Geben Sie den Streckfaktor a ein und wählen Sie, was berechnet werden soll (Modus). Für den Wertebereich von y und die mittlere Änderungsrate geben Sie die Intervallgrenzen p und q ein, für einen y-Wert den x-Wert.
Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 1/2. Die Eingabefelder passen sich automatisch dem Modus an.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links den Streckfaktor a und das Intervall für x (oder einen x-Wert) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und der Graph erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
-
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Für die quadratische Funktion \(y = ax^{2}\) berechnen Sie den Wertebereich von y zu einem Definitionsbereich \(p \le x \le q\). Der Rechenweg erklärt auch die Fallunterscheidung, ob das Intervall die 0 enthält (dann ist das Minimum oder Maximum die 0 im Scheitelpunkt)
- Die mittlere Änderungsrate, wenn x von \(p\) bis \(q\) wächst, erhalten Sie auf zwei Wegen: über die Definition \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) (Änderung von y : Änderung von x) mit Rechenweg und über die Abkürzungsformel \(a(p+q)\)
- Außerdem berechnen Sie zu einem x-Wert den y-Wert (einen Punkt auf dem Graphen)
- Als Streckfaktor a sind ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche wie 1/2 möglich
- Der Rechner zeichnet die Parabel: Im Modus Wertebereich hebt er das Stück über dem Intervall und den Wertebereich von y hervor, im Modus Änderungsrate zeichnet er die Gerade durch die beiden Punkte (Sekante). Auf dieser Seite finden Sie außerdem eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Diese Seite behandelt \(y = ax^{2}\) mit dem Scheitelpunkt im Ursprung. Scheitelpunkt und Maximum oder Minimum der allgemeinen Form \(y = ax^{2} + bx + c\) bestimmen Sie mit der verwandten Seite „Quadratische Ergänzung“.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Die Flugbahn eines geworfenen Balls (Wurfparabel)
Lässt man den Luftwiderstand weg, fliegt ein schräg geworfener Ball auf einer Parabel (dem verschobenen Graphen von \(y = ax^{2}\)) – deshalb spricht man von der Wurfparabel.
Ein Torwartabstoß im Fußball, ein Basketballwurf und der Wasserstrahl eines Springbrunnens folgen alle dieser Form. Mit dieser Funktion simuliert man Sportbewegungen und lässt Bälle in Videospielen fliegen.
Der Fallweg wächst mit dem Quadrat der Zeit (freier Fall)
Ohne Luftwiderstand ist der Weg, den ein fallen gelassener Gegenstand zurücklegt, proportional zum Quadrat der Fallzeit. Mit dem Weg in Metern und der Zeit in Sekunden ist der Faktor etwa 4,9 – das ergibt die quadratische Funktion \(y = 4{,}9x^{2}\).
Nach 1 Sekunde etwa 4,9 m, nach 2 Sekunden etwa 19,6 m: Die doppelte Zeit ergibt den vierfachen Weg. Dieses von Galilei entdeckte Gesetz ist der Ausgangspunkt der Bewegungsberechnungen in der Physik.
Der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit (Verkehrssicherheit)
Der Weg, den ein Auto vom Betätigen der Bremse bis zum Stillstand zurücklegt (der Bremsweg), ist ungefähr proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Doppelte Geschwindigkeit bedeutet etwa vierfachen Bremsweg.
In der Fahrschule lernt man dafür die Faustformel „Bremsweg in Metern = (Geschwindigkeit in km/h : 10)²“: bei 50 km/h etwa 25 m, bei 100 km/h etwa 100 m. Dieses Quadrat ist der mathematische Grund, warum zu schnelles Fahren so gefährlich ist.
Satellitenschüsseln und Reflektoren (Funkwellen und Licht in einem Punkt bündeln)
Dreht man eine Parabel um ihre Achse, entsteht ein Paraboloid mit einer besonderen Eigenschaft: Funkwellen oder Licht, die parallel zur Achse einfallen, treffen sich alle in einem Punkt, dem Brennpunkt.
Satellitenschüsseln und Radioteleskope sammeln so schwache Funksignale. Taschenlampen und Autoscheinwerfer nutzen es umgekehrt, um das Licht als geraden Strahl auszusenden.
Die Windkraft wächst mit dem Quadrat der Windgeschwindigkeit (Sturm und Bauwesen)
Die Kraft, mit der der Wind auf einen Gegenstand drückt (der Winddruck), ist ungefähr proportional zum Quadrat der Windgeschwindigkeit. Doppelte Windgeschwindigkeit bedeutet etwa vierfache Kraft. Deshalb steigen die Schäden so schnell, wenn ein Sturm nur etwas stärker wird.
Beim Entwurf von Gebäuden und Brücken schätzen Ingenieure mit diesem quadratischen Zusammenhang den Winddruck aus der erwarteten Windgeschwindigkeit ab und legen fest, wie stabil das Tragwerk sein muss.
Formeln und Graphen
Die quadratische Funktion \(y = ax^{2}\)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(x^{2}\)
③
Wert von \(y\)
\(=\)
②
\(a\): Streckfaktor
\(\times\)
①
\(x^{2}\): \(x\) zum Quadrat
Die Formel in Worten
①
Man nimmt
\(x^{2}\): den Wert von \(x\) zum Quadrat,
②
multipliziert ihn mit dem
\(a\): Streckfaktor
③
und erhält den
Wert von \(y\)
Einfaches Beispiel
Für \(y = 2x^{2}\) und \(x = 3\) ist der Wert von \(y\)
Wert von \(y\)
\(=\)
Streckfaktor (2)
\(\times\)
3 zum Quadrat (9)
\(y = 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18\)
Der Grundgedanke
\(y = ax^{2}\) ist eine Funktion, bei der y proportional zum Quadrat von x ist. Sie entsteht aus der proportionalen Zuordnung \(y = ax\), wenn man \(x\) durch \(x^{2}\) ersetzt. Die Zahl \(a\) heißt Streckfaktor.
Der Graph ist eine glatte, achsensymmetrische Kurve (eine Parabel) mit dem Scheitelpunkt S im Ursprung (0 | 0). Für \(a > 0\) ist sie nach oben geöffnet, für \(a < 0\) nach unten geöffnet. Je größer der Betrag von \(a\), desto schmaler (steiler) ist die Parabel; \(y = x^{2}\) heißt Normalparabel.
Achten Sie beim Rechnen auf die Reihenfolge: erst quadrieren, dann multiplizieren. Eine negative Zahl quadrieren Sie mit Klammern, etwa \(\left(-3\right)^{2} = 9\).
Wertebereich von y (wenn das Intervall die \(0\) enthält, \(a > 0\))
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(0\)
\(\le\)
\(y\)
\(\le\)
\(am^{2}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(0\): \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (Minimum)
\(\le\)
③
\(y\): Werte von \(y\) im Intervall
\(\le\)
①
\(am^{2}\): Wert am Rand \(m\), der weiter von \(0\) entfernt ist (Maximum)
Die Formel in Worten
①
Sei \(m\) der Rand \(p\) oder \(q\) des Intervalls, der weiter von \(0\) entfernt ist (der mit dem größeren Betrag). Das Maximum ist
\(am^{2}\): der Wert am Rand \(m\), der weiter von \(0\) entfernt ist;
②
das Minimum ist kein Randwert, sondern
\(0\): die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts.
③
Also liegen
\(y\): die Werte von \(y\) im Intervall
zwischen \(0\) und \(am^{2}\) (beide Grenzen eingeschlossen)
Einfaches Beispiel
Für \(y = x^{2}\) mit dem Intervall \(-1 \le x \le 2\) (der Rand, der weiter von \(0\) entfernt ist, ist \(m = 2\))
\(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (0)
\(\le\)
Wert von \(y\)
\(\le\)
Wert bei \(x = 2\) (4)
\(x = -1 \Rightarrow y = 1, \quad x = 0 \Rightarrow y = 0, \quad x = 2 \Rightarrow y = 4\)
\(0 \le y \le 4\)
Der Grundgedanke
Den Wertebereich von y dürfen Sie nicht nur durch Einsetzen der Randwerte von x bestimmen. Richtig ist: Stellen Sie sich das Stück der Parabel über dem Intervall \(p \le x \le q\) vor und lesen Sie dort den kleinsten und den größten y-Wert ab.
Enthält das Intervall die Stelle \(x = 0\) (den Scheitelpunkt), läuft der Graph bis zum Scheitelpunkt (0 | 0) hinunter und steigt dann wieder an. Das Minimum ist dann \(0\) und kein Randwert. Beim Beispiel \(-1 \le x \le 2\) ist ein typischer Fehler, nur die Randwerte \(1\) und \(4\) anzuschauen und „\(1 \le y \le 4\)“ zu antworten.
Enthält das Intervall die \(0\) nicht, steigt oder fällt der Graph dort durchgehend. Dann sind die Randwerte Minimum und Maximum.
Haben beide Ränder denselben Betrag (zum Beispiel \(-2 \le x \le 2\)), ist \(am^{2}\) an beiden Rändern gleich – das Maximum wird dann an beiden Rändern \(x = \pm 2\) angenommen.
Für \(a < 0\) (die Parabel ist nach unten geöffnet) ist alles umgekehrt: Das Maximum ist \(0\) im Scheitelpunkt, das Minimum ist \(am^{2}\).
Mittlere Änderungsrate (wenn \(x\) von \(p\) bis \(q\) wächst)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(aq^{2} - ap^{2}\)
\(\div\)
\(q - p\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
mittlere Änderungsrate
\(=\)
①
\(\Delta y\): Änderung von \(y\) (y am Ende − y am Anfang)
\(\div\)
②
\(\Delta x\): Änderung von \(x\) (x am Ende − x am Anfang)
Die Formel in Worten
①
Man nimmt die
\(\Delta y\): Änderung von \(y\) (y am Ende minus y am Anfang),
②
teilt sie durch die
\(\Delta x\): Änderung von \(x\) (x am Ende minus x am Anfang)
③
und erhält die
mittlere Änderungsrate
Einfaches Beispiel
Für \(y = 2x^{2}\), wenn x von \(1\) bis \(3\) wächst (\(y\) wächst dabei von \(2\) auf \(18\))
mittlere Änderungsrate
\(=\)
Änderung von y (18 − 2 = 16)
\(\div\)
Änderung von x (3 − 1 = 2)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{18 - 2}{3 - 1} = \dfrac{16}{2} = 8\)
Der Grundgedanke
Die mittlere Änderungsrate berechnen Sie genauso wie bei einer linearen Funktion: Änderung von y geteilt durch Änderung von x (Differenzenquotient). Es gibt aber einen großen Unterschied: Bei einer linearen Funktion \(y = mx + b\) ist die Änderungsrate überall die Steigung \(m\). Bei \(y = ax^{2}\) ist die mittlere Änderungsrate nicht konstant, sondern hängt davon ab, wo x startet und wo es endet.
Im Graphen ist die mittlere Änderungsrate die Steigung der Geraden durch die beiden Punkte (der Sekante). Eine Parabel ist eine Kurve, deren Steilheit sich von Stelle zu Stelle ändert. Wählt man andere Punkte, ändert sich deshalb auch die Steigung der Sekante.
Abkürzungsformel für die mittlere Änderungsrate von \(y = ax^{2}\): \(a(p+q)\)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\((p + q)\)
③
mittlere Änderungsrate
\(=\)
②
\(a\): Streckfaktor
\(\times\)
①
\(p + q\): Start-\(x\) + End-\(x\)
Die Formel in Worten
①
Man nimmt
\(p + q\): den Startwert von \(x\) plus den Endwert von \(x\),
②
multipliziert mit dem
\(a\): Streckfaktor
③
und erhält die
mittlere Änderungsrate
Einfaches Beispiel
Für \(y = 2x^{2}\), wenn x von \(1\) bis \(3\) wächst
mittlere Änderungsrate
\(=\)
Streckfaktor (2)
\(\times\)
Summe von 1 und 3 (4)
\(2 \times (1 + 3) = 2 \times 4 = 8\)
Der Grundgedanke
Diese Formel ist eine Abkürzung, die nur für \(y = ax^{2}\) gilt (Scheitelpunkt im Ursprung). Die Änderung von y, \(aq^{2} - ap^{2}\), lässt sich mit der dritten binomischen Formel als \(a(q + p)(q - p)\) schreiben. Teilt man durch die Änderung von x, \(q - p\), bleibt genau \(a(p + q)\) übrig.
Über die Definition (\(\Delta y : \Delta x\)) erhalten Sie immer denselben Wert. Am besten verstehen Sie die Bedeutung zuerst über die Definition und nutzen die Abkürzung dann zur Kontrolle oder um Zeit zu sparen. Für die allgemeine Form \(y = ax^{2} + bx + c\) lautet die Abkürzung \(a(p+q)+b\).
Der Graph der quadratischen Funktion \(y = ax^{2}\) ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung (0 | 0). Bestimmen Sie den Wertebereich von y nicht nur aus den Randwerten, sondern schauen Sie sich das Stück des Graphen über dem Definitionsbereich an. Enthält das Intervall die Stelle \(x = 0\), ist das Minimum (bei \(a < 0\) das Maximum) die \(0\) im Scheitelpunkt. Anders als bei einer linearen Funktion ist die mittlere Änderungsrate nicht konstant: Wächst \(x\) von \(p\) bis \(q\), beträgt sie \(a(p+q)\).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a\) | a | Der Streckfaktor: die Zahl vor \(x^{2}\). Er bestimmt, in welche Richtung der Graph geöffnet ist (nach oben für \(a > 0\), nach unten für \(a < 0\)) und wie schmal er ist. Für feste Zahlen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\). |
| \(x,\ y\) | x, y | Variablen: Buchstaben für Zahlen, die verschiedene Werte annehmen können. Für unbekannte oder veränderliche Zahlen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Ende des Alphabets, \(x,\ y,\ z\). Auf dieser Seite legt \(x\) den Wert von \(y\) fest. |
| \(p,\ q\) | p, q | Die beiden Ränder des Intervalls für x: im Modus Wertebereich linker und rechter Rand des Definitionsbereichs, im Modus Änderungsrate Start- und Endwert von x. Auf dieser Seite gilt immer \(p < q\) (p ist der kleinere Wert). |
| \(m\) | m | Ein Buchstabe, mit dem diese Seite den Wertebereich erklärt: der Rand \(p\) oder \(q\) des Intervalls, der weiter von \(0\) entfernt ist (der mit dem größeren Betrag). Dort liegt das Maximum (bei \(a < 0\) das Minimum). Haben beide Ränder denselben Betrag, ergibt sich an beiden derselbe Wert. |
| \(\Delta x,\ \Delta y\) | Delta x, Delta y | Die Änderung von x und die Änderung von y. \(\Delta\) (Delta) ist das griechische D, der Anfangsbuchstabe von „Differenz“. Es steht für „Wert nachher − Wert vorher“. |
| \(\le\) | kleiner oder gleich | Ein Ungleichheitszeichen, das den Randwert einschließt. \(-1 \le x \le 3\) bedeutet „x ist größer oder gleich −1 und kleiner oder gleich 3“, −1 und 3 gehören also dazu. In Intervallschreibweise ist das \([-1 \,;\, 3]\). |
| \(x^{2}\) | x Quadrat (x hoch 2) | \(x\) mit sich selbst multipliziert (\(x^{2} = x \cdot x\)). Die kleine 2 oben rechts (der Exponent) gibt an, wie oft \(x\) als Faktor vorkommt. Eine negative Zahl quadrieren Sie mit Klammern, etwa \(\left(-3\right)^{2} = 9\). |
Begriffe
| Funktion | Gehört zu jedem Wert von x genau ein Wert von y, sagt man: „y ist eine Funktion von x“. Auch \(y = ax^{2}\) ist eine Funktion – zu jedem x gibt es genau ein y. |
| quadratische Funktion | Eine Funktion, bei der y durch einen Term zweiten Grades in x gegeben ist. Die einfachste Form ist \(y = ax^{2}\) mit dem Scheitelpunkt im Ursprung. In der allgemeinen Form \(y = ax^{2} + bx + c\) kann der Scheitelpunkt auch woanders liegen. |
| Streckfaktor | Die Zahl \(a\) in \(y = ax^{2}\). Sie streckt die Normalparabel \(y = x^{2}\) (für \(|a| > 1\) wird sie schmaler) oder staucht sie (für \(|a| < 1\) wird sie breiter); ein negatives \(a\) spiegelt sie an der x-Achse. Weil y proportional zu \(x^{2}\) ist, nennt man \(a\) auch Proportionalitätsfaktor. |
| Parabel | Die glatte, achsensymmetrische Kurve, die der Graph von \(y = ax^{2}\) ist. Sie hat dieselbe Form wie die Flugbahn eines schräg geworfenen Gegenstands (daher auch „Wurfparabel“). |
| Scheitelpunkt | Der Umkehrpunkt einer Parabel. Bei \(y = ax^{2}\) ist es der Ursprung (0 | 0): für \(a > 0\) der tiefste, für \(a < 0\) der höchste Punkt des Graphen. |
| Ursprung | Der Mittelpunkt des Koordinatensystems, der Punkt (0 | 0), in dem sich x-Achse und y-Achse schneiden. Man bezeichnet ihn mit \(O\) (von lateinisch „origo“, Ursprung). |
| Definitionsbereich und Wertebereich | Die Menge der Werte, die eine Variable annehmen kann, geschrieben mit Ungleichungen wie \(-1 \le x \le 3\) oder als Intervall \([-1 \,;\, 3]\). Der Definitionsbereich enthält die erlaubten x-Werte, der Wertebereich die y-Werte, die die Funktion dort annimmt. |
| mittlere Änderungsrate | Die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x (\(\Delta y : \Delta x\)), auch Differenzenquotient genannt. Sie gibt an, um wie viel y im Mittel wächst, wenn x um 1 wächst. Bei einer linearen Funktion ist sie konstant (die Steigung), bei einer quadratischen Funktion hängt sie vom Intervall ab. |
| Änderung von x bzw. y | Wie stark sich ein Wert ändert, berechnet als „Wert nachher − Wert vorher“. Nimmt der Wert ab, ist die Änderung negativ (von 18 auf 2 ist zum Beispiel eine Änderung von −16). |
| nach oben geöffnet | Für \(a > 0\) hat die Parabel die Form eines Tals. In der Oberstufe sagt man dazu „linksgekrümmt“ (konvex). |
| nach unten geöffnet | Für \(a < 0\) hat die Parabel die Form eines Hügels. In der Oberstufe sagt man dazu „rechtsgekrümmt“ (konkav). |
| lineare Funktion | Eine Funktion der Form \(y = mx + b\) (ihr Graph ist eine Gerade). Der größte Unterschied zur quadratischen Funktion: Ihre Änderungsrate ist überall gleich. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur auf den Knopf drücken, hilft Ihnen das folgende Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist eine Wiederholung dieser Themen der schnellste Weg.
| Negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Proportionale Zuordnungen (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Koordinatensystem und Graphen (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
| Ungleichungen und Intervalle (Klasse 6–8, 11–14 Jahre) |
|
| Lineare Funktionen und Änderungsrate (Klasse 8, 13–14 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für den Wertebereich von y zu einem Intervall von x
| Streckfaktor a | 2 |
| Linker Rand p | -1 |
| Rechter Rand q | 3 |
| y am linken Rand | =B1*B2^2 |
| y am rechten Rand | =B1*B3^2 |
| Minimum von y | =WENN(UND(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Maximum von y | =WENN(UND(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tabelle für die mittlere Änderungsrate
| Streckfaktor a | 2 |
| Startwert von x (p) | 1 |
| Endwert von x (q) | 3 |
| y am Anfang | =B1*B2^2 |
| y am Ende | =B1*B3^2 |
| Mittlere Änderungsrate (Δy : Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Probe mit a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tabelle für den y-Wert zu einem x-Wert
| Streckfaktor a | 2 |
| x-Wert | 3 |
| y-Wert | =B1*B2^2 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (der Streckfaktor und das Intervall für x) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. „^“ steht für die Potenz (^2 heißt „zum Quadrat“), „*“ für die Multiplikation.
Die erste Tabelle ist y = 2x² mit −1 ≤ x ≤ 3. Die y-Werte am linken und rechten Rand sind 2 und 18, als Minimum ergibt sich 0 und als Maximum 18 (der Wertebereich von y ist 0 ≤ y ≤ 18). Der Teil WENN(UND(B2<=0;B3>=0); …) prüft, ob das Intervall die 0 enthält; wenn ja, kommt auch die 0 im Scheitelpunkt als Minimum oder Maximum infrage. Für negatives a funktioniert die Tabelle unverändert.
Die zweite Tabelle ist y = 2x², wenn x von 1 bis 3 wächst. Die Zelle mit der Definition (Δy : Δx) und die Zelle mit der Abkürzung a(p+q) ergeben beide 8.
Die dritte Tabelle setzt x = 3 in y = 2x² ein und ergibt 18.
Die erste Tabelle ist y = 2x² mit −1 ≤ x ≤ 3. Die y-Werte am linken und rechten Rand sind 2 und 18, als Minimum ergibt sich 0 und als Maximum 18 (der Wertebereich von y ist 0 ≤ y ≤ 18). Der Teil WENN(UND(B2<=0;B3>=0); …) prüft, ob das Intervall die 0 enthält; wenn ja, kommt auch die 0 im Scheitelpunkt als Minimum oder Maximum infrage. Für negatives a funktioniert die Tabelle unverändert.
Die zweite Tabelle ist y = 2x², wenn x von 1 bis 3 wächst. Die Zelle mit der Definition (Δy : Δx) und die Zelle mit der Abkürzung a(p+q) ergeben beide 8.
Die dritte Tabelle setzt x = 3 in y = 2x² ein und ergibt 18.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für den Wertebereich von y zu einem Intervall von x
| Streckfaktor a | 2 |
| Linker Rand p | -1 |
| Rechter Rand q | 3 |
| y am linken Rand | =B1*B2^2 |
| y am rechten Rand | =B1*B3^2 |
| Minimum von y | =WENN(UND(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Maximum von y | =WENN(UND(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tabelle für die mittlere Änderungsrate
| Streckfaktor a | 2 |
| Startwert von x (p) | 1 |
| Endwert von x (q) | 3 |
| y am Anfang | =B1*B2^2 |
| y am Ende | =B1*B3^2 |
| Mittlere Änderungsrate (Δy : Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Probe mit a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tabelle für den y-Wert zu einem x-Wert
| Streckfaktor a | 2 |
| x-Wert | 3 |
| y-Wert | =B1*B2^2 |
Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie den Streckfaktor und das Intervall für x durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
coefficient_a = Fraction(2) # Streckfaktor a (ein Bruch wie 1/2 wird als Fraction(1, 2) geschrieben)
left_end = Fraction(-1) # linker Rand p (bei der Änderungsrate: Startwert von x)
right_end = Fraction(3) # rechter Rand q (bei der Änderungsrate: Endwert von x)
y_left = coefficient_a * left_end ** 2
y_right = coefficient_a * right_end ** 2
# Wertebereich von y: Fallunterscheidung, ob das Intervall die 0 (Scheitelpunkt) enthält
if left_end <= 0 <= right_end:
candidates = [Fraction(0), y_left, y_right]
else:
candidates = [y_left, y_right]
y_min = min(candidates)
y_max = max(candidates)
print(f"Wertebereich von y: {y_min} <= y <= {y_max}")
# Mittlere Änderungsrate (x wächst von p bis q)
rate = (y_right - y_left) / (right_end - left_end)
print(f"Mittlere Änderungsrate (Definition Δy÷Δx): {rate}")
print(f"Mittlere Änderungsrate (Abkürzung a(p+q)): {coefficient_a * (left_end + right_end)}")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ganz ohne Rundungsfehler. Das Beispiel ist y = 2x² mit dem Intervall −1 ≤ x ≤ 3. Beim Ausführen erscheinen der Wertebereich von y, „0 <= y <= 18“, und die mittlere Änderungsrate, wenn x von −1 bis 3 wächst, „4“ (über die Definition und über die Abkürzung derselbe Wert). Ändern Sie den Streckfaktor und das Intervall und führen Sie das Programm erneut aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Die quadratische Funktion \(y = ax^{2}\)
y = ax²
y = ax^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
y = a x^2
a x^2
y := a*x^2;
y = a*x^2;
y = ax^2
Wertebereich von y (wenn das Intervall die \(0\) enthält, \(a > 0\))
0 ≤ y ≤ am²
0 \le y \le am^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>≤</mo>
<mi>y</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
0 <= y <= a m^2
{MinValue[{a x^2, p <= x <= q}, x], MaxValue[{a x^2, p <= x <= q}, x]}
minimize(a*x^2, x = p .. q); maximize(a*x^2, x = p .. q);
m = max(abs(p), abs(q)); ymin = 0; ymax = a*m^2;
0 ≤ y ≤ am^2
Mittlere Änderungsrate (wenn \(x\) von \(p\) bis \(q\) wächst)
Δy/Δx = (aq² − ap²)/(q − p)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{aq^{2} - ap^{2}}{q - p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mi>q</mi><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = (a q^2 - a p^2)/(q - p)
(a q^2 - a p^2)/(q - p)
rate := (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
rate = (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
Δy/Δx = (aq^2 − ap^2)/(q − p)
Abkürzungsformel für die mittlere Änderungsrate von \(y = ax^{2}\): \(a(p+q)\)
Δy/Δx = a(p + q)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a(p + q)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>(</mo>
<mi>p</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = a(p + q)
a (p + q)
rate := a*(p + q);
rate = a*(p + q);
Δy/Δx = a(p + q)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Funktionen). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Bestimmen Sie für die quadratische Funktion y = 2x² die folgenden zwei Dinge. 1. Den Wertebereich von y, wenn x im Intervall −1 ≤ x ≤ 3 liegt (erklären Sie auch, warum es wichtig ist, ob das Intervall die 0 enthält) 2. Die mittlere Änderungsrate, wenn x von 1 bis 3 wächst (zeigen Sie den Rechenweg Änderung von y : Änderung von x und verwenden Sie zusätzlich die Abkürzungsformel a(p+q)) Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek. Geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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