Teilverhältnis berechnen – Teilungspunkt, Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks

Wählen Sie die Art des Punktes und die Dimension und geben Sie die Koordinaten der beiden Punkte A und B sowie das Verhältnis m:n ein. Die Formel darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft – Sie können Koordinaten und Verhältnis auch direkt in der Formel ändern.

Gesuchter Punkt

Dimension

x-Koordinate von A, x₁

y-Koordinate von A, y₁

z-Koordinate von A, z₁

x-Koordinate von B, x₂

y-Koordinate von B, y₂

z-Koordinate von B, z₂

x-Koordinate von C, x₃

y-Koordinate von C, y₃

z-Koordinate von C, z₃

Verhältniszahl m (von A bis zum Punkt)

Verhältniszahl n (vom Punkt bis B)

Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Eine leere Koordinate zählt als 0, eine leere Verhältniszahl als 1. Das Verhältnis m:n gilt in der Reihenfolge „m von A aus, dann n von dort bis B“.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die Koordinaten der beiden Punkte und das Verhältnis ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Zeichnungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie geben die Koordinaten zweier Punkte \(\mathrm{A}\) und \(\mathrm{B}\) und ein Verhältnis \(m:n\) ein und erhalten sofort die Koordinaten des Punktes, der die Strecke \(\overline{\mathrm{AB}}\) im Verhältnis \(m:n\) innen oder außen teilt
Auch den Mittelpunkt (die innere Teilung im Verhältnis \(1:1\)) und den Schwerpunkt eines Dreiecks (das Mittel der Koordinaten der drei Ecken) berechnen Sie auf derselben Seite
Funktioniert auf der Zahlengeraden (1D), im ebenen Koordinatensystem (2D) und im Raum (3D)
Das Ergebnis erscheint als vollständig gekürzter Bruch (exakter Wert) wie \(\dfrac{13}{2}\) und als Dezimalzahl. Auch den Rechenweg mit den eingesetzten Zahlen sehen Sie
Eine Zeichnung zeigt, wo der Punkt liegt (auf der Strecke oder außerhalb, und auf welcher Seite). Als Koordinaten und Verhältniszahlen sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich
Außerdem erklärt die Seite, warum \(m\) und \(n\) in der Formel „über Kreuz“ stehen, und bietet Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Geben Sie das Verhältnis \(m:n\) in dieser Reihenfolge ein – \(m\) von \(\mathrm{A}\) aus gezählt, dann \(n\) von dort bis \(\mathrm{B}\). Vertauschen Sie die Reihenfolge, erhalten Sie einen anderen Punkt.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Fließende Bewegung zwischen zwei Punkten in Animation und Spielen (Computergrafik und Video)

Bewegt sich eine Figur oder eine Kamera von Punkt A nach Punkt B, berechnet der Computer ihre Position in jedem Einzelbild als „den Punkt, der die Strecke AB innen im Verhältnis \(t : \left(1-t\right)\) teilt“ (wobei \(t\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt). Das heißt lineare Interpolation (Lerp) und ist die grundlegendste Rechnung der Computergrafik.
Erhöht man t gleichmäßig von 0 auf 1, bewegt sich das Objekt mit konstanter Geschwindigkeit von A nach B; ändert man, wie schnell t wächst, entsteht eine natürliche Bewegung, die langsam anfährt und sanft abbremst. Farbverläufe, das Skalieren von Bildern und das Überblenden zweier Gesichter (Morphing) wenden dieselbe innere Teilung auf Farben oder Koordinaten an.

Gleichgewicht an Balkenwaage und Wippe (Physik und Schwerpunkt)

An den Enden eines 1 m langen Stabs (sein Eigengewicht sei vernachlässigbar) hängen 1 kg und 2 kg. Wo muss der Drehpunkt liegen, damit alles im Gleichgewicht ist? Das ist genau eine Rechnung zur inneren Teilung. Die Antwort: \(\dfrac{2}{3}\) m vom Ende mit 1 kg entfernt – der Schwerpunkt ist ein mit den Massen gewichtetes Mittel und rückt zum schwereren Ende. Als Formel: Liegt die Masse \(m_1\) bei \(x_1\) und die Masse \(m_2\) bei \(x_2\), ist der Schwerpunkt \(\dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\) – dieselbe Form wie die Formel der inneren Teilung.
Hier sieht es nicht nach „die Koordinate des leichten Endes wird mit der schweren Masse multipliziert“ aus, weil die Massen selbst die Gewichte sind. Bei der inneren Teilung, die mit dem Verhältnis von Längen arbeitet, ist das Gewicht „die Länge des Teils auf der anderen Seite“. Mit derselben Idee bestimmt man den Schwerpunkt von Dreiecken, Platten, Autos und Flugzeugen.

Klassendurchschnitte nach Schülerzahl gewichten (Statistik und gewichtetes Mittel)

Erreicht eine Klasse mit 40 Schülern im Schnitt 60 Punkte und eine Klasse mit 20 Schülern 90 Punkte, ist der gemeinsame Durchschnitt nicht 75, sondern \(\dfrac{40 \cdot 60 + 20 \cdot 90}{40 + 20} = 70\) Punkte. Fassen Sie 60 und 90 als zwei Punkte \(\mathrm{A}\) und \(\mathrm{B}\) auf der Zahlengeraden auf: Das Ergebnis teilt die Strecke \(\overline{\mathrm{AB}}\) innen im Verhältnis \(20:40\) – dem vertauschten Verhältnis der Schülerzahlen \(40:20\). Das Ergebnis rückt zu 60, der Seite mit mehr Schülern, weil die Schülerzahl der anderen Seite das Gewicht ist. Das ist genau dieselbe Vertauschung über Kreuz wie auf dieser Seite.
Preisindizes, Trefferquoten, Gesamtbewertungen von Umfragen und der durchschnittliche Einstandspreis einer Geldanlage fassen alle Gruppen unterschiedlicher Größe zusammen und haben diese Form. So vermeiden Sie den Fehler, einfach zu addieren und durch 2 zu teilen – damit bekäme die kleinere Gruppe zu viel Gewicht.

Pflöcke zwischen zwei Punkten setzen in Vermessung und Tiefbau (Bauwesen)

Beim Bau von Straßen und Baugebieten berechnet man aus den Koordinaten zweier vermessener Punkte „die Stelle bei einem festen Anteil dazwischen“ und schlägt dort einen Pflock ein. Die Punkte, die einen 100 m langen Abschnitt in vier gleiche Teile zerlegen (bei 25, 50 und 75 m), sind die inneren Teilungspunkte zu den Verhältnissen 1 : 3, 1 : 1 und 3 : 1.
Mit räumlichen Koordinaten einschließlich der Höhe findet dieselbe Formel Punkte auf halber Höhe eines Hangs. Selbst ein Tunnel, der von beiden Seiten gegraben wird und sich genau in der Mitte treffen muss, bleibt dank vieler solcher Koordinatenrechnungen auf Kurs.

Zwischenpunkte und Treffpunkte auf halber Strecke in Karten-Apps (Geoinformation)

Fasst man Breiten- und Längengrad zweier Orte als Koordinaten auf, liefert die Formel für den Mittelpunkt einen Ort ungefähr in der Mitte. Das nutzen Funktionen, die Treffpunkte vorschlagen, und man teilt so eine lange Route in gleichmäßige Abschnitte, um unterwegs Höhe oder Wetter zu prüfen.
Über große Entfernungen muss man die Kugelform der Erde berücksichtigen; innerhalb einer Stadt macht es in der Praxis aber kaum einen Unterschied, die Koordinaten als eben zu behandeln und mit der inneren Teilung zu rechnen.

Formeln und Zeichnungen

Innere Teilung (der Punkt, der eine Strecke innen im Verhältnis \(m:n\) teilt)

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \((\) \(n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m+n\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

⑥ \(x\): x-Koordinate des Teilungspunktes \(\mathrm{P}\) \(=\) \((\) ① \(n\): Verhältniszahl vom Punkt bis \(\mathrm{B}\) \(\times\) ② \(x_1\): x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) \(+\) ③ \(m\): Verhältniszahl von \(\mathrm{A}\) bis zum Punkt \(\times\) ④ \(x_2\): x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) ⑤ \(m+n\): Summe der Verhältniszahlen

Die Formel in Worten

① \(\mathrm{P}\) sei der Punkt, der die Strecke \(\overline{\mathrm{AB}}\) innen im Verhältnis \(m:n\) teilt. Man multipliziert die \(n\): Verhältniszahl vom Punkt bis \(\mathrm{B}\)

② mit der \(x_1\): x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{A}\),

③ ebenso die \(m\): Verhältniszahl von \(\mathrm{A}\) bis zum Punkt

④ mit der \(x_2\): x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{B}\) (und addiert die beiden Produkte).

⑤ Die Summe teilt man durch die \(m+n\): Summe der Verhältniszahlen

⑥ und erhält die x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{P}\) (die \(y\)- und \(z\)-Koordinaten berechnet man mit genau derselben Formel)

Einfaches Beispiel

Die \(x\)-Koordinate des Punktes \(\mathrm{P}\), der die Strecke von \(\mathrm{A}(1 \,|\, 2)\) nach \(\mathrm{B}(7 \,|\, 5)\) innen im Verhältnis \(2:1\) teilt, ist

x-Koordinate von \(\mathrm{P}\) \(=\) \((\) Verhältniszahl auf der Seite von \(\mathrm{B}\) (1) \(\times\) x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) Verhältniszahl auf der Seite von \(\mathrm{A}\) (2) \(\times\) x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) Summe der Verhältniszahlen (3)

\(x = \dfrac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{2 + 1} = \dfrac{15}{3} = 5\)

\(y = \dfrac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 5}{2 + 1} = \dfrac{12}{3} = 4 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{P}(5 \,|\, 4)\)

Der Grundgedanke

Wir teilen im Verhältnis \(m:n\) – warum wird dann \(m\) mit \(x_2\) (der Koordinate von B) und \(n\) mit \(x_1\) (der Koordinate von A) multipliziert? Diese Vertauschung „über Kreuz“ ist der Hauptgrund, warum man sich die Formel schlecht merken kann. Wenn Sie die Herleitung verfolgen, sehen Sie, dass sie ganz natürlich entsteht. Der Punkt \(\mathrm{P}\) liegt bei \(\dfrac{m}{m+n}\) des Weges von \(\mathrm{A}\) nach \(\mathrm{B}\). \(\overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} = m : n\) bedeutet: Die ganze Strecke wird in \(m + n\) gleiche Teile zerlegt, und \(m\) davon liegen auf der Seite von \(\mathrm{A}\). Man startet also bei der Koordinate von \(\mathrm{A}\) und geht \(\dfrac{m}{m+n}\) der Differenz \(x_2 - x_1\) in Richtung \(\mathrm{B}\). Vereinfacht ergibt das \(x = x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right) = \dfrac{\left(m+n\right)x_1 + m x_2 - m x_1}{m+n} = \dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) und bei \(x_1\) bleibt nur \(n\) übrig. Als Merkhilfe: „Die Zahl der gegenüberliegenden Seite ist das Gewicht.“ Liegt \(\mathrm{P}\) nahe bei \(\mathrm{A}\), ist das \(m\) auf der Seite von \(\mathrm{A}\) klein und das \(n\) auf der Seite von \(\mathrm{B}\) groß. Das Ergebnis muss nahe an der Koordinate von \(\mathrm{A}\) liegen – also ist es natürlich, dass die größere Zahl (\(n\)) zu \(x_1\) gehört. Das ist wie bei einer Balkenwaage, deren Drehpunkt zum schwereren Gewicht wandert. Verwechseln Sie \(m:n\) und \(n:m\), erhalten Sie einen ganz anderen Punkt. Schreiben Sie das Verhältnis immer in der Reihenfolge „\(m\) von \(\mathrm{A}\) aus, dann \(n\) von dort bis \(\mathrm{B}\)“, dann passieren weniger Fehler.

Äußere Teilung (der Punkt, der eine Strecke außen im Verhältnis \(m:n\) teilt)

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \((\) \(-n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m-n\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

⑥ \(x\): x-Koordinate des Teilungspunktes \(\mathrm{Q}\) \(=\) \((\) ① \(-n\): Verhältniszahl vom Punkt bis \(\mathrm{B}\) mit umgekehrtem Vorzeichen \(\times\) ② \(x_1\): x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) \(+\) ③ \(m\): Verhältniszahl von \(\mathrm{A}\) bis zum Punkt \(\times\) ④ \(x_2\): x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) ⑤ \(m-n\): Differenz der Verhältniszahlen

Die Formel in Worten

① \(\mathrm{Q}\) sei der Punkt, der die Strecke \(\overline{\mathrm{AB}}\) außen im Verhältnis \(m:n\) teilt. Man multipliziert \(-n\): die Verhältniszahl \(n\) mit umgekehrtem Vorzeichen

② mit der \(x_1\): x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{A}\),

③ ebenso die \(m\): Verhältniszahl von \(\mathrm{A}\) bis zum Punkt

④ mit der \(x_2\): x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{B}\) (und addiert die beiden Produkte).

⑤ Die Summe teilt man durch die \(m-n\): Differenz der Verhältniszahlen

⑥ und erhält die x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{Q}\) (sind \(m\) und \(n\) gleich, ist die Differenz \(0\) und es gibt keinen äußeren Teilungspunkt)

Einfaches Beispiel

Die \(x\)-Koordinate des Punktes \(\mathrm{Q}\), der die Strecke von \(\mathrm{A}(1 \,|\, 2)\) nach \(\mathrm{B}(7 \,|\, 5)\) außen im Verhältnis \(3:1\) teilt, ist

x-Koordinate von \(\mathrm{Q}\) \(=\) \((\) Verhältniszahl auf der Seite von \(\mathrm{B}\), Vorzeichen umgekehrt (−1) \(\times\) x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) Verhältniszahl auf der Seite von \(\mathrm{A}\) (3) \(\times\) x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) Differenz der Verhältniszahlen (2)

\(x = \dfrac{-1 \cdot 1 + 3 \cdot 7}{3 - 1} = \dfrac{20}{2} = 10\)

\(y = \dfrac{-1 \cdot 2 + 3 \cdot 5}{3 - 1} = \dfrac{13}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Q}\left(10 \,\middle|\, \dfrac{13}{2}\right)\)

Der Grundgedanke

Der äußere Teilungspunkt \(\mathrm{Q}\) liegt außerhalb der Strecke \(\overline{\mathrm{AB}}\), und trotzdem gilt \(\overline{\mathrm{AQ}} : \overline{\mathrm{QB}} = m : n\). Stellen Sie sich die innere Teilung als Teilen auf der Strecke vor und die äußere Teilung als Teilen auf ihrer Verlängerung. Die Formel sieht aus wie die für die innere Teilung, nur mit \(-n\) statt \(n\). Warum darf hier ein Minus stehen? Denken Sie neben der Länge auch an die Richtung. Bei der inneren Teilung zeigen der Weg von \(\mathrm{A}\) nach \(\mathrm{P}\) und der Weg von \(\mathrm{P}\) nach \(\mathrm{B}\) in dieselbe Richtung. Bei der äußeren Teilung zeigen der Weg von \(\mathrm{A}\) nach \(\mathrm{Q}\) und der Weg von \(\mathrm{Q}\) nach \(\mathrm{B}\) immer in entgegengesetzte Richtungen (\(\mathrm{Q}\) liegt außerhalb, man muss von \(\mathrm{Q}\) aus umkehren, um \(\mathrm{B}\) zu erreichen). Die Längen stehen weiter im Verhältnis \(m:n\), mit Richtung wird daraus aber \(m : \left(-n\right)\). Setzt man \(m : \left(-n\right)\) tatsächlich in die Formel der inneren Teilung ein, erhält man \(\dfrac{\left(-n\right)x_1 + m x_2}{m + \left(-n\right)} = \dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n}\) und das ist genau die Formel der äußeren Teilung. Merken Sie sich „äußere Teilung = innere Teilung mit einem Minus vor der zweiten Zahl“, dann brauchen Sie keine zweite Formel. Auf welcher Seite der Punkt liegt, hängt davon ab, ob \(m\) oder \(n\) größer ist: Für \(m > n\) liegt er hinter \(\mathrm{B}\), für \(m < n\) vor \(\mathrm{A}\) (in der Richtung weg von \(\mathrm{B}\)). \(\mathrm{Q}\) liegt immer auf der Seite des Punktes, dessen Verhältniszahl kleiner ist. Nur für \(m = n\) gibt es keinen äußeren Teilungspunkt. In der Formel wird der Nenner \(m - n\) zu \(0\). In der Zeichnung gibt es auf der Geraden \(\mathrm{AB}\) keinen Punkt außerhalb der Strecke, der gleich weit von \(\mathrm{A}\) und \(\mathrm{B}\) entfernt ist.

Mittelpunkt (innere Teilung im Verhältnis \(1:1\))

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(2\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): x-Koordinate des Mittelpunkts \(\mathrm{M}\) \(=\) \((\) ① \(x_1\): x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) \(+\) ② \(x_2\): x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) \(2\)

Die Formel in Worten

① Man addiert die \(x_1\): x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{A}\)

② und die \(x_2\): x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{B}\), teilt durch 2

③ und erhält die x-Koordinate des Mittelpunkts \(\mathrm{M}\) (einfach der Mittelwert der beiden Koordinaten)

Einfaches Beispiel

Die \(x\)-Koordinate des Mittelpunkts \(\mathrm{M}\) von \(\mathrm{A}(1 \,|\, 2)\) und \(\mathrm{B}(7 \,|\, 5)\) ist

x-Koordinate von \(\mathrm{M}\) \(=\) \((\) x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) \(2\)

\(x = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5}{2} = \dfrac{7}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{M}\left(4 \,\middle|\, \dfrac{7}{2}\right)\)

Der Grundgedanke

Der Mittelpunkt ist die innere Teilung im Verhältnis \(1:1\). Setzt man \(m = 1\) und \(n = 1\) in die Formel der inneren Teilung ein, erhält man \(x = \dfrac{1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2}{1 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) und die Vertauschung über Kreuz verschwindet. Beide Koordinaten werden mit derselben \(1\) multipliziert, also spielt die Zuordnung keine Rolle. Deshalb wirkt die Formel der inneren Teilung plötzlich schwer, wenn man an die Mittelpunktsformel gewöhnt ist: Man hat mit genau dem Sonderfall angefangen, in dem die Vertauschung unsichtbar ist. Im Grunde berechnet man nur den Mittelwert zweier Koordinaten. Stellen Sie es sich vor wie den Durchschnitt zweier Noten – getrennt für die \(x\)- und die \(y\)-Koordinaten –, dann verlieren Sie nicht den Überblick.

Schwerpunkt eines Dreiecks

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \(+\) \(x_3\) \()\) \(\div\) \(3\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(x\): x-Koordinate des Schwerpunkts \(\mathrm{G}\) \(=\) \((\) ① \(x_1\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{A}\) \(+\) ② \(x_2\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{B}\) \(+\) ③ \(x_3\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{C}\) \()\) \(\div\) \(3\)

Die Formel in Worten

① Für das Dreieck \(\mathrm{ABC}\) addiert man die \(x_1\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{A}\),

② die \(x_2\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{B}\)

③ und die \(x_3\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{C}\), teilt durch 3

④ und erhält die x-Koordinate des Schwerpunkts \(\mathrm{G}\) (der Mittelwert der Koordinaten der drei Ecken)

Einfaches Beispiel

Die \(x\)-Koordinate des Schwerpunkts \(\mathrm{G}\) des Dreiecks mit den Ecken \(\mathrm{A}(1 \,|\, 2)\), \(\mathrm{B}(7 \,|\, 5)\) und \(\mathrm{C}(4 \,|\, 8)\) ist

x-Koordinate von \(\mathrm{G}\) \(=\) \((\) x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) (7) \(+\) x-Koordinate von \(\mathrm{C}\) (4) \()\) \(\div\) \(3\)

\(x = \dfrac{1 + 7 + 4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5 + 8}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{G}(4 \,|\, 5)\)

Der Grundgedanke

Der Schwerpunkt \(\mathrm{G}\) ist der Punkt, in dem sich die drei Seitenhalbierenden schneiden (die Strecken von jeder Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite). Eine dreieckige Platte bleibt waagerecht im Gleichgewicht, wenn man sie in diesem einen Punkt unterstützt – daher der Name Schwerpunkt. Warum der Mittelwert der Koordinaten funktioniert, können Sie mit der Formel der inneren Teilung prüfen. Die \(x\)-Koordinate des Mittelpunkts \(\mathrm{M}\) der Seite \(\overline{\mathrm{BC}}\) ist \(\dfrac{x_2 + x_3}{2}\). Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierende \(\overline{\mathrm{AM}}\) von der Ecke aus innen im Verhältnis \(2:1\). Mit \(m = 2\) und \(n = 1\) in der Formel der inneren Teilung erhält man \(x = \dfrac{1 \cdot x_1 + 2 \cdot \dfrac{x_2 + x_3}{2}}{2 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\) also den Mittelwert der drei Koordinaten. Dieses \(2:1\) ist die wichtigste Eigenschaft des Schwerpunkts: \(\overline{\mathrm{AG}}\) ist genau doppelt so lang wie \(\overline{\mathrm{GM}}\). Das Verhältnis gilt für jede Seitenhalbierende. Wenn Sie sich „der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende von der Ecke aus im Verhältnis 2 : 1“ merken, hilft das bei vielen Geometrieaufgaben.

Der Punkt, der die Strecke \(\overline{\mathrm{AB}}\) im Verhältnis \(m:n\) teilt, ist bei der inneren Teilung \(\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n} \,\middle|\, \dfrac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right)\) und bei der äußeren Teilung \(\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m-n} \,\middle|\, \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m-n}\right)\), also mit \(-n\) statt \(n\). Die Koordinate von \(\mathrm{A}\) wird mit \(n\), der Zahl der gegenüberliegenden Seite, multipliziert: Je größer \(n\), desto näher liegt der Punkt bei \(\mathrm{A}\) (der Teilungspunkt rückt zu dem Ende mit der kleineren Verhältniszahl). Der Mittelpunkt ist die innere Teilung im Verhältnis \(1:1\), der Schwerpunkt eines Dreiecks der Mittelwert der Koordinaten seiner drei Ecken. Alle beruhen auf derselben Idee, dem gewichteten Mittel.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}\)	A, B, C	Namen für Punkte. In der Geometrie bezeichnet man Punkte mit Großbuchstaben, meist der Reihe nach A, B, C. Auf dieser Seite sind \(\mathrm{A}\) und \(\mathrm{B}\) die Endpunkte der Strecke und \(\mathrm{C}\) die dritte Ecke des Dreiecks.
\(x_1,\ y_1\)	x eins, y eins	Die Koordinaten des Punktes \(\mathrm{A}\). Die kleine Zahl unten rechts (der Index) gibt an, um welchen Punkt es geht, und ist keine Zahl, mit der gerechnet wird. Ebenso sind \(x_2,\ y_2\) die Koordinaten von \(\mathrm{B}\) und \(x_3,\ y_3\) die von \(\mathrm{C}\).
\(m:n\)	m zu n	Das Verhältnis, in dem die Strecke geteilt wird. \(m\) ist der Anteil von \(\mathrm{A}\) bis zum Teilungspunkt, \(n\) der Anteil vom Teilungspunkt bis \(\mathrm{B}\). \(m\) und \(n\) sind einfach Buchstaben, die man gern für Verhältnisse nimmt. Vertauschen Sie die Reihenfolge, erhalten Sie einen anderen Punkt.
\(\mathrm{P}\)	P	Ein häufiger Name für den inneren Teilungspunkt, nach dem Anfangsbuchstaben von lateinisch „punctum“ (englisch „point“).
\(\mathrm{Q}\)	Q	Ein häufiger Name für den äußeren Teilungspunkt. Üblicherweise nimmt man den Buchstaben nach \(\mathrm{P}\).
\(\mathrm{M}\)	M	Ein häufiger Name für den Mittelpunkt, nach seinem Anfangsbuchstaben.
\(\mathrm{G}\)	G	Ein häufiger Name für den Schwerpunkt. Er stammt vom englischen „center of gravity“ (Schwerkraftzentrum); manche deutschen Lehrbücher schreiben auch \(\mathrm{S}\).
\(\overline{\mathrm{AB}}\)	Strecke AB	Die Strecke zwischen den Punkten \(\mathrm{A}\) und \(\mathrm{B}\): das Stück einer Geraden zwischen zwei festen Endpunkten. Auf dieser Seite steht \(\overline{\mathrm{AB}}\) auch für ihre Länge.
\(\overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}}\)	AP zu PB	Das Verhältnis der Länge der Strecke \(\overline{\mathrm{AP}}\) zur Länge der Strecke \(\overline{\mathrm{PB}}\). Der Punkt \(\mathrm{P}\) mit \(\overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} = m : n\) teilt die Strecke \(\overline{\mathrm{AB}}\) innen im Verhältnis \(m:n\).

Begriffe

Strecke	Das Stück einer Geraden zwischen zwei Punkten. Mit zwei Endpunkten heißt es Strecke, mit einem Endpunkt und unbegrenzt in eine Richtung Halbgerade (Strahl), unbegrenzt in beide Richtungen Gerade.
innere Teilung	Teilung einer Strecke durch einen Punkt auf ihr in einem gegebenen Verhältnis. Der Punkt \(\mathrm{P}\), der \(\overline{\mathrm{AB}}\) innen im Verhältnis \(m:n\) teilt, ist der Punkt auf der Strecke mit \(\overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} = m : n\). Man sagt auch: \(\mathrm{P}\) teilt die Strecke im Teilverhältnis \(m : n\).
äußere Teilung	Teilung einer Strecke durch einen Punkt auf ihrer Verlängerung, außerhalb der Strecke, sodass \(\overline{\mathrm{AQ}} : \overline{\mathrm{QB}} = m : n\) gilt. Der Punkt liegt auf der Seite des Endpunkts mit der kleineren Verhältniszahl (hinter \(\mathrm{B}\) für \(m > n\), vor \(\mathrm{A}\) für \(m < n\)). Für \(m = n\) gibt es keinen solchen Punkt.
Teilungspunkt	Oberbegriff für einen Punkt, der eine Strecke in einem gegebenen Verhältnis teilt – innen oder außen.
Mittelpunkt	Der Punkt in der Mitte einer Strecke, gleich weit von beiden Endpunkten entfernt. Er entspricht der inneren Teilung im Verhältnis \(1:1\).
Schwerpunkt	Der eine Punkt, in dem sich die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden. Eine dreieckige Platte bleibt dort im Gleichgewicht; seine Koordinaten sind der Mittelwert der Koordinaten der drei Ecken.
Seitenhalbierende	Die Strecke von einer Ecke eines Dreiecks zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich immer in einem Punkt (dem Schwerpunkt), der jede von der Ecke aus innen im Verhältnis \(2:1\) teilt.
Verhältnis	Ein Vergleich zweier Größen, nebeneinander geschrieben wie „\(2:1\)“ (gelesen „2 zu 1“). \(2:1\) und \(4:2\) sind dasselbe Verhältnis. Auf dieser Seite vergleicht es die Längen der beiden Teile einer geteilten Strecke.
Koordinaten	Zahlen, die die Lage eines Punktes angeben: eine Zahl auf der Zahlengeraden, zwei \((x \,\|\, y)\) in der Ebene und drei \((x \,\|\, y \,\|\, z)\) im Raum.
Zahlengerade	Eine Gerade mit einer Skala, auf der jeder Zahl genau ein Punkt entspricht. Sie ist die einfachste Art von Koordinaten – eine Zahl genügt für die Lage.
Koordinatensystem	Eine Ebene mit einer waagerechten \(x\)-Achse und einer senkrechten \(y\)-Achse, sodass sich jeder Punkt durch zwei Zahlen \((x \,\|\, y)\) angeben lässt.
gewichtetes Mittel	Ein Mittelwert, bei dem jede Zahl ein „Gewicht“ bekommt. Die Koordinate der inneren Teilung \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) ist genau das gewichtete Mittel von \(x_1\) mit Gewicht \(n\) und \(x_2\) mit Gewicht \(m\). Der gewöhnliche Mittelwert ist der Sonderfall, in dem alle Gewichte gleich sind.
Index	Eine kleine Zahl unten rechts an einem Buchstaben, wie in \(x_1\) und \(x_2\). Sie unterscheidet gleichartige Größen voneinander; sie ist weder ein Faktor noch ein Exponent.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur auf den Knopf drücken, hilft Ihnen das folgende Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist eine Wiederholung dieser Themen der schnellste Weg.

Zahlengerade und Koordinaten (Klasse 4–6, 9–12 Jahre)	Wissen, dass eine Zahlengerade eine Gerade mit Skala ist, auf der Zahlen Punkten entsprechen, und auch negative Zahlen darauf finden können Den Punkt \((3 \,\|\, -2)\) im Koordinatensystem als „3 nach rechts und 2 nach unten“ lesen können Wissen, dass bei Koordinaten mit Buchstaben und Index wie \((x_1 \,\|\, y_1)\) der Index \(1\) nur „erster Punkt“ bedeutet und keine Zahl ist, mit der multipliziert wird
Verhältnisse und Anteile (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass ein Verhältnis wie \(2:1\) ein Ganzes in 3 gleiche Teile zerlegt und als 2 und 1 aufteilt Wissen, dass \(2:1\) und \(4:2\) dasselbe Verhältnis sind (multipliziert oder dividiert man beide Zahlen mit derselben Zahl, ändert sich das Verhältnis nicht) Wissen, dass beim Teilen im Verhältnis \(m:n\) der Teil auf der Seite von \(\mathrm{A}\) gerade \(\dfrac{m}{m+n}\) des Ganzen ist
Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Beim Multiplizieren und Dividieren negativer Zahlen das richtige Vorzeichen finden, etwa \(-3 \cdot 4 = -12\) und \(\left(-9\right) : \left(-2\right) = \dfrac{9}{2}\) Mit einem Buchstaben mit Minuszeichen rechnen können, etwa dem \(-n\) in der Formel der äußeren Teilung
Bruchrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Kürzen können wie bei \(\dfrac{15}{3} = 5\) und Ergebnisse als vollständig gekürzte Brüche schreiben Einen Bruch wie \(\dfrac{9}{2}\) ohne Bedenken als Ergebnis stehen lassen (eine Umwandlung in eine Dezimalzahl ist nicht nötig)
Terme und Einsetzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Zahlen in einen Term wie \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n}\) einsetzen und ausrechnen können Einen Term wie \(x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right)\) ausmultiplizieren und gleichartige Terme zusammenfassen können
Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass man den Mittelwert berechnet, indem man alles addiert und durch die Anzahl teilt (Mittelpunkt und Schwerpunkt sind genau solche Mittelwerte) Wissen, dass man die Durchschnitte unterschiedlich großer Gruppen nicht einfach addieren und teilen darf

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Punkt der inneren Teilung

x-Koordinate von A, x1	1
y-Koordinate von A, y1	2
x-Koordinate von B, x2	7
y-Koordinate von B, y2	5
Verhältniszahl m (von A bis zum Punkt)	2
Verhältniszahl n (vom Punkt bis B)	1
x-Koordinate von P (innen)	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
y-Koordinate von P (innen)	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

Tabelle für den Punkt der äußeren Teilung

x-Koordinate von A, x1	1
y-Koordinate von A, y1	2
x-Koordinate von B, x2	7
y-Koordinate von B, y2	5
Verhältniszahl m (von A bis zum Punkt)	3
Verhältniszahl n (vom Punkt bis B)	1
x-Koordinate von Q (außen)	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
y-Koordinate von Q (außen)	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

Tabelle für den Mittelpunkt

x-Koordinate von A, x1	1
y-Koordinate von A, y1	2
x-Koordinate von B, x2	7
y-Koordinate von B, y2	5
x-Koordinate des Mittelpunkts M	=(B1+B3)/2
y-Koordinate des Mittelpunkts M	=(B2+B4)/2

Tabelle für den Schwerpunkt eines Dreiecks

x-Koordinate der Ecke A, x1	1
y-Koordinate der Ecke A, y1	2
x-Koordinate der Ecke B, x2	7
y-Koordinate der Ecke B, y2	5
x-Koordinate der Ecke C, x3	4
y-Koordinate der Ecke C, y3	8
x-Koordinate des Schwerpunkts G	=(B1+B3+B5)/3
y-Koordinate des Schwerpunkts G	=(B2+B4+B6)/3

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koordinaten und das Verhältnis) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. „*“ steht für die Multiplikation, „/“ für die Division.
Die erste Tabelle teilt die Strecke von A(1 | 2) nach B(7 | 5) innen im Verhältnis 2 : 1 und ergibt P(5 | 4). Die Formel für die x-Koordinate, „=(B6*B1+B5*B3)/(B5+B6)“, wirkt zuerst vertauscht: B1 (x-Koordinate von A) wird mit B6 (Verhältniszahl n) multipliziert und B3 (x-Koordinate von B) mit B5 (Verhältniszahl m). Das ist die Vertauschung über Kreuz – tauscht man sie, ändert sich das Ergebnis.
Die zweite Tabelle teilt dieselben Punkte außen im Verhältnis 3 : 1 und ergibt Q(10 | 6,5). Anders als in der ersten Tabelle sind nur das Minus vor B6 und die Subtraktion im Nenner. Geben Sie für m und n denselben Wert ein, wird der Nenner 0 und der Fehler #DIV/0! erscheint – ein Zeichen dafür, dass es keinen äußeren Teilungspunkt gibt.
Die dritte Tabelle ergibt den Mittelpunkt M(4 | 3,5), die vierte den Schwerpunkt G(4 | 5) des Dreiecks mit den Ecken A(1 | 2), B(7 | 5) und C(4 | 8).

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Punkt der inneren Teilung

x-Koordinate von A, x1	1
y-Koordinate von A, y1	2
x-Koordinate von B, x2	7
y-Koordinate von B, y2	5
Verhältniszahl m (von A bis zum Punkt)	2
Verhältniszahl n (vom Punkt bis B)	1
x-Koordinate von P (innen)	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
y-Koordinate von P (innen)	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

Tabelle für den Punkt der äußeren Teilung

x-Koordinate von A, x1	1
y-Koordinate von A, y1	2
x-Koordinate von B, x2	7
y-Koordinate von B, y2	5
Verhältniszahl m (von A bis zum Punkt)	3
Verhältniszahl n (vom Punkt bis B)	1
x-Koordinate von Q (außen)	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
y-Koordinate von Q (außen)	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

Tabelle für den Mittelpunkt

x-Koordinate von A, x1	1
y-Koordinate von A, y1	2
x-Koordinate von B, x2	7
y-Koordinate von B, y2	5
x-Koordinate des Mittelpunkts M	=(B1+B3)/2
y-Koordinate des Mittelpunkts M	=(B2+B4)/2

Tabelle für den Schwerpunkt eines Dreiecks

x-Koordinate der Ecke A, x1	1
y-Koordinate der Ecke A, y1	2
x-Koordinate der Ecke B, x2	7
y-Koordinate der Ecke B, y2	5
x-Koordinate der Ecke C, x3	4
y-Koordinate der Ecke C, y3	8
x-Koordinate des Schwerpunkts G	=(B1+B3+B5)/3
y-Koordinate des Schwerpunkts G	=(B2+B4+B6)/3

Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koordinaten und das Verhältnis durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction

# Koordinaten der Punkte (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
point_a = (Fraction(1), Fraction(2))
point_b = (Fraction(7), Fraction(5))
point_c = (Fraction(4), Fraction(8))   # dritte Ecke, für den Schwerpunkt

def internal_point(a, b, m, n):
    # Innere Teilung: mit der Zahl der gegenüberliegenden Seite multiplizieren (n für A, m für B)
    return tuple((n * p + m * q) / (m + n) for p, q in zip(a, b))

def external_point(a, b, m, n):
    # Äußere Teilung: innere Teilung mit -n statt n (für m = n nicht berechenbar)
    return tuple((-n * p + m * q) / (m - n) for p, q in zip(a, b))

def midpoint(a, b):
    # Mittelpunkt: Mittelwert der beiden Koordinaten (innere Teilung 1:1)
    return tuple((p + q) / 2 for p, q in zip(a, b))

def centroid(a, b, c):
    # Schwerpunkt eines Dreiecks: Mittelwert der Koordinaten der drei Ecken
    return tuple((p + q + r) / 3 for p, q, r in zip(a, b, c))

def show(point):
    # Brüche gut lesbar ausgeben, etwa "(5, 4)" oder "(10, 13/2)"
    return "(" + ", ".join(str(v) for v in point) + ")"

print("Innere Teilung 2:1 :", show(internal_point(point_a, point_b, Fraction(2), Fraction(1))))
print("Äußere Teilung 3:1 :", show(external_point(point_a, point_b, Fraction(3), Fraction(1))))
print("Mittelpunkt        :", show(midpoint(point_a, point_b)))
print("Schwerpunkt        :", show(centroid(point_a, point_b, point_c)))

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ganz ohne Rundungsfehler. Das Beispiel verwendet A(1 | 2), B(7 | 5) und C(4 | 8). Beim Ausführen erscheinen der Punkt der inneren Teilung (5, 4), der Punkt der äußeren Teilung (10, 13/2), der Mittelpunkt (4, 7/2) und der Schwerpunkt (4, 5) – Python trennt die Koordinaten mit Kommas. Weil das Programm zip verwendet, funktioniert es auch im Raum (3D) unverändert, wenn Sie jedem Punkt drei Koordinaten geben.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Innere Teilung (der Punkt, der eine Strecke innen im Verhältnis \(m:n\) teilt)

P = ((n·x₁ + m·x₂) ÷ (m + n),  (n·y₁ + m·y₂) ÷ (m + n))

P\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n},\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (n*x_1 + m*x_2)/(m + n)

{(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)}

P := [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

P = [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

x = (n x_1 + m x_2)/(m + n)

Äußere Teilung (der Punkt, der eine Strecke außen im Verhältnis \(m:n\) teilt)

Q = ((−n·x₁ + m·x₂) ÷ (m − n),  (−n·y₁ + m·y₂) ÷ (m − n))

Q\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n},\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m - n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-n*x_1 + m*x_2)/(m - n)

{(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)}

Q := [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

Q = [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

x = (-n x_1 + m x_2)/(m - n)

Mittelpunkt (innere Teilung im Verhältnis \(1:1\))

M = ((x₁ + x₂) ÷ 2,  (y₁ + y₂) ÷ 2)

M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mrow>
      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2)/2

{(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2}

M := [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

M = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

x = (x_1 + x_2)/2

Schwerpunkt eines Dreiecks

G = ((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3,  (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3)

G\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>3</mn></msub>
      </mrow>
      <mn>3</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

{(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3}

G := [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

G = [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (analytische Geometrie). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Bestimmen Sie für die beiden Punkte A(1 | 2) und B(7 | 5) im Koordinatensystem:
1. die Koordinaten des Punktes P, der die Strecke AB innen im Verhältnis 2 : 1 teilt
2. die Koordinaten des Punktes Q, der die Strecke AB außen im Verhältnis 3 : 1 teilt
3. die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke AB
4. die Koordinaten des Schwerpunkts G des Dreiecks ABC mit dem zusätzlichen Punkt C(4 | 8)

Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek und geben Sie jedes Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
Erklären Sie außerdem Schritt für Schritt anhand der Umformung, warum in der Formel der inneren Teilung die Koordinate von A mit n multipliziert wird (warum die Formel „über Kreuz“ aufgebaut ist).

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel