Geben Sie den Radius und den Mittelpunktswinkel des Kreissektors ein. Der Flächeninhalt (πr² × Mittelpunktswinkel ÷ 360) wird berechnet und der Kreissektor gezeichnet.
Geben Sie den Mittelpunktswinkel nur in einem Feld ein, in Grad oder in Radiant. Geben Sie nur Zahlen ein, ohne Einheiten (geben Sie den Radius in cm ein, ist der Flächeninhalt in cm², bei m in m²).
Ergebnis und Figur
Geben Sie in den Feldern links den Radius und den Mittelpunktswinkel ein (in Grad oder in Radiant, nur eines von beiden) und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung des Kreissektors erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Zeichnungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie den Radius und den Mittelpunktswinkel ein, und Sie erhalten sofort den Flächeninhalt des Kreissektors (\(\pi r^2 \times\) Mittelpunktswinkel \(\div\, 360\))
- Den Mittelpunktswinkel können Sie in Grad (°) oder in Radiant eingeben (füllen Sie nur eines der beiden Felder aus)
- Geht die Rechnung auf, wird auch die exakte Form mit \(\pi\) angezeigt (bei Radius 30 und einem Mittelpunktswinkel von 90°: \(225\pi\))
- Zum Ergebnis wird auch eine Zeichnung des Kreissektors gezeichnet, sodass Sie auf einen Blick sehen, von welchem Teil des ganzen Kreises Sie den Flächeninhalt bestimmt haben
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Die Rechnung verwendet \(\pi = 3{,}14159\ldots\) (das in der Schule verwendete „3,14“ ist ein gerundeter Wert davon). Geben Sie nur Zahlen ein, ohne Einheiten. Geben Sie den Radius in cm ein, ist der Flächeninhalt in cm², bei m in m².
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Größe eines Stücks Pizza oder Torte vergleichen (Essen gerecht teilen)
Schneiden Sie eine Pizza mit 30 cm Durchmesser (Radius 15 cm) in 8 Stücke, ist jedes Stück ein Kreissektor mit einem Mittelpunktswinkel von \(360^\circ \div 8 = 45^\circ\). Sein Flächeninhalt ist \(\pi \times 15^2 \times \dfrac{45}{360} = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}4\,\mathrm{cm^2}\).
Auch Fragen wie „Was ist größer: ein Stück einer mittleren Pizza in 8 Stücken oder ein Stück einer großen Pizza in 12 Stücken?“ lassen sich mit den Flächeninhalten nach dieser Formel in Zahlen beantworten.
Die Reichweite eines Rasensprengers abschätzen (Garten und Landwirtschaft)
Ein schwenkbarer Rasensprenger bewässert einen Kreissektor, dessen Radius die Wurfweite des Wassers ist und dessen Mittelpunktswinkel der Schwenkwinkel. Ein Sprenger mit 10 m Reichweite, der sich um 180° dreht, bewässert \(\pi \times 10^2 \times \dfrac{180}{360} = 50\pi \approx 157{,}1\,\mathrm{m^2}\).
Vergleichen Sie das mit der Größe Ihres Rasens oder Gartens, dann können Sie vor dem Kauf planen, wie viele Sprenger Sie brauchen und wo sie stehen sollen (Wind und Wasserdruck verändern die tatsächliche Reichweite, es ist also nur ein Richtwert).
Die Wischfläche eines Scheibenwischers bestimmen (Fahrzeugbau und Werkstatt)
Ein Scheibenwischer schwenkt um den Fußpunkt seines Arms in einem Kreissektor. Reicht die Spitze 60 cm weit und schwenkt der Wischer um 90°, beträgt der überstrichene Kreissektor \(\pi \times 60^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \approx 2.827\,\mathrm{cm^2}\) (etwa 0,28 m²).
Tatsächlich gewischt wird nur dieser Kreissektor abzüglich des kleinen inneren Kreissektors, den das Wischblatt nicht erreicht (eine Form wie ein Stück eines Kreisrings). Sie wenden diese Formel also zweimal an: „großer Kreissektor − kleiner Kreissektor“.
Den Flächeninhalt eines fächerförmigen Beets oder Platzes bestimmen (Landschaftsbau und Garten)
An Straßenecken und vor Gebäuden legt man oft fächerförmige Beete und Rasenflächen an. Ein Beet mit 3 m Radius und einem Mittelpunktswinkel von 120° hat einen Flächeninhalt von \(\pi \times 3^2 \times \dfrac{120}{360} = 3\pi \approx 9{,}4\,\mathrm{m^2}\).
Rollrasen, Erde und Mulch werden nach der Fläche verkauft, die sie abdecken (ein Sack reicht für so und so viele m²), deshalb können Sie die Kaufmenge abschätzen, sobald Sie den Flächeninhalt kennen.
Den Erfassungsbereich einer Überwachungskamera oder eines Sensors prüfen (Sicherheit und Überwachung)
In den Datenblättern von Überwachungskameras und Bewegungsmeldern steht zum Beispiel „Blickwinkel 90°, Reichweite 8 m“. Sieht man den waagerecht erfassten Bereich als Kreissektor, ergibt sich \(\pi \times 8^2 \times \dfrac{90}{360} = 16\pi \approx 50{,}3\,\mathrm{m^2}\).
Legen Sie das über den Plan eines Parkplatzes oder Ladens, können Sie vor der Montage prüfen, ob es tote Winkel gibt und wie viele Geräte Sie brauchen (Hindernisse und die Neigung der Kamera verändern den tatsächlich sichtbaren Bereich).
Formeln und Zeichnungen
Flächeninhalt eines Kreissektors (Mittelpunktswinkel in Grad)
Zeichnung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(\theta\)
\(\div\)
\(360\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑥
\(S\): Flächeninhalt des Kreissektors
\(=\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
zum Quadrat (die Länge mal sich selbst)
\(\times\)
④
\(\theta\): Mittelpunktswinkel (Grad)
\(\div\)
⑤
\(360^\circ\): Winkel des ganzen Kreises
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(r\): Radius
②
und
quadrieren Sie ihn (die Länge mal sich selbst)
③
multiplizieren Sie dann mit der
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
, das ergibt zunächst den Flächeninhalt des ganzen Kreises, \(\pi r^2\). Danach
④
multiplizieren Sie mit dem
\(\theta\): Mittelpunktswinkel (Grad)
⑤
und teilen Sie durch den
\(360^\circ\): Winkel des ganzen Kreises
(so multiplizieren Sie mit dem Anteil am ganzen Kreis, den der Mittelpunktswinkel ausmacht)
⑥
und Sie erhalten den
\(S\): Flächeninhalt des Kreissektors
Einfaches Beispiel
Der Flächeninhalt eines Kreissektors mit einem Radius von 30 cm und einem Mittelpunktswinkel von 90° beträgt
\(S\): Flächeninhalt des Kreissektors
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (30 cm)
zum Quadrat
\(\times\)
Mittelpunktswinkel (90°)
\(\div\)
ganzer Kreis (360°)
\(\pi \times 30^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \times \dfrac{1}{4} = 225\pi\)
\(225\pi = 225 \times 3{,}14159\ldots \approx 706{,}86\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Ein Kreissektor ist ein Stück, das man wie ein Stück Pizza mit dem Mittelpunktswinkel aus einem Kreis schneidet. Sein Flächeninhalt ist also einfach der Flächeninhalt des ganzen Kreises, \(\pi r^2\), mal dem Anteil am ganzen Kreis (360°), den der Mittelpunktswinkel ausmacht, \(\left(\dfrac{\theta}{360}\right)\). Ein Mittelpunktswinkel von 90° ist \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\) des Kreises, 180° ist die Hälfte, und 360° ist genau der ganze Kreis.
Ist der Mittelpunktswinkel ein Teiler von 360° (90°, 60°, 45° und so weiter), rechnen Sie leichter, wenn Sie \(\dfrac{\theta}{360}\) zuerst kürzen.
Flächeninhalt eines Kreissektors (Mittelpunktswinkel in Radiant)
Zeichnung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(\theta\)
\(\div\)
\(2\pi\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑥
\(S\): Flächeninhalt des Kreissektors
\(=\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
zum Quadrat (die Länge mal sich selbst)
\(\times\)
④
\(\theta\): Mittelpunktswinkel (Radiant)
\(\div\)
⑤
\(2\pi\): Winkel des ganzen Kreises
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(r\): Radius
②
und
quadrieren Sie ihn (die Länge mal sich selbst)
③
multiplizieren Sie dann mit der
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
, das ergibt zunächst den Flächeninhalt des ganzen Kreises, \(\pi r^2\). Danach
④
multiplizieren Sie mit dem
\(\theta\): Mittelpunktswinkel (Radiant)
⑤
und teilen Sie durch den
\(2\pi\): Winkel des ganzen Kreises (Radiant)
(so multiplizieren Sie mit dem Anteil am ganzen Kreis, den der Mittelpunktswinkel ausmacht)
⑥
und Sie erhalten den
\(S\): Flächeninhalt des Kreissektors
Einfaches Beispiel
Der Flächeninhalt eines Kreissektors mit einem Radius von 10 cm und einem Mittelpunktswinkel von 1,5708 Radiant (etwa 90°) beträgt
\(S\): Flächeninhalt des Kreissektors
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (10 cm)
zum Quadrat
\(\times\)
Mittelpunktswinkel (1,5708 Radiant)
\(\div\)
ganzer Kreis (\(2\pi\) Radiant)
\(\pi \times 10^2 \times \dfrac{1{,}5708}{2\pi} = 10^2 \times \dfrac{1{,}5708}{2}\)
\(100 \times 1{,}5708 \div 2 = 78{,}54\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Radiant ist eine Art, Winkel zu messen, die in der Oberstufe behandelt wird (das Bogenmaß): \(180^\circ = \pi\) Radiant und \(360^\circ = 2\pi\) Radiant. Der Gedanke ist genau derselbe wie bei Grad: Multiplizieren Sie den Flächeninhalt des ganzen Kreises, \(\pi r^2\), mit dem Anteil am ganzen Kreis (\(2\pi\) Radiant), den der Mittelpunktswinkel ausmacht.
In dieser Formel kürzen sich das \(\pi\) im Zähler und das \(\pi\) im Nenner, sodass die kurze Form aus den Schulbüchern übrig bleibt, \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\) (Radius zum Quadrat × Mittelpunktswinkel ÷ 2).
Der Flächeninhalt eines Kreissektors ist „der Flächeninhalt des ganzen Kreises \(\pi r^2\) × der Anteil am Kreis, den der Mittelpunktswinkel ausmacht“. Bei einem Mittelpunktswinkel in Grad teilen Sie durch 360, im Bogenmaß durch \(2\pi\) (das vereinfacht sich zu \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\)). Geben Sie den Radius in cm ein, ergibt sich das Ergebnis in cm².
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | Es | Ein Buchstabe, der oft für den Flächeninhalt steht (von „Surface“). Auf dieser Seite ist es der Flächeninhalt des Kreissektors. (Deutsche Schulbücher schreiben meist \(A\).) |
| \(r\) | er | Der Radius, nach dem Anfangsbuchstaben von „Radius“. Er ist die Länge vom Mittelpunkt des Kreises bis zum Kreisbogen. |
| \(r^2\) | er zum Quadrat | Die Zahl \(r\), mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist ein Exponent und bedeutet, dass die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. |
| \(\theta\) | Theta | Ein griechischer Buchstabe, der oft für die Größe eines Winkels steht. Auf dieser Seite ist es der Mittelpunktswinkel des Kreissektors. (Deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(\alpha\), etwa \(A = \pi r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}\).) |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl Pi, die angibt, wievielmal so lang der Umfang eines Kreises wie sein Durchmesser ist. Sie beträgt \(3{,}14159265\ldots\), eine Dezimalzahl, die ohne Ende und ohne Wiederholung weitergeht (eine irrationale Zahl). In der Schule rechnet man oft mit 3,14. |
| \(^\circ\) | Grad | Eine Einheit für Winkel. Teilt man eine volle Umdrehung in 360 gleiche Teile, ist ein Teil 1°. Es ist die vertrauteste Art, einen Winkel anzugeben, die Sie mit dem Geodreieck messen (das Gradmaß). |
| \(\mathrm{rad}\) | Radiant | Eine Einheit für Winkel, die in der Oberstufe behandelt wird (das Bogenmaß). Der Mittelpunktswinkel zu einem Kreisbogen von der Länge des Radius ist 1 Radiant, und es gilt \(180^\circ = \pi\) Radiant (1 Radiant ≈ 57,3°). |
Begriffe
| Kreissektor | Eine Figur, die durch zwei Radien aus einem Kreis geschnitten wird, wie ein Stück Pizza oder ein aufgeklappter Fächer. Sie wird von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt. In Schulbüchern heißt sie auch Kreisausschnitt. |
| Mittelpunktswinkel | Der Winkel an der Spitze des Kreissektors, also im Mittelpunkt des Kreises (auch Zentriwinkel genannt). Er zeigt, wie weit sich der Kreissektor öffnet; je größer er ist, desto größer sind Flächeninhalt und Kreisbogen. |
| Kreisbogen | Ein Teil des Kreisrandes. Er ist der gekrümmte äußere Rand des Kreissektors. |
| Kreiszahl | Der Wert von Umfang ÷ Durchmesser. Er ist bei jedem Kreis gleich groß (\(3{,}14159\ldots\)). Das Symbol ist \(\pi\). |
| Gradmaß | Winkel so messen, dass eine volle Umdrehung 360° ist. Es ist die vertraute Messung in Grad (°), die Sie seit der Grundschule benutzen. |
| Bogenmaß | Winkel über die Länge des Kreisbogens messen (die Einheit ist der Radiant). Eine volle Umdrehung sind \(2\pi\) Radiant. Es wird ab der Oberstufe verwendet. |
| Anteil am ganzen Kreis | Eine Zahl, die zeigt, wie viel vom Ganzen etwas ausmacht. Auf dieser Seite zeigt „Mittelpunktswinkel ÷ Winkel des ganzen Kreises“, welchen Anteil des ganzen Kreises der Kreissektor ausmacht. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was hilfreich ist, damit Sie die Berechnung dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur den Knopf drücken.
| Bruchteile und Multiplikation von Brüchen (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Flächeninhalt eines Kreises (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Terme mit Variablen und die Kreiszahl (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Kreisbögen und Kreissektoren (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Bogenmaß (Klasse 10–11, 15–17 Jahre; nur wenn Sie das Feld für Radiant verwenden) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissektors (Mittelpunktswinkel in Grad)
| Radius | 30 |
| Mittelpunktswinkel (Grad) | 90 |
| Flächeninhalt des Kreissektors | =PI()*B1^2*B2/360 |
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissektors (Mittelpunktswinkel in Radiant)
| Radius | 10 |
| Mittelpunktswinkel (Radiant) | 1,5708 |
| Flächeninhalt des Kreissektors | =B1^2*B2/2 |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile rechnet daraus automatisch.
„B1“ und „B2“ in einer Formel stehen für „die Zahl in dieser Zelle“. „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird). „PI()“ ist eine Funktion, die die Kreiszahl (3,14159…) liefert.
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel π × 30² × 90 ÷ 360 ≈ 706,86 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die zweite Tabelle (die Version für Radiant, Radius² × Mittelpunktswinkel ÷ 2) zeigt in B3 den Wert 78,54. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch die Zahlen Ihres eigenen Kreissektors.
„B1“ und „B2“ in einer Formel stehen für „die Zahl in dieser Zelle“. „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird). „PI()“ ist eine Funktion, die die Kreiszahl (3,14159…) liefert.
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel π × 30² × 90 ÷ 360 ≈ 706,86 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die zweite Tabelle (die Version für Radiant, Radius² × Mittelpunktswinkel ÷ 2) zeigt in B3 den Wert 78,54. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch die Zahlen Ihres eigenen Kreissektors.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissektors (Mittelpunktswinkel in Grad)
| Radius | 30 |
| Mittelpunktswinkel (Grad) | 90 |
| Flächeninhalt des Kreissektors | =PI()*B1^2*B2/360 |
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissektors (Mittelpunktswinkel in Radiant)
| Radius | 10 |
| Mittelpunktswinkel (Radiant) | 1,5708 |
| Flächeninhalt des Kreissektors | =B1^2*B2/2 |
Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktion PI() ist dieselbe). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch die Zahlen Ihres eigenen Kreissektors.
Mit Python berechnen
import math
radius = 30 # Radius (in diesem Beispiel in cm)
degrees = 90 # Mittelpunktswinkel (Grad)
area = math.pi * radius ** 2 * degrees / 360 # Flächeninhalt des Kreissektors (eingegebene Einheit zum Quadrat; hier cm2)
print(f"Flächeninhalt des Kreissektors: {area} cm2")
# Bei einem Mittelpunktswinkel im Bogenmaß gilt „Radius zum Quadrat x Mittelpunktswinkel / 2“
radians = 1.5708
area_by_radians = radius ** 2 * radians / 2
print(f"Bei einem Mittelpunktswinkel von {radians} Radiant: {area_by_radians} cm2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „**“ ist die Potenz (hier das Quadrat), „*“ ist das Malzeichen und „/“ der Bruchstrich (die Division). Ändern Sie oben den Radius und den Mittelpunktswinkel und starten Sie den Code.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Flächeninhalt eines Kreissektors (Mittelpunktswinkel in Grad)
S = πr² × θ ÷ 360
S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{360}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>θ</mi><mn>360</mn></mfrac>
</mrow>
</math>
S = pi r^2 xx theta/360
Pi r^2 theta/360
S := Pi*r^2*theta/360;
S = pi*r^2*theta/360;
S = πr^2 × θ/360
Flächeninhalt eines Kreissektors (Mittelpunktswinkel in Radiant)
S = πr² × θ ÷ (2π)
S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{2\pi}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
S = pi r^2 xx theta/(2 pi)
Pi r^2 theta/(2 Pi)
S := Pi*r^2*theta/(2*Pi);
S = pi*r^2*theta/(2*pi);
S = πr^2 × θ/(2π)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Rechenaufgaben in der Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (rechnen Sie nicht im Kopf und schätzen Sie nicht). Ein Kreissektor hat einen Radius von 30 cm und einen Mittelpunktswinkel von 90°. Berechnen Sie: 1. Den Flächeninhalt dieses Kreissektors in cm² (als Dezimalzahl) 2. Denselben Flächeninhalt exakt mit Pi (π) geschrieben Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Keine Quellenangabe nötig
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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