Quartile berechnen (Boxplot, Quartilsabstand und Ausreißer)

Geben Sie Ihre Datenwerte durch Semikolons (;) oder Leerzeichen getrennt ein. Die Reihenfolge spielt keine Rolle (bei der Berechnung werden sie von klein nach groß geordnet).

Datenwerte (durch ; oder Leerzeichen getrennt)

Trennen Sie die Zahlen durch Semikolons oder Leerzeichen (eingefügte Daten mit einem Wert pro Zeile werden ebenfalls direkt berechnet). Negative Zahlen und Dezimalzahlen (3,5) sind erlaubt.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie im Feld links Ihre Datenwerte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Boxplot erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie Ihre Daten ein und erhalten Sie auf einmal das untere Quartil \(Q_1\), den Median (zweites Quartil) \(Q_2\), das obere Quartil \(Q_3\), den Quartilsabstand IQR, den halben Quartilsabstand, das Minimum und das Maximum
Aus dem Ergebnis wird sofort ein Boxplot gezeichnet (Sie können ihn als PNG oder SVG speichern)
Ausreißer (Werte unter \(Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\) oder über \(Q_3 + 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\)) werden automatisch erkannt und im Boxplot als einzelne Punkte dargestellt
Die Quartile werden mit dem Verfahren „Median der Hälften“ bestimmt, das in Schulbüchern gelehrt wird, und der Rechenweg (wie die Daten in eine untere Hälfte und eine obere Hälfte geteilt werden) wird ebenfalls angezeigt
Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Diese Seite konzentriert sich auf Quartile und Boxplots. Für den Mittelwert, den Modalwert oder die Spannweite (Maximum − Minimum) verwenden Sie die verwandte Seite „Mittelwert, Median, Modalwert und Spannweite berechnen“.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Testergebnisse als Verteilung betrachten (Schule und Prüfungen)

Der Klassendurchschnitt allein verrät nicht, wie die Testpunkte gestreut sind. Mit Quartilen können Sie ablesen, „zwischen welchen Punktzahlen die mittlere Hälfte der Schülerinnen und Schüler liegt“ und „wie viele Punkte man braucht, um zu den besten 25 % zu gehören“.
In Notenspiegeln und bei der Auswertung von Probeklausuren stellt man üblicherweise die Boxplots verschiedener Klassen oder Fächer nebeneinander, um die Unterschiede in der Verteilung auf einen Blick zu vergleichen.

Daten richtig lesen, bei denen der Durchschnitt nicht zum Alltag passt, etwa Gehälter (Statistik und Wirtschaft)

Bei Daten wie Gehältern oder Ersparnissen ziehen einige extrem große Werte den Mittelwert nach oben, sodass „der Mittelwert“ nicht das ist, was eine typische Person hat. Für solche Daten geben der Median und das untere und obere Quartil ein Bild, das näher am Alltag liegt. Das Statistische Bundesamt (Destatis) veröffentlicht zum Beispiel die Verteilung der Bruttomonatsverdienste von Vollzeitbeschäftigten in Deutschland und weist neben dem Durchschnitt auch den Median aus.
Wenn Sie wissen möchten, wo Sie in der gesamten Gruppe stehen, sind Quartile ein verlässlicherer Maßstab als der Mittelwert.

Messfehler und ungewöhnliche Werte aufspüren (Qualitätssicherung und Datenanalyse)

Wenn Sie in Produktmaßen, Sensorwerten oder einem Datensatz vor der Analyse nach verdächtigen Werten suchen, ist die 1,5-IQR-Regel einer der am häufigsten verwendeten Anhaltspunkte. Anders als der Mittelwert und die Standardabweichung wird sie von den Ausreißern selbst kaum beeinflusst, und deshalb ist sie ein praktischer Maßstab, um sie zu finden.
Ein Ausreißer ist aber nicht immer ein Fehler, und in der Praxis wirft man ihn nicht automatisch weg. Prüfen Sie zuerst die Ursache (ein Tippfehler oder ein wirklich ungewöhnliches Ereignis) und entscheiden Sie dann, wie Sie damit umgehen.

Vergleichen, wie gleichmäßig Leistungen sind (Sport und Wetter)

Bei den Zeiten von Leichtathletinnen und Schwimmern zählt nicht nur die durchschnittliche Schnelligkeit, sondern auch, ob sie gleichmäßig sind. Wenn Sie die Ergebnisse mehrerer Athletinnen und Athleten oder verschiedener Saisons als Boxplots nebeneinanderstellen, können Sie Schnelligkeit und Gleichmäßigkeit (wie klein die Box ist) gleichzeitig vergleichen.
Auch in der Wetter- und Klimakunde verwendet man oft Boxplots, um zu vergleichen, wie stark Temperatur oder Niederschlag je nach Stadt oder Monat schwanken.

Formeln und Abbildungen

So bestimmen Sie die Quartile (Q1, Q2, Q3)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(Q_2\) \(=\) \(\text{Median aller Daten}\)

\(Q_1\) \(=\) \(\text{Median der unteren Hälfte}\)

\(Q_3\) \(=\) \(\text{Median der oberen Hälfte}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(Q_2\): Median (zweites Quartil) \(=\) Median aller Daten

\(Q_1\): unteres Quartil \(=\) ② Median der unteren Hälfte

\(Q_3\): oberes Quartil \(=\) ③ Median der oberen Hälfte

Die Formel in Worten

① Ordnen Sie die Daten von klein nach groß. Teilen Sie sie am \(Q_2\): Median (zweites Quartil) in eine untere Hälfte und eine obere Hälfte (bei einer ungeraden Anzahl von Werten gehört der Median zu keiner der beiden Hälften)

② Der Median der unteren Hälfte ist das untere Quartil \(Q_1\)

③ Der Median der oberen Hälfte ist das obere Quartil \(Q_3\)

Einfaches Beispiel

Bei den 9 Werten 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 lassen Sie den Median 5 weg. Die untere Hälfte ist 1 ; 2 ; 3 ; 4 und die obere Hälfte ist 6 ; 7 ; 8 ; 9, also

\(Q_2\): Median \(=\) der 5. Wert von klein nach groß (5)

\(Q_1\): unteres Quartil \(=\) Median der unteren Hälfte 1 ; 2 ; 3 ; 4

\(Q_3\): oberes Quartil \(=\) Median der oberen Hälfte 6 ; 7 ; 8 ; 9

\(Q_2 = 5\)

\(Q_1 = \dfrac{2 + 3}{2} = 2{,}5\)

\(Q_3 = \dfrac{7 + 8}{2} = 7{,}5\)

Der Kerngedanke

Quartile sind die drei Werte, die sortierte Daten in vier Teile mit gleich vielen Werten teilen. In jedem Teil liegen etwa 25 % der Daten: bis \(Q_1\), von \(Q_1\) bis \(Q_2\), von \(Q_2\) bis \(Q_3\) und ab \(Q_3\). \(Q_2\) liegt genau in der Mitte aller Daten und ist damit der Median selbst. Es gibt mehrere Verfahren, Quartile zu bestimmen. Diese Seite verwendet das Verfahren „Median der Hälften“, das viele Schulbücher lehren (bei einer ungeraden Anzahl von Werten gehört der Median zu keiner Hälfte). Andere Bücher, Tabellenkalkulationen und Statistikprogramme verwenden teils andere Verfahren. Funktionen wie QUARTILE.INKL in Excel interpolieren zum Beispiel zwischen den Datenwerten, deshalb können ihre Ergebnisse leicht von denen dieser Seite abweichen (der Abschnitt zu Excel unten erklärt mehr).

Quartilsabstand (IQR) und halber Quartilsabstand

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\text{IQR}\) \(=\) \(Q_3\) \(-\) \(Q_1\)

\(\text{halber Quartilsabstand}\) \(=\) \(\text{IQR}\) \(\div\) \(2\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ IQR: Quartilsabstand \(=\) ① \(Q_3\): oberes Quartil \(-\) ② \(Q_1\): unteres Quartil

⑤ halber Quartilsabstand \(=\) ④ IQR: Quartilsabstand \(\div\) \(2\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie das \(Q_3\): oberes Quartil

② ziehen Sie das \(Q_1\): unteres Quartil ab,

③ und Sie erhalten den IQR: Quartilsabstand (die Breite der „Box“ in einem Boxplot).

④ Teilen Sie den IQR: Quartilsabstand durch 2,

⑤ und Sie erhalten den halben Quartilsabstand

Einfaches Beispiel

Bei den 9 Werten 1 bis 9 (\(Q_1 = 2{,}5\), \(Q_3 = 7{,}5\)) ist

IQR: Quartilsabstand \(=\) oberes Quartil (7,5) \(-\) unteres Quartil (2,5)

\(7{,}5 - 2{,}5 = 5\)

\(5 \div 2 = 2{,}5\)

Der Kerngedanke

Der Quartilsabstand IQR ist die Breite, in der etwa die mittleren 50 % der Daten liegen, und misst, wie stark die Daten streuen. Anders als die Spannweite (Maximum − Minimum) wird er von extremen Werten an den Enden (Ausreißern) kaum beeinflusst, und das ist seine Stärke. IQR steht für „Interquartilsabstand“ (englisch „interquartile range“). Der halbe Quartilsabstand ist die Hälfte des IQR. Er dient als Anhaltspunkt für die Streuung: Die mittlere Hälfte der Daten liegt etwa in diesem Abstand beiderseits des Medians.

Ausreißer erkennen (die 1,5-IQR-Regel)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(<\) \(Q_1\) \(-\) \(1{,}5 \times \text{IQR}\)

\(x\) \(>\) \(Q_3\) \(+\) \(1{,}5 \times \text{IQR}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(x\): Datenwert \(<\) ① \(Q_1\): unteres Quartil \(-\) ② 1,5-facher IQR

\(x\): Datenwert \(>\) ③ \(Q_3\): oberes Quartil \(+\) 1,5-facher IQR

Die Formel in Worten

① Ein Wert gilt als Ausreißer, wenn er kleiner ist als das \(Q_1\): unteres Quartil

② minus 1,5-facher IQR , oder wenn er größer ist als

③ das \(Q_3\): obere Quartil plus derselbe Betrag.

④ Einen solchen \(x\): Datenwert betrachtet man als möglichen Ausreißer

Einfaches Beispiel

Bei den 7 Werten 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 40 (\(Q_1 = 11\), \(Q_3 = 15\), Quartilsabstand 4)

Datenwert (40) \(>\) oberes Quartil (15) \(+\) 1,5-facher IQR (6)

\(Q_3 + 1{,}5 \times 4 = 15 + 6 = 21\)

\(40 > 21\)

Der Kerngedanke

Die 1,5-IQR-Regel ist eine gängige Faustregel: Ein Wert, der mehr als das 1,5-Fache der Boxbreite vom Ende der Box entfernt liegt, gilt als extrem weit von den übrigen entfernt. Im Statistikunterricht wird sie als ein übliches Verfahren zum Erkennen von Ausreißern gelehrt, sie ist aber keine absolute Definition, und manche Fachgebiete verwenden andere Regeln. Wie die meisten Statistikprogramme verwendet diese Seite strenge Ungleichungen (< und >), ein Wert genau auf der Grenze ist also kein Ausreißer. Manche Bücher, etwa in Japan, zählen einen Wert genau auf der Grenze schon als Ausreißer (≤ und ≥). Beide Regeln unterscheiden sich nur, wenn ein Wert genau auf einer Grenze liegt. Im einfachen Boxplot reichen die Whisker bis zum Minimum und zum Maximum. In der Darstellung, die Ausreißer getrennt zeigt, enden die Whisker beim kleinsten und beim größten Wert, die keine Ausreißer sind, und jeder Ausreißer wird als eigener Punkt eingezeichnet (der Boxplot auf dieser Seite verwendet diese Darstellung). Ein Ausreißer ist nicht immer ein falscher Wert. Es kann ein Tipp- oder Messfehler sein, es kann aber auch ein wirklich ungewöhnlicher Wert sein. Werfen Sie ihn deshalb nicht automatisch weg. Wichtig ist zu prüfen, warum der Wert so ausgefallen ist.

Um die Quartile \(Q_1\), \(Q_2\) und \(Q_3\) zu bestimmen, ordnen Sie die Daten, teilen sie am Median \(Q_2\) in eine untere Hälfte und eine obere Hälfte und nehmen den Median jeder Hälfte (bei einer ungeraden Anzahl von Werten gehört der Median zu keiner Hälfte). Der Quartilsabstand \(\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1\) ist die Breite, in der etwa die mittleren 50 % der Daten liegen, und er ist die Breite der „Box“ in einem Boxplot.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(Q_1\)	Q Index 1	Das untere Quartil. Der Buchstabe \(Q\) steht für „Quartil“. Es ist der Wert, der bei den geordneten Daten etwa ein Viertel (25 %) von unten liegt, und wird als Median der unteren Hälfte bestimmt.
\(Q_2\)	Q Index 2	Das zweite Quartil. Es ist der Wert genau in der Mitte aller Daten, also der Median selbst. Im Boxplot ist es der Strich, der die Box teilt.
\(Q_3\)	Q Index 3	Das obere Quartil. Es ist der Wert, der bei den geordneten Daten etwa drei Viertel (75 %) von unten liegt, und wird als Median der oberen Hälfte bestimmt.
\(\mathrm{IQR}\)	I Q R	Der Quartilsabstand, von den Anfangsbuchstaben des englischen „interquartile range“ (der Abstand zwischen den Quartilen). Er bedeutet \(Q_3 - Q_1\), die Breite, in der etwa die mittleren 50 % der Daten liegen.
\(x\)	x	Ein Buchstabe für jeden einzelnen Datenwert. Auf dieser Seite kommt er in der Bedingung für Ausreißer vor (etwa \(x < Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\)).
\(n\)	n	Die Anzahl der Werte, von „Number“ (Anzahl). Wie der Median bei der Bestimmung der Quartile behandelt wird, hängt davon ab, ob \(n\) gerade oder ungerade ist.

Begriffe

Quartil	Die drei Werte, die sortierte Daten in vier Teile mit gleich vielen Werten teilen. Von klein nach groß sind es das untere Quartil \(Q_1\), das zweite Quartil \(Q_2\) (= der Median) und das obere Quartil \(Q_3\).
Median	Der Wert genau in der Mitte, wenn die Daten von klein nach groß geordnet sind (auch Zentralwert genannt). Bei einer geraden Anzahl von Werten ist er der Mittelwert der beiden mittleren Werte. Anders als der Mittelwert ist er ein Lagemaß, das von extrem großen oder kleinen Werten kaum beeinflusst wird.
untere Hälfte	Die erste Hälfte der Daten (die Seite unterhalb des Medians), wenn man die Daten am Median teilt. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten gehört der Median selbst nicht dazu. Der Median der unteren Hälfte ist \(Q_1\).
obere Hälfte	Die zweite Hälfte der Daten (die Seite oberhalb des Medians), wenn man die Daten am Median teilt. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten gehört der Median selbst nicht dazu. Der Median der oberen Hälfte ist \(Q_3\).
Quartilsabstand	Das ist \(Q_3 - Q_1\) (der IQR, auch Interquartilsabstand genannt). Er ist die Breite, in der etwa die mittleren 50 % der Daten liegen, und dient als Streuungsmaß. Sein Vorteil ist, dass Ausreißer ihn kaum beeinflussen.
halber Quartilsabstand	Der Quartilsabstand geteilt durch 2. Er ist ein Anhaltspunkt dafür, in welchem Abstand beiderseits des Medians die mittlere Hälfte der Daten streut.
Boxplot (Kastendiagramm)	Ein Diagramm, das fünf Werte, das Minimum, \(Q_1\), den Median, \(Q_3\) und das Maximum (die Fünf-Punkte-Zusammenfassung), als „Box“ und „Whisker“ über einem Zahlenstrahl darstellt. Es eignet sich gut, um die Streuung mehrerer Datensätze nebeneinander zu vergleichen. In der Schule lernt man es in der Regel in den Klassen 7 bis 8 kennen.
Whisker	Eine Linie, die im Boxplot von der Box nach links oder rechts reicht. In der einfachen Form reicht sie bis zum Minimum oder zum Maximum. In der Darstellung, die Ausreißer getrennt zeigt, endet sie beim kleinsten oder größten Wert, der kein Ausreißer ist, und die Ausreißer werden als einzelne Punkte eingezeichnet.
Ausreißer	Ein Wert, der extrem weit von den anderen Werten entfernt ist. Ein häufig verwendeter Anhaltspunkt ist die 1,5-IQR-Regel (Werte unter \(Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\) oder über \(Q_3 + 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\)).
Lagemaß	Eine einzelne Zahl, die zusammenfasst, wo die Daten zentriert sind, etwa der Mittelwert, der Median oder der Modalwert. Quartile übertragen die Idee des Medians auf „die Punkte, die die Daten in vier Teile schneiden“.
Spannweite	Das Maximum minus das Minimum. Sie zeigt, wie breit alle Daten gestreut sind, hat aber die Schwäche, dass ein einziger Ausreißer sie stark verändern kann. Der Quartilsabstand gleicht das aus.
Fünf-Punkte-Zusammenfassung	Die fünf Werte Minimum, \(Q_1\), Median, \(Q_3\) und Maximum. Aus ihnen wird ein Boxplot gezeichnet.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.

Zahlen vergleichen und der Zahlenstrahl (Grundschule bis Klasse 6, 6–12 Jahre)	Zahlen, auch Dezimalzahlen und negative Zahlen, richtig von klein nach groß ordnen können Sich vorstellen können, wo jeder Wert auf einem Zahlenstrahl liegt
Lagemaße wie Mittelwert und Median (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Wissen, dass der Median der mittlere Wert der geordneten Daten ist und bei einer geraden Anzahl von Werten der Mittelwert der beiden mittleren Werte Wissen, dass Mittelwert und Median verschiedene Werte sind und dass sich der Mittelwert bei einem extremen Wert viel stärker verschiebt
Boxplots und der Quartilsabstand (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Einen Boxplot aus den fünf Werten Minimum, \(Q_1\), Median, \(Q_3\) und Maximum zeichnen können Wissen, dass die Breite der Box den Quartilsabstand zeigt und dass eine kleinere Box bedeutet, dass die mittlere Hälfte der Daten enger beieinanderliegt
Rechnen mit Dezimalzahlen und Brüchen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Den Mittelwert zweier Werte \(\dfrac{a + b}{2}\) berechnen können (Beispiel: \(\dfrac{2 + 3}{2} = 2{,}5\)) Mit einer Dezimalzahl wie 1,5 multiplizieren können (Beispiel: \(4 \times 1{,}5 = 6\))
Datenanalyse und Statistik (Klasse 9–10 und Oberstufe, ab 14 Jahren)	Wissen, dass Spannweite, Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung alle die Streuung messen und dass jedes in anderen Situationen am besten passt Aus einem Histogramm oder einem Boxplot die Form einer Verteilung (wo der Gipfel liegt, wohin sie sich neigt) ablesen können

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der Quartile mit dem Verfahren „Median der Hälften“ (Beispiel mit 10 Werten)

Wert 1 (von klein nach groß eingeben)	2
Wert 2	3
Wert 3	4
Wert 4	5
Wert 5	6
Wert 6	7
Wert 7	7
Wert 8	7
Wert 9	8
Wert 10	10
Median Q2 (Median aller Daten)	=MEDIAN(B1:B10)
Unteres Quartil Q1 (Median der unteren Hälfte = die ersten 5 Werte)	=MEDIAN(B1:B5)
Oberes Quartil Q3 (Median der oberen Hälfte = die letzten 5 Werte)	=MEDIAN(B6:B10)
Quartilsabstand IQR	=B13-B12
Halber Quartilsabstand	=B14/2

Tabelle zum Vergleich mit der Quartil-Funktion von Excel, QUARTILE.INKL (gleiche Daten)

Wert 1	2
Wert 2	3
Wert 3	4
Wert 4	5
Wert 5	6
Wert 6	7
Wert 7	7
Wert 8	7
Wert 9	8
Wert 10	10
Q1 (QUARTILE.INKL)	=QUARTILE.INKL(B1:B10;1)
Q2 (QUARTILE.INKL)	=QUARTILE.INKL(B1:B10;2)
Q3 (QUARTILE.INKL)	=QUARTILE.INKL(B1:B10;3)

Tabelle zur Berechnung der Grenzen für Ausreißer (1,5-IQR-Regel)

Unteres Quartil Q1	4
Oberes Quartil Q3	7
Quartilsabstand IQR	=B2-B1
Untere Grenze Q1 − 1,5 × IQR	=B1-1,5*B3
Obere Grenze Q3 + 1,5 × IQR	=B2+1,5*B3

Die erste Tabelle bestimmt die Quartile mit demselben Verfahren „Median der Hälften“ wie diese Seite. Geben Sie die Daten von klein nach groß ein und verwenden Sie die Funktion MEDIAN für drei Bereiche: alle Daten, die erste Hälfte und die zweite Hälfte. In diesem Beispiel (10 Werte) ist die erste Hälfte B1:B5 und die zweite Hälfte B6:B10. Das ergibt Q2 = 6,5, Q1 = 4, Q3 = 7, IQR = 3 und den halben Quartilsabstand 1,5. Lassen Sie bei einer ungeraden Anzahl von Werten den Wert in der Mitte weg, wenn Sie die Bereiche für die beiden Hälften festlegen (bei 9 Werten B1:B4 und B6:B9).
Die Funktion QUARTILE.INKL in der zweiten Tabelle verwendet ein anderes Verfahren, das zwischen den Datenwerten interpoliert, deshalb kann ihr Ergebnis vom Verfahren „Median der Hälften“ abweichen. Für dieselben Daten liefert QUARTILE.INKL Q1 = 4,25, das sich von Q1 = 4 in der ersten Tabelle unterscheidet (in diesem Beispiel stimmen Q2 = 6,5 und Q3 = 7 zufällig überein). Um Hausaufgaben zu überprüfen, verwenden Sie die erste Tabelle.
Die dritte Tabelle liefert die Grenzen für Ausreißer: −0,5 als untere Grenze und 11,5 als obere Grenze. Datenwerte unter der unteren Grenze (−0,5) oder über der oberen Grenze (11,5) sind Ausreißer.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der Quartile mit dem Verfahren „Median der Hälften“ (Beispiel mit 10 Werten)

Wert 1 (von klein nach groß eingeben)	2
Wert 2	3
Wert 3	4
Wert 4	5
Wert 5	6
Wert 6	7
Wert 7	7
Wert 8	7
Wert 9	8
Wert 10	10
Median Q2 (Median aller Daten)	=MEDIAN(B1:B10)
Unteres Quartil Q1 (Median der unteren Hälfte = die ersten 5 Werte)	=MEDIAN(B1:B5)
Oberes Quartil Q3 (Median der oberen Hälfte = die letzten 5 Werte)	=MEDIAN(B6:B10)
Quartilsabstand IQR	=B13-B12
Halber Quartilsabstand	=B14/2

Tabelle zum Vergleich mit der Quartil-Funktion von Google Tabellen, QUARTILE (gleiche Daten)

Wert 1	2
Wert 2	3
Wert 3	4
Wert 4	5
Wert 5	6
Wert 6	7
Wert 7	7
Wert 8	7
Wert 9	8
Wert 10	10
Q1 (QUARTILE)	=QUARTILE(B1:B10;1)
Q2 (QUARTILE)	=QUARTILE(B1:B10;2)
Q3 (QUARTILE)	=QUARTILE(B1:B10;3)

Tabelle zur Berechnung der Grenzen für Ausreißer (1,5-IQR-Regel)

Unteres Quartil Q1	4
Oberes Quartil Q3	7
Quartilsabstand IQR	=B2-B1
Untere Grenze Q1 − 1,5 × IQR	=B1-1,5*B3
Obere Grenze Q3 + 1,5 × IQR	=B2+1,5*B3

Die gleichen Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. Die Funktion QUARTILE in Google Tabellen verwendet dieselbe Interpolation wie QUARTILE.INKL in Excel, deshalb kann ihr Ergebnis vom Verfahren „Median der Hälften“ (der ersten Tabelle) abweichen.

Mit Python berechnen

# Daten (durch Ihre eigenen Werte ersetzen)
data = [3, 7, 7, 4, 10, 8, 6, 5, 7, 2]

def median(sorted_values):
    # Median einer geordneten Liste (bei gerader Anzahl der Mittelwert der beiden mittleren Werte)
    count = len(sorted_values)
    middle = count // 2
    if count % 2 == 1:
        return sorted_values[middle]
    return (sorted_values[middle - 1] + sorted_values[middle]) / 2

values = sorted(data)
n = len(values)
lower_half = values[: n // 2]        # untere Hälfte (bei ungerader Anzahl die erste Hälfte ohne den Median)
upper_half = values[(n + 1) // 2:]   # obere Hälfte (die zweite Hälfte, ebenso)

q1 = median(lower_half)
q2 = median(values)
q3 = median(upper_half)
iqr = q3 - q1
quartile_deviation = iqr / 2
fence_low = q1 - 1.5 * iqr
fence_high = q3 + 1.5 * iqr
outliers = [v for v in values if v < fence_low or v > fence_high]

print(f"Q1 = {q1}, Q2 (Median) = {q2}, Q3 = {q3}")
print(f"Quartilsabstand IQR = {iqr}, halber Quartilsabstand = {quartile_deviation}")
print(f"Ausreißer (1,5-IQR-Regel): {outliers if outliers else 'keine'}")

Die Funktion statistics.quantiles der Standardbibliothek interpoliert zwischen den Datenwerten, das ist ein anderes Verfahren. Das Verfahren „Median der Hälften“ wird deshalb wie in diesem Beispiel selbst berechnet. Beim Ausführen werden Q1 = 4, Q2 = 6,5, Q3 = 7, Quartilsabstand = 3, halber Quartilsabstand = 1,5 und keine Ausreißer angezeigt (die Python-Ausgabe verwendet dabei Punkte als Dezimaltrennzeichen). Ersetzen Sie den Inhalt von data und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

So bestimmen Sie die Quartile (Q1, Q2, Q3)

Q₂ = Med(alle Daten),  Q₁ = Med(untere Hälfte),  Q₃ = Med(obere Hälfte)

Q_2 = \mathrm{Med}(\text{alle Daten}),\quad Q_1 = \mathrm{Med}(\text{untere Hälfte}),\quad Q_3 = \mathrm{Med}(\text{obere Hälfte})

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>Q</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo>
    <mi>Med</mi><mo>(</mo><mtext>alle Daten</mtext><mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo>
    <mi>Med</mi><mo>(</mo><mtext>untere Hälfte</mtext><mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo>
    <mi>Med</mi><mo>(</mo><mtext>obere Hälfte</mtext><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

Q_2 = "Med"("alle Daten"), Q_1 = "Med"("untere Hälfte"), Q_3 = "Med"("obere Hälfte")

q2 = Median[data]; q1 = Median[lower]; q3 = Median[upper]  (* lower/upper = die am Median geteilte untere und obere Hälfte *)

q2 := Statistics:-Median(data); q1 := Statistics:-Median(lower); q3 := Statistics:-Median(upper);

q2 = median(x); q1 = median(lower); q3 = median(upper);

Q_2 = Med(alle Daten), Q_1 = Med(untere Hälfte), Q_3 = Med(obere Hälfte)

Quartilsabstand (IQR) und halber Quartilsabstand

IQR = Q₃ − Q₁,  halber Quartilsabstand = IQR ÷ 2

\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1,\quad \text{halber Quartilsabstand} = \dfrac{\mathrm{IQR}}{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>IQR</mi><mo>=</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <mtext>halber Quartilsabstand</mtext><mo>=</mo>
    <mfrac><mi>IQR</mi><mn>2</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

IQR = Q_3 - Q_1, "halber Quartilsabstand" = IQR / 2

iqr = q3 - q1; quartileDeviation = iqr/2

iqr := q3 - q1; qd := iqr/2;

iqr_value = q3 - q1; qd = iqr_value/2;

IQR = Q_3 − Q_1, halber Quartilsabstand = IQR/2

Ausreißer erkennen (die 1,5-IQR-Regel)

x < Q₁ − 1,5×IQR oder x > Q₃ + 1,5×IQR

x < Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR} \quad \text{oder} \quad x > Q_3 + 1{,}5 \times \mathrm{IQR}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi><mo>&lt;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>1,5</mn><mo>&#x00D7;</mo><mi>IQR</mi>
    <mtext>&#x2003;oder&#x2003;</mtext>
    <mi>x</mi><mo>&gt;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <mn>1,5</mn><mo>&#x00D7;</mo><mi>IQR</mi>
  </mrow>
</math>

x < Q_1 - 1.5 xx IQR " oder " x > Q_3 + 1.5 xx IQR

Select[data, # < q1 - 1.5 iqr || # > q3 + 1.5 iqr &]

select(v -> v < q1 - 1.5*iqr or v > q3 + 1.5*iqr, data);

outliers = x(x < q1 - 1.5*iqr | x > q3 + 1.5*iqr);

x < Q_1 − 1,5×IQR oder x > Q_3 + 1,5×IQR

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen (Datenanalyse). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Berechnen Sie die Quartile der folgenden Daten mit dem Verfahren „Median der Hälften“, das in Schulbüchern gelehrt wird.
Daten: 3 ; 7 ; 7 ; 4 ; 10 ; 8 ; 6 ; 5 ; 7 ; 2

Das Verfahren: Ordnen Sie die Daten von klein nach groß und teilen Sie sie am Median in eine untere Hälfte und eine obere Hälfte (bei einer ungeraden Anzahl von Werten gehört der Median zu keiner Hälfte). Das untere Quartil Q1 ist der Median der unteren Hälfte, und das obere Quartil Q3 ist der Median der oberen Hälfte. Verwenden Sie keine Funktionen, die interpolieren, etwa statistics.quantiles.

Zeigen Sie jeweils:
1. Die geordneten Daten und wie sie in die untere Hälfte und die obere Hälfte geteilt werden
2. Die Werte von Q1, dem Median Q2 und Q3
3. Den Quartilsabstand IQR und den halben Quartilsabstand
4. Die Ausreißer nach der 1,5-IQR-Regel (Werte unter Q1 − 1,5 × IQR oder über Q3 + 1,5 × IQR)

Anleitung

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Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel