Gemischte Zahlen Rechner – gemischte Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren

Geben Sie die beiden Zahlen so ein, wie sie aussehen (Feld für die ganze Zahl plus Felder für Zähler und Nenner), und wählen Sie in der Mitte die Rechenart (+ − × ÷). Gemischte Zahlen, Brüche und ganze Zahlen sind möglich. Das Ergebnis erscheint gekürzt, als gemischte Zahl und als Dezimalzahl – mit Rechenweg.

Tragen Sie in jedes Feld eine ganze Zahl ein. Nicht benötigte Felder bleiben leer (bei einer ganzen Zahl Zähler und Nenner, bei einem Bruch das Feld der ganzen Zahl). Bei einer negativen gemischten Zahl steht das Minuszeichen im Feld der ganzen Zahl (es gilt für die ganze Zahl samt Bruch).

Ergebnis

Geben Sie links zwei Zahlen ein, wählen Sie in der Mitte die Rechenart (+ − × ÷) und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formel
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Gemischte Zahlen wie \(2\,\dfrac{1}{3} \cdot 1\,\dfrac{1}{2}\) addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren – Sie geben ganze Zahl, Zähler und Nenner einfach so ein, wie sie dastehen
Das Ergebnis erscheint dreifach: als vollständig gekürzter Bruch, als gemischte Zahl und als Dezimalzahl. Auch die Zwischenschritte sehen Sie – Umwandeln in unechte Brüche, gleichnamig machen und kürzen
Neben gemischten Zahlen können Sie auch ganze Zahlen und Brüche (echte und unechte) mischen und mit negativen Zahlen rechnen
Dazu eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Eine gemischte Zahl tragen Sie so ein, wie sie aussieht: ins Feld für die ganze Zahl und in die Felder für Zähler und Nenner (bei nur einer ganzen Zahl oder nur einem Bruch bleiben die übrigen Felder leer). Bei einer negativen gemischten Zahl setzen Sie das Minuszeichen ins Feld der ganzen Zahl; es gilt für die ganze Zahl samt Bruch (zum Beispiel bedeutet ganze Zahl -2, Zähler 3, Nenner 4: \(-2\,\dfrac{3}{4} = -(2 + \dfrac{3}{4}) = -\dfrac{11}{4}\)).

Wofür braucht man diese Berechnung?

Rezeptmengen hoch- oder herunterrechnen

Steht im Rezept „\(\dfrac{3}{4}\) Liter Milch“ und Sie wollen die \(1\,\dfrac{1}{2}\)-fache Menge backen, brauchen Sie \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{8} = 1\,\dfrac{1}{8}\) Liter.
In Rezepten stehen oft Angaben wie „\(1\,\dfrac{1}{2}\) Teelöffel“ oder „\(2\,\dfrac{1}{2}\) Tassen“ – sobald Sie für mehr oder weniger Personen umrechnen, brauchen Sie genau diese Rechnung mit gemischten Zahlen.

Zollmaße beim Heimwerken

Anschlüsse im Sanitärbereich werden auch in Deutschland in Zoll angegeben, oft als gemischte Zahlen: Ein Waschbecken-Siphon hat zum Beispiel einen \(1\,\dfrac{1}{4}\)-Zoll-Anschluss, ein Abflussrohr \(1\,\dfrac{1}{2}\) Zoll. Der Unterschied beträgt \(1\,\dfrac{1}{2} - 1\,\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\) Zoll – genau das überbrückt ein Reduzierstück.
Wenn Sie Maße addieren, Unterschiede bestimmen oder ausrechnen, wie viele Stücke sich aus einem Rohr schneiden lassen, rechnen Sie mit gemischten Zahlen.

Stoff- und Bandbedarf beim Nähen und Basteln

„Für dieses Projekt brauche ich \(1\,\dfrac{3}{4}\) m, für das andere \(2\,\dfrac{1}{2}\) m“: Zusammen sind das \(1\,\dfrac{3}{4} + 2\,\dfrac{1}{2} = 4\,\dfrac{1}{4}\) m.
Im Stoffgeschäft wird oft in 10-cm-Schritten zugeschnitten. Wandeln Sie \(4\,\dfrac{1}{4}\) m in die Dezimalzahl 4,25 m um, können Sie die nötige Länge direkt bestellen und kaufen weder zu viel noch zu wenig.

Lern- und Arbeitszeit planen

Lernen Sie an 6 Tagen pro Woche jeweils \(1\,\dfrac{1}{2}\) Stunden (anderthalb Stunden), sind das pro Woche \(1\,\dfrac{1}{2} \cdot 6 = 9\) Stunden.
Zeit und Brüche passen gut zusammen (30 Minuten = \(\dfrac{1}{2}\) Stunde, 15 Minuten = \(\dfrac{1}{4}\) Stunde, eine Dreiviertelstunde). Wer gemischte Zahlen multiplizieren kann, schätzt die Gesamtzeit eines Plans schnell ab.

Mathe-Hausaufgaben der Kinder kontrollieren (Kernthema in Klasse 5–6)

Gemischte Zahlen und unechte Brüche ineinander umwandeln, Brüche gleichnamig machen, kürzen, addieren und subtrahieren sowie Brüche multiplizieren und dividieren – die Bruchrechnung ist in Klasse 5–6 (10–12 Jahre) ein Kernthema des Matheunterrichts.
Können Eltern den Gedankengang in Worten erklären (in unechte Brüche umwandeln → gleichnamig machen → rechnen → kürzen), wird aus der Kontrolle mehr als „richtig oder falsch“. Der Rechenweg auf dieser Seite folgt genau dieser Reihenfolge.

Formel

Eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(a\,\dfrac{b}{c}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① gemischte Zahl (ganzer Teil \(a\), Bruchteil \(\dfrac{b}{c}\)) \(=\) ② \(\dfrac{\text{ganzer Teil × Nenner + Zähler}}{\text{Nenner bleibt}}\)

Die Formel in Worten

① Bei einer gemischten Zahl (ganzer Teil \(a\), Bruchteil \(\dfrac{b}{c}\)) multipliziert man den ganzen Teil \(a\) mit dem Nenner \(c\) und addiert den Zähler \(b\). Das ist der neue Zähler, und man erhält den unechten Bruch

② \(\dfrac{\text{ganzer Teil × Nenner + Zähler}}{\text{Nenner bleibt}}\)

Einfaches Beispiel

Die gemischte Zahl \(2\,\dfrac{1}{3}\) („zwei ein Drittel“) als unechter Bruch

gemischte Zahl \(2\,\dfrac{1}{3}\) \(=\) unechter Bruch \(\dfrac{2 \times 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}\)

\(2\,\dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \times 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}\)

Der Grundgedanke

Die gemischte Zahl \(2\,\dfrac{1}{3}\) bedeutet \(2 + \dfrac{1}{3}\). Man schreibt also den ganzen Teil 2 als \(\dfrac{6}{3}\) und fasst ihn mit dem Bruchteil zusammen. Daher kommt „ganzer Teil × Nenner + Zähler“. Bei einer negativen gemischten Zahl gilt das Minuszeichen für die ganze Zahl samt Bruch (\(-2\,\dfrac{3}{4} = -(2 + \dfrac{3}{4}) = -\dfrac{11}{4}\)). Zum Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren gemischter Zahlen ist es am sichersten, sie zuerst in unechte Brüche umzuwandeln.

Gemischte Zahlen addieren (in unechte Brüche umwandeln, gleichnamig machen, Zähler addieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(a\,\dfrac{b}{c}\) \(+\) \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c + b}{c}\) \(+\) \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{(a \times c + b) \times f + (d \times f + e) \times c}{c \times f}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① linke gemischte Zahl \(a\,\dfrac{b}{c}\) \(+\) ② rechte gemischte Zahl \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) ③ \(\dfrac{\text{links: ganzer Teil × Nenner + Zähler}}{\text{linker Nenner}}\) \(+\) ④ \(\dfrac{\text{rechts: ganzer Teil × Nenner + Zähler}}{\text{rechter Nenner}}\) \(=\) ⑤ \(\dfrac{\text{Summe der Zähler nach dem Gleichnamigmachen}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Die Formel in Worten

① Man nimmt die linke gemischte Zahl \(a\,\dfrac{b}{c}\)

② und die rechte gemischte Zahl \(d\,\dfrac{e}{f}\) und nimmt jeweils „ganzer Teil × Nenner + Zähler“ als neuen Zähler. So entstehen

③ die linke Zahl als unechter Bruch \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)

④ und die rechte Zahl als unechter Bruch \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) Man macht sie gleichnamig und addiert die Zähler. So erhält man

⑤ \(\dfrac{\text{Summe der Zähler nach dem Gleichnamigmachen}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Einfaches Beispiel

Bei \(1\,\dfrac{1}{2} + 2\,\dfrac{1}{3}\) wandelt man in die unechten Brüche \(\dfrac{3}{2}\) und \(\dfrac{7}{3}\) um und bringt sie auf den Hauptnenner 6

linke gemischte Zahl \(1\,\dfrac{1}{2}\) \(+\) rechte gemischte Zahl \(2\,\dfrac{1}{3}\) \(=\) Summe der beiden gemischten Zahlen \(3\,\dfrac{5}{6}\)

\(1\,\dfrac{1}{2} + 2\,\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{9}{6} + \dfrac{14}{6} = \dfrac{23}{6}\)

\(\dfrac{23}{6} = 3\,\dfrac{5}{6}\ \ (\approx 3{,}833)\)

Der Grundgedanke

Wer die Bruchteile mit verschiedenen Nennern addieren will, solange es noch gemischte Zahlen sind, kommt leicht durcheinander. Wandeln Sie zuerst in unechte Brüche um – dann ist der Rest ganz normale Bruchaddition: gleichnamig machen und die Zähler addieren. Das Produkt der beiden Nenner \(c \cdot f\) ist immer ein gemeinsamer Nenner. Mit dem kgV der Nenner (dem Hauptnenner) bleiben die Zahlen aber kleiner, und das Kürzen fällt später leichter (zum Beispiel bei den Nennern 4 und 6 auf 12 statt auf 24 bringen). Man kann auch ganze Teile und Bruchteile getrennt addieren (\(1 + 2 = 3\), \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\), also \(3\,\dfrac{5}{6}\)) – das Ergebnis ist dasselbe. Ergeben die Bruchteile aber zusammen mehr als 1 (zum Beispiel \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{6}\)), muss man ein Ganzes zum ganzen Teil übertragen. Im Zweifel ist der Weg über unechte Brüche der sichere.

Gemischte Zahlen subtrahieren (in unechte Brüche umwandeln, gleichnamig machen, Zähler subtrahieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(a\,\dfrac{b}{c}\) \(-\) \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c + b}{c}\) \(-\) \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{(a \times c + b) \times f - (d \times f + e) \times c}{c \times f}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① linke gemischte Zahl \(a\,\dfrac{b}{c}\) \(-\) ② rechte gemischte Zahl \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) ③ \(\dfrac{\text{links: ganzer Teil × Nenner + Zähler}}{\text{linker Nenner}}\) \(-\) ④ \(\dfrac{\text{rechts: ganzer Teil × Nenner + Zähler}}{\text{rechter Nenner}}\) \(=\) ⑤ \(\dfrac{\text{Differenz der Zähler nach dem Gleichnamigmachen}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Die Formel in Worten

① Man nimmt die linke gemischte Zahl \(a\,\dfrac{b}{c}\)

② und die rechte gemischte Zahl \(d\,\dfrac{e}{f}\) und nimmt jeweils „ganzer Teil × Nenner + Zähler“ als neuen Zähler. So entstehen

③ die linke Zahl als unechter Bruch \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)

④ und die rechte Zahl als unechter Bruch \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) Man macht sie gleichnamig und zieht den rechten Zähler vom linken ab. So erhält man

⑤ \(\dfrac{\text{Differenz der Zähler nach dem Gleichnamigmachen}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Einfaches Beispiel

Bei \(1\,\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\) wandelt man die gemischte Zahl in den unechten Bruch \(\dfrac{3}{2}\) um und bringt beide auf den Hauptnenner 4

linke gemischte Zahl \(1\,\dfrac{1}{2}\) \(-\) rechter Bruch \(\dfrac{3}{4}\) \(=\) links minus rechts \(\dfrac{3}{4}\)

\(1\,\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}\)

Der Grundgedanke

Das Vorgehen ist genau wie beim Addieren: in unechte Brüche umwandeln, gleichnamig machen und dann die Zähler subtrahieren. Subtrahiert man ganze Teile und Bruchteile getrennt, muss man ein Ganzes „entbündeln“ (1 vom ganzen Teil borgen), wenn sich der Bruchteil nicht abziehen lässt (zum Beispiel bei den Bruchteilen von \(2\,\dfrac{1}{4} - 1\,\dfrac{1}{2}\), also \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}\)). Dabei passieren leicht Fehler, deshalb ist der Weg über unechte Brüche der sichere. Zieht man eine größere Zahl von einer kleineren ab, ist das Ergebnis ein negativer Bruch (zum Beispiel \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}\)). Dieser Rechner zeigt negative Ergebnisse so an, wie sie sind.

Gemischte Zahlen multiplizieren (in unechte Brüche umwandeln, Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(a\,\dfrac{b}{c}\) \(\times\) \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c + b}{c}\) \(\times\) \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{(a \times c + b) \times (d \times f + e)}{c \times f}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① linke gemischte Zahl \(a\,\dfrac{b}{c}\) \(\times\) ② rechte gemischte Zahl \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) ③ \(\dfrac{\text{links: ganzer Teil × Nenner + Zähler}}{\text{linker Nenner}}\) \(\times\) ④ \(\dfrac{\text{rechts: ganzer Teil × Nenner + Zähler}}{\text{rechter Nenner}}\) \(=\) ⑤ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler der unechten Brüche}}{\text{Produkt der Nenner}}\)

Die Formel in Worten

① Man wandelt die linke gemischte Zahl \(a\,\dfrac{b}{c}\)

② und die rechte gemischte Zahl \(d\,\dfrac{e}{f}\) in unechte Brüche um, also in

③ die linke Zahl als unechter Bruch \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)

④ und die rechte Zahl als unechter Bruch \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) Multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner, erhält man

⑤ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler der unechten Brüche}}{\text{Produkt der Nenner}}\)

Einfaches Beispiel

Bei \(2\,\dfrac{1}{3} \cdot 1\,\dfrac{1}{2}\) wandelt man in die unechten Brüche \(\dfrac{7}{3}\) und \(\dfrac{3}{2}\) um und multipliziert dann

linke gemischte Zahl \(2\,\dfrac{1}{3}\) \(\times\) rechte gemischte Zahl \(1\,\dfrac{1}{2}\) \(=\) Produkt der beiden gemischten Zahlen \(3\,\dfrac{1}{2}\)

\(2\,\dfrac{1}{3} \times 1\,\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{7 \times 3}{3 \times 2} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3\,\dfrac{1}{2}\)

Der Grundgedanke

Anders als beim Addieren und Subtrahieren braucht man beim Multiplizieren und Dividieren keinen gemeinsamen Nenner. Dafür kann man nicht mit den gemischten Zahlen rechnen, wie sie dastehen. Ein häufiger Fehler ist, ganze Teile mit ganzen Teilen und Bruchteile mit Bruchteilen zu multiplizieren. Richtig ist zum Beispiel \(1\,\dfrac{1}{2} \cdot 1\,\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4} = 2\,\dfrac{1}{4}\); setzt man dagegen die ganzen Teile (\(1 \cdot 1 = 1\)) neben die Bruchteile (\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)), erhält man das falsche \(1\,\dfrac{1}{4}\). Wandeln Sie vor dem Multiplizieren immer in unechte Brüche um.

Gemischte Zahlen dividieren (in unechte Brüche umwandeln, mit dem Kehrwert multiplizieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(a\,\dfrac{b}{c}\) \(\div\) \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c + b}{c}\) \(\times\) \(\dfrac{f}{d \times f + e}\) \(=\) \(\dfrac{(a \times c + b) \times f}{c \times (d \times f + e)}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① zu teilende gemischte Zahl \(a\,\dfrac{b}{c}\) \(\div\) ② gemischte Zahl als Divisor \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) ③ \(\dfrac{\text{links: ganzer Teil × Nenner + Zähler}}{\text{linker Nenner}}\) \(\times\) ④ \(\dfrac{\text{Nenner des Divisors}}{\text{Divisor: ganzer Teil × Nenner + Zähler}}\) \(=\) ⑤ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler (links × Kehrwert)}}{\text{Produkt der Nenner (links × Kehrwert)}}\)

Die Formel in Worten

① Man wandelt die zu teilende gemischte Zahl \(a\,\dfrac{b}{c}\)

② und die gemischte Zahl als Divisor \(d\,\dfrac{e}{f}\) in unechte Brüche um. Dann multipliziert man die

③ zu teilende Zahl als unechter Bruch \(\dfrac{a \times c + b}{c}\) mit dem

④ Kehrwert des Divisors \(\dfrac{f}{d \times f + e}\) (dem Divisor mit vertauschtem Zähler und Nenner) und erhält

⑤ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler (links × Kehrwert)}}{\text{Produkt der Nenner (links × Kehrwert)}}\)

Einfaches Beispiel

Teilt man die ganze Zahl 4 durch die gemischte Zahl \(1\,\dfrac{1}{3}\) (als unechter Bruch \(\dfrac{4}{3}\)), multipliziert man mit dem Kehrwert \(\dfrac{3}{4}\)

zu teilende Zahl 4 \(\div\) gemischte Zahl als Divisor \(1\,\dfrac{1}{3}\) \(=\) 4 geteilt durch \(1\,\dfrac{1}{3}\) ist 3

\(4 \div 1\,\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{1} \div \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{1} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)

Der Grundgedanke

Durch \(\dfrac{1}{2}\) teilen ist dasselbe wie verdoppeln. Genauso ist das Teilen durch einen Bruch dasselbe wie das Multiplizieren mit seinem Kehrwert (dem „umgedrehten“ Bruch). Stellen Sie sich „durch X teilen“ als „zählen, wie oft X hineinpasst“ vor: In 1 passen zwei Halbe, also verdoppelt das Teilen durch \(\dfrac{1}{2}\) das Ergebnis. Teilt man durch eine ganze Zahl, kann man dieselbe Formel verwenden, wenn man sie als Bruch wie \(\dfrac{4}{1}\) schreibt. Durch 0 kann man aber nicht teilen.

Kürzen und zurück in eine gemischte Zahl

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\dfrac{p}{q}\) \(=\) \(\dfrac{p \div g}{q \div g}\)

\(\dfrac{p}{q}\) \(=\) \(w\,\dfrac{r}{q}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① Bruch vor dem Kürzen \(\dfrac{p}{q}\) \(=\) ② \(\dfrac{\text{Zähler geteilt durch den ggT}}{\text{Nenner geteilt durch den ggT}}\)

③ Ergebnis als unechter Bruch (Zähler ≥ Nenner) \(=\) ④ gemischte Zahl (ganzer Teil = Quotient \(w\) von Zähler : Nenner, Zähler = Rest \(r\))

Die Formel in Worten

① Man teilt Zähler und Nenner beim Bruch vor dem Kürzen \(\dfrac{p}{q}\) durch die größte Zahl, die beide teilt (den ggT \(g\)), und erhält

② \(\dfrac{\text{Zähler geteilt durch den ggT}}{\text{Nenner geteilt durch den ggT}}\) (einen Bruch, der sich nicht weiter kürzen lässt)

③ Ein Ergebnis als unechter Bruch (Zähler ≥ Nenner) lässt sich zurückverwandeln: Der Quotient \(w\) von Zähler : Nenner wird der ganze Teil und der Rest \(r\) der neue Zähler. So erhält man die

④ gemischte Zahl (ganzer Teil = Quotient \(w\) von Zähler : Nenner, Zähler = Rest \(r\))

Einfaches Beispiel

Kürzt man \(\dfrac{21}{6}\) aus dem Beispiel zur Multiplikation (der ggT von 21 und 6 ist 3), erhält man

Bruch vor dem Kürzen \(\dfrac{21}{6}\) \(=\) Zähler und Nenner durch 3 geteilt: \(\dfrac{7}{2}\) (als gemischte Zahl \(3\,\dfrac{1}{2}\))

\(\dfrac{21}{6} = \dfrac{21 \div 3}{6 \div 3} = \dfrac{7}{2} = 3\,\dfrac{1}{2}\)

Der Grundgedanke

Ein Bruch als Ergebnis wird am Ende so weit gekürzt, dass sich nichts mehr kürzen lässt (vollständig gekürzter Bruch). Ist das gekürzte Ergebnis ein unechter Bruch (Zähler ≥ Nenner), kann man es als gemischte Zahl schreiben. Man teilt den Zähler durch den Nenner: Der Quotient ist der ganze Teil, der Rest der neue Zähler (zum Beispiel bei \(\dfrac{7}{2}\): \(7 : 2 = 3\) Rest \(1\), also \(3\,\dfrac{1}{2}\)). Dieser Rechner zeigt das Ergebnis sowohl als unechten Bruch als auch als gemischte Zahl.

Jede Rechnung mit gemischten Zahlen beginnt mit dem Umwandeln in unechte Brüche. Beim Addieren und Subtrahieren macht man die Brüche gleichnamig und rechnet mit den Zählern. Beim Multiplizieren rechnet man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, beim Dividieren multipliziert man mit dem Kehrwert. Zum Schluss wird mit dem ggT gekürzt, und ein unechter Bruch wird wieder als gemischte Zahl geschrieben.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\dfrac{a}{b}\)	a durch b	Ein Bruch. Oben steht der Zähler \(a\), unten der Nenner \(b\). Er hat denselben Wert wie \(a : b\). Der Nenner \(b\) darf nicht 0 sein.
\(a\,\dfrac{b}{c}\)	a ganze und b c-tel (gemischte Zahl)	Die linke gemischte Zahl: der ganze Teil \(a\) neben dem echten Bruch \(\dfrac{b}{c}\). Sie bedeutet \(a + \dfrac{b}{c}\). Im Rechner dieser Seite tragen Sie ganze Zahl, Zähler und Nenner in getrennte Felder ein.
\(d\,\dfrac{e}{f}\)	d ganze und e f-tel (gemischte Zahl)	Die rechte gemischte Zahl. Andere Buchstaben unterscheiden sie in den Formeln von der linken. Sie bedeutet ebenso \(d + \dfrac{e}{f}\).
\(g\)	g	Der ggT in der Formel zum Kürzen – die größte Zahl, durch die Zähler und Nenner beide teilbar sind (zum Beispiel 3 bei 21 und 6).
\(\div\)	geteilt durch	Das Geteiltzeichen (in Deutschland in der Schule meist als „:“ geschrieben). Bei der Division von Brüchen ersetzt man es durch das Multiplizieren mit dem Kehrwert des Divisors.

Begriffe

gemischte Zahl	Eine Zahl aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, etwa \(3\,\dfrac{1}{2}\) („drei einhalb“). Sie bedeutet „ganze Zahl + Bruch“, und man sieht ihre Größe auf einen Blick. Deshalb passt sie gut zu Alltagsmengen wie „dreieinhalb Brötchen“.
unechter Bruch	Ein Bruch, dessen Zähler gleich groß wie oder größer als der Nenner ist, etwa \(\dfrac{7}{2}\). Zum Rechnen, vor allem zum Multiplizieren und Dividieren, ist er besser geeignet als eine gemischte Zahl. Mit Quotient und Rest von Zähler : Nenner wird daraus eine gemischte Zahl.
echter Bruch	Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, etwa \(\dfrac{1}{2}\) oder \(\dfrac{3}{4}\). Sein Wert ist immer kleiner als 1. Der Bruchteil einer gemischten Zahl ist ein echter Bruch.
Zähler	Die obere Zahl eines Bruchs. Der Nenner sagt, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt ist, der Zähler, wie viele dieser Teile es sind.
Nenner	Die untere Zahl eines Bruchs. Sie sagt, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt ist. Der Nenner darf nicht 0 sein (das hieße, durch 0 zu teilen).
gleichnamig machen	Brüche mit verschiedenen Nennern durch Erweitern auf denselben Nenner bringen. Üblich ist das kgV der Nenner, der Hauptnenner. Nötig ist das vor dem Addieren und Subtrahieren, nicht aber beim Multiplizieren und Dividieren.
kürzen	Zähler und Nenner eines Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler teilen, um ihn einfacher zu schreiben. Mit dem ggT geht es in einem Schritt (zum Beispiel \(\dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2}\)).
kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)	Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist. Beispiel kgV(4; 7) = 28. Man nimmt es als gemeinsamen Nenner beim Gleichnamigmachen.
ggT (größter gemeinsamer Teiler)	Die größte Zahl, durch die zwei Zahlen ohne Rest teilbar sind. Beispiel ggT(21; 6) = 3. Man braucht ihn zum Kürzen.
Kehrwert	Ein Bruch mit vertauschtem Zähler und Nenner (zum Beispiel ist \(\dfrac{3}{4}\) der Kehrwert von \(\dfrac{4}{3}\)). Mit der ursprünglichen Zahl multipliziert ergibt er 1. Das Teilen durch einen Bruch lässt sich durch das Multiplizieren mit seinem Kehrwert ersetzen.
Hauptnenner	Der kleinste gemeinsame Nenner mehrerer Brüche, also das kgV der Nenner. Bei \(\dfrac{1}{2}\) und \(\dfrac{1}{3}\) ist es 6.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es am schnellsten, diese Themen noch einmal zu wiederholen.

Was ein Bruch bedeutet (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Sie wissen, dass \(\dfrac{1}{2}\) eines von 2 gleichen Teilen eines Ganzen ist Sie kennen Namen und Aufgabe von Zähler (oben) und Nenner (unten)
Gemischte Zahlen und unechte Brüche (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Sie wissen, dass eine gemischte Zahl (\(2\,\dfrac{1}{3}\)) „ganze Zahl + echter Bruch“ bedeutet Sie können gemischte Zahlen und unechte Brüche ineinander umwandeln (mit Quotient und Rest von Zähler : Nenner)
Kürzen, gleichnamig machen, kgV und ggT (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Sie können kgV und ggT zweier Zahlen bestimmen Sie können Brüche mit verschiedenen Nennern auf den Hauptnenner bringen (gleichnamig machen)
Brüche addieren und subtrahieren (Klasse 6, 11–12 Jahre)	Sie können Brüche gleichnamig machen und dann die Zähler addieren oder subtrahieren
Brüche multiplizieren und dividieren (Klasse 6, 11–12 Jahre)	Sie wissen, dass man beim Multiplizieren Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnet Sie wissen, dass man das Dividieren durch das Multiplizieren mit dem Kehrwert ersetzen kann
Negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Sie kennen die Vorzeichenregeln für negative Zahlen, etwa dass minus mal minus (oder minus durch minus) plus ergibt

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle zum Umwandeln einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch

Ganzer Teil der gemischten Zahl a	2
Zähler der gemischten Zahl b	1
Nenner der gemischten Zahl c	3
Zähler des unechten Bruchs (a×c+b)	=B1*B3+B2
Nenner des unechten Bruchs (c bleibt)	=B3

Tabelle zum Addieren von Brüchen

Linker Zähler a	3
Linker Nenner b	2
Rechter Zähler c	1
Rechter Nenner d	3
Zähler des Ergebnisses (a×d+c×b)	=B1B4+B3B2
Nenner des Ergebnisses (b×d)	=B2*B4
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Subtrahieren von Brüchen

Linker Zähler a	3
Linker Nenner b	2
Rechter Zähler c	3
Rechter Nenner d	4
Zähler des Ergebnisses (a×d−c×b)	=B1B4-B3B2
Nenner des Ergebnisses (b×d)	=B2*B4
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Multiplizieren von Brüchen

Linker Zähler a	7
Linker Nenner b	3
Rechter Zähler c	3
Rechter Nenner d	2
Zähler des Ergebnisses (a×c)	=B1*B3
Nenner des Ergebnisses (b×d)	=B2*B4
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Dividieren von Brüchen

Zähler des zu teilenden Bruchs a	4
Nenner des zu teilenden Bruchs b	1
Zähler des Divisors c	4
Nenner des Divisors d	3
Zähler des Ergebnisses (a×d)	=B1*B4
Nenner des Ergebnisses (b×c)	=B2*B3
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Kürzen und Zurückverwandeln in eine gemischte Zahl

Zähler vor dem Kürzen p	21
Nenner vor dem Kürzen q	6
Gekürzter Zähler (p : ggT)	=B1/GGT(B1;B2)
Gekürzter Nenner (q : ggT)	=B2/GGT(B1;B2)
Ganzer Teil der gemischten Zahl (Quotient)	=QUOTIENT(B3;B4)
Zähler der gemischten Zahl (Rest)	=REST(B3;B4)

In eine Excel-Zelle passt keine gemischte Zahl, deshalb tragen Sie ganzen Teil, Zähler und Nenner getrennt ein. In jeder Tabelle sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die Formeln in fettem Grün werden automatisch berechnet.
Zum Rechnen mit gemischten Zahlen wandeln Sie sie zuerst mit der ersten Tabelle in unechte Brüche um, tragen deren Zähler und Nenner in die Tabellen 2 bis 5 ein und kürzen Zähler und Nenner des Ergebnisses mit der sechsten Tabelle.
Die vierte Tabelle für die Multiplikation (\(\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{3}{2}\)) liefert zum Beispiel den Zähler 21 und den Nenner 6. Die sechste Tabelle kürzt das zu \(\dfrac{7}{2}\), als gemischte Zahl mit dem ganzen Teil 3 und dem Zähler 1 (= \(3\,\dfrac{1}{2}\)).
GGT berechnet den ggT, QUOTIENT den ganzzahligen Teil einer Division und REST den Rest.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle zum Umwandeln einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch

Ganzer Teil der gemischten Zahl a	2
Zähler der gemischten Zahl b	1
Nenner der gemischten Zahl c	3
Zähler des unechten Bruchs (a×c+b)	=B1*B3+B2
Nenner des unechten Bruchs (c bleibt)	=B3

Tabelle zum Addieren von Brüchen

Linker Zähler a	3
Linker Nenner b	2
Rechter Zähler c	1
Rechter Nenner d	3
Zähler des Ergebnisses (a×d+c×b)	=B1B4+B3B2
Nenner des Ergebnisses (b×d)	=B2*B4
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Subtrahieren von Brüchen

Linker Zähler a	3
Linker Nenner b	2
Rechter Zähler c	3
Rechter Nenner d	4
Zähler des Ergebnisses (a×d−c×b)	=B1B4-B3B2
Nenner des Ergebnisses (b×d)	=B2*B4
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Multiplizieren von Brüchen

Linker Zähler a	7
Linker Nenner b	3
Rechter Zähler c	3
Rechter Nenner d	2
Zähler des Ergebnisses (a×c)	=B1*B3
Nenner des Ergebnisses (b×d)	=B2*B4
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Dividieren von Brüchen

Zähler des zu teilenden Bruchs a	4
Nenner des zu teilenden Bruchs b	1
Zähler des Divisors c	4
Nenner des Divisors d	3
Zähler des Ergebnisses (a×d)	=B1*B4
Nenner des Ergebnisses (b×c)	=B2*B3
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Kürzen und Zurückverwandeln in eine gemischte Zahl

Zähler vor dem Kürzen p	21
Nenner vor dem Kürzen q	6
Gekürzter Zähler (p : ggT)	=B1/GGT(B1;B2)
Gekürzter Nenner (q : ggT)	=B2/GGT(B1;B2)
Ganzer Teil der gemischten Zahl (Quotient)	=QUOTIENT(B3;B4)
Zähler der gemischten Zahl (Rest)	=REST(B3;B4)

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (auch GGT, QUOTIENT und REST gibt es in Google Tabellen). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Brüche.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction

# Eine gemischte Zahl als „ganzer Teil + Bruchteil“ schreiben
# (bei der negativen gemischten Zahl -2 3/4 gilt das Minus für alles: -(Fraction(2) + Fraction(3, 4)))
left = Fraction(2) + Fraction(1, 3)    # gemischte Zahl 2 1/3 → unechter Bruch 7/3
right = Fraction(1) + Fraction(1, 2)   # gemischte Zahl 1 1/2 → unechter Bruch 3/2

answer = left * right    # für Addition +, für Subtraktion -, für Division / einsetzen

print(f"Gekürzter Bruch: {answer}")    # 7/2 (automatisch gekürzt)
print(f"Dezimalzahl: {float(answer)}")         # 3.5

# Unechten Bruch als gemischte Zahl schreiben (z. B. 7/2 → 3 1/2)
whole = abs(answer.numerator) // answer.denominator    # ganzer Teil (Quotient von Zähler : Nenner)
part = abs(answer.numerator) % answer.denominator      # neuer Zähler (Rest)
sign = "-" if answer < 0 else ""
print(f"Gemischte Zahl: {sign}{whole} {part}/{answer.denominator}")

Läuft nur mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek. Fraction rechnet exakt mit Brüchen und erledigt Gleichnamigmachen und Kürzen automatisch. Ändern Sie left und right am Anfang in Ihre eigenen Zahlen und führen Sie den Code aus. Dezimalzahlen gibt Python mit Punkt statt Komma aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln

a b/c = (a×c + b)/c

a\dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times c + b}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a b/c = (a xx c + b)/c

a + b/c

improper := (a*c + b)/c;

improper = (a*c + b)/c;

a b/c = (a×c + b)/c

Gemischte Zahlen addieren (in unechte Brüche umwandeln, gleichnamig machen, Zähler addieren)

a b/c + d e/f = (a×c + b)/c + (d×f + e)/f

a\dfrac{b}{c} + d\dfrac{e}{f} = \dfrac{a \times c + b}{c} + \dfrac{d \times f + e}{f}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mi>d</mi><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi></mrow>
      <mi>f</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a b/c + d e/f = (a xx c + b)/c + (d xx f + e)/f

(a + b/c) + (d + e/f) // Together

answer := normal((a + b/c) + (d + e/f));

answer = simplifyFraction((a + b/c) + (d + e/f));

a b/c + d e/f = (a×c + b)/c + (d×f + e)/f

Gemischte Zahlen subtrahieren (in unechte Brüche umwandeln, gleichnamig machen, Zähler subtrahieren)

a b/c − d e/f = (a×c + b)/c − (d×f + e)/f

a\dfrac{b}{c} - d\dfrac{e}{f} = \dfrac{a \times c + b}{c} - \dfrac{d \times f + e}{f}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>d</mi><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi></mrow>
      <mi>f</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a b/c - d e/f = (a xx c + b)/c - (d xx f + e)/f

(a + b/c) - (d + e/f) // Together

answer := normal((a + b/c) - (d + e/f));

answer = simplifyFraction((a + b/c) - (d + e/f));

a b/c - d e/f = (a×c + b)/c - (d×f + e)/f

Gemischte Zahlen multiplizieren (in unechte Brüche umwandeln, Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner)

a b/c × d e/f = ((a×c + b) × (d×f + e))/(c×f)

a\dfrac{b}{c} \times d\dfrac{e}{f} = \dfrac{(a \times c + b) \times (d \times f + e)}{c \times f}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>d</mi><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>&#xD7;</mo><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>c</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>f</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a b/c xx d e/f = ((a xx c + b) xx (d xx f + e))/(c xx f)

(a + b/c)*(d + e/f) // Together

answer := normal((a + b/c)*(d + e/f));

answer = simplifyFraction((a + b/c)*(d + e/f));

a b/c × d e/f = ((a×c + b) × (d×f + e))/(c×f)

Gemischte Zahlen dividieren (in unechte Brüche umwandeln, mit dem Kehrwert multiplizieren)

a b/c ÷ d e/f = (a×c + b)/c × f/(d×f + e)

a\dfrac{b}{c} \div d\dfrac{e}{f} = \dfrac{a \times c + b}{c} \times \dfrac{f}{d \times f + e}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>&#xF7;</mo>
    <mi>d</mi><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac>
      <mi>f</mi>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a b/c -: d e/f = (a xx c + b)/c xx f/(d xx f + e)

(a + b/c)/(d + e/f) // Together

answer := normal((a + b/c)/(d + e/f));

answer = simplifyFraction((a + b/c)/(d + e/f));

a b/c ÷ d e/f = (a×c + b)/c × f/(d×f + e)

Kürzen und zurück in eine gemischte Zahl

p/q = (p ÷ g)/(q ÷ g)

\dfrac{p}{q} = \dfrac{p \div g}{q \div g}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>p</mi><mi>q</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>p</mi><mo>&#xF7;</mo><mi>g</mi></mrow>
      <mrow><mi>q</mi><mo>&#xF7;</mo><mi>g</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

p/q = (p -: g)/(q -: g)

Simplify[p/q]

answer := simplify(p/q);

answer = simplifyFraction(sym(p)/sym(q));

p/q = (p÷g)/(q÷g)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Bruchrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen (empfohlen ist das Modul fractions), und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Berechnen Sie für die gemischten Zahlen 2 1/3 (zwei ein Drittel) und 1 1/2 (eineinhalb) die folgenden vier Aufgaben:
1. Addition (2 1/3 + 1 1/2)
2. Subtraktion (2 1/3 − 1 1/2)
3. Multiplikation (2 1/3 · 1 1/2)
4. Division (2 1/3 : 1 1/2)

Geben Sie jedes Ergebnis dreifach an: als vollständig gekürzten Bruch, als gemischte Zahl und als Dezimalzahl.
Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis in einer Tabelle.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel