Geben Sie die Seitenlänge der Grundfläche und die Höhe der quadratischen Pyramide ein. Angezeigt werden die Oberfläche (Grundfläche + Mantelfläche) sowie die dabei verwendete Seitenhöhe, die Grundfläche und die Mantelfläche.
Geben Sie die Seitenlänge der Grundfläche und die Höhe in derselben Einheit ein, nur als Zahlen ohne Einheit (bei 6 cm geben Sie „6“ ein). Die Höhe ist der senkrechte Abstand von der Grundfläche bis zur Spitze (sie unterscheidet sich von der Seitenhöhe, der Höhe einer dreieckigen Seitenfläche).
Ergebnis und Figur
Geben Sie im Feld links die Seitenlänge der Grundfläche und die Höhe ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine 3D-Figur erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie die Seitenlänge der Grundfläche und die Höhe ein, und Sie sehen sofort die Oberfläche der quadratischen Pyramide (Grundfläche + Mantelfläche)
- Die eingegebene Pyramide wird in 3D dargestellt (durch Ziehen können Sie sie ganz herumdrehen)
- Die Seitenhöhe (die Höhe jeder dreieckigen Seitenfläche), der Flächeninhalt der Grundfläche, die Mantelfläche und die Rechenschritte werden ebenfalls angezeigt: So prüfen Sie nicht nur das Ergebnis, sondern auch den Rechenweg
- Eine verständliche Erklärung, warum der Satz des Pythagoras vorkommt und wie sich Höhe und Seitenhöhe unterscheiden, sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Geben Sie die Seitenlänge der Grundfläche und die Höhe in derselben Einheit ein (beide in cm oder beide in m). Die Höhe ist der senkrechte Abstand von der Grundfläche bis zur Spitze (nicht die Länge einer schrägen Kante und auch keine Länge entlang einer Seitenfläche). Die Seite geht von einer geraden Pyramide aus, deren Spitze genau über der Mitte der Grundfläche liegt (anders als beim Volumen ändert sich die Oberfläche, wenn die Spitze verschoben ist). Die Oberfläche anderer Körper wie Kegel und Quader behandeln eigene Seiten.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Fläche der Verkleidung abschätzen, die eine Pyramide bedeckte (Geschichte)
Die Große Pyramide von Gizeh (die Cheops-Pyramide) ist fast eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche, mit etwa 230 m Seitenlänge und ursprünglich etwa 147 m Höhe. Früher war sie mit weißen Kalksteinblöcken verkleidet, der „Verkleidung“. Ihre Fläche (die Mantelfläche) beträgt etwa \(2 \times 230 \times 187 \approx 86.000\,\mathrm{m^2}\), denn die Seitenhöhe ist \(\sqrt{115^2 + 147^2} \approx 187\,\mathrm{m}\): etwa 12 Fußballfelder.
Die echte Oberfläche ist gestuft, und die Verkleidung ist fast ganz verschwunden: Es ist also eine Schätzung. Aber allein die Formel für die Mantelfläche genügt, um den Umfang einer antiken Baustelle zu beziffern (die Grundfläche liegt auf dem Boden: Bei einem Gebäude betrachtet man normalerweise nur die Mantelfläche).
Den Stoff für ein Tipi-Zelt abschätzen (Camping)
Ein Zelt mit einer Mittelstange (Tipi- oder Pyramidenzelt) hat fast die Form einer quadratischen Pyramide, wenn sein Boden quadratisch ist. Bei einem Boden von 3 m × 3 m und einer 2 m hohen Stange ist die Seitenhöhe \(\sqrt{1{,}5^2 + 2^2} = 2{,}5\,\mathrm{m}\) und der Stoff für die Seiten \(2 \times 3 \times 2{,}5 = 15\,\mathrm{m^2}\). Mit der Bodenplane sind es \(15 + 9 = 24\,\mathrm{m^2}\).
Die Stofffläche zu kennen hilft abzuschätzen, wie viel Imprägnierspray man kaufen muss, wie viel Nahtband für die Nähte nötig ist oder wie schwer der Stoff ist (viele echte Zelte haben unten kleine senkrechte Wände: Es ist also eine Schätzung).
Die Dacheindeckung eines Zeltdachs abschätzen (Bau)
Ein Zeltdach (auch Pyramidendach) über einem quadratischen Gebäude, mit vier dreieckigen Flächen, hat genau die Form der 4 Seitenflächen einer quadratischen Pyramide. Bei einem Dach von 6 m × 6 m und 2 m Höhe ist die Seitenhöhe \(\sqrt{3^2 + 2^2} \approx 3{,}61\,\mathrm{m}\) und die Dachfläche etwa \(2 \times 6 \times 3{,}61 \approx 43\,\mathrm{m^2}\).
Diese Fläche dient dazu, die Menge an Dachziegeln, Schiefer, Zinkblech oder Unterspannbahn und den Preis eines Sanierungsangebots zu berechnen (ein echtes Dach ist wegen des Dachüberstands größer: Es ist nur eine Größenordnung). Ein Dach hat immer mehr Fläche als seine flach gemessene Grundfläche, und diese Formel zählt diesen Zuschlag richtig mit.
Eine Standardaufgabe aus der Klassenarbeit lösen (Schule)
In der Mittelstufe berechnet man die Oberfläche einer geraden Pyramide anhand ihres Netzes, und Aufgaben mit der Seitenhöhe gehören zusammen mit dem Satz des Pythagoras (Klasse 9) zu den Klassikern der Klassenarbeiten. Zum Beispiel: „Wie groß ist die Oberfläche einer geraden quadratischen Pyramide mit 6 cm Seitenlänge und 4 cm Höhe?“ Die Seitenhöhe ist \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\mathrm{cm}\), also ist die Oberfläche \(36 + 6 \times 5 \div 2 \times 4 = 96\,\mathrm{cm^2}\).
Der häufigste Fehler ist, für den Flächeninhalt der Dreiecke die Höhe der Pyramide statt der Seitenhöhe zu nehmen. Merken Sie sich „Höhe einer Seitenfläche = Seitenhöhe“, und diese Punkte sind Ihnen sicher.
Formeln und Abbildungen
Oberfläche der quadratischen Pyramide (Grundfläche + Mantelfläche)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(S_1\)
\(+\)
\(S_2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S\): Oberfläche der Pyramide
\(=\)
①
\(S_1\): Flächeninhalt der Grundfläche
\(+\)
②
\(S_2\): Mantelfläche
Die Formel in Worten
①
Zum
\(S_1\): Flächeninhalt der Grundfläche
②
addieren Sie die
\(S_2\): Mantelfläche
und Sie erhalten die
③
\(S\): Oberfläche der Pyramide
Einfaches Beispiel
Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide mit 6 cm Seitenlänge und 4 cm Höhe (Grundfläche 36 cm², Mantelfläche 60 cm²; wie man sie erhält, zeigen die Formeln 2 bis 4 unten) beträgt
\(S\): Oberfläche der Pyramide
\(=\)
Flächeninhalt der Grundfläche (36 cm²)
\(+\)
Mantelfläche (60 cm²)
\(36 + 60 = 96\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Die Oberfläche ist der Flächeninhalt der gesamten Außenfläche eines Körpers, also die Summe der Flächeninhalte seines Netzes (der ebenen Figur, die entsteht, wenn man den Körper aufschneidet und flach ausbreitet). Das Netz einer quadratischen Pyramide besteht aus „1 Quadrat (der Grundfläche) + 4 kongruenten gleichschenkligen Dreiecken (den Seitenflächen)“: Die Oberfläche ist also der Flächeninhalt der Grundfläche plus die Mantelfläche (die Summe der 4 Dreiecke).
Wollen Sie nur den Flächeninhalt der 4 Dreiecke (die Mantelfläche), nehmen Sie \(S_2\) vor der Addition. Sie zählt bei allem, was keinen Boden hat, etwa dem Stoff eines Zeltes oder der Fläche eines Daches.
Flächeninhalt der Grundfläche (Flächeninhalt des Quadrats)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_1\)
\(=\)
\(a\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S_1\): Flächeninhalt der Grundfläche
\(=\)
①
\(a\): Seitenlänge der Grundfläche
②
zum Quadrat (die Länge mit sich selbst multipliziert)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(a\): Seitenlänge der Grundfläche
②
und zwar
zum Quadrat (die Länge mit sich selbst multipliziert)
und Sie erhalten den
③
\(S_1\): Flächeninhalt der Grundfläche
Einfaches Beispiel
Der Flächeninhalt der Grundfläche einer quadratischen Pyramide mit 6 cm Seitenlänge beträgt
\(S_1\): Flächeninhalt der Grundfläche
\(=\)
Seitenlänge der Grundfläche (6 cm)
zum Quadrat
\(6 \times 6 = 36\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Die Grundfläche ist ein Quadrat, ihr Flächeninhalt ist also „Seite × Seite“. Man multipliziert dieselbe Zahl mit sich selbst, das schreibt sich \(a^2\) (\(a\) zum Quadrat). Bei einer rechteckigen Grundfläche (Länge und Breite verschieden) verwenden Sie nicht die Formel dieser Seite: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Grundfläche als „Länge × Breite“ und behandeln Sie die Seitenflächen als zwei verschiedene Sorten von Dreiecken.
Die Seitenhöhe (Höhe einer Seitenfläche) mit dem Satz des Pythagoras bestimmen
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\left(\dfrac{a}{2}\right)^{\!2}\)
\(+\)
\(h^2\)
\(=\)
\(l^2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
halbe Seite, \(\dfrac{a}{2}\), zum Quadrat
\(+\)
②
Höhe \(h\) zum Quadrat
\(=\)
③
Seitenhöhe \(l\) zum Quadrat
Die Formel in Worten
①
Zur
halben Seite, \(\dfrac{a}{2}\), zum Quadrat
②
addieren Sie die
Höhe \(h\) zum Quadrat
und Sie erhalten die
③
Seitenhöhe \(l\) zum Quadrat
(nehmen Sie zum Schluss die Quadratwurzel, um die Seitenhöhe \(l\) selbst zu erhalten)
Einfaches Beispiel
Die Seitenhöhe einer quadratischen Pyramide mit 6 cm Seitenlänge und 4 cm Höhe beträgt
halbe Seite (3 cm) zum Quadrat
\(+\)
Höhe (4 cm) zum Quadrat
\(=\)
Seitenhöhe zum Quadrat
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(l = \sqrt{25} = 5\,\mathrm{cm}\)
Der Kerngedanke
Die Seitenhöhe \(l\) ist die Länge der Strecke, die von der Spitze einer dreieckigen Seitenfläche senkrecht zu ihrer Grundseite gezogen wird: die Höhe einer Seitenfläche. Sie unterscheidet sich von der Höhe \(h\) der Pyramide (dem senkrecht von der Grundfläche bis zur Spitze gemessenen Abstand): Verwechseln Sie beide nicht.
Im Inneren der Pyramide steckt ein rechtwinkliges Dreieck, dessen drei Seiten die Höhe \(h\), der Abstand \(\dfrac{a}{2}\) von der Mitte der Grundfläche zur Mitte einer Seite und die Seitenhöhe \(l\) sind. Der Zusammenhang der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Satz des Pythagoras, und diese Formel wendet ihn an. Die Formeln zum Kopieren unten sind nach \(l\) aufgelöst, einschließlich der Quadratwurzel: \(l = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\).
Mantelfläche (4 kongruente Dreiecke)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_2\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(l\)
\(\div\)
\(2\)
\(\times\)
\(4\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S_2\): Mantelfläche
\(=\)
①
\(a\): Seitenlänge der Grundfläche
\(\times\)
②
\(l\): Seitenhöhe
\(\div\)
③
\(2\): Halbierung
\(\times\)
④
\(4\): Anzahl der Seitenflächen
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(a\): Seitenlänge der Grundfläche
②
mal die
\(l\): Seitenhöhe
,
③
teilen Sie durch
\(2\): Halbierung
für den Flächeninhalt einer dreieckigen Seitenfläche,
④
und multiplizieren Sie dann mit
\(4\): Anzahl der Seitenflächen
und Sie erhalten die
⑤
\(S_2\): Mantelfläche
Einfaches Beispiel
Bei einer Seitenlänge der Grundfläche von 6 cm und einer Seitenhöhe von 5 cm (die Pyramide mit 4 cm Höhe; wie man die Seitenhöhe erhält, zeigt Formel 3) beträgt die Mantelfläche
\(S_2\): Mantelfläche
\(=\)
Seitenlänge der Grundfläche (6 cm)
\(\times\)
Seitenhöhe (5 cm)
\(\div\)
Halbierung (2)
\(\times\)
Anzahl der Seitenflächen (4)
\(6 \times 5 \div 2 = 15\,\mathrm{cm^2}\)
\(15 \times 4 = 60\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Die Seitenflächen sind 4 kongruente gleichschenklige Dreiecke mit der Grundseite \(a\) und der Höhe \(l\) (der Seitenhöhe). Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel „Grundseite × Höhe ÷ 2“ und multipliziert dann mit 4. Der Hauptstolperstein: Die „Höhe“ des Dreiecks ist hier die Seitenhöhe \(l\) und nicht die Höhe \(h\) der Pyramide.
„\(\div 2 \times 4\)“ vereinfacht sich zu „\(\times 2\)“: Die Formeln zum Kopieren verwenden deshalb die einfachere Form \(S_2 = 2al\).
Die Gesamtformel (nur mit Seitenlänge und Höhe)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(a^2\)
\(+\)
\(2a\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^{\!2} + h^2}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S\): Oberfläche der Pyramide
\(=\)
①
Flächeninhalt der Grundfläche (Seite \(a\) zum Quadrat)
\(+\)
②
Mantelfläche \(2al\)
Die Formel in Worten
①
Zum
Flächeninhalt der Grundfläche (Seite \(a\) zum Quadrat)
②
addieren Sie die
Mantelfläche \(2al\)
(wobei die Seitenhöhe \(l\) durch die Quadratwurzel aus Formel 3 ersetzt ist, \(\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\)) und Sie erhalten die
③
\(S\): Oberfläche der Pyramide
Einfaches Beispiel
Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide mit 6 cm Seitenlänge und 4 cm Höhe beträgt, in einer einzigen Formel gerechnet,
\(S\): Oberfläche der Pyramide
\(=\)
Flächeninhalt der Grundfläche (6 cm zum Quadrat)
\(+\)
Mantelfläche (2 × 6 cm × Seitenhöhe)
\(l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(S = 6^2 + 2 \times 6 \times 5 = 36 + 60 = 96\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Diese Formel setzt die Formeln 2 bis 4 in Formel 1 ein und fasst sie zu einer zusammen; viele Mathematikbücher zeigen sie in dieser Form. Praktisch ist sie, wenn Sie alles auf einmal in einen Taschenrechner oder ein Programm eintippen wollen.
Von Hand rechnen Sie besser Schritt für Schritt wie in den Formeln 2 bis 4 (Grundfläche → Seitenhöhe → Mantelfläche → Summe): So lässt sich die Rechnung unterwegs leichter überprüfen.
Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide ist „Flächeninhalt der Grundfläche (Seite × Seite) + Mantelfläche (Seite × Seitenhöhe ÷ 2 × 4 Dreiecke)“. Die Seitenhöhe (die Höhe einer dreieckigen Seitenfläche) berechnet man aus der halben Seite und der Höhe mit dem Satz des Pythagoras. Die Höhe der Pyramide und die Seitenhöhe sind zwei verschiedene Längen: Für den Flächeninhalt der Dreiecke nehmen Sie immer die Seitenhöhe. Das Ergebnis steht in der Längeneinheit hoch 2 (bei cm also in cm²).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Der hier verwendete Buchstabe für die Oberfläche (deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(O\)). Auf dieser Seite ist es die Oberfläche der quadratischen Pyramide. |
| \(S_1\) | S eins | Der Buchstabe für den Flächeninhalt der Grundfläche (den Flächeninhalt des Grundquadrats); deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(G\). Es ist \(S_1 = a^2\). |
| \(S_2\) | S zwei | Der Buchstabe für die Mantelfläche (den Flächeninhalt der 4 dreieckigen Seitenflächen); deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(M\). Es ist \(S_2 = 2al\) (Seite × Seitenhöhe ÷ 2 × 4 Dreiecke). |
| \(a\) | a | Die Länge einer Seite des Grundquadrats. Länge und Breite der Grundfläche sind gleich, ein Buchstabe genügt also. |
| \(a^2\) | a Quadrat | Die Zahl \(a\) mit sich selbst multipliziert (\(a \times a\)). Die kleine 2 oben rechts ist ein Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“. Auf dieser Seite ist es der Flächeninhalt der Grundfläche (der Flächeninhalt des Quadrats). |
| \(h\) | h | Die Höhe der Pyramide (h wie „Höhe“). Sie wird gerade (senkrecht) von der Grundfläche bis zur Spitze gemessen und ist etwas anderes als eine schräge Kante oder die Seitenhöhe. |
| \(l\) | l | Der Buchstabe für die Seitenhöhe (die Höhe einer dreieckigen Seitenfläche). Man berechnet sie mit \(l = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\). |
| \(\sqrt{\ }\) | Wurzel (Wurzelzeichen) | Das Zeichen für die Quadratwurzel (die nichtnegative Zahl, deren Quadrat die Zahl unter dem Wurzelzeichen ergibt). Zum Beispiel \(\sqrt{25} = 5\), weil 5 zum Quadrat 25 ergibt. Es wird im letzten Schritt der Berechnung der Seitenhöhe gebraucht. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 cm². Nicht zu verwechseln mit cm³ (Kubikzentimeter), der Einheit für das Volumen. |
| \(\mathrm{m^2}\) | Quadratmeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 m Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 m², und \(1\,\mathrm{m^2} = 10.000\,\mathrm{cm^2}\) (der Umrechnungsfaktor der Länge, 100, zum Quadrat). |
Begriffe
| quadratische Pyramide | Ein Körper mit einem Viereck als Grundfläche, der in einer einzigen Spitze zuläuft. Diese Seite behandelt Pyramiden mit einem Quadrat als Grundfläche (die klassische Pyramidenform). |
| gerade Pyramide | Eine Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck (hier ein Quadrat) ist und deren Spitze genau über der Mitte der Grundfläche liegt. Die Pyramiden Ägyptens haben diese Form. Die Formeln für die Oberfläche auf dieser Seite setzen eine gerade Pyramide voraus (liegt die Spitze daneben, sind die 4 Dreiecke nicht mehr kongruent, und die Oberfläche ändert sich). |
| Oberfläche | Der Flächeninhalt der gesamten Außenfläche eines Körpers. Sie ist gleich der Summe der Flächeninhalte seines Netzes; bei einer quadratischen Pyramide ist sie „Grundfläche + Mantelfläche“. Sie ist eine andere Größe als das Volumen, das den Platz im Inneren angibt. |
| Flächeninhalt der Grundfläche | Der Flächeninhalt der unteren Fläche (der Grundfläche) eines Körpers. Bei einer quadratischen Pyramide ist es der Flächeninhalt des Grundquadrats (Seite × Seite). |
| Mantelfläche | Die Summe der Flächeninhalte der Seitenflächen eines Körpers (aller Flächen außer der Grundfläche). Bei einer quadratischen Pyramide sind es 4 kongruente gleichschenklige Dreiecke, und man berechnet sie als „Seite × Seitenhöhe ÷ 2 × 4“. |
| Seitenhöhe | Bei einer geraden Pyramide die Länge der Strecke, die von der Spitze einer dreieckigen Seitenfläche senkrecht zu ihrer Grundseite gezogen wird (die Höhe einer Seitenfläche). Sie unterscheidet sich von der Höhe der Pyramide und wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet: \(\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = l^2\). |
| Netz | Die ebene Figur, die entsteht, wenn man einen Körper entlang seiner Kanten aufschneidet und flach ausbreitet. Das Netz einer quadratischen Pyramide besteht aus „1 Quadrat und 4 gleichschenkligen Dreiecken“, und die Summe ihrer Flächeninhalte ist die Oberfläche. |
| Satz des Pythagoras | Der Satz, nach dem in einem rechtwinkligen Dreieck gilt: „Die Summe der Quadrate der beiden Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.“ Auf dieser Seite wird er auf das rechtwinklige Dreieck aus der Höhe, der halben Seite und der Seitenhöhe angewendet, um die Seitenhöhe zu finden. |
| kongruent | So nennt man Figuren, die genau dieselbe Form und Größe haben (deckungsgleich). Die 4 Seitenflächen einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche sind kongruente gleichschenklige Dreiecke: Der Flächeninhalt einer Fläche mal 4 ergibt die Mantelfläche. |
Was Sie vorab wissen sollten
Das hilft Ihnen, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen, statt nur die Schaltfläche zu drücken.
| Das Multiplizieren und Dividieren – Klasse 3–4 (8–10 Jahre) |
|
| Der Flächeninhalt des Quadrats – Klasse 4–5 (9–11 Jahre) |
|
| Der Flächeninhalt des Dreiecks – Klasse 6 (11–12 Jahre) |
|
| Die Pyramide und ihr Netz – Klasse 5–9 (10–15 Jahre) |
|
| Der Satz des Pythagoras – Klasse 9 (14–15 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Oberfläche einer quadratischen Pyramide (Grundfläche + Mantelfläche)
| Flächeninhalt der Grundfläche (cm²) | 36 |
| Mantelfläche (cm²) | 60 |
| Oberfläche (cm²) | =B1+B2 |
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche (Flächeninhalt des Quadrats)
| Seitenlänge der Grundfläche (cm) | 6 |
| Flächeninhalt der Grundfläche (cm²) | =B1^2 |
Tabelle zur Berechnung der Seitenhöhe (Höhe einer Seitenfläche)
| Seitenlänge der Grundfläche (cm) | 6 |
| Höhe (cm) | 4 |
| Seitenhöhe (cm) | =WURZEL((B1/2)^2+B2^2) |
Tabelle zur Berechnung der Mantelfläche (die 4 Dreiecke)
| Seitenlänge der Grundfläche (cm) | 6 |
| Seitenhöhe (cm) | 5 |
| Mantelfläche (cm²) | =B1*B2/2*4 |
Tabelle zur Gesamtformel (mit Seitenlänge und Höhe)
| Seitenlänge der Grundfläche (cm) | 6 |
| Höhe (cm) | 4 |
| Oberfläche (cm²) | =B1^2+2*B1*WURZEL((B1/2)^2+B2^2) |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formeln in den unteren Zeilen rechnen daraus automatisch.
In einer Formel bedeuten „B1“ und „B2“ „die Zahl in dieser Zelle verwenden“. „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division, „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird) und „WURZEL“ die Funktion für die Quadratwurzel.
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel 36 + 60 = 96 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die dritte Tabelle zeigt in B3 den Wert 5, die vierte in B3 den Wert 60 und die fünfte in B3 den Wert 96. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
In einer Formel bedeuten „B1“ und „B2“ „die Zahl in dieser Zelle verwenden“. „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division, „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird) und „WURZEL“ die Funktion für die Quadratwurzel.
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel 36 + 60 = 96 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die dritte Tabelle zeigt in B3 den Wert 5, die vierte in B3 den Wert 60 und die fünfte in B3 den Wert 96. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Oberfläche einer quadratischen Pyramide (Grundfläche + Mantelfläche)
| Flächeninhalt der Grundfläche (cm²) | 36 |
| Mantelfläche (cm²) | 60 |
| Oberfläche (cm²) | =B1+B2 |
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche (Flächeninhalt des Quadrats)
| Seitenlänge der Grundfläche (cm) | 6 |
| Flächeninhalt der Grundfläche (cm²) | =B1^2 |
Tabelle zur Berechnung der Seitenhöhe (Höhe einer Seitenfläche)
| Seitenlänge der Grundfläche (cm) | 6 |
| Höhe (cm) | 4 |
| Seitenhöhe (cm) | =WURZEL((B1/2)^2+B2^2) |
Tabelle zur Berechnung der Mantelfläche (die 4 Dreiecke)
| Seitenlänge der Grundfläche (cm) | 6 |
| Seitenhöhe (cm) | 5 |
| Mantelfläche (cm²) | =B1*B2/2*4 |
Tabelle zur Gesamtformel (mit Seitenlänge und Höhe)
| Seitenlänge der Grundfläche (cm) | 6 |
| Höhe (cm) | 4 |
| Oberfläche (cm²) | =B1^2+2*B1*WURZEL((B1/2)^2+B2^2) |
Dieselben Formeln wie in Excel (einschließlich der Funktion WURZEL) funktionieren unverändert in Google Tabellen auf Deutsch. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
Mit Python berechnen
import math
a = 6 # Seitenlänge der Grundfläche (in diesem Beispiel in cm)
h = 4 # Höhe (senkrecht, von der Grundfläche bis zur Spitze; dieselbe Einheit wie a)
base_area = a ** 2 # Flächeninhalt der Grundfläche (Flächeninhalt des Quadrats)
slant_height = math.sqrt((a / 2) ** 2 + h ** 2) # Seitenhöhe (Satz des Pythagoras)
lateral_area = a * slant_height / 2 * 4 # Mantelfläche (1 Dreieck x 4)
total_area = base_area + lateral_area # Oberfläche der Pyramide
print(f"Grundfläche: {base_area} cm2")
print(f"Seitenhöhe: {slant_height} cm")
print(f"Mantelfläche: {lateral_area} cm2")
print(f"Oberfläche: {total_area} cm2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „**“ ist die Potenz (hier zum Quadrat), „math.sqrt“ die Quadratwurzel, „*“ die Multiplikation und „/“ die Division. Ändern Sie am Anfang Seitenlänge und Höhe und führen Sie den Code aus (dieses Beispiel zeigt eine Grundfläche von 36, eine Seitenhöhe von 5, eine Mantelfläche von 60 und eine Oberfläche von 96).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Oberfläche der quadratischen Pyramide (Grundfläche + Mantelfläche)
S = S₁ + S₂
S = S_{1} + S_{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
S = S_1 + S_2
s1 + s2
S := S1 + S2;
S = S1 + S2;
S = S_1 + S_2
Flächeninhalt der Grundfläche (Flächeninhalt des Quadrats)
S₁ = a²
S_{1} = a^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_1 = a^2
a^2
S1 := a^2;
S1 = a^2;
S_1 = a^2
Die Seitenhöhe (Höhe einer Seitenfläche) mit dem Satz des Pythagoras bestimmen
l = √((a/2)² + h²)
l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>h</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
l = sqrt((a/2)^2 + h^2)
Sqrt[(a/2)^2 + h^2]
l := sqrt((a/2)^2 + h^2);
l = sqrt((a/2)^2 + h^2);
l = √((a/2)^2 + h^2)
Mantelfläche (4 kongruente Dreiecke)
S₂ = 2·a·l
S_{2} = 2al
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
<msub><mi>h</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></msub>
</mrow>
</math>
S_2 = 2 a l
2*a*l
S2 := 2*a*l;
S2 = 2*a*l;
S_2 = 2al
Die Gesamtformel (nur mit Seitenlänge und Höhe)
S = a² + 2a√((a/2)² + h²)
S = a^{2} + 2a\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S = a^2 + 2 a sqrt((a/2)^2 + h^2)
a^2 + 2*a*Sqrt[(a/2)^2 + h^2]
S := a^2 + 2*a*sqrt((a/2)^2 + h^2);
S = a^2 + 2*a*sqrt((a/2)^2 + h^2);
S = a^2 + 2a√((a/2)^2 + h^2)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht im Kopf oder nach Gefühl). Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat mit 6 cm Seitenlänge und eine Höhe von 4 cm. Berechnen Sie: 1. den Flächeninhalt der Grundfläche dieser Pyramide in cm² 2. die Seitenhöhe dieser Pyramide (die Höhe einer dreieckigen Seitenfläche) in cm (Seitenhöhe = √((halbe Seite)² + Höhe²)) 3. die Mantelfläche dieser Pyramide in cm² (Mantelfläche = Seite × Seitenhöhe ÷ 2 × 4) 4. die Oberfläche dieser Pyramide in cm² (Oberfläche = Grundfläche + Mantelfläche) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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