Kegelschnitte berechnen (Brennpunkte, Leitgerade und Exzentrizität von Ellipse, Hyperbel und Parabel)
Wählen Sie die Art der Kurve und geben Sie die Nenner (Ellipse oder Hyperbel) oder den Koeffizienten des linearen Terms (Parabel) ein. Der Rechner bestimmt die Brennpunkte, Scheitelpunkte und die Exzentrizität, dazu die Asymptoten einer Hyperbel oder die Leitgerade einer Parabel.
Geben Sie nur Zahlen ein. Dezimalzahlen mit Komma und Brüche wie 3/4 sind möglich. Für die Nenner a² und b² geben Sie die Zahl ein, die unter x² oder y² steht, nicht den Wert von a oder b (bei x²/9 also 9). Ein leeres Feld zählt als 1 (ein nicht geschriebener Nenner oder Koeffizient ist 1).
Ergebnis und Diagramm
Wählen Sie im Feld links die Art der Kurve, geben Sie die Zahlen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die Brennpunkte, die Exzentrizität und weitere Ergebnisse erscheinen hier mit einem Graphen.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Brennpunkte einer Ellipse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
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Brennpunkte und Asymptoten einer Hyperbel (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
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Brennpunkt und Leitgerade einer Parabel (\(y^{2} = 4px\))
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Exzentrizität \(e\) (eine Zahl, die die Form der Kurve beschreibt)
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie die Nenner oder den Koeffizienten ein, und Sie erhalten sofort die Brennpunkte, Scheitelpunkte und die Exzentrizität der Ellipse \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), der Hyperbel \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) oder der Parabel \(y^{2} = 4px\) (und \(x^{2} = 4py\))
- Die Antworten werden sowohl als exakte Werte mit \(\sqrt{\ }\), etwa \(\left(\pm\sqrt{5}|0\right)\), als auch als Dezimalzahlen angezeigt. Sie sehen auch den Rechenweg, der die Brennpunkte aus \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) bestimmt
- Bei einer Hyperbel erhalten Sie auch die Asymptoten, bei einer Parabel die Leitgerade. Die Kurve, die Brennpunkte, Asymptoten, die Leitgerade und die Scheitelpunkte werden in einem Graphen gezeichnet
- Sie können die Definitionen aus dem Lehrbuch am Graphen prüfen: „Die Summe (oder Differenz) der Abstände zu den beiden Brennpunkten ist konstant“ und „gleicher Abstand vom Brennpunkt und von der Leitgeraden“
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite arbeitet mit der Normalform mit dem Mittelpunkt im Ursprung (bei einer Parabel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung). Verschobene Gleichungen wie \(\dfrac{(x-1)^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1\) werden nicht unterstützt. Breite oder hohe Ellipsen, nach links und rechts oder nach oben und unten geöffnete Hyperbeln sowie nach rechts, links, oben oder unten geöffnete Parabeln werden alle unterstützt.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Bahnen von Planeten und Kometen vorhersagen (Astronomie und Raumfahrt)
Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht (das erste keplersche Gesetz). Die Bahn der Erde hat eine Exzentrizität von etwa 0,017, ist also fast kreisförmig, während der Halleysche Komet einer langen, schmalen Ellipse mit einer Exzentrizität von etwa 0,97 folgt und etwa alle 76 Jahre zur Sonne zurückkehrt.
Dieselbe Mathematik ist die Grundlage für den Entwurf der Bahnen von Satelliten und Raumsonden, und die Form einer Bahn (Ellipse, Parabel oder Hyperbel) wird durch ihre Exzentrizität eingeordnet. Verlässt eine Sonde das Schwerefeld eines Planeten und fliegt davon, ist ihre Bahn eine Hyperbel.
Satellitenschüsseln und Scheinwerfer entwerfen (Funktechnik und Optik)
Eine Fläche, die entsteht, wenn man eine Parabel um ihre Achse dreht (ein Paraboloid), hat diese Eigenschaft: Radiowellen oder Licht, die parallel zur Achse einfallen, werden alle zum Brennpunkt reflektiert. Eine Satellitenschüssel sammelt schwache Signale aus großer Höhe in dem Empfänger, der im Brennpunkt sitzt.
Autoscheinwerfer und Suchscheinwerfer nutzen es umgekehrt: Licht einer Quelle im Brennpunkt wird zu einem geraden Strahl parallel zur Achse reflektiert. Die Lage des Brennpunkts (das \(p\), das diese Seite berechnet) ist der Schlüssel für den Entwurf.
Nierensteine mit Stoßwellen zertrümmern (Medizin)
Eine Ellipse hat diese Eigenschaft: Eine Welle, die in einem Brennpunkt beginnt, wird an der Ellipse reflektiert und sammelt sich im anderen Brennpunkt. Die extrakorporale Stoßwellenlithotripsie (ESWL) erzeugt eine Stoßwelle in einem Brennpunkt eines elliptischen Reflektors und richtet den anderen Brennpunkt auf den Nierenstein im Körper aus, sodass der Stein ohne Operation zertrümmert wird.
Die genaue Lage der Brennpunkte zu bestimmen, wirkt sich direkt darauf aus, wie präzise die Behandlung ist.
Fangspiegel in Teleskopen und Antennen (Optikdesign)
Ein Cassegrain-Spiegelteleskop kombiniert einen Hauptspiegel in Form eines Paraboloids mit einem Fangspiegel in Form eines Hyperboloids. Es nutzt eine Eigenschaft des Hyperboloids, „Licht, das auf einen Brennpunkt zuläuft, wird reflektiert und sammelt sich im anderen Brennpunkt“, um das Licht zum Okular am hinteren Ende des Tubus zu leiten.
Große Radioteleskope und Satellitenkommunikationsantennen verwenden meist denselben Aufbau, sodass die Brennpunkteigenschaften von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln in einem einzigen Gerät zusammenwirken.
Eine Position aus Unterschieden der Signallaufzeit bestimmen (Navigation)
Manche Ortungssysteme nutzen die Definition der Hyperbel selbst: „die Punkte, deren Abstände zu zwei festen Punkten sich um eine Konstante unterscheiden“. Bei der Hyperbelnavigation, etwa LORAN, maß ein Schiff oder Flugzeug den Unterschied der Ankunftszeiten der Signale zweier Stationen, um zu bestimmen, auf welcher Hyperbel es sich befand, und fand dann seine Position dort, wo diese Hyperbel eine andere von einem anderen Stationspaar kreuzte.
GPS hat es abgelöst, aber der Gedanke, eine Position aus Zeitunterschieden einzugrenzen, lebt weiter, zum Beispiel bei der Ortung eines Mobiltelefons bei einem Notruf.
Gekrümmte Bauwerke im Hoch- und Tiefbau (Kühltürme und Seile)
Viele der riesigen Kühltürme in Kraftwerken haben die Form eines Hyperboloids, das entsteht, wenn man eine Hyperbel dreht. Diese gekrümmte Fläche lässt sich allein aus schräg gestellten geraden Stahlstäben bauen und ist trotzdem stabil und spart Material.
Das Tragseil einer Hängebrücke ist eine Parabel, wenn das Gewicht der Fahrbahn gleichmäßig über die Waagerechte verteilt ist. (Ein Seil, das nur unter seinem eigenen Gewicht hängt, bildet eine andere, ähnlich aussehende Kurve, die Kettenlinie.) In Entwurfszeichnungen legen Gleichungen in Normalform wie die auf dieser Seite diese Formen fest.
Formeln und Abbildungen
Brennpunkte einer Ellipse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(-\)
\(b^{2}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(c^{2}\): Quadrat des Abstands des Mittelpunkts von einem Brennpunkt
\(=\)
①
\(a^{2}\): Nenner von \(x^{2}\) (das Quadrat der halben Hauptachse)
\(-\)
②
\(b^{2}\): Nenner von \(y^{2}\) (das Quadrat der halben Nebenachse)
Die Formel in Worten
①
Ziehen Sie vom
Nenner \(a^{2}\) von \(x^{2}\)
②
den
Nenner \(b^{2}\) von \(y^{2}\)
③
ab, und Sie erhalten das
Quadrat des Abstands \(c\) des Mittelpunkts von einem Brennpunkt
(die Brennpunkte sind die beiden Punkte \((\pm c|0)\) auf der \(x\)-Achse)
Einfaches Beispiel
Die Brennpunkte von \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a^{2} = 25,\ b^{2} = 9\)) sind
Abstand vom Brennpunkt \(c\), zum Quadrat
\(=\)
Nenner von \(x^{2}\) (25)
\(-\)
Nenner von \(y^{2}\) (9)
\(c^{2} = 25 - 9 = 16\)
\(c = \sqrt{16} = 4\)
\(F(4|0),\quad F'(-4|0)\)
Der Kerngedanke
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, deren Abstände zu den beiden Brennpunkten immer dieselbe Summe ergeben (\(= 2a\)). Stecken Sie zwei Nadeln in ein Brett, legen Sie eine Schnur als Schlaufe darum, halten Sie die Schnur mit einem Stift gespannt und fahren Sie herum: Sie zeichnen eine Ellipse (die Gärtnerkonstruktion). Das ist genau die Definition.
Ist der Nenner von \(x^{2}\) größer, ist die Ellipse breit, und die Brennpunkte liegen bei \((\pm c|0)\) auf der \(x\)-Achse. Ist der Nenner von \(y^{2}\) größer, ist die Ellipse hoch, es gilt \(c^{2} = b^{2} - a^{2}\), und die Brennpunkte wandern zu \((0|\pm c)\) auf der \(y\)-Achse. Merken Sie sich „größerer Nenner minus kleinerer Nenner“, dann verwechseln Sie die Richtung nicht.
Ist \(a^{2} = b^{2}\), dann ist \(c = 0\), und die beiden Brennpunkte fallen im Mittelpunkt zusammen: Die Ellipse ist ein Kreis. Ein Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.
Brennpunkte und Asymptoten einer Hyperbel (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(+\)
\(b^{2}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(c^{2}\): Quadrat des Abstands des Mittelpunkts von einem Brennpunkt
\(=\)
①
\(a^{2}\): Nenner von \(x^{2}\) (Quadrat des Abstands von einem Scheitelpunkt)
\(+\)
②
\(b^{2}\): Nenner von \(y^{2}\)
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie zum
Nenner \(a^{2}\) von \(x^{2}\)
②
den
Nenner \(b^{2}\) von \(y^{2}\)
③
, und Sie erhalten das
Quadrat des Abstands \(c\) des Mittelpunkts von einem Brennpunkt
(die Brennpunkte sind die beiden Punkte \((\pm c|0)\) auf der \(x\)-Achse)
Einfaches Beispiel
Die Brennpunkte von \(\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{16} = 1\) (\(a^{2} = 9,\ b^{2} = 16\)) sind
Abstand vom Brennpunkt \(c\), zum Quadrat
\(=\)
Nenner von \(x^{2}\) (9)
\(+\)
Nenner von \(y^{2}\) (16)
\(c^{2} = 9 + 16 = 25\)
\(c = \sqrt{25} = 5\)
\(F(5|0),\quad F'(-5|0)\)
Der Kerngedanke
Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, deren Abstände zu den beiden Brennpunkten sich immer um dieselbe Zahl unterscheiden (\(= 2a\)). Bei einer Ellipse gilt \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) (Subtraktion), bei einer Hyperbel \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) (Addition): Nur ein Vorzeichen ist anders. Der Grund ist, dass bei einer Ellipse die Brennpunkte innerhalb der Scheitelpunkte liegen (\(c < a\)), bei einer Hyperbel aber außerhalb (\(c > a\)), sodass \(c^{2}\) größer als \(a^{2}\) ist.
Eine Hyperbel hat zwei Geraden, denen sich die Kurve immer mehr nähert, die Asymptoten: \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) (für die Beispiel-Hyperbel \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\)). Beim Zeichnen zeichnet man üblicherweise zuerst die Asymptoten und skizziert dann die Kurve an ihnen entlang.
Ist die rechte Seite \(-1\) (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = -1\)), ist die Hyperbel nach oben und unten geöffnet. Die Brennpunkte liegen bei \((0|\pm c)\) auf der \(y\)-Achse, die Scheitelpunkte bei \((0|\pm b)\), und die Differenz der Abstände wird \(2b\). Die Berechnung von \(c\) (Addition) und der Asymptoten bleibt dieselbe.
Brennpunkt und Leitgerade einer Parabel (\(y^{2} = 4px\))
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(PF\)
\(=\)
\(PH\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(PF\): Abstand vom Brennpunkt \(F\)
\(=\)
①
\(PH\): Abstand von der Leitgeraden
Die Formel in Worten
①
Eine Parabel ist die Menge der Punkte \(P\), bei denen der
Abstand \(PH\) von der Leitgeraden
②
und der
Abstand \(PF\) vom Brennpunkt \(F\),
immer gleich sind
Einfaches Beispiel
Der Vergleich von \(y^{2} = 8x\) mit der Normalform \(y^{2} = 4px\) ergibt \(4p = 8\), also
Abstand vom Brennpunkt \((2|0)\)
\(=\)
Abstand von der Leitgeraden \(x = -2\)
\(4p = 8\)
\(p = \dfrac{8}{4} = 2\)
Der Kerngedanke
Der Brennpunkt von \(y^{2} = 4px\) ist \((p|0)\) auf der \(x\)-Achse, und die Leitgerade ist die senkrechte Gerade \(x = -p\). Für \(p > 0\) ist die Parabel nach rechts geöffnet, für \(p < 0\) nach links. (In deutschen Lehrbüchern schreibt man meist \(y^{2} = 2px\) mit dem Brennpunkt \((p/2|0)\). Hier ist \(p\) der Abstand des Scheitelpunkts vom Brennpunkt, also gilt \(4p_{\text{hier}} = 2p_{\text{Lehrbuch}}\).)
Vertauscht man \(x\) und \(y\), erhält man \(x^{2} = 4py\), eine nach oben oder unten geöffnete Parabel mit dem Brennpunkt \((0|p)\) und der waagerechten Leitgeraden \(y = -p\). Der bekannte Graph von \(y = ax^{2}\) gehört zur selben Familie: Schreiben Sie ihn als \(x^{2} = \dfrac{1}{a}y\), dann hat er den Brennpunkt \(\left(0|\dfrac{1}{4a}\right)\) und eine Leitgerade.
Der Koeffizient wird als \(4p\) geschrieben, weil Brennpunkt und Leitgerade dann in den einfachen Formen \((p|0)\) und \(x = -p\) herauskommen. Ist etwa \(y^{2} = 8x\) gegeben, ist der erste Schritt, \(p\) aus \(4p = 8\) zu bestimmen.
Exzentrizität \(e\) (eine Zahl, die die Form der Kurve beschreibt)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(e\)
\(=\)
\(c\)
\(\div\)
\(a\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(e\): Exzentrizität
\(=\)
①
\(c\): Abstand des Mittelpunkts von einem Brennpunkt
\(\div\)
②
\(a\): Abstand des Mittelpunkts von einem Scheitelpunkt
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
Abstand \(c\) des Mittelpunkts von einem Brennpunkt
②
teilen Sie ihn durch den
Abstand \(a\) des Mittelpunkts von einem Scheitelpunkt (dem Ende der längeren Achse)
③
und Sie erhalten die
Exzentrizität \(e\)
Einfaches Beispiel
Die Exzentrizität von \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a = 5,\ c = 4\)) ist
Exzentrizität \(e\)
\(=\)
Abstand vom Brennpunkt (4)
\(\div\)
Abstand vom Scheitelpunkt (5)
\(e = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
Der Kerngedanke
Die Exzentrizität ist eine Zahl, die angibt, wie weit eine Kurve von einem Kreis entfernt ist. Ein Kreis hat \(e = 0\), eine Ellipse hat \(0 < e < 1\) (näher an 0 ist runder, näher an 1 ist länger und schmaler), eine Parabel hat genau \(e = 1\), und eine Hyperbel hat \(e > 1\). (In deutschen Lehrbüchern heißt dieses Verhältnis \(c/a\) numerische Exzentrizität und wird oft \(\varepsilon\) genannt, während \(c\) selbst die lineare Exzentrizität heißt.)
Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln sehen zunächst wie unverwandte Kurven aus, aber diese eine Zahl ordnet sie in einer glatten Folge: Kreis → Ellipse → Parabel → Hyperbel. Das ist ein Grund, warum die drei als Kegelschnitte zusammengefasst werden.
Bei einer hohen Ellipse oder einer nach oben und unten geöffneten Hyperbel ist die längere Achse die \(y\)-Achse, Sie teilen also durch \(b\) (den Abstand des Mittelpunkts von einem Scheitelpunkt). Merken Sie sich „Abstand vom Brennpunkt ÷ Abstand vom Scheitelpunkt“, dann machen Sie es in jeder Richtung richtig.
Der Abstand \(c\) des Mittelpunkts von einem Brennpunkt ergibt sich bei einer Ellipse aus \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) und bei einer Hyperbel aus \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\). Die Parabel \(y^{2} = 4px\) hat den Brennpunkt \((p|0)\) und die Leitgerade \(x = -p\). Die drei Kurven sind eine Familie (die Kegelschnitte), die über Abstände zu einem Brennpunkt definiert sind, und ihre Formen werden durch die Exzentrizität \(e\) geordnet: Ellipse \(e < 1\), Parabel \(e = 1\), Hyperbel \(e > 1\).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a,\ b\) | a, b | Positive Zahlen in den Nennern der Normalformen von Ellipse und Hyperbel (als \(a^{2}\) und \(b^{2}\)). Bei einer Ellipse ist \(a\) der Radius in \(x\)-Richtung und \(b\) der Radius in \(y\)-Richtung (jeweils die Hälfte der Haupt- oder der Nebenachse). Bei einer Hyperbel ist \(a\) der Abstand des Mittelpunkts von einem Scheitelpunkt. Achtung: Viele Lehrbücher verwenden \(a\) immer für die längere Halbachse und schreiben eine hohe Ellipse als \(\dfrac{x^{2}}{b^{2}} + \dfrac{y^{2}}{a^{2}} = 1\). Auf dieser Seite ist \(a^{2}\) immer der Nenner von \(x^{2}\). |
| \(c\) | ce | Der Abstand des Mittelpunkts von einem Brennpunkt (die lineare Exzentrizität). Die Brennpunkte liegen bei \((\pm c|0)\) oder \((0|\pm c)\). Es ist der dritte Buchstabe nach \(a\) und \(b\). Bei einer Ellipse gilt \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\), bei einer Hyperbel \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\). |
| \(F,\ F'\) | F, F Strich | Namen der Brennpunkte. Eine Ellipse oder eine Hyperbel hat zwei Brennpunkte, und der zweite wird \(F'\) (F Strich) geschrieben. In deutschen Lehrbüchern heißen sie oft \(F_1\) und \(F_2\). |
| \(P\) | P | Der Name eines Punktes auf der Kurve, vom Anfangsbuchstaben von „Punkt“. Er wird verwendet, um Definitionen auszusprechen, etwa „für jeden Punkt \(P\) ist die Summe der Abstände konstant“. |
| \(PF\) | P F | Die Länge der Strecke zwischen dem Punkt \(P\) und dem Brennpunkt \(F\) (der Abstand von \(P\) zu \(F\)). Die Namen zweier Punkte nebeneinander für die Länge einer Strecke zu schreiben, ist in der Geometrie üblich. |
| \(H\) | H | Der Name des Lotfußpunkts des Lots vom Punkt \(P\) der Parabel auf die Leitgerade (dort, wo es die Leitgerade trifft). \(H\) ist ein üblicher Buchstabe für den Fußpunkt eines Lots (er soll von „Höhe“ stammen). Der Abstand von \(P\) zur Leitgeraden wird \(PH\) geschrieben. |
| \(p\) | p | Für die Parabel \(y^{2} = 4px\) die Zahl, die den Abstand des Scheitelpunkts vom Brennpunkt angibt (ein negativer Wert ergibt die entgegengesetzte Richtung). Der Brennpunkt ist \((p|0)\) und die Leitgerade \(x = -p\). Der Buchstabe soll von „Parameter“ stammen. |
| \(e\) | e | Die Exzentrizität, vom Anfangsbuchstaben von „Exzentrizität“. Ein Kreis hat \(e = 0\), eine Ellipse \(0 < e < 1\), eine Parabel \(e = 1\) und eine Hyperbel \(e > 1\). (Es ist nicht die eulersche Zahl e ≈ 2,718.) |
| \(\pm\) | plus minus | Ein Zeichen, das den Fall + und den Fall − zugleich abdeckt. Die Brennpunkte \((\pm 4|0)\) sind die beiden Punkte \((4|0)\) und \((-4|0)\), zusammen geschrieben. |
| \(\sqrt{\ }\) | Wurzel | Das Zeichen für die Quadratwurzel (die positive Zahl, deren Quadrat die Zahl unter dem Zeichen ist). Man braucht es, um aus \(c^{2} = 5\) den Wert \(c = \sqrt{5}\) zu erhalten. \(\sqrt{5}\) ist etwa 2,236. |
Begriffe
| Kegelschnitt | Eine Kurve, die als Schnittkante entsteht, wenn man einen Kegel (wie eine Eiswaffel) mit einer Ebene schneidet. Je nach Winkel des Schnitts ist die Kante ein Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Sie werden in der Oberstufe (Klasse 11–12, 16–18 Jahre) behandelt. |
| Kurve zweiter Ordnung | Eine andere Bezeichnung für die Kegelschnitte: Kurven, die durch eine Gleichung zweiten Grades in \(x\) und \(y\) gegeben sind. Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln (und Kreise) sind genau diese Kurven. |
| Ellipse | Die Menge der Punkte, deren Abstände zu zwei Brennpunkten eine konstante Summe ergeben. Sie sieht aus wie ein in einer Richtung zusammengedrückter Kreis, und ihre Normalform ist \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\). |
| Hyperbel | Die Menge der Punkte, deren Abstände zu zwei Brennpunkten sich um eine Konstante unterscheiden. Sie besteht aus zwei Kurven, die sich nach links und rechts (oder oben und unten) öffnen, und ihre Normalform ist \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\). |
| Parabel | Die Menge der Punkte, die von einem Brennpunkt und einer Leitgeraden gleich weit entfernt sind. Sie hat die Form der Bahn eines geworfenen Balls. Ihre Normalform ist \(y^{2} = 4px\) (oder \(x^{2} = 4py\)). |
| Brennpunkt | Ein besonderer Punkt, der die Form eines Kegelschnitts bestimmt (Mehrzahl: Brennpunkte). Eine Ellipse oder eine Hyperbel hat zwei, eine Parabel einen. In Brennpunkten sammeln sich Licht und Radiowellen, und das Wort „Brennpunkt“ kommt daher, dass dort etwas „brennt“, etwa das gebündelte Sonnenlicht in einem Brennglas. |
| Leitgerade | Die Gerade, mit der eine Parabel definiert wird (auch Leitlinie genannt). Jeder Punkt der Parabel hat vom Brennpunkt denselben Abstand wie von der Leitgeraden. Die Leitgerade von \(y^{2} = 4px\) ist \(x = -p\). |
| Asymptote | Eine Gerade, der sich eine Kurve immer mehr nähert, ohne sie je zu erreichen. Die Hyperbel \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) hat zwei Asymptoten, \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\). |
| Exzentrizität | Eine einzige Zahl \(e\), die angibt, wie weit eine Kurve von einem Kreis entfernt ist („exzentrisch“ kommt von „außerhalb der Mitte“). Mit Kreis \(e = 0\), Ellipse \(0 < e < 1\), Parabel \(e = 1\) und Hyperbel \(e > 1\) ordnet diese eine Zahl alle Kegelschnitte. |
| Hauptachse | Die längste Strecke quer durch eine Ellipse durch ihren Mittelpunkt. Bei einer breiten Ellipse hat sie die Länge \(2a\), und die Brennpunkte liegen auf der Hauptachse. |
| Nebenachse | Die kürzeste Strecke quer durch eine Ellipse durch ihren Mittelpunkt. Bei einer breiten Ellipse hat sie die Länge \(2b\), und sie steht rechtwinklig auf der Hauptachse. |
| Scheitelpunkt | Ein Punkt, in dem die Kurve eine Symmetrieachse trifft (Mehrzahl: Scheitelpunkte). Eine Ellipse hat vier (die Enden der Haupt- und der Nebenachse; manche Lehrbücher nennen nur die Enden der Hauptachse Hauptscheitel und die anderen Nebenscheitel), eine Hyperbel hat zwei und eine Parabel einen (den Ursprung). |
| Normalform | Die einfachste Form der Gleichung, mit dem Mittelpunkt (bei einer Parabel dem Scheitelpunkt) im Ursprung, etwa \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) (auch Mittelpunktsgleichung genannt). Sie macht Brennpunkte und Scheitelpunkte leicht ablesbar. |
| Quadratwurzel | Eine Zahl, deren Quadrat die gegebene Zahl ist. Aus \(c^{2} = 16\) den Wert \(c = 4\) zu bestimmen heißt „die Wurzel ziehen“. Ist die Quadratwurzel keine ganze Zahl, schreibt man sie exakt mit dem Wurzelzeichen, etwa \(\sqrt{5}\). |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.
| Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Das Koordinatensystem und die Abstandsformel (Klasse 6–9, 11–15 Jahre) |
|
| Graphen quadratischer Funktionen (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Kreisgleichungen (Oberstufe, Klasse 11, 16–17 Jahre) |
|
| Brüche und Verhältnisse (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für die Brennpunkte und die Exzentrizität einer Ellipse (breit, a² > b²)
| Nenner von x² a² | 25 |
| Nenner von y² b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Abstand vom Brennpunkt c = √(c²) | =WURZEL(B3) |
| Länge der Hauptachse 2a | =2*WURZEL(B1) |
| Länge der Nebenachse 2b | =2*WURZEL(B2) |
| Exzentrizität e = c/a | =B4/WURZEL(B1) |
Tabelle für die Brennpunkte und die Asymptoten einer Hyperbel
| Nenner von x² a² | 9 |
| Nenner von y² b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Abstand vom Brennpunkt c = √(c²) | =WURZEL(B3) |
| Steigung der Asymptoten b/a | =WURZEL(B2/B1) |
| Exzentrizität e = c/a | =B4/WURZEL(B1) |
Tabelle für den Brennpunkt und die Leitgerade einer Parabel (y² = cx)
| Koeffizient c von x | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| x-Koordinate des Brennpunkts (der Brennpunkt ist (p|0)) | =B2 |
| Leitgerade x = −p | =-B2 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Nenner oder Koeffizient) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. WURZEL liefert die Quadratwurzel.
Die erste Tabelle ist die Ellipse x²/25 + y²/9 = 1: c² = 16, c = 4, Hauptachse 10, Nebenachse 6 und Exzentrizität 0,8. Bei einer hohen Ellipse (a² < b²) ändern Sie die Formel für c² in „=B2-B1“ und die Exzentrizität in „=B4/WURZEL(B2)“.
Die zweite Tabelle ist die Hyperbel x²/9 − y²/16 = 1: c² = 25, c = 5, Steigung der Asymptoten 1,333… (= 4/3) und Exzentrizität 1,666… (= 5/3).
Die dritte Tabelle ist die Parabel y² = 8x: p = 2, Brennpunkt (2|0) und Leitgerade x = −2. Für x² = cy (nach oben oder unten geöffnet) lesen Sie den Brennpunkt als (0|p) und die Leitgerade als y = −p.
Excel liefert Dezimalzahlen, verwenden Sie also den Rechner auf dieser Seite, wenn Sie exakte Werte wie √5 brauchen.
Die erste Tabelle ist die Ellipse x²/25 + y²/9 = 1: c² = 16, c = 4, Hauptachse 10, Nebenachse 6 und Exzentrizität 0,8. Bei einer hohen Ellipse (a² < b²) ändern Sie die Formel für c² in „=B2-B1“ und die Exzentrizität in „=B4/WURZEL(B2)“.
Die zweite Tabelle ist die Hyperbel x²/9 − y²/16 = 1: c² = 25, c = 5, Steigung der Asymptoten 1,333… (= 4/3) und Exzentrizität 1,666… (= 5/3).
Die dritte Tabelle ist die Parabel y² = 8x: p = 2, Brennpunkt (2|0) und Leitgerade x = −2. Für x² = cy (nach oben oder unten geöffnet) lesen Sie den Brennpunkt als (0|p) und die Leitgerade als y = −p.
Excel liefert Dezimalzahlen, verwenden Sie also den Rechner auf dieser Seite, wenn Sie exakte Werte wie √5 brauchen.
Mit Google Tabellen berechnen
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Tabelle für die Brennpunkte und die Exzentrizität einer Ellipse (breit, a² > b²)
| Nenner von x² a² | 25 |
| Nenner von y² b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Abstand vom Brennpunkt c = √(c²) | =WURZEL(B3) |
| Länge der Hauptachse 2a | =2*WURZEL(B1) |
| Länge der Nebenachse 2b | =2*WURZEL(B2) |
| Exzentrizität e = c/a | =B4/WURZEL(B1) |
Tabelle für die Brennpunkte und die Asymptoten einer Hyperbel
| Nenner von x² a² | 9 |
| Nenner von y² b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Abstand vom Brennpunkt c = √(c²) | =WURZEL(B3) |
| Steigung der Asymptoten b/a | =WURZEL(B2/B1) |
| Exzentrizität e = c/a | =B4/WURZEL(B1) |
Tabelle für den Brennpunkt und die Leitgerade einer Parabel (y² = cx)
| Koeffizient c von x | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| x-Koordinate des Brennpunkts (der Brennpunkt ist (p|0)) | =B2 |
| Leitgerade x = −p | =-B2 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Nenner oder den Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
import math
# Nenner der Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 (ein Bruch wie 3/4 lässt sich als Fraction(3, 4) schreiben)
x_denominator = Fraction(25) # a²
y_denominator = Fraction(9) # b²
# Ellipse: c² = größerer Nenner − kleinerer Nenner (bei einer Hyperbel werden sie stattdessen addiert)
c_squared = abs(x_denominator - y_denominator)
c = math.sqrt(c_squared)
semi_major = math.sqrt(max(x_denominator, y_denominator))
print(f"c² = {c_squared}")
print(f"c = √{c_squared} = {c}")
if x_denominator >= y_denominator:
print(f"Brennpunkte: (±{c}, 0)") # breit → Brennpunkte auf der x-Achse
else:
print(f"Brennpunkte: (0, ±{c})") # hoch → Brennpunkte auf der y-Achse
print(f"Exzentrizität e = c ÷ {semi_major} = {c / semi_major}")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. Das Modul fractions hält die Nenner als Brüche, sodass alles bis c² exakt und ohne Rundungsfehler berechnet wird (nur die Quadratwurzel, math.sqrt, liefert eine Dezimalzahl). Das Beispiel ist die Ellipse x²/25 + y²/9 = 1. Beim Ausführen werden vier Zeilen ausgegeben: „c² = 16“, „c = √16 = 4“, „Brennpunkte: (±4, 0)“ und „Exzentrizität e = c ÷ 5 = 0,8“ (Python schreibt die Dezimalstellen mit einem Punkt statt mit einem Komma und hängt an ganze Zahlen ein „.0“ an). Für die Hyperbel x²/a² − y²/b² = 1 ändern Sie die Zeile c_squared in „x_denominator + y_denominator“. Für die Parabel y² = cx brauchen Sie nur p = c/4, das Sie direkt bestimmen können, etwa als Fraction(8) / 4.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Brennpunkte einer Ellipse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
c² = a² − b²
c^{2} = a^{2} - b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 - b^2
c = Sqrt[a^2 - b^2]
c := sqrt(a^2 - b^2);
c = sqrt(a^2 - b^2);
c^2 = a^2 - b^2
Brennpunkte und Asymptoten einer Hyperbel (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
c² = a² + b²
c^{2} = a^{2} + b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 + b^2
c = Sqrt[a^2 + b^2]
c := sqrt(a^2 + b^2);
c = sqrt(a^2 + b^2);
c^2 = a^2 + b^2
Brennpunkt und Leitgerade einer Parabel (\(y^{2} = 4px\))
y² = 4px
y^{2} = 4px
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn><mi>p</mi><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
y^2 = 4px
y^2 == 4 p x
y^2 = 4*p*x;
y^2 == 4*p*x
y^2 = 4px
Exzentrizität \(e\) (eine Zahl, die die Form der Kurve beschreibt)
e = c/a
e = \dfrac{c}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>e</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
e = c/a
e = c/a
e := c/a;
e = c/a;
e = c/a
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Kegelschnitte (Oberstufe). Führen Sie die folgende Berechnung tatsächlich mit Python-Code aus und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen des Ausführungsergebnisses (nicht im Kopf rechnen und nicht raten). Zeigen Sie für die Ellipse x²/9 + y²/4 = 1 jeweils Folgendes: 1. Den Wert von c² = a² − b² 2. Den Abstand c des Mittelpunkts von einem Brennpunkt (als exakten Wert mit √ und als Dezimalzahl) 3. Die Koordinaten der Brennpunkte 4. Die Länge der Hauptachse 2a und die Länge der Nebenachse 2b 5. Die Exzentrizität e = c/a (als exakten Wert und als Dezimalzahl) Verwenden Sie in Python sympy (oder fractions und math, falls sympy nicht verfügbar ist) und bestimmen Sie exakte Werte wie √5 mit sympy.sqrt. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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