last je mm w (N/mm)	=B5*9,80665/B3
Maximale Durchbiegung δ (mm)	=5B8B3^4/(384B41000B7)B6
Nenner n des Durchbiegungsverhältnisses L/δ	=B3/B9

Tabelle zur Berechnung der maximalen Durchbiegung (Einzellast in der Mitte, gelenkig gelagert)

Tiefe des Regalbodens b (mm)	300
Dicke des Regalbodens h (mm)	25
Spannweite L (mm)	800
Elastizitätsmodul E (GPa)	11
Einzellast P in der Mitte (kg)	20
Flächenträgheitsmoment I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Maximale Durchbiegung δ (mm)	=B59,80665B3^3/(48B41000*B6)

Tabelle zum Rückwärtsrechnen: maximale Spannweite und maximale Last (Gleichlast, gelenkig gelagert)

Tiefe des Regalbodens b (mm)	250
Dicke des Regalbodens h (mm)	18
Elastizitätsmodul E (GPa)	9
Last je Meter w (kg/m)	25
Zulässige Durchbiegung δa (mm)	3
Kriechfaktor k_c	1
Spannweite L (mm, für die Berechnung der maximalen Last)	900
Flächenträgheitsmoment I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Maximale Spannweite L_max (mm)	=(384B31000B8B5/(5B49,80665/1000*B6))^(1/4)
Maximale Last w_max (kg/m)	=384B31000B8B5/(5B6B7^4)*1000/9,80665

Tabelle zur Berechnung der Biegespannung (Gleichlast, gelenkig gelagert)

Tiefe des Regalbodens b (mm)	250
Dicke des Regalbodens h (mm)	18
Spannweite L (mm)	900
Gesamtlast W (kg)	30
Richtwert für die zulässige Biegespannung f_b (N/mm²)	9
Widerstandsmoment Z (mm³)	=B1*B2^2/6
Maximales Biegemoment M (N·mm)	=B49,80665/B3B3^2/8
Biegespannung σ (N/mm²)	=B7/B6
Anteil an der zulässigen Biegespannung (%)	=B8/B5*100

Nach dem Einfügen ist die obere Zeile der Spalte B jeweils ein Eingabefeld, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
Die 1. Tabelle enthält eine Tiefe von 250 mm und eine Dicke von 18 mm: B3 ist 121500 (mm⁴) und B4 ist 13500 (mm³). Die 2. Tabelle enthält Kiefer-Leimholz (9 GPa), 900 mm Spannweite und insgesamt 30 kg: B9 ist etwa 2,55 (mm) und B10 etwa 352 (die Durchbiegung beträgt 1/352 der Spannweite). Bei beidseitiger Einspannung streichen Sie in der Formel von B9 das „5*“, sodass sie „=B8*B3^4/(384*B4*1000*B7)*B6“ lautet.
Die 3. Tabelle enthält Eiche (11 GPa), 800 mm Spannweite und 20 kg in der Mitte: B7 ist etwa 0,49 (mm). Bei beidseitiger Einspannung ersetzen Sie „48“ durch „192“. Die 4. Tabelle betrifft eine zulässige Durchbiegung von 3 mm und 25 kg je Meter: B9 ist etwa 1006,8 (mm; der Rechner rundet auf der sicheren Seite ab und zeigt 1.006 an) und B10 etwa 39,16 (kg/m; der Rechner rundet auf 0,1 ab und zeigt 39,1 an). Die 5. Tabelle betrifft die Biegespannung: B8 ist etwa 2,45 (N/mm²) und B9 etwa 27 (%).
„^“ ist die Potenz (B2^3 ist die Dicke hoch 3), „*“ die Multiplikation und „/“ die Division. Der Elastizitätsmodul wird in GPa eingegeben und in der Formel mit 1000 in N/mm² umgerechnet.

Mit Google Tabellen berechnen

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Tabelle zur Berechnung von Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment

Tiefe des Regalbodens b (mm)	250
Dicke des Regalbodens h (mm)	18
Flächenträgheitsmoment I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Widerstandsmoment Z (mm³)	=B1*B2^2/6

Tabelle zur Berechnung der maximalen Durchbiegung (Gleichlast, gelenkig gelagert)

Tiefe des Regalbodens b (mm)	250
Dicke des Regalbodens h (mm)	18
Spannweite L (mm)	900
Elastizitätsmodul E (GPa)	9
Gesamtlast W (kg)	30
Kriechfaktor k_c	1
Flächenträgheitsmoment I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Last je mm w (N/mm)	=B5*9,80665/B3
Maximale Durchbiegung δ (mm)	=5B8B3^4/(384B41000B7)B6
Nenner n des Durchbiegungsverhältnisses L/δ	=B3/B9

Tabelle zur Berechnung der maximalen Durchbiegung (Einzellast in der Mitte, gelenkig gelagert)

Tiefe des Regalbodens b (mm)	300
Dicke des Regalbodens h (mm)	25
Spannweite L (mm)	800
Elastizitätsmodul E (GPa)	11
Einzellast P in der Mitte (kg)	20
Flächenträgheitsmoment I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Maximale Durchbiegung δ (mm)	=B59,80665B3^3/(48B41000*B6)

Tabelle zum Rückwärtsrechnen: maximale Spannweite und maximale Last (Gleichlast, gelenkig gelagert)

Tiefe des Regalbodens b (mm)	250
Dicke des Regalbodens h (mm)	18
Elastizitätsmodul E (GPa)	9
Last je Meter w (kg/m)	25
Zulässige Durchbiegung δa (mm)	3
Kriechfaktor k_c	1
Spannweite L (mm, für die Berechnung der maximalen Last)	900
Flächenträgheitsmoment I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Maximale Spannweite L_max (mm)	=(384B31000B8B5/(5B49,80665/1000*B6))^(1/4)
Maximale Last w_max (kg/m)	=384B31000B8B5/(5B6B7^4)*1000/9,80665

Tabelle zur Berechnung der Biegespannung (Gleichlast, gelenkig gelagert)

Tiefe des Regalbodens b (mm)	250
Dicke des Regalbodens h (mm)	18
Spannweite L (mm)	900
Gesamtlast W (kg)	30
Richtwert für die zulässige Biegespannung f_b (N/mm²)	9
Widerstandsmoment Z (mm³)	=B1*B2^2/6
Maximales Biegemoment M (N·mm)	=B49,80665/B3B3^2/8
Biegespannung σ (N/mm²)	=B7/B6
Anteil an der zulässigen Biegespannung (%)	=B8/B5*100

Die Formeln funktionieren wie in Excel (auch die Potenz „^“ ist dieselbe). Kopieren Sie die Tabelle als Ganzes, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

# Den Regalboden als „an beiden Enden aufliegenden Balken“ betrachten und die maximale Durchbiegung berechnen (Einheiten: mm, kg, GPa)
depth_mm = 250            # Tiefe b des Regalbodens (mm)
thickness_mm = 18         # Dicke h des Regalbodens (mm)
span_mm = 900             # Spannweite L (Abstand der Auflager, mm)
young_gpa = 9             # Elastizitätsmodul E (GPa). Richtwert für Kiefer-Leimholz
load_kg = 30              # Gesamtlast W (kg). Gleichmäßig verteilt
creep_factor = 1          # Kriechfaktor (bei Dauerlast etwa 1,5 bis 2)
support = "simple"        # "simple" = auf Regalträgern aufgelegt (gelenkig gelagert), "fixed" = beidseitig eingespannt
allow_stress = 9          # Richtwert für die zulässige Biegespannung f_b (N/mm²)

GRAVITY = 9.80665         # 1 kgf = 9.80665 N
young = young_gpa * 1000  # GPa → N/mm²
inertia = depth_mm * thickness_mm ** 3 / 12          # Flächenträgheitsmoment I (mm⁴)
section_modulus = depth_mm * thickness_mm ** 2 / 6   # Widerstandsmoment Z (mm³)
load_n_per_mm = load_kg * GRAVITY / span_mm          # Last je mm w (N/mm)

# Maximale Durchbiegung bei Gleichlast: gelenkig gelagert 5wL⁴/(384EI), beidseitig eingespannt wL⁴/(384EI)
coef = 5 / 384 if support == "simple" else 1 / 384
deflection = coef * load_n_per_mm * span_mm ** 4 / (young * inertia)
deflection_long = deflection * creep_factor
ratio_n = span_mm / deflection_long
print(f"Flächenträgheitsmoment I = {inertia:,.1f} mm⁴")
print(f"Maximale Durchbiegung = {deflection:.2f} mm (auf Dauer {deflection_long:.2f} mm, Durchbiegungsverhältnis L/{ratio_n:.0f})")

# Biegespannung (zur Orientierung): M = wL²/8 (gelenkig gelagert) oder wL²/12 (beidseitig eingespannt), σ = M/Z
moment = load_n_per_mm * span_mm ** 2 / (8 if support == "simple" else 12)
stress = moment / section_modulus
print(f"Biegespannung = {stress:.2f} N/mm² ({stress / allow_stress * 100:.1f} % des Richtwerts für die zulässige Biegespannung von {allow_stress}, zur Orientierung)")

# Rückwärts: maximale Spannweite, bei der die Durchbiegung höchstens allow_mm beträgt (Gleichlast, load_kg_per_m je Meter), und maximale Last
allow_mm = 3
load_kg_per_m = 25
w = load_kg_per_m * GRAVITY / 1000                   # kg/m → N/mm
span_max = (384 * young * inertia * allow_mm / (5 * w * creep_factor)) ** 0.25
w_max = 384 * young * inertia * allow_mm / (5 * creep_factor * span_mm ** 4)
# Das Ergebnis des Rückwärtsrechnens wird auf der sicheren Seite abgerundet (maximale Spannweite auf 1 mm, maximale Last auf 0,1)
span_max_floor = int(span_max)
w_max_kg_per_m_floor = int(w_max * 1000 / GRAVITY * 10) / 10
print(f"Maximale Spannweite für die zulässige Durchbiegung {allow_mm} mm = {span_max_floor} mm ({load_kg_per_m} kg je Meter, auf 1 mm abgerundet)")
print(f"Maximale Last bei {span_mm} mm Spannweite = {w_max_kg_per_m_floor} kg/m (auf 0,1 abgerundet)")

Das Programm kommt mit der Standardbibliothek aus. Ersetzen Sie am Anfang Maße, Elastizitätsmodul und Last durch Ihre eigenen Zahlen und führen Sie das Programm aus. Für eine Einzellast in der Mitte ersetzen Sie die Zeile der Durchbiegung durch „load_kg * GRAVITY * span_mm ** 3 / (48 * young * inertia)“ (bei beidseitiger Einspannung 192) und das Biegemoment durch „load_kg * GRAVITY * span_mm / 4“ (bei beidseitiger Einspannung 8). „** 3“ ist die dritte Potenz; mit einem Exponenten von einem Viertel (in der Zeile span_max des Programms) wird die vierte Wurzel gezogen.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment (die „Biegesteifigkeit“ des Querschnitts des Regalbodens)

I = b × h³ ÷ 12,  Z = b × h² ÷ 6

I = \frac{b h^{3}}{12},\quad Z = \frac{b h^{2}}{6}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>I</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>b</mi><msup><mi>h</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>12</mn></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>Z</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>b</mi><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>6</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

I = (b h^3) / 12,  Z = (b h^2) / 6

{b*h^3/12, b*h^2/6}

Iz := b*h^3/12;  Z := b*h^2/6;

I = b*h^3/12;  Z = b*h^2/6;  % b ist die Tiefe (mm), h die Dicke (mm)

I = b h^3/12,  Z = b h^2/6

Maximale Durchbiegung (gleichmäßig über das ganze Brett verteilte Last = Gleichlast)

δ = 5 × w × L⁴ ÷ (384 × E × I) [gelenkig gelagert],  δ = w × L⁴ ÷ (384 × E × I) [beidseitig eingespannt]

\delta = \frac{5 w L^{4}}{384 E I}\ \text{(simply supported)},\quad \delta = \frac{w L^{4}}{384 E I}\ \text{(fixed ends)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>δ</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>δ</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

delta = (5 w L^4) / (384 E I),  delta = (w L^4) / (384 E I)

{5*w*L^4/(384*Ey*Iz), w*L^4/(384*Ey*Iz)}

delta_simple := 5*w*L^4/(384*E*Iz);  delta_fixed := w*L^4/(384*E*Iz);

delta_simple = 5*w*L^4/(384*E*I);  delta_fixed = w*L^4/(384*E*I);  % w in N/mm, L in mm, E in N/mm^2, I in mm^4

δ = 5 w L^4/(384 E I),  δ = w L^4/(384 E I)

Maximale Durchbiegung (Last, die in der Mitte konzentriert ist = Einzellast)

δ = P × L³ ÷ (48 × E × I) [gelenkig gelagert],  δ = P × L³ ÷ (192 × E × I) [beidseitig eingespannt]

\delta = \frac{P L^{3}}{48 E I}\ \text{(simply supported)},\quad \delta = \frac{P L^{3}}{192 E I}\ \text{(fixed ends)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>δ</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>P</mi><msup><mi>L</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>48</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>δ</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>P</mi><msup><mi>L</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>192</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

delta = (P L^3) / (48 E I),  delta = (P L^3) / (192 E I)

{P*L^3/(48*Ey*Iz), P*L^3/(192*Ey*Iz)}

delta_simple := P*L^3/(48*E*Iz);  delta_fixed := P*L^3/(192*E*Iz);

delta_simple = P*L^3/(48*E*I);  delta_fixed = P*L^3/(192*E*I);  % P in N, L in mm, E in N/mm^2, I in mm^4

δ = P L^3/(48 E I),  δ = P L^3/(192 E I)

Durchbiegung auf Dauer (Kriechen) und Durchbiegungsverhältnis L/δ

δ_lang = k_c × δ₀,  n = L ÷ δ_lang

\delta_{\mathrm{long}} = k_c \, \delta_0,\quad n = \frac{L}{\delta_{\mathrm{long}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>δ</mi><mi>long</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub><msub><mi>δ</mi><mn>0</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>n</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>L</mi><msub><mi>δ</mi><mi>long</mi></msub></mfrac>
  </mrow>
</math>

delta_(long) = k_c * delta_0,  n = L / delta_(long)

{kc*delta0, L/(kc*delta0)}

delta_long := kc*delta0;  n := L/delta_long;

delta_long = kc*delta0;  n = L/delta_long;  % kc ist der Kriechfaktor, delta0 die Durchbiegung direkt nach dem Aufbringen (mm)

δ_long = k_c δ_0,  n = L/δ_long

Rückwärts (aus der zulässigen Durchbiegung die maximale Spannweite und die maximale Last berechnen)

L_max = (384 × E × I × δ_a ÷ (5 × w × k_c))^(1/4),  w_max = 384 × E × I × δ_a ÷ (5 × k_c × L⁴)

L_{\max} = \sqrt[4]{\frac{384 E I \delta_a}{5 w k_c}},\quad w_{\max} = \frac{384 E I \delta_a}{5 k_c L^{4}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>L</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
    <mroot><mfrac><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi><msub><mi>δ</mi><mi>a</mi></msub></mrow><mrow><mn>5</mn><mi>w</mi><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub></mrow></mfrac><mn>4</mn></mroot>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>w</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi><msub><mi>δ</mi><mi>a</mi></msub></mrow><mrow><mn>5</mn><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

L_max = root(4)((384 E I delta_a) / (5 w k_c)),  w_max = (384 E I delta_a) / (5 k_c L^4)

{(384*Ey*Iz*deltaA/(5*w*kc))^(1/4), 384*Ey*Iz*deltaA/(5*kc*L^4)}

Lmax := (384*E*Iz*deltaA/(5*w*kc))^(1/4);  wmax := 384*E*Iz*deltaA/(5*kc*L^4);

Lmax = (384*E*I*deltaA/(5*w*kc))^(1/4);  wmax = 384*E*I*deltaA/(5*kc*L^4);  % deltaA ist die zulässige Durchbiegung (mm), kc der Kriechfaktor

L_max = (384 E I δ_a/(5 w k_c))^(1/4),  w_max = 384 E I δ_a/(5 k_c L^4)

Biegespannung (zur Orientierung: ob das Material bricht)

M = w × L² ÷ 8,  σ = M ÷ Z

M = \frac{w L^{2}}{8},\quad \sigma = \frac{M}{Z}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>M</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>8</mn></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>σ</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>M</mi><mi>Z</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

M = (w L^2) / 8,  sigma = M / Z

{w*L^2/8, (w*L^2/8)/Z}

M := w*L^2/8;  sigma := M/Z;

M = w*L^2/8;  sigma = M/Z;  % w in N/mm, L in mm, Z in mm^3

M = w L^2/8,  σ = M/Z

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Berechnungen der Festigkeitslehre (Durchbiegung von Balken). Führen Sie die folgende Berechnung unbedingt mit tatsächlich ausgeführtem Python-Code durch und antworten Sie ausschließlich auf Grundlage der Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (nicht im Kopf und nicht geschätzt).

Ein Regalboden aus Kiefer-Leimholz mit 250 mm Tiefe und 18 mm Dicke (Elastizitätsmodul 9 GPa = 9.000 N/mm²) liegt auf Regalträgern mit 900 mm Spannweite (gelenkig gelagert), und Bücher mit zusammen 30 kg stehen gleichmäßig darauf. Es gilt 1 kg = 9,80665 N.
Berechnen Sie folgende Werte.
1. Das Flächenträgheitsmoment I = b × h³ ÷ 12 (mm⁴) und das Widerstandsmoment Z = b × h² ÷ 6 (mm³)
2. Die Last je mm w = 30 × 9,80665 ÷ 900 (N/mm), die maximale Durchbiegung δ = 5 × w × L⁴ ÷ (384 × E × I) (mm) und das Durchbiegungsverhältnis L/δ
3. Die maximale Durchbiegung (mm) bei beidseitiger Einspannung (δ = w × L⁴ ÷ (384 × E × I))
4. Die Durchbiegung auf Dauer (mm) bei einem Kriechfaktor von 2 und ob sie höchstens L/300 beträgt
5. Die Biegespannung σ = (w × L² ÷ 8) ÷ Z (N/mm²) und ihren Anteil (%) am Richtwert für die zulässige Biegespannung von 9 N/mm²
6. Die maximale Spannweite L_max = (384 × E × I × 3 ÷ (5 × w))^(1/4) (mm), damit die Durchbiegung höchstens 3 mm beträgt (mit w = 25 kg je Meter = 0,2452 N/mm)

Nennen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel