Durchschnittliche Rendite berechnen – Rendite p. a. (geometrisches Mittel) und Gesamtrendite

Geben Sie für jeden Zeitraum die Rendite (%) und die Haltedauer (Jahre und Monate) ein, beginnend mit dem ältesten. Nötig sind mindestens 2 Zeiträume (höchstens 20). Sie erhalten die Gesamtrendite der ganzen Geldanlage und die durchschnittliche Rendite pro Jahr (annualisiertes geometrisches Mittel).

Geben Sie die Renditen als Zahlen in % ein (bei Verlust negativ, zum Beispiel -2). Die Haltedauer geben Sie als ganze Zahlen in Jahren, Monaten oder beidem ein (beides wird addiert, zum Beispiel „1“ Jahr und „2“ Monate = 1 Jahr und 2 Monate). Nicht benötigte Zeilen lassen Sie leer.

Ergebnis und Graph

Geben Sie links für jeden Zeitraum Rendite und Haltedauer ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis, ein Graph und eine Tabelle der Entwicklung ab 100.000 € erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Aus der Rendite (%) und der Haltedauer (Jahre und Monate) jedes Zeitraums – etwa „+10 % im ersten Jahr, dann −2 % in den nächsten 5 Monaten …“ – berechnen Sie die Gesamtrendite der ganzen Geldanlage und die durchschnittliche Rendite pro Jahr
Die durchschnittliche Rendite glättet schwankende Renditen zu „demselben Prozentsatz jedes Jahr, der zum selben Ergebnis führt“ (annualisiertes geometrisches Mittel). So lassen sich Geldanlagen mit unterschiedlicher Haltedauer fair vergleichen
Die Formelkarten erklären auch den Unterschied zum arithmetischen Mittel, das „im Schnitt +25 %“ zeigen kann, obwohl Sie nichts gewonnen haben (der wichtigste Punkt dieser Seite)
Dazu eine Tabelle des Kontostands am Ende jedes Zeitraums (Start bei 100.000 €) und ein Graph, der den tatsächlichen Kontostand neben die Kurve des gleichmäßigen Wachstums mit der durchschnittlichen Rendite legt

Diese Seite rechnet für den Fall, dass Sie die Rendite jedes Zeitraums kennen. Bei Geldanlagen mit Ein- oder Auszahlungen zwischendurch (Sparplan, Entnahmen) passt eine geldgewichtete Rendite aus den Zahlungsströmen besser (siehe IRR-Rechner bei den verwandten Rechnern). Es ist eine rein mathematische Rechnung ohne Gebühren und Steuern und keine Empfehlung für eine bestimmte Geldanlage.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Die Wertentwicklung von Fonds und Aktien richtig als Rendite p. a. angeben

Bei schwankenden Ergebnissen wie „+10 % im 1. Jahr, −5 % im 2. Jahr, +20 % im 3. Jahr“ wird die Wertentwicklung pro Jahr in Fonds-Factsheets mit demselben geometrischen Mittel berechnet wie auf dieser Seite (in Deutschland meist nach der BVI-Methode).
Wenn Sie Ihre eigenen Ergebnisse in eine Rendite pro Jahr umrechnen können, vergleichen Sie Fonds untereinander oder mit einem Ziel (etwa 5 % pro Jahr) auf derselben Basis. Haben Sie zwischendurch Geld eingezahlt oder entnommen, zeigt eine geldgewichtete Rendite (IRR) das genauere Bild.

Die Falle „im Schnitt +25 %“ durchschauen (der Unterschied zum arithmetischen Mittel)

Das arithmetische Mittel von −50 % und +100 % ist +25 %, tatsächlich wird aber aus 100.000 € erst 50.000 € und dann wieder 100.000 € – null Gewinn. Je stärker die Schwankungen, desto besser sieht das arithmetische Mittel im Vergleich zur Wirklichkeit aus.
Lesen Sie in einer Werbung oder einem Artikel „durchschnittliche Rendite von X %“, fragen Sie: arithmetisch oder geometrisch (annualisiert)? Dieses eine Wissen schützt Sie gut vor geschönten Zahlen.

Die Wachstumsrate (CAGR) von Umsatz oder Nutzerzahlen berechnen

„Der Umsatz ist in 3 Jahren auf das 1,5-Fache gestiegen“ ergibt pro Jahr \(1{,}5^{1/3} - 1 \approx 14{,}5\,\%\). Dieser Wert heißt CAGR (durchschnittliche jährliche Wachstumsrate) und ist in Businessplänen, Geschäftsberichten und Investorenpräsentationen Standard.
Damit lässt sich das Wachstum von Geschäftsbereichen oder Unternehmen über unterschiedlich lange Zeiträume pro Jahr vergleichen – er kommt deshalb oft in Unterlagen und Unternehmensanalysen vor.

Langfristigen Vermögensaufbau planen, etwa fürs Alter

Kennen Sie die durchschnittliche Rendite pro Jahr aus der Vergangenheit, können Sie mit dem Zinseszins abschätzen, wie viel Sie in 20 Jahren haben könnten, wenn es so weitergeht – etwa bei der privaten Altersvorsorge mit einem ETF-Sparplan (bei 5 % pro Jahr wächst Geld in 20 Jahren auf etwa das 2,65-Fache).
Vergangene Durchschnittsrenditen sind keine Garantie für die Zukunft. Ein solider Plan rechnet auch mit einer etwas niedrigeren Rendite pro Jahr und berücksichtigt eine Spanne möglicher Ergebnisse.

Vergleichen, welche Geldanlage bei unterschiedlicher Haltedauer besser war

Was war besser: A mit +30 % in 2 Jahren oder B mit +50 % in 3,5 Jahren? An der Gesamtrendite sehen Sie es nicht, pro Jahr aber bringt A etwa 14,0 % und B etwa 12,3 % – A war besser.
Auch wenn eine Haltedauer zusätzliche Monate enthält, rechnet diese Seite sie direkt auf ein Jahr um.

Formeln und Graphen

Haltedauer in Jahren

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(h\) \(=\) \(y\) \(+\) \(m\) \(\div\) \(12\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(h\): Haltedauer in Jahren \(=\) ③ \(y\): Jahre \(+\) ① \(m\): Monate \(\div\) ② \(12\): Monate pro Jahr

Die Formel in Worten

① Teilen Sie die \(m\): Monate

② durch die \(12\): Monate pro Jahr , um sie in Jahre umzurechnen,

③ und addieren Sie die \(y\): Jahre

④ – so erhalten Sie die \(h\): Haltedauer in Jahren

Einfaches Beispiel

Eine Haltedauer von „1 Jahr und 2 Monaten“ ergibt in Jahren

\(h\): Haltedauer in Jahren \(=\) Jahre (1) \(+\) Monate (2) \(\div\) Monate pro Jahr (12)

\(1 + 2 \div 12 = 1 + 0{,}1666\ldots \approx 1{,}17\)

Der Grundgedanke

Um Renditen pro Jahr zu vergleichen, rechnen Sie im ersten Schritt alle Haltedauern in Jahre um. 6 Monate sind \(6 : 12 = 0{,}5\) Jahre, 2 Jahre und 3 Monate sind \(2 + 3 : 12 = 2{,}25\) Jahre.

Stand am Ende eines Zeitraums (Kette mit Zinseszinseffekt)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(B_i\) \(=\) \(B_{i-1}\) \(\times\) \((1 + r_i)\) \(h_i\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(B_i\): Stand am Ende dieses Zeitraums \(=\) ① \(B_{i-1}\): Stand am Ende des vorigen Zeitraums \(\times\) ② \((1 + r_i)\): Wachstumsfaktor für 1 Jahr ③ \(h_i\): Haltedauer in Jahren

Die Formel in Worten

① Den \(B_{i-1}\): Stand am Ende des vorigen Zeitraums

② multiplizieren Sie mit dem \((1 + r_i)\): Wachstumsfaktor für 1 Jahr (\(r_i\) ist die Rendite dieses Zeitraums – 1,1 bei +10 %, 0,95 bei −5 %), genommen hoch die

③ \(h_i\): Haltedauer in Jahren

④ – so erhalten Sie den \(B_i\): Stand am Ende dieses Zeitraums

Einfaches Beispiel

Halten Sie 100.000 € 2 Jahre lang bei einer Rendite von 10 % pro Jahr, beträgt der Stand (in Tsd. €)

\(B\): Stand am Ende des Zeitraums \(=\) vorheriger Stand (100.000 €) \(\times\) Wachstumsfaktor (1,1) Haltedauer (2 Jahre)

\(100 \times 1{,}1 \times 1{,}1 = 121\)

Der Grundgedanke

Der Stand am Ende eines Zeitraums wird zum Kapital des nächsten – das ist der Zinseszinseffekt. Dieser Rechner verkettet die Formel ab Zeitraum 1 und erhält so den Endstand. Ist eine Haltedauer keine ganze Zahl von Jahren, entsteht eine Potenz mit Dezimalexponent wie \(1{,}1^{0{,}5}\) (ein halbes Jahr). Von Hand ist das mühsam, Taschenrechner oder Excel erledigen es in einem Schritt.

Gesamtrendite

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(R\) \(=\) \(B_n\) \(\div\) \(B_0\) \(-\) \(1\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(R\): Gesamtrendite \(=\) ① \(B_n\): Endstand \(\div\) ② \(B_0\): Startbetrag \(-\) ③ \(1\): das Kapital

Die Formel in Worten

① Teilen Sie den \(B_n\): Endstand

② durch den \(B_0\): Startbetrag – das ist das Vielfache über die ganze Zeit –

③ und ziehen Sie \(1\): das Kapital ab (1-fach = weder Gewinn noch Verlust)

④ – so erhalten Sie die \(R\): Gesamtrendite (mal 100 ergibt die Angabe in %)

Einfaches Beispiel

Sind aus 100.000 € am Ende 132.000 € geworden, beträgt die Gesamtrendite (in Tsd. €)

\(R\): Gesamtrendite \(=\) Endstand (132.000 €) \(\div\) Startbetrag (100.000 €) \(-\) \(1\): das Kapital

\(132 \div 100 = 1{,}32\)

\(1{,}32 - 1 = 0{,}32\ \ (32\,\%)\)

Der Grundgedanke

Die Gesamtrendite sagt, um wie viel Prozent das Geld über die ganze Zeit gewachsen (oder geschrumpft) ist – wie viele Jahre das gedauert hat, spielt keine Rolle. Dieselben +32 % sind als Geldanlage aber etwas völlig anderes, je nachdem ob sie 2 oder 10 Jahre gebraucht haben. Die durchschnittliche Rendite pro Jahr im nächsten Abschnitt bringt alles auf dieselbe jährliche Basis, sodass Sie vergleichen können.

Durchschnittliche Rendite (geometrisches Mittel, pro Jahr)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(r_{avg}\) \(=\) \(\left(\dfrac{B_n}{B_0}\right)\) \(1/T\) \(-\) \(1\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(r_{avg}\): durchschnittliche Rendite pro Jahr \(=\) ① Wachstumsfaktor über die ganze Zeit (Endstand \(B_n\) : Startbetrag \(B_0\)) ② hoch 1 durch die gesamte Haltedauer \(T\) \(-\) ③ \(1\): das Kapital

Die Formel in Worten

① Den Wachstumsfaktor über die ganze Zeit (Endstand \(B_n\) : Startbetrag \(B_0\))

② nehmen Sie hoch 1 durch die gesamte Haltedauer \(T\) (so entsteht der Wachstumsfaktor pro Jahr, der nach \(T\) Jahren zum selben Ergebnis führt),

③ ziehen Sie \(1\): das Kapital ab

④ – so erhalten Sie die \(r_{avg}\): durchschnittliche Rendite pro Jahr (mal 100 ergibt die Angabe in %)

Einfaches Beispiel

Sind aus 100.000 € in 2 Jahren 132.000 € geworden (das 1,32-Fache), beträgt die durchschnittliche Rendite pro Jahr

\(r_{avg}\): durchschnittliche Rendite pro Jahr \(=\) Wachstumsfaktor über die ganze Zeit (1,32) hoch 1 durch die gesamte Haltedauer (2 Jahre) \(-\) \(1\): das Kapital

\(1{,}32^{1/2} = \sqrt{1{,}32} \approx 1{,}1489\)

\(1{,}1489 - 1 = 0{,}1489\ \ (14{,}89\,\%)\)

Der Grundgedanke

„Hoch \(1/T\)“ bedeutet, die Zahl zu suchen, die hoch \(T\) genommen wieder den ursprünglichen Wachstumsfaktor ergibt – also die \(T\)-te Wurzel des Faktors. Größen, die durch Multiplikation verkettet sind, so zu mitteln, ist das geometrische Mittel; es ergibt etwas anderes als der übliche Durchschnitt aus Addieren und Teilen (das arithmetische Mittel). Warum nicht das arithmetische Mittel? Denken Sie an eine Geldanlage mit −50 % im ersten und +100 % im zweiten Jahr. Das arithmetische Mittel ist \((-50 + 100) : 2 = +25\,\%\), tatsächlich aber 100.000 € → 50.000 € → 100.000 €, also null Gewinn. Renditen bauen sich durch Multiplizieren auf (\(0{,}5 \cdot 2 = 1\)-fach), nicht durch Addieren – deshalb muss auch der Mittelwert das multiplikative geometrische Mittel sein (im Beispiel \(1^{1/2} - 1 = 0\,\%\)). Je stärker die Renditen schwanken, desto besser lässt das arithmetische Mittel die Lage im Vergleich zur Wirklichkeit aussehen.

Die durchschnittliche Rendite ist das annualisierte geometrische Mittel – der eine Prozentsatz pro Jahr, der Jahr für Jahr wiederholt zum selben Ergebnis führt wie die schwankenden Renditen der einzelnen Zeiträume. Weil sich Renditen durch Multiplizieren aufbauen, berechnen Sie sie als \(T\)-te Wurzel des Wachstumsfaktors über die ganze Zeit – nicht als arithmetisches Mittel aus Addieren und Teilen.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(r_i\)	r i	Die Rendite im Zeitraum \(i\): um wie viel Prozent das Geld in diesem Zeitraum gewachsen (oder geschrumpft) ist. In der Rechnung steht der Prozentsatz als Dezimalzahl (0,1 bei +10 %, −0,05 bei −5 %).
\(y\), \(m\)	y, m	Die eingegebene Haltedauer. \(y\) sind die Jahre, \(m\) die Monate. (Beispiel – bei 1 Jahr und 2 Monaten ist \(y=1\) und \(m=2\).)
\(h_i\)	h i	Die Haltedauer des Zeitraums \(i\) in Jahren, berechnet als \(h = y + m : 12\). (Beispiel – 1 Jahr und 2 Monate → etwa 1,17 Jahre)
\(B_0\), \(B_i\), \(B_n\)	B null, B i, B n	Der Stand (engl. Balance). \(B_0\) ist der Startbetrag, \(B_i\) der Stand am Ende von Zeitraum \(i\) und \(B_n\) der Stand am Ende des letzten Zeitraums. Die Tabelle auf dieser Seite rechnet mit \(B_0 = 100.000\) €.
\(T\)	T	Die gesamte Haltedauer in Jahren, die Summe aller \(h_i\). (Beispiel – 1 Jahr + 1 Jahr + 6 Monate → \(T = 2{,}5\) Jahre)
\(R\)	großes R	Die Gesamtrendite, um wie viel Prozent das Geld über die ganze Zeit gewachsen (oder geschrumpft) ist.
\(r_{avg}\)	r avg	Die durchschnittliche Rendite pro Jahr. Sie macht aus den schwankenden Renditen der einzelnen Zeiträume „denselben Prozentsatz jedes Jahr“ und ist das Hauptergebnis dieser Seite. „avg“ steht für engl. average (Durchschnitt).
\(x^{1/T}\)	x hoch 1 durch T	Die \(T\)-te Wurzel aus \(x\), also die Zahl, die hoch \(T\) genommen \(x\) ergibt. (Beispiel – \(1{,}21^{1/2} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\)) Sie berechnen sie mit „^(1/T)“ im Taschenrechner oder in Excel.

Begriffe

Rendite	Um wie viel Prozent das angelegte Geld in einem Zeitraum gewachsen (oder geschrumpft) ist (bei Fonds auch Wertentwicklung). Ein Zeitraum mit Verlust hat eine negative Rendite.
Gesamtrendite	Der gesamte Gewinn (oder Verlust) über die ganze Zeit in Prozent (auch kumulierte Rendite). Sie berücksichtigt nicht, wie viele Jahre es gedauert hat, und eignet sich deshalb nicht zum Vergleich von Geldanlagen mit unterschiedlicher Haltedauer.
durchschnittliche Rendite	Die Gesamtrendite, umgerechnet in „denselben Prozentsatz jedes Jahr, der zum selben Ergebnis führt“ (auch Rendite p. a. oder annualisierte Rendite). Weil sie alles auf ein Jahr bezieht, ist sie die Standardangabe für den Erfolg einer Geldanlage.
geometrisches Mittel	Der Mittelwert von Größen, die durch Multiplikation verkettet sind: Alle \(n\) Werte multiplizieren und die \(n\)-te Wurzel ziehen. Für Größen, die sich als Wachstumsfaktoren aufbauen, etwa Renditen, ist das geometrische Mittel der richtige Durchschnitt, nicht das arithmetische Mittel.
arithmetisches Mittel	Der übliche Durchschnitt – alles addieren und durch die Anzahl teilen. Für Renditen verwendet, sieht es besser aus als die Wirklichkeit, und zwar umso mehr, je stärker sie schwanken (das arithmetische Mittel von −50 % und +100 % ist +25 %, der tatsächliche Gewinn aber null).
Zinseszinseffekt	Der Zuwachs wird dem Kapital zugeschlagen, sodass im nächsten Zeitraum der ganze Betrag wächst. Die Rechnung auf dieser Seite setzt diesen Effekt voraus – der Stand am Ende eines Zeitraums ist das Kapital des nächsten.
annualisiert	Umgerechnet auf „Prozent pro Jahr“ (p. a.). Ergebnisse über unterschiedlich lange Zeiträume, etwa +3 % in 6 Monaten und +10 % in 2 Jahren, lassen sich annualisiert fair vergleichen.
CAGR (durchschnittliche jährliche Wachstumsrate)	Kurz für engl. Compound Annual Growth Rate. Es ist genau dieselbe Rechnung wie die durchschnittliche Rendite auf dieser Seite; der Name wird vor allem für das jährliche Wachstum von Umsatz, Nutzerzahlen usw. eines Unternehmens verwendet.
geldgewichtete Rendite	Eine Rendite, die Ein- und Auszahlungen zwischendurch berücksichtigt und zeigt, wie viel Ihr eigenes Geld tatsächlich erwirtschaftet hat (dieselbe Rechnung wie der interne Zinsfuß, IRR). Bei Geldanlagen mit Ein- oder Auszahlungen, etwa einem Sparplan, passt sie besser als die Rechnung auf dieser Seite. Die Rendite dieser Seite, die solche Zahlungen außer Acht lässt, heißt auch zeitgewichtete Rendite (bei Fonds in Deutschland meist nach der BVI-Methode).

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, hilft Ihnen Folgendes.

Prozentrechnung (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass man den Prozentsatz als „Prozentwert : Grundwert“ erhält Zwischen Dezimalzahl, Faktor und Prozent wechseln können, etwa 0,1 und 10 % oder das 1,32-Fache und +32 %
Brüche und Dezimalzahlen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Das Ergebnis einer Division als Dezimalzahl schreiben können, etwa \(6 : 12 = 0{,}5\) (gebraucht, um Monate in Jahre umzurechnen)
Negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Einen Zeitraum mit Verlust als negative Rendite schreiben können (zum Beispiel −5 %) Wissen, dass die Addition einer negativen Zahl einen Faktor kleiner als 1 ergibt, etwa \(1 + (-0{,}05) = 0{,}95\)
Potenzen (Klasse 7–9, 12–15 Jahre)	Wissen, dass eine Potenz das wiederholte Multiplizieren derselben Zahl ist, wie in \(1{,}1^2 = 1{,}1 \cdot 1{,}1\)
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass „hoch \(1/T\)“ die \(T\)-te Wurzel bedeutet, wie in \(x^{1/2} = \sqrt{x}\) (rechnen kann der Taschenrechner oder Excel)
Zinseszins (Oberstufe, 15–18 Jahre, Mathematik und Wirtschaft)	Wissen, dass der Zuwachs dem Kapital zugeschlagen wird und im nächsten Zeitraum der ganze Betrag wächst Wissen, dass die Verkettung „Endstand des vorigen Zeitraums × Wachstumsfaktor“ Zeitraum für Zeitraum den Endstand ergibt

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Haltedauer in Jahren

Haltedauer – Jahre	1
Haltedauer – Monate	2
Haltedauer in Jahren	=B1+B2/12

Tabelle für den Stand am Ende eines Zeitraums (Zinseszinseffekt)

Endstand des vorigen Zeitraums (€)	100000
Rendite in diesem Zeitraum (%)	10
Haltedauer in Jahren	2
Stand am Ende (€)	=B1*(1+B2/100)^B3

Tabelle für die Gesamtrendite

Startbetrag (€)	100000
Endstand (€)	132000
Gesamtrendite (%)	=(B2/B1-1)*100

Tabelle für die durchschnittliche Rendite pro Jahr

Startbetrag (€)	100000
Endstand (€)	132000
Gesamte Haltedauer (Jahre)	2
Durchschnittliche Rendite (% p. a.)	=((B2/B1)^(1/B3)-1)*100

„^“ ist das Zeichen für die Potenz (wie oft multipliziert wird), „^(1/B3)“ ist die B3-te Wurzel (die Wurzel mit der Zahl der Jahre der gesamten Haltedauer).
Die erste Tabelle ergibt 1 + 2 : 12, also etwa 1,17 Jahre, die zweite 100.000 × 1,1 × 1,1 = 121.000 €.
Die dritte Tabelle zeigt 32 %, die vierte etwa 14,89 %. Ersetzen Sie einfach die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Haltedauer in Jahren

Haltedauer – Jahre	1
Haltedauer – Monate	2
Haltedauer in Jahren	=B1+B2/12

Tabelle für den Stand am Ende eines Zeitraums (Zinseszinseffekt)

Endstand des vorigen Zeitraums (€)	100000
Rendite in diesem Zeitraum (%)	10
Haltedauer in Jahren	2
Stand am Ende (€)	=B1*(1+B2/100)^B3

Tabelle für die Gesamtrendite

Startbetrag (€)	100000
Endstand (€)	132000
Gesamtrendite (%)	=(B2/B1-1)*100

Tabelle für die durchschnittliche Rendite pro Jahr

Startbetrag (€)	100000
Endstand (€)	132000
Gesamte Haltedauer (Jahre)	2
Durchschnittliche Rendite (% p. a.)	=((B2/B1)^(1/B3)-1)*100

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren direkt. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.

So berechnen Sie es in Python

# (Rendite in %, Jahre, Monate), vom ältesten zum neuesten Zeitraum
periods = [(10, 1, 2), (-2, 0, 5), (15, 2, 3)]
start_balance = 100000         # Startbetrag (€)

balance = start_balance
total_years = 0
for return_percent, years, months in periods:
    holding_years = years + months / 12                       # Haltedauer in Jahren
    total_years += holding_years
    balance *= (1 + return_percent / 100) ** holding_years    # Zinseszinskette
    print(f"Rendite {return_percent} % für {holding_years:.4f} Jahre -> Stand {balance:,.0f} €")

cumulative_return = (balance / start_balance - 1) * 100
average_return = ((balance / start_balance) ** (1 / total_years) - 1) * 100
print(f"Gesamtrendite: {cumulative_return:.2f} %")
print(f"Durchschnittliche Rendite (p. a.): {average_return:.2f} %")
print(f"Gesamte Haltedauer: {total_years:.4f} Jahre")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. „**“ ist das Potenzzeichen, „** (1 / total_years)“ ist die Wurzel mit der gesamten Haltedauer (das geometrische Mittel). Ändern Sie oben periods und führen Sie den Code aus (im Beispiel ergeben sich eine Gesamtrendite von 51,78 %, eine durchschnittliche Rendite von 11,50 % und eine gesamte Haltedauer von etwa 3,83 Jahren = 3 Jahre und 10 Monate; Python gibt Zahlen im englischen Format aus).

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Haltedauer in Jahren

h = y + m ÷ 12

h = y + \dfrac{m}{12}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>y</mi>
    <mo>+</mo>
    <mfrac>
      <mi>m</mi>
      <mn>12</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

h = y + m / 12

y + m/12

h := y + m/12;

h = y + m/12;

h = y + m/12

Stand am Ende eines Zeitraums (Kette mit Zinseszinseffekt)

B_i = B_{i-1} \times (1 + r_i)^{h_i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>B</mi><mrow><mi>i</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mi>i</mi></msub><mo>)</mo></mrow>
      <msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub>
    </msup>
  </mrow>
</math>

B_i = B_(i-1) (1 + r_i)^(h_i)

bprev (1 + r)^h

B := Bprev*(1 + r)^h;

B = Bprev*(1 + r)^h;

B_i = B_(i−1) (1 + r_i)^(h_i)

Gesamtrendite

R = Bₙ ÷ B₀ − 1

R = \dfrac{B_n}{B_0} - 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>B</mi><mi>n</mi></msub>
      <msub><mi>B</mi><mn>0</mn></msub>
    </mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

R = (B_n) / (B_0) - 1

bn/b0 - 1

R := Bn/B0 - 1;

R = Bn/B0 - 1;

R = B_n/B_0 − 1

Durchschnittliche Rendite (geometrisches Mittel, pro Jahr)

r_{avg} = \left(\dfrac{B_n}{B_0}\right)^{1/T} - 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>r</mi><mi>avg</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mrow>
        <mo>(</mo>
        <mfrac>
          <msub><mi>B</mi><mi>n</mi></msub>
          <msub><mi>B</mi><mn>0</mn></msub>
        </mfrac>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>T</mi></mrow>
    </msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

r_(avg) = ((B_n) / (B_0))^(1/T) - 1

(bn/b0)^(1/T) - 1

r_avg := (Bn/B0)^(1/T) - 1;

r_avg = (Bn/B0)^(1/T) - 1;

r_avg = (B_n/B_0)^(1/T) − 1

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Assistent für Investitionsrechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen oder schätzen).

Eine Geldanlage hatte diese Ergebnisse, vom ältesten zum neuesten Zeitraum:
- Eine Rendite von +10 % über 1 Jahr und 2 Monate
- Eine Rendite von −2 % über 5 Monate
- Eine Rendite von +15 % über 2 Jahre und 3 Monate
Rechnen Sie jede Haltedauer als „Jahre + Monate ÷ 12“ in Jahre um und verketten Sie die Stände mit Zinseszins (der Stand am Ende eines Zeitraums ist das Kapital des nächsten).
Berechnen Sie:
1. Die Gesamtrendite (%, 2 Nachkommastellen) = Wachstumsfaktor über die ganze Zeit − 1
2. Die durchschnittliche Rendite (% pro Jahr, 2 Nachkommastellen) = Wachstumsfaktor über die ganze Zeit hoch (1 / gesamte Haltedauer) − 1 (geometrisches Mittel)
3. Die gesamte Haltedauer (Jahre)
4. Den Stand am Ende jedes Zeitraums bei einem Start mit 100.000 € (€)

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel