Barwertrechner (Abzinsung und Barwert einer Rente)

Wählen Sie einen Modus und geben Sie den zukünftigen Betrag, die Anzahl der Perioden und den Zinssatz ein. Der Rechner berechnet, was das zukünftige Geld heute wert ist (seinen Barwert).

Modus

Endwert FV (€)

Zahlung pro Periode PMT (€)

Anzahl der Perioden N

Zinssatz I/Y (% pro Periode)

Zahlungszeitpunkt

Geben Sie alle Beträge als positive Zahlen ein (es gibt keine Vorzeichenkonvention wie bei einem Finanzrechner). Der Zinssatz ist der Prozentsatz pro Periode (bei jährlichen Zahlungen der Jahreszinssatz selbst; bei 6 % geben Sie „6“ ein). Es handelt sich um eine mathematische Berechnung mit festem Zinssatz. Gebühren, Steuern und Zinsänderungen echter Produkte sind nicht enthalten.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie links den zukünftigen Betrag, die Anzahl der Perioden und den Zinssatz ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramme
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle NumberChef-Rechner

Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie den Betrag, den Sie nach \(N\) Perioden erhalten, die Anzahl der Perioden und den Zinssatz ein, und Sie sehen, was dieses zukünftige Geld heute wert ist (den Barwert \(PV\)) und wie hoch der Abschlag ist (\(FV - PV\))
Wechseln Sie den Modus, um den Barwert einer Rente zu berechnen, bei der Sie in jeder Periode denselben Betrag erhalten. Zahlungen am Anfang oder am Ende jeder Periode sind möglich. Zum Vergleich erhalten Sie außerdem den Endwert, die Summe der Zahlungen und die Zinsen insgesamt, dazu eine Tabelle pro Periode, wenn die Anzahl der Perioden eine ganze Zahl bis 20 ist
Ein Diagramm zeigt, wie die Abzinsung zukünftiges Geld auf seinen heutigen Wert zurückrechnet (speicherbar als PNG oder SVG)
Alle Beträge auf dieser Seite geben Sie als positive Zahlen ein. Es gibt keine Vorzeichenkonvention wie bei einem Finanzrechner (Geld hinaus ist negativ), deshalb kommen auch Einsteiger gut zurecht
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel (die Funktion BW), Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Diese Seite rechnet mathematisch und nimmt an, dass der Zinssatz über die gesamte Laufzeit gleich bleibt. Bei echten Sparanlagen, Renten und Geldanlagen gibt es Gebühren, Steuern und schwankende Zinsen. Den genauen Betrag erfahren Sie deshalb bei Ihrer Bank oder Ihrem Anbieter. Diese Seite empfiehlt kein Finanzprodukt. Nutzen Sie sie, um den Wert des Geldes über die Zeit zu verstehen und um Finanzmathematik und Rechnungswesen zu lernen.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

„Sind 10.000 € heute mehr wert als 10.000 € in 10 Jahren?“ mit Zahlen beantworten

Die Antwort lautet „10.000 € heute“. Kann Geld 2 % pro Jahr bringen, beträgt der Barwert von 10.000 € in 10 Jahren \(10000 \div 1{,}02^{10} \approx 8203{,}48\) Euro, also etwa 1.797 € weniger als 10.000 € heute.
Der Barwert macht das Gefühl, dass „derselbe Betrag früher besser ist“, mit einer angenommenen Rendite zu einer Zahl. Die Rendite, auf die Sie beim Warten verzichten, heißt Opportunitätskosten.

Eine Kapitalabfindung mit einer Rente vergleichen

Manchmal können Sie zwischen einer einmaligen Kapitalabfindung (einem kleineren Betrag) und einer über viele Jahre gezahlten Rente (einer größeren Gesamtsumme) wählen, etwa beim Schadensersatz für dauerhafte Einbußen (§ 843 BGB kennt eine Geldrente und unter Umständen eine Abfindung in Kapital) oder beim Kapitalwahlrecht einer Lebens- oder Rentenversicherung. Der Barwert ist genau das Mittel, sie zu vergleichen. Zum Beispiel hat eine Rente von 50.000 € pro Jahr über 20 Jahre (1.000.000 € insgesamt), bei 3 % abgezinst, einen Barwert von etwa 743.874 €. Läge die angebotene Kapitalabfindung bei 750.000 €, wäre sie unter dieser Annahme etwas mehr wert.
Das Ergebnis hängt vom Zinssatz ab, den Sie glauben, erzielen zu können (dem angenommenen Kalkulationszinssatz). In der Praxis rechnet man mit mehreren Kalkulationszinssätzen und sucht den Punkt, an dem sich die Antwort umkehrt (Steuern und rechtliche Einzelheiten sind hier nicht berücksichtigt).

Eine Betriebsrente als Einmalzahlung oder als monatliche Rente bewerten

Bei manchen Zusagen der betrieblichen Altersvorsorge können Sie statt einer laufenden Rente eine einmalige Kapitalzahlung wählen. Erwarten Sie zum Beispiel 20 Jahre lang 30.000 € pro Jahr (600.000 € insgesamt), ergibt die Abzinsung bei 4 % einen Barwert von etwa 407.710 €. Der Vergleich mit dem Angebot einer Einmalzahlung beginnt bei diesem Barwert.
Bei einer echten Entscheidung spielen Steuern und Sozialabgaben, Ihre erwartete Lebensdauer und die Garantien der Zusage eine große Rolle. Diese Rechnung betrachtet nur den Zeitwert. Verstehen Sie sie nicht als endgültige Antwort, sondern klären Sie die Regeln in Ihren Unterlagen oder mit einer fachkundigen Beratung.

Eine Nullkuponanleihe (Zero-Bond) bewerten

Eine Nullkuponanleihe zahlt bei Fälligkeit einen Betrag und vorher nichts. Eine Anleihe, die in 15 Jahren 10.000 € zahlt, hat bei einer Abzinsung mit 4 % pro Jahr einen Barwert von etwa 5.552,65 €. Das ist ungefähr der Preis, zu dem eine solche Anleihe heute verkauft würde, wenn vergleichbare Anlagen 4 % bringen.
Dieselbe Idee zeigt, warum Anleihekurse fallen, wenn die Zinsen steigen: Ein höherer Kalkulationszinssatz macht dieselbe zukünftige Zahlung heute weniger wert. Das hilft beim Vergleich von Anleihen, Festgeld und anderen festen Zahlungen in der Zukunft.

Die Grundlage von Investitionsentscheidungen im Unternehmen (Kapitalwertmethode)

Der Kapitalwert (NPV), das Standardverfahren, mit dem Unternehmen über neue Anlagen oder Projekte entscheiden, rechnet jede zukünftige Zahlung, etwa Einnahmen oder Kosten, mit der Formel dieser Seite in ihren Barwert um und addiert alles. Ist die Summe positiv, wird von der Investition erwartet, dass sie schneller wächst als der Kalkulationszinssatz.
Dieselbe Rechnung wird im Rechnungswesen, in der Unternehmensfinanzierung und in der Kosten-Nutzen-Analyse öffentlicher Projekte verwendet, die Abzinsung ist also eine gemeinsame Sprache in allen Geldfragen.

Formeln und Diagramme

Barwert einer zukünftigen Einmalzahlung (Abzinsung)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(PV\) \(=\) \(FV\) \(\div\) \((1+r)\) \(N\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(PV\): Barwert \(=\) ① \(FV\): Endwert \(\div\) ② Wachstumsfaktor für eine Periode ③ \(N\): Anzahl der Perioden

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie das Geld, das Sie in der Zukunft erhalten, den \(FV\): Endwert

② und teilen Sie ihn durch den Wachstumsfaktor für eine Periode \((1+r)\)

③ einmal mit sich selbst multipliziert für jede der \(N\): Anzahl der Perioden

④ und Sie erhalten den \(PV\): Barwert

Einfaches Beispiel

Kann Geld 10 % pro Jahr bringen, beträgt der heutige Wert (der Barwert) von 121 €, die Sie in 2 Jahren erhalten,

\(PV\): Barwert \(=\) Endwert (121 €) \(\div\) Wachstumsfaktor (1,1) Perioden (2)

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)

\(121 \div 1{,}21 = 100\)

Der Kerngedanke

Diese Rechnung heißt Abzinsung. Sie ist genau die Umkehrung des Zinseszinses (100 € heute → 121 € in 2 Jahren): Sie rechnet zukünftiges Geld auf seinen heutigen Wert zurück. Bei 10 % pro Jahr können aus 100 € heute in 2 Jahren 121 € werden, also sind „121 € in 2 Jahren“ und „100 € heute“ gleich viel wert. Das ist die Idee des Barwerts. Der Unterschied von 21 € (\(FV - PV\)) ist der Abschlag, die Zinsen, die Sie beim Warten hätten verdienen können. Ein verwandter Begriff, der Kapitalwert (NPV), ist die Summe dieser Barwerte über alle Ein- und Auszahlungen (erhaltenes Geld zählt als Plus, gezahltes als Minus). Die Rechnung auf dieser Seite, der Barwert eines einzelnen Betrags, ist der Baustein des Kapitalwerts.

Barwert von Zahlungen pro Periode (nachschüssige Rente, Periodenende)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(PV\) \(=\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{1-(1+r)^{-N}}{r}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(PV\): Barwert \(=\) ① Zahlung pro Periode \(\times\) ② Rentenbarwertfaktor

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die \(PMT\): Zahlung pro Periode

② multiplizieren Sie sie mit dem Rentenbarwertfaktor (der heutige Wert davon, in jeder Periode 1 € zu erhalten)

③ und Sie erhalten den \(PV\): Barwert

Einfaches Beispiel

Bei 6 % pro Jahr beträgt der heutige Wert davon, 10 Jahre lang jedes Jahr 100 € zu erhalten (am Ende jedes Jahres),

\(PV\): Barwert \(=\) Zahlung (100 €) \(\times\) Rentenbarwertfaktor (etwa 7,36)

\(\dfrac{1 - 1{,}06^{-10}}{0{,}06} \approx 7{,}3601\)

\(100 \times 7{,}3601 \approx 736{,}01\)

Der Kerngedanke

Sie erhalten insgesamt 100 € × 10 Jahre = 1.000 €, aber heute sind es nur etwa 736 € wert, weil weiter in der Zukunft liegende Zahlungen stärker abgezinst werden. Der Faktor \(\dfrac{1-(1+r)^{-N}}{r}\), der heutige Wert davon, in jeder Periode 1 € zu erhalten, heißt Rentenbarwertfaktor (einer der sechs Faktoren der Finanzmathematik). Das \((1+r)^{-N}\) in der Formel hat einen negativen Exponenten, der bedeutet „durch \((1+r)^{N}\) teilen“ (derselbe Schritt wie bei der Abzinsung in Formel 1). Diese Formel fasst also „die abgezinste Zahlung nach 1 Periode + nach 2 Perioden + … + nach \(N\) Perioden“ zu einer zusammen. Bei einem Zinssatz von 0 % gibt es keinen Abschlag, der Barwert ist dann einfach \(PMT \times N\) (die Summe der Zahlungen).

Zahlungen am Anfang jeder Periode (vorschüssige Rente)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(PV\) \(=\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{1-(1+r)^{-N}}{r}\) \(\times\) \((1+r)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(PV\): Barwert \(=\) ① Zahlung pro Periode \(\times\) ② Rentenbarwertfaktor \(\times\) ③ Wachstumsfaktor für eine Periode

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie wie bei der Formel für das Periodenende die \(PMT\): Zahlung pro Periode

② multiplizieren Sie sie mit dem Rentenbarwertfaktor

③ multiplizieren Sie dann noch einmal mit dem Wachstumsfaktor für eine Periode \((1+r)\)

④ und Sie erhalten den \(PV\): Barwert

Einfaches Beispiel

Bei 5 % pro Jahr beträgt der heutige Wert davon, 5 Jahre lang jedes Jahr 200 € zu Beginn jedes Jahres zu erhalten,

\(PV\): Barwert \(=\) Zahlung (200 €) \(\times\) Rentenbarwertfaktor (etwa 4,33) \(\times\) Wachstumsfaktor (1,05)

\(200 \times \dfrac{1 - 1{,}05^{-5}}{0{,}05} \approx 865{,}895\)

\(865{,}895 \times 1{,}05 \approx 909{,}19\)

Der Kerngedanke

Bei Zahlungen am Anfang kommt jede Zahlung eine Periode früher als bei Zahlungen am Ende. Früher erhaltenes Geld kann früher angelegt werden, deshalb ist der Barwert \((1+r)\)-mal so groß wie bei Zahlungen am Ende (in diesem Beispiel das 1,05-Fache). Im Voraus gezahlte Miete und Leasingraten funktionieren so.

Der Barwert ist zukünftiges Geld, das um das Wachstum durch Zinsen abgezinst und so auf seinen heutigen Wert zurückgerechnet wurde. Bei einer Einmalzahlung teilen Sie durch \((1+r)^N\), bei Zahlungen pro Periode multiplizieren Sie mit dem Rentenbarwertfaktor. Beides ist genau die Umkehrung des Zinseszinses.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(PV\)	P V	Der Barwert (englisch „present value“). Was zukünftiges Geld in heutigem Geld wert ist. Das ist der Wert, den diese Seite berechnet.
\(FV\)	F V	Der Endwert (englisch „future value“). Der Geldbetrag, den Sie zu einem zukünftigen Zeitpunkt erhalten. Im Modus „Zukünftige Einmalzahlung“ geben Sie ihn ein, im Modus „Rente“ wird er zum Vergleich angezeigt.
\(PMT\)	Zahlung	Die Zahlung pro Periode (englisch „payment“). Der Betrag, den Sie in jeder Periode erhalten (oder sparen).
\(N\)	N	Die Anzahl der Perioden, in denen Zinsen anfallen. Bei jährlichen Zahlungen ist sie gleich der Zahl der Jahre: 10 Jahre sind \(N = 10\).
\(I/Y\)	I durch Y	Der Zinssatz pro Periode in % (der Name stammt von der Taste „interest per year“ eines Finanzrechners). Bei jährlichen Zahlungen ist er der Jahreszinssatz selbst.
\(r\)	r	Der Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl. Bei 6 % ist \(r = 0{,}06\) (\(I/Y \div 100\)).
\((1+r)^N\)	eins plus r hoch N	Das Wievielfache, auf das Geld in \(N\) Perioden wächst. Bei 6 % pro Jahr über 10 Jahre ist es \(1{,}06^{10} \approx 1{,}79\) mal so viel. Beim Barwert teilt man durch diesen Faktor, um zukünftiges Geld auf heute zurückzurechnen.
\((1+r)^{-N}\)	eins plus r hoch minus N	Ein negativer Exponent bedeutet „durch \((1+r)^N\) teilen“. Wie in \(1{,}06^{-10} = 1 \div 1{,}06^{10}\) lässt sich die Abzinsung so als Multiplikation schreiben.

Begriffe

Barwert	Der Wert von zukünftigem Geld in heutigem Geld. Kann Geld zum Beispiel 2 % pro Jahr bringen, sind 10.200 € in einem Jahr so viel wert wie 10.000 € heute (auch Gegenwartswert genannt).
Endwert	Der Betrag, auf den Geld von heute oder regelmäßige Sparraten samt Zinsen in der Zukunft anwachsen. Er ist das genaue Gegenstück zum Barwert.
Abzinsung	Das Umrechnen von zukünftigem Geld in seinen Barwert (auch Diskontierung genannt). Man teilt den zukünftigen Betrag durch \((1+r)^N\), der Wert wird also kleiner. Es ist genau die Umkehrung des Wachstums durch Zinsen (des Aufzinsens).
Kalkulationszinssatz	Der Zinssatz, der für die Abzinsung verwendet wird (auch Abzinsungssatz oder Diskontierungszinssatz); auf dieser Seite der Zinssatz I/Y. Es ist der Zinssatz, mit dem das Geld Ihrer Meinung nach wachsen könnte. Je höher er ist, desto geringer ist der heutige Wert von zukünftigem Geld.
Rente	In der Finanzmathematik ein Strom gleich hoher Zahlungen, die in jeder Periode erfolgen (englisch „annuity“). Nicht nur gesetzliche Renten und Rentenversicherungen, sondern auch Ratenzahlungen und regelmäßiges Sparen haben diese Form.
Rentenbarwertfaktor	Der Faktor \(\dfrac{1-(1+r)^{-N}}{r}\): was das Recht, in jeder Periode 1 € zu erhalten, heute wert ist. In der Finanzmathematik ist er einer der sechs Standardfaktoren. Man multipliziert ihn mit der Zahlung pro Periode.
Kapitalwert (NPV)	Die Summe der Barwerte aller Ein- und Auszahlungen, wobei erhaltenes Geld als Plus und gezahltes Geld als Minus zählt (englisch „net present value“). Man benutzt ihn zur Beurteilung von Projekten und Investitionen von Unternehmen, und der Barwert eines einzelnen Betrags auf dieser Seite ist sein Baustein.
Opportunitätskosten	Der Gewinn, den Sie gehabt hätten, wenn Sie das Geld anders verwendet hätten, zum Beispiel angelegt. Zukünftiges Geld ist weniger wert als Geld heute, weil Ihnen beim Warten die Chance entgeht, es anzulegen (Sie zahlen Opportunitätskosten).
nachschüssige Rente	Zahlungen, die am Ende jeder Periode erfolgen. Die meisten Renten und Sparpläne funktionieren so.
vorschüssige Rente	Zahlungen, die am Anfang jeder Periode erfolgen. Jede Zahlung kommt eine Periode früher als bei einer nachschüssigen Rente, deshalb ist der Barwert \((1+r)\)-mal so groß.
Zinseszins	Die Regel, dass auch Zinsen wieder Zinsen bringen. Die Berechnung des Barwerts verwendet den Wachstumsfaktor \((1+r)^N\) des Zinseszinses auf der Seite des Teilens.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Prozentrechnung (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	„6 %“ als Dezimalzahl 0,06 schreiben können Wissen, dass „um 6 % wachsen“ dasselbe ist wie „× 1,06“
Potenzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass \(1{,}06^{10}\) „1,06 zehnmal mit sich selbst multipliziert“ bedeutet
Grundlagen des Zinseszinses (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Den Zinseszins verstehen, bei dem auch die erhaltenen Zinsen wieder Zinsen bringen Sich den Barwert als genaue Umkehrung des Wachstums durch Zinseszins vorstellen können (die Seite des Teilens)
Negative Exponenten (Oberstufe, Vertiefung)	Wissen, dass \((1+r)^{-N}\) „durch \((1+r)^{N}\) teilen“ bedeutet (wenn nicht, rechnet der Rechner für Sie)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Barwert einer zukünftigen Einmalzahlung (Funktion BW)

Zinssatz pro Periode (6 % sind 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Endwert FV	1000
Barwert PV	=-BW(B1;B2;0;B3)

Tabelle für den Barwert von Zahlungen (Periodenende, Funktion BW)

Zinssatz pro Periode (6 % sind 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Zahlung pro Periode PMT	100
Barwert PV	=-BW(B1;B2;B3;0;0)

Tabelle für den Barwert von Zahlungen (Periodenanfang, Funktion BW)

Zinssatz pro Periode (5 % sind 0,05)	0,05
Anzahl der Perioden N	5
Zahlung pro Periode PMT	200
Barwert PV	=-BW(B1;B2;B3;0;1)

Excel hat eine eigene Funktion für den Barwert, BW(Zins; Zzr; Rmz; Zw; F).
Die Funktion BW folgt der Vorzeichenkonvention von Finanzrechnern (geben Sie Geld ein, das Sie erhalten, ist das Ergebnis negativ). Setzen Sie deshalb ein Minuszeichen davor, „=-BW(...)“, um denselben positiven Betrag wie auf dieser Seite zu erhalten.
Die erste Tabelle zeigt in B4 558,39, die zweite 736,01 und die dritte 909,19. Das letzte Argument ist der Zahlungszeitpunkt: 0 oder weggelassen = Periodenende, 1 = Periodenanfang.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Barwert einer zukünftigen Einmalzahlung (Funktion BW)

Zinssatz pro Periode (6 % sind 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Endwert FV	1000
Barwert PV	=-BW(B1;B2;0;B3)

Tabelle für den Barwert von Zahlungen (Periodenende, Funktion BW)

Zinssatz pro Periode (6 % sind 0,06)	0,06
Anzahl der Perioden N	10
Zahlung pro Periode PMT	100
Barwert PV	=-BW(B1;B2;B3;0;0)

Tabelle für den Barwert von Zahlungen (Periodenanfang, Funktion BW)

Zinssatz pro Periode (5 % sind 0,05)	0,05
Anzahl der Perioden N	5
Zahlung pro Periode PMT	200
Barwert PV	=-BW(B1;B2;B3;0;1)

Google Tabellen hat in der deutschen Einstellung dieselbe Funktion BW mit derselben Vorzeichenkonvention wie Excel. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben in Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

future_value = 1000       # Endwert FV (für die Einmalzahlung)
payment = 100             # Zahlung pro Periode PMT (für die Rente)
periods = 10              # Anzahl der Perioden N
rate_percent = 6          # Zinssatz pro Periode I/Y (%)
is_beginning = False      # True = Periodenanfang, False = Periodenende (für die Rente)
r = rate_percent / 100
# Barwert einer zukünftigen Einmalzahlung: PV = FV / (1+r)^N
pv_lump = future_value / (1 + r) ** periods
print(f"Barwert der Einmalzahlung = {pv_lump:.2f}")
print(f"Abschlag = {future_value - pv_lump:.2f}")
# Barwert von Zahlungen pro Periode (Rente). Bei einem Zinssatz von 0 % gibt es keinen Abschlag = PMT x N
if r == 0:
    pv_annuity = payment * periods
else:
    pv_annuity = payment * (1 - (1 + r) ** (-periods)) / r
    if is_beginning:
        pv_annuity *= (1 + r)
print(f"Barwert der Zahlungen = {pv_annuity:.2f}")

Läuft mit der Standardbibliothek allein. „**“ ist das Zeichen für die Potenz, und der negative Exponent „** (-periods)“ bedeutet „durch (1+r) hoch N teilen“. Ändern Sie oben die Eingaben und führen Sie den Code aus (Python gibt Dezimalstellen mit Punkt aus).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Barwert einer zukünftigen Einmalzahlung (Abzinsung)

PV = FV / (1 + r)ᴺ

PV = \dfrac{FV}{(1+r)^{N}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>FV</mi>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>N</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PV = FV / (1+r)^N

pv = fv/(1 + r)^n

pv := fv/(1 + r)^n;

pv = fv/(1 + r)^n;

PV = FV/(1+r)^N

Barwert von Zahlungen pro Periode (nachschüssige Rente, Periodenende)

PV = PMT × (1 − (1 + r)⁻ᴺ) / r

PV = PMT \cdot \dfrac{1-(1+r)^{-N}}{r}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
          <mrow><mo>&#x2212;</mo><mi>N</mi></mrow>
        </msup>
      </mrow>
      <mi>r</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PV = PMT (1 - (1+r)^(-N)) / r

pv = pmt (1 - (1 + r)^(-n))/r

pv := pmt*(1 - (1 + r)^(-n))/r;

pv = pmt*(1 - (1 + r)^(-n))/r;

PV = PMT(1-(1+r)^(-N))/r

Zahlungen am Anfang jeder Periode (vorschüssige Rente)

PV = PMT × (1 − (1 + r)⁻ᴺ) / r × (1 + r)

PV = PMT \cdot \dfrac{1-(1+r)^{-N}}{r} \cdot (1+r)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
          <mrow><mo>&#x2212;</mo><mi>N</mi></mrow>
        </msup>
      </mrow>
      <mi>r</mi>
    </mfrac>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
  </mrow>
</math>

PV = PMT (1 - (1+r)^(-N)) / r * (1+r)

pv = pmt (1 - (1 + r)^(-n))/r (1 + r)

pv := pmt*(1 - (1 + r)^(-n))/r*(1 + r);

pv = pmt*(1 - (1 + r)^(-n))/r*(1 + r);

PV = PMT(1-(1+r)^(-N))/r (1+r)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für die Barwertberechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf oder durch Raten rechnen).
Der Zinssatz beträgt konstant 6 % pro Periode (r = 0,06).
Berechnen Sie Folgendes:
1. Den Barwert von 1.000 €, die Sie in 10 Jahren erhalten: PV = FV / (1+r)^N
2. Den Abschlag (FV − PV)
3. Den Barwert davon, 10 Jahre lang jedes Jahr 100 € am Ende des Jahres zu erhalten: PV = PMT × (1 − (1+r)^(−N)) / r
Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel