Geben Sie die Grundkante und die Höhe einer quadratischen Pyramide ein. Angezeigt werden die Oberfläche (Grundfläche + Mantelfläche) und die Zwischenwerte Seitenhöhe, Grundfläche und Mantelfläche.
Geben Sie Grundkante und Höhe in derselben Einheit und nur als Zahl ein (ohne Einheit – für 6 cm also „6“). Die Höhe ist der senkrechte Abstand von der Grundfläche bis zur Spitze (nicht die Seitenhöhe, also die Höhe der dreieckigen Seitenfläche).
Ergebnis und Figur
Geben Sie links Grundkante und Höhe ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und 3D-Pyramide erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
-
So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Das können Sie auf dieser Seite
- Grundkante und Höhe eingeben – und Sie kennen sofort die Oberfläche der quadratischen Pyramide (Grundfläche + Mantelfläche)
- Die eingegebene Pyramide erscheint als 3D-Figur, die Sie mit Maus oder Finger drehen können
- Auch die Höhe der Seitenfläche, die Grundfläche, die Mantelfläche und der Rechenweg werden angezeigt – Sie sehen also, wie das Ergebnis zustande kommt
- Dazu: verständliche Erklärung, warum der Satz des Pythagoras vorkommt und was Körperhöhe und Seitenhöhe unterscheidet, sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Geben Sie Grundkante und Höhe in derselben Einheit ein (beide in cm oder beide in m). Die Höhe ist der senkrechte Abstand von der Grundfläche bis zur Spitze – nicht die Länge einer schrägen Kante oder einer Seitenfläche entlang. Die Seite geht von einer geraden quadratischen Pyramide aus, deren Spitze genau über der Mitte liegt (anders als beim Volumen ändert sich die Oberfläche, wenn die Spitze verschoben ist). Die Oberfläche anderer Körper wie Kegel oder Quader berechnen Sie auf eigenen Seiten.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Fläche der Verkleidungssteine der Cheops-Pyramide abschätzen (Geschichte)
Die Cheops-Pyramide in Gizeh ist fast eine gerade quadratische Pyramide mit rund 230 m Grundkante und ursprünglich rund 147 m Höhe. Früher war sie mit weißen Kalkstein-Verkleidungssteinen bedeckt. Ihre Fläche (die Mantelfläche) ergibt sich mit der Seitenhöhe \(\sqrt{115^2 + 147^2} \approx 187\,\mathrm{m}\) zu etwa \(2 \times 230 \times 187 \approx 86000\,\mathrm{m^2}\) – das sind rund 12 Fußballfelder.
Die heutige Oberfläche ist stufig, und die Verkleidung ist fast ganz verschwunden; es bleibt also eine Schätzung. Trotzdem zeigt eine einzige Formel die Größenordnung dieser antiken Baustelle (bei Gebäuden zählt man meist nur die Mantelfläche, weil die Grundfläche auf dem Boden liegt).
Stofffläche eines Tipi- oder Pyramidenzelts abschätzen (Camping)
Ein Zelt mit einer einzigen Mittelstange (Tipi- oder Pyramidenzelt) ist bei quadratischem Boden fast eine quadratische Pyramide. Bei 3 m × 3 m Grundfläche und 2 m hoher Stange ist die Seitenhöhe \(\sqrt{1{,}5^2 + 2^2} = 2{,}5\,\mathrm{m}\), der Stoff der Seitenwände also \(2 \times 3 \times 2{,}5 = 15\,\mathrm{m^2}\); mit Zeltboden sind es \(15 + 9 = 24\,\mathrm{m^2}\).
Mit der Stofffläche schätzen Sie ab, wie viele Dosen Imprägnierspray Sie brauchen, wie viel Nahtband nötig ist oder wie schwer der Stoff etwa ist (viele Zelte haben unten kurze senkrechte Wände – es bleibt also eine Schätzung).
Dachfläche eines Zeltdachs für Ziegel und Blech berechnen (Bau)
Ein Zeltdach auf einem quadratischen Haus besteht genau aus den vier Seitenflächen einer quadratischen Pyramide. Bei 6 m × 6 m Grundfläche und 2 m Höhe ist die Seitenhöhe \(\sqrt{3^2 + 2^2} \approx 3{,}61\,\mathrm{m}\) und die Dachfläche etwa \(2 \times 6 \times 3{,}61 \approx 43\,\mathrm{m^2}\).
Aus der Dachfläche ergeben sich die Mengen an Dachziegeln, Blech und Unterspannbahn sowie die Kosten für einen neuen Anstrich (echte Dächer sind um den Dachüberstand größer, das Ergebnis ist also ein Richtwert). Ein Dach ist immer größer als die waagerecht gemessene Grundfläche – diese Formel zählt es richtig.
Typische Prüfungsaufgabe lösen (Schule)
Die Oberfläche der geraden quadratischen Pyramide kommt meist in Klasse 9 oder 10 (14–16 Jahre) dran; Aufgaben mit der Seitenhöhe verbinden sie mit dem Satz des Pythagoras und sind ein Klassiker in Klassenarbeiten und Abschlussprüfungen. Beispiel: „Wie groß ist die Oberfläche einer geraden quadratischen Pyramide mit 6 cm Grundkante und 4 cm Höhe?“ Mit der Seitenhöhe \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\mathrm{cm}\) ergibt sich \(36 + 6 \times 5 \div 2 \times 4 = 96\,\mathrm{cm^2}\).
Der häufigste Fehler: für die Dreiecksfläche die Höhe der Pyramide statt der Seitenhöhe nehmen. Merken Sie sich „Höhe des Seitendreiecks = Seitenhöhe“ – dann sitzen diese Punkte sicher.
Formeln und Abbildungen
Oberfläche der quadratischen Pyramide (Grundfläche plus Mantelfläche)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(S_1\)
\(+\)
\(S_2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S\): Oberfläche der Pyramide
\(=\)
①
\(S_1\): Grundfläche
\(+\)
②
\(S_2\): Mantelfläche
Die Formel in Worten
①
Addiert man zur
\(S_1\): Grundfläche
②
die
\(S_2\): Mantelfläche
③
, erhält man die
\(S\): Oberfläche der Pyramide
Einfaches Beispiel
Eine quadratische Pyramide mit 6 cm Grundkante und 4 cm Höhe (Grundfläche 36 cm², Mantelfläche 60 cm² – wie man sie berechnet, zeigen die Formeln 2 bis 4) hat die Oberfläche
\(S\): Oberfläche der Pyramide
\(=\)
Grundfläche (36 cm²)
\(+\)
Mantelfläche (60 cm²)
\(36 + 60 = 96\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Die Oberfläche ist der Flächeninhalt der gesamten Außenhaut eines Körpers – also die Summe aller Flächen im Netz (dem aufgeklappten, flach ausgebreiteten Körper). Das Netz einer quadratischen Pyramide besteht aus einem Quadrat (der Grundfläche) und vier kongruenten gleichschenkligen Dreiecken (den Seitenflächen). Die Oberfläche ist daher Grundfläche plus Mantelfläche (die vier Dreiecke zusammen). In deutschen Schulbüchern steht das als \(O = G + M\).
Brauchen Sie nur die Fläche der vier Dreiecke, nehmen Sie \(S_2\) vor dem Addieren – zum Beispiel für Zeltstoff oder eine Dachfläche, bei denen es keinen Boden gibt.
Grundfläche (Fläche des Quadrats)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S_1\)
\(=\)
\(a\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S_1\): Grundfläche
\(=\)
①
\(a\): Grundkante
②
hoch 2 (die Länge mit sich selbst malnehmen)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man die
\(a\): Grundkante
②
hoch 2 (die Länge mit sich selbst malnehmen)
③
, erhält man die
\(S_1\): Grundfläche
Einfaches Beispiel
Eine quadratische Pyramide mit 6 cm Grundkante hat die Grundfläche
\(S_1\): Grundfläche
\(=\)
Grundkante (6 cm)
hoch 2
\(6 \times 6 = 36\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Die Grundfläche ist ein Quadrat, ihr Flächeninhalt also „Seite × Seite“. Weil dieselbe Zahl zweimal multipliziert wird, schreibt man \(a^2\) (\(a\) hoch 2). Bei einer rechteckigen Grundfläche (Länge und Breite verschieden) gilt diese Seite nicht: Dann berechnen Sie die Grundfläche mit „Länge × Breite“ und müssen auch die Seitenflächen in zwei verschiedene Dreiecksarten aufteilen.
Höhe der Seitenfläche mit dem Satz des Pythagoras
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\left(\dfrac{a}{2}\right)^{\!2}\)
\(+\)
\(h^2\)
\(=\)
\(l^2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(\dfrac{a}{2}\): halbe Grundkante, hoch 2
\(+\)
②
\(h\): Höhe, hoch 2
\(=\)
③
\(l\): Seitenhöhe, hoch 2
Die Formel in Worten
①
Addiert man
\(\dfrac{a}{2}\): halbe Grundkante, hoch 2
②
und
\(h\): Höhe, hoch 2
③
, erhält man
\(l\): Seitenhöhe, hoch 2
(zieht man daraus die Wurzel, erhält man die Seitenhöhe \(l\) selbst)
Einfaches Beispiel
Eine quadratische Pyramide mit 6 cm Grundkante und 4 cm Höhe hat die Seitenhöhe
halbe Grundkante (3 cm) hoch 2
\(+\)
Höhe (4 cm) hoch 2
\(=\)
Seitenhöhe hoch 2
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(l = \sqrt{25} = 5\,\mathrm{cm}\)
Der Grundgedanke
Die Seitenhöhe \(l\) ist die Strecke von der Spitze einer dreieckigen Seitenfläche senkrecht hinunter zu ihrer Grundseite – also die Höhe des Seitendreiecks. In deutschen Schulbüchern heißt sie meist \(h_s\) oder \(h_a\). Sie ist etwas anderes als die Höhe \(h\) der Pyramide (der senkrechte Abstand von der Grundfläche bis zur Spitze); verwechseln Sie die beiden nicht.
In der Pyramide steckt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten „Höhe \(h\)“, „Abstand von der Mitte der Grundfläche bis zur Mitte einer Kante, \(\dfrac{a}{2}\)“ und „Seitenhöhe \(l\)“. Für die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gilt der Satz des Pythagoras – genau das ist diese Formel. Zum Kopieren steht sie unten nach \(l\) aufgelöst: \(l = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\).
Mantelfläche (4 kongruente Dreiecke)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S_2\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(l\)
\(\div\)
\(2\)
\(\times\)
\(4\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S_2\): Mantelfläche
\(=\)
①
\(a\): Grundkante
\(\times\)
②
\(l\): Seitenhöhe
\(\div\)
③
\(2\): halbieren
\(\times\)
④
\(4\): Anzahl der Seitenflächen
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(a\): Grundkante
②
mit der
\(l\): Seitenhöhe
③
und teilt durch
\(2\): halbieren
, erhält man die Fläche eines Seitendreiecks. Mal
④
\(4\): Anzahl der Seitenflächen
⑤
ergibt das die
\(S_2\): Mantelfläche
Einfaches Beispiel
Bei 6 cm Grundkante und 5 cm Seitenhöhe (die Pyramide mit 4 cm Höhe; die Seitenhöhe stammt aus Formel 3) ist die Mantelfläche
\(S_2\): Mantelfläche
\(=\)
Grundkante (6 cm)
\(\times\)
Seitenhöhe (5 cm)
\(\div\)
halbieren (2)
\(\times\)
Anzahl der Seitenflächen (4)
\(6 \times 5 \div 2 = 15\,\mathrm{cm^2}\)
\(15 \times 4 = 60\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Die Seitenflächen sind vier kongruente gleichschenklige Dreiecke mit der Grundseite \(a\) und der Höhe \(l\) (Seitenhöhe). Mit der Dreiecksformel „Grundseite × Höhe : 2“ berechnen Sie ein Dreieck und nehmen es mal 4. Die häufigste Falle: Die „Höhe“ des Dreiecks ist die Seitenhöhe \(l\), nicht die Höhe \(h\) der Pyramide.
„\(\div 2 \times 4\)“ ist zusammengefasst „\(\times 2\)“, deshalb steht die Formel zum Kopieren kurz als \(S_2 = 2al\) da (im Schulbuch \(M = 2 \cdot a \cdot h_s\)).
Alles in einer Formel (nur aus Grundkante und Höhe)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(a^2\)
\(+\)
\(2a\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^{\!2} + h^2}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S\): Oberfläche der Pyramide
\(=\)
①
Grundfläche (Grundkante \(a\) hoch 2)
\(+\)
②
Mantelfläche \(2al\)
Die Formel in Worten
①
Addiert man zur
Grundfläche (Grundkante \(a\) hoch 2)
②
die
Mantelfläche \(2al\)
(für die Seitenhöhe \(l\) steht direkt die Wurzel \(\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\) aus Formel 3)
③
, erhält man die
\(S\): Oberfläche der Pyramide
Einfaches Beispiel
Die Oberfläche der quadratischen Pyramide mit 6 cm Grundkante und 4 cm Höhe, in einer Formel gerechnet
\(S\): Oberfläche der Pyramide
\(=\)
Grundfläche (6 cm hoch 2)
\(+\)
Mantelfläche (2 × 6 cm × Seitenhöhe)
\(l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(S = 6^2 + 2 \times 6 \times 5 = 36 + 60 = 96\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Hier sind die Formeln 2 bis 4 in Formel 1 eingesetzt und zu einer einzigen Formel zusammengefasst – praktisch, wenn Sie alles auf einmal in den Taschenrechner oder ein Programm eingeben wollen.
Von Hand ist es besser, wie in den Formeln 2 bis 4 Schritt für Schritt zu rechnen: Grundfläche → Seitenhöhe → Mantelfläche → Summe. So lassen sich die Zwischenergebnisse leichter kontrollieren.
Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide ist „Grundfläche (Grundkante × Grundkante) + Mantelfläche (Grundkante × Seitenhöhe : 2 × 4)“. Die Seitenhöhe (Höhe der dreieckigen Seitenfläche) berechnen Sie aus halber Grundkante und Höhe mit dem Satz des Pythagoras. Höhe der Pyramide und Seitenhöhe sind verschieden – für die Dreiecksfläche immer die Seitenhöhe nehmen. Das Ergebnis steht in der Längeneinheit hoch 2 (bei cm also cm²).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Ein häufiges Zeichen für Flächen (von englisch surface bzw. lateinisch superficies). Hier steht es für die Oberfläche der Pyramide; deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(O\). |
| \(S_1\) | S eins | Steht hier für die Grundfläche (das Quadrat unten; im Schulbuch meist \(G\)). Die kleine 1 unten rechts ist ein Index und bedeutet „das erste \(S\)“. Es gilt \(S_1 = a^2\). |
| \(S_2\) | S zwei | Steht hier für die Mantelfläche (die vier Seitendreiecke zusammen; im Schulbuch meist \(M\)). Es gilt \(S_2 = 2al\) (Grundkante × Seitenhöhe : 2 × 4). |
| \(a\) | a | Die Grundkante, also die Seitenlänge des Quadrats unten. Länge und Breite der Grundfläche sind gleich, deshalb reicht ein Buchstabe. |
| \(a^2\) | a Quadrat (a hoch 2) | Die Zahl \(a\) mit sich selbst multipliziert (\(a \times a\)). Die kleine 2 oben rechts ist der Exponent. Hier ist das die Grundfläche (die Fläche des Quadrats). |
| \(h\) | h | Die Höhe der Pyramide (Körperhöhe, englisch height). Sie wird senkrecht von der Grundfläche bis zur Spitze gemessen und ist etwas anderes als eine schräge Kante oder die Seitenhöhe. |
| \(l\) | l | Steht hier für die Seitenhöhe (Höhe der dreieckigen Seitenfläche); im Schulbuch meist \(h_s\) oder \(h_a\). Man berechnet sie mit \(l = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\). |
| \(\sqrt{\ }\) | Wurzel (Wurzelzeichen) | Das Zeichen für die Quadratwurzel (die Zahl, deren Quadrat die Zahl unter der Wurzel ergibt). Beispiel: \(\sqrt{25} = 5\), denn 5 hoch 2 ist 25. Man braucht es im letzten Schritt für die Seitenhöhe. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Flächeneinheit. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat den Flächeninhalt 1 cm². Nicht verwechseln mit cm³ (Kubikzentimeter), der Einheit für Volumen. |
| \(\mathrm{m^2}\) | Quadratmeter | Eine Flächeneinheit. Ein Quadrat mit 1 m Seitenlänge hat den Flächeninhalt 1 m². Es gilt \(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\) (der Längenfaktor 100 zum Quadrat). |
Begriffe
| quadratische Pyramide | Eine Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche; die vier dreieckigen Seitenflächen laufen in einer Spitze zusammen. Das ist die klassische Pyramidenform. |
| gerade quadratische Pyramide | Eine quadratische Pyramide, deren Spitze genau über der Mitte der Grundfläche liegt – so wie die Pyramiden in Ägypten. Die Formeln auf dieser Seite setzen diese Form voraus (liegt die Spitze schief, sind die vier Dreiecke nicht mehr kongruent, und die Oberfläche ändert sich). |
| Oberfläche | Der Flächeninhalt der gesamten Außenseite eines Körpers (auch Oberflächeninhalt). Er ist gleich der Summe der Flächen im Netz; bei der Pyramide ist er „Grundfläche + Mantelfläche“. Nicht verwechseln mit dem Volumen, das den Rauminhalt angibt. |
| Grundfläche | Die Fläche, auf der ein Körper steht. Bei der quadratischen Pyramide ist es das Quadrat unten (Grundkante × Grundkante). |
| Mantelfläche | Die Summe der Seitenflächen eines Körpers (der „Mantel“). Bei der quadratischen Pyramide sind das vier kongruente gleichschenklige Dreiecke, also „Grundkante × Seitenhöhe : 2 × 4“. |
| Seitenhöhe | Die Höhe einer dreieckigen Seitenfläche, von deren Spitze senkrecht bis zur Grundkante (auch Höhe der Seitenfläche, \(h_s\)). Sie ist nicht die Höhe der Pyramide und wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet: \(\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = l^2\). |
| Netz | Der Körper entlang der Kanten aufgeschnitten und flach ausgebreitet. Das Netz einer quadratischen Pyramide besteht aus einem Quadrat und vier gleichschenkligen Dreiecken; zusammen ergeben sie die Oberfläche. |
| Satz des Pythagoras | Im rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Quadrate der beiden Katheten ergeben zusammen das Quadrat der Hypotenuse (\(a^2 + b^2 = c^2\)). Hier wendet man ihn auf das Dreieck aus Höhe, halber Grundkante und Seitenhöhe an. |
| kongruent | In Form und Größe genau gleich (deckungsgleich). Die vier Seitenflächen einer geraden quadratischen Pyramide sind kongruente gleichschenklige Dreiecke, deshalb ist die Mantelfläche einfach viermal ein Dreieck. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Multiplizieren und Dividieren (Klasse 3–4, 8–10 Jahre) |
|
| Flächeninhalt des Quadrats (Klasse 5, 10–11 Jahre) |
|
| Flächeninhalt des Dreiecks (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Pyramiden und ihr Netz (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Oberfläche (Grundfläche + Mantelfläche)
| Grundfläche (cm²) | 36 |
| Mantelfläche (cm²) | 60 |
| Oberfläche der Pyramide (cm²) | =B1+B2 |
Tabelle für die Grundfläche (Fläche des Quadrats)
| Grundkante a (cm) | 6 |
| Grundfläche (cm²) | =B1^2 |
Tabelle für die Seitenhöhe (Höhe der Seitenfläche)
| Grundkante a (cm) | 6 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Seitenhöhe (cm) | =WURZEL((B1/2)^2+B2^2) |
Tabelle für die Mantelfläche (4 Dreiecke)
| Grundkante a (cm) | 6 |
| Seitenhöhe (cm) | 5 |
| Mantelfläche (cm²) | =B1*B2/2*4 |
Tabelle für alles in einer Formel (aus Grundkante und Höhe)
| Grundkante a (cm) | 6 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Oberfläche der Pyramide (cm²) | =B1^2+2*B1*WURZEL((B1/2)^2+B2^2) |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“, „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen, „^“ für Potenzieren, und „WURZEL“ ist die Funktion für die Quadratwurzel.
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel 36 + 60 = 96 (in cm², weil in cm eingegeben). Die dritte Tabelle zeigt in B3 die 5, die vierte in B3 die 60 und die fünfte in B3 die 96. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Maße.
„B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“, „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen, „^“ für Potenzieren, und „WURZEL“ ist die Funktion für die Quadratwurzel.
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel 36 + 60 = 96 (in cm², weil in cm eingegeben). Die dritte Tabelle zeigt in B3 die 5, die vierte in B3 die 60 und die fünfte in B3 die 96. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Maße.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Oberfläche (Grundfläche + Mantelfläche)
| Grundfläche (cm²) | 36 |
| Mantelfläche (cm²) | 60 |
| Oberfläche der Pyramide (cm²) | =B1+B2 |
Tabelle für die Grundfläche (Fläche des Quadrats)
| Grundkante a (cm) | 6 |
| Grundfläche (cm²) | =B1^2 |
Tabelle für die Seitenhöhe (Höhe der Seitenfläche)
| Grundkante a (cm) | 6 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Seitenhöhe (cm) | =WURZEL((B1/2)^2+B2^2) |
Tabelle für die Mantelfläche (4 Dreiecke)
| Grundkante a (cm) | 6 |
| Seitenhöhe (cm) | 5 |
| Mantelfläche (cm²) | =B1*B2/2*4 |
Tabelle für alles in einer Formel (aus Grundkante und Höhe)
| Grundkante a (cm) | 6 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Oberfläche der Pyramide (cm²) | =B1^2+2*B1*WURZEL((B1/2)^2+B2^2) |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktion WURZEL) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Maße.
So berechnen Sie es in Python
import math
a = 6 # Grundkante (in diesem Beispiel in cm)
h = 4 # Höhe (senkrecht von der Grundfläche bis zur Spitze; dieselbe Einheit wie a)
base_area = a ** 2 # Grundfläche (Fläche des Quadrats)
slant_height = math.sqrt((a / 2) ** 2 + h ** 2) # Seitenhöhe (Satz des Pythagoras)
lateral_area = a * slant_height / 2 * 4 # Mantelfläche (ein Dreieck × 4)
total_area = base_area + lateral_area # Oberfläche der Pyramide
print(f"Grundfläche: {base_area} cm2")
print(f"Seitenhöhe: {slant_height} cm")
print(f"Mantelfläche: {lateral_area} cm2")
print(f"Oberfläche der Pyramide: {total_area} cm2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „**“ steht für Potenzieren (hier hoch 2), „math.sqrt“ für die Quadratwurzel, „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen. Ersetzen Sie oben Grundkante und Höhe durch Ihre Werte und führen Sie den Code aus (im Beispiel erscheinen Grundfläche 36, Seitenhöhe 5, Mantelfläche 60 und Oberfläche 96 – Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Oberfläche der quadratischen Pyramide (Grundfläche plus Mantelfläche)
S = S₁ + S₂
S = S_{1} + S_{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
S = S_1 + S_2
s1 + s2
S := S1 + S2;
S = S1 + S2;
S = S_1 + S_2
Grundfläche (Fläche des Quadrats)
S₁ = a²
S_{1} = a^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_1 = a^2
a^2
S1 := a^2;
S1 = a^2;
S_1 = a^2
Höhe der Seitenfläche mit dem Satz des Pythagoras
l = √((a/2)² + h²)
l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>l</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
l = sqrt((a/2)^2 + h^2)
Sqrt[(a/2)^2 + h^2]
l := sqrt((a/2)^2 + h^2);
l = sqrt((a/2)^2 + h^2);
l = √((a/2)^2 + h^2)
Mantelfläche (4 kongruente Dreiecke)
S₂ = 2al
S_{2} = 2al
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
<mi>l</mi>
</mrow>
</math>
S_2 = 2 a l
2*a*l
S2 := 2*a*l;
S2 = 2*a*l;
S_2 = 2al
Alles in einer Formel (nur aus Grundkante und Höhe)
S = a² + 2a√((a/2)² + h²)
S = a^{2} + 2a\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S = a^2 + 2 a sqrt((a/2)^2 + h^2)
a^2 + 2*a*Sqrt[(a/2)^2 + h^2]
S := a^2 + 2*a*sqrt((a/2)^2 + h^2);
S = a^2 + 2*a*sqrt((a/2)^2 + h^2);
S = a^2 + 2a√((a/2)^2 + h^2)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Eine gerade quadratische Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit 6 cm Seitenlänge und ist 4 cm hoch. Berechnen Sie: 1. die Grundfläche in cm² 2. die Höhe der Seitenfläche (Seitenhöhe) in cm (Seitenhöhe = √((halbe Grundkante)² + Höhe²)) 3. die Mantelfläche in cm² (Mantelfläche = Grundkante × Seitenhöhe : 2 × 4) 4. die Oberfläche in cm² (Oberfläche = Grundfläche + Mantelfläche) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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