Teilungspunkt berechnen (innere und äußere Teilung, Streckenmitte und Schwerpunkt)

Wählen Sie die Art des Punktes und die Dimension und geben Sie dann die Koordinaten der beiden Punkte A und B sowie das Verhältnis m:n ein. Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verbunden, Sie können die Koordinaten oder das Verhältnis also auch direkt in der Formel ändern.

Gesuchter Punkt

Dimension

Punkt A: x-Koordinate x₁

Punkt A: y-Koordinate y₁

Punkt A: z-Koordinate z₁

Punkt B: x-Koordinate x₂

Punkt B: y-Koordinate y₂

Punkt B: z-Koordinate z₂

Punkt C: x-Koordinate x₃

Punkt C: y-Koordinate y₃

Punkt C: z-Koordinate z₃

Verhältnisanteil m (von A bis zum Punkt)

Verhältnisanteil n (vom Punkt bis B)

Sie können Dezimalzahlen mit Komma, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 verwenden. Eine leere Koordinate zählt als 0, eine leere Zahl im Verhältnis als 1. Das Verhältnis m:n gilt in der Reihenfolge „m von A aus, dann n von dort bis B“.

Ergebnis und Figur

Geben Sie im Feld links die Koordinaten der beiden Punkte und das Verhältnis ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Abbildung erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie die Koordinaten zweier Punkte \(\mathrm{A}\) und \(\mathrm{B}\) und ein Verhältnis \(m:n\) ein, und Sie erhalten sofort die Koordinaten des Punktes, der die Strecke \(\mathrm{AB}\) im Verhältnis \(m:n\) innen oder außen teilt
Die Streckenmitte (innere Teilung im Verhältnis \(1:1\)) und der Schwerpunkt eines Dreiecks (der Mittelwert der Koordinaten seiner drei Ecken) lassen sich auf derselben Seite berechnen
Funktioniert auf der Zahlengeraden (1D), im Koordinatensystem der Ebene (2D) und im Raum (3D)
Die Antwort wird sowohl als exakter, vollständig gekürzter Bruch wie \(\dfrac{13}{2}\) als auch als Dezimalzahl angezeigt. Sie sehen auch den Rechenweg mit den eingesetzten Zahlen
Eine Abbildung zeigt, wo der Punkt auf der Strecke liegt (innerhalb oder außerhalb, auf welcher Seite). Koordinaten und Verhältnisse können Dezimalzahlen (mit Komma), negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein
Eine Erklärung der „Über-Kreuz-Multiplikation“ in der Formel (warum \(m\) und \(n\) die Plätze zu tauschen scheinen) sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Geben Sie das Verhältnis \(m:n\) in dieser Reihenfolge ein: \(m\) von \(\mathrm{A}\) aus gezählt, dann \(n\) von dort bis \(\mathrm{B}\). Vertauscht man die Reihenfolge, erhält man einen anderen Punkt.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Sanfte Bewegung zwischen zwei Punkten in Animationen und Spielen (Computergrafik und Video)

Wenn sich eine Figur oder eine Kamera von Punkt A nach Punkt B bewegt, bestimmt der Computer ihre Position in jedem Bild als „den Punkt, der die Strecke AB innen im Verhältnis \(t : \left(1-t\right)\) teilt“ (wobei \(t\) eine Zahl zwischen \(0\) und \(1\) ist). Das nennt man lineare Interpolation (Lerp), die grundlegendste Rechnung der Computergrafik.
Erhöhen Sie t nach und nach von 0 auf 1, und das Objekt bewegt sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit von A nach B. Ändern Sie, wie schnell t wächst, und Sie erhalten eine natürliche Bewegung, die langsam anfährt und langsam stoppt. Das Mischen von Farben, das Ändern der Bildgröße und das Morphing zwischen zwei Gesichtern wenden dieselbe Rechnung der inneren Teilung auf Farben oder Koordinaten an.

Das Gleichgewicht an der Wippe oder Balkenwaage (Physik und Schwerpunkt)

Hängen Sie an die beiden Enden eines 1 m langen Stabes ein Gewicht von 1 kg und eines von 2 kg (das Eigengewicht des Stabes sei so klein, dass Sie es vernachlässigen können). Wo muss der Drehpunkt sitzen, damit alles im Gleichgewicht ist? Das ist genau eine Rechnung der inneren Teilung. Die Antwort ist \(\dfrac{2}{3}\) m ≈ 0,67 m vom Ende mit dem 1-kg-Gewicht entfernt: Der Schwerpunkt ist ein mit den Gewichten gewichteter Mittelwert und verschiebt sich zum schwereren Ende hin. Als Formel gilt: Bei der Masse \(m_1\) an der Stelle \(x_1\) und der Masse \(m_2\) an der Stelle \(x_2\) ist der Schwerpunkt \(\dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\), dieselbe Form wie die Formel der inneren Teilung.
Hier sieht es nicht so aus, als würde „die Koordinate des leichteren Endes mit der größeren Masse multipliziert“, denn die Massen selbst sind die Gewichte. Bei der inneren Teilung, die mit dem Verhältnis der Längen arbeitet, ist das Gewicht „die Länge des Teils auf der anderen Seite“. Derselbe Gedanke wird verwendet, um den Schwerpunkt von Dreiecken, Platten, Autos und Flugzeugen zu bestimmen.

Klassendurchschnitte nach Schülerzahl gewichtet zusammenfassen (Statistik und gewichtete Mittel)

Hat eine Klasse mit 40 Lernenden einen Durchschnitt von 60 Punkten und eine Klasse mit 20 Lernenden einen Durchschnitt von 90 Punkten, beträgt der gemeinsame Durchschnitt beider Klassen nicht 75, sondern \(\dfrac{40 \times 60 + 20 \times 90}{40 + 20} = 70\) Punkte. Stellen Sie sich 60 und 90 als zwei Punkte \(\mathrm{A}\) und \(\mathrm{B}\) auf der Zahlengeraden vor: Die Antwort teilt die Strecke \(\mathrm{AB}\) innen im Verhältnis \(20:40\), das ist das Verhältnis der Schülerzahlen \(40:20\) mit vertauschten Seiten. Die Antwort liegt näher bei 60, der Seite mit mehr Lernenden, weil die Schülerzahl der anderen Seite das Gewicht ist. Es ist genau derselbe Tausch wie die Über-Kreuz-Multiplikation auf dieser Seite.
Preisindizes, Trefferquoten, Gesamtbewertungen in Umfragen und der durchschnittliche Einstandskurs pro Aktie einer Geldanlage sind alles Mittelwerte, die Gruppen unterschiedlicher Größe zusammenfassen, und alle haben diese Form. So vermeiden Sie den Fehler, einfach zu addieren und durch 2 zu teilen, wodurch die kleinere Gruppe zu viel Gewicht bekommt.

Die Lage von Pflöcken zwischen zwei Punkten festlegen in Vermessung und Tiefbau (Bauwesen)

Bei Straßen- und Geländebauarbeiten nutzen Vermesserinnen und Vermesser die Koordinaten zweier eingemessener Punkte, um „die Stelle, die einen bestimmten Bruchteil des Weges dazwischen liegt“ zu berechnen und dort einen Pflock einzuschlagen. Die Punkte, die eine 100 m lange Strecke in vier gleiche Teile teilen, bei 25, 50 und 75 m, sind die Punkte der inneren Teilung für die Verhältnisse 1:3, 1:1 und 3:1.
Mit 3D-Koordinaten, die die Höhe einschließen, bestimmt dieselbe Formel Punkte auf halber Höhe eines Hangs. Auch bei einem Tunnel, der von beiden Seiten aufgefahren wird und sich genau in der Mitte treffen muss, halten viele solche Koordinatenberechnungen die Arbeit genau.

Einen Punkt unterwegs oder einen Treffpunkt in der Mitte in Karten-Apps finden (Geoinformation)

Fasst man Breiten- und Längengrad zweier Orte als Koordinaten auf, liefert die Formel der Streckenmitte einen Ort ungefähr auf halbem Weg. Das nutzen Funktionen, die Treffpunkte vorschlagen, und man kann damit eine lange Route in gleichmäßig verteilte Punkte zerlegen, um unterwegs die Höhe oder das Wetter zu prüfen.
Über große Entfernungen braucht man Rechnungen, die die Kugelform der Erde berücksichtigen. Innerhalb einer Stadt macht es in der Praxis kaum einen Unterschied, die Koordinaten als flach aufzufassen und die innere Teilung zu verwenden.

Formeln und Abbildungen

Innere Teilung (der Punkt, der eine Strecke innen im Verhältnis \(m:n\) teilt)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \((\) \(n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m+n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑥ \(x\): x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{P}\) \(=\) \((\) ① \(n\): Anteil des Verhältnisses vom Punkt bis \(\mathrm{B}\) \(\times\) ② \(x_1\): x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) \(+\) ③ \(m\): Anteil des Verhältnisses von \(\mathrm{A}\) bis zum Punkt \(\times\) ④ \(x_2\): x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) ⑤ \(m+n\): Summe der Anteile des Verhältnisses

Die Formel in Worten

① Sei \(\mathrm{P}\) der Punkt, der die Strecke \(\mathrm{AB}\) innen im Verhältnis \(m:n\) teilt. Nehmen Sie den \(n\): Anteil des Verhältnisses vom Punkt bis \(\mathrm{B}\)

② und multiplizieren Sie ihn mit der \(x_1\): x-Koordinate von Punkt \(\mathrm{A}\)

③ Nehmen Sie den \(m\): Anteil des Verhältnisses von \(\mathrm{A}\) bis zum Punkt

④ und multiplizieren Sie ihn mit der \(x_2\): x-Koordinate von Punkt \(\mathrm{B}\) (addieren Sie dann die beiden Produkte)

⑤ Teilen Sie die Summe durch die \(m+n\): Summe der Anteile des Verhältnisses

⑥ und Sie erhalten die x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{P}\) (die \(y\)- und die \(z\)-Koordinate ergeben sich mit genau derselben Formel)

Einfaches Beispiel

Die \(x\)-Koordinate des Punktes \(\mathrm{P}\), der \(\mathrm{A}(1|2)\) und \(\mathrm{B}(7|5)\) innen im Verhältnis \(2:1\) teilt, ist

x-Koordinate von \(\mathrm{P}\) \(=\) \((\) Verhältnisanteil auf der Seite von \(\mathrm{B}\) (1) \(\times\) x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) Verhältnisanteil auf der Seite von \(\mathrm{A}\) (2) \(\times\) x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) Summe der Anteile des Verhältnisses (3)

\(x = \dfrac{1 \times 1 + 2 \times 7}{2 + 1} = \dfrac{15}{3} = 5\)

\(y = \dfrac{1 \times 2 + 2 \times 5}{2 + 1} = \dfrac{12}{3} = 4 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{P}(5|4)\)

Der Kerngedanke

Wir teilen im Verhältnis \(m:n\). Warum wird dann \(m\) mit \(x_2\) (der Koordinate von Punkt B) und \(n\) mit \(x_1\) (der Koordinate von Punkt A) multipliziert? Dieser Tausch, die „Über-Kreuz-Multiplikation“, ist der Hauptgrund, warum man sich die Teilungsformel schwer merken kann. Folgt man der Überlegung, sieht man, dass der Tausch das natürliche Ergebnis ist. Der Punkt \(\mathrm{P}\) liegt \(\dfrac{m}{m+n}\) des Weges von \(\mathrm{A}\) nach \(\mathrm{B}\) von \(\mathrm{A}\) entfernt. \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) bedeutet, dass die ganze Strecke \(\mathrm{AB}\) in \(m + n\) gleiche Teile zerlegt ist und \(m\) davon auf der Seite von \(\mathrm{A}\) liegen. Man startet also bei der Koordinate von \(\mathrm{A}\) und geht \(\dfrac{m}{m+n}\) der Änderung von \(\mathrm{A}\) nach \(\mathrm{B}\), \(x_2 - x_1\). Vereinfacht ergibt das \(x = x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right) = \dfrac{\left(m+n\right)x_1 + m x_2 - m x_1}{m+n} = \dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) und auf der Seite von \(x_1\) bleibt nur \(n\) übrig. Zum Merken über die Bedeutung: „Die Zahl der gegenüberliegenden Seite ist das Gewicht.“ Liegt \(\mathrm{P}\) nahe bei \(\mathrm{A}\), ist das \(m\) auf der Seite von \(\mathrm{A}\) klein und das \(n\) auf der Seite von \(\mathrm{B}\) groß. Die Antwort muss nahe an der Koordinate von \(\mathrm{A}\) liegen, deshalb ist es natürlich, dass die größere Zahl (\(n\)) mit \(x_1\) multipliziert wird. Es ist wie bei einer Balkenwaage, bei der sich der Gleichgewichtspunkt zum schwereren Gewicht hin verschiebt. Verwechseln Sie \(m:n\) und \(n:m\), erhalten Sie einen ganz anderen Punkt. Schreiben Sie das Verhältnis immer in der Reihenfolge „\(m\) von \(\mathrm{A}\) aus gezählt, dann \(n\) von dort bis \(\mathrm{B}\)“, dann machen Sie seltener Fehler.

Äußere Teilung (der Punkt, der eine Strecke außen im Verhältnis \(m:n\) teilt)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \((\) \(-n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m-n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑥ \(x\): x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{Q}\) \(=\) \((\) ① \(-n\): Anteil des Verhältnisses vom Punkt bis \(\mathrm{B}\) mit geändertem Vorzeichen \(\times\) ② \(x_1\): x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) \(+\) ③ \(m\): Anteil des Verhältnisses von \(\mathrm{A}\) bis zum Punkt \(\times\) ④ \(x_2\): x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) ⑤ \(m-n\): Differenz der Anteile des Verhältnisses

Die Formel in Worten

① Sei \(\mathrm{Q}\) der Punkt, der die Strecke \(\mathrm{AB}\) außen im Verhältnis \(m:n\) teilt. Nehmen Sie den \(-n\): Anteil \(n\) des Verhältnisses mit geändertem Vorzeichen

② und multiplizieren Sie ihn mit der \(x_1\): x-Koordinate von Punkt \(\mathrm{A}\)

③ Nehmen Sie den \(m\): Anteil des Verhältnisses von \(\mathrm{A}\) bis zum Punkt

④ und multiplizieren Sie ihn mit der \(x_2\): x-Koordinate von Punkt \(\mathrm{B}\) (addieren Sie dann die beiden Produkte)

⑤ Teilen Sie die Summe durch die \(m-n\): Differenz der Anteile des Verhältnisses

⑥ und Sie erhalten die x-Koordinate des Punktes \(\mathrm{Q}\) (sind \(m\) und \(n\) gleich, ist die Differenz \(0\), und es gibt keinen Punkt der äußeren Teilung)

Einfaches Beispiel

Die \(x\)-Koordinate des Punktes \(\mathrm{Q}\), der \(\mathrm{A}(1|2)\) und \(\mathrm{B}(7|5)\) außen im Verhältnis \(3:1\) teilt, ist

x-Koordinate von \(\mathrm{Q}\) \(=\) \((\) Verhältnisanteil auf der Seite von \(\mathrm{B}\) mit geändertem Vorzeichen (−1) \(\times\) x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) Verhältnisanteil auf der Seite von \(\mathrm{A}\) (3) \(\times\) x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) Differenz der Anteile des Verhältnisses (2)

\(x = \dfrac{-1 \times 1 + 3 \times 7}{3 - 1} = \dfrac{20}{2} = 10\)

\(y = \dfrac{-1 \times 2 + 3 \times 5}{3 - 1} = \dfrac{13}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Q}\left(10|\dfrac{13}{2}\right)\)

Der Kerngedanke

Der Punkt der äußeren Teilung \(\mathrm{Q}\) liegt außerhalb der Strecke \(\mathrm{AB}\) und erfüllt trotzdem \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\). Stellen Sie sich die innere Teilung als Teilung innerhalb der Strecke vor und die äußere Teilung als Teilung auf der Verlängerung der Strecke. Die Formel sieht genauso aus wie die der inneren Teilung, nur mit \(-n\) statt \(n\). Warum ist das Minuszeichen erlaubt? Denken Sie nicht nur an die Länge, sondern auch an die Richtung. Bei der inneren Teilung zeigen der Weg von \(\mathrm{A}\) nach \(\mathrm{P}\) und der Weg von \(\mathrm{P}\) nach \(\mathrm{B}\) in dieselbe Richtung. Bei der äußeren Teilung zeigen der Weg von \(\mathrm{A}\) nach \(\mathrm{Q}\) und der Weg von \(\mathrm{Q}\) nach \(\mathrm{B}\) immer in entgegengesetzte Richtungen (\(\mathrm{Q}\) liegt außerhalb der Strecke, also müssen Sie von \(\mathrm{Q}\) zurückgehen, um \(\mathrm{B}\) zu erreichen). Die Längen stehen weiterhin im Verhältnis \(m:n\), doch mit der Richtung wird das Verhältnis zu \(m : \left(-n\right)\). Setzt man \(m : \left(-n\right)\) tatsächlich in die Formel der inneren Teilung ein, erhält man \(\dfrac{\left(-n\right)x_1 + m x_2}{m + \left(-n\right)} = \dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n}\) und das ist genau die Formel der äußeren Teilung. Merken Sie sich: „Die äußere Teilung ist die innere Teilung mit einem Minuszeichen bei der zweiten Zahl“, dann müssen Sie nicht zwei Formeln auswendig lernen. Auf welcher Seite der Punkt landet, hängt davon ab, welche der Zahlen \(m\) und \(n\) größer ist. Für \(m > n\) liegt er hinter \(\mathrm{B}\), für \(m < n\) vor \(\mathrm{A}\) (in der Richtung weg von \(\mathrm{B}\)). \(\mathrm{Q}\) liegt immer auf der Seite desjenigen Punktes, \(\mathrm{A}\) oder \(\mathrm{B}\), dessen Anteil am Verhältnis kleiner ist. Nur für \(m = n\) gibt es keinen Punkt der äußeren Teilung. In der Formel wird der Nenner \(m - n\) gleich \(0\). In der Abbildung gibt es auf der Geraden \(\mathrm{AB}\) keinen Punkt, der außerhalb der Strecke liegt und zugleich von \(\mathrm{A}\) und von \(\mathrm{B}\) gleich weit entfernt ist.

Streckenmitte (innere Teilung im Verhältnis \(1:1\))

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(2\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): x-Koordinate der Streckenmitte \(\mathrm{M}\) \(=\) \((\) ① \(x_1\): x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) \(+\) ② \(x_2\): x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) \(2\)

Die Formel in Worten

① Addieren Sie die \(x_1\): x-Koordinate von Punkt \(\mathrm{A}\)

② und die \(x_2\): x-Koordinate von Punkt \(\mathrm{B}\) und teilen Sie durch 2

③ und Sie erhalten die x-Koordinate der Streckenmitte \(\mathrm{M}\) (einfach der Mittelwert der beiden Koordinaten)

Einfaches Beispiel

Die \(x\)-Koordinate der Streckenmitte \(\mathrm{M}\) von \(\mathrm{A}(1|2)\) und \(\mathrm{B}(7|5)\) ist

x-Koordinate von \(\mathrm{M}\) \(=\) \((\) x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) \(2\)

\(x = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5}{2} = \dfrac{7}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{M}\left(4|\dfrac{7}{2}\right)\)

Der Kerngedanke

Die Streckenmitte ist die innere Teilung im Verhältnis \(1:1\). Setzt man \(m = 1\) und \(n = 1\) in die Formel der inneren Teilung ein, erhält man \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 1 \times x_2}{1 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) und der Über-Kreuz-Tausch verschwindet. Beide Koordinaten werden mit derselben \(1\) multipliziert, also ist es egal, welche zu welcher gehört. Deshalb erscheint die Formel der inneren Teilung plötzlich schwer, wenn man sich an die Formel der Streckenmitte gewöhnt hat: Man ist von diesem Sonderfall ausgegangen, in dem der Tausch versteckt ist. Es wird nur der Mittelwert zweier Koordinaten gebildet. Stellen Sie sich dieselbe Rechnung vor wie beim Mitteln zweier Testergebnisse, getrennt für die \(x\)-Koordinaten und die \(y\)-Koordinaten, dann verlieren Sie nicht den Überblick.

Schwerpunkt eines Dreiecks

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \(+\) \(x_3\) \()\) \(\div\) \(3\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(x\): x-Koordinate des Schwerpunkts \(\mathrm{G}\) \(=\) \((\) ① \(x_1\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{A}\) \(+\) ② \(x_2\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{B}\) \(+\) ③ \(x_3\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{C}\) \()\) \(\div\) \(3\)

Die Formel in Worten

① Für das Dreieck \(\mathrm{ABC}\): Addieren Sie die \(x_1\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{A}\)

② die \(x_2\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{B}\)

③ und die \(x_3\): x-Koordinate der Ecke \(\mathrm{C}\) und teilen Sie durch 3

④ und Sie erhalten die x-Koordinate des Schwerpunkts \(\mathrm{G}\) (der Mittelwert der Koordinaten der drei Ecken)

Einfaches Beispiel

Die \(x\)-Koordinate des Schwerpunkts \(\mathrm{G}\) des Dreiecks mit den Ecken \(\mathrm{A}(1|2)\), \(\mathrm{B}(7|5)\) und \(\mathrm{C}(4|8)\) ist

x-Koordinate von \(\mathrm{G}\) \(=\) \((\) x-Koordinate von \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) x-Koordinate von \(\mathrm{B}\) (7) \(+\) x-Koordinate von \(\mathrm{C}\) (4) \()\) \(\div\) \(3\)

\(x = \dfrac{1 + 7 + 4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5 + 8}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{G}(4|5)\)

Der Kerngedanke

Der Schwerpunkt \(\mathrm{G}\) ist der Punkt, in dem sich die drei Seitenhalbierenden (die Strecken von jeder Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite) schneiden. Eine dreieckige Platte bleibt waagerecht im Gleichgewicht, wenn man sie in diesem einen Punkt unterstützt. Deshalb heißt er Schwerpunkt (in der Schule oft mit \(\mathrm{S}\) bezeichnet). Mit der Formel der inneren Teilung können Sie nachprüfen, warum der Mittelwert der Koordinaten funktioniert. Die \(x\)-Koordinate des Mittelpunkts \(\mathrm{M}\) der Seite \(\mathrm{BC}\) ist \(\dfrac{x_2 + x_3}{2}\). Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierende \(\mathrm{AM}\) von der Ecke aus gerechnet innen im Verhältnis \(2:1\). Setzt man also \(m = 2\) und \(n = 1\) in die Formel der inneren Teilung ein, erhält man \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 2 \times \dfrac{x_2 + x_3}{2}}{2 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\) und das ist der Mittelwert der drei Koordinaten. Dieses \(2:1\) ist die wichtigste Eigenschaft des Schwerpunkts: \(\mathrm{AG}\) ist genau doppelt so lang wie \(\mathrm{GM}\). Das Verhältnis ist bei jeder Seitenhalbierenden dasselbe. Wer sich merkt: „Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende von der Ecke aus im Verhältnis 2:1“, kommt in Geometrieaufgaben leichter voran.

Der Punkt, der die Strecke \(\mathrm{AB}\) im Verhältnis \(m:n\) teilt, ist bei der inneren Teilung \(\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}|\dfrac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right)\) und bei der äußeren Teilung, mit \(-n\) statt \(n\), \(\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m-n}|\dfrac{-n y_1 + m y_2}{m-n}\right)\). Die Koordinate von Punkt \(\mathrm{A}\) wird mit \(n\) multipliziert, der Zahl der Seite, die von \(\mathrm{A}\) entfernt ist. Je größer \(n\) ist, desto näher kommt der Punkt also an \(\mathrm{A}\) (der Teilungspunkt wandert zu dem Ende mit dem kleineren Anteil am Verhältnis). Die Streckenmitte ist die innere Teilung im Verhältnis \(1:1\), und der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Mittelwert der Koordinaten seiner drei Ecken. Alle sind durch denselben Gedanken verbunden: ein gewichtetes Mittel.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}\)	A, B, C	Namen für Punkte. In der Geometrie werden Punkte mit großen Buchstaben benannt, meist der Reihe nach A, B, C. Auf dieser Seite sind die Enden der Strecke \(\mathrm{A}\) und \(\mathrm{B}\), und die dritte Ecke des Dreiecks ist \(\mathrm{C}\).
\(x_1,\ y_1\)	x eins, y eins	Die Koordinaten von Punkt \(\mathrm{A}\). Die kleine Zahl unten rechts (der Index) ist eine Nummer, die angibt, um welchen Punkt es geht, und keine Zahl, mit der gerechnet wird. Ebenso sind \(x_2,\ y_2\) die Koordinaten von Punkt \(\mathrm{B}\) und \(x_3,\ y_3\) die von Punkt \(\mathrm{C}\).
\(m:n\)	m zu n	Das Verhältnis, in dem die Strecke geteilt wird. \(m\) ist der Anteil für den Teil von \(\mathrm{A}\) bis zum Teilungspunkt und \(n\) der Anteil für den Teil vom Teilungspunkt bis \(\mathrm{B}\). \(m\) und \(n\) sind einfach Buchstaben, die oft für Verhältnisse verwendet werden. Vertauscht man die Reihenfolge, erhält man einen anderen Punkt.
\(\mathrm{P}\)	P	Ein Name, der oft dem Punkt der inneren Teilung gegeben wird, vom Anfangsbuchstaben von „Punkt“.
\(\mathrm{Q}\)	Q	Ein Name, der oft dem Punkt der äußeren Teilung gegeben wird. Üblicherweise ist es der Buchstabe nach \(\mathrm{P}\).
\(\mathrm{M}\)	M	Ein Name, der oft der Streckenmitte gegeben wird, vom Anfangsbuchstaben von „Mittelpunkt“.
\(\mathrm{G}\)	G	Ein Name, der oft dem Schwerpunkt gegeben wird. Er soll vom „G“ in „Gravity“ (Schwerkraft) stammen. In deutschen Schulbüchern steht meist \(\mathrm{S}\) für den Schwerpunkt.
\(\mathrm{AB}\)	Strecke AB	Die Strecke, die Punkt \(\mathrm{A}\) und Punkt \(\mathrm{B}\) verbindet: der Teil einer Geraden zwischen zwei festen Enden. Auf dieser Seite wird auch ihre Länge \(\mathrm{AB}\) geschrieben.
\(\mathrm{AP} : \mathrm{PB}\)	AP zu PB	Das Verhältnis der Länge der Strecke \(\mathrm{AP}\) zur Länge der Strecke \(\mathrm{PB}\). Der Punkt \(\mathrm{P}\) mit \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) ist der Punkt, der die Strecke \(\mathrm{AB}\) innen im Verhältnis \(m:n\) teilt.

Begriffe

Strecke	Der Teil einer Geraden zwischen zwei Punkten. Ein Teil mit zwei Enden heißt Strecke, einer, der in eine Richtung unbegrenzt weitergeht, Strahl, und einer, der in beide Richtungen unbegrenzt weitergeht, Gerade.
innere Teilung	Das Teilen einer Strecke an einem Punkt innerhalb von ihr in einem gegebenen Verhältnis. Der Punkt \(\mathrm{P}\), der die Strecke \(\mathrm{AB}\) innen im Verhältnis \(m:n\) teilt, ist der Punkt auf der Strecke \(\mathrm{AB}\) mit \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\). In der Vektorgeometrie spricht man vom Teilungspunkt und vom Teilverhältnis.
äußere Teilung	Das Teilen einer Strecke an einem Punkt auf ihrer Verlängerung, außerhalb der Strecke, sodass \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\) gilt. Der Punkt liegt auf der Seite des Endes mit dem kleineren Anteil am Verhältnis (hinter \(\mathrm{B}\) für \(m > n\), vor \(\mathrm{A}\) für \(m < n\)). Sind \(m\) und \(n\) gleich, gibt es keinen solchen Punkt.
Teilungspunkt	Ein allgemeiner Name für einen Punkt, der eine Strecke in einem gegebenen Verhältnis teilt, sowohl bei innerer als auch bei äußerer Teilung.
Mittelpunkt einer Strecke	Der Punkt in der Mitte einer Strecke, von beiden Enden gleich weit entfernt. Er ist die innere Teilung im Verhältnis \(1:1\).
Schwerpunkt	Der eine Punkt, in dem sich die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden. Eine dreieckige Platte bleibt im Gleichgewicht, wenn man sie dort unterstützt (ihr Massenmittelpunkt), und seine Koordinaten sind der Mittelwert der Koordinaten der drei Ecken.
Seitenhalbierende	Die Strecke, die eine Ecke eines Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich immer in einem Punkt (dem Schwerpunkt), der jede Seitenhalbierende von der Ecke aus innen im Verhältnis \(2:1\) teilt.
Verhältnis	Eine Art, zwei Größen zu vergleichen, nebeneinander geschrieben wie in „\(2:1\)“. \(2:1\) und \(4:2\) sind dasselbe Verhältnis. Auf dieser Seite vergleicht es die Längen der beiden Teile einer geteilten Strecke.
Koordinaten	Zahlen, die die Lage eines Punktes angeben: eine Zahl auf der Zahlengeraden, zwei \((x\|y)\) in der Ebene und drei \((x\|y\|z)\) im Raum.
Zahlengerade	Eine Gerade mit einer Skala, sodass jeder Zahl genau ein Punkt entspricht. Sie ist die einfachste Art von Koordinaten, bei der eine Zahl eine Lage angibt.
Koordinatensystem	Eine Ebene mit einer waagerechten \(x\)-Achse und einer senkrechten \(y\)-Achse, sodass sich jeder Punkt in ihr durch zwei Zahlen \((x\|y)\) angeben lässt.
gewichtetes Mittel	Ein Mittelwert, bei dem jede Zahl ein „Gewicht“ bekommt. Die Koordinate der inneren Teilung \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) ist genau das gewichtete Mittel von \(x_1\) mit dem Gewicht \(n\) und \(x_2\) mit dem Gewicht \(m\). Ein gewöhnlicher Mittelwert ist der Sonderfall, in dem alle Gewichte gleich sind.
Index	Eine kleine Zahl unten rechts an einem Buchstaben, wie in \(x_1\) und \(x_2\). Sie ist eine Kennzeichnung, die Größen derselben Art unterscheidet. Sie ist weder ein Faktor noch ein Exponent.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal durchzugehen.

Die Zahlengerade und Koordinaten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass eine Zahlengerade eine Gerade mit einer Skala ist, bei der Zahlen Punkten entsprechen, und die Lage negativer Zahlen finden können Den Punkt P(3\|−2) im Koordinatensystem lesen können als „3 nach rechts und 2 nach unten“ Wissen, dass beim Schreiben der Koordinaten von Punkt \(\mathrm{A}\) mit Buchstaben und Indizes, wie in \((x_1\|y_1)\), der Index \(1\) eine Kennzeichnung für „den ersten Punkt“ ist und keine Zahl, mit der multipliziert wird
Verhältnisse und Proportionen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass ein Verhältnis wie \(2:1\) ein Ganzes in 3 gleiche Teile zerlegt, die als 2 und 1 verteilt werden Wissen, dass \(2:1\) und \(4:2\) dasselbe Verhältnis sind (multipliziert oder dividiert man beide Anteile mit derselben Zahl, ändert sich das Verhältnis nicht) Wissen, dass beim Teilen einer Strecke im Verhältnis \(m:n\) der Teil auf der Seite von \(\mathrm{A}\) \(\dfrac{m}{m+n}\) des Ganzen ausmacht
Rechnen mit positiven und negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Beim Multiplizieren und Dividieren negativer Zahlen das Vorzeichen richtig bestimmen können, wie in \(-3 \times 4 = -12\) und \(\left(-9\right) \div \left(-2\right) = \dfrac{9}{2}\) Mit einem Buchstaben mit Minuszeichen rechnen können, wie dem \(-n\) in der Formel der äußeren Teilung
Bruchrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Kürzen können, wie in \(\dfrac{15}{3} = 5\), und Antworten als vollständig gekürzte Brüche schreiben können Sich daran gewöhnt haben, einen Bruch wie \(\dfrac{9}{2}\) als Antwort stehen zu lassen (er muss nicht in eine Dezimalzahl umgewandelt werden)
Terme und Einsetzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Zahlen in einen Term wie \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n}\) einsetzen und ausrechnen können Einen Term wie \(x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right)\) ausmultiplizieren und gleichartige Glieder zusammenfassen können
Mittelwerte (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass ein Mittelwert berechnet wird, indem man alles addiert und durch die Anzahl teilt (die Streckenmitte und der Schwerpunkt sind beide genau ein solcher Mittelwert) Wissen, dass man die Mittelwerte von Gruppen unterschiedlicher Größe nicht einfach addieren und durch die Anzahl teilen darf

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Punkt der inneren Teilung

Punkt A: x-Koordinate x1	1
Punkt A: y-Koordinate y1	2
Punkt B: x-Koordinate x2	7
Punkt B: y-Koordinate y2	5
Verhältnisanteil m (von A bis zum Punkt)	2
Verhältnisanteil n (vom Punkt bis B)	1
x-Koordinate von P (innere Teilung)	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
y-Koordinate von P (innere Teilung)	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

Tabelle für den Punkt der äußeren Teilung

Punkt A: x-Koordinate x1	1
Punkt A: y-Koordinate y1	2
Punkt B: x-Koordinate x2	7
Punkt B: y-Koordinate y2	5
Verhältnisanteil m (von A bis zum Punkt)	3
Verhältnisanteil n (vom Punkt bis B)	1
x-Koordinate von Q (äußere Teilung)	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
y-Koordinate von Q (äußere Teilung)	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

Tabelle für die Streckenmitte

Punkt A: x-Koordinate x1	1
Punkt A: y-Koordinate y1	2
Punkt B: x-Koordinate x2	7
Punkt B: y-Koordinate y2	5
x-Koordinate der Streckenmitte M	=(B1+B3)/2
y-Koordinate der Streckenmitte M	=(B2+B4)/2

Tabelle für den Schwerpunkt eines Dreiecks

Ecke A: x-Koordinate x1	1
Ecke A: y-Koordinate y1	2
Ecke B: x-Koordinate x2	7
Ecke B: y-Koordinate y2	5
Ecke C: x-Koordinate x3	4
Ecke C: y-Koordinate y3	8
x-Koordinate des Schwerpunkts G	=(B1+B3+B5)/3
y-Koordinate des Schwerpunkts G	=(B2+B4+B6)/3

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koordinaten und das Verhältnis) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. „*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division.
Die erste Tabelle teilt A(1|2) und B(7|5) innen im Verhältnis 2:1 und liefert P(5|4). Die Formel für die x-Koordinate, „=(B6*B1+B5*B3)/(B5+B6)“, wirkt zuerst vertauscht, weil sie B1 (die x-Koordinate von A) mit B6 (dem Anteil n) und B3 (die x-Koordinate von B) mit B5 (dem Anteil m) multipliziert. Das ist die Über-Kreuz-Multiplikation, und ein Vertauschen ändert das Ergebnis.
Die zweite Tabelle teilt dieselben beiden Punkte außen im Verhältnis 3:1 und liefert Q(10|6,5). Die einzigen Unterschiede zur ersten Tabelle sind das Minuszeichen vor B6 und die Subtraktion statt der Addition im Nenner. Geben Sie für m und n denselben Wert ein, wird der Nenner 0, und es erscheint ein Fehler (#DIV/0!). Das zeigt, dass es keinen Punkt der äußeren Teilung gibt.
Die dritte Tabelle liefert die Streckenmitte M(4|3,5). Die vierte Tabelle liefert den Schwerpunkt G(4|5) des Dreiecks mit den Ecken A(1|2), B(7|5) und C(4|8).

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Punkt der inneren Teilung

Punkt A: x-Koordinate x1	1
Punkt A: y-Koordinate y1	2
Punkt B: x-Koordinate x2	7
Punkt B: y-Koordinate y2	5
Verhältnisanteil m (von A bis zum Punkt)	2
Verhältnisanteil n (vom Punkt bis B)	1
x-Koordinate von P (innere Teilung)	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
y-Koordinate von P (innere Teilung)	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

Tabelle für den Punkt der äußeren Teilung

Punkt A: x-Koordinate x1	1
Punkt A: y-Koordinate y1	2
Punkt B: x-Koordinate x2	7
Punkt B: y-Koordinate y2	5
Verhältnisanteil m (von A bis zum Punkt)	3
Verhältnisanteil n (vom Punkt bis B)	1
x-Koordinate von Q (äußere Teilung)	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
y-Koordinate von Q (äußere Teilung)	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

Tabelle für die Streckenmitte

Punkt A: x-Koordinate x1	1
Punkt A: y-Koordinate y1	2
Punkt B: x-Koordinate x2	7
Punkt B: y-Koordinate y2	5
x-Koordinate der Streckenmitte M	=(B1+B3)/2
y-Koordinate der Streckenmitte M	=(B2+B4)/2

Tabelle für den Schwerpunkt eines Dreiecks

Ecke A: x-Koordinate x1	1
Ecke A: y-Koordinate y1	2
Ecke B: x-Koordinate x2	7
Ecke B: y-Koordinate y2	5
Ecke C: x-Koordinate x3	4
Ecke C: y-Koordinate y3	8
x-Koordinate des Schwerpunkts G	=(B1+B3+B5)/3
y-Koordinate des Schwerpunkts G	=(B2+B4+B6)/3

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koordinaten und das Verhältnis durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction

# Koordinaten der Punkte (ein Bruch wie 3/4 lässt sich als Fraction(3, 4) schreiben)
point_a = (Fraction(1), Fraction(2))
point_b = (Fraction(7), Fraction(5))
point_c = (Fraction(4), Fraction(8))   # dritte Ecke, für den Schwerpunkt

def internal_point(a, b, m, n):
    # Innere Teilung: mit der Zahl der gegenüberliegenden Seite multiplizieren (n bei Punkt A, m bei Punkt B)
    return tuple((n * p + m * q) / (m + n) for p, q in zip(a, b))

def external_point(a, b, m, n):
    # Äußere Teilung: innere Teilung mit -n statt n (nicht berechenbar, wenn m gleich n ist)
    return tuple((-n * p + m * q) / (m - n) for p, q in zip(a, b))

def midpoint(a, b):
    # Streckenmitte: der Mittelwert der beiden Koordinaten (innere Teilung 1:1)
    return tuple((p + q) / 2 for p, q in zip(a, b))

def centroid(a, b, c):
    # Schwerpunkt eines Dreiecks: der Mittelwert der Koordinaten der drei Ecken
    return tuple((p + q + r) / 3 for p, q, r in zip(a, b, c))

def show(point):
    # Die Brüche gut lesbar anzeigen, etwa "(5, 4)" oder "(10, 13/2)"
    return "(" + ", ".join(str(v) for v in point) + ")"

print("Innere Teilung 2:1 :", show(internal_point(point_a, point_b, Fraction(2), Fraction(1))))
print("Äußere Teilung 3:1 :", show(external_point(point_a, point_b, Fraction(3), Fraction(1))))
print("Streckenmitte      :", show(midpoint(point_a, point_b)))
print("Schwerpunkt        :", show(centroid(point_a, point_b, point_c)))

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ohne Rundungsfehler bei Dezimalzahlen. Das Beispiel verwendet A(1|2), B(7|5) und C(4|8). Beim Ausführen zeigt es den Punkt der inneren Teilung (5, 4), den Punkt der äußeren Teilung (10, 13/2), die Streckenmitte (4, 7/2) und den Schwerpunkt (4, 5). Weil zip verwendet wird, funktioniert es unverändert auch im Raum (3D), wenn Sie jedem Punkt drei Koordinaten geben.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Innere Teilung (der Punkt, der eine Strecke innen im Verhältnis \(m:n\) teilt)

P = ((n·x₁ + m·x₂) ÷ (m + n),  (n·y₁ + m·y₂) ÷ (m + n))

P\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n},\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)

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    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
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        <mo>+</mo>
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      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (n*x_1 + m*x_2)/(m + n)

{(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)}

P := [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

P = [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

x = (n x_1 + m x_2)/(m + n)

Äußere Teilung (der Punkt, der eine Strecke außen im Verhältnis \(m:n\) teilt)

Q = ((−n·x₁ + m·x₂) ÷ (m − n),  (−n·y₁ + m·y₂) ÷ (m − n))

Q\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n},\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m - n}\right)

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      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-n*x_1 + m*x_2)/(m - n)

{(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)}

Q := [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

Q = [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

x = (-n x_1 + m x_2)/(m - n)

Streckenmitte (innere Teilung im Verhältnis \(1:1\))

M = ((x₁ + x₂) ÷ 2,  (y₁ + y₂) ÷ 2)

M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <mi>x</mi>
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      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2)/2

{(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2}

M := [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

M = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

x = (x_1 + x_2)/2

Schwerpunkt eines Dreiecks

G = ((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3,  (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3)

G\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
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        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>3</mn></msub>
      </mrow>
      <mn>3</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

{(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3}

G := [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

G = [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Berechnungen in der Koordinatengeometrie. Führen Sie die folgende Berechnung tatsächlich mit Python-Code aus und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen des Ausführungsergebnisses (nicht im Kopf rechnen und nicht raten).

Bestimmen Sie für die beiden Punkte A(1|2) und B(7|5) im Koordinatensystem:
1. Die Koordinaten des Punktes P, der die Strecke AB innen im Verhältnis 2:1 teilt
2. Die Koordinaten des Punktes Q, der die Strecke AB außen im Verhältnis 3:1 teilt
3. Die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke AB
4. Die Koordinaten des Schwerpunkts G des Dreiecks ABC mit dem zusätzlichen Punkt C(4|8)

Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek, um exakt zu rechnen, und geben Sie jede Antwort sowohl als vollständig gekürzten Bruch als auch als Dezimalzahl an.
Erklären Sie außerdem, indem Sie die Rechnung Schritt für Schritt nachvollziehen, warum in der Formel der inneren Teilung die Koordinate von Punkt A mit n multipliziert wird (warum die Formel „über Kreuz“ ist).

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel