Geben Sie Radius und Mittelpunktswinkel des Kreisausschnitts ein. Berechnet wird die Fläche (πr² × Mittelpunktswinkel : 360), dazu wird der Kreisausschnitt gezeichnet.
Geben Sie den Mittelpunktswinkel nur in einem Feld ein, in Grad oder im Bogenmaß. Nur Zahlen ohne Einheit eingeben (Radius in cm, dann Fläche in cm²; bei m in m²).
Ergebnis und Figur
Geben Sie links den Radius und den Mittelpunktswinkel ein (in Grad oder im Bogenmaß, nur eines von beiden) und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Abbildung des Kreisausschnitts erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Radius und Mittelpunktswinkel eingeben – und Sie kennen sofort die Fläche des Kreisausschnitts (\(\pi r^2 \times\) Mittelpunktswinkel \(\div\, 360\))
- Den Mittelpunktswinkel können Sie in Grad (°) oder im Bogenmaß eingeben (nur eines der beiden Felder ausfüllen)
- Wenn es aufgeht, sehen Sie auch den exakten Wert mit der Kreiszahl \(\pi\) (bei Radius 30 und 90° ist das \(225\pi\))
- Zum Ergebnis wird der Kreisausschnitt gezeichnet. So sehen Sie auf einen Blick, welchen Teil des ganzen Kreises Sie berechnet haben
- Dazu: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Gerechnet wird mit \(\pi = 3{,}14159\ldots\) (das „3,14“ aus der Schule ist ein gerundeter Wert davon). Geben Sie nur Zahlen ohne Einheit ein. Ist der Radius in cm, steht die Fläche in cm², bei m in m².
Wofür braucht man diese Berechnung?
Pizza- oder Tortenstücke vergleichen (gerecht teilen)
Teilt man eine Pizza mit 30 cm Durchmesser (15 cm Radius) in 8 Stücke, ist jedes Stück ein Kreisausschnitt mit dem Mittelpunktswinkel \(360^\circ \div 8 = 45^\circ\). Seine Fläche ist \(\pi \times 15^2 \times \dfrac{45}{360} = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}4\,\mathrm{cm^2}\).
Auch Fragen wie „Ist ein Achtel der mittleren Pizza größer oder ein Zwölftel der großen?“ entscheiden Sie mit dieser Formel in Zahlen.
Reichweite eines Rasensprengers abschätzen (Garten und Landwirtschaft)
Ein Schwenk- oder Kreisregner bewässert einen Kreisausschnitt: Die Wurfweite ist der Radius, der Schwenkwinkel der Mittelpunktswinkel. Ein Regner mit 10 m Reichweite und 180° Schwenkbereich bewässert \(\pi \times 10^2 \times \dfrac{180}{360} = 50\pi \approx 157{,}1\,\mathrm{m^2}\).
Vergleichen Sie das mit der Fläche von Rasen oder Beet, planen Sie schon vor dem Kauf, wie viele Regner Sie brauchen und wo sie stehen sollen (Wind und Wasserdruck verändern die tatsächliche Fläche – es ist ein Richtwert).
Wischfeld eines Scheibenwischers (Fahrzeugtechnik)
Ein Scheibenwischer bewegt sich in einem Kreisausschnitt um den Fuß seines Arms. Reicht die Spitze 60 cm weit und schwenkt er um 90°, überstreicht er \(\pi \times 60^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \approx 2827\,\mathrm{cm^2}\) (etwa 0,28 m²).
Gewischt wird aber nur dieser Ausschnitt minus des kleinen inneren Ausschnitts, den das Wischblatt nicht erreicht (ein Kreisringausschnitt, ähnlich einem Stück Baumkuchen). Sie wenden die Formel also zweimal an: „großer Ausschnitt − kleiner Ausschnitt“.
Fläche eines fächerförmigen Beets oder Platzes (Garten- und Landschaftsbau)
An Straßenecken und vor Gebäuden legt man oft fächerförmige Beete und Rasenflächen an. Ein Beet mit 3 m Radius und 120° Mittelpunktswinkel hat \(\pi \times 3^2 \times \dfrac{120}{360} = 3\pi \approx 9{,}4\,\mathrm{m^2}\).
Rollrasen, Erde oder Pflastersteine werden nach Fläche verkauft (z. B. „1 Sack reicht für 2 m²“). Mit der Fläche schätzen Sie die Einkaufsmenge ab.
Erfassungsbereich von Überwachungskamera oder Bewegungsmelder (Sicherheit)
Im Datenblatt von Überwachungskameras und Bewegungsmeldern steht etwa „Erfassungswinkel 90°, Reichweite 8 m“. Betrachtet man den waagerecht abgedeckten Bereich als Kreisausschnitt, sind das \(\pi \times 8^2 \times \dfrac{90}{360} = 16\pi \approx 50{,}3\,\mathrm{m^2}\).
Legen Sie das über den Grundriss von Parkplatz oder Laden, prüfen Sie schon vor der Montage, ob tote Winkel bleiben und wie viele Geräte Sie brauchen (Hindernisse und die Neigung verändern den tatsächlichen Bereich).
Formeln und Abbildungen
Fläche des Kreisausschnitts (Mittelpunktswinkel in Grad)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(\theta\)
\(\div\)
\(360\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑥
\(S\): Fläche des Kreisausschnitts
\(=\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
zum Quadrat (die Länge mit sich selbst malnehmen)
\(\times\)
④
\(\theta\): Mittelpunktswinkel (Grad)
\(\div\)
⑤
\(360^\circ\): Winkel des ganzen Kreises
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
\(r\): Radius
②
zum Quadrat (die Länge mit sich selbst malnehmen)
③
und mal die
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
, erhält man zuerst die Fläche des ganzen Kreises \(\pi r^2\). Diese multipliziert man mit dem
④
\(\theta\): Mittelpunktswinkel (Grad)
⑤
und teilt durch den
\(360^\circ\): Winkel des ganzen Kreises
(man multipliziert also mit dem Anteil am Vollkreis, den der Mittelpunktswinkel ausmacht)
⑥
und erhält die
\(S\): Fläche des Kreisausschnitts
Einfaches Beispiel
Ein Kreisausschnitt mit 30 cm Radius und 90° Mittelpunktswinkel hat die Fläche
\(S\): Fläche des Kreisausschnitts
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (30 cm)
zum Quadrat
\(\times\)
Mittelpunktswinkel (90°)
\(\div\)
ganzer Kreis (360°)
\(\pi \times 30^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \times \dfrac{1}{4} = 225\pi\)
\(225\pi = 225 \times 3{,}14159\ldots \approx 706{,}86\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Ein Kreisausschnitt ist ein Stück, das man wie ein Pizzastück mit dem Mittelpunktswinkel aus dem Kreis schneidet. Seine Fläche ist deshalb einfach die Fläche des ganzen Kreises \(\pi r^2\) mal den Anteil am Vollkreis (360°), den der Mittelpunktswinkel ausmacht \(\left(\dfrac{\theta}{360}\right)\). Ein Winkel von 90° ist \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\) des Kreises, 180° die Hälfte und 360° genau der ganze Kreis.
Ist der Mittelpunktswinkel ein Teiler von 360° (90°, 60°, 45° usw.), kürzen Sie \(\dfrac{\theta}{360}\) am besten zuerst – dann rechnet es sich leichter.
Fläche des Kreisausschnitts (Mittelpunktswinkel im Bogenmaß)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(\theta\)
\(\div\)
\(2\pi\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑥
\(S\): Fläche des Kreisausschnitts
\(=\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
zum Quadrat (die Länge mit sich selbst malnehmen)
\(\times\)
④
\(\theta\): Mittelpunktswinkel (Bogenmaß)
\(\div\)
⑤
\(2\pi\): Winkel des ganzen Kreises
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
\(r\): Radius
②
zum Quadrat (die Länge mit sich selbst malnehmen)
③
und mal die
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
, erhält man zuerst die Fläche des ganzen Kreises \(\pi r^2\). Diese multipliziert man mit dem
④
\(\theta\): Mittelpunktswinkel (Bogenmaß)
⑤
und teilt durch den
\(2\pi\): Winkel des ganzen Kreises (Bogenmaß)
(man multipliziert also mit dem Anteil am Vollkreis, den der Mittelpunktswinkel ausmacht)
⑥
und erhält die
\(S\): Fläche des Kreisausschnitts
Einfaches Beispiel
Ein Kreisausschnitt mit 10 cm Radius und einem Mittelpunktswinkel von 1,5708 rad (etwa 90°) hat die Fläche
\(S\): Fläche des Kreisausschnitts
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (10 cm)
zum Quadrat
\(\times\)
Mittelpunktswinkel (1,5708 rad)
\(\div\)
ganzer Kreis (\(2\pi\) rad)
\(\pi \times 10^2 \times \dfrac{1{,}5708}{2\pi} = 10^2 \times \dfrac{1{,}5708}{2}\)
\(100 \times 1{,}5708 \div 2 = 78{,}54\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Das Bogenmaß (Einheit rad) ist eine Art, Winkel zu messen, die in der Oberstufe dazukommt: \(180^\circ = \pi\) rad und \(360^\circ = 2\pi\) rad. Die Idee ist genau dieselbe wie bei Grad: Die Fläche des ganzen Kreises \(\pi r^2\) wird mit dem Anteil am Vollkreis (\(2\pi\) rad) multipliziert, den der Mittelpunktswinkel ausmacht.
In dieser Formel kürzt sich das \(\pi\) im Zähler mit dem \(\pi\) im Nenner, und es bleibt die kurze Form aus dem Schulbuch, \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\) (Radius zum Quadrat × Mittelpunktswinkel : 2).
Die Fläche eines Kreisausschnitts ist „Fläche des ganzen Kreises \(\pi r^2\) × Anteil des Mittelpunktswinkels am Vollkreis“. In Grad teilen Sie durch 360, im Bogenmaß durch \(2\pi\) (vereinfacht \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\)). Ist der Radius in cm, steht das Ergebnis in cm².
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Ein häufiges Zeichen für eine Fläche. Hier steht es für die Fläche des Kreisausschnitts. In deutschen Schulbüchern steht meist \(A = \pi r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}\); gemeint ist dasselbe. |
| \(r\) | r | Der Radius – der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zum Kreisbogen. |
| \(r^2\) | r Quadrat (r hoch 2) | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist der Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“. |
| \(\theta\) | Theta | Ein griechischer Buchstabe, der oft für Winkel steht. Hier ist es der Mittelpunktswinkel des Kreisausschnitts (in Schulbüchern meist \(\alpha\)). |
| \(\pi\) | pi | Die Kreiszahl – sie gibt an, wievielmal der Umfang eines Kreises so lang ist wie sein Durchmesser. Sie lautet \(3{,}14159265\ldots\) und geht unendlich weiter, ohne sich zu wiederholen (eine irrationale Zahl). In der Schule rechnet man oft mit 3,14. |
| \(^\circ\) | Grad | Eine Winkeleinheit. Teilt man eine volle Umdrehung in 360 gleiche Teile, ist jeder 1°. Das ist die vertrauteste Angabe für Winkel, die man mit dem Geodreieck misst (Gradmaß). |
| \(\mathrm{rad}\) | Radiant | Die Einheit des Bogenmaßes (Oberstufe). Ein Kreisbogen, der so lang ist wie der Radius, gehört zum Mittelpunktswinkel 1 rad. Es gilt \(180^\circ = \pi\) rad (1 rad ≈ 57,3°). |
Begriffe
| Kreisausschnitt | Ein Stück eines Kreises, das von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt wird – wie ein Pizzastück oder ein aufgeklappter Fächer. Auch Kreissektor genannt. |
| Mittelpunktswinkel | Der Winkel an der Spitze des Kreisausschnitts, also im Mittelpunkt des Kreises (auch Zentriwinkel). Er gibt an, wie weit der Ausschnitt geöffnet ist – je größer, desto größer Fläche und Bogen. |
| Kreisbogen | Ein Teil des Kreisumfangs – der gebogene äußere Rand des Kreisausschnitts. |
| Kreiszahl | Der Wert Umfang : Durchmesser. Er ist bei jedem Kreis gleich (\(3{,}14159\ldots\)). Das Zeichen ist \(\pi\). |
| Gradmaß | Winkelmessung, bei der eine volle Umdrehung 360° hat – das vertraute Grad (°) aus der Grundschule. |
| Bogenmaß | Winkelmessung über die Länge des Kreisbogens (Einheit Radiant, rad). Eine volle Umdrehung ist \(2\pi\) rad. Es kommt meist in Klasse 10 mit den trigonometrischen Funktionen dazu. |
| Anteil am Vollkreis | Gibt an, welchen Teil des Ganzen etwas ausmacht. Hier zeigt „Mittelpunktswinkel : Winkel des ganzen Kreises“, welcher Bruchteil des ganzen Kreises der Kreisausschnitt ist. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Anteile und Brüche multiplizieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Fläche des Kreises (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Terme mit Variablen und die Kreiszahl π (Klasse 7–9, 12–15 Jahre) |
|
| Kreisbogen und Kreisausschnitt (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Bogenmaß (Klasse 10–11, 15–17 Jahre; nur für das Feld im Bogenmaß) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Fläche des Kreisausschnitts (Mittelpunktswinkel in Grad)
| Radius | 30 |
| Mittelpunktswinkel (Grad) | 90 |
| Fläche des Kreisausschnitts | =PI()*B1^2*B2/360 |
Tabelle für die Fläche des Kreisausschnitts (Mittelpunktswinkel im Bogenmaß)
| Radius | 10 |
| Mittelpunktswinkel (Bogenmaß) | 1,5708 |
| Fläche des Kreisausschnitts | =B1^2*B2/2 |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„B1“ und „B2“ in der Formel bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren. „PI()“ liefert die Kreiszahl (3,14159…).
In der ersten Tabelle erscheint in B3 π × 30² × 90 : 360 ≈ 706,86 (in cm², weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle (Bogenmaß, Radius² × Mittelpunktswinkel : 2) zeigt in B3 78,54. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch die Werte Ihres eigenen Kreisausschnitts.
„B1“ und „B2“ in der Formel bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren. „PI()“ liefert die Kreiszahl (3,14159…).
In der ersten Tabelle erscheint in B3 π × 30² × 90 : 360 ≈ 706,86 (in cm², weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle (Bogenmaß, Radius² × Mittelpunktswinkel : 2) zeigt in B3 78,54. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch die Werte Ihres eigenen Kreisausschnitts.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Fläche des Kreisausschnitts (Mittelpunktswinkel in Grad)
| Radius | 30 |
| Mittelpunktswinkel (Grad) | 90 |
| Fläche des Kreisausschnitts | =PI()*B1^2*B2/360 |
Tabelle für die Fläche des Kreisausschnitts (Mittelpunktswinkel im Bogenmaß)
| Radius | 10 |
| Mittelpunktswinkel (Bogenmaß) | 1,5708 |
| Fläche des Kreisausschnitts | =B1^2*B2/2 |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktion PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch die Werte Ihres eigenen Kreisausschnitts.
So berechnen Sie es in Python
import math
radius = 30 # Radius (in diesem Beispiel in cm)
degrees = 90 # Mittelpunktswinkel (Grad)
area = math.pi * radius ** 2 * degrees / 360 # Fläche des Kreisausschnitts (Eingabeeinheit zum Quadrat, hier cm2)
print(f"Fläche des Kreisausschnitts: {area} cm2")
# Mit dem Mittelpunktswinkel im Bogenmaß gilt "Radius zum Quadrat x Winkel / 2"
radians = 1.5708
area_by_radians = radius ** 2 * radians / 2
print(f"Mit dem Mittelpunktswinkel {radians} rad: {area_by_radians} cm2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „**“ die Potenz (hier zum Quadrat), „*“ steht für Malnehmen und „/“ für Teilen. Ändern Sie oben Radius und Mittelpunktswinkel und führen Sie den Code aus (im Code schreibt man Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Fläche des Kreisausschnitts (Mittelpunktswinkel in Grad)
S = πr² × θ ÷ 360
S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{360}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>θ</mi><mn>360</mn></mfrac>
</mrow>
</math>
S = pi r^2 xx theta/360
Pi r^2 theta/360
S := Pi*r^2*theta/360;
S = pi*r^2*theta/360;
S = πr^2 × θ/360
Fläche des Kreisausschnitts (Mittelpunktswinkel im Bogenmaß)
S = πr² × θ ÷ (2π)
S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{2\pi}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
S = pi r^2 xx theta/(2 pi)
Pi r^2 theta/(2 Pi)
S := Pi*r^2*theta/(2*Pi);
S = pi*r^2*theta/(2*pi);
S = πr^2 × θ/(2π)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Ein Kreisausschnitt hat den Radius 30 cm und den Mittelpunktswinkel 90°. Berechnen Sie: 1. die Fläche dieses Kreisausschnitts in cm² (als Dezimalzahl) 2. dieselbe Fläche exakt mit der Kreiszahl π geschrieben Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine Quellenangabe nötig
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Kommerzielle Nutzung möglich
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Kreisberechnung – Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche berechnen
Berechnungen für den ganzen Kreis, aus dem der Ausschnitt stammt. Aus Radius, Durchmesser, Umfang oder Fläche folgen die anderen drei Werte
Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen – aus drei Seiten mit dem Satz des Heron
Aus den drei Seitenlängen wird die Fläche eines Dreiecks berechnet. Teil der Reihe zu Flächen
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Berechnet Innen- und Außenwinkelsumme eines n-Ecks und die Winkel im regelmäßigen Vieleck – auch rückwärts vom Winkel zur Eckenzahl
