Logarithmus-Rechner – Logarithmus berechnen (log, lg, ln)

Geben Sie von den drei Werten in „y = log_a(x)“ (Basis a, Numerus x, Logarithmus y) die zwei ein, die Sie kennen, und klicken Sie auf „Berechnen“. Der leere Wert wird berechnet. Die Formel darunter ist mit den Feldern verbunden – Sie können Basis, Numerus oder Logarithmus auch direkt darin ändern.

Numerus x (Zahl im log)

Basis a

Logarithmus y

Lassen Sie den gesuchten Wert leer (genau zwei Eingaben). Als Basis ist neben Zahlen auch „e“ für den natürlichen Logarithmus möglich (für den Zehnerlogarithmus geben Sie 10 ein). Der Numerus muss größer als 0 sein, die Basis größer als 0 und ungleich 1.

Ergebnis

Geben Sie links zwei Werte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formel
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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Das können Sie auf dieser Seite

Beim Logarithmus \(y = \log_a x\) geben Sie zwei der drei Werte Basis \(a\), Numerus \(x\) und Logarithmus \(y\) ein – der dritte steht sofort da
Die Basis ist frei wählbar. Mit 10 als Basis erhalten Sie den Zehnerlogarithmus (lg), mit „e“ den natürlichen Logarithmus (\(\ln\))
Neben Werten wie \(\log_2 8 = 3\) beantwortet der Rechner auch „Was ist 2 hoch 10?“ (Numerus gesucht, \(2^{10} = 1024\)) und „Welche Zahl hoch 4 ergibt 81?“ (Basis gesucht)
Außerdem auf dieser Seite: eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Für den Logarithmus gelten zwei Regeln – der Numerus muss größer als 0 sein (Definitionsbereich), und die Basis muss größer als 0 und ungleich 1 sein (Bedingung für die Basis). Eingaben, die dagegen verstoßen, ergeben eine Fehlermeldung.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Was hinter Dezibel (dB) steckt (Audio und Lärmschutz)

Die Einheit Dezibel ist über den Zehnerlogarithmus eines Verhältnisses von Schallenergien definiert. Selbst wenn die Energie auf das 100-Fache steigt, nimmt der Pegel nur um \(10 \times \log_{10} 100 = 20\) dB zu.
Unser Gehör empfindet Lautstärke nach dem Prinzip „wie viel Mal lauter“ – deshalb passt eine logarithmische Einheit so gut. Die Lautstärkeempfehlungen für Kopfhörer und die Lärmgrenzen in Deutschland (nach TA Lärm z. B. 40 dB(A) nachts in einem allgemeinen Wohngebiet) beruhen alle auf dieser Formel.

Erdbebenmagnituden richtig lesen

Die Magnitude beruht auf dem Logarithmus der Energie eines Erdbebens. Eine Stufe mehr bedeutet etwa 32-mal (\(10^{1{,}5}\)-mal) so viel Energie – ein Beben der Magnitude 7 hat also rund 1.000-mal so viel Energie wie eines der Magnitude 5.
Wer Logarithmen kennt, liest das nicht als „nur 2 mehr“, sondern als „3 Zehnerpotenzen mehr“ – und schätzt die Gefahr richtig ein.

Der pH-Wert (sauer oder basisch) ist eine logarithmische Skala

Der pH-Wert, der angibt, wie sauer eine Lösung ist, ist über den Zehnerlogarithmus der Wasserstoffionen-Konzentration definiert (\(\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]\)). Zwischen Zitronensaft mit pH 2 und Wasser mit pH 7 liegt nicht der Faktor „5“, sondern \(10^5\) (100.000).
Größen, die über viele Zehnerpotenzen reichen, in handliche Zahlen von etwa 0 bis 14 zu verwandeln – das können Logarithmen am besten. Die pH-Angaben auf Reinigungsmitteln, Pool-Teststreifen und Bodentests im Garten beruhen darauf.

Wie lange es dauert, bis sich Geld verdoppelt (Zinseszins und Geldanlage)

Bei 3 % Zinsen im Jahr mit Zinseszins verdoppelt sich Ihr Geld, wenn \(1{,}03^y = 2\) gilt, also nach \(y = \log_{1{,}03} 2 \approx 23{,}4\) Jahren (bei jedes Jahr gleicher Rendite).
Die bekannte „72er-Regel“ (72 : Zinssatz in % ≈ Jahre bis zur Verdopplung) ist in Wahrheit eine Näherung dieses Logarithmus. Sie ist eine solide Grundlage für langfristige Geldpläne wie die Ausbildung der Kinder oder die Altersvorsorge – mit Zahlen statt nach Gefühl.

Die Anzahl der Bits ergibt sich aus dem Logarithmus (IT)

Wie viele Bits man braucht, um \(n\) verschiedene Dinge zu unterscheiden, ist \(\log_2 n\). Zum Beispiel lassen sich 256 verschiedene Werte mit \(\log_2 256 = 8\) Bit (1 Byte) darstellen.
Auch die Stärke eines Passworts (wie viele Versuche ein Brute-Force-Angriff ungefähr braucht) wird in „Bit“ angegeben – also als Logarithmus. Diese Rechnung trägt die gesamte digitale Welt.

Musikalische Intervalle sind Logarithmen der Frequenz

Benachbarte Klaviertasten (ein Halbton) haben alle dasselbe Frequenzverhältnis \(2^{1/12} \approx 1{,}0595\) (gleichstufige Stimmung). Ist das Frequenzverhältnis zweier Töne \(r\), liegen \(12 \times \log_2 r\) Halbtöne dazwischen.
Für den Kammerton a mit 440 Hz und das a darüber mit 880 Hz sind das \(12 \times \log_2 2 = 12\) Halbtöne, genau eine Oktave. Stimmgeräte und Tonhöhenänderungen in Musiksoftware arbeiten mit diesem Logarithmus.

Formel

Definition des Logarithmus (was \(y = \log_a x\) bedeutet)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \(a\) \(y\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): Numerus \(=\) ① \(a\): Basis ② \(y\): Logarithmus

Die Formel in Worten

① Nimmt man die \(a\): Basis

② hoch den \(y\): Logarithmus ,

③ erhält man den \(x\): Numerus . Diese Hochzahl \(y\) schreibt man als \(y = \log_a x\).

Einfaches Beispiel

Schreibt man „2 hoch 3 ist 8“ (2 × 2 × 2 = 8) als Logarithmus, erhält man

Numerus 8 \(=\) Basis 2 Logarithmus 3

\(2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8\)

\(\log_{2} 8 = 3\)

Der Grundgedanke

Der Logarithmus macht das Potenzieren rückgängig. Lautet die Antwort auf „Was ist \(2^3\)?“ 8, dann lautet die Antwort auf „2 hoch wie viel ergibt 8?“ \(\log_2 8 = 3\). Dieselbe Gleichung liefert auch den Numerus: Kennt man Basis und Logarithmus, ist der Numerus \(x = a^y\). Eine positive Zahl \(a\) hoch eine beliebige Zahl ist immer positiv – deshalb muss der Numerus \(x\) größer als 0 sein (Definitionsbereich). Außerdem bleibt 1 hoch eine beliebige Zahl immer 1, daher ist 1 als Basis nicht erlaubt, ebenso wenig 0 oder negative Zahlen (die Basis muss größer als 0 und ungleich 1 sein).

Logarithmus berechnen (Basiswechselsatz)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\log_{a} x\) \(=\) \(\ln x\) \(\div\) \(\ln a\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\log_a x\): gesuchter Logarithmus \(=\) ① \(\ln x\): natürlicher Logarithmus des Numerus \(\div\) ② \(\ln a\): natürlicher Logarithmus der Basis

Die Formel in Worten

① Teilt man den \(\ln x\): natürlicher Logarithmus des Numerus

② durch den \(\ln a\): natürlicher Logarithmus der Basis ,

③ erhält man den \(\log_a x\): gesuchter Logarithmus .

Einfaches Beispiel

Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 (2 hoch wie viel ergibt 8) ist

Logarithmus \(\log_2 8\) \(=\) natürlicher Logarithmus von 8 \(\ln 8\) \(\div\) natürlicher Logarithmus von 2 \(\ln 2\)

\(\log_{2} 8 = \ln 8 \div \ln 2 = 2{,}0794\ldots \div 0{,}6931\ldots = 3\)

Der Grundgedanke

Taschenrechner und Programmiersprachen bieten meist nur den natürlichen Logarithmus \(\ln\) (Basis \(e\)) und den Zehnerlogarithmus \(\log_{10}\) (Basis 10, in der Schule auch lg). Einen Logarithmus zu jeder beliebigen Basis erhält man als „Logarithmus des Numerus geteilt durch Logarithmus der Basis“. Das ist der Basiswechselsatz, und auch dieser Rechner verwendet ihn intern. Mit dem Zehnerlogarithmus statt dem natürlichen Logarithmus kommt dasselbe heraus (\(\log_a x = \log_{10} x \div \log_{10} a\)). Die einzige Regel: Zähler und Nenner verwenden dieselbe Art von Logarithmus.

Basis berechnen (aus Numerus und Logarithmus)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(a\) \(=\) \(x\) \(1/y\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(a\): Basis \(=\) ① \(x\): Numerus ② \(1/y\): 1 geteilt durch den Logarithmus

Die Formel in Worten

① Nimmt man den \(x\): Numerus

② hoch \(1/y\): 1 geteilt durch den Logarithmus (zieht also die \(y\)-te Wurzel),

③ erhält man die \(a\): Basis .

Einfaches Beispiel

„Die Zahl, die hoch 4 genau 81 ergibt“ (die Basis bei Numerus 81 und Logarithmus 4) ist

\(a\): Basis \(=\) Numerus 81 ein Viertel

\(a = 81^{1/4} = \sqrt[4]{81} = 3\)

\(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)

Der Grundgedanke

„Hoch \(\frac{1}{y}\) nehmen“ bedeutet dasselbe wie „die \(y\)-te Wurzel ziehen“ (die Zahl suchen, die hoch \(y\) die gegebene Zahl ergibt). Die Formel versagt, wenn der Logarithmus \(y = 0\) ist (jede Zahl hoch 0 ergibt 1: Ist der Numerus 1, passt jede Basis und sie ist nicht eindeutig; ist er nicht 1, gibt es keine Basis), oder wenn der Numerus \(x = 1\) ist (dann müsste die Basis 1 sein, was nicht erlaubt ist). In diesen Fällen zeigt auch dieser Rechner eine Fehlermeldung.

Produktregel (der Logarithmus eines Produkts ist eine Summe)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\log_{a} MN\) \(=\) \(\log_{a} M\) \(+\) \(\log_{a} N\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\log_a MN\): Logarithmus des Produkts \(MN\) \(=\) ① \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\) \(+\) ② \(\log_a N\): Logarithmus von \(N\)

Die Formel in Worten

① Addiert man den \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\)

② und den \(\log_a N\): Logarithmus von \(N\) ,

③ erhält man den \(\log_a MN\): Logarithmus des Produkts \(MN\) .

Einfaches Beispiel

Zur Basis 10 ist der Logarithmus des Produkts von 4 und 25 (4 × 25 = 100)

Logarithmus des Produkts 4 × 25 \(=\) Logarithmus von 4 (etwa 0,6021) \(+\) Logarithmus von 25 (etwa 1,3979)

\(\log_{10}(4 \times 25) = \log_{10} 4 + \log_{10} 25 \approx 0{,}6021 + 1{,}3979 = 2\)

\(\log_{10} 100 = 2\)

Der Grundgedanke

Durch das Logarithmieren wird aus einer Multiplikation eine Addition – die wichtigste Eigenschaft des Logarithmus. Vor der Zeit der Taschenrechner haben Astronomen mit Logarithmentafeln die Multiplikation riesiger Zahlen in Additionen verwandelt. Auch der Rechenschieber funktioniert nach diesem Prinzip.

Quotientenregel (der Logarithmus eines Quotienten ist eine Differenz)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\log_{a} \dfrac{M}{N}\) \(=\) \(\log_{a} M\) \(-\) \(\log_{a} N\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\log_a \frac{M}{N}\): Logarithmus des Quotienten \(\frac{M}{N}\) \(=\) ① \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\) \(-\) ② \(\log_a N\): Logarithmus von \(N\)

Die Formel in Worten

① Zieht man vom \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\)

② den \(\log_a N\): Logarithmus von \(N\) ab,

③ erhält man den \(\log_a \frac{M}{N}\): Logarithmus des Quotienten \(\frac{M}{N}\) .

Einfaches Beispiel

Zur Basis 10 ist der Logarithmus des Quotienten aus 1000 und 10 (1000 ÷ 10 = 100)

Logarithmus des Quotienten 1000 ÷ 10 \(=\) Logarithmus von 1000 (3) \(-\) Logarithmus von 10 (1)

\(\log_{10}\dfrac{1000}{10} = \log_{10} 1000 - \log_{10} 10 = 3 - 1 = 2\)

\(\log_{10} 100 = 2\)

Der Grundgedanke

Das ist die „Divisionsversion“ der Produktregel. Aus demselben Grund, aus dem eine Multiplikation zur Addition wird, wird eine Division zur Subtraktion. Leicht zu merken ist sie als Potenzgesetz \(a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}\), in die Sprache der Logarithmen übersetzt.

Potenzregel (der Exponent wandert nach vorn)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\log_{a} M^{k}\) \(=\) \(k\) \(\times\) \(\log_{a} M\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\log_a M^k\): Logarithmus der Potenz \(M^k\) \(=\) ① \(k\): Exponent \(\times\) ② \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\)

Die Formel in Worten

① Multipliziert man den \(k\): Exponenten

② mit dem \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\) ,

③ erhält man den \(\log_a M^k\): Logarithmus der Potenz \(M^k\) .

Einfaches Beispiel

Zur Basis 10 ist der Logarithmus von 2 hoch 10 (\(2^{10} = 1024\))

Logarithmus von \(2^{10}\) \(=\) Exponent 10 \(\times\) Logarithmus von 2 (etwa 0,3010)

\(\log_{10} 2^{10} = 10 \times \log_{10} 2 \approx 10 \times 0{,}3010 = 3{,}010\)

\(\log_{10} 1024 \approx 3{,}010\)

Der Grundgedanke

Der Logarithmus einer Potenz (\(k\)-mal multiplizieren) wird zu einer einzigen Multiplikation – \(k\)-mal der Logarithmus. Im Beispiel bedeutet \(\log_{10} 2^{10} \approx 3{,}010\): „\(2^{10}\) ist ungefähr so groß wie \(10^{3{,}010}\)“. Das passt genau dazu, dass \(2^{10} = 1024\) vierstellig ist (Ganzzahlteil des Zehnerlogarithmus plus 1 ergibt die Stellenanzahl). Fragen wie „Wie viele Stellen hat \(2^{100}\)?“ löst man mit dieser Regel.

Der Logarithmus \(y = \log_a x\) gibt an, mit welcher Hochzahl man die Basis \(a\) potenzieren muss, um den Numerus \(x\) zu erhalten – er ist genau die Umkehrung des Potenzierens. Mit dem Basiswechselsatz lässt sich ein Logarithmus zu jeder Basis aus dem natürlichen Logarithmus \(\ln\) oder dem Zehnerlogarithmus \(\log_{10}\) berechnen.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\log_a x\)	Logarithmus von x zur Basis a	„Der Logarithmus von \(x\) zur Basis \(a\)“ – die Hochzahl, mit der man \(a\) potenzieren muss, um den Numerus \(x\) zu erhalten. Beispiel – \(\log_2 8 = 3\)
\(a\)	a (die Basis)	Die Zahl, auf der der Logarithmus aufbaut – die kleine tiefgestellte Zahl in \(\log_a x\). Sie muss größer als 0 und ungleich 1 sein (Bedingung für die Basis).
\(x\)	x (der Numerus)	Die Zahl, von der der Logarithmus genommen wird. Sie muss größer als 0 sein (Definitionsbereich).
\(y\)	y (der Logarithmus)	Das Ergebnis des Logarithmus. Es ist der Exponent selbst: „Die Basis hoch \(y\) ergibt den Numerus.“
\(\log_{10} x\)	Zehnerlogarithmus von x (lg x)	Der Logarithmus zur Basis 10. Er hängt direkt mit der Stellenanzahl zusammen (\(\log_{10} 1000 = 3\)) und ist in Naturwissenschaft und Technik verbreitet. In deutschen Schulbüchern schreibt man ihn meist \(\lg x\), auf dem Taschenrechner heißt die Taste log.
\(\ln x\)	natürlicher Logarithmus von x (ln x)	Der Logarithmus zur Basis \(e\) (eulersche Zahl). Er passt am besten zur Analysis und ist in Mathematik, Physik und Finanzwesen Standard.
\(e\)	e (eulersche Zahl)	Eine besondere Zahl, etwa 2,71828 …, deren Nachkommastellen nie enden. Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus. In diesem Rechner geben Sie dafür „e“ ins Feld Basis ein.
\(M,\ N\)	M, N	Numeri (Mehrzahl von Numerus) zur Erklärung der Logarithmengesetze (Produkt-, Quotienten- und Potenzregel). Beide sind größer als 0.
\(\sqrt[n]{x}\)	n-te Wurzel aus x	Die Zahl, die hoch \(n\) genommen \(x\) ergibt. Dasselbe wie \(x^{1/n}\) (hoch 1 durch \(n\)). Beispiel – \(\sqrt[4]{81} = 3\)

Begriffe

Logarithmus (log)	Die Zahl, die angibt, mit welcher Hochzahl man die Basis potenzieren muss, um den Numerus zu erhalten. Er ist die Umkehrung des Potenzierens und kommt in Klasse 10 (15–16 Jahre) dran. Das Zeichen log ist die Abkürzung von Logarithmus.
Basis	Die Zahl, auf der der Logarithmus aufbaut. In \(\log_2 8\) ist 2 die Basis. Nur Zahlen größer als 0 und ungleich 1 sind als Basis erlaubt.
Numerus (Logarithmand)	Die Zahl, von der der Logarithmus genommen wird. In \(\log_2 8\) ist 8 der Numerus. Nur Zahlen größer als 0 sind als Numerus erlaubt.
Definitionsbereich	Die Zahlen, die ein Logarithmus verarbeiten kann – der Numerus muss größer als 0 sein. Eine positive Zahl hoch eine beliebige Zahl ist immer positiv, deshalb gibt es keinen Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl. Beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen mit Logarithmen prüft man das als Erstes.
Bedingung für die Basis	Die Regel, dass die Basis größer als 0 und ungleich 1 sein muss. 1 hoch eine beliebige Zahl bleibt 1, sodass der Logarithmus nicht festgelegt wäre, und Potenzen von 0 oder negativen Zahlen sind nicht für jeden Exponenten definiert.
Zehnerlogarithmus (dekadischer Logarithmus, lg)	Der Logarithmus zur Basis 10. Er hängt direkt mit der Stellenanzahl einer Zahl zusammen. Fast alle Logarithmen im Alltag – pH-Wert, Dezibel, Erdbebenmagnitude – sind Zehnerlogarithmen.
natürlicher Logarithmus (ln)	Der Logarithmus zur Basis \(e\) (etwa 2,718), Zeichen \(\ln\). In der Analysis ist er am einfachsten zu handhaben und wird für Zinsrechnungen und die Beschreibung von Naturvorgängen verwendet.
eulersche Zahl	Die Zahl \(e = 2{,}71828\ldots\), deren Nachkommastellen nie enden. Sie taucht ganz natürlich auf, wenn es um stetiges Wachstum geht, und ist wie \(\pi\) eine berühmte irrationale Zahl.
Potenz (Potenzieren)	Ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren. Wie in \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\) gibt die kleine Zahl rechts oben (der Exponent) an, wie oft multipliziert wird. Der Logarithmus ist die Umkehrung.
Exponent (Hochzahl)	Die kleine Zahl rechts oben an einer Potenz, die angibt, wie oft multipliziert wird. In \(2^3\) ist 3 der Exponent. Der Logarithmus ist genau der gesuchte Exponent.
Potenzgesetz (Potenzgesetze)	Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis, etwa \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) und \(a^m \div a^n = a^{m-n}\). Die Logarithmengesetze sind diese Regeln, rückwärts gelesen.
Basiswechselsatz (Basiswechsel)	Die Formel, mit der man einen Logarithmus zu jeder Basis als „Logarithmus des Numerus geteilt durch Logarithmus der Basis“ schreibt. Selbst wenn Taschenrechner oder Programm nur \(\ln\) und \(\log_{10}\) kennen, lässt sich damit jede Basis berechnen.
Logarithmengesetze (Produktregel, Quotientenregel, Potenzregel)	Die drei Rechenregeln für Logarithmen: Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe, der eines Quotienten die Differenz der Logarithmen, und der Exponent einer Potenz wird zum Faktor.
Wurzel (n-te Wurzel)	Die Zahl, die hoch \(n\) genommen die gegebene Zahl ergibt. Wie bei „Die Zahl, die hoch 4 genau 81 ergibt, ist 3“ bedeutet das Berechnen der Basis, diese Wurzel zu ziehen.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie nicht weiterkommen, wiederholen Sie am besten diese Themen.

Potenzen und Exponenten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass die kleine Zahl rechts oben (der Exponent) angibt, wie oft multipliziert wird, wie in \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)
Erweiterte Exponenten (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass Exponenten auch 0 oder negativ sein können, wie in \(a^0 = 1\) und \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) Wissen, dass \(a^{1/n}\) (hoch 1 durch \(n\)) dasselbe ist wie die \(n\)-te Wurzel ziehen
Quadratwurzeln und n-te Wurzeln (Klasse 8–10, 13–16 Jahre)	Fragen zum Potenzieren rückwärts beantworten können, etwa „Die positive Zahl, deren Quadrat 9 ist, ist 3“
Die Idee der Umkehroperation (Grundschule und Sekundarstufe I)	Verstehen, dass der Logarithmus das Potenzieren rückgängig macht – so wie die Division die Multiplikation

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Logarithmus y

Numerus x	100
Basis a	10
Logarithmus y	=LOG(B1;B2)

Tabelle für den Numerus x

Basis a	2
Logarithmus y	10
Numerus x	=B1^B2

Tabelle für die Basis a

Numerus x	81
Logarithmus y	4
Basis a	=B1^(1/B2)

Tabelle zum Prüfen der Produktregel

Numerus M	4
Numerus N	25
log M + log N (Basis 10)	=LOG(B1;10)+LOG(B2;10)
Logarithmus des Produkts M×N (Basis 10)	=LOG(B1*B2;10)

Tabelle zum Prüfen der Quotientenregel

Numerus M	1000
Numerus N	10
log M − log N (Basis 10)	=LOG(B1;10)-LOG(B2;10)
Logarithmus des Quotienten M÷N (Basis 10)	=LOG(B1/B2;10)

Tabelle zum Prüfen der Potenzregel

Numerus M	2
Exponent k	10
k × (log M) (Basis 10)	=B2*LOG(B1;10)
Logarithmus der Potenz M^k (Basis 10)	=LOG(B1^B2;10)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, die letzten Zeilen (die grünen Formeln) zeigen die automatisch berechneten Ergebnisse.
Die Excel-Funktion LOG schreibt man „=LOG(Zahl;Basis)“ (ohne Basis rechnet sie mit dem Zehnerlogarithmus, also Basis 10). Den natürlichen Logarithmus (Basis e) berechnet „=LN(Zahl)“.
In der ersten Tabelle steht in B3 zum Beispiel 2 (denn 10 hoch 2 ist 100). Für den natürlichen Logarithmus ersetzen Sie B3 in der ersten Tabelle durch „=LN(B1)“.
Die vierte bis sechste Tabelle prüfen die Logarithmengesetze: Die beiden unteren Formeln ergeben immer denselben Wert.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Logarithmus y

Numerus x	100
Basis a	10
Logarithmus y	=LOG(B1;B2)

Tabelle für den Numerus x

Basis a	2
Logarithmus y	10
Numerus x	=B1^B2

Tabelle für die Basis a

Numerus x	81
Logarithmus y	4
Basis a	=B1^(1/B2)

Tabelle zum Prüfen der Produktregel

Numerus M	4
Numerus N	25
log M + log N (Basis 10)	=LOG(B1;10)+LOG(B2;10)
Logarithmus des Produkts M×N (Basis 10)	=LOG(B1*B2;10)

Tabelle zum Prüfen der Quotientenregel

Numerus M	1000
Numerus N	10
log M − log N (Basis 10)	=LOG(B1;10)-LOG(B2;10)
Logarithmus des Quotienten M÷N (Basis 10)	=LOG(B1/B2;10)

Tabelle zum Prüfen der Potenzregel

Numerus M	2
Exponent k	10
k × (log M) (Basis 10)	=B2*LOG(B1;10)
Logarithmus der Potenz M^k (Basis 10)	=LOG(B1^B2;10)

Google Tabellen hat dieselben Funktionen LOG und LN wie Excel, die Formeln funktionieren also genauso.
Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.

So berechnen Sie es in Python

import math

x = 100   # Numerus (eine Zahl größer als 0)
a = 10    # Basis (größer als 0 und ungleich 1; math.e für den natürlichen Logarithmus)

y = math.log(x, a)   # Logarithmus y = log_a(x)
print(f"Logarithmus von {x} zur Basis {a}: {y}")

# Zehnerlogarithmus (Basis 10) und natürlicher Logarithmus (Basis e) haben eigene Funktionen
print(f"Zehnerlogarithmus log10({x}) = {math.log10(x)}")
print(f"Natürlicher Logarithmus ln({x}) = {math.log(x)}")

# Auch rückwärts rechnen ist möglich
true_number = a ** y        # Numerus berechnen (Basis hoch y)
base_number = x ** (1 / y)  # Basis berechnen (Numerus hoch 1/y)
print(f"Numerus: {true_number}, Basis: {base_number}")

Läuft nur mit dem Modul math der Standardbibliothek. math.log(Numerus, Basis) liefert den Logarithmus (ohne Basis den natürlichen Logarithmus). Ersetzen Sie x und a oben durch Ihre eigenen Zahlen und führen Sie den Code aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Definition des Logarithmus (was \(y = \log_a x\) bedeutet)

y = logₐ x ⇔ x = aʸ

y = \log_{a} x \iff x = a^{y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>x</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mi>y</mi></msup>
  </mrow>
</math>

y = log_a x iff x = a^y

Log[a, x]

y := log[a](x);

y = log(x)/log(a);

y = log_a(x)

Logarithmus berechnen (Basiswechselsatz)

logₐ x = ln x ÷ ln a

\log_{a} x = \dfrac{\ln x}{\ln a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>x</mi></mrow>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

log_a x = (ln x)/(ln a)

Log[x]/Log[a]

y := ln(x)/ln(a);

y = log(x)/log(a);

log_a(x) = ln(x)/ln(a)

Basis berechnen (aus Numerus und Logarithmus)

a = x^{1/y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mi>x</mi>
      <mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>y</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

a = x^(1/y)

x^(1/y)

a := x^(1/y);

a = x^(1/y);

a = x^(1/y)

Produktregel (der Logarithmus eines Produkts ist eine Summe)

logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N

\log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N

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    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mrow><mi>M</mi><mi>N</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>N</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (MN) = log_a M + log_a N

Log[a, M*n] == Log[a, M] + Log[a, n]  (* N (numerische Auswertung) ist in Mathematica reserviert, deshalb n *)

log[a](M*N) = log[a](M) + log[a](N);

log(M*N)/log(a) == log(M)/log(a) + log(N)/log(a)

log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)

Quotientenregel (der Logarithmus eines Quotienten ist eine Differenz)

logₐ(M ÷ N) = logₐ M − logₐ N

\log_{a} \dfrac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N

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  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mfrac><mi>M</mi><mi>N</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>N</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (M/N) = log_a M - log_a N

Log[a, M/n] == Log[a, M] - Log[a, n]  (* N (numerische Auswertung) ist in Mathematica reserviert, deshalb n *)

log[a](M/N) = log[a](M) - log[a](N);

log(M/N)/log(a) == log(M)/log(a) - log(N)/log(a)

log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)

Potenzregel (der Exponent wandert nach vorn)

logₐ(Mᵏ) = k logₐ M

\log_{a} M^{k} = k \log_{a} M

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  <mrow>
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    <msup><mi>M</mi><mi>k</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>k</mi>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (M^k) = k log_a M

Log[a, M^k] == k*Log[a, M]

log[a](M^k) = k*log[a](M);

log(M^k)/log(a) == k*log(M)/log(a)

log_a(M^k) = k log_a(M)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Logarithmen. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Berechnen Sie jeweils:
1. Den Logarithmus von 100 zur Basis 10 (log10(100))
2. Den natürlichen Logarithmus von 7 (ln 7)
3. Den Numerus bei Basis 2 und Logarithmus 10 (2 hoch 10)
4. Die Zahl, die hoch 4 genau 81 ergibt (die Basis bei Numerus 81 und Logarithmus 4)

Geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

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Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel