Entrez les coefficients a et b de l’expression ax + b placée dans la valeur absolue, le nombre c du second membre et le type de comparaison (=, <, ⩽, >, ⩾). L’expression ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les nombres directement dedans.
Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Un a vide compte pour 1 (x veut dire 1x), et un b ou un c vide compte pour 0.
Résultat et graphique
Saisissez les coefficients a et b, le nombre c du second membre et le type de comparaison dans les champs à gauche, puis appuyez sur « Calculer ». Les étapes des deux méthodes et la droite graduée s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formules et droites graduées
-
Règle de base pour les équations avec valeur absolue (si \(c > 0\))
-
Règle de base pour les inéquations avec valeur absolue (\(<\) et \(\leqslant\) : entre les bornes)
-
Règle de base pour les inéquations avec valeur absolue (\(>\) et \(\geqslant\) : à l’extérieur des bornes)
-
Enlever la valeur absolue par disjonction de cas (méthode valable pour toute expression)
-
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
-
Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Résolvez les équations et inéquations avec valeur absolue \(|ax+b| = c\), \(< c\), \(\leqslant c\), \(> c\) et \(\geqslant c\) en entrant simplement les coefficients et le type de comparaison. Les résultats sont donnés en fractions irréductibles (valeurs exactes)
- Les étapes des deux méthodes classiques sont affichées : 1) les règles de base (par exemple « si \(|X| = c\), alors \(X = \pm c\) ») et 2) la disjonction de cas (\(ax+b \geqslant 0\) ou \(< 0\)) pour enlever la valeur absolue. Pour chaque cas, le résultat est confronté à la condition du cas, ligne par ligne
- Les cas piégeux comme \(c = 0\) et \(c < 0\) (un seul point, tous les réels sauf un point, aucune solution, tous les réels) sont traités correctement, avec la raison : « une valeur absolue est toujours positive ou nulle »
- L’ensemble des solutions d’une inéquation est représenté sur une droite graduée, avec un point plein quand la borne est comprise et un point creux quand elle ne l’est pas
- Les coefficients peuvent être décimaux, négatifs ou des fractions comme 3/4. Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Le second membre ne peut être qu’un nombre \(c\). Les formes avec \(x\) dans le second membre, comme \(|x-1| < 2x\), et les expressions avec deux valeurs absolues ou plus, comme \(|x-1| + |x-2|\), ne sont pas prises en charge (on peut quand même les résoudre à la main par disjonction de cas, comme expliqué plus bas dans « Formules et droites graduées »).
À quoi sert ce calcul ?
Fixer les limites acceptables d’une pièce (tolérances en fabrication)
Les dimensions d’une pièce fabriquée se contrôlent sous la forme « cote nominale ± tolérance ». Pour une pièce de 50 mm de long avec une tolérance de ±0,5 mm, la condition d’acceptation est exactement l’inéquation avec valeur absolue \(|x - 50| \leqslant 0{,}5\), et ses solutions, \(49{,}5 \leqslant x \leqslant 50{,}5\), forment l’intervalle de tolérance.
L’écriture « \(50 \pm 0{,}5\) » d’un plan technique est une façon courte d’écrire cette inéquation.
La plage de tension du courant domestique (réseaux électriques)
En France, la tension nominale des prises est de 230 volts, et les règles du réseau basse tension prévoient qu’elle reste à ±10 % près, soit entre 207 et 253 volts. C’est l’intervalle \(|V - 230| \leqslant 23\), c’est-à-dire \(207 \leqslant V \leqslant 253\).
Les règles du type « l’écart avec une valeur de référence ne doit pas dépasser une limite » se retrouvent dans beaucoup de domaines, comme la pression de l’eau ou la quantité nette indiquée sur les emballages : chacune s’écrit comme une inéquation avec valeur absolue.
Les tests de seuil en programmation (tolérance et détection de collision)
En programmation, un test qui considère deux valeurs comme égales quand leur écart est assez petit s’écrit par exemple if abs(x - target) <= eps. C’est la façon classique de comparer des nombres décimaux en tolérant les erreurs d’arrondi, ou de décider dans un jeu qu’un personnage est « presque arrivé » à destination.
Cette ligne est l’inéquation avec valeur absolue \(|x - t| \leqslant \varepsilon\) écrite en code : l’intervalle de ses solutions est exactement la zone où le test réussit.
Évaluer l’ampleur d’une erreur de mesure (sciences et contrôles)
L’écart entre une valeur mesurée et la vraie valeur (l’erreur) peut être positif ou négatif. Quand la question est « l’erreur est-elle assez petite ? », on enlève le signe et on regarde \(|\text{valeur mesurée} - \text{valeur de référence}|\).
Par exemple, un thermomètre médical annoncé « précis à ±0,1 °C » garantit à peu près \(|\text{valeur affichée} - \text{vraie valeur}| \leqslant 0{,}1\). Garder cet intervalle en tête change la façon de lire le résultat.
Formules et droites graduées
Règle de base pour les équations avec valeur absolue (si \(c > 0\))
Sur la droite graduée
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(X\)
\(=\)
\(c\)
\(\ \text{ou}\ \)
\(-c\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(X\) : expression dans la valeur absolue
\(=\)
①
\(c\) : côté positif
\(\ \text{ou}\ \)
②
\(-c\) : côté négatif
La formule en mots
①
La valeur absolue \(|X|\) est la distance à 0 sur la droite graduée. Les seuls nombres à une distance exactement \(c\) de 0 sont
\(c\) : côté positif
et
②
\(-c\) : côté négatif
③
Donc l’
\(X\) : expression dans la valeur absolue
vaut l’un de ces deux nombres
Exemple simple
Les solutions de \(|x| = 3\) sont les nombres situés à une distance 3 de 0, donc
expression \(x\)
\(=\)
\(3\)
\(\ \text{ou}\ \)
\(-3\)
\(x = 3 \ \text{ou}\ x = -3\)
L’idée clé
Pour une équation de la forme \(|X| = c\), on considère l’expression \(X\) comme un seul bloc et on enlève la valeur absolue en écrivant \(X = \pm c\). Par exemple, \(|2x - 3| = 5\) donne deux équations du premier degré, \(2x - 3 = 5\) et \(2x - 3 = -5\).
Cette règle ne marche que si le second membre \(c\) est positif. Si \(c = 0\), la seule solution est « le point où l’expression vaut 0 » ; si \(c\) est négatif, il n’y a aucune solution, car une valeur absolue ne peut pas être négative (ce calculateur repère ces cas automatiquement et explique pourquoi).
Règle de base pour les inéquations avec valeur absolue (\(<\) et \(\leqslant\) : entre les bornes)
Sur la droite graduée
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(-c\)
\(<\)
\(X\)
\(<\)
\(c\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(-c\) : borne inférieure
\(<\)
③
\(X\) : expression dans la valeur absolue
\(<\)
②
\(c\) : borne supérieure
La formule en mots
①
Les nombres tels que \(|X| < c\) (distance à 0 inférieure à \(c\)) sont à droite de la
\(-c\) : borne inférieure
②
et à gauche de la
\(c\) : borne supérieure
③
Donc l’
\(X\) : expression dans la valeur absolue
est comprise entre les deux bornes
Exemple simple
Les solutions de \(|x| \leqslant 2\) sont les nombres à une distance de 0 inférieure ou égale à 2, donc
\(-2\)
\(\leqslant\)
expression \(x\)
\(\leqslant\)
\(2\)
\(-2 \leqslant x \leqslant 2\)
L’idée clé
Avec l’inégalité large \(|X| \leqslant c\), les bornes elles-mêmes sont aussi solutions : \(-c \leqslant X \leqslant c\), soit \(X \in [-c\,;\,c]\). Sur une droite graduée, une borne comprise se dessine par un point plein et une borne exclue par un point creux (ou un crochet tourné vers l’extérieur, comme dans \(]-c\,;\,c[\)).
\(-c < X < c\) est une façon compacte d’écrire « \(-c < X\) et \(X < c\) ». Comme c’est « et », seule l’intersection des deux conditions est solution. Plus généralement, \(|x - a| \leqslant r\) signifie que la distance entre \(x\) et \(a\) est au plus \(r\), c’est-à-dire \(x \in [a - r\,;\,a + r]\).
Règle de base pour les inéquations avec valeur absolue (\(>\) et \(\geqslant\) : à l’extérieur des bornes)
Sur la droite graduée
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(X\)
\(<\)
\(-c\)
\(\ \text{ou}\ \)
\(c\)
\(<\)
\(X\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(X\) : expression dans la valeur absolue
\(<\)
①
\(-c\) : borne inférieure
\(\ \text{ou}\ \)
②
\(c\) : borne supérieure
\(<\)
\(X\) : expression dans la valeur absolue
La formule en mots
①
Les nombres tels que \(|X| > c\) (distance à 0 supérieure à \(c\)) sont soit plus à gauche que la
\(-c\) : borne inférieure
②
soit plus à droite que la
\(c\) : borne supérieure
③
Donc l’
\(X\) : expression dans la valeur absolue
se trouve dans l’un des deux intervalles à l’extérieur des bornes
Exemple simple
Les solutions de \(|x| > 1\) sont les nombres à une distance de 0 strictement supérieure à 1, donc
expression \(x\)
\(<\)
\(-1\)
\(\ \text{ou}\ \)
\(1\)
\(<\)
expression \(x\)
\(x < -1 \ \text{ou}\ 1 < x\)
L’idée clé
Un moyen mnémotechnique : « inférieur, c’est entre les bornes ; supérieur, c’est à l’extérieur ». La même idée « entre ou à l’extérieur » revient avec les inéquations du second degré (selon que la parabole est au-dessus ou au-dessous de l’axe des abscisses).
Dans « \(x < -1\) ou \(1 < x\) », le mot « ou » compte. Aucun \(x\) ne peut être dans les deux intervalles à la fois : ne confondez pas avec « et ». Avec les intervalles, on écrit l’ensemble des solutions \(]-\infty\,;\,-1[\, \cup\, ]1\,;\,+\infty[\).
Enlever la valeur absolue par disjonction de cas (méthode valable pour toute expression)
Sur un graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\lvert X \rvert\)
\(=\)
\(X\)
\(\quad (X \geqslant 0)\)
\(\lvert X \rvert\)
\(=\)
\(-X\)
\(\quad (X < 0)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(|X|\) : valeur absolue
\(=\)
①
\(X\) : tel quel
\(\quad (X \geqslant 0)\)
\(|X|\) : valeur absolue
\(=\)
②
\(-X\) : avec le signe changé
\(\quad (X < 0)\)
La formule en mots
①
Quand l’expression est positive ou nulle (\(X \geqslant 0\)), on enlève la valeur absolue et on garde
\(X\) : tel quel
②
Quand l’expression est négative (\(X < 0\)), on enlève la valeur absolue et on obtient
\(-X\) : avec le signe changé
③
Ainsi, la
\(|X|\) : valeur absolue
peut toujours être enlevée en distinguant les cas selon le signe de l’expression
Exemple simple
Exemple avec une expression négative : quand \(X = -5\), on change le signe pour enlever la valeur absolue
\(\lvert -5 \rvert\)
\(=\)
avec le signe changé, \(-(-5)\)
\(\lvert -5 \rvert = -(-5) = 5\)
L’idée clé
Ce qui déroute souvent : « on met un signe moins, et pourtant le résultat est positif ». Si \(X\) est lui-même négatif, alors \(-X\) est positif (si \(X = -5\), alors \(-X = 5\)).
Après avoir enlevé la valeur absolue cas par cas, vérifiez toujours que la solution de chaque cas respecte la condition du cas (\(X \geqslant 0\) ou \(X < 0\), traduite en condition sur \(x\)). On rejette toute solution qui ne la respecte pas, puis on réunit les solutions de tous les cas pour obtenir le résultat final.
La disjonction de cas marche même pour des expressions plus difficiles où les règles de base ne s’appliquent pas (avec \(x\) dans le second membre, ou avec deux valeurs absolues, par exemple). Dans la zone de résultat, ce calculateur affiche ces étapes et ces vérifications comme méthode 2.
Quand le second membre \(c\) est positif, les équations et inéquations avec valeur absolue se ramènent au premier degré grâce aux règles de base : \(=\) donne \(X = \pm c\), \(<\) donne l’intervalle entre les bornes, \(-c < X < c\), et \(>\) donne les intervalles à l’extérieur, \(X < -c\) ou \(c < X\). Même quand les règles de base ne s’appliquent pas, la disjonction de cas selon le signe de l’expression permet toujours d’enlever la valeur absolue. N’oubliez pas ensuite de confronter chaque résultat à la condition du cas et de ne garder que l’intersection.
Symboles et termes
Symboles
| \(|x|\) | valeur absolue de x | Le symbole de la valeur absolue. Un nombre écrit entre deux barres verticales désigne sa distance à 0 sur la droite graduée. Une distance est toujours positive ou nulle : \(|5| = 5\) et \(|-5| = 5\). |
| \(X\) | X majuscule | Sur cette page, la lettre qui remplace toute l’expression placée dans la valeur absolue, \(ax+b\), vue comme un seul bloc. En la considérant comme une seule lettre, on peut appliquer directement les règles de base. |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Des lettres souvent utilisées pour des nombres fixés (des constantes), par convention les premières lettres de l’alphabet. Sur cette page, \(a\) et \(b\) sont le coefficient et la constante de l’expression \(ax+b\), et \(c\) est le nombre du second membre. |
| \(x\) | x | L’inconnue qu’on cherche. L’habitude de noter les inconnues avec les dernières lettres de l’alphabet, \(x,\ y,\ z\), viendrait du mathématicien René Descartes. |
| \(\pm\) | plus ou moins | Un symbole qui écrit en une fois « le cas \(+\) et le cas \(-\) ». \(X = \pm 5\) est une façon courte d’écrire \(X = 5\) ou \(X = -5\). |
| \(<,\ >\) | strictement inférieur à, strictement supérieur à | Des symboles d’inégalité stricte. Le côté ouvert du symbole est tourné vers le plus grand nombre. La borne elle-même n’est pas comprise (point creux sur la droite graduée, crochet tourné vers l’extérieur dans un intervalle). |
| \(\geqslant,\ \leqslant\) | supérieur ou égal à, inférieur ou égal à | Des symboles d’inégalité large : la borne elle-même est comprise (point plein sur la droite graduée). En France, on les écrit avec un trait incliné (⩾, ⩽) ; les formes ≥, ≤ et, au Japon, ≧, ≦ ont le même sens. |
| \(\neq\) | différent de | Le symbole « n’est pas égal à ». \(x \neq 2\) signifie « tous les nombres réels sauf 2 » ; il apparaît dans les solutions de \(|X| > 0\). |
Termes
| valeur absolue | La distance entre 0 et un nombre sur la droite graduée. Une distance est toujours positive ou nulle. Un nombre positif reste le même (\(|5| = 5\)), un nombre négatif perd son signe (\(|-5| = 5\)). Plus généralement, \(|x - a|\) est la distance entre \(x\) et \(a\) : on l’étudie en seconde. |
| équation | Une égalité qui contient une inconnue. Une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie est une « solution », et trouver toutes les solutions, c’est « résoudre l’équation ». |
| inéquation | Une inégalité qui contient une inconnue, écrite avec un symbole (\(<\), \(\leqslant\), \(>\), \(\geqslant\)). Ses solutions forment en général un intervalle (ou une réunion d’intervalles) plutôt qu’un seul nombre, plus facile à comprendre sur une droite graduée. |
| expression du premier degré | Une expression où \(x\) n’apparaît qu’à la puissance 1, comme \(2x - 3\). Sur cette page, l’expression dans la valeur absolue est du premier degré. |
| disjonction de cas | Quand une expression change de forme selon la situation, on sépare le problème en plusieurs cas et on résout chacun séparément. La valeur absolue en est l’exemple type, car la façon de l’enlever dépend du signe de l’expression. |
| condition du cas | La condition qui définit un cas, par exemple \(2x - 3 \geqslant 0\). Quand on distingue des cas, on vérifie toujours que la solution de chaque cas respecte sa condition (pour un intervalle, qu’il y a une intersection), et on rejette toute solution qui ne la respecte pas. |
| intersection | La partie commune à deux intervalles (ce qui correspond à « et »), notée \(\cap\). Une méthode courante consiste à tracer les intervalles sur des droites graduées l’une au-dessus de l’autre et à lire où ils se chevauchent. |
| droite graduée | Une droite sur laquelle chaque nombre est représenté par un point. Les nombres augmentent vers la droite. Elle sert à visualiser les valeurs absolues (distances à 0) et les solutions des inéquations. |
| transposition | Faire passer un terme d’une équation ou d’une inéquation dans l’autre membre en changeant son signe. En faisant passer le \(-3\) de \(2x - 3 = 5\) à droite, on obtient \(2x = 5 + 3\). |
| nombre réel | Tout nombre qu’on peut placer sur la droite graduée : entiers, fractions et décimaux, mais aussi des nombres comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\). L’ensemble des réels se note \(\mathbb{R}\). |
| aucune solution | Aucun \(x\) ne vérifie la condition (l’ensemble des solutions est vide, noté \(\varnothing\)). Par exemple, \(|x| = -2\) n’a aucune solution, car une valeur absolue ne peut pas être négative. |
| tous les réels | C’est vrai quelle que soit la valeur de \(x\) : l’ensemble des solutions est \(\mathbb{R}\). Par exemple, \(|x| \geqslant -1\) est toujours vraie, car une valeur absolue est toujours positive ou nulle. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur ces notions est le plus court chemin.
| Les nombres relatifs et la droite graduée (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Le sens de la valeur absolue (seconde, 15-16 ans) |
|
| Les équations du premier degré (4e, 13-14 ans) |
|
| Les inéquations du premier degré (3e-seconde, 14-16 ans) |
|
| Le calcul avec les fractions (6e-4e, 11-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour résoudre |ax + b| = c
| Coefficient de x, a | 2 |
| Constante b | -3 |
| Second membre c | 5 |
| Solution 1 (x pour lequel l’expression vaut c) | =(B3-B2)/B1 |
| Solution 2 (x pour lequel l’expression vaut −c) | =(-B3-B2)/B1 |
Tableau pour trouver l’intervalle solution de |ax + b| ⩽ c
| Coefficient de x, a | 2 |
| Constante b | -3 |
| Second membre c | 5 |
| Borne gauche de l’intervalle | =MIN((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
| Borne droite de l’intervalle | =MAX((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
Tableau pour vérifier une solution en la remplaçant
| Coefficient de x, a | 2 |
| Constante b | -3 |
| x à vérifier | 4 |
| Valeur de |ax + b| | =ABS(B1*B3+B2) |
Une fois le tableau collé, les lignes du haut (les coefficients et le second membre) sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement.
Le premier tableau traite |2x − 3| = 5 : il donne la solution 1 = 4 et la solution 2 = −1. Si vous entrez 0 ou un nombre négatif pour c, des nombres s’affichent quand même, mais la vraie réponse est « un seul point si c = 0, aucune solution si c est négatif » : attention (le calculateur de cette page repère ces cas automatiquement).
Le deuxième tableau donne l’intervalle solution de |2x − 3| ⩽ 5, soit −1 ⩽ x ⩽ 4. MIN donne la borne gauche et MAX la borne droite. Pour > et ⩾, les solutions sont les deux intervalles à l’extérieur de ces valeurs.
Le troisième tableau sert à vérifier. En remplaçant x par la solution 4, la valeur d’ABS (la fonction valeur absolue) redonne le second membre, 5.
Le premier tableau traite |2x − 3| = 5 : il donne la solution 1 = 4 et la solution 2 = −1. Si vous entrez 0 ou un nombre négatif pour c, des nombres s’affichent quand même, mais la vraie réponse est « un seul point si c = 0, aucune solution si c est négatif » : attention (le calculateur de cette page repère ces cas automatiquement).
Le deuxième tableau donne l’intervalle solution de |2x − 3| ⩽ 5, soit −1 ⩽ x ⩽ 4. MIN donne la borne gauche et MAX la borne droite. Pour > et ⩾, les solutions sont les deux intervalles à l’extérieur de ces valeurs.
Le troisième tableau sert à vérifier. En remplaçant x par la solution 4, la valeur d’ABS (la fonction valeur absolue) redonne le second membre, 5.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour résoudre |ax + b| = c
| Coefficient de x, a | 2 |
| Constante b | -3 |
| Second membre c | 5 |
| Solution 1 (x pour lequel l’expression vaut c) | =(B3-B2)/B1 |
| Solution 2 (x pour lequel l’expression vaut −c) | =(-B3-B2)/B1 |
Tableau pour trouver l’intervalle solution de |ax + b| ⩽ c
| Coefficient de x, a | 2 |
| Constante b | -3 |
| Second membre c | 5 |
| Borne gauche de l’intervalle | =MIN((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
| Borne droite de l’intervalle | =MAX((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
Tableau pour vérifier une solution en la remplaçant
| Coefficient de x, a | 2 |
| Constante b | -3 |
| x à vérifier | 4 |
| Valeur de |ax + b| | =ABS(B1*B3+B2) |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles (Google Sheets réglé en français). Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les coefficients et le second membre par vos propres nombres.
Calculer avec Python
from fractions import Fraction
# Résoudre |a*x + b| ? c (une fraction comme 3/4 s’écrit Fraction(3, 4))
a = Fraction(2) # coefficient de x
b = Fraction(-3) # constante (dans la valeur absolue)
c = Fraction(5) # nombre du second membre
sign = "<=" # au choix : "=", "<", "<=", ">", ">="
lower = (-c - b) / a # x pour lequel l’expression vaut -c
upper = (c - b) / a # x pour lequel l’expression vaut c
left, right = min(lower, upper), max(lower, upper)
if c > 0:
if sign == "=":
print(f"Solutions : x = {left} ou x = {right}")
elif sign in ("<", "<="):
print(f"Solutions : {left} {sign} x {sign} {right}")
else:
flipped = "<" if sign == ">" else "<="
print(f"Solutions : x {flipped} {left} ou {right} {flipped} x")
elif c == 0:
boundary = -b / a # x pour lequel l’expression vaut 0
if sign in ("=", "<="):
print(f"Solution : x = {boundary}")
elif sign == "<":
print("Aucune solution")
elif sign == ">":
print(f"Solutions : x ≠ {boundary}")
else:
print("Tous les réels")
else:
# Une valeur absolue est toujours positive ou nulle : la comparaison avec un c négatif est décidée d’avance
if sign in (">", ">="):
print("Tous les réels")
else:
print("Aucune solution")
Avec le module fractions de la bibliothèque standard, on calcule avec des fractions exactes, sans erreur d’arrondi. Cet exemple résout |2x − 3| ⩽ 5 ; à l’exécution, il affiche « Solutions : -1 <= x <= 4 » (en Python, <= s’écrit à la place de ⩽). Modifiez les coefficients et la comparaison (sign), puis relancez.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Règle de base pour les équations avec valeur absolue (si \(c > 0\))
|X| = c ⇔ X = ±c (c > 0)
\lvert X \rvert = c \iff X = \pm c \quad (c > 0)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo>=</mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mi>X</mi><mo>=</mo><mo>±</mo><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) = c iff X = +-c
Solve[Abs[x] == c, x, Reals]
solve(abs(x) = c, x);
solve(abs(x) == c, x)
|X| = c ⇔ X = ±c (c > 0)
Règle de base pour les inéquations avec valeur absolue (\(<\) et \(\leqslant\) : entre les bornes)
|X| < c ⇔ −c < X < c
\lvert X \rvert < c \iff -c < X < c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo><</mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mo>−</mo><mi>c</mi><mo><</mo><mi>X</mi><mo><</mo><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) < c iff -c < X < c
Reduce[Abs[x] < c, x, Reals]
solve(abs(x) < c, x);
solve(abs(x) < c, x, 'ReturnConditions', true)
|X| < c ⇔ −c < X < c
Règle de base pour les inéquations avec valeur absolue (\(>\) et \(\geqslant\) : à l’extérieur des bornes)
|X| > c ⇔ X < −c ou c < X
\lvert X \rvert > c \iff X < -c \ \text{ou}\ c < X
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo>></mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mi>X</mi><mo><</mo><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mtext> ou </mtext>
<mi>c</mi><mo><</mo><mi>X</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) > c iff X < -c " ou " c < X
Reduce[Abs[x] > c, x, Reals]
solve(abs(x) > c, x);
solve(abs(x) > c, x, 'ReturnConditions', true)
|X| > c ⇔ X < −c ou c < X
Enlever la valeur absolue par disjonction de cas (méthode valable pour toute expression)
|X| = X (X ⩾ 0) ; |X| = −X (X < 0)
\lvert X \rvert = \begin{cases} X & (X \geqslant 0) \\ -X & (X < 0) \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo><mo>=</mo>
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left left">
<mtr>
<mtd><mi>X</mi></mtd>
<mtd><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>⩾</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><mo>−</mo><mi>X</mi></mtd>
<mtd><mo>(</mo><mi>X</mi><mo><</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mrow>
</math>
abs(X) = {(X, (X >= 0)), (-X, (X < 0)):}
Abs[x] == Piecewise[{{x, x >= 0}, {-x, x < 0}}]
abs(x) = piecewise(x >= 0, x, x < 0, -x);
piecewise(x >= 0, x, x < 0, -x)
|X| = X (X ⩾ 0) ; |X| = −X (X < 0)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en mathématiques (niveau lycée). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Résous l’inéquation avec valeur absolue |2x − 3| ⩽ 5. Donne chacun des éléments suivants : 1. L’inéquation réécrite avec la règle de base (sous la forme −c ⩽ 2x − 3 ⩽ c) 2. L’ensemble des solutions, sous forme d’intervalle (bornes en fractions irréductibles ou en entiers) 3. Résous-la aussi par disjonction de cas (2x − 3 ⩾ 0 et 2x − 3 < 0), donne la solution de chaque cas et son intersection avec la condition du cas, et vérifie qu’on retrouve le résultat du point 2 En Python, calcule de façon exacte avec solveset de sympy (ou un équivalent de Reduce avec Abs) et le module fractions, et montre le code utilisé et le résultat de l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Résoudre une inéquation du second degré (ensemble des solutions, discriminant et graphique)
Résout les inéquations comme ax² + bx + c > 0, avec des étapes selon le signe du discriminant et la parabole
Résoudre une équation du premier degré (étapes et vérification)
Une fois la valeur absolue enlevée, on résout une équation du premier degré. Résout ax + b = cx + d avec les étapes, la vérification et un graphique
