Geben Sie die Grundkante und die Höhe einer quadratischen Pyramide (Pyramide mit quadratischer Grundfläche) ein. Angezeigt werden das Volumen (Grundkante × Grundkante × Höhe : 3) und die Umrechnung in cm³, m³ und Liter.
Geben Sie Grundkante und Höhe in derselben Einheit und nur als Zahl ein (ohne Einheit – für 5 cm also „5“). Die Höhe ist der senkrechte Abstand von der Grundfläche bis zur Spitze.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links Grundkante und Höhe ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und 3D-Pyramide erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Das können Sie auf dieser Seite
- Grundkante und Höhe eingeben – und Sie kennen sofort das Volumen der quadratischen Pyramide (Grundkante × Grundkante × Höhe : 3)
- Die eingegebene Pyramide erscheint als 3D-Figur, die Sie mit Maus oder Finger drehen können
- Auch die Grundfläche und der Rechenweg werden angezeigt – Sie sehen also nicht nur das Ergebnis, sondern auch, wie es zustande kommt
- Dazu die Umrechnung des Volumens (bei Eingabe in cm in Liter und m³, bei Eingabe in m in cm³)
- Dazu: eine verständliche Erklärung, warum man durch 3 teilt, und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Geben Sie Grundkante und Höhe in derselben Einheit ein (beide in cm oder beide in m). Die Höhe ist der senkrechte Abstand von der Grundfläche bis zur Spitze – nicht die Länge einer schrägen Kante. Das Volumen anderer Körper wie Kegel oder dreiseitige Pyramide berechnen Sie auf eigenen Seiten.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Die Größe der Pyramiden von Gizeh begreifen (Geschichte und Reisen)
Die Cheops-Pyramide in Gizeh ist fast eine gerade quadratische Pyramide mit rund 230 m Grundkante und ursprünglich rund 147 m Höhe. Ihr Volumen beträgt etwa \(230 \times 230 \times 147 \div 3 = 2592100\,\mathrm{m^3}\), also rund 2,6 Millionen m³ – genug Stein für gut 1.000 olympische Schwimmbecken.
Im Inneren gibt es Gänge und Kammern, und die Flächen sind nicht ganz eben; es ist also eine Schätzung. Trotzdem macht eine einzige Formel die Größe dieses Weltkulturerbes greifbar.
Luftvolumen in einem Tipi- oder Pyramidenzelt abschätzen (Camping)
Ein Zelt mit einer einzigen Mittelstange (Tipi- oder Pyramidenzelt) ist bei quadratischem Boden fast eine quadratische Pyramide. Bei 3 m × 3 m Grundfläche und 2 m hoher Stange ist der Innenraum etwa \(3 \times 3 \times 2 \div 3 = 6\,\mathrm{m^3}\) groß.
Mit dem Luftvolumen schätzen Sie ab, wie gut ein Zeltofen beim Wintercamping heizt oder wie leicht sich Kondenswasser bildet (viele Zelte haben unten kurze senkrechte Wände – es bleibt also eine Schätzung).
Dachraum unter einem Zeltdach berechnen (Bau)
Ein Zeltdach auf einem quadratischen Haus ist genau eine quadratische Pyramide. Bei 6 m × 6 m Grundfläche und 2 m Höhe ist der Dachraum darunter etwa \(6 \times 6 \times 2 \div 3 = 24\,\mathrm{m^3}\) groß.
Dieses Volumen braucht man, um Belüftung und Dämmung des Dachbodens zu planen. Auch viele andere spitze Dächer – Gartenpavillon, Turmspitze – lassen sich mit dieser Formel abschätzen.
Fassungsvermögen eines Trichters (umgedrehte Pyramide) berechnen (Industrie und Landwirtschaft)
Schüttguttrichter (Bunker) für Getreide, Kunststoffgranulat oder Pulver, die unten nach und nach entleert werden, haben oft die Form einer umgedrehten quadratischen Pyramide. Bei 2 m Kantenlänge oben und 1,5 m Tiefe fasst er \(2 \times 2 \times 1{,}5 \div 3 = 2\,\mathrm{m^3}\) (2.000 l).
Ob noch eine Lieferung hineinpasst oder ob der Vorrat für einen Tag reicht, beginnt mit dieser Volumenrechnung (echte Trichter sind unten oft abgeschnitten – ein Pyramidenstumpf; dann zieht man die kleine Pyramide von der großen ab).
Typische Prüfungsaufgabe lösen (Schule)
Das Volumen von Pyramiden und Kegeln lernt man meist in Klasse 9 oder 10 (14–16 Jahre), und es kommt regelmäßig in Klassenarbeiten und Abschlussprüfungen vor. Beispiel: „Wie groß ist das Volumen einer geraden quadratischen Pyramide mit 6 cm Grundkante und 8 cm Höhe?“ Antwort: \(6 \times 6 \times 8 \div 3 = 96\,\mathrm{cm^3}\).
Der häufigste Fehler ist, das „: 3“ zu vergessen. Merken Sie es sich zusammen mit „ein Spitzkörper ist ein Drittel des Prismas“ – dann sitzen diese Punkte sicher.
Formeln und Abbildungen
Volumen der quadratischen Pyramide
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V\)
\(=\)
\(a\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(V\): Volumen der Pyramide
\(=\)
①
\(a\): Grundkante
②
hoch 2 (die Länge mit sich selbst malnehmen)
\(\times\)
③
\(h\): Höhe
\(\div\)
④
\(3\): davon ein Drittel nehmen
Die Formel in Worten
①
Man nimmt die
\(a\): Grundkante
②
hoch 2 (die Länge mit sich selbst malnehmen)
– das ergibt die Grundfläche –,
③
multipliziert mit der
\(h\): Höhe
④
und teilt durch
\(3\): davon ein Drittel nehmen
⑤
. So erhält man das
\(V\): Volumen der Pyramide
Einfaches Beispiel
Eine quadratische Pyramide mit 5 cm Grundkante und 12 cm Höhe hat das Volumen
\(V\): Volumen der Pyramide
\(=\)
Grundkante (5 cm)
hoch 2
\(\times\)
Höhe (12 cm)
\(\div\)
ein Drittel (3)
\(5 \times 5 = 25\)
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
Der Grundgedanke
Warum durch 3? Einen Würfel (die Form eines Spielwürfels) kann man von einer Ecke aus in genau 3 gleiche, „schiefe“ quadratische Pyramiden zerschneiden. Das Volumen einer Pyramide ist also genau \(\dfrac{1}{3}\) des Volumens eines Prismas (eines Quaders) mit derselben Grundfläche und derselben Höhe. In der Formel steht „\(\times \dfrac{1}{3}\)“ einfach als „\(\div 3\)“.
Beachten Sie: Die Höhe \(h\) ist der senkrechte Abstand von der Grundfläche bis zur Spitze, nicht die Länge einer schrägen Kante (der Seitenkante zur Spitze). Auch bei einer schiefen Pyramide, deren Spitze nicht genau über der Mitte der Grundfläche liegt, bleibt das Volumen gleich, solange Grundfläche und Höhe gleich sind.
Volumen aller Pyramiden und Kegel (aus der Grundfläche)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V\)
\(=\)
\(S\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(V\): Volumen des Spitzkörpers
\(=\)
①
\(S\): Grundfläche
\(\times\)
②
\(h\): Höhe
\(\div\)
③
\(3\): davon ein Drittel nehmen
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(S\): Grundfläche
②
mit der
\(h\): Höhe
③
und teilt durch
\(3\): davon ein Drittel nehmen
④
, erhält man das
\(V\): Volumen des Spitzkörpers
Einfaches Beispiel
Eine Pyramide mit 25 cm² Grundfläche und 12 cm Höhe hat das Volumen
\(V\): Volumen des Spitzkörpers
\(=\)
Grundfläche (25 cm²)
\(\times\)
Höhe (12 cm)
\(\div\)
ein Drittel (3)
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
Der Grundgedanke
Diese Formel gilt nicht nur für die quadratische Pyramide, sondern für jede Pyramide – ob dreiseitig, fünfseitig oder sechsseitig – und auch für den Kegel. Alle Körper, die zu einer Spitze zulaufen (Spitzkörper), haben das Volumen „Grundfläche × Höhe : 3“. In deutschen Schulbüchern steht sie meist als \(V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h\) mit \(G\) für die Grundfläche.
Bei der quadratischen Pyramide ist die Grundfläche ein Quadrat, also \(S = a \times a\). Setzt man das ein, erhält man die erste Formel \(V = \dfrac{1}{3} a^{2} h\). Beim Kegel ist die Grundfläche ein Kreis, also \(S = \pi r^{2}\).
Umrechnung des Volumens (cm³ → l)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Liter
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
\(\div\)
②
\(1000\): cm³ pro Liter
Die Formel in Worten
①
Teilt man das
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
②
durch die Zahl
\(1000\): cm³ pro Liter
③
, erhält man das
\(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Liter
Einfaches Beispiel
Das Volumen der quadratischen Pyramide mit 5 cm Grundkante und 12 cm Höhe, 100 cm³, in Liter umgerechnet
Volumen in Liter
\(=\)
Volumen in cm³ (100)
\(\div\)
cm³ pro Liter (1.000)
\(100 \div 1000 = 0{,}1\,\mathrm{l}\)
Der Grundgedanke
\(1\,\mathrm{l}\) ist das Volumen eines Würfels mit 10 cm Kantenlänge: \(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\). Eine 1-Liter-Milchtüte fasst genau 1 l = 1.000 cm³.
In m³ rechnen Sie genauso um: Wegen \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\) ist \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1000000\,\mathrm{cm^3}\). Beim Volumen ist der Umrechnungsfaktor der Längenfaktor hoch 3 (bei Flächen hoch 2, bei Volumen hoch 3) – wer hier nur mit 100 rechnet, macht den häufigsten Fehler.
Das Volumen einer quadratischen Pyramide berechnen Sie mit „Grundfläche (a × a) × Höhe : 3“. Durch 3 teilt man, weil jeder Spitzkörper genau ein Drittel des Prismas (der „Kiste“) mit derselben Grundfläche und Höhe ausfüllt. Als Höhe zählt der senkrechte Abstand von der Grundfläche bis zur Spitze; das Ergebnis steht in der Längeneinheit hoch 3 (bei cm also cm³).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(V\) | V | Das übliche Zeichen für das Volumen (lateinisch volumen). Hier steht es für das Volumen der quadratischen Pyramide. |
| \(a\) | a | Die Grundkante, also die Seitenlänge des Quadrats unten. Länge und Breite der Grundfläche sind gleich, deshalb reicht ein Buchstabe. |
| \(a^2\) | a Quadrat (a hoch 2) | Die Zahl \(a\) mit sich selbst multipliziert (\(a \times a\)). Die kleine 2 oben rechts ist der Exponent. Hier ist das die Grundfläche (die Fläche des Quadrats). |
| \(h\) | h | Die Höhe (englisch height), auch Körperhöhe genannt. Sie wird senkrecht von der Grundfläche bis zur Spitze gemessen, nicht entlang einer schrägen Kante. |
| \(S\) | S | Steht hier für die Grundfläche. In deutschen Schulbüchern heißt sie meist \(G\). Bei der quadratischen Pyramide ist \(S = a \times a\). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | Kubikzentimeter | Eine Volumeneinheit. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat das Volumen 1 cm³. Nicht verwechseln mit cm² (Quadratzentimeter), der Einheit für Flächen. |
| \(\mathrm{m^3}\) | Kubikmeter | Eine Volumeneinheit. Ein Würfel mit 1 m Kantenlänge hat das Volumen 1 m³. Es gilt \(1\,\mathrm{m^3} = 1000000\,\mathrm{cm^3}\). |
| \(\mathrm{L}\) | Liter | Eine Volumeneinheit, bekannt von Getränken (in Deutschland meist klein „l“ geschrieben, international auch „L“). Ein Würfel mit 10 cm Kantenlänge fasst 1 l, also \(1\,\mathrm{l} = 1000\,\mathrm{cm^3}\). |
Begriffe
| quadratische Pyramide | Eine Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche; die vier dreieckigen Seitenflächen laufen in einer Spitze zusammen. Das ist die klassische Pyramidenform. |
| gerade quadratische Pyramide | Eine quadratische Pyramide, deren Spitze genau über der Mitte der Grundfläche liegt – so wie die Pyramiden in Ägypten. Liegt die Spitze nicht genau darüber (schiefe Pyramide), ändert sich das Volumen nicht, solange Grundfläche und Höhe gleich bleiben. |
| Pyramide | Oberbegriff für Körper mit einem Vieleck (Dreieck, Viereck, Fünfeck …) als Grundfläche, die zu einer Spitze zulaufen. Mit dreieckiger Grundfläche heißt sie dreiseitige Pyramide, mit quadratischer Grundfläche quadratische Pyramide. |
| Grundfläche | Die Fläche, auf der ein Körper steht. Bei der quadratischen Pyramide ist es das Quadrat unten (Grundkante × Grundkante). |
| Volumen | Gibt als Zahl an, wie viel Raum ein Körper einnimmt (auch Rauminhalt). Man misst es daran, wie viele Einheitswürfel (z. B. 1 cm³) hineinpassen. |
| Spitzkörper | Oberbegriff für Körper, die von der Grundfläche aus zu einer Spitze zulaufen – also Pyramiden und Kegel. Für alle gilt „Volumen = Grundfläche × Höhe : 3“. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Multiplizieren und Dividieren (Klasse 3–4, 8–10 Jahre) |
|
| Flächeninhalt des Quadrats (Klasse 5, 10–11 Jahre) |
|
| Volumen und Volumeneinheiten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Pyramiden als Körper (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen einer quadratischen Pyramide
| Grundkante a (cm) | 5 |
| Höhe h (cm) | 12 |
| Volumen der Pyramide (cm³) | =B1^2*B2/3 |
Tabelle für das Volumen jeder Pyramide und jedes Kegels (aus der Grundfläche)
| Grundfläche (cm²) | 25 |
| Höhe h (cm) | 12 |
| Volumen des Spitzkörpers (cm³) | =B1*B2/3 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 100 |
| Volumen in Liter | =B1/1000 |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“, „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren (wie oft malgenommen wird).
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel 5 × 5 × 12 : 3 = 100 (in cm³, weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle zeigt in B3 ebenfalls 100, die dritte in B2 die 0,1. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Maße.
„B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“, „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren (wie oft malgenommen wird).
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel 5 × 5 × 12 : 3 = 100 (in cm³, weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle zeigt in B3 ebenfalls 100, die dritte in B2 die 0,1. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Maße.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen einer quadratischen Pyramide
| Grundkante a (cm) | 5 |
| Höhe h (cm) | 12 |
| Volumen der Pyramide (cm³) | =B1^2*B2/3 |
Tabelle für das Volumen jeder Pyramide und jedes Kegels (aus der Grundfläche)
| Grundfläche (cm²) | 25 |
| Höhe h (cm) | 12 |
| Volumen des Spitzkörpers (cm³) | =B1*B2/3 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 100 |
| Volumen in Liter | =B1/1000 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Maße.
So berechnen Sie es in Python
a = 5 # Grundkante (in diesem Beispiel in cm)
h = 12 # Höhe (senkrecht von der Grundfläche bis zur Spitze; dieselbe Einheit wie a)
base_area = a ** 2 # Grundfläche (Fläche des Quadrats)
volume = base_area * h / 3 # Volumen der Pyramide (Eingabeeinheit hoch 3, hier cm3)
volume_l = volume / 1000 # bei Eingabe in cm: Volumen in Liter
print(f"Grundfläche: {base_area} cm2")
print(f"Volumen der Pyramide: {volume} cm3")
print(f"Umgerechnet in Liter: {volume_l} l")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „**“ steht für Potenzieren (hier hoch 2), „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen. Ersetzen Sie oben Grundkante und Höhe durch Ihre Werte und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm; geben Sie in m ein, erhalten Sie m³ und multiplizieren mit 1.000.000, um cm³ zu erhalten).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Volumen der quadratischen Pyramide
V = a² × h ÷ 3
V = \frac{1}{3} a^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 a^2 h
a^2*h/3
V := a^2*h/3;
V = a^2*h/3;
V = (a^2 × h)/3
Volumen aller Pyramiden und Kegel (aus der Grundfläche)
V = S × h ÷ 3
V = \frac{1}{3} S h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>S</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 S h
s*h/3
V := S*h/3;
V = s*h/3;
V = (S × h)/3
Umrechnung des Volumens (cm³ → l)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_L = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Eine quadratische Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit 5 cm Seitenlänge und ist 12 cm hoch. Berechnen Sie: 1. die Grundfläche in cm² 2. das Volumen der Pyramide in cm³ (Volumen = Grundfläche × Höhe : 3) 3. dieses Volumen umgerechnet in Liter Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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Berechnet den Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck (Länge × Breite) – das ist die Grundfläche der Pyramide
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