Geben Sie den Streckfaktor a ein und wählen Sie, was berechnet werden soll (den Modus). Für den Wertebereich von y oder die mittlere Änderungsrate geben Sie das x-Intervall p und q ein. Für den Wert von y geben Sie einen Wert von x ein.
Sie können Dezimalzahlen mit Komma, negative Zahlen und Brüche wie 1/2 verwenden. Die Felder passen sich automatisch dem Modus an.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie im Feld links den Streckfaktor a und das x-Intervall (oder einen Wert von x) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und der Graph erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Für die quadratische Funktion \(y = ax^{2}\) berechnen Sie den Wertebereich von y zu einem Definitionsbereich von x, \(p \le x \le q\). Der Rechenweg erklärt auch die beiden Fälle, ob der Definitionsbereich die 0 enthält oder nicht (wenn ja, ist das Minimum bzw. Maximum im Scheitelpunkt gleich 0)
- Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate, wenn x von \(p\) bis \(q\) geht, sowohl nach der Definition \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) (Änderung von y ÷ Änderung von x) mit Rechenweg als auch mit der Kurzformel \(a(p+q)\)
- Berechnen Sie den Wert von y zu einem Wert von x (ein Punkt auf dem Graphen)
- Der Streckfaktor a kann eine ganze Zahl, eine Dezimalzahl oder ein Bruch wie 1/2 sein
- Die Parabel wird als Graph gezeichnet. Im Modus für den Wertebereich werden der Teil zum Definitionsbereich und der Wertebereich von y hervorgehoben, im Modus für die Änderungsrate wird die Gerade durch die beiden Punkte gezeichnet. Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite behandelt \(y = ax^{2}\), deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt. Den Scheitelpunkt und das Maximum oder Minimum der allgemeinen Form \(y = ax^{2} + bx + c\) finden Sie auf der verwandten Seite „Quadratische Ergänzung Rechner“.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Bahn eines geworfenen Balls
Ohne Luftwiderstand folgt ein schräg geworfener Ball einer Parabel (dem Graphen von \(y = ax^{2}\), an eine andere Stelle verschoben).
Der Flug eines Fußballs beim Freistoß, ein Basketballwurf und das Wasser eines Springbrunnens folgen dieser Form. Diese Funktion wird auch verwendet, um Sport zu simulieren und um Bälle in Videospielen zu bewegen.
Die Fallstrecke wächst mit dem Quadrat der Zeit (freier Fall)
Ohne Luftwiderstand ist die Strecke, die ein losgelassener Gegenstand fällt, proportional zum Quadrat der Zeit seit dem Loslassen. Mit der Strecke in Metern und der Zeit in Sekunden beträgt der Faktor etwa 4,9 (das ist g ÷ 2 mit g ≈ 9,81 m/s²). Das ergibt die quadratische Funktion \(y = 4{,}9x^{2}\).
Nach 1 Sekunde sind es etwa 4,9 Meter, nach 2 Sekunden etwa 19,6 Meter: Verdoppelt man die Zeit, wird die Strecke viermal so groß. Dieses von Galileo Galilei entdeckte Gesetz ist der Ausgangspunkt für die Bewegungsberechnungen in der Physik.
Der Bremsweg eines Autos wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit (Verkehrssicherheit)
Die Strecke, die ein Auto vom Betätigen der Bremse bis zum Stillstand zurücklegt (der Bremsweg), ist bekanntlich ungefähr proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Verdoppelt man die Geschwindigkeit, wird der Bremsweg etwa viermal so lang.
Die Faustformel aus der Fahrschule lautet: Bremsweg in Metern ≈ (Geschwindigkeit in km/h ÷ 10)². Bei 50 km/h sind das etwa 25 m, bei 100 km/h etwa 100 m.
Dieser quadratische Zusammenhang ist der mathematische Grund, warum zu schnelles Fahren gefährlich ist. Er wird in der Fahrschule gelehrt und ist eine Anwendung dieser Funktion, die direkt die Sicherheit betrifft.
Satellitenschüsseln und Reflektoren (Radiowellen oder Licht in einem Punkt bündeln)
Die Form, die entsteht, wenn man eine Parabel um ihre Achse dreht (ein Paraboloid), hat eine besondere Eigenschaft: Radiowellen oder Licht, die parallel zur Achse einfallen, treffen sich alle in einem Punkt, dem Brennpunkt.
Satellitenschüsseln und Radioteleskope nutzen das, um schwache Radiowellen zu sammeln. Taschenlampen und Autoscheinwerfer nutzen es umgekehrt, um das Licht als gebündelten Strahl auszusenden.
Die Windkraft wächst mit dem Quadrat der Windgeschwindigkeit (Stürme und Gebäude)
Die Kraft, mit der der Wind auf einen Gegenstand drückt (der Winddruck), ist ungefähr proportional zum Quadrat der Windgeschwindigkeit. Verdoppelt sich die Windgeschwindigkeit, wird die Kraft etwa viermal so stark. Deshalb steigen die Schäden so schnell an, wenn die Windgeschwindigkeit bei einem Orkan nur ein wenig zunimmt.
Beim Entwurf von Gebäuden und Brücken schätzen Ingenieurinnen und Ingenieure mit diesem quadratischen Zusammenhang den Winddruck aus der zu erwartenden Windgeschwindigkeit ab und legen fest, wie stabil das Bauwerk sein muss.
Formeln und Graphen
Die quadratische Funktion \(y = ax^{2}\)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(x^{2}\)
③
Wert von \(y\)
\(=\)
②
\(a\): Streckfaktor
\(\times\)
①
\(x^{2}\): \(x\) zum Quadrat
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie
\(x^{2}\): der Wert von \(x\) zum Quadrat
②
multiplizieren Sie ihn mit dem
\(a\): Streckfaktor
③
und Sie erhalten den
Wert von \(y\)
Einfaches Beispiel
Für \(y = 2x^{2}\) ist der Wert von \(y\) bei \(x = 3\)
Wert von \(y\)
\(=\)
Streckfaktor (2)
\(\times\)
3 zum Quadrat (9)
\(y = 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18\)
Der Kerngedanke
\(y = ax^{2}\) ist eine Funktion, bei der „y proportional zum Quadrat von x ist“. Es ist die proportionale Zuordnung \(y = ax\), in der \(x\) durch \(x^{2}\) ersetzt wurde. Deshalb heißt \(a\) auch hier Proportionalitätsfaktor, in der Schule meist Streckfaktor.
Der Graph ist eine glatte Kurve (eine Parabel), deren Scheitelpunkt im Ursprung S(0|0) liegt. Für \(a > 0\) ist sie nach oben geöffnet, für \(a < 0\) nach unten geöffnet. Je größer der Betrag von \(a\) ist, desto enger (steiler) ist die Parabel. Für \(a = 1\) erhält man die Normalparabel.
Beim Rechnen gilt die Reihenfolge: erst quadrieren, dann multiplizieren. Eine negative Zahl quadriert man in Klammern, wie in \(\left(-3\right)^{2} = 9\).
Wertebereich von y (wenn der Definitionsbereich die \(0\) enthält, \(a > 0\))
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(0\)
\(\le\)
\(y\)
\(\le\)
\(am^{2}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(0\): \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (Minimum)
\(\le\)
③
\(y\): Werte von \(y\) im Definitionsbereich
\(\le\)
①
\(am^{2}\): Wert an dem Ende \(m\), das weiter von \(0\) entfernt ist (Maximum)
Die Formel in Worten
①
Ist \(m\) dasjenige Ende \(p\) oder \(q\) des Definitionsbereichs, das weiter von \(0\) entfernt ist (mit dem größeren Betrag), dann ist das Maximum
\(am^{2}\): der Wert an dem Ende \(m\), das weiter von \(0\) entfernt ist
②
das Minimum ist kein Randwert, sondern
\(0\): die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts
③
also liegen
\(y\): die Werte von \(y\) im Definitionsbereich
zwischen \(0\) und \(am^{2}\) (beide Werte eingeschlossen)
Einfaches Beispiel
Für \(y = x^{2}\) mit dem Definitionsbereich \(-1 \le x \le 2\) (das Ende, das weiter von \(0\) entfernt ist, ist \(m = 2\))
\(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (0)
\(\le\)
Wert von \(y\)
\(\le\)
Wert bei \(x = 2\) (4)
\(x = -1 \Rightarrow y = 1, \quad x = 0 \Rightarrow y = 0, \quad x = 2 \Rightarrow y = 4\)
\(0 \le y \le 4\)
Der Kerngedanke
Bestimmen Sie den Wertebereich von y nicht allein durch Einsetzen der Randwerte von x. Richtig ist: Stellen Sie sich den Teil der Parabel zum Definitionsbereich vor (den Teil mit \(p \le x \le q\)) und lesen Sie daran den tiefsten und den höchsten Wert von y ab.
Enthält der Definitionsbereich die Stelle \(x = 0\) (den Scheitelpunkt), dann fällt der Graph bis zum Scheitelpunkt S(0|0) und steigt danach wieder. Das Minimum ist also \(0\) und kein Randwert. Beim Beispiel-Definitionsbereich \(-1 \le x \le 2\) ist der klassische Fehler, nur die Randwerte \(1\) und \(4\) anzusehen und „\(1 \le y \le 4\)“ zu antworten.
Enthält der Definitionsbereich die \(0\) nicht, dann steigt oder fällt der Graph in diesem Intervall durchgehend. Die Randwerte sind dann Minimum und Maximum.
Haben die beiden Enden des Definitionsbereichs denselben Betrag (zum Beispiel \(-2 \le x \le 2\)), so ist \(am^{2}\) an beiden Enden gleich. Das Maximum wird dann an beiden Rändern angenommen, bei \(x = \pm 2\).
Für \(a < 0\) (die Parabel ist nach unten geöffnet) kehrt sich alles um: Das Maximum ist \(0\) im Scheitelpunkt, und das Minimum ist \(am^{2}\).
Mittlere Änderungsrate (wenn \(x\) von \(p\) bis \(q\) geht)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(aq^{2} - ap^{2}\)
\(\div\)
\(q - p\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
mittlere Änderungsrate
\(=\)
①
\(\Delta y\): Änderung von \(y\) (End-\(y\) − Anfangs-\(y\))
\(\div\)
②
\(\Delta x\): Änderung von \(x\) (End-\(x\) − Anfangs-\(x\))
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(\Delta y\): Änderung von \(y\) (End-\(y\) minus Anfangs-\(y\))
②
dividieren Sie sie durch die
\(\Delta x\): Änderung von \(x\) (End-\(x\) minus Anfangs-\(x\))
③
und Sie erhalten die
mittlere Änderungsrate
Einfaches Beispiel
Für \(y = 2x^{2}\), wenn x von \(1\) bis \(3\) geht (\(y\) geht von \(2\) auf \(18\))
mittlere Änderungsrate
\(=\)
Änderung von y (18 − 2 = 16)
\(\div\)
Änderung von x (3 − 1 = 2)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{18 - 2}{3 - 1} = \dfrac{16}{2} = 8\)
Der Kerngedanke
Die mittlere Änderungsrate berechnen Sie genauso wie bei einer linearen Funktion: Änderung von y ÷ Änderung von x (der Differenzenquotient). Es gibt aber einen großen Unterschied. Die Änderungsrate einer linearen Funktion \(y = ax + b\) ist überall die Steigung \(a\), während die mittlere Änderungsrate von \(y = ax^{2}\) nicht konstant ist: Sie hängt davon ab, wo x beginnt und wo es endet.
Im Graphen ist die mittlere Änderungsrate die Steigung der Geraden durch die beiden Punkte (einer Sekante). Eine Parabel ist eine Kurve, deren Steilheit von Stelle zu Stelle wechselt. Wenn sich die beiden Punkte ändern, ändert sich also auch die Steigung der Geraden.
Kurzformel für die mittlere Änderungsrate von \(y = ax^{2}\): \(a(p+q)\)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\((p + q)\)
③
mittlere Änderungsrate
\(=\)
②
\(a\): Streckfaktor
\(\times\)
①
\(p + q\): Anfangs-\(x\) + End-\(x\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie
\(p + q\): Anfangs-\(x\) plus End-\(x\)
②
multiplizieren Sie das Ergebnis mit dem
\(a\): Streckfaktor
③
und Sie erhalten die
mittlere Änderungsrate
Einfaches Beispiel
Für \(y = 2x^{2}\), wenn x von \(1\) bis \(3\) geht
mittlere Änderungsrate
\(=\)
Streckfaktor (2)
\(\times\)
Summe aus 1 und 3 (4)
\(2 \times (1 + 3) = 2 \times 4 = 8\)
Der Kerngedanke
Diese Formel ist eine Abkürzung, die nur für \(y = ax^{2}\) gilt (Scheitelpunkt im Ursprung). Die Änderung von y, \(aq^{2} - ap^{2}\), lässt sich als \(a(q + p)(q - p)\) faktorisieren (dritte binomische Formel). Teilt man durch die Änderung von x, \(q - p\), bleibt nur \(a(p + q)\) übrig.
Die Rechnung nach der Definition (\(\Delta y \div \Delta x\)) liefert immer denselben Wert. Am besten lernen Sie zuerst die Bedeutung über die Definition und nutzen die Kurzformel zur Kontrolle oder um Zeit zu sparen. Für die allgemeine Form \(y = ax^{2} + bx + c\) wird die Kurzformel zu \(a(p+q)+b\).
Der Graph der quadratischen Funktion \(y = ax^{2}\) ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt im Ursprung S(0|0). Den Wertebereich von y bestimmen Sie nicht allein aus den Randwerten, sondern anhand des Teils des Graphen zum Definitionsbereich. Enthält der Definitionsbereich die Stelle \(x = 0\), ist das Minimum (für \(a < 0\) das Maximum) gleich \(0\) im Scheitelpunkt. Anders als bei einer linearen Funktion ist die mittlere Änderungsrate nicht konstant: Wenn \(x\) von \(p\) bis \(q\) geht, beträgt sie \(a(p+q)\).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a\) | a | Der Streckfaktor: die Zahl, mit der \(x^{2}\) multipliziert wird. Er bestimmt, in welche Richtung der Graph geöffnet ist (nach oben für \(a > 0\), nach unten für \(a < 0\)) und wie eng er ist. Üblicherweise stehen Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\), für feste Zahlen. |
| \(x,\ y\) | x, ypsilon | Variablen: Buchstaben für Zahlen, die viele Werte annehmen können. Üblicherweise stehen Buchstaben vom Ende des Alphabets, \(x,\ y,\ z\), für unbekannte oder veränderliche Zahlen. Auf dieser Seite legt die Wahl von \(x\) den Wert von \(y\) fest. |
| \(p,\ q\) | p, q | Die beiden Enden des x-Intervalls: im Modus für den Wertebereich das linke und das rechte Ende des Definitionsbereichs, im Modus für die Änderungsrate der Anfangs- und der Endwert von x. Auf dieser Seite gilt immer \(p < q\) (p ist der kleinere Wert). |
| \(m\) | m | Ein Buchstabe, der auf dieser Seite zur Erklärung des Wertebereichs dient: dasjenige Ende \(p\) oder \(q\) des Definitionsbereichs, das weiter von \(0\) entfernt ist (mit dem größeren Betrag). An diesem Ende wird das Maximum (für \(a < 0\) das Minimum) angenommen. Haben beide Enden denselben Betrag, liefern beide Enden denselben Wert. |
| \(\Delta x,\ \Delta y\) | delta x, delta y | Die Änderung von x und die Änderung von y. \(\Delta\) (Delta) ist der griechische Buchstabe für D, den Anfangsbuchstaben von „Differenz“, und steht für „Wert nach der Änderung − Wert davor“. |
| \(\le\) | kleiner oder gleich | Ein Ungleichheitszeichen, das den Randwert einschließt. \(-1 \le x \le 3\) bedeutet „x ist größer oder gleich −1 und kleiner oder gleich 3“, also sind −1 und 3 eingeschlossen. In manchen Ländern schreibt man es mit zwei Strichen, \(\leqq\), mit derselben Bedeutung. |
| \(x^{2}\) | x hoch 2 | \(x\) mit sich selbst multipliziert (\(x^{2} = x \times x\)). Die kleine 2 oben rechts (der Exponent) gibt an, wie oft \(x\) als Faktor vorkommt. Eine negative Zahl quadriert man in Klammern, wie in \(\left(-3\right)^{2} = 9\). |
Begriffe
| Funktion | Wenn jedem Wert von x genau ein Wert von y zugeordnet wird, sagt man „y ist eine Funktion von x“. Auch \(y = ax^{2}\) ist eine Funktion: Legt man x fest, ist genau ein y bestimmt. |
| quadratische Funktion | Eine Funktion, bei der y durch einen Term zweiten Grades in x gegeben ist. Die einfachste Form ist \(y = ax^{2}\) mit dem Scheitelpunkt im Ursprung. Bei der allgemeinen Form \(y = ax^{2} + bx + c\) kann der Scheitelpunkt vom Ursprung weg wandern. |
| Streckfaktor | Die Zahl, mit der eine Variable multipliziert wird, etwa das \(a\) in \(y = ax^{2}\). Sie streckt (\(|a| > 1\)) oder staucht (\(|a| < 1\)) die Normalparabel \(y = x^{2}\). Ist \(a\) negativ, wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. |
| Parabel | Die glatte, symmetrische Kurve, die der Graph von \(y = ax^{2}\) ist. Sie hat dieselbe Form wie die Bahn eines schräg geworfenen Gegenstands (Wurfparabel). |
| Scheitelpunkt | Der Wendepunkt in der Bewegung einer Parabel, ihr höchster oder tiefster Punkt. Der Scheitelpunkt von \(y = ax^{2}\) ist der Ursprung S(0|0). Für \(a > 0\) ist er der tiefste Punkt des Graphen, für \(a < 0\) der höchste. |
| Ursprung | Der Mittelpunkt des Koordinatensystems, der Punkt (0|0), in dem sich die x-Achse und die y-Achse schneiden. Er wird mit \(O\) bezeichnet. |
| Definitionsbereich und Wertebereich | Die Menge der Werte, die eine Variable annehmen kann, geschrieben mit Ungleichungen wie \(-1 \le x \le 3\). Der Definitionsbereich ist die Menge der Werte von x, der Wertebereich die Menge der Werte, die y über diesem Definitionsbereich annimmt. |
| mittlere Änderungsrate | Die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x (\(\Delta y \div \Delta x\)). Sie gibt an, um wie viel y im Durchschnitt zunimmt, wenn x um 1 zunimmt. Bei einer linearen Funktion ist sie konstant (die Steigung a), bei einer quadratischen Funktion hängt sie vom Intervall ab. |
| Änderung von x und Änderung von y | Der Betrag der Änderung, berechnet als „Wert nach der Änderung − Wert davor“. Nimmt der Wert ab, ist die Änderung negativ (zum Beispiel ist der Übergang von 18 auf 2 eine Änderung von −16). |
| nach oben geöffnet | Für \(a > 0\) hat die Parabel die Form eines Tals. Man sagt auch: Sie ist linksgekrümmt (konvex). |
| nach unten geöffnet | Für \(a < 0\) hat die Parabel die Form eines Berges. Man sagt auch: Sie ist rechtsgekrümmt (konkav). |
| lineare Funktion | Eine Funktion der Form \(y = ax + b\) (ihr Graph ist eine Gerade). Der größte Unterschied zu einer quadratischen Funktion ist, dass ihre Änderungsrate überall gleich ist. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal durchzugehen.
| Positive und negative Zahlen (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Proportionale Zuordnungen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Koordinatensystem und Graphen (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
| Ungleichungen und Intervalle (Klasse 7–9, 12–15 Jahre) |
|
| Lineare Funktionen und Änderungsrate (Klasse 8, 13–14 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für den Wertebereich von y zu einem Definitionsbereich von x
| Streckfaktor a | 2 |
| Linkes Ende des Definitionsbereichs p | -1 |
| Rechtes Ende des Definitionsbereichs q | 3 |
| y am linken Ende | =B1*B2^2 |
| y am rechten Ende | =B1*B3^2 |
| Minimum von y | =WENN(UND(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Maximum von y | =WENN(UND(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tabelle für die mittlere Änderungsrate
| Streckfaktor a | 2 |
| Anfangswert von x (p) | 1 |
| Endwert von x (q) | 3 |
| y am Anfang | =B1*B2^2 |
| y am Ende | =B1*B3^2 |
| Mittlere Änderungsrate (Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Kontrolle mit a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tabelle für den y-Wert zu einem Wert von x
| Streckfaktor a | 2 |
| Wert von x | 3 |
| Wert von y | =B1*B2^2 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (der Streckfaktor und das x-Intervall) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. „^“ steht für die Potenz (^2 bedeutet zum Quadrat), „*“ für die Multiplikation.
Die erste Tabelle gehört zu y = 2x² mit −1 ≤ x ≤ 3. Die Werte von y am linken und am rechten Ende sind 2 und 18, das Minimum 0 und das Maximum 18 werden ermittelt (der Wertebereich von y ist 0 ≤ y ≤ 18). Der Teil WENN(UND(B2<=0;B3>=0); …) prüft, ob der Definitionsbereich die 0 enthält. Ist das der Fall, kommt auch die 0 im Scheitelpunkt als Minimum oder Maximum in Frage. Die Formel funktioniert unverändert auch für negatives a.
Die zweite Tabelle gehört zu y = 2x², wenn x von 1 bis 3 geht. Die Zelle mit der Definition (Δy÷Δx) und die Zelle mit der Kurzformel a(p+q) liefern beide 8.
Die dritte Tabelle setzt x = 3 in y = 2x² ein und liefert 18.
Die erste Tabelle gehört zu y = 2x² mit −1 ≤ x ≤ 3. Die Werte von y am linken und am rechten Ende sind 2 und 18, das Minimum 0 und das Maximum 18 werden ermittelt (der Wertebereich von y ist 0 ≤ y ≤ 18). Der Teil WENN(UND(B2<=0;B3>=0); …) prüft, ob der Definitionsbereich die 0 enthält. Ist das der Fall, kommt auch die 0 im Scheitelpunkt als Minimum oder Maximum in Frage. Die Formel funktioniert unverändert auch für negatives a.
Die zweite Tabelle gehört zu y = 2x², wenn x von 1 bis 3 geht. Die Zelle mit der Definition (Δy÷Δx) und die Zelle mit der Kurzformel a(p+q) liefern beide 8.
Die dritte Tabelle setzt x = 3 in y = 2x² ein und liefert 18.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für den Wertebereich von y zu einem Definitionsbereich von x
| Streckfaktor a | 2 |
| Linkes Ende des Definitionsbereichs p | -1 |
| Rechtes Ende des Definitionsbereichs q | 3 |
| y am linken Ende | =B1*B2^2 |
| y am rechten Ende | =B1*B3^2 |
| Minimum von y | =WENN(UND(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Maximum von y | =WENN(UND(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tabelle für die mittlere Änderungsrate
| Streckfaktor a | 2 |
| Anfangswert von x (p) | 1 |
| Endwert von x (q) | 3 |
| y am Anfang | =B1*B2^2 |
| y am Ende | =B1*B3^2 |
| Mittlere Änderungsrate (Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Kontrolle mit a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tabelle für den y-Wert zu einem Wert von x
| Streckfaktor a | 2 |
| Wert von x | 3 |
| Wert von y | =B1*B2^2 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie den Streckfaktor und das x-Intervall durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
coefficient_a = Fraction(2) # Streckfaktor a (ein Bruch wie 1/2 lässt sich als Fraction(1, 2) schreiben)
left_end = Fraction(-1) # linkes Ende des Definitionsbereichs p (für die Änderungsrate: das Anfangs-x)
right_end = Fraction(3) # rechtes Ende des Definitionsbereichs q (für die Änderungsrate: das End-x)
y_left = coefficient_a * left_end ** 2
y_right = coefficient_a * right_end ** 2
# Wertebereich von y: Fallunterscheidung, ob der Definitionsbereich die 0 (den Scheitelpunkt) enthält
if left_end <= 0 <= right_end:
candidates = [Fraction(0), y_left, y_right]
else:
candidates = [y_left, y_right]
y_min = min(candidates)
y_max = max(candidates)
print(f"Wertebereich von y: {y_min} <= y <= {y_max}")
# Mittlere Änderungsrate (wenn x von p bis q geht)
rate = (y_right - y_left) / (right_end - left_end)
print(f"Mittlere Änderungsrate (Definition Δy÷Δx): {rate}")
print(f"Mittlere Änderungsrate (Kurzformel a(p+q)): {coefficient_a * (left_end + right_end)}")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ohne Rundungsfehler bei Dezimalzahlen. Das Beispiel ist y = 2x² mit dem Definitionsbereich −1 ≤ x ≤ 3. Beim Ausführen zeigt es den Wertebereich von y, „0 <= y <= 18“, und die mittlere Änderungsrate für x von −1 bis 3, „4“ (derselbe Wert nach der Definition und nach der Kurzformel). Ändern Sie den Streckfaktor und das Intervall und führen Sie den Code erneut aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die quadratische Funktion \(y = ax^{2}\)
y = ax²
y = ax^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
y = a x^2
a x^2
y := a*x^2;
y = a*x^2;
y = ax^2
Wertebereich von y (wenn der Definitionsbereich die \(0\) enthält, \(a > 0\))
0 ≤ y ≤ am²
0 \le y \le am^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>≤</mo>
<mi>y</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
0 <= y <= a m^2
{MinValue[{a x^2, p <= x <= q}, x], MaxValue[{a x^2, p <= x <= q}, x]}
minimize(a*x^2, x = p .. q); maximize(a*x^2, x = p .. q);
m = max(abs(p), abs(q)); ymin = 0; ymax = a*m^2;
0 ≤ y ≤ am^2
Mittlere Änderungsrate (wenn \(x\) von \(p\) bis \(q\) geht)
Δy/Δx = (aq² − ap²)/(q − p)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{aq^{2} - ap^{2}}{q - p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mi>q</mi><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = (a q^2 - a p^2)/(q - p)
(a q^2 - a p^2)/(q - p)
rate := (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
rate = (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
Δy/Δx = (aq^2 − ap^2)/(q − p)
Kurzformel für die mittlere Änderungsrate von \(y = ax^{2}\): \(a(p+q)\)
Δy/Δx = a(p + q)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a(p + q)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>(</mo>
<mi>p</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = a(p + q)
a (p + q)
rate := a*(p + q);
rate = a*(p + q);
Δy/Δx = a(p + q)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Berechnungen mit Funktionen in der Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung tatsächlich mit Python-Code aus und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen des Ausführungsergebnisses (nicht im Kopf rechnen und nicht raten). Bestimmen Sie für die quadratische Funktion y = 2x² die folgenden zwei Dinge. 1. Den Wertebereich von y, wenn der Definitionsbereich von x −1 ≤ x ≤ 3 ist (erklären Sie auch, warum es wichtig ist, ob der Definitionsbereich die 0 enthält) 2. Die mittlere Änderungsrate, wenn x von 1 bis 3 geht (zeigen Sie die Schritte für Änderung von y ÷ Änderung von x und verwenden Sie auch die Kurzformel a(p+q)) Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek, um exakt zu rechnen. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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