Logarithmus berechnen (Logarithmenrechner für jede Basis, lg und ln)

Geben Sie von den drei Werten in „y = log_a(x)“ (Basis a, Numerus x und Logarithmuswert y) die beiden ein, die Sie kennen, und klicken Sie auf „Berechnen“. Der leer gelassene Wert wird berechnet. Die Gleichung darunter ist mit den Feldern verknüpft, Sie können Basis, Numerus oder Logarithmuswert also auch direkt darin eintippen.

Numerus x (Zahl im Logarithmus)

Basis a

Logarithmuswert y

Lassen Sie den Wert, den Sie bestimmen möchten, leer (geben Sie genau zwei ein). Neben Zahlen darf die Basis „e“ für den natürlichen Logarithmus sein (für den dekadischen Logarithmus nehmen Sie 10). Der Numerus muss größer als 0 sein, und die Basis muss größer als 0 und ungleich 1 sein.

Ergebnis

Geben Sie links zwei Werte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formel
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie beim Logarithmus \(y = \log_a x\) die beiden Größen ein, die Sie kennen, von Basis \(a\), Numerus \(x\) (der Zahl im Logarithmus) und Logarithmuswert \(y\), und die dritte erscheint sofort
Sie können jede Basis verwenden. Geben Sie „10“ als Basis für den dekadischen Logarithmus (lg) ein oder „e“ für den natürlichen Logarithmus (\(\ln\))
Neben Logarithmuswerten wie \(\log_2 8 = 3\) beantwortet der Rechner auch „was ist 2 hoch 10?“ (den Numerus bestimmen, \(2^{10} = 1024\)) und „welche Zahl hoch 4 ergibt 81?“ (die Basis bestimmen)
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Für einen Logarithmus gelten zwei Regeln. Der Numerus muss größer als 0 sein (der Definitionsbereich), und die Basis muss größer als 0 und ungleich 1 sein (die Einschränkung der Basis). Eine Eingabe, die diese Regeln verletzt, ergibt einen Fehler.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Was Dezibel (dB) wirklich sind (Audio und Lärm)

Das Dezibel, die Einheit der Lautstärke, ist mit dem dekadischen Logarithmus eines Verhältnisses von Schallenergien definiert. Selbst wenn die Energie 100-mal größer wird, steigt der Pegel nur um \(10 \times \log_{10} 100 = 20\) dB.
Unser Ohr empfindet Schall danach, „wie viel Mal lauter“ er ist, deshalb passt eine logarithmische Einheit ideal dazu. Sichere Hörlautstärken bei Kopfhörern und die Vorschriften zum Lärmschutz am Arbeitsplatz beruhen alle auf dieser Logarithmusformel: In Deutschland regelt die Lärm- und Vibrations-Arbeitsschutzverordnung, dass ab einem Tages-Lärmexpositionspegel von 80 dB(A) (unterer Auslösewert) Gehörschutz zur Verfügung stehen muss und ab 85 dB(A) (oberer Auslösewert) getragen werden muss.

Erdbebenmagnituden richtig lesen (Katastrophenschutz)

Die Magnitude beruht auf dem Logarithmus der Energie eines Erdbebens. Eine Magnitude mehr setzt etwa das 32-Fache (\(10^{1{,}5}\)-Fache) der Energie frei, also hat ein Erdbeben der Magnitude 7 etwa die 1000-fache Energie eines Bebens der Magnitude 5.
Wer Logarithmen kennt, liest das als „3 Stellen mehr an Energie“ und nicht als „nur 2 mehr“, und das prägt unmittelbar, wie man sich auf Katastrophen vorbereitet.

Der pH-Wert (sauer oder basisch) ist eine logarithmische Skala (Naturwissenschaft und Alltag)

Der pH-Wert, der misst, wie sauer eine Lösung ist, ist mit dem dekadischen Logarithmus der Wasserstoffionenkonzentration definiert (\(\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]\)). Zwischen Zitronensaft mit pH 2 und Wasser mit pH 7 unterscheidet sich die Konzentration nicht um „5“, sondern um den Faktor \(10^5\) (100.000).
Größen, die viele Zehnerpotenzen überspannen, in leicht handhabbare Zahlen von etwa 0 bis 14 zu verwandeln, ist genau das, was Logarithmen am besten können. Die pH-Werte auf Reinigern, Poolteststreifen und Bodentests für den Garten beruhen darauf.

Wie viele Jahre es dauert, bis sich Geld verdoppelt (Zinseszins und Geldanlage)

Bei 3 % Zinsen im Jahr mit jährlicher Zinseszinsrechnung verdoppelt sich Ihr Geld, wenn \(1{,}03^y = 2\) gilt, also \(y = \log_{1{,}03} 2 \approx 23{,}4\) Jahre (bei gleicher Rendite in jedem Jahr).
Die bekannte „72er-Regel“ (72 ÷ Zinssatz in % ≈ Jahre bis zur Verdopplung) ist in Wirklichkeit eine Näherung dieses Logarithmus. Sie ist eine solide Basis für langfristige Geldplanungen wie die Altersvorsorge oder die Ausbildung der Kinder, mit Zahlen statt mit Vermutungen.

Die Anzahl der Bits für Daten ergibt sich aus Logarithmen (IT)

Die Anzahl der Bits, die man braucht, um \(n\) verschiedene Dinge zu unterscheiden, ist \(\log_2 n\). Zum Beispiel passen 256 verschiedene Werte in \(\log_2 256 = 8\) Bit (1 Byte).
Auch die Stärke eines Passworts (grob, wie viele Versuche ein Angriff durch Ausprobieren braucht) wird als „wie viele Bit“ gemessen, also als Logarithmus. Diese Rechnung trägt die gesamte digitale Welt.

Tonintervalle sind Logarithmen der Frequenz (Musik)

Benachbarte Klaviertasten (ein Halbton) haben alle dasselbe Frequenzverhältnis, \(2^{1/12} \approx 1{,}0595\) (gleichstufige Stimmung). Ist das Frequenzverhältnis zweier Töne \(r\), ist die Anzahl der Halbtöne zwischen ihnen \(12 \times \log_2 r\).
Für das a bei 440 Hz (den Kammerton) und das a bei 880 Hz sind das \(12 \times \log_2 2 = 12\) Halbtöne, genau eine Oktave. Stimmgeräte und die Tonhöhenverschiebung in Musiksoftware laufen auf diesem Logarithmus.

Formel

Definition des Logarithmus (was \(y = \log_a x\) besagt)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \(a\) \(y\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\): Numerus \(=\) ① \(a\): Basis ② \(y\): Logarithmuswert

Die Formel in Worten

① Potenzieren Sie die \(a\): Basis

② mit dem Exponenten \(y\): Logarithmuswert

③ und Sie erhalten den \(x\): Numerus (diese Zahl „hoch wie viel“, \(y\), schreibt man als \(y = \log_a x\))

Einfaches Beispiel

Schreibt man „2 hoch 3 ist 8“ (2 × 2 × 2 = 8) als Logarithmus um, erhält man

Numerus 8 \(=\) Basis 2 Logarithmuswert 3

\(2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8\)

\(\log_{2} 8 = 3\)

Der Kerngedanke

Ein Logarithmus macht eine Potenz (einen Exponenten) rückgängig. Lautet die Antwort auf „was ist \(2^3\)?“ 8, dann lautet die Antwort auf „2 hoch wie viel ergibt 8?“ \(\log_2 8 = 3\). Dieselbe Gleichung liefert auch den Numerus: Kennen Sie die Basis und den Logarithmuswert, ist der Numerus \(x = a^y\). Jede Potenz einer positiven Zahl \(a\) ist immer positiv, also muss der Numerus \(x\) größer als 0 sein (der Definitionsbereich des Logarithmus). Außerdem ist jede Potenz von 1 wieder 1, also kann 1 keine Basis sein, und 0 oder eine negative Zahl auch nicht (die Basis muss größer als 0 und ungleich 1 sein).

Den Logarithmuswert bestimmen (Basiswechsel)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\log_{a} x\) \(=\) \(\ln x\) \(\div\) \(\ln a\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\log_a x\): gesuchter Logarithmuswert \(=\) ① \(\ln x\): natürlicher Logarithmus des Numerus \(\div\) ② \(\ln a\): natürlicher Logarithmus der Basis

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den \(\ln x\): natürlicher Logarithmus des Numerus

② teilen Sie ihn durch den \(\ln a\): natürlicher Logarithmus der Basis

③ und Sie erhalten den \(\log_a x\): gesuchter Logarithmuswert

Einfaches Beispiel

Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 (2 hoch wie viel ergibt 8) ist

Logarithmuswert \(\log_2 8\) \(=\) natürlicher Logarithmus von 8, \(\ln 8\) \(\div\) natürlicher Logarithmus von 2, \(\ln 2\)

\(\log_{2} 8 = \ln 8 \div \ln 2 = 2{,}0794\cdots \div 0{,}6931\cdots = 3\)

Der Kerngedanke

Taschenrechner und Programmiersprachen bieten meist nur den natürlichen Logarithmus \(\ln\) (Basis \(e\)) und den dekadischen Logarithmus \(\log_{10}\) (lg, Basis 10) an. Einen Logarithmus zu jeder beliebigen Basis erhalten Sie als „Logarithmus des Numerus ÷ Logarithmus der Basis“. Das ist der Basiswechsel, und dieser Rechner nutzt ihn intern. Mit dem dekadischen Logarithmus statt des natürlichen erhalten Sie dieselbe Antwort (\(\log_a x = \log_{10} x \div \log_{10} a\)). Die einzige Regel ist, oben und unten dieselbe Art von Logarithmus zu benutzen.

Die Basis bestimmen (aus Numerus und Logarithmuswert)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(a\) \(=\) \(x\) \(1/y\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(a\): Basis \(=\) ① \(x\): Numerus ② \(1/y\): 1 durch den Logarithmuswert

Die Formel in Worten

① Potenzieren Sie den \(x\): Numerus

② mit dem Exponenten \(1/y\): 1 durch den Logarithmuswert (das heißt, ziehen Sie die \(y\)-te Wurzel)

③ und Sie erhalten die \(a\): Basis

Einfaches Beispiel

„Die Zahl, deren 4. Potenz 81 ist“ (die Basis, wenn der Numerus 81 und der Logarithmuswert 4 ist) ist

\(a\): Basis \(=\) Numerus 81 ein Viertel

\(a = 81^{1/4} = \sqrt[4]{81} = 3\)

\(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)

Der Kerngedanke

„Mit \(\frac{1}{y}\) potenzieren“ ist dasselbe wie „die \(y\)-te Wurzel ziehen“ (die Zahl bestimmen, deren \(y\)-te Potenz diese Zahl ist). Diese Formel funktioniert nicht, wenn der Logarithmuswert \(y = 0\) ist (jede Zahl hoch 0 ist 1: Ist der Numerus 1, passt jede Basis und die Basis ist nicht eindeutig, ist der Numerus nicht 1, gibt es keine Basis) oder wenn der Numerus \(x = 1\) ist (die Basis müsste 1 sein, was nicht erlaubt ist). In diesen Fällen zeigt dieser Rechner einen Fehler.

Produktregel (der Logarithmus eines Produkts ist eine Summe)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\log_{a} MN\) \(=\) \(\log_{a} M\) \(+\) \(\log_{a} N\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\log_a MN\): Logarithmus des Produkts \(MN\) \(=\) ① \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\) \(+\) ② \(\log_a N\): Logarithmus von \(N\)

Die Formel in Worten

① Addieren Sie den \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\)

② und den \(\log_a N\): Logarithmus von \(N\)

③ und Sie erhalten den \(\log_a MN\): Logarithmus des Produkts \(MN\)

Einfaches Beispiel

Zur Basis 10 ist der Logarithmus des Produkts von 4 und 25 (4 × 25 = 100)

Logarithmus des Produkts 4 × 25 \(=\) Logarithmus von 4 (etwa 0,6021) \(+\) Logarithmus von 25 (etwa 1,3979)

\(\log_{10}(4 \times 25) = \log_{10} 4 + \log_{10} 25 \approx 0{,}6021 + 1{,}3979 = 2\)

\(\log_{10} 100 = 2\)

Der Kerngedanke

Mit Logarithmen wird aus Multiplikation Addition. Das ist die wichtigste Eigenschaft der Logarithmen. Vor den Taschenrechnern nutzten Astronomen Logarithmentafeln, um die Multiplikation riesiger Zahlen in Addition zu verwandeln. Der Rechenschieber funktioniert nach demselben Prinzip.

Quotientenregel (der Logarithmus eines Quotienten ist eine Differenz)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\log_{a} \dfrac{M}{N}\) \(=\) \(\log_{a} M\) \(-\) \(\log_{a} N\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\log_a \frac{M}{N}\): Logarithmus des Quotienten \(\frac{M}{N}\) \(=\) ① \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\) \(-\) ② \(\log_a N\): Logarithmus von \(N\)

Die Formel in Worten

① Ziehen Sie vom \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\)

② den \(\log_a N\): Logarithmus von \(N\) ab

③ und Sie erhalten den \(\log_a \frac{M}{N}\): Logarithmus des Quotienten \(\frac{M}{N}\)

Einfaches Beispiel

Zur Basis 10 ist der Logarithmus des Quotienten aus 1000 geteilt durch 10 (1000 ÷ 10 = 100)

Logarithmus des Quotienten 1000 ÷ 10 \(=\) Logarithmus von 1000 (3) \(-\) Logarithmus von 10 (1)

\(\log_{10}\dfrac{1000}{10} = \log_{10} 1000 - \log_{10} 10 = 3 - 1 = 2\)

\(\log_{10} 100 = 2\)

Der Kerngedanke

Das ist die „Divisionsvariante“ der Produktregel. Aus demselben Grund, aus dem Multiplikation zur Addition wird, wird Division zur Subtraktion. Man merkt es sich leicht als das Potenzgesetz \(a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}\), in die Sprache der Logarithmen übersetzt.

Potenzregel (der Exponent wird vorgezogen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\log_{a} M^{k}\) \(=\) \(k\) \(\times\) \(\log_{a} M\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\log_a M^k\): Logarithmus der Potenz \(M^k\) \(=\) ① \(k\): Exponent \(\times\) ② \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie den \(k\): Exponent

② mit dem \(\log_a M\): Logarithmus von \(M\)

③ und Sie erhalten den \(\log_a M^k\): Logarithmus der Potenz \(M^k\)

Einfaches Beispiel

Zur Basis 10 ist der Logarithmus von 2 hoch 10 (\(2^{10} = 1024\))

Logarithmus von \(2^{10}\) \(=\) Exponent 10 \(\times\) Logarithmus von 2 (etwa 0,3010)

\(\log_{10} 2^{10} = 10 \times \log_{10} 2 \approx 10 \times 0{,}3010 = 3{,}010\)

\(\log_{10} 1024 \approx 3{,}010\)

Der Kerngedanke

Der Logarithmus einer Potenz (\(k\)-mal multipliziert) wird zu einer einzigen Multiplikation: \(k\) mal den Logarithmus. In diesem Beispiel sagt \(\log_{10} 2^{10} \approx 3{,}010\), dass „\(2^{10}\) etwa so groß ist wie \(10^{3{,}010}\)“, was genau dazu passt, dass \(2^{10} = 1024\) 4 Stellen hat (der ganzzahlige Teil des dekadischen Logarithmus plus 1 ist die Anzahl der Stellen). Fragen wie „wie viele Stellen hat \(2^{100}\)?“ löst man mit dieser Regel.

Der Logarithmus \(y = \log_a x\) ist die Zahl, die angibt, „mit welcher Potenz die Basis \(a\) den Numerus \(x\) ergibt“. Er ist genau die Umkehrung einer Potenz. Mit dem Basiswechsel lässt sich ein Logarithmus zu jeder Basis aus dem natürlichen Logarithmus \(\ln\) oder dem dekadischen Logarithmus \(\log_{10}\) berechnen.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\log_a x\)	Logarithmus von x zur Basis a	„Der Logarithmus von \(x\) zur Basis \(a\)“. Die Zahl, die angibt, mit welcher Potenz die Basis \(a\) den Numerus \(x\) ergibt. (Beispiel: \(\log_2 8 = 3\))
\(a\)	a (die Basis)	Die Zahl, auf der der Logarithmus aufbaut, klein unter der Zeile in \(\log_a x\) geschrieben. Sie muss größer als 0 und ungleich 1 sein.
\(x\)	x (der Numerus)	Die Zahl im Logarithmus. Sie muss größer als 0 sein (der Definitionsbereich).
\(y\)	y (der Logarithmuswert)	Das Ergebnis des Logarithmus. Es ist der Exponent selbst: „die Basis hoch \(y\) ergibt den Numerus“.
\(\log_{10} x\)	Logarithmus von x zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus, lg)	Der Logarithmus zur Basis 10. Er hängt unmittelbar mit der Anzahl der Stellen zusammen (\(\log_{10} 1000 = 3\)) und wird in Naturwissenschaft und Technik viel benutzt. In deutschen Schulbüchern schreibt man ihn meist \(\lg x\).
\(\ln x\)	natürlicher Logarithmus von x	Der Logarithmus zur Basis \(e\) (Eulersche Zahl). Er passt am besten zur Analysis und ist in Mathematik, Physik und Finanzwesen Standard.
\(e\)	e (Eulersche Zahl)	Eine besondere Zahl, etwa 2,71828…, deren Ziffern endlos weitergehen. Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus. In diesem Rechner geben Sie „e“ im Feld für die Basis ein, um sie zu verwenden.
\(M,\ N\)	M, N	Numeri, mit denen die Logarithmengesetze (Produkt, Quotient und Potenz) erklärt werden. Beide sind größer als 0.
\(\sqrt[n]{x}\)	die n-te Wurzel aus x	Die Zahl, deren \(n\)-te Potenz \(x\) ist. Es ist dasselbe wie \(x^{1/n}\) (die Potenz 1 durch \(n\)). (Beispiel: \(\sqrt[4]{81} = 3\))

Begriffe

Logarithmus	Die Zahl, die angibt, mit welcher Potenz die Basis den Numerus ergibt. Er ist die Umkehrung einer Potenz und wird in der Oberstufe (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) behandelt. Das Zeichen log steht für „Logarithmus“.
Basis	Die Zahl, auf der der Logarithmus aufbaut. In \(\log_2 8\) ist die Basis 2. Nur Zahlen größer als 0 und ungleich 1 können eine Basis sein.
Numerus	Die Zahl im Logarithmus. In \(\log_2 8\) ist der Numerus 8. Nur Zahlen größer als 0 können ein Numerus sein.
Definitionsbereich	Die Menge der Zahlen, die ein Logarithmus annimmt. Der Numerus muss größer als 0 sein, denn jede Potenz einer positiven Zahl ist immer positiv, also gibt es den Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl nicht. Es ist das Erste, was Sie prüfen, wenn Sie Gleichungen oder Ungleichungen mit Logarithmen lösen.
Einschränkung der Basis	Die Regel, dass die Basis größer als 0 und ungleich 1 sein muss. Jede Potenz von 1 ist wieder 1, der Logarithmus wäre also nicht definiert, und Potenzen von 0 oder einer negativen Zahl sind nicht für jeden Exponenten definiert.
dekadischer Logarithmus (lg)	Der Logarithmus zur Basis 10. Er hängt unmittelbar mit der Anzahl der Stellen zusammen, und die meisten Logarithmen im Alltag, wie pH-Wert, Dezibel und Erdbebenmagnitude, sind dekadische Logarithmen.
natürlicher Logarithmus (ln)	Der Logarithmus zur Basis \(e\) (etwa 2,718). Sein Zeichen ist \(\ln\). Er ist der einfachste Logarithmus für die Analysis und wird für Zinsrechnungen und die Untersuchung natürlicher Vorgänge verwendet.
Eulersche Zahl	Die Zahl \(e = 2{,}71828\ldots\), deren Ziffern endlos weitergehen. Sie tritt überall auf, wo es kontinuierliches Wachstum gibt. Wie \(\pi\) ist sie eine berühmte irrationale Zahl.
Potenz	Dieselbe Zahl mehrfach mit sich selbst multiplizieren. Wie in \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\) sagt die kleine Zahl rechts oben (der Exponent), wie oft. Ein Logarithmus ist die Umkehrung einer Potenz.
Exponent	Die kleine Zahl rechts oben an einer Potenz, die sagt, mit welcher Potenz man potenziert. In \(2^3\) ist der Exponent 3. Ein Logarithmuswert ist der Exponent, den Sie suchen.
Basiswechsel	Die Formel, die einen Logarithmus zu jeder Basis als „Logarithmus des Numerus ÷ Logarithmus der Basis“ umschreibt. Hat ein Taschenrechner oder Programm nur \(\ln\) und \(\log_{10}\), können Sie mit dieser Formel einen Logarithmus zu jeder Basis berechnen.
Wurzel (n-te Wurzel)	Die Zahl, deren \(n\)-te Potenz die gegebene Zahl ist. Wie in „die Zahl, deren 4. Potenz 81 ist, ist 3“ ist das Bestimmen der Basis das Finden dieser Wurzel.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen zu wiederholen.

Potenzen und Exponenten (Klasse 5–8, 10–14 Jahre)	Wissen, dass die kleine Zahl rechts oben (der Exponent) „wie oft multipliziert wird“ bedeutet, wie in \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)
Erweiterte Exponenten (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass sich Exponenten auf 0 und negative Zahlen erweitern lassen, wie in \(a^0 = 1\) und \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) Wissen, dass \(a^{1/n}\) (die Potenz 1 durch \(n\)) dasselbe ist wie die \(n\)-te Wurzel zu ziehen
Quadratwurzeln und n-te Wurzeln (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Eine Potenzfrage rückwärts beantworten können, etwa „die positive Zahl, deren Quadrat 9 ist, ist 3“
Der Gedanke der Umkehroperationen (Grundschule und Sekundarstufe I)	Sehen, dass ein Logarithmus eine Potenz rückgängig macht, so wie das Dividieren das Multiplizieren rückgängig macht

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Bestimmung des Logarithmuswerts y

Numerus x	100
Basis a	10
Logarithmuswert y	=LOG(B1;B2)

Tabelle zur Bestimmung des Numerus x

Basis a	2
Logarithmuswert y	10
Numerus x	=B1^B2

Tabelle zur Bestimmung der Basis a

Numerus x	81
Logarithmuswert y	4
Basis a	=B1^(1/B2)

Tabelle zur Kontrolle der Produktregel

Numerus M	4
Numerus N	25
log M + log N (Basis 10)	=LOG(B1;10)+LOG(B2;10)
Logarithmus des Produkts M×N (Basis 10)	=LOG(B1*B2;10)

Tabelle zur Kontrolle der Quotientenregel

Numerus M	1000
Numerus N	10
log M − log N (Basis 10)	=LOG(B1;10)-LOG(B2;10)
Logarithmus des Quotienten M÷N (Basis 10)	=LOG(B1/B2;10)

Tabelle zur Kontrolle der Potenzregel

Numerus M	2
Exponent k	10
k × (log M) (Basis 10)	=B2*LOG(B1;10)
Logarithmus der Potenz M^k (Basis 10)	=LOG(B1^B2;10)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die letzten Zeilen (die grünen Formeln) zeigen die automatisch berechneten Ergebnisse.
Die Excel-Funktion LOG schreibt man „=LOG(Zahl; Basis)“ (lässt man die Basis weg, nimmt sie den dekadischen Logarithmus, Basis 10). Der natürliche Logarithmus (Basis e) ist „=LN(Zahl)“.
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel 2 (denn 10 hoch 2 ist 100). Um einen natürlichen Logarithmus zu berechnen, ändern Sie B3 in der ersten Tabelle in „=LN(B1)“.
Die vierte bis sechste Tabelle prüfen die Logarithmengesetze. Die beiden Formeln unten ergeben immer denselben Wert.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Bestimmung des Logarithmuswerts y

Numerus x	100
Basis a	10
Logarithmuswert y	=LOG(B1;B2)

Tabelle zur Bestimmung des Numerus x

Basis a	2
Logarithmuswert y	10
Numerus x	=B1^B2

Tabelle zur Bestimmung der Basis a

Numerus x	81
Logarithmuswert y	4
Basis a	=B1^(1/B2)

Tabelle zur Kontrolle der Produktregel

Numerus M	4
Numerus N	25
log M + log N (Basis 10)	=LOG(B1;10)+LOG(B2;10)
Logarithmus des Produkts M×N (Basis 10)	=LOG(B1*B2;10)

Tabelle zur Kontrolle der Quotientenregel

Numerus M	1000
Numerus N	10
log M − log N (Basis 10)	=LOG(B1;10)-LOG(B2;10)
Logarithmus des Quotienten M÷N (Basis 10)	=LOG(B1/B2;10)

Tabelle zur Kontrolle der Potenzregel

Numerus M	2
Exponent k	10
k × (log M) (Basis 10)	=B2*LOG(B1;10)
Logarithmus der Potenz M^k (Basis 10)	=LOG(B1^B2;10)

Google Tabellen kennt bei deutschen Spracheinstellungen dieselben Funktionen LOG und LN wie Excel, also funktionieren genau dieselben Formeln.
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingabezahlen durch Ihre eigenen.

Mit Python berechnen

import math

x = 100   # Numerus (eine Zahl größer als 0)
a = 10    # Basis (größer als 0 und ungleich 1; für den natürlichen Logarithmus math.e verwenden)

y = math.log(x, a)   # Logarithmuswert y = log_a(x)
print(f"Logarithmus von {x} zur Basis {a}: {y}")

# Auch für den dekadischen (Basis 10) und den natürlichen Logarithmus (Basis e) gibt es eigene Funktionen
print(f"Dekadischer Logarithmus lg({x}) = {math.log10(x)}")
print(f"Natürlicher Logarithmus ln({x}) = {math.log(x)}")

# Rückwärts rechnen geht ebenfalls
true_number = a ** y        # den Numerus bestimmen (die Basis mit y potenzieren)
base_number = x ** (1 / y)  # die Basis bestimmen (den Numerus mit 1/y potenzieren)
print(f"Numerus: {true_number}, Basis: {base_number}")

Der Code nutzt nur das Modul math aus der Standardbibliothek. math.log(Numerus, Basis) liefert den Logarithmuswert (lässt man die Basis weg, liefert es den natürlichen Logarithmus). Ändern Sie oben x und a auf Ihre eigenen Zahlen und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Definition des Logarithmus (was \(y = \log_a x\) besagt)

y = logₐ x ⇔ x = aʸ

y = \log_{a} x \iff x = a^{y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>x</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mi>y</mi></msup>
  </mrow>
</math>

y = log_a x iff x = a^y

Log[a, x]

y := log[a](x);

y = log(x)/log(a);

y = log_a(x)

Den Logarithmuswert bestimmen (Basiswechsel)

logₐ x = ln x ÷ ln a

\log_{a} x = \dfrac{\ln x}{\ln a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>x</mi></mrow>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

log_a x = (ln x)/(ln a)

Log[x]/Log[a]

y := ln(x)/ln(a);

y = log(x)/log(a);

log_a(x) = ln(x)/ln(a)

Die Basis bestimmen (aus Numerus und Logarithmuswert)

a = x^{1/y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mi>x</mi>
      <mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>y</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

a = x^(1/y)

x^(1/y)

a := x^(1/y);

a = x^(1/y);

a = x^(1/y)

Produktregel (der Logarithmus eines Produkts ist eine Summe)

logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N

\log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mrow><mi>M</mi><mi>N</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>N</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (MN) = log_a M + log_a N

Log[a, M*n] == Log[a, M] + Log[a, n]  (* N (numerische Auswertung) ist in Mathematica ein reserviertes Wort, deshalb wird n verwendet *)

log[a](M*N) = log[a](M) + log[a](N);

log(M*N)/log(a) == log(M)/log(a) + log(N)/log(a)

log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)

Quotientenregel (der Logarithmus eines Quotienten ist eine Differenz)

logₐ(M ÷ N) = logₐ M − logₐ N

\log_{a} \dfrac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mfrac><mi>M</mi><mi>N</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>N</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (M/N) = log_a M - log_a N

Log[a, M/n] == Log[a, M] - Log[a, n]  (* N (numerische Auswertung) ist in Mathematica ein reserviertes Wort, deshalb wird n verwendet *)

log[a](M/N) = log[a](M) - log[a](N);

log(M/N)/log(a) == log(M)/log(a) - log(N)/log(a)

log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)

Potenzregel (der Exponent wird vorgezogen)

logₐ(Mᵏ) = k logₐ M

\log_{a} M^{k} = k \log_{a} M

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <msup><mi>M</mi><mi>k</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>k</mi>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (M^k) = k log_a M

Log[a, M^k] == k*Log[a, M]

log[a](M^k) = k*log[a](M);

log(M^k)/log(a) == k*log(M)/log(a)

log_a(M^k) = k log_a(M)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Rechenassistent für Logarithmen. Führen Sie die folgenden Berechnungen durch, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Bestimmen Sie jeweils:
1. Den Logarithmus von 100 zur Basis 10 (log10(100))
2. Den natürlichen Logarithmus von 7 (ln 7)
3. Den Numerus, wenn die Basis 2 und der Logarithmuswert 10 ist (2 hoch 10)
4. Die Zahl, deren 4. Potenz 81 ist (die Basis, wenn der Numerus 81 und der Logarithmuswert 4 ist)

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel