Durchschnittliche Rendite berechnen (annualisiertes geometrisches Mittel und kumulierte Rendite)

Geben Sie die Rendite (%) und die Haltedauer (Jahre und Monate) jeder Periode ein, beginnend mit der ältesten. Sie brauchen mindestens 2 Perioden (bis zu 20). Sie erhalten die kumulierte Rendite der gesamten Anlage und die durchschnittliche Rendite pro Jahr (annualisiertes geometrisches Mittel).

Geben Sie die Renditen als Zahlen in % ein (bei einem Verlust negativ, zum Beispiel -2). Bei der Haltedauer geben Sie ganze Zahlen bei Jahren, Monaten oder beidem ein (beides wird addiert, zum Beispiel „1“ Jahr und „2“ Monate = 1 Jahr 2 Monate). Nicht benötigte Zeilen können leer bleiben.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie links die Rendite und die Haltedauer jeder Periode ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis, ein Diagramm und eine Tabelle des Guthabens ab 100.000 € erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramme
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Aus der Rendite (%) und der Haltedauer (Jahre und Monate) jeder Periode, etwa „+10 % im ersten Jahr, dann −2 % in den nächsten 5 Monaten …“, berechnen Sie die kumulierte Rendite der gesamten Anlage und die durchschnittliche Rendite pro Jahr
Die durchschnittliche Rendite glättet ungleichmäßige Renditen zu „demselben Prozentsatz in jedem Jahr, der zum selben Ergebnis führt“ (dem annualisierten geometrischen Mittel). So lassen sich Anlagen mit unterschiedlicher Haltedauer fair vergleichen
Die Formelkarten erklären außerdem den Unterschied zum arithmetischen Mittel, das „+25 % im Durchschnitt“ zeigen kann, obwohl Sie nichts verdient haben (der wichtigste Punkt dieser Seite)
Außerdem sehen Sie eine Tabelle des Guthabens am Ende jeder Periode ab 100.000 € und ein Diagramm, das das tatsächliche Guthaben neben die Kurve des gleichmäßigen Wachstums mit der durchschnittlichen Rendite legt

Diese Seite ist für den Fall gedacht, dass Sie die Rendite jeder Periode kennen. Bei einer Anlage mit Ein- oder Auszahlungen zwischendurch (Sparraten, Entnahmen) passt eine kapitalgewichtete Rendite, die sich aus den Zahlungsströmen ergibt, besser (siehe den IRR-Rechner unter den verwandten Seiten). Es handelt sich um eine mathematische Berechnung ohne Gebühren und Steuern und nicht um eine Empfehlung für eine Geldanlage.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Die Wertentwicklung von Fonds und Aktien richtig als Jahresrate angeben

Sind die Ergebnisse ungleichmäßig, etwa „+10 % im Jahr 1, −5 % im Jahr 2, +20 % im Jahr 3“, werden die durchschnittlichen jährlichen Renditen in den Factsheets von Investmentfonds und ETFs mit demselben geometrischen Mittel berechnet wie auf dieser Seite.
Sobald Sie Ihre eigenen Ergebnisse in eine Jahresrate umrechnen können, lassen sich Fonds untereinander oder mit einem Ziel (zum Beispiel 5 % pro Jahr) auf derselben Basis vergleichen. Haben Sie zwischendurch Geld eingezahlt oder entnommen, zeigt eine kapitalgewichtete Rendite (IRR) das genauere Bild.

Den Trick hinter „+25 % im Durchschnitt“ erkennen (der Unterschied zum arithmetischen Mittel)

Das arithmetische Mittel von −50 % und +100 % ist +25 %, das tatsächliche Geld geht aber von 100.000 € auf 50.000 € und wieder auf 100.000 €, ein Gewinn von null. Je größer die Schwankungen, desto besser sieht das arithmetische Mittel im Vergleich zur Wirklichkeit aus.
Lesen Sie in einer Werbung oder einem Artikel „eine durchschnittliche Rendite von X %“, fragen Sie, ob es ein arithmetisches oder ein geometrisches (annualisiertes) Mittel ist. Dieses eine Wissen macht es viel schwerer, Sie mit aufgeblähten Zahlen zu täuschen.

Die Wachstumsrate (CAGR) von Umsatz oder Nutzerzahlen eines Unternehmens bestimmen

„Der Umsatz ist in 3 Jahren auf das 1,5-Fache gewachsen“ ist als Jahresrate \(1{,}5^{1/3} - 1 \approx 14{,}5\,\%\). Dieser Wert heißt CAGR (durchschnittliche jährliche Wachstumsrate) und ist in Businessplänen, Geschäftsberichten und Investorenpräsentationen Standard.
Damit lässt sich das Wachstum von Geschäften oder Unternehmen über unterschiedliche Zeiträume auf einer Pro-Jahr-Basis vergleichen, sie kommt also bei der Erstellung von Geschäftsunterlagen und der Analyse von Unternehmen häufig vor.

Die langfristige Vermögensbildung planen, etwa für die Altersvorsorge

Kennen Sie die durchschnittliche Rendite pro Jahr aus der Vergangenheit, können Sie mit Zinseszins abschätzen, wie viel Sie in 20 Jahren haben könnten, wenn es so weitergeht, zum Beispiel bei einer betrieblichen Altersvorsorge oder einem ETF-Sparplan (bei 5 % pro Jahr wächst Geld in 20 Jahren auf etwa das 2,65-Fache).
Die durchschnittlichen Renditen der Vergangenheit sind kein verlässlicher Indikator für die Zukunft. Ein solider Plan rechnet auch mit einer etwas niedrigeren Jahresrate und lässt eine Bandbreite von Ergebnissen zu.

Vergleichen, welche Anlage bei unterschiedlicher Haltedauer besser war

Was war besser: A mit +30 % in 2 Jahren oder B mit +50 % in 3,5 Jahren? An der kumulierten Rendite allein sehen Sie das nicht, als Jahresrate aber liegt A bei etwa 14,0 % und B bei etwa 12,3 %, A war also besser.
Auch wenn eine Haltedauer zusätzliche Monate enthält, rechnet diese Seite sie unverändert auf eine Jahresbasis um.

Formeln und Diagramme

Haltedauer in Jahren

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(h\) \(=\) \(y\) \(+\) \(m\) \(\div\) \(12\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(h\): Haltedauer in Jahren \(=\) ③ \(y\): gehaltene Jahre \(+\) ① \(m\): gehaltene Monate \(\div\) ② \(12\): Monate eines Jahres

Die Formel in Worten

① Teilen Sie die \(m\): gehaltene Monate

② durch die \(12\): Monate eines Jahres um sie in Jahre umzurechnen,

③ addieren Sie die \(y\): gehaltene Jahre

④ und Sie erhalten die \(h\): Haltedauer in Jahren

Einfaches Beispiel

Eine Haltedauer von „1 Jahr 2 Monaten“ in Jahren ist

\(h\): Haltedauer in Jahren \(=\) Jahre (1) \(+\) Monate (2) \(\div\) Monate eines Jahres (12)

\(1 + 2 \div 12 = 1 + 0{,}1666\cdots \approx 1{,}17\)

Der Kerngedanke

Um Renditen pro Jahr zu vergleichen, ist der erste Schritt, jede Haltedauer in Jahren auszudrücken. 6 Monate sind \(6 \div 12 = 0{,}5\) Jahre, und 2 Jahre 3 Monate sind \(2 + 3 \div 12 = 2{,}25\) Jahre.

Guthaben am Ende einer Periode (Verkettung mit Zinseszins)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(B_i\) \(=\) \(B_{i-1}\) \(\times\) \((1 + r_i)\) \(h_i\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(B_i\): Guthaben am Ende dieser Periode \(=\) ① \(B_{i-1}\): Guthaben am Ende der Vorperiode \(\times\) ② \((1 + r_i)\): Wachstumsfaktor für 1 Jahr ③ \(h_i\): Haltedauer in Jahren

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie das \(B_{i-1}\): Guthaben am Ende der Vorperiode

② multiplizieren Sie es mit dem \((1 + r_i)\): Wachstumsfaktor für 1 Jahr (\(r_i\) ist die Rendite dieser Periode, 1,1 bei +10 % und 0,95 bei −5 %), potenziert mit der

③ \(h_i\): Haltedauer in Jahren

④ und Sie erhalten das \(B_i\): Guthaben am Ende dieser Periode

Einfaches Beispiel

Das Guthaben nach 2 Jahren bei 100.000 € mit einer Rendite von 10 % pro Jahr beträgt (in Tsd. €)

\(B\): Guthaben am Ende der Periode \(=\) vorheriges Guthaben (100.000 €) \(\times\) Wachstumsfaktor (1,1) Haltedauer (2 Jahre)

\(100 \times 1{,}1 \times 1{,}1 = 121\)

Der Kerngedanke

Das Guthaben am Ende einer Periode wird zum Kapital der nächsten. Das ist der Zinseszinseffekt. Dieser Rechner verkettet diese Formel ab der Periode 1 (eine Kette), um das Endguthaben zu bestimmen. Ist eine Haltedauer keine ganze Zahl von Jahren, ergibt sich eine Potenz mit Dezimalzahl wie \(1{,}1^{0{,}5}\) (ein halbes Jahr). Von Hand ist das schwer, aber ein wissenschaftlicher Taschenrechner oder Excel erledigt es in einem Schritt.

Kumulierte Rendite

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(R\) \(=\) \(B_n\) \(\div\) \(B_0\) \(-\) \(1\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(R\): kumulierte Rendite \(=\) ① \(B_n\): Endguthaben \(\div\) ② \(B_0\): Startbetrag \(-\) ③ \(1\): das Kapital

Die Formel in Worten

① Teilen Sie das \(B_n\): Endguthaben

② durch den \(B_0\): Startbetrag um zu erfahren, das Wievielfache es über die gesamte Zeit geworden ist,

③ ziehen Sie das \(1\): das Kapital ab (das Einfache heißt weder Gewinn noch Verlust),

④ und Sie erhalten die \(R\): kumulierte Rendite (mit 100 multipliziert ergibt sie einen Prozentsatz)

Einfaches Beispiel

Sind aus 100.000 € am Ende 132.000 € geworden, beträgt die kumulierte Rendite (in Tsd. €)

\(R\): kumulierte Rendite \(=\) Endguthaben (132.000 €) \(\div\) Startbetrag (100.000 €) \(-\) \(1\): das Kapital

\(132 \div 100 = 1{,}32\)

\(1{,}32 - 1 = 0{,}32\ \ (32\,\%)\)

Der Kerngedanke

Die kumulierte Rendite gibt an, um wie viel Prozent das Geld über die gesamte Zeit gewachsen (oder geschrumpft) ist, und sie betrachtet nicht, wie viele Jahre das gedauert hat. Dieselben +32 % bedeuten als Geldanlage etwas ganz anderes, wenn sie 2 Jahre oder 10 Jahre gebraucht haben. Die durchschnittliche Rendite pro Jahr, als Nächstes, stellt alles auf dieselbe Jahresbasis, damit Sie vergleichen können.

Durchschnittliche Rendite (geometrisches Mittel, pro Jahr)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(r_{avg}\) \(=\) \(\left(\dfrac{B_n}{B_0}\right)\) \(1/T\) \(-\) \(1\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(r_{avg}\): durchschnittliche Rendite pro Jahr \(=\) ① Wachstumsfaktor für die gesamte Zeit (Endguthaben \(B_n\) ÷ Startbetrag \(B_0\)) ② hoch 1 durch die gesamte Haltedauer \(T\) \(-\) ③ \(1\): das Kapital

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den Wachstumsfaktor für die gesamte Zeit (Endguthaben \(B_n\) ÷ Startbetrag \(B_0\))

② potenzieren Sie ihn mit 1 durch die gesamte Haltedauer \(T\) (so wird er zum Wachstumsfaktor pro Jahr, der nach \(T\) Jahren dasselbe Ergebnis liefert),

③ ziehen Sie das \(1\): das Kapital ab

④ und Sie erhalten die \(r_{avg}\): durchschnittliche Rendite pro Jahr (mit 100 multipliziert ergibt sie einen Prozentsatz)

Einfaches Beispiel

Sind aus 100.000 € in 2 Jahren 132.000 € geworden (das 1,32-Fache), beträgt die durchschnittliche Rendite pro Jahr

\(r_{avg}\): durchschnittliche Rendite pro Jahr \(=\) Wachstumsfaktor für die gesamte Zeit (1,32) hoch 1 durch die gesamte Haltedauer (2 Jahre) \(-\) \(1\): das Kapital

\(1{,}32^{1/2} = \sqrt{1{,}32} \approx 1{,}1489\)

\(1{,}1489 - 1 = 0{,}1489\ \ (14{,}89\,\%)\)

Der Kerngedanke

Das Potenzieren mit \(1/T\) heißt, die Zahl zu finden, die mit \(T\) potenziert den ursprünglichen Wachstumsfaktor ergibt, also die \(T\)-te Wurzel des Wachstumsfaktors. Größen, die durch Multiplikation verbunden sind, auf diese Weise zu mitteln, ist das geometrische Mittel, und es liefert ein anderes Ergebnis als der übliche Mittelwert aus Addieren und Teilen (das arithmetische Mittel). Warum nicht das arithmetische Mittel? Denken Sie an eine Anlage, die im Jahr 1 −50 % und im Jahr 2 +100 % gebracht hat. Das arithmetische Mittel ist \((-50 + 100) \div 2 = +25\,\%\), tatsächlich aber gehen 100.000 € → 50.000 € → 100.000 €, ein Gewinn von null. Renditen bauen sich durch Multiplikation auf (\(0{,}5 \times 2 = 1\)-fach), nicht durch Addition, deshalb muss auch der Durchschnitt das auf Multiplikation beruhende geometrische Mittel sein (in diesem Beispiel \(1^{1/2} - 1 = 0\,\%\)). Je größer die Schwankungen der Renditen, desto besser lässt das arithmetische Mittel die Lage im Vergleich zur Wirklichkeit aussehen.

Die durchschnittliche Rendite ist das annualisierte geometrische Mittel, der eine Jahresprozentsatz, der, jedes Jahr wiederholt, dasselbe Ergebnis liefert wie die ungleichmäßigen Renditen der einzelnen Perioden. Renditen bauen sich durch Multiplikation auf, deshalb kommt es darauf an, sie als \(T\)-te Wurzel des Wachstumsfaktors für die gesamte Zeit zu bestimmen und nicht als arithmetisches Mittel durch Addieren und Teilen.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(r_i\)	r i	Die Rendite in Periode \(i\): um wie viel Prozent das Geld in dieser Periode gewachsen (oder geschrumpft) ist. In der Rechnung wird der Prozentsatz als Dezimalzahl geschrieben (0,1 für +10 %, −0,05 für −5 %).
\(y\), \(m\)	y, m	Die Haltedauer, die Sie eingeben. \(y\) sind die Jahre und \(m\) die Monate. (Beispiel - bei 1 Jahr 2 Monaten ist \(y=1\) und \(m=2\))
\(h_i\)	h i	Die Haltedauer der Periode \(i\) in Jahren, berechnet als \(h = y + m \div 12\). (Beispiel - 1 Jahr 2 Monate → etwa 1,17 Jahre)
\(B_0\), \(B_i\), \(B_n\)	B null, B i, B n	Das Guthaben (englisch „balance“). \(B_0\) ist der Startbetrag, \(B_i\) das Guthaben am Ende der Periode \(i\) und \(B_n\) das Guthaben am Ende der letzten Periode. Die Tabelle auf dieser Seite rechnet mit \(B_0 = 100.000\) €.
\(T\)	T	Die gesamte Haltedauer in Jahren, die Summe der \(h_i\) aller Perioden. (Beispiel - 1 Jahr + 1 Jahr + 6 Monate → \(T = 2{,}5\) Jahre)
\(R\)	großes R	Die kumulierte Rendite, um wie viel Prozent das Geld über die gesamte Zeit gewachsen (oder geschrumpft) ist.
\(r_{avg}\)	r avg	Die durchschnittliche Rendite pro Jahr. Sie macht aus den ungleichmäßigen Renditen der einzelnen Perioden „denselben Prozentsatz in jedem Jahr“ und ist das Hauptergebnis dieser Seite. „avg“ steht für das englische „average“ (Durchschnitt).
\(x^{1/T}\)	x hoch 1 durch T	Die \(T\)-te Wurzel von \(x\), die Zahl, die mit \(T\) potenziert \(x\) ergibt. (Beispiel - \(1{,}21^{1/2} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\)) Sie finden sie mit „^(1/T)“ auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner oder in Excel.

Begriffe

Rendite	Um wie viel Prozent das angelegte Geld in einer Periode gewachsen (oder geschrumpft) ist (auch Wertentwicklung oder Ertrag genannt). Eine Periode mit Verlust hat eine negative Rendite.
kumulierte Rendite	Der gesamte Gewinn (oder Verlust) über die gesamte Zeit in Prozent (auch Gesamtrendite oder kumulierte Wertentwicklung genannt). Sie ignoriert, wie viele Jahre es gedauert hat, und eignet sich deshalb nicht für den Vergleich von Anlagen mit unterschiedlicher Haltedauer.
durchschnittliche Rendite	Die kumulierte Rendite, umgerechnet in „denselben Prozentsatz in jedem Jahr, der zum selben Ergebnis führen würde“ (auch annualisierte Rendite oder Rendite p. a. genannt). Sie stellt alles auf eine Jahresbasis und ist deshalb der Standard für die Darstellung der Wertentwicklung von Anlagen.
geometrisches Mittel	Der Mittelwert von Größen, die durch Multiplikation verbunden sind: Man multipliziert alle \(n\) Werte und zieht die \(n\)-te Wurzel. Für Größen, die sich als Wachstumsfaktoren aufbauen, etwa Renditen, ist das geometrische Mittel und nicht das arithmetische Mittel der richtige Durchschnitt.
arithmetisches Mittel	Der übliche Mittelwert, also alles addieren und durch die Anzahl der Werte teilen. Bei Renditen angewendet, sieht er besser aus als die Wirklichkeit, und zwar umso mehr, je größer die Schwankungen sind (das arithmetische Mittel von −50 % und +100 % ist +25 %, der tatsächliche Gewinn aber null).
Zinseszinseffekt	Der Zuwachs wird zum Kapital geschlagen, sodass in der nächsten Periode der gesamte Betrag wächst. Die Berechnung auf dieser Seite setzt den Zinseszinseffekt voraus, bei dem das Guthaben am Ende einer Periode zum Kapital der nächsten wird.
Annualisierung	Das Umrechnen auf „Prozent pro Jahr“. Ergebnisse über unterschiedlich lange Zeiträume, etwa +3 % in 6 Monaten und +10 % in 2 Jahren, lassen sich nach der Annualisierung fair vergleichen.
CAGR (durchschnittliche jährliche Wachstumsrate)	Die Abkürzung für „compound annual growth rate“. Es ist genau dieselbe Berechnung wie bei der durchschnittlichen Rendite auf dieser Seite, und der Name wird häufig für die jährliche Wachstumsrate von Umsatz, Nutzerzahlen und Ähnlichem eines Unternehmens benutzt.
kapitalgewichtete Rendite	Eine Rendite, die Ein- und Auszahlungen zwischendurch einbezieht und zeigt, wie stark Ihr eigenes Geld tatsächlich gearbeitet hat (dieselbe Berechnung wie beim IRR, dem internen Zinsfuß). Bei Anlagen mit Geld, das zwischendurch hinzukommt oder entnommen wird, etwa Sparraten, passt sie besser als die Berechnung auf dieser Seite. Die Rendite auf dieser Seite, die diese Zahlungen ignoriert, heißt auch zeitgewichtete Rendite.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Prozentrechnung (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass sich ein Prozentsatz als „Prozentwert ÷ Grundwert“ berechnen lässt Zwischen Dezimalzahlen, Wachstumsfaktoren und Prozenten wechseln können, etwa 0,1 und 10 % oder das 1,32-Fache und +32 %
Brüche und Dezimalzahlen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Das Ergebnis einer Division als Dezimalzahl schreiben können, etwa \(6 \div 12 = 0{,}5\) (wird gebraucht, um Monate in Jahre umzurechnen)
Positive und negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Eine Periode mit Verlust als negative Rendite (zum Beispiel −5 %) darstellen können Wissen, dass das Addieren einer negativen Zahl einen Wachstumsfaktor kleiner als 1 ergibt, etwa \(1 + (-0{,}05) = 0{,}95\)
Potenzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass eine Potenz eine wiederholte Multiplikation derselben Zahl ist, etwa \(1{,}1^2 = 1{,}1 \times 1{,}1\)
Wurzeln und rationale Exponenten (Oberstufe)	Wissen, dass die Potenz \(1/T\) für die \(T\)-te Wurzel steht, etwa \(x^{1/2} = \sqrt{x}\) (das Rechnen können Sie einem Taschenrechner oder Excel überlassen)
Zinseszins (Oberstufe, Wirtschaft und Mathematik)	Wissen, dass der Zuwachs zum Kapital geschlagen wird, sodass in der nächsten Periode der gesamte Betrag wächst Wissen, dass das Aneinanderreihen von „Guthaben am Ende der Vorperiode × Wachstumsfaktor“ Periode für Periode das Endguthaben ergibt

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für die Haltedauer in Jahren

Haltedauer: Jahre	1
Haltedauer: Monate	2
Haltedauer in Jahren	=B1+B2/12

Tabelle für das Guthaben am Ende einer Periode (Zinseszins)

Guthaben am Ende der Vorperiode (€)	100000
Rendite dieser Periode (%)	10
Haltedauer in Jahren	2
Guthaben am Ende (€)	=B1*(1+B2/100)^B3

Tabelle für die kumulierte Rendite

Startbetrag (€)	100000
Endguthaben (€)	132000
Kumulierte Rendite (%)	=(B2/B1-1)*100

Tabelle für die durchschnittliche Rendite pro Jahr

Startbetrag (€)	100000
Endguthaben (€)	132000
Gesamte Haltedauer (Jahre)	2
Durchschnittliche Rendite (% pro Jahr)	=((B2/B1)^(1/B3)-1)*100

„^“ ist das Zeichen für die Potenz (wie oft multipliziert wird), und „^(1/B3)“ ist die B3-te Wurzel (die Wurzel mit der Zahl der Jahre der gesamten Haltedauer).
Die erste Tabelle ergibt 1 + 2 ÷ 12, etwa 1,17 Jahre, und die zweite 100.000 × 1,1 × 1,1 = 121.000 €.
Die dritte Tabelle zeigt 32 % und die vierte etwa 14,89 %. Ersetzen Sie einfach die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für die Haltedauer in Jahren

Haltedauer: Jahre	1
Haltedauer: Monate	2
Haltedauer in Jahren	=B1+B2/12

Tabelle für das Guthaben am Ende einer Periode (Zinseszins)

Guthaben am Ende der Vorperiode (€)	100000
Rendite dieser Periode (%)	10
Haltedauer in Jahren	2
Guthaben am Ende (€)	=B1*(1+B2/100)^B3

Tabelle für die kumulierte Rendite

Startbetrag (€)	100000
Endguthaben (€)	132000
Kumulierte Rendite (%)	=(B2/B1-1)*100

Tabelle für die durchschnittliche Rendite pro Jahr

Startbetrag (€)	100000
Endguthaben (€)	132000
Gesamte Haltedauer (Jahre)	2
Durchschnittliche Rendite (% pro Jahr)	=((B2/B1)^(1/B3)-1)*100

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.

Mit Python berechnen

# (Rendite in %, gehaltene Jahre, gehaltene Monate), von der ältesten bis zur neuesten Periode
periods = [(10, 1, 2), (-2, 0, 5), (15, 2, 3)]
start_balance = 100000         # Startbetrag (Euro)
balance = start_balance
total_years = 0
for return_percent, years, months in periods:
    holding_years = years + months / 12                       # Haltedauer in Jahren
    total_years += holding_years
    balance *= (1 + return_percent / 100) ** holding_years    # Verkettung mit Zinseszins
    print(f"Rendite {return_percent} % für {holding_years:.4f} Jahre -> Guthaben {balance:.0f} €")
cumulative_return = (balance / start_balance - 1) * 100
average_return = ((balance / start_balance) ** (1 / total_years) - 1) * 100
print(f"Kumulierte Rendite: {cumulative_return:.2f} %")
print(f"Durchschnittliche Rendite (pro Jahr): {average_return:.2f} %")
print(f"Gesamte Haltedauer: {total_years:.4f} Jahre")

Läuft mit der Standardbibliothek allein. „**“ ist das Zeichen für die Potenz, und „** (1 / total_years)“ ist die Wurzel für die gesamte Haltedauer (das geometrische Mittel). Ändern Sie oben periods und führen Sie den Code aus (im Beispiel ergeben sich eine kumulierte Rendite von 51,78 %, eine durchschnittliche Rendite von 11,50 % und eine gesamte Haltedauer von etwa 3,83 Jahren = 3 Jahre 10 Monate; Python gibt Dezimalstellen mit Punkt aus).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Haltedauer in Jahren

h = y + m ÷ 12

h = y + \dfrac{m}{12}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>y</mi>
    <mo>+</mo>
    <mfrac>
      <mi>m</mi>
      <mn>12</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

h = y + m / 12

y + m/12

h := y + m/12;

h = y + m/12;

h = y + m/12

Guthaben am Ende einer Periode (Verkettung mit Zinseszins)

B_i = B_{i-1} \times (1 + r_i)^{h_i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>B</mi><mrow><mi>i</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mi>i</mi></msub><mo>)</mo></mrow>
      <msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub>
    </msup>
  </mrow>
</math>

B_i = B_(i-1) (1 + r_i)^(h_i)

bprev (1 + r)^h

B := Bprev*(1 + r)^h;

B = Bprev*(1 + r)^h;

B_i = B_(i−1) (1 + r_i)^(h_i)

Kumulierte Rendite

R = Bₙ ÷ B₀ − 1

R = \dfrac{B_n}{B_0} - 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>B</mi><mi>n</mi></msub>
      <msub><mi>B</mi><mn>0</mn></msub>
    </mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

R = (B_n) / (B_0) - 1

bn/b0 - 1

R := Bn/B0 - 1;

R = Bn/B0 - 1;

R = B_n/B_0 − 1

Durchschnittliche Rendite (geometrisches Mittel, pro Jahr)

r_{avg} = \left(\dfrac{B_n}{B_0}\right)^{1/T} - 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>r</mi><mi>avg</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mrow>
        <mo>(</mo>
        <mfrac>
          <msub><mi>B</mi><mi>n</mi></msub>
          <msub><mi>B</mi><mn>0</mn></msub>
        </mfrac>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>T</mi></mrow>
    </msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

r_(avg) = ((B_n) / (B_0))^(1/T) - 1

(bn/b0)^(1/T) - 1

r_avg := (Bn/B0)^(1/T) - 1;

r_avg = (Bn/B0)^(1/T) - 1;

r_avg = (B_n/B_0)^(1/T) − 1

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Investitionsrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf oder durch Raten rechnen).
Eine Anlage hatte diese Ergebnisse, von der ältesten bis zur neuesten Periode:
- Eine Rendite von +10 % für 1 Jahr 2 Monate
- Eine Rendite von −2 % für 5 Monate
- Eine Rendite von +15 % für 2 Jahre 3 Monate
Rechnen Sie jede Haltedauer als „Jahre + Monate ÷ 12“ in Jahre um und verketten Sie die Guthaben mit Zinseszins (das Guthaben am Ende einer Periode ist das Kapital der nächsten).
Berechnen Sie Folgendes:
1. Die kumulierte Rendite (%, 2 Nachkommastellen) = Wachstumsfaktor für die gesamte Zeit − 1
2. Die durchschnittliche Rendite (% pro Jahr, 2 Nachkommastellen) = Wachstumsfaktor für die gesamte Zeit hoch (1 / gesamte Haltedauer) − 1 (geometrisches Mittel)
3. Die gesamte Haltedauer (Jahre)
4. Das Guthaben am Ende jeder Periode, ausgehend von 100.000 € (€)
Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel