Kegelschnitte berechnen – Brennpunkte, Leitlinie und Exzentrizität von Ellipse, Hyperbel und Parabel
Wählen Sie die Art der Kurve und geben Sie die Nenner (Ellipse, Hyperbel) bzw. den Koeffizienten des linearen Glieds (Parabel) ein. Der Rechner bestimmt Brennpunkte, Scheitel und Exzentrizität, bei der Hyperbel auch die Asymptoten und bei der Parabel die Leitlinie.
Möglich sind Dezimalzahlen und Brüche wie 3/4. Geben Sie für a² und b² die Zahl ein, die unter x² bzw. y² steht, nicht den Wert von a oder b (bei x²/9 also 9). Ein leeres Feld zählt als 1 (ein nicht geschriebener Nenner oder Koeffizient ist 1).
Ergebnis und Graph
Wählen Sie links die Art der Kurve, geben Sie die Zahlen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Brennpunkte, Exzentrizität und weitere Ergebnisse erscheinen dann hier zusammen mit einem Graphen.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Brennpunkte der Ellipse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
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Brennpunkte und Asymptoten der Hyperbel (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
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Brennpunkt und Leitlinie der Parabel (\(y^{2} = 4px\))
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Exzentrizität \(e\) (eine Zahl, die die Form der Kurve beschreibt)
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Das können Sie auf dieser Seite
- Sie geben nur die Nenner bzw. den Koeffizienten ein und erhalten sofort Brennpunkte, Scheitel und Exzentrizität der Ellipse \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), der Hyperbel \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) oder der Parabel \(y^{2} = 4px\) (auch \(x^{2} = 4py\))
- Die Ergebnisse stehen als exakte Werte mit \(\sqrt{\ }\) wie \(\left(\pm\sqrt{5} \,|\, 0\right)\) und als Dezimalzahlen da. Sie sehen auch den Rechenweg, der die Brennpunkte aus \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) bestimmt
- Bei der Hyperbel erhalten Sie zusätzlich die Asymptoten, bei der Parabel die Leitlinie. Kurve, Brennpunkte, Asymptoten, Leitlinie und Scheitel werden in einen Graphen gezeichnet
- Die Definitionen aus dem Schulbuch – „die Summe (bzw. Differenz) der Abstände zu den beiden Brennpunkten ist konstant“ und „gleicher Abstand vom Brennpunkt und von der Leitlinie“ – können Sie am Graphen nachprüfen
- Auf dieser Seite finden Sie außerdem eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Die Seite behandelt die Normalform mit dem Mittelpunkt (bei der Parabel dem Scheitel) im Ursprung. Verschobene Gleichungen wie \(\dfrac{(x-1)^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1\) werden nicht unterstützt. Liegende und stehende Ellipsen, nach links und rechts oder nach oben und unten geöffnete Hyperbeln sowie nach rechts, links, oben oder unten geöffnete Parabeln sind möglich.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Bahnen von Planeten und Kometen vorhersagen (Astronomie und Raumfahrt)
Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht (erstes Keplersches Gesetz). Die Erdbahn hat eine Exzentrizität von etwa 0,017 und ist damit fast ein Kreis. Der Halleysche Komet dagegen folgt einer lang gestreckten Ellipse mit einer Exzentrizität von etwa 0,97 und kehrt rund alle 76 Jahre zur Sonne zurück.
Dieselbe Mathematik ist die Grundlage für die Bahnplanung von Satelliten und Raumsonden; die Bahnform (Ellipse, Parabel oder Hyperbel) wird über die Exzentrizität eingeordnet. Verlässt eine Sonde das Schwerefeld eines Planeten, ist ihre Bahn eine Hyperbel.
Satellitenschüsseln und Scheinwerfer konstruieren (Funk und Optik)
Eine Fläche, die durch Drehen einer Parabel um ihre Achse entsteht (ein Paraboloid), hat diese Eigenschaft: Funkwellen oder Licht, die parallel zur Achse einfallen, werden alle in den Brennpunkt reflektiert. Eine Satellitenschüssel bündelt so schwache Signale aus dem All im Empfänger (LNB), der im Brennpunkt sitzt.
Autoscheinwerfer und Suchscheinwerfer nutzen das umgekehrt: Licht einer Lampe im Brennpunkt wird zu einem geraden Strahl parallel zur Achse. Die Lage des Brennpunkts (das \(p\), das diese Seite berechnet) ist der Schlüssel der Konstruktion.
Nierensteine mit Stoßwellen zertrümmern (Medizin)
Eine Ellipse hat diese Eigenschaft: Eine Welle, die von einem Brennpunkt ausgeht, wird an der Ellipse reflektiert und sammelt sich im anderen Brennpunkt. Die extrakorporale Stoßwellenlithotripsie (ESWL) erzeugt eine Stoßwelle in einem Brennpunkt eines ellipsenförmigen Reflektors und richtet den anderen Brennpunkt auf den Nierenstein im Körper aus – der Stein zerfällt ohne Operation.
Die genaue Lage der Brennpunkte zu kennen, entscheidet direkt über die Präzision der Behandlung.
Fangspiegel in Teleskopen und Antennen (optische Konstruktion)
Ein Cassegrain-Spiegelteleskop kombiniert einen paraboloidförmigen Hauptspiegel mit einem hyperboloidförmigen Fangspiegel. Es nutzt eine Eigenschaft des Hyperboloids – „Licht, das auf einen Brennpunkt zuläuft, wird reflektiert und sammelt sich im anderen Brennpunkt“ –, um das Licht zum Okular am hinteren Ende des Tubus zu lenken.
Große Radioteleskope und Antennen für die Satellitenkommunikation sind meist ebenso aufgebaut. In einem einzigen Gerät arbeiten so die Brennpunkt-Eigenschaften von Ellipse, Hyperbel und Parabel zusammen.
Position aus Laufzeitunterschieden von Funksignalen bestimmen (Navigation)
Manche Ortungsverfahren nutzen direkt die Definition der Hyperbel: „die Punkte, deren Abstände zu zwei festen Punkten sich um eine Konstante unterscheiden“. Bei der Hyperbelnavigation wie LORAN oder dem Decca-System bestimmten Schiffe und Flugzeuge aus dem Laufzeitunterschied der Signale zweier Sender, auf welcher Hyperbel sie sich befinden, und fanden ihre Position im Schnittpunkt mit einer zweiten Hyperbel eines anderen Senderpaars.
Heute hat GPS diese Systeme ersetzt, aber die Idee, eine Position aus Zeitunterschieden einzugrenzen, lebt weiter – etwa bei der Ortung eines Mobiltelefons bei einem Notruf.
Gekrümmte Tragwerke im Bauwesen (Kühltürme und Brückenseile)
Viele große Kühltürme von Kraftwerken haben die Form eines Hyperboloids, das durch Drehen einer Hyperbel entsteht. Diese gekrümmte Fläche lässt sich allein aus schräg gestellten geraden Stäben aufbauen und ist trotzdem stabil und materialsparend.
Das Tragseil einer Hängebrücke bildet eine Parabel, wenn das Gewicht der Fahrbahn gleichmäßig über die Waagerechte verteilt ist. (Ein Seil, das nur unter seinem Eigengewicht hängt, bildet eine ähnlich aussehende, aber andere Kurve, die Kettenlinie.) In Konstruktionszeichnungen legen Gleichungen in Normalform wie auf dieser Seite solche Formen fest.
Formeln und Abbildungen
Brennpunkte der Ellipse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(-\)
\(b^{2}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(c^{2}\): Quadrat des Abstands vom Mittelpunkt zum Brennpunkt
\(=\)
①
\(a^{2}\): Nenner unter \(x^{2}\) (Quadrat der halben Hauptachse)
\(-\)
②
\(b^{2}\): Nenner unter \(y^{2}\) (Quadrat der halben Nebenachse)
Die Formel in Worten
①
Vom
Nenner \(a^{2}\) unter \(x^{2}\)
②
den
Nenner \(b^{2}\) unter \(y^{2}\)
③
abziehen – das ergibt das
Quadrat des Abstands \(c\) vom Mittelpunkt zum Brennpunkt
(die Brennpunkte sind die beiden Punkte \((\pm c \,|\, 0)\) auf der \(x\)-Achse)
Einfaches Beispiel
Die Brennpunkte von \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a^{2} = 25\), \(b^{2} = 9\)) sind
Abstand \(c\) zum Brennpunkt, quadriert
\(=\)
Nenner unter \(x^{2}\) (25)
\(-\)
Nenner unter \(y^{2}\) (9)
\(c^{2} = 25 - 9 = 16\)
\(c = \sqrt{16} = 4\)
\(F(4 \,|\, 0),\quad F'(-4 \,|\, 0)\)
Der Grundgedanke
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, deren Abstände zu den beiden Brennpunkten zusammen immer dieselbe Zahl ergeben (\(= 2a\)). Stecken Sie zwei Nadeln in ein Brett, legen Sie eine Fadenschlinge darum, halten Sie den Faden mit einem Bleistift straff und fahren Sie herum: Es entsteht eine Ellipse (die „Gärtnerkonstruktion“). Genau das ist die Definition.
Ist der Nenner unter \(x^{2}\) größer, liegt die Ellipse, und die Brennpunkte sind \((\pm c \,|\, 0)\) auf der \(x\)-Achse. Ist der Nenner unter \(y^{2}\) größer, steht die Ellipse, es gilt \(c^{2} = b^{2} - a^{2}\), und die Brennpunkte wandern nach \((0 \,|\, \pm c)\) auf die \(y\)-Achse. Merken Sie sich „größerer Nenner minus kleinerer Nenner“, dann verwechseln Sie die Richtung nicht.
Ist \(a^{2} = b^{2}\), so ist \(c = 0\): Die beiden Brennpunkte fallen im Mittelpunkt zusammen, und die Ellipse ist ein Kreis. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.
Brennpunkte und Asymptoten der Hyperbel (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(+\)
\(b^{2}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(c^{2}\): Quadrat des Abstands vom Mittelpunkt zum Brennpunkt
\(=\)
①
\(a^{2}\): Nenner unter \(x^{2}\) (Quadrat des Abstands zum Scheitel)
\(+\)
②
\(b^{2}\): Nenner unter \(y^{2}\)
Die Formel in Worten
①
Zum
Nenner \(a^{2}\) unter \(x^{2}\)
②
den
Nenner \(b^{2}\) unter \(y^{2}\)
③
addieren – das ergibt das
Quadrat des Abstands \(c\) vom Mittelpunkt zum Brennpunkt
(die Brennpunkte sind die beiden Punkte \((\pm c \,|\, 0)\) auf der \(x\)-Achse)
Einfaches Beispiel
Die Brennpunkte von \(\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{16} = 1\) (\(a^{2} = 9\), \(b^{2} = 16\)) sind
Abstand \(c\) zum Brennpunkt, quadriert
\(=\)
Nenner unter \(x^{2}\) (9)
\(+\)
Nenner unter \(y^{2}\) (16)
\(c^{2} = 9 + 16 = 25\)
\(c = \sqrt{25} = 5\)
\(F(5 \,|\, 0),\quad F'(-5 \,|\, 0)\)
Der Grundgedanke
Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, deren Abstände zu den beiden Brennpunkten sich immer um dieselbe Zahl unterscheiden (\(= 2a\)). Bei der Ellipse gilt \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) (minus), bei der Hyperbel \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) (plus) – nur ein Vorzeichen ist anders. Der Grund: Bei der Ellipse liegen die Brennpunkte innerhalb der Scheitel (\(c < a\)), bei der Hyperbel außerhalb (\(c > a\)), daher ist \(c^{2}\) größer als \(a^{2}\).
Eine Hyperbel hat zwei Geraden, denen sich die Kurve immer weiter annähert, die Asymptoten: \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) (für die Beispielhyperbel \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\)). Beim Zeichnen zeichnet man üblicherweise zuerst die Asymptoten und skizziert dann die Kurve an ihnen entlang.
Ist die rechte Seite \(-1\) (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = -1\)), ist die Hyperbel nach oben und unten geöffnet. Die Brennpunkte liegen dann bei \((0 \,|\, \pm c)\) auf der \(y\)-Achse, die Scheitel bei \((0 \,|\, \pm b)\), und die Differenz der Abstände ist \(2b\). Die Berechnung von \(c\) (plus) und die Asymptoten bleiben gleich.
Brennpunkt und Leitlinie der Parabel (\(y^{2} = 4px\))
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(PF\)
\(=\)
\(PH\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(PF\): Abstand zum Brennpunkt \(F\)
\(=\)
①
\(PH\): Abstand zur Leitlinie
Die Formel in Worten
①
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte \(P\), bei denen der
Abstand \(PH\) zur Leitlinie
②
und der
Abstand \(PF\) zum Brennpunkt \(F\)
immer gleich sind
Einfaches Beispiel
Der Vergleich von \(y^{2} = 8x\) mit der Normalform \(y^{2} = 4px\) ergibt \(4p = 8\), also
Abstand zum Brennpunkt \(F(2 \,|\, 0)\)
\(=\)
Abstand zur Leitlinie \(x = -2\)
\(4p = 8\)
\(p = \dfrac{8}{4} = 2\)
Der Grundgedanke
Der Brennpunkt von \(y^{2} = 4px\) ist \(F(p \,|\, 0)\) auf der \(x\)-Achse, die Leitlinie ist die senkrechte Gerade \(x = -p\). Für \(p > 0\) ist die Parabel nach rechts geöffnet, für \(p < 0\) nach links.
Vertauscht man \(x\) und \(y\), erhält man \(x^{2} = 4py\): eine nach oben oder unten geöffnete Parabel mit dem Brennpunkt \(F(0 \,|\, p)\) und der waagerechten Leitlinie \(y = -p\). Auch der vertraute Graph von \(y = ax^{2}\) gehört dazu: Schreibt man ihn als \(x^{2} = \dfrac{1}{a}y\), hat er den Brennpunkt \(\left(0 \,|\, \dfrac{1}{4a}\right)\) und eine Leitlinie.
Der Koeffizient wird als \(4p\) geschrieben, weil Brennpunkt und Leitlinie dann die einfachen Formen \((p \,|\, 0)\) und \(x = -p\) haben. Ist etwa \(y^{2} = 8x\) gegeben, bestimmen Sie zuerst \(p\) aus \(4p = 8\). (Viele deutsche Schulbücher schreiben die Parabel stattdessen als \(y^{2} = 2px\); dann liegt der Brennpunkt bei \(\left(\dfrac{p}{2} \,|\, 0\right)\).)
Exzentrizität \(e\) (eine Zahl, die die Form der Kurve beschreibt)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(e\)
\(=\)
\(c\)
\(\div\)
\(a\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(e\): Exzentrizität
\(=\)
①
\(c\): Abstand vom Mittelpunkt zum Brennpunkt
\(\div\)
②
\(a\): Abstand vom Mittelpunkt zum Scheitel
Die Formel in Worten
①
Den
Abstand \(c\) vom Mittelpunkt zum Brennpunkt
②
geteilt durch den
Abstand \(a\) vom Mittelpunkt zum Scheitel (dem Ende der längeren Achse)
③
ergibt die
Exzentrizität \(e\)
Einfaches Beispiel
Die Exzentrizität von \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a = 5\), \(c = 4\)) ist
Exzentrizität \(e\)
\(=\)
Abstand zum Brennpunkt (4)
\(\div\)
Abstand zum Scheitel (5)
\(e = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
Der Grundgedanke
Die Exzentrizität gibt an, wie weit eine Kurve von einem Kreis entfernt ist. Ein Kreis hat \(e = 0\), eine Ellipse \(0 < e < 1\) (nahe 0 rund, nahe 1 lang gestreckt), eine Parabel genau \(e = 1\) und eine Hyperbel \(e > 1\).
Ellipse, Hyperbel und Parabel sehen auf den ersten Blick wie unabhängige Kurven aus. Diese eine Zahl ordnet sie aber in einer lückenlosen Reihe an: Kreis → Ellipse → Parabel → Hyperbel. Das ist einer der Gründe, warum die drei als Kegelschnitte zusammengefasst werden.
Bei einer stehenden Ellipse oder einer nach oben und unten geöffneten Hyperbel ist die längere Achse die \(y\)-Achse; dann teilen Sie stattdessen durch \(b\) (den Abstand vom Mittelpunkt zum Scheitel). Mit „Abstand zum Brennpunkt : Abstand zum Scheitel“ liegen Sie in jeder Lage richtig. (In deutschen Schulbüchern heißt \(e = \dfrac{c}{a}\) genauer numerische Exzentrizität, oft \(\varepsilon\) geschrieben.)
Den Abstand \(c\) vom Mittelpunkt zum Brennpunkt erhalten Sie bei der Ellipse aus \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\), bei der Hyperbel aus \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\). Die Parabel \(y^{2} = 4px\) hat den Brennpunkt \(F(p \,|\, 0)\) und die Leitlinie \(x = -p\). Die drei Kurven bilden eine Familie (die Kegelschnitte), die über Abstände zu Brennpunkten definiert ist, und ihre Form wird durch die Exzentrizität \(e\) eingeordnet: Ellipse \(e < 1\), Parabel \(e = 1\), Hyperbel \(e > 1\).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a,\ b\) | a, b | Positive Zahlen in den Nennern der Normalform von Ellipse und Hyperbel (als \(a^{2}\) und \(b^{2}\)). Bei der Ellipse ist \(a\) die Halbachse in \(x\)-Richtung und \(b\) die in \(y\)-Richtung (große bzw. kleine Halbachse). Bei der Hyperbel ist \(a\) der Abstand vom Mittelpunkt zum Scheitel. Hinweis: Manche Schulbücher nennen \(a\) immer die große Halbachse und schreiben eine stehende Ellipse als \(\dfrac{x^{2}}{b^{2}} + \dfrac{y^{2}}{a^{2}} = 1\); auf dieser Seite ist \(a^{2}\) immer der Nenner unter \(x^{2}\). |
| \(c\) | c | Der Abstand vom Mittelpunkt zum Brennpunkt; die Brennpunkte liegen bei \((\pm c \,|\, 0)\) oder \((0 \,|\, \pm c)\). Es ist der dritte Buchstabe nach \(a\) und \(b\). Bei der Ellipse gilt \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\), bei der Hyperbel \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\). In deutschen Schulbüchern heißt \(c\) auch lineare Exzentrizität und wird manchmal \(e\) geschrieben. |
| \(F,\ F'\) | F, F Strich | Die Namen der Brennpunkte (vom lateinischen „focus“). Ellipse und Hyperbel haben zwei Brennpunkte; der zweite wird \(F'\) geschrieben (gelesen „F Strich“). Manche Schulbücher schreiben \(F_1\) und \(F_2\). |
| \(P\) | P | Der Name eines Punkts auf der Kurve (P wie Punkt). Man braucht ihn, um Definitionen zu formulieren, etwa „für jeden Punkt \(P\) ist die Summe der Abstände konstant“. |
| \(PF\) | P F | Die Länge der Strecke vom Punkt \(P\) zum Brennpunkt \(F\) (der Abstand von \(P\) zu \(F\)). Die Namen zweier Punkte nebeneinander für die Länge einer Strecke sind in der Geometrie üblich (auch \(\overline{PF}\) geschrieben). |
| \(H\) | H | Der Name des Lotfußpunkts des Lots vom Punkt \(P\) der Parabel auf die Leitlinie (der Punkt, an dem das Lot die Leitlinie trifft). \(H\) ist ein gängiger Buchstabe dafür. Der Abstand von \(P\) zur Leitlinie wird \(PH\) geschrieben. |
| \(p\) | p | Bei der Parabel \(y^{2} = 4px\) die Zahl, die den Abstand vom Scheitel zum Brennpunkt angibt (ist sie negativ, kehrt sich die Richtung um). Der Brennpunkt ist \(F(p \,|\, 0)\), die Leitlinie \(x = -p\). Der Buchstabe steht für „Parameter“. Achtung: Bei der in Deutschland verbreiteten Form \(y^{2} = 2px\) ist \(p\) der Abstand vom Brennpunkt zur Leitlinie (Halbparameter), also doppelt so groß. |
| \(e\) | e | Die Exzentrizität (Anfangsbuchstabe). Ein Kreis hat \(e = 0\), eine Ellipse \(0 < e < 1\), eine Parabel \(e = 1\) und eine Hyperbel \(e > 1\). (Es ist nicht die Eulersche Zahl e ≈ 2,718.) |
| \(\pm\) | plus minus | Ein Zeichen, das den Fall mit + und den Fall mit − zusammenfasst. Die Brennpunkte \((\pm 4 \,|\, 0)\) sind die beiden Punkte \((4 \,|\, 0)\) und \((-4 \,|\, 0)\) in einer Schreibweise. |
| \(\sqrt{\ }\) | Wurzel | Das Zeichen für die Quadratwurzel (die positive Zahl, deren Quadrat die Zahl darunter ist). Damit erhalten Sie \(c = \sqrt{5}\) aus \(c^{2} = 5\). \(\sqrt{5}\) ist ungefähr 2,236. |
Begriffe
| Kegelschnitt | Eine Kurve, die als Schnittkante entsteht, wenn man einen Kegel (wie eine Eistüte) mit einer Ebene schneidet. Man nennt sie auch Kurven zweiter Ordnung. Je nach Neigung des Schnitts ist die Kante ein Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Kegelschnitte kommen in der analytischen Geometrie der Oberstufe vor (je nach Bundesland, 16–18 Jahre). |
| Kurve zweiter Ordnung | Eine andere Beschreibung der Kegelschnitte: Kurven, die durch eine Gleichung zweiten Grades in \(x\) und \(y\) gegeben sind. Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln (und Kreise) sind genau diese Kurven. |
| Ellipse | Die Menge aller Punkte, deren Abstände zu zwei Brennpunkten zusammen konstant sind. Sie sieht aus wie ein in eine Richtung gestauchter Kreis; ihre Normalform ist \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\). |
| Hyperbel | Die Menge aller Punkte, deren Abstände zu zwei Brennpunkten sich um eine Konstante unterscheiden. Sie besteht aus zwei Ästen, die nach links und rechts (oder oben und unten) geöffnet sind; ihre Normalform ist \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\). |
| Parabel | Die Menge aller Punkte, die von einem Brennpunkt und einer Leitlinie gleich weit entfernt sind. Sie hat die Form einer Wurfbahn. Ihre Normalform ist hier \(y^{2} = 4px\) (oder \(x^{2} = 4py\)). |
| Brennpunkt | Ein besonderer Punkt, der die Form eines Kegelschnitts festlegt. Ellipse und Hyperbel haben zwei, die Parabel einen. Brennpunkte bündeln Licht und Funkwellen – ein Hohlspiegel konzentriert Sonnenlicht dort so stark, dass es brennen kann, daher der Name. |
| Leitlinie | Die Gerade, mit der man die Parabel definiert (auch Leitgerade). Jeder Punkt der Parabel ist vom Brennpunkt genauso weit entfernt wie von der Leitlinie. Die Leitlinie von \(y^{2} = 4px\) ist \(x = -p\). |
| Asymptote | Eine Gerade, der sich eine Kurve immer weiter annähert, ohne sie zu erreichen. Die Hyperbel \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) hat zwei Asymptoten, \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\). |
| Exzentrizität | Eine einzige Zahl \(e\), die angibt, wie weit eine Kurve von einem Kreis entfernt ist (lateinisch „aus der Mitte“). Mit Kreis \(e = 0\), Ellipse \(0 < e < 1\), Parabel \(e = 1\) und Hyperbel \(e > 1\) ordnet diese Zahl alle Kegelschnitte. Genauer heißt \(e = \dfrac{c}{a}\) numerische Exzentrizität. |
| Hauptachse | Die längste Strecke durch den Mittelpunkt einer Ellipse. Bei einer liegenden Ellipse ist sie \(2a\) lang (die große Halbachse ist \(a\)), und die Brennpunkte liegen auf ihr. |
| Nebenachse | Die kürzeste Strecke durch den Mittelpunkt einer Ellipse. Bei einer liegenden Ellipse ist sie \(2b\) lang (die kleine Halbachse ist \(b\)) und steht senkrecht auf der Hauptachse. |
| Scheitel | Ein Punkt, in dem die Kurve eine Symmetrieachse schneidet (auch Scheitelpunkt). Eine Ellipse hat vier (die Enden der Hauptachse heißen Hauptscheitel, die Enden der Nebenachse Nebenscheitel), eine Hyperbel zwei und eine Parabel einen (hier den Ursprung). |
| Normalform | Die einfachste Form der Gleichung, mit dem Mittelpunkt (bei der Parabel dem Scheitel) im Ursprung, etwa \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) (Mittelpunktsgleichung). An ihr lassen sich Brennpunkte und Scheitel leicht ablesen. |
| Quadratwurzel | Eine Zahl, deren Quadrat die gegebene Zahl ist. \(c = 4\) aus \(c^{2} = 16\) zu bestimmen heißt „die Wurzel ziehen“. Ist die Wurzel keine ganze Zahl, schreibt man sie exakt mit dem Wurzelzeichen, etwa \(\sqrt{5}\). |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie hängen bleiben, ist es am schnellsten, diese Themen zu wiederholen.
| Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Koordinatensystem und Abstand zweier Punkte (Klasse 6–10, 11–16 Jahre) |
|
| Graphen quadratischer Funktionen (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Kreisgleichung (Oberstufe, 15–18 Jahre) |
|
| Brüche und Verhältnisse (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für Brennpunkte und Exzentrizität einer Ellipse (liegend, a² > b²)
| Nenner unter x²: a² | 25 |
| Nenner unter y²: b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Abstand zum Brennpunkt c = √(c²) | =WURZEL(B3) |
| Länge der Hauptachse 2a | =2*WURZEL(B1) |
| Länge der Nebenachse 2b | =2*WURZEL(B2) |
| Exzentrizität e = c/a | =B4/WURZEL(B1) |
Tabelle für Brennpunkte und Asymptoten einer Hyperbel
| Nenner unter x²: a² | 9 |
| Nenner unter y²: b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Abstand zum Brennpunkt c = √(c²) | =WURZEL(B3) |
| Steigung der Asymptoten b/a | =WURZEL(B2/B1) |
| Exzentrizität e = c/a | =B4/WURZEL(B1) |
Tabelle für Brennpunkt und Leitlinie einer Parabel (y² = cx)
| Koeffizient c | 8 |
| p = c : 4 | =B1/4 |
| x-Koordinate des Brennpunkts (F(p | 0)) | =B2 |
| Leitlinie x = −p | =-B2 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Nenner bzw. Koeffizient) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. WURZEL liefert die Quadratwurzel.
Die erste Tabelle ist die Ellipse x²/25 + y²/9 = 1: c² = 16, c = 4, Hauptachse 10, Nebenachse 6 und Exzentrizität 0,8. Für eine stehende Ellipse (a² < b²) ändern Sie die Formel für c² in „=B2-B1“ und die Exzentrizität in „=B4/WURZEL(B2)“.
Die zweite Tabelle ist die Hyperbel x²/9 − y²/16 = 1: c² = 25, c = 5, Steigung der Asymptoten 1,333… (= 4/3) und Exzentrizität 1,666… (= 5/3).
Die dritte Tabelle ist die Parabel y² = 8x: p = 2, Brennpunkt F(2 | 0) und Leitlinie x = −2. Für x² = cy (nach oben oder unten geöffnet) lesen Sie den Brennpunkt als F(0 | p) und die Leitlinie als y = −p.
Excel rechnet mit Dezimalzahlen. Exakte Werte wie √5 erhalten Sie mit dem Rechner auf dieser Seite.
Die erste Tabelle ist die Ellipse x²/25 + y²/9 = 1: c² = 16, c = 4, Hauptachse 10, Nebenachse 6 und Exzentrizität 0,8. Für eine stehende Ellipse (a² < b²) ändern Sie die Formel für c² in „=B2-B1“ und die Exzentrizität in „=B4/WURZEL(B2)“.
Die zweite Tabelle ist die Hyperbel x²/9 − y²/16 = 1: c² = 25, c = 5, Steigung der Asymptoten 1,333… (= 4/3) und Exzentrizität 1,666… (= 5/3).
Die dritte Tabelle ist die Parabel y² = 8x: p = 2, Brennpunkt F(2 | 0) und Leitlinie x = −2. Für x² = cy (nach oben oder unten geöffnet) lesen Sie den Brennpunkt als F(0 | p) und die Leitlinie als y = −p.
Excel rechnet mit Dezimalzahlen. Exakte Werte wie √5 erhalten Sie mit dem Rechner auf dieser Seite.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für Brennpunkte und Exzentrizität einer Ellipse (liegend, a² > b²)
| Nenner unter x²: a² | 25 |
| Nenner unter y²: b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Abstand zum Brennpunkt c = √(c²) | =WURZEL(B3) |
| Länge der Hauptachse 2a | =2*WURZEL(B1) |
| Länge der Nebenachse 2b | =2*WURZEL(B2) |
| Exzentrizität e = c/a | =B4/WURZEL(B1) |
Tabelle für Brennpunkte und Asymptoten einer Hyperbel
| Nenner unter x²: a² | 9 |
| Nenner unter y²: b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Abstand zum Brennpunkt c = √(c²) | =WURZEL(B3) |
| Steigung der Asymptoten b/a | =WURZEL(B2/B1) |
| Exzentrizität e = c/a | =B4/WURZEL(B1) |
Tabelle für Brennpunkt und Leitlinie einer Parabel (y² = cx)
| Koeffizient c | 8 |
| p = c : 4 | =B1/4 |
| x-Koordinate des Brennpunkts (F(p | 0)) | =B2 |
| Leitlinie x = −p | =-B2 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Nenner bzw. den Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
import math
# Nenner der Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
x_denominator = Fraction(25) # a²
y_denominator = Fraction(9) # b²
# Ellipse: c² = größerer Nenner − kleinerer Nenner (bei der Hyperbel stattdessen addieren)
c_squared = abs(x_denominator - y_denominator)
c = math.sqrt(c_squared)
semi_major = math.sqrt(max(x_denominator, y_denominator))
print(f"c² = {c_squared}")
print(f"c = √{c_squared} = {c}")
if x_denominator >= y_denominator:
print(f"Brennpunkte: (±{c} | 0)") # liegend → Brennpunkte auf der x-Achse
else:
print(f"Brennpunkte: (0 | ±{c})") # stehend → Brennpunkte auf der y-Achse
print(f"Exzentrizität e = c : {semi_major} = {c / semi_major}")
Das Programm kommt mit der Standardbibliothek aus. Das Modul fractions hält die Nenner als Brüche, sodass bis c² exakt ohne Rundungsfehler gerechnet wird (nur die Quadratwurzel math.sqrt liefert eine Dezimalzahl; Python schreibt sie mit Punkt). Das Beispiel ist die Ellipse x²/25 + y²/9 = 1. Beim Ausführen erscheinen vier Zeilen mit c² = 16, c = 4, den Brennpunkten (±4 | 0) und der Exzentrizität e = 0,8 (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt). Für die Hyperbel x²/a² − y²/b² = 1 ändern Sie die Zeile mit c_squared in „x_denominator + y_denominator“. Für die Parabel y² = cx brauchen Sie nur p = c/4, das Sie direkt erhalten, etwa mit Fraction(8) / 4.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Brennpunkte der Ellipse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
c² = a² − b²
c^{2} = a^{2} - b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 - b^2
c = Sqrt[a^2 - b^2]
c := sqrt(a^2 - b^2);
c = sqrt(a^2 - b^2);
c^2 = a^2 - b^2
Brennpunkte und Asymptoten der Hyperbel (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
c² = a² + b²
c^{2} = a^{2} + b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 + b^2
c = Sqrt[a^2 + b^2]
c := sqrt(a^2 + b^2);
c = sqrt(a^2 + b^2);
c^2 = a^2 + b^2
Brennpunkt und Leitlinie der Parabel (\(y^{2} = 4px\))
y² = 4px
y^{2} = 4px
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn><mi>p</mi><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
y^2 = 4px
y^2 == 4 p x
y^2 = 4*p*x;
y^2 == 4*p*x
y^2 = 4px
Exzentrizität \(e\) (eine Zahl, die die Form der Kurve beschreibt)
e = c/a
e = \dfrac{c}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>e</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
e = c/a
e = c/a
e := c/a;
e = c/a;
e = c/a
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Kegelschnitte, analytische Geometrie). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Geben Sie für die Ellipse x²/9 + y²/4 = 1 Folgendes an: 1. Den Wert von c² = a² − b² 2. Den Abstand c vom Mittelpunkt zum Brennpunkt (als exakten Wert mit √ und als Dezimalzahl) 3. Die Koordinaten der Brennpunkte 4. Die Länge der Hauptachse 2a und der Nebenachse 2b 5. Die Exzentrizität e = c/a (als exakten Wert und als Dezimalzahl) Verwenden Sie in Python sympy (oder fractions und math, falls sympy nicht verfügbar ist) und bestimmen Sie exakte Werte wie √5 mit sympy.sqrt. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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