Calcul des quartiles et diagramme en boîte (Q1, Q3, écart interquartile)

Saisissez vos données séparées par des points-virgules (;) ou des espaces. L’ordre n’a pas d’importance (les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant pour le calcul).

Données (séparées par ; ou des espaces)

Séparez les nombres par des points-virgules ou des espaces (des données collées avec une valeur par ligne fonctionnent aussi). Les nombres négatifs et décimaux (3,5) sont acceptés.

Résultat et graphique

Saisissez vos données dans le champ à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et le diagramme en boîte s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Saisissez vos données et obtenez d’un coup le premier quartile \(Q_1\), la médiane \(Q_2\), le troisième quartile \(Q_3\), l’écart interquartile, le demi-écart interquartile, le minimum et le maximum
Le diagramme en boîte (boîte à moustaches) est tracé aussitôt à partir du résultat (vous pouvez l’enregistrer en PNG ou en SVG)
Les valeurs aberrantes (valeurs inférieures à \(Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\) ou supérieures à \(Q_3 + 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\)) sont repérées automatiquement et affichées comme des points séparés sur le diagramme en boîte
Les quartiles sont calculés avec la définition du programme de seconde (\(Q_1\) est la valeur de rang \(\lceil n/4 \rceil\), \(Q_3\) celle de rang \(\lceil 3n/4 \rceil\)), et les étapes (le rang de chaque quartile) sont affichées
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page

Cette page est consacrée aux quartiles et au diagramme en boîte. Pour la moyenne, le mode ou l’étendue (maximum − minimum), utilisez la page « Moyenne, médiane, mode et étendue » dans les pages associées.

À quoi sert ce calcul ?

Voir la répartition des notes d’un contrôle (école et examens)

La moyenne de la classe ne dit pas comment les notes sont réparties. Avec les quartiles, on peut lire « la moitié centrale des élèves a eu entre telle et telle note » ou « quelle note il faut pour être dans le quart supérieur ».
Dans les bilans de classe ou l’analyse des résultats d’un examen blanc, on place côte à côte un diagramme en boîte par classe ou par matière pour comparer les répartitions d’un coup d’œil.

Bien lire des données où la moyenne trompe, comme les salaires (statistique et économie)

Pour des données comme les salaires ou l’épargne, quelques valeurs très élevées tirent la moyenne vers le haut : la moyenne n’est alors pas ce que touche une personne « ordinaire ». La médiane et les premier et troisième quartiles donnent une image plus proche de la réalité. En France, l’INSEE publie ainsi les salaires avec la médiane, les quartiles et les déciles, en plus de la moyenne.
Pour savoir où l’on se situe dans l’ensemble, les quartiles sont un repère plus fiable que la moyenne.

Repérer les erreurs de mesure et les valeurs inhabituelles (contrôle qualité et analyse de données)

Pour chercher des valeurs suspectes dans des mesures de pièces, des relevés de capteurs ou un jeu de données avant analyse, la règle des 1,5×IQR est l’un des repères les plus utilisés. Contrairement à la moyenne et à l’écart-type, elle est peu influencée par les valeurs aberrantes elles-mêmes, ce qui en fait un outil pratique pour les trouver.
Mais une valeur aberrante n’est pas toujours une erreur : en pratique, on ne la supprime pas automatiquement. On cherche d’abord la cause (faute de saisie, ou phénomène réellement inhabituel), puis on décide quoi en faire.

Comparer la régularité de résultats (sport et météo)

Pour les temps d’un athlète ou d’un nageur, la régularité compte autant que la vitesse moyenne. En plaçant côte à côte les résultats de plusieurs sportifs, ou de plusieurs saisons, sous forme de diagrammes en boîte, on compare à la fois la vitesse et la régularité (la petite taille de la boîte).
En météorologie et en climatologie aussi, les diagrammes en boîte servent souvent à comparer la variabilité des températures ou des précipitations d’une ville ou d’un mois à l’autre.

Formules et figures

Trouver les quartiles (Q1, Q2, Q3)

Pour comparaison : la méthode des moitiés (calculatrices, manuels anglo-saxons)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(Q_2\) \(=\) \(\text{médiane de toute la série}\)

\(Q_1\) \(=\) \(\text{valeur de rang } \lceil n/4 \rceil\)

\(Q_3\) \(=\) \(\text{valeur de rang } \lceil 3n/4 \rceil\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① \(Q_2\) : médiane \(=\) médiane de toute la série

\(Q_1\) : premier quartile \(=\) ② valeur de rang \(\lceil n/4 \rceil\) dans l’ordre croissant

\(Q_3\) : troisième quartile \(=\) ③ valeur de rang \(\lceil 3n/4 \rceil\) dans l’ordre croissant

La formule en mots

① Rangez les données dans l’ordre croissant. La \(Q_2\) : médiane est la valeur du milieu (si l’effectif est pair, la moyenne des deux valeurs du milieu)

② La valeur de rang \(\lceil n/4 \rceil\) dans l’ordre croissant est le premier quartile \(Q_1\) : la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales (\(\lceil \; \rceil\) : arrondi à l’entier supérieur ou égal)

③ La valeur de rang \(\lceil 3n/4 \rceil\) dans l’ordre croissant est le troisième quartile \(Q_3\) : la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des données lui soient inférieures ou égales

Exemple simple

Pour les 9 valeurs 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 (\(n = 9\)), on a \(9 \div 4 = 2{,}25\), arrondi à 3, et \(3 \times 9 \div 4 = 6{,}75\), arrondi à 7, donc

\(Q_2\) : médiane \(=\) valeur de rang 5 (5)

\(Q_1\) : premier quartile \(=\) valeur de rang 3 (3)

\(Q_3\) : troisième quartile \(=\) valeur de rang 7 (7)

\(Q_2 = 5\)

\(Q_1 = 3\)

\(Q_3 = 7\)

L’idée clé

Les quartiles sont les trois valeurs qui partagent la série rangée en quatre parties de même effectif, environ 25 % des données chacune : jusqu’à \(Q_1\), de \(Q_1\) à \(Q_2\), de \(Q_2\) à \(Q_3\) et au-delà de \(Q_3\). \(Q_2\) est exactement au milieu de la série : c’est la médiane elle-même. Cette page suit la définition du programme de lycée en France : \(Q_1\) est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales (\(Q_3\) : au moins 75 %). Avec cette définition, \(Q_1\) et \(Q_3\) sont toujours des valeurs de la série. Il existe d’autres méthodes : les calculatrices et les manuels anglo-saxons coupent la série à la médiane en une moitié inférieure et une moitié supérieure, et prennent la médiane de chaque moitié (c’est la méthode de la figure ci-dessus, qui donne ici \(Q_1 = 2{,}5\) et \(Q_3 = 7{,}5\)), et la fonction QUARTILE.INCLURE d’Excel fait une interpolation entre deux valeurs. Les résultats peuvent donc différer un peu (la section Excel ci-dessous en dit plus).

Écart interquartile (IQR) et demi-écart interquartile

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\text{IQR}\) \(=\) \(Q_3\) \(-\) \(Q_1\)

\(\text{demi-écart interquartile}\) \(=\) \(\text{IQR}\) \(\div\) \(2\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ IQR : écart interquartile \(=\) ① \(Q_3\) : troisième quartile \(-\) ② \(Q_1\) : premier quartile

⑤ demi-écart interquartile \(=\) ④ IQR : écart interquartile \(\div\) \(2\)

La formule en mots

① Au \(Q_3\) : troisième quartile

② on soustrait le \(Q_1\) : premier quartile

③ et on obtient l’ IQR : écart interquartile (la largeur de la « boîte » du diagramme en boîte).

④ On divise l’ IQR : écart interquartile par 2

⑤ et on obtient le demi-écart interquartile

Exemple simple

Pour les 9 valeurs de 1 à 9 (\(Q_1 = 3\), \(Q_3 = 7\)) :

IQR : écart interquartile \(=\) troisième quartile (7) \(-\) premier quartile (3)

\(7 - 3 = 4\)

\(4 \div 2 = 2\)

L’idée clé

L’écart interquartile est la largeur de l’intervalle \([Q_1\,;\,Q_3]\), qui contient environ la moitié centrale (50 %) des données : il mesure la dispersion de la série. Contrairement à l’étendue (maximum − minimum), il n’est presque pas influencé par les valeurs extrêmes aux deux bouts (les valeurs aberrantes) : c’est sa force. L’abréviation IQR vient de l’anglais « interquartile range ». Le demi-écart interquartile en est la moitié. Il sert de repère de dispersion : la moitié centrale des données se trouve à peu près à cette distance de part et d’autre de la médiane.

Repérer les valeurs aberrantes (règle des 1,5 × IQR)

Figure (quartiles par la méthode des moitiés)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(<\) \(Q_1\) \(-\) \(1{,}5 \times \text{IQR}\)

\(x\) \(>\) \(Q_3\) \(+\) \(1{,}5 \times \text{IQR}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(x\) : valeur de la série \(<\) ① \(Q_1\) : premier quartile \(-\) ② 1,5 fois l’IQR

\(x\) : valeur de la série \(>\) ③ \(Q_3\) : troisième quartile \(+\) 1,5 fois l’IQR

La formule en mots

① Une valeur est considérée comme aberrante si elle est inférieure au \(Q_1\) : premier quartile

② moins 1,5 fois l’IQR , ou supérieure au

③ \(Q_3\) : troisième quartile plus la même quantité.

④ Une telle \(x\) : valeur de la série est signalée comme valeur aberrante probable

Exemple simple

Pour les 7 valeurs 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 40 (\(Q_1 = 11\) au rang 2, \(Q_3 = 15\) au rang 6, écart interquartile 4) :

valeur de la série (40) \(>\) troisième quartile (15) \(+\) 1,5 fois l’IQR (6)

\(Q_3 + 1{,}5 \times 4 = 15 + 6 = 21\)

\(40 > 21\)

L’idée clé

La règle des 1,5×IQR est un repère courant : une valeur éloignée de plus d’une fois et demie la largeur de la boîte, à partir du bord de la boîte, est considérée comme très éloignée des autres. Ce n’est pas une définition absolue, et certains domaines utilisent d’autres critères. Comme la plupart des logiciels de statistique, cette page utilise des inégalités strictes (< et >) : une valeur exactement égale à un seuil n’est pas aberrante. Certains manuels (au Japon par exemple) la comptent comme aberrante (⩽ et ⩾) ; la différence n’apparaît que si une valeur tombe pile sur un seuil. Dans les manuels français, les moustaches du diagramme en boîte vont le plus souvent jusqu’au minimum et au maximum, ou bien jusqu’aux déciles \(D_1\) et \(D_9\) (les valeurs au-delà sont alors marquées d’un point), et la règle des 1,5×IQR y est peu utilisée. Le diagramme de cette page suit la variante qui montre les valeurs aberrantes à part : les moustaches s’arrêtent à la plus petite et à la plus grande valeur non aberrante, et chaque valeur aberrante est un point séparé. Une valeur aberrante n’est pas forcément une erreur. Ce peut être une faute de saisie ou de mesure, ou bien une valeur réellement exceptionnelle : ne la supprimez pas automatiquement, cherchez d’abord pourquoi elle a cette valeur.

Pour trouver les quartiles, rangez les \(n\) données dans l’ordre croissant : \(Q_1\) est la valeur de rang \(\lceil n/4 \rceil\), la médiane \(Q_2\) est la valeur du milieu, et \(Q_3\) est la valeur de rang \(\lceil 3n/4 \rceil\). L’écart interquartile \(\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1\) est la largeur qui contient environ la moitié centrale des données : c’est la largeur de la « boîte » du diagramme en boîte.

Symboles et termes

Symboles

\(Q_1\)	Q un	Le premier quartile. \(Q\) est l’initiale de « quartile ». C’est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins un quart (25 %) des données lui soient inférieures ou égales : la valeur de rang \(\lceil n/4 \rceil\).
\(Q_2\)	Q deux	La médiane, parfois appelée deuxième quartile : la valeur exactement au milieu de la série. Dans un diagramme en boîte, c’est le trait qui partage la boîte.
\(Q_3\)	Q trois	Le troisième quartile : la plus petite valeur de la série telle qu’au moins trois quarts (75 %) des données lui soient inférieures ou égales, c’est-à-dire la valeur de rang \(\lceil 3n/4 \rceil\).
\(\mathrm{IQR}\)	I Q R	L’écart interquartile, abrégé d’après l’anglais « interquartile range ». C’est \(Q_3 - Q_1\), la largeur qui contient environ la moitié centrale (50 %) des données.
\(\lceil \; \rceil\)	partie entière supérieure	L’arrondi à l’entier supérieur ou égal. Par exemple \(\lceil 2{,}25 \rceil = 3\) et \(\lceil 3 \rceil = 3\). Il sert à trouver le rang de \(Q_1\) et de \(Q_3\).
\(x\)	x	La lettre qui désigne chaque valeur de la série. Sur cette page, elle apparaît dans le test des valeurs aberrantes (par exemple \(x < Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\)).
\(n\)	n	L’effectif total, c’est-à-dire le nombre de valeurs de la série. Le rang des quartiles se calcule à partir de \(n\), et le calcul de la médiane dépend de la parité de \(n\).

Termes

quartile	Les valeurs qui partagent la série rangée en quatre parties de même effectif. On utilise surtout le premier quartile \(Q_1\) et le troisième quartile \(Q_3\) ; entre les deux se trouve la médiane \(Q_2\).
médiane	La valeur exactement au milieu de la série rangée dans l’ordre croissant. Si l’effectif est pair, c’est la moyenne des deux valeurs du milieu. Contrairement à la moyenne, c’est un indicateur de position peu sensible aux valeurs extrêmes.
moitié inférieure	Dans la méthode des moitiés (calculatrices, manuels anglo-saxons, figure de cette page), la première moitié de la série, sous la médiane. Si l’effectif est impair, la médiane n’en fait pas partie. Cette méthode prend la médiane de la moitié inférieure comme \(Q_1\).
moitié supérieure	Dans la méthode des moitiés, la seconde moitié de la série, au-dessus de la médiane. Si l’effectif est impair, la médiane n’en fait pas partie. Cette méthode prend la médiane de la moitié supérieure comme \(Q_3\).
écart interquartile	La différence \(Q_3 - Q_1\) (IQR), c’est-à-dire la largeur de l’intervalle interquartile \([Q_1\,;\,Q_3]\), qui contient environ la moitié centrale des données. C’est un indicateur de dispersion, peu sensible aux valeurs aberrantes.
demi-écart interquartile	L’écart interquartile divisé par 2. C’est un repère de la distance, de part et d’autre de la médiane, sur laquelle s’étend la moitié centrale des données.
diagramme en boîte (boîte à moustaches)	Un graphique qui représente cinq valeurs, le minimum, \(Q_1\), la médiane, \(Q_3\) et le maximum (le résumé à cinq nombres), par une « boîte » et des « moustaches » le long d’un axe gradué. Il permet de comparer facilement la dispersion de plusieurs séries. En France, on le rencontre au collège et on l’étudie en seconde.
moustache	Le trait qui part de chaque côté de la boîte dans un diagramme en boîte. Dans la forme de base, il va jusqu’au minimum et au maximum (ou jusqu’aux déciles \(D_1\) et \(D_9\)). Dans la variante qui montre les valeurs aberrantes à part, il s’arrête à la plus petite et à la plus grande valeur non aberrante.
valeur aberrante	Une valeur très éloignée des autres (on dit aussi valeur atypique). Un repère courant est la règle des 1,5×IQR : les valeurs inférieures à \(Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\) ou supérieures à \(Q_3 + 1{,}5 \times \mathrm{IQR}\).
décile	Les valeurs qui partagent la série rangée en dix parties de même effectif. Le premier décile \(D_1\) est la plus petite valeur telle qu’au moins 10 % des données lui soient inférieures ou égales, et le neuvième décile \(D_9\) la plus petite telle qu’au moins 90 % le soient.
indicateur de position	Un nombre qui résume où se situent les données, comme la moyenne, la médiane ou le mode. Les quartiles étendent l’idée de la médiane aux valeurs qui coupent la série en quatre parties.
étendue	Le maximum moins le minimum. Elle montre la largeur totale de la série, mais une seule valeur aberrante peut beaucoup la changer : c’est son point faible, que l’écart interquartile corrige.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur ces notions est le plus court chemin.

Comparer des nombres et la droite graduée (CM1-6e, 9-12 ans)	Savoir ranger des nombres, y compris décimaux et négatifs, dans l’ordre croissant Savoir se représenter la place de chaque valeur sur une droite graduée
Les indicateurs de position, moyenne et médiane (4e-3e, 13-15 ans)	Savoir que la médiane est la valeur du milieu de la série rangée, et la moyenne des deux valeurs du milieu si l’effectif est pair Savoir que la moyenne et la médiane sont différentes, et que la moyenne bouge beaucoup plus quand il y a une valeur extrême
Quartiles et diagramme en boîte (3e-seconde, 14-16 ans)	Savoir tracer un diagramme en boîte à partir de cinq valeurs : le minimum, \(Q_1\), la médiane, \(Q_3\) et le maximum Comprendre que la largeur de la boîte représente l’écart interquartile, et qu’une boîte plus étroite signifie que la moitié centrale des données est plus resserrée
Calculer avec des décimaux et des fractions (CM2-6e, 10-12 ans)	Savoir calculer la moyenne de deux valeurs, \(\dfrac{a + b}{2}\) (exemple : \(\dfrac{6 + 7}{2} = 6{,}5\)) Savoir multiplier par un décimal comme 1,5 (exemple : \(4 \times 1{,}5 = 6\)) Savoir arrondir un quotient à l’entier supérieur (exemple : \(10 \div 4 = 2{,}5\), arrondi à 3)
Statistiques descriptives (seconde, 15-16 ans)	Savoir que l’étendue, l’écart interquartile, la variance et l’écart-type mesurent tous la dispersion, chacun étant utile dans des situations différentes Savoir lire la forme d’une distribution (où se trouve le pic, de quel côté elle penche) sur un histogramme ou un diagramme en boîte

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver les quartiles avec la définition du lycée (exemple avec 10 valeurs)

Valeur 1	2
Valeur 2	3
Valeur 3	4
Valeur 4	5
Valeur 5	6
Valeur 6	7
Valeur 7	7
Valeur 8	7
Valeur 9	8
Valeur 10	10
Médiane Q2	=MEDIANE(B1:B10)
Premier quartile Q1 (valeur de rang ⌈n/4⌉)	=PETITE.VALEUR(B1:B10;ARRONDI.SUP(NB(B1:B10)/4;0))
Troisième quartile Q3 (valeur de rang ⌈3n/4⌉)	=PETITE.VALEUR(B1:B10;ARRONDI.SUP(3*NB(B1:B10)/4;0))
Écart interquartile IQR	=B13-B12
Demi-écart interquartile	=B14/2

Tableau pour comparer avec la fonction QUARTILE.INCLURE d’Excel (mêmes données)

Valeur 1	2
Valeur 2	3
Valeur 3	4
Valeur 4	5
Valeur 5	6
Valeur 6	7
Valeur 7	7
Valeur 8	7
Valeur 9	8
Valeur 10	10
Q1 (QUARTILE.INCLURE)	=QUARTILE.INCLURE(B1:B10;1)
Q2 (QUARTILE.INCLURE)	=QUARTILE.INCLURE(B1:B10;2)
Q3 (QUARTILE.INCLURE)	=QUARTILE.INCLURE(B1:B10;3)

Tableau pour trouver les seuils des valeurs aberrantes (règle des 1,5×IQR)

Premier quartile Q1	4
Troisième quartile Q3	7
Écart interquartile IQR	=B2-B1
Seuil bas Q1 − 1,5×IQR	=B1-1,5*B3
Seuil haut Q3 + 1,5×IQR	=B2+1,5*B3

Le premier tableau calcule les quartiles avec la même définition que cette page. La fonction PETITE.VALEUR renvoie la valeur d’un rang donné dans l’ordre croissant, et ARRONDI.SUP(…;0) arrondit le rang \(n/4\) (ou \(3n/4\)) à l’entier supérieur : les données n’ont donc pas besoin d’être rangées. Dans cet exemple (10 valeurs), \(10 \div 4 = 2{,}5\) donne le rang 3, donc Q1 = 4, et \(3 \times 10 \div 4 = 7{,}5\) donne le rang 8, donc Q3 = 7. On obtient aussi Q2 = 6,5, IQR = 3 et un demi-écart interquartile de 1,5.
La fonction QUARTILE.INCLURE du deuxième tableau fait une interpolation entre deux valeurs : ses résultats peuvent différer de la définition du lycée. Pour les mêmes données, elle renvoie Q1 = 4,25 au lieu de 4 (ici Q2 = 6,5 et Q3 = 7 coïncident). Pour vérifier un exercice de lycée, utilisez le premier tableau.
Le troisième tableau donne les seuils : −0,5 pour le seuil bas et 11,5 pour le seuil haut. Les valeurs inférieures au seuil bas (−0,5) ou supérieures au seuil haut (11,5) sont des valeurs aberrantes.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver les quartiles avec la définition du lycée (exemple avec 10 valeurs)

Valeur 1	2
Valeur 2	3
Valeur 3	4
Valeur 4	5
Valeur 5	6
Valeur 6	7
Valeur 7	7
Valeur 8	7
Valeur 9	8
Valeur 10	10
Médiane Q2	=MEDIANE(B1:B10)
Premier quartile Q1 (valeur de rang ⌈n/4⌉)	=PETITE.VALEUR(B1:B10;ARRONDI.SUP(NB(B1:B10)/4;0))
Troisième quartile Q3 (valeur de rang ⌈3n/4⌉)	=PETITE.VALEUR(B1:B10;ARRONDI.SUP(3*NB(B1:B10)/4;0))
Écart interquartile IQR	=B13-B12
Demi-écart interquartile	=B14/2

Tableau pour comparer avec la fonction QUARTILE de Google Sheets (mêmes données)

Valeur 1	2
Valeur 2	3
Valeur 3	4
Valeur 4	5
Valeur 5	6
Valeur 6	7
Valeur 7	7
Valeur 8	7
Valeur 9	8
Valeur 10	10
Q1 (QUARTILE)	=QUARTILE(B1:B10;1)
Q2 (QUARTILE)	=QUARTILE(B1:B10;2)
Q3 (QUARTILE)	=QUARTILE(B1:B10;3)

Tableau pour trouver les seuils des valeurs aberrantes (règle des 1,5×IQR)

Premier quartile Q1	4
Troisième quartile Q3	7
Écart interquartile IQR	=B2-B1
Seuil bas Q1 − 1,5×IQR	=B1-1,5*B3
Seuil haut Q3 + 1,5×IQR	=B2+1,5*B3

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles (Google Sheets réglé en français). Copiez tout le tableau et collez-le dans la cellule A1. La fonction QUARTILE de Google Sheets fait la même interpolation que QUARTILE.INCLURE d’Excel : ses résultats peuvent différer de la définition du lycée (le premier tableau).

Calculer avec Python

# données (remplacez-les par vos propres valeurs, séparées par des virgules)
data = [3, 7, 7, 4, 10, 8, 6, 5, 7, 2]

def median(sorted_values):
    # médiane d’une liste triée (effectif pair : moyenne des deux valeurs du milieu)
    count = len(sorted_values)
    middle = count // 2
    if count % 2 == 1:
        return sorted_values[middle]
    return (sorted_values[middle - 1] + sorted_values[middle]) / 2

values = sorted(data)
n = len(values)
lower_half = values[: n // 2]        # moitié inférieure (effectif impair : première moitié sans la médiane)
upper_half = values[(n + 1) // 2:]   # moitié supérieure (seconde moitié, de la même façon)

q1 = median(lower_half)
q2 = median(values)
q3 = median(upper_half)
iqr = q3 - q1
quartile_deviation = iqr / 2
fence_low = q1 - 1.5 * iqr
fence_high = q3 + 1.5 * iqr
outliers = [v for v in values if v < fence_low or v > fence_high]

print(f"Q1 = {q1}, Q2 (médiane) = {q2}, Q3 = {q3}")
print(f"Écart interquartile IQR = {iqr}, demi-écart interquartile = {quartile_deviation}")
print(f"Valeurs aberrantes (règle des 1,5×IQR) : {outliers if outliers else 'aucune'}")

La fonction statistics.quantiles de la bibliothèque standard fait une interpolation entre deux valeurs, une autre méthode : ce code calcule donc les quartiles à la main, par la méthode des moitiés. Pour ces données, il donne les mêmes valeurs que la définition du lycée (Q1 = 4, Q2 = 6,5, Q3 = 7, écart interquartile = 3, demi-écart interquartile = 1,5, aucune valeur aberrante), mais ce n’est pas toujours le cas. Pour suivre exactement la définition du lycée, ajoutez import math en tête et remplacez les calculs de q1 et q3 par q1 = values[math.ceil(n / 4) - 1] et q3 = values[math.ceil(3 * n / 4) - 1]. Dans le code, les nombres décimaux s’écrivent avec un point, comme en anglais. Remplacez le contenu de data, puis lancez le programme.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Trouver les quartiles (Q1, Q2, Q3)

Q₂ = Méd(série),  Q₁ = x₍⌈n/4⌉₎,  Q₃ = x₍⌈3n/4⌉₎

Q_2 = \mathrm{M\acute{e}d}(\text{série}),\quad Q_1 = x_{(\lceil n/4 \rceil)},\quad Q_3 = x_{(\lceil 3n/4 \rceil)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>Q</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo>
    <mi>Méd</mi><mo>(</mo><mtext>série</mtext><mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo>
    <msub><mi>x</mi><mrow><mo>(</mo><mo>&#x2308;</mo><mi>n</mi><mo>/</mo><mn>4</mn><mo>&#x2309;</mo><mo>)</mo></mrow></msub>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo>
    <msub><mi>x</mi><mrow><mo>(</mo><mo>&#x2308;</mo><mn>3</mn><mi>n</mi><mo>/</mo><mn>4</mn><mo>&#x2309;</mo><mo>)</mo></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

Q_2 = "Méd"("série"), Q_1 = x_((|~ n/4 ~|)), Q_3 = x_((|~ 3n/4 ~|))

s = Sort[data]; n = Length[s]; q2 = Median[s]; q1 = s[[Ceiling[n/4]]]; q3 = s[[Ceiling[3 n/4]]]

s := sort(data); n := numelems(s); q2 := Statistics:-Median(s); q1 := s[ceil(n/4)]; q3 := s[ceil(3*n/4)];

s = sort(x); n = numel(s); q2 = median(s); q1 = s(ceil(n/4)); q3 = s(ceil(3*n/4));

Q_2 = Méd(série), Q_1 = x_(⌈n/4⌉), Q_3 = x_(⌈3n/4⌉)

Écart interquartile (IQR) et demi-écart interquartile

IQR = Q₃ − Q₁ ;  demi-écart interquartile = IQR ÷ 2

\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1,\quad \text{demi-écart interquartile} = \dfrac{\mathrm{IQR}}{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>IQR</mi><mo>=</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <mtext>demi-écart interquartile</mtext><mo>=</mo>
    <mfrac><mi>IQR</mi><mn>2</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

IQR = Q_3 - Q_1, "demi-écart interquartile" = IQR / 2

iqr = q3 - q1; quartileDeviation = iqr/2

iqr := q3 - q1; qd := iqr/2;

iqr_value = q3 - q1; qd = iqr_value/2;

IQR = Q_3 − Q_1 ; demi-écart interquartile = IQR/2

Repérer les valeurs aberrantes (règle des 1,5 × IQR)

x < Q₁ − 1,5×IQR ou x > Q₃ + 1,5×IQR

x < Q_1 - 1{,}5 \times \mathrm{IQR} \quad \text{ou} \quad x > Q_3 + 1{,}5 \times \mathrm{IQR}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi><mo>&lt;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>1,5</mn><mo>&#x00D7;</mo><mi>IQR</mi>
    <mtext>&#x2003;ou&#x2003;</mtext>
    <mi>x</mi><mo>&gt;</mo>
    <msub><mi>Q</mi><mn>3</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <mn>1,5</mn><mo>&#x00D7;</mo><mi>IQR</mi>
  </mrow>
</math>

x < Q_1 - 1,5 xx IQR " ou " x > Q_3 + 1,5 xx IQR

Select[data, # < q1 - 1.5 iqr || # > q3 + 1.5 iqr &]

select(v -> v < q1 - 1.5*iqr or v > q3 + 1.5*iqr, data);

outliers = x(x < q1 - 1.5*iqr | x > q3 + 1.5*iqr);

x < Q_1 − 1,5×IQR ou x > Q_3 + 1,5×IQR

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul en statistiques. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Calcule les quartiles de la série suivante avec la définition du programme de lycée en France.
Données : 3 ; 7 ; 7 ; 4 ; 10 ; 8 ; 6 ; 5 ; 7 ; 2

La définition : on range les n données dans l’ordre croissant. Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales, c’est-à-dire la valeur de rang n/4 arrondi à l’entier supérieur. Le troisième quartile Q3 est la valeur de rang 3n/4 arrondi à l’entier supérieur. La médiane est la valeur du milieu (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). N’utilise pas de fonctions qui font une interpolation, comme statistics.quantiles.

Donne chacun des éléments suivants :
1. Les données rangées dans l’ordre croissant et le rang de Q1 et de Q3
2. Les valeurs de Q1, de la médiane Q2 et de Q3
3. L’écart interquartile IQR et le demi-écart interquartile
4. Les valeurs aberrantes selon la règle des 1,5×IQR (valeurs inférieures à Q1 − 1,5×IQR ou supérieures à Q3 + 1,5×IQR)

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule