Quartile berechnen und Boxplot erstellen (Q1, Q2, Q3, IQR, Ausreißer)

Geben Sie Ihre Datenwerte ein, getrennt durch Semikolons (;) oder Leerzeichen. Die Reihenfolge spielt keine Rolle – für die Berechnung werden die Werte der Größe nach sortiert.

Datenwerte (durch ; oder Leerzeichen getrennt)

Trennen Sie die Zahlen durch Semikolons oder Leerzeichen (auch eingefügte Daten mit einem Wert pro Zeile, etwa eine Excel-Spalte, funktionieren). Negative Zahlen und Dezimalzahlen (3,5) sind möglich.

Ergebnis und Graph

Geben Sie links Ihre Datenwerte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und der Boxplot erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
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Das können Sie auf dieser Seite

Daten eingeben – und Sie erhalten auf einen Schlag das untere Quartil \(Q_1\), den Median \(Q_2\), das obere Quartil \(Q_3\), den Interquartilsabstand IQR, den halben Interquartilsabstand sowie Minimum und Maximum
Aus dem Ergebnis wird sofort ein Boxplot gezeichnet (speicherbar als PNG oder SVG)
Ausreißer (Werte unter \(Q_1 - 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR}\) oder über \(Q_3 + 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR}\)) werden automatisch erkannt und im Boxplot als einzelne Punkte gezeigt
Die Quartile werden wie in vielen Schulbüchern als Median der unteren und der oberen Datenhälfte bestimmt. Der Rechenweg zeigt, wie die Daten in untere Hälfte und obere Hälfte aufgeteilt werden
Dazu eine verständliche Erklärung der Formeln sowie fertige Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Diese Seite ist auf Quartile und Boxplots spezialisiert. Für Mittelwert, Modalwert oder Spannweite (Maximum − Minimum) nutzen Sie die verwandte Seite „Mittelwert, Median, Modalwert und Spannweite berechnen“.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Klassenarbeiten und Tests als Verteilung ansehen (Schule)

Der Klassendurchschnitt allein verrät nicht, wie die Punkte verteilt sind. Mit Quartilen sehen Sie, zwischen welchen Punktzahlen die mittlere Hälfte der Klasse liegt und wie viele Punkte man braucht, um zum besten Viertel zu gehören.
Bei Auswertungen von Vergleichsarbeiten und Lernstandserhebungen stellt man Boxplots für Klassen oder Fächer nebeneinander, um die Unterschiede in der Verteilung auf einen Blick zu vergleichen.

Daten richtig lesen, bei denen der Durchschnitt täuscht, etwa Gehälter (Statistik und Wirtschaft)

Bei Gehältern oder Ersparnissen ziehen wenige sehr große Werte den Mittelwert nach oben – „der Durchschnitt“ ist dann nicht das, was ein typischer Mensch hat. Median sowie unteres und oberes Quartil geben hier ein realistischeres Bild. Der Entgeltatlas der Bundesagentur für Arbeit zeigt zum Beispiel für jeden Beruf den Median des Bruttomonatsentgelts zusammen mit dem unteren und dem oberen Quartil.
Wenn Sie wissen möchten, wo Sie innerhalb einer Gruppe stehen, sind Quartile ein verlässlicherer Maßstab als der Mittelwert.

Messfehler und ungewöhnliche Werte aufspüren (Qualitätssicherung und Datenanalyse)

Wenn Sie in Maßen von Bauteilen, Sensordaten oder einem Datensatz vor der Auswertung nach verdächtigen Werten suchen, ist die 1,5-IQR-Regel eine der am häufigsten verwendeten Faustregeln. Anders als Mittelwert und Standardabweichung wird sie von den Ausreißern selbst kaum beeinflusst – deshalb eignet sie sich gut, um sie zu finden.
Ein Ausreißer ist aber nicht immer ein Fehler. In der Praxis wirft man ihn deshalb nicht einfach weg, sondern klärt erst die Ursache (Tippfehler oder ein tatsächlich seltenes Ereignis) und entscheidet dann.

Die Beständigkeit von Leistungen und Messwerten vergleichen (Sport und Wetter)

Bei Zeiten in Leichtathletik oder Schwimmen zählt nicht nur, wie schnell jemand im Schnitt ist, sondern auch, wie konstant. Stellen Sie die Zeiten mehrerer Sportler oder verschiedener Saisons als Boxplots nebeneinander, vergleichen Sie Tempo und Beständigkeit (wie klein die Box ist) zugleich.
Auch in Wetter und Klima werden Boxplots oft genutzt, um zu vergleichen, wie stark Temperatur oder Niederschlag je nach Stadt oder Monat schwanken.

Formeln und Abbildungen

So bestimmen Sie die Quartile (Q1, Q2, Q3)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(Q_2\) \(=\) \(\text{Median aller Daten}\)

\(Q_1\) \(=\) \(\text{Median der unteren Hälfte}\)

\(Q_3\) \(=\) \(\text{Median der oberen Hälfte}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(Q_2\): Median (zweites Quartil) \(=\) Median aller Daten

\(Q_1\): unteres Quartil \(=\) ② Median der unteren Hälfte

\(Q_3\): oberes Quartil \(=\) ③ Median der oberen Hälfte

Die Formel in Worten

① Sortieren Sie die Daten der Größe nach. Am \(Q_2\): Median (zweites Quartil) teilen Sie sie in eine untere Hälfte und eine obere Hälfte (bei einer ungeraden Anzahl gehört der Median zu keiner Hälfte).

② Der Median der unteren Hälfte ist das untere Quartil \(Q_1\).

③ Der Median der oberen Hälfte ist das obere Quartil \(Q_3\).

Einfaches Beispiel

Bei den 9 Werten 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 lässt man den Median 5 weg. Die untere Hälfte ist 1 ; 2 ; 3 ; 4, die obere Hälfte 6 ; 7 ; 8 ; 9. Also gilt

\(Q_2\): Median \(=\) 5. Wert der sortierten Daten (5)

\(Q_1\): unteres Quartil \(=\) Median der unteren Hälfte 1 ; 2 ; 3 ; 4

\(Q_3\): oberes Quartil \(=\) Median der oberen Hälfte 6 ; 7 ; 8 ; 9

\(Q_2 = 5\)

\(Q_1 = \dfrac{2 + 3}{2} = 2{,}5\)

\(Q_3 = \dfrac{7 + 8}{2} = 7{,}5\)

Der Grundgedanke

Quartile sind die drei Werte, die die sortierten Daten in vier gleich große Teile zerlegen. In jedem Teil liegen etwa 25 % der Daten: bis \(Q_1\), von \(Q_1\) bis \(Q_2\), von \(Q_2\) bis \(Q_3\) und ab \(Q_3\). \(Q_2\) liegt genau in der Mitte aller Daten – es ist also der Median selbst. Für Quartile gibt es mehrere Rechenverfahren. Diese Seite nimmt den Median der unteren und der oberen Hälfte – so steht es in vielen deutschen Schulbüchern. Manche Bücher bestimmen die Quartile über den Rangplatz, und Funktionen wie QUARTILE.INKL in Excel interpolieren zwischen den Datenwerten. Die Ergebnisse können sich deshalb leicht von dieser Seite unterscheiden (mehr dazu im Excel-Abschnitt unten).

Interquartilsabstand (IQR) und halber Interquartilsabstand

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\text{IQR}\) \(=\) \(Q_3\) \(-\) \(Q_1\)

\(\text{halber IQR}\) \(=\) \(\text{IQR}\) \(\div\) \(2\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ IQR: Interquartilsabstand \(=\) ① \(Q_3\): oberes Quartil \(-\) ② \(Q_1\): unteres Quartil

⑤ halber Interquartilsabstand \(=\) ④ IQR: Interquartilsabstand \(\div\) \(2\)

Die Formel in Worten

① Vom \(Q_3\): oberes Quartil

② zieht man das \(Q_1\): unteres Quartil

③ ab und erhält den IQR: Interquartilsabstand (die Breite der „Box“ im Boxplot).

④ Teilt man den IQR: Interquartilsabstand durch 2,

⑤ erhält man den halben Interquartilsabstand

Einfaches Beispiel

Im Beispiel mit den 9 Werten 1 bis 9 (\(Q_1 = 2{,}5\), \(Q_3 = 7{,}5\)) gilt

IQR: Interquartilsabstand \(=\) oberes Quartil (7,5) \(-\) unteres Quartil (2,5)

\(7{,}5 - 2{,}5 = 5\)

\(5 \div 2 = 2{,}5\)

Der Grundgedanke

Der Interquartilsabstand IQR ist die Breite, in der die mittleren rund 50 % der Daten liegen. Er misst, wie stark die Daten streuen. Anders als die Spannweite (Maximum − Minimum) wird er von extremen Werten an den Rändern (Ausreißern) kaum beeinflusst – das ist seine Stärke. Die Abkürzung IQR kommt vom englischen „interquartile range“; in deutschen Büchern heißt er oft auch Quartilsabstand. Der halbe Interquartilsabstand ist die Hälfte davon. Er dient als Maß für die Streuung: Etwa so weit links und rechts vom Median liegt die mittlere Hälfte der Daten.

Ausreißer erkennen (1,5-IQR-Regel)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(<\) \(Q_1\) \(-\) \(1{,}5 \cdot \text{IQR}\)

\(x\) \(>\) \(Q_3\) \(+\) \(1{,}5 \cdot \text{IQR}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(x\): Datenwert \(<\) ① \(Q_1\): unteres Quartil \(-\) ② 1,5-facher IQR

\(x\): Datenwert \(>\) ③ \(Q_3\): oberes Quartil \(+\) 1,5-facher IQR

Die Formel in Worten

① Ein Wert gilt als Ausreißer, wenn er kleiner ist als das \(Q_1\): unteres Quartil

② minus 1,5-facher IQR , oder größer als

③ das \(Q_3\): oberes Quartil plus derselbe Abstand.

④ Ein solcher \(x\): Datenwert wird als möglicher Ausreißer markiert.

Einfaches Beispiel

Bei den 7 Werten 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 40 (\(Q_1 = 11\), \(Q_3 = 15\), Interquartilsabstand 4) gilt

Datenwert (40) \(>\) oberes Quartil (15) \(+\) 1,5-facher IQR (6)

\(Q_3 + 1{,}5 \cdot 4 = 15 + 6 = 21\)

\(40 > 21\)

Der Grundgedanke

Die 1,5-IQR-Regel ist eine bewährte Faustregel: Ein Wert, der mehr als das 1,5-Fache der Boxbreite vom Rand der Box entfernt liegt, gilt als extrem weit weg von den übrigen. In der Schule ist sie das übliche Verfahren, um Ausreißer zu erkennen, aber keine feste Definition – manche Fachgebiete verwenden andere Regeln. Wie die meisten Schulbücher und Statistikprogramme rechnet diese Seite mit echten Ungleichungen (< und >): Ein Wert genau auf der Grenze ist kein Ausreißer. Einige Lehrbücher, etwa in Japan, zählen ihn mit (≤ und ≥). Ein Unterschied entsteht nur, wenn ein Wert genau auf der Grenze liegt. Im einfachen Boxplot reichen die Whisker bis zum Minimum und Maximum. Bei der Darstellung mit getrennt gezeigten Ausreißern enden die Whisker beim kleinsten und größten Wert, der kein Ausreißer ist, und jeder Ausreißer erscheint als eigener Punkt. Der Boxplot auf dieser Seite verwendet diese Darstellung. Ein Ausreißer ist nicht automatisch ein falscher Wert. Er kann ein Tipp- oder Messfehler sein, aber auch ein wirklich seltener Wert. Werfen Sie ihn deshalb nicht einfach weg, sondern prüfen Sie, wie der Wert zustande kam.

Für die Quartile \(Q_1\), \(Q_2\) und \(Q_3\) sortieren Sie die Daten, teilen sie am Median \(Q_2\) in eine untere Hälfte und eine obere Hälfte und bestimmen jeweils deren Median (bei ungerader Anzahl gehört der Median zu keiner Hälfte). Der Interquartilsabstand \(\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1\) ist die Breite, in der die mittleren rund 50 % der Daten liegen – im Boxplot ist das die Breite der „Box“.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(Q_1\)	Q eins	Das untere (erste) Quartil. \(Q\) steht für „Quartil“. Es ist der Wert, der etwa ein Viertel (25 %) der sortierten Daten unter sich hat, bestimmt als Median der unteren Hälfte.
\(Q_2\)	Q zwei	Das zweite Quartil. Es ist der Wert genau in der Mitte aller Daten, also der Median selbst. Im Boxplot ist es der Strich, der die Box teilt.
\(Q_3\)	Q drei	Das obere (dritte) Quartil. Es ist der Wert, der etwa drei Viertel (75 %) der sortierten Daten unter sich hat, bestimmt als Median der oberen Hälfte.
\(\mathrm{IQR}\)	I Q R	Der Interquartilsabstand, abgekürzt nach dem englischen „interquartile range“. Gemeint ist \(Q_3 - Q_1\), die Breite, in der die mittleren rund 50 % der Daten liegen.
\(x\)	x	Steht für einen einzelnen Datenwert. Auf dieser Seite kommt es in der Ausreißerregel vor (z. B. \(x < Q_1 - 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR}\)).
\(n\)	n	Die Anzahl der Werte (von englisch „number“). Ob \(n\) gerade oder ungerade ist, entscheidet, wie der Median beim Bestimmen der Quartile behandelt wird.

Begriffe

Quartil	Die drei Werte, die die sortierten Daten in vier gleich große Teile zerlegen. Der Reihe nach heißen sie unteres Quartil \(Q_1\), zweites Quartil \(Q_2\) (= Median) und oberes Quartil \(Q_3\).
Median (Zentralwert)	Der Wert genau in der Mitte der sortierten Daten. Bei einer geraden Anzahl ist es der Mittelwert der beiden mittleren Werte. Anders als der Mittelwert ist er ein Lageparameter, den extrem große oder kleine Werte kaum beeinflussen.
untere Hälfte	Die erste Hälfte der Daten (unterhalb des Medians), wenn man die Daten am Median teilt. Bei ungerader Anzahl wird der Median selbst weggelassen. Der Median der unteren Hälfte ist \(Q_1\).
obere Hälfte	Die zweite Hälfte der Daten (oberhalb des Medians), wenn man die Daten am Median teilt. Bei ungerader Anzahl wird der Median selbst weggelassen. Der Median der oberen Hälfte ist \(Q_3\).
Interquartilsabstand (Quartilsabstand)	Gemeint ist \(Q_3 - Q_1\) (IQR). Die Breite, in der die mittleren rund 50 % der Daten liegen; sie dient als Streuungsmaß. Ihr Vorteil: Ausreißer beeinflussen sie kaum.
halber Interquartilsabstand (mittlerer Quartilsabstand)	Der Interquartilsabstand geteilt durch 2. Ein Maß dafür, wie weit die mittlere Hälfte der Daten links und rechts vom Median streut.
Boxplot (Kastengrafik)	Ein Diagramm, das die fünf Werte Minimum, \(Q_1\), Median, \(Q_3\) und Maximum (die Fünf-Punkte-Zusammenfassung) als „Box“ mit „Whiskern“ über einem Zahlenstrahl darstellt. Damit lässt sich die Streuung mehrerer Datenreihen gut nebeneinander vergleichen. In Deutschland lernt man ihn je nach Bundesland meist in Klasse 7–8 (12–14 Jahre).
Whisker (Antenne)	Die Linie, die im Boxplot links und rechts aus der Box ragt. In der einfachen Form reicht sie bis zum Minimum bzw. Maximum. Werden Ausreißer getrennt gezeigt, endet sie beim kleinsten bzw. größten Wert, der kein Ausreißer ist; die Ausreißer erscheinen als einzelne Punkte.
Ausreißer	Ein Wert, der extrem weit von den übrigen entfernt liegt. Eine gebräuchliche Faustregel ist die 1,5-IQR-Regel (Werte unter \(Q_1 - 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR}\) oder über \(Q_3 + 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR}\)).
Lageparameter (Lagemaß)	Eine einzelne Zahl, die beschreibt, wo die Daten liegen, etwa Mittelwert, Median oder Modalwert. Quartile erweitern die Idee des Medians auf „die Stellen, die die Daten in vier Teile schneiden“.
Spannweite	Maximum minus Minimum. Sie zeigt, wie breit alle Daten verteilt sind, hat aber eine Schwäche: Schon ein einziger Ausreißer verändert sie stark. Diese Schwäche gleicht der Interquartilsabstand aus.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur auf den Knopf drücken, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, wiederholen Sie am besten diese Themen.

Zahlen vergleichen und der Zahlenstrahl (Grundschule bis Klasse 6, 6–12 Jahre)	Zahlen, auch Dezimalzahlen und negative Zahlen, richtig der Größe nach sortieren können Sich vorstellen können, wo jeder Wert auf dem Zahlenstrahl liegt
Lageparameter wie Mittelwert und Median (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass der Median der mittlere Wert der sortierten Daten ist und bei gerader Anzahl der Mittelwert der beiden mittleren Werte Wissen, dass Mittelwert und Median verschiedene Werte sind und dass sich der Mittelwert bei einem extremen Wert viel stärker verschiebt
Boxplots und der Interquartilsabstand (meist Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Aus den fünf Werten Minimum, \(Q_1\), Median, \(Q_3\) und Maximum einen Boxplot zeichnen können Wissen, dass die Breite der Box den Interquartilsabstand zeigt und dass eine kleinere Box bedeutet, dass die mittlere Hälfte der Daten enger beieinanderliegt
Rechnen mit Dezimalzahlen und Brüchen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Den Mittelwert zweier Werte \(\dfrac{a + b}{2}\) berechnen können (z. B. \(\dfrac{2 + 3}{2} = 2{,}5\)) Mit einer Dezimalzahl wie 1,5 multiplizieren können (z. B. \(4 \cdot 1{,}5 = 6\))
Beschreibende Statistik (Oberstufe, 16–18 Jahre)	Wissen, dass Spannweite, Interquartilsabstand, Varianz und Standardabweichung alle die Streuung messen und je nach Situation ihre Stärken haben Aus einem Histogramm oder einem Boxplot die Form einer Verteilung ablesen können (wo der Gipfel liegt, in welche Richtung sie schief ist)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Quartile nach dem Schulbuch-Verfahren (Beispiel mit 10 Werten)

Wert 1 (der Größe nach eingeben)	2
Wert 2	3
Wert 3	4
Wert 4	5
Wert 5	6
Wert 6	7
Wert 7	7
Wert 8	7
Wert 9	8
Wert 10	10
Median Q2 (Median aller Daten)	=MEDIAN(B1:B10)
Unteres Quartil Q1 (Median der unteren Hälfte = erste 5 Werte)	=MEDIAN(B1:B5)
Oberes Quartil Q3 (Median der oberen Hälfte = letzte 5 Werte)	=MEDIAN(B6:B10)
Interquartilsabstand IQR	=B13-B12
Halber Interquartilsabstand	=B14/2

Vergleichstabelle mit der Excel-Funktion QUARTILE.INKL (dieselben Daten)

Wert 1	2
Wert 2	3
Wert 3	4
Wert 4	5
Wert 5	6
Wert 6	7
Wert 7	7
Wert 8	7
Wert 9	8
Wert 10	10
Q1 (QUARTILE.INKL)	=QUARTILE.INKL(B1:B10;1)
Q2 (QUARTILE.INKL)	=QUARTILE.INKL(B1:B10;2)
Q3 (QUARTILE.INKL)	=QUARTILE.INKL(B1:B10;3)

Tabelle für die Ausreißergrenzen (1,5-IQR-Regel)

Unteres Quartil Q1	4
Oberes Quartil Q3	7
Interquartilsabstand IQR	=B2-B1
Untere Ausreißergrenze Q1−1,5·IQR	=B1-1,5*B3
Obere Ausreißergrenze Q3+1,5·IQR	=B2+1,5*B3

Die erste Tabelle bestimmt die Quartile nach demselben Verfahren wie diese Seite. Geben Sie die Daten der Größe nach sortiert ein und wenden Sie die Funktion MEDIAN auf drei Bereiche an: alle Daten, die erste und die zweite Hälfte. In diesem Beispiel (10 Werte) ist die erste Hälfte B1:B5 und die zweite B6:B10; das ergibt Q2 = 6,5, Q1 = 4, Q3 = 7, IQR = 3 und einen halben Interquartilsabstand von 1,5. Bei einer ungeraden Anzahl lassen Sie den mittleren Wert aus beiden Hälften weg (bei 9 Werten B1:B4 und B6:B9).
Die Funktion QUARTILE.INKL in der zweiten Tabelle interpoliert zwischen den Datenwerten und rechnet damit nach einem anderen Verfahren. Für dieselben Daten liefert sie Q1 = 4,25 statt Q1 = 4 aus der ersten Tabelle (Q2 = 6,5 und Q3 = 7 stimmen in diesem Beispiel zufällig überein). Um Hausaufgaben zu kontrollieren, nehmen Sie die erste Tabelle.
Die dritte Tabelle liefert die Ausreißergrenzen: −0,5 unten und 11,5 oben. Datenwerte unter −0,5 oder über 11,5 sind Ausreißer.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Quartile nach dem Schulbuch-Verfahren (Beispiel mit 10 Werten)

Wert 1 (der Größe nach eingeben)	2
Wert 2	3
Wert 3	4
Wert 4	5
Wert 5	6
Wert 6	7
Wert 7	7
Wert 8	7
Wert 9	8
Wert 10	10
Median Q2 (Median aller Daten)	=MEDIAN(B1:B10)
Unteres Quartil Q1 (Median der unteren Hälfte = erste 5 Werte)	=MEDIAN(B1:B5)
Oberes Quartil Q3 (Median der oberen Hälfte = letzte 5 Werte)	=MEDIAN(B6:B10)
Interquartilsabstand IQR	=B13-B12
Halber Interquartilsabstand	=B14/2

Vergleichstabelle mit der Funktion QUARTILE in Google Tabellen (dieselben Daten)

Wert 1	2
Wert 2	3
Wert 3	4
Wert 4	5
Wert 5	6
Wert 6	7
Wert 7	7
Wert 8	7
Wert 9	8
Wert 10	10
Q1 (QUARTILE)	=QUARTILE(B1:B10;1)
Q2 (QUARTILE)	=QUARTILE(B1:B10;2)
Q3 (QUARTILE)	=QUARTILE(B1:B10;3)

Tabelle für die Ausreißergrenzen (1,5-IQR-Regel)

Unteres Quartil Q1	4
Oberes Quartil Q3	7
Interquartilsabstand IQR	=B2-B1
Untere Ausreißergrenze Q1−1,5·IQR	=B1-1,5*B3
Obere Ausreißergrenze Q3+1,5·IQR	=B2+1,5*B3

Bei deutscher Spracheinstellung funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. Die Funktion QUARTILE in Google Tabellen interpoliert genauso wie QUARTILE.INKL in Excel, daher können ihre Werte vom Schulbuch-Verfahren (erste Tabelle) abweichen.

So berechnen Sie es in Python

# Daten (durch Ihre eigenen Werte ersetzen, durch Kommas getrennt)
data = [3, 7, 7, 4, 10, 8, 6, 5, 7, 2]

def median(sorted_values):
    # Median einer sortierten Liste (bei gerader Anzahl der Mittelwert der beiden mittleren Werte)
    count = len(sorted_values)
    middle = count // 2
    if count % 2 == 1:
        return sorted_values[middle]
    return (sorted_values[middle - 1] + sorted_values[middle]) / 2

values = sorted(data)
n = len(values)
lower_half = values[: n // 2]        # untere Hälfte (bei ungerader Anzahl die erste Hälfte ohne den Median)
upper_half = values[(n + 1) // 2:]   # obere Hälfte (die zweite Hälfte, ebenso)

q1 = median(lower_half)
q2 = median(values)
q3 = median(upper_half)
iqr = q3 - q1
quartile_deviation = iqr / 2
fence_low = q1 - 1.5 * iqr
fence_high = q3 + 1.5 * iqr
outliers = [v for v in values if v < fence_low or v > fence_high]

print(f"Q1 = {q1}, Q2 (Median) = {q2}, Q3 = {q3}")
print(f"Interquartilsabstand IQR = {iqr}, halber Interquartilsabstand = {quartile_deviation}")
print(f"Ausreißer (1,5-IQR-Regel): {outliers if outliers else 'keine'}")

Die Funktion statistics.quantiles der Standardbibliothek interpoliert zwischen den Datenwerten und rechnet damit nach einem anderen Verfahren. Das Schulbuch-Verfahren programmiert man deshalb selbst wie in diesem Beispiel. Die Ausgabe ergibt Q1 = 4, Q2 = 6,5, Q3 = 7, Interquartilsabstand = 3, halber Interquartilsabstand = 1,5 und keine Ausreißer (Python selbst schreibt Dezimalzahlen mit Punkt). Ersetzen Sie den Inhalt von data und führen Sie den Code aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

So bestimmen Sie die Quartile (Q1, Q2, Q3)

Q₂ = Med(alle Daten),  Q₁ = Med(untere Hälfte),  Q₃ = Med(obere Hälfte)

Q_2 = \mathrm{Med}(\text{alle Daten}),\quad Q_1 = \mathrm{Med}(\text{untere Hälfte}),\quad Q_3 = \mathrm{Med}(\text{obere Hälfte})

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>Q</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo>
    <mi>Med</mi><mo>(</mo><mtext>alle Daten</mtext><mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo>
    <mi>Med</mi><mo>(</mo><mtext>untere Hälfte</mtext><mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo>
    <mi>Med</mi><mo>(</mo><mtext>obere Hälfte</mtext><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

Q_2 = "Med"("alle Daten"), Q_1 = "Med"("untere Hälfte"), Q_3 = "Med"("obere Hälfte")

q2 = Median[data]; q1 = Median[lower]; q3 = Median[upper]  (* lower/upper = untere und obere Hälfte, am Median geteilt *)

q2 := Statistics:-Median(data); q1 := Statistics:-Median(lower); q3 := Statistics:-Median(upper);

q2 = median(x); q1 = median(lower); q3 = median(upper);

Q_2 = Med(alle Daten), Q_1 = Med(untere Hälfte), Q_3 = Med(obere Hälfte)

Interquartilsabstand (IQR) und halber Interquartilsabstand

IQR = Q₃ − Q₁,  halber IQR = IQR : 2

\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1,\quad \text{halber IQR} = \dfrac{\mathrm{IQR}}{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>IQR</mi><mo>=</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <mtext>halber IQR</mtext><mo>=</mo>
    <mfrac><mi>IQR</mi><mn>2</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

IQR = Q_3 - Q_1, "halber IQR" = IQR / 2

iqr = q3 - q1; quartileDeviation = iqr/2

iqr := q3 - q1; qd := iqr/2;

iqr_value = q3 - q1; qd = iqr_value/2;

IQR = Q_3 − Q_1, halber IQR = IQR/2

Ausreißer erkennen (1,5-IQR-Regel)

x < Q₁ − 1,5·IQR oder x > Q₃ + 1,5·IQR

x < Q_1 - 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR} \quad \text{oder} \quad x > Q_3 + 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi><mo>&lt;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>1,5</mn><mo>&#x22C5;</mo><mi>IQR</mi>
    <mtext>&#x2003;oder&#x2003;</mtext>
    <mi>x</mi><mo>&gt;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <mn>1,5</mn><mo>&#x22C5;</mo><mi>IQR</mi>
  </mrow>
</math>

x < Q_1 - 1.5 xx IQR " oder " x > Q_3 + 1.5 xx IQR

Select[data, # < q1 - 1.5 iqr || # > q3 + 1.5 iqr &]

select(v -> v < q1 - 1.5*iqr or v > q3 + 1.5*iqr, data);

outliers = x(x < q1 - 1.5*iqr | x > q3 + 1.5*iqr);

x < Q_1 − 1,5·IQR oder x > Q_3 + 1,5·IQR

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen (Datenanalyse). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen oder schätzen).

Berechnen Sie die Quartile der folgenden Daten nach dem Schulbuch-Verfahren (Median der unteren und der oberen Hälfte).
Daten: 3 ; 7 ; 7 ; 4 ; 10 ; 8 ; 6 ; 5 ; 7 ; 2

Das Verfahren: Sortieren Sie die Daten der Größe nach und teilen Sie sie am Median in eine untere und eine obere Hälfte (bei ungerader Anzahl gehört der Median zu keiner Hälfte). Das untere Quartil Q1 ist der Median der unteren Hälfte, das obere Quartil Q3 der Median der oberen Hälfte. Verwenden Sie keine Funktionen, die interpolieren, wie statistics.quantiles.

Geben Sie Folgendes an:
1. Die sortierten Daten und die Aufteilung in untere und obere Hälfte
2. Die Werte von Q1, Median Q2 und Q3
3. Den Interquartilsabstand IQR und den halben Interquartilsabstand
4. Die Ausreißer nach der 1,5-IQR-Regel (Werte unter Q1 − 1,5 · IQR oder über Q3 + 1,5 · IQR)

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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