Choisissez le type de rangement et entrez le nombre d’éléments n. Le calculateur compte les façons de les ranger en cercle, avec les étapes et une figure.
Entrez n sous forme de nombre entier de 1 à 1 000. Le champ r ne sert que si vous choisissez « r parmi n en cercle ». Les réponses s’affichent avec tous leurs chiffres, sans arrondi.
Résultat et figure
Choisissez le type de rangement et le nombre d’éléments dans les champs à gauche, puis appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Permutations circulaires \((n-1)!\) (les \(n\) éléments en cercle)
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Permutations circulaires \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) éléments parmi \(n\) en cercle)
-
Colliers \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (un retournement ne change rien)
-
Permutations circulaires avec 2 éléments donnés côte à côte : \(2 \times (n-2)!\)
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Permutations circulaires avec 2 éléments donnés séparés : \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez le nombre de personnes pour savoir de combien de façons \(n\) personnes peuvent s’asseoir autour d’une table ronde (les permutations circulaires) : \((n-1)!\)
- Le calcul fonctionne aussi quand on choisit seulement \(r\) éléments parmi \(n\) pour les ranger en cercle : \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)
- Il compte les colliers \(\dfrac{(n-1)!}{2}\), où deux rangements identiques après retournement comptent pour un seul (il traite aussi correctement \(n = 1\) et \(n = 2\), où la simple division donnerait un résultat faux)
- Il compte les placements où 2 personnes données sont côte à côte, ou non, avec des étapes où l’on regroupe les 2 en un seul bloc
- Les réponses s’affichent avec tous leurs chiffres, sans arrondi. Pour les très grands nombres, une valeur approchée comme \(1{,}23\times10^{35}\) est ajoutée pour voir l’ordre de grandeur d’un coup d’œil
- Des figures de cercles qui tournent montrent pourquoi on divise \(n!\) par \(n\). Des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont aussi sur cette page
Cette page suppose que tous les éléments sont différents les uns des autres (aucun élément identique). Pour les arrangements \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) et les combinaisons \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) d’éléments rangés en ligne, voir les pages associées en bas de page.
À quoi sert ce calcul ?
Préparer un plan de table avec des tables rondes (repas, réunions, mariages)
Autour d’une table ronde, faire tourner toute la table ne change pas qui est à côté de qui. Le nombre de plans de table n’est donc pas le \(n!\) d’une ligne, mais les permutations circulaires \((n-1)!\) : 120 façons pour 6 personnes et 5 040 pour 8 personnes.
Des demandes comme « placer ces 2 personnes ensemble (ou séparément) » changent beaucoup le compte. Avec 6 personnes, il y a 48 façons avec 2 personnes données côte à côte et 72 façons avec elles séparées. Au lieu de deviner, l’organisateur d’un mariage ou d’un repas sait exactement parmi combien de plans de table il doit choisir.
Estimer le nombre de tournées de livraison (logistique et problème du voyageur de commerce)
Imaginons une tournée qui passe une fois par \(n\) points et revient au départ, le dépôt comptant comme un des arrêts. La tournée est le même anneau quel que soit le point de départ (rotation), et si chaque route fait la même distance dans les deux sens, la parcourir à l’envers donne la même distance (retournement). Le nombre de tournées différentes est donc celui des colliers, \(\dfrac{(n-1)!}{2}\).
Avec 10 arrêts dépôt compris, il y a 181 440 tournées, et avec 15 arrêts, environ \(4{,}36\times10^{10}\). Les essayer toutes pour trouver la plus courte n’est pas réaliste : les logiciels de planification utilisent des méthodes astucieuses (optimisation). Ce calcul explique pourquoi « tout essayer » ne marche pas.
Créer des bracelets et des colliers (bijoux)
Le nombre de modèles obtenus en enfilant \(n\) perles de couleurs ou de formes différentes sur un anneau est le nombre de colliers, \(\dfrac{(n-1)!}{2}\). Un anneau reste le même bijou qu’on le fasse tourner ou qu’on le retourne : on divise donc encore les permutations circulaires par \(2\). Cela fait 12 modèles avec 5 perles et 60 avec 6 perles.
Mais si le bijou a un endroit et un envers distincts et ne se porte pas retourné, par exemple avec des perles décorées d’un seul côté, un retournement ne donne plus le même bijou. On ne divise alors pas par \(2\) et on compte les permutations circulaires \((n-1)!\) (120 pour 6 perles). La seule possibilité de retourner le bijou double le nombre de modèles.
L’ordre de jeu dans les jeux de société et de cartes
Dans beaucoup de jeux, on joue à tour de rôle en suivant les places autour de la table, toujours dans le même sens. L’enchaînement « qui joue après qui » ne change pas si l’on fait tourner toutes les places : c’est une permutation circulaire, \((n-1)!\). Cela fait 6 enchaînements pour 4 joueurs et 24 pour 5 joueurs.
Dans les jeux où commencer est un avantage, on veut aussi distinguer qui joue en premier. On multiplie alors les \((n-1)!\) enchaînements par les \(n\) premiers joueurs possibles, ce qui donne \(n!\) (24 pour 4 joueurs). Séparer « l’ordre autour de la table » et « qui commence » aide à trouver une façon équitable de décider.
Organiser un roulement de tâches ou d’équipes (école et travail)
Un roulement qui suit la liste dans l’ordre et revient au début à la fin est le même cycle, quelle que soit la personne qui commence : on le compte comme une permutation circulaire. Un roulement de 5 personnes offre \((5-1)! = 24\) possibilités.
Ajoutez la condition « ces 2 personnes ne doivent pas se suivre (être côte à côte) » et l’on retire du total les cas où elles se suivent : \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\). Pour 5 personnes, il reste 24 − 12 = 12 possibilités. La formule montre clairement qu’une seule condition de plus divise le choix par deux.
Formules et figures
Permutations circulaires \((n-1)!\) (les \(n\) éléments en cercle)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{n}\)
\(=\)
\((n-1)!\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(N\) : nombre de permutations circulaires
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{façons de ranger }n\text{ éléments en ligne, }n!}{\text{rangements identiques par rotation, }n}\)
\(=\)
②
\((n-1)!\) : factorielle de \(n-1\), un de moins
La formule en mots
①
Les
façons de ranger \(n\) éléments en ligne, \(n!\), divisées par les \(n\) rangements identiques par rotation
sont égales à la
②
\((n-1)!\) : factorielle de \(n-1\), un de moins
③
et on obtient le
\(N\) : nombre de permutations circulaires
Exemple simple
Le nombre de façons dont \(4\) personnes peuvent s’asseoir autour d’une table ronde est :
permutations circulaires de 4 personnes
\(=\)
\(\dfrac{\text{4 personnes en ligne, }24\text{ façons}}{\text{identiques par rotation, }4\text{ façons}}\)
\(=\)
factorielle de \(3\), \(3!\)
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
\(\dfrac{24}{4} = 6\)
\((4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
L’idée clé
Quand on range des éléments en cercle, la règle est que deux rangements identiques après une rotation comptent pour une seule façon. Si l’on fait tourner une table ronde avec tout le monde assis, les voisins de chacun ne changent pas du tout.
Le plus simple pour comprendre pourquoi on divise par \(n\) est d’essayer avec \(4\) personnes A, B, C et D. Les lignes ABCD, BCDA, CDAB et DABC sont toutes différentes comme suites de lettres. Mais placez chacune en cercle et lisez-la dans le sens des aiguilles d’une montre en partant du haut : elles forment exactement le même cercle, « B à droite de A, C à droite de B, D à droite de C et A à droite de D ». Chacune ne fait que déplacer la première lettre à la fin.
Chaque cercle correspond donc exactement à \(n\) lignes (on peut décaler \(n\) fois en un tour complet, ni plus ni moins). Les \(n!\) lignes comptent chaque cercle \(n\) fois : diviser par \(n\) supprime les répétitions et donne le nombre de cercles différents.
On peut aussi raisonner en fixant un élément. Une fois la place d’une personne décidée, on ne peut plus faire tourner le rangement pour en obtenir un autre. Les \(n-1\) autres personnes se rangent simplement, ce qui donne \((n-1)!\) façons. On retrouve le même résultat sans division.
Permutations circulaires \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) éléments parmi \(n\) en cercle)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(N\) : nombre de façons de ranger en cercle
\(=\)
①
\(\dfrac{r\text{ parmi }n\text{ en ligne, }{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{\text{rangements identiques par rotation, }r}\)
La formule en mots
①
Les
façons de ranger en ligne \(r\) éléments parmi \(n\), \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), divisées par les \(r\) rangements identiques par rotation
donnent le
②
\(N\) : nombre de façons de ranger en cercle
Exemple simple
Le nombre de façons de choisir \(3\) personnes parmi \(8\) et de les asseoir autour d’une table ronde de 3 places est :
permutations circulaires de 3 personnes parmi 8
\(=\)
\(\dfrac{\text{3 parmi 8 en ligne, }336\text{ façons}}{\text{identiques par rotation, }3\text{ façons}}\)
\({}_{8}\mathrm{P}_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336\)
\(\dfrac{336}{3} = 112\)
L’idée clé
Imaginez une table ronde de seulement \(r\) places, où l’on fait asseoir des personnes choisies parmi \(n\) candidats. Il n’y a que \(r\) éléments dans le cercle, donc les rangements identiques par rotation vont par groupes de \(r\). Attention à ne pas diviser par \(n\) par erreur.
Quand \(r = n\), \({}_{n}\mathrm{P}_{n} = n!\), donc \(\dfrac{n!}{n} = (n-1)!\) : on retrouve exactement la formule précédente. Autrement dit, c’est la forme générale, et \((n-1)!\) en est un cas particulier.
Colliers \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (un retournement ne change rien)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(M\)
\(=\)
\(\dfrac{(n-1)!}{2}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(M\) : nombre de colliers
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{permutations circulaires, }(n-1)!}{\text{rangements identiques par retournement, }2}\)
La formule en mots
①
Le
nombre de permutations circulaires \((n-1)!\), divisé par les \(2\) rangements identiques par retournement
donne le
②
\(M\) : nombre de colliers
(pour \(n\) supérieur ou égal à \(3\))
Exemple simple
Le nombre de façons d’enfiler \(5\) perles de couleurs différentes pour faire un bracelet est :
colliers de 5 perles
\(=\)
\(\dfrac{\text{5 perles en cercle, }24\text{ façons}}{\text{identiques retournés, }2\text{ façons}}\)
\((5-1)! = 4! = 24\)
\(\dfrac{24}{2} = 12\)
L’idée clé
Retournez un collier ou un bracelet sur une table : la gauche et la droite s’échangent. Qu’on le fasse tourner ou qu’on le retourne, c’est toujours le même bijou : on divise donc encore une fois les permutations circulaires par \(2\). On peut aussi dire « \(n\) rangements identiques par rotation et \(2\) par retournement, donc des groupes de \(2n\) » et écrire \(\dfrac{n!}{2n}\) : c’est la même chose.
Ce qui sépare les permutations circulaires des colliers, c’est la possibilité de prendre l’anneau et de le retourner. On ne peut pas retourner une table ronde avec des gens assis autour : le placement à table est une permutation circulaire. On peut prendre un bracelet et le retourner : c’est un collier. Si un énoncé parle d’anneau, de collier, de bracelet, de porte-clés ou de guirlande, demandez-vous si un retournement compte. Cette habitude évite de confondre les deux.
Attention à \(n = 1\) et \(n = 2\). Un anneau d’une ou deux perles est exactement le même une fois retourné. Les rangements ne vont pas par paires, et appliquer la formule telle quelle donnerait \(\dfrac{1}{2}\) façon. La bonne réponse est \(1\) façon dans les deux cas (ce calculateur traite ces cas automatiquement).
Pour \(n\) supérieur ou égal à \(3\), chaque rangement forme toujours une paire avec sa version retournée : diviser par \(2\) compte donc juste.
Permutations circulaires avec 2 éléments donnés côte à côte : \(2 \times (n-2)!\)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(A\)
\(=\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(A\) : rangements avec les 2 côte à côte
\(=\)
①
\((n-2)!\) : permutations circulaires de \(n-1\) éléments, le bloc comptant pour un
\(\times\)
②
\(2\) : ordres des 2 dans le bloc
La formule en mots
①
On prend les
\((n-2)!\) : permutations circulaires de \(n-1\) éléments, en regroupant en un bloc les 2 qui doivent être ensemble
②
on les multiplie par les
\(2\) : ordres des 2 dans le bloc
③
et on obtient les
\(A\) : rangements avec les 2 côte à côte
Exemple simple
Quand \(6\) personnes s’assoient autour d’une table ronde, le nombre de façons dont Léa et Hugo sont côte à côte est :
façons avec les 2 côte à côte
\(=\)
5 éléments en cercle, les 2 formant un bloc, \(4!\)
\(\times\)
ordres des 2 dans le bloc, \(2\)
\((6-2)! = 4! = 24\)
\(24 \times 2 = 48\)
L’idée clé
Pour la condition « toujours côte à côte », la méthode classique consiste à attacher les 2 ensemble pour en faire un seul bloc. Si 2 personnes sur 6 forment un bloc, il reste 5 éléments à ranger en cercle : « le bloc et les 4 autres personnes ». C’est une permutation circulaire de 5 éléments, soit \((5-1)! = 4!\) façons.
Enfin, on multiplie par les \(2\) ordres possibles dans le bloc, « Léa puis Hugo » ou « Hugo puis Léa ». Le piège le plus fréquent est d’oublier cet ordre à l’intérieur du bloc.
\(n = 2\) est la seule exception. Avec seulement 2 personnes, elles sont toujours côte à côte : la réponse est \(1\) façon. Mais la formule du bloc donnerait \(2 \times 0! = 2\) façons (ce calculateur traite ce cas automatiquement).
Permutations circulaires avec 2 éléments donnés séparés : \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(B\)
\(=\)
\((n-1)!\)
\(-\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(B\) : rangements avec les 2 séparés
\(=\)
①
\((n-1)!\) : permutations circulaires sans condition
\(-\)
②
\((n-2)!\) : permutations circulaires de \(n-1\) éléments, le bloc comptant pour un
\(\times\)
③
\(2\) : ordres des 2 dans le bloc
La formule en mots
①
Aux
\((n-1)!\) : permutations circulaires sans condition
②
on retire les
\((n-2)!\) : permutations circulaires de \(n-1\) éléments, les 2 formant un bloc
③
multipliées par les
\(2\) : ordres des 2 dans le bloc
(ce produit est le nombre de rangements avec les 2 côte à côte)
④
et on obtient les
\(B\) : rangements avec les 2 séparés
Exemple simple
Quand \(6\) personnes s’assoient autour d’une table ronde, le nombre de façons dont Léa et Hugo ne sont pas côte à côte est :
façons avec les 2 séparés
\(=\)
6 personnes en cercle, \(5!\)
\(-\)
5 éléments en cercle, les 2 formant un bloc, \(4!\)
\(\times\)
ordres des 2 dans le bloc, \(2\)
\((6-1)! = 5! = 120\)
\(2 \times (6-2)! = 2 \times 24 = 48\)
\(120 - 48 = 72\)
L’idée clé
Compter directement « pas côte à côte » oblige à envisager beaucoup de cas pour la place de chacun. On retire plutôt « les rangements où ils sont côte à côte » de « tous les rangements ». Compter le contraire de ce que l’on cherche (l’événement contraire) puis le retirer du total est une technique classique.
En simplifiant, on peut aussi écrire \((n-1)! - 2(n-2)! = (n-1)(n-2)! - 2(n-2)! = (n-3) \times (n-2)!\). Avec \(n = 3\), cela donne \(0 \times 1! = 0\) façon. Autour d’une table de 3, deux personnes sont toujours voisines : \(0\) façon est bien la bonne réponse.
En cercle, deux rangements identiques après une rotation comptent pour une seule façon : on divise donc les \(n!\) façons en ligne par \(n\), ce qui donne \((n-1)!\) façons. Si un retournement ne change rien non plus, comme pour un collier (les colliers), on divise encore par \(2\) pour obtenir \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) façons (seule exception : \(n \leqslant 2\), qui donne \(1\) façon).
Symboles et termes
Symboles
| \(n\) | n | Le nombre total d’éléments à ranger. La lettre vient de « nombre » et sert très souvent à désigner un effectif. Sur cette page, c’est le nombre de personnes autour d’une table ronde ou le nombre de perles d’un anneau. |
| \(r\) | r | Le nombre d’éléments choisis parmi les \(n\) et réellement rangés. On l’utilise avec \(n\), comme dans \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), et on lit « \(r\) parmi \(n\) ». |
| \(n!\) | factorielle n | La factorielle, \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\) : le nombre de façons de ranger les \(n\) éléments en ligne. La notation avec un point d’exclamation aurait été introduite en 1808 par le mathématicien strasbourgeois Christian Kramp. Par convention, \(0! = 1\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Les arrangements : le nombre de façons de choisir \(r\) éléments parmi \(n\) et de les ranger en ligne, soit \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\). C’est la notation des touches de calculatrice (P comme « permutation » en anglais) ; les manuels français écrivent \(A_n^r\). |
| \(N\) | N majuscule | La lettre utilisée sur cette page pour le nombre de permutations circulaires. C’est l’initiale de « nombre » en majuscule, souvent utilisée pour un nombre que l’on cherche. |
| \(M\) | M | La lettre utilisée sur cette page pour le nombre de colliers. C’est la lettre voisine de \(N\), utilisée quand il faut un autre nombre distinct de \(N\). |
| \(A,\ B\) | A, B | Sur cette page, \(A\) est le nombre de rangements avec 2 éléments donnés côte à côte, et \(B\) le nombre de rangements avec ces 2 éléments séparés. On utilise par habitude les premières lettres de l’alphabet pour des quantités fixées que l’on cherche. |
| \((n-1)!\) | factorielle de n moins 1 | L’expression du nombre de permutations circulaires. C’est ce qui reste quand on supprime les \(n\) répétitions dues aux rotations en rangeant \(n\) éléments en cercle. Raisonner en « fixant un élément et en rangeant les \(n-1\) autres » donne la même expression. |
Termes
| dénombrement | Le fait de compter combien de façons il y a au total de faire quelque chose qui respecte une condition. Toute question « de combien de façons… ? » est un problème de dénombrement. |
| arrangement | Un choix ordonné de \(r\) éléments parmi \(n\), ou le nombre de ces choix, noté \(A_n^r\) dans les manuels et \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) sur les calculatrices. Quand on range les \(n\) éléments, on parle de permutation ; en ligne, c’est une permutation en ligne. |
| permutation en ligne | Un rangement ordinaire sur une ligne droite, appelé ainsi pour le distinguer d’une permutation circulaire. Une ligne a deux bouts : si on la décale, on obtient un autre rangement. |
| permutation circulaire | Un rangement d’éléments en cercle (en anneau). Par convention, deux rangements identiques après une rotation comptent pour une seule façon : \(n\) éléments donnent \((n-1)!\) façons. |
| collier | Une permutation circulaire où deux rangements identiques après retournement comptent aussi pour une seule façon. On s’en sert pour les anneaux que l’on peut retourner, comme les colliers et les bracelets : \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) façons quand \(n\) vaut \(3\) ou plus. (En combinatoire avancée, on réserve souvent le mot « collier » aux rotations seules et on parle de « bracelet » quand le retournement compte aussi.) |
| factorielle | Le produit de tous les entiers de \(1\) à \(n\) (noté \(n!\)). Elle est égale au nombre de façons de ranger \(n\) éléments en ligne et grandit de façon explosive quand \(n\) augmente (\(10! = 3\,628\,800\)). |
| identiques par rotation | Se dit de deux rangements en anneau dont l’un devient exactement l’autre quand on le fait tourner. Dans les permutations circulaires, on ne les distingue pas : ils comptent pour une seule façon. Un tour complet donne \(n\) rangements identiques. |
| identiques par retournement | Se dit de deux rangements en anneau dont l’un devient l’autre quand on retourne l’anneau (gauche et droite inversées, comme dans un miroir). Pour les colliers, ils comptent aussi pour une seule façon. |
| regrouper en un bloc | Attacher ensemble les éléments qui doivent être côte à côte et les traiter comme un seul élément. Le nombre total d’éléments diminue de 1, et à la fin on multiplie par le nombre d’ordres possibles à l’intérieur du bloc. |
| événement contraire | L’ensemble des cas où une condition n’est pas réalisée, noté \(\overline{A}\). Une condition difficile à compter directement, comme « pas côte à côte », se calcule en retirant du total les cas « côte à côte ». |
| double compte | Le fait de compter la même chose deux fois ou plus. Pour les permutations circulaires, chaque anneau est compté \(n\) fois : on divise donc par \(n\) à la fin pour supprimer les répétitions. |
| fixer un élément | Une façon classique de raisonner sur les permutations circulaires. Une fois la place d’une personne décidée, on ne peut plus faire tourner le rangement pour en obtenir un autre : cela revient à ranger les \(n-1\) autres éléments en ligne. |
| principe multiplicatif | La règle de dénombrement selon laquelle, s’il y a \(a\) façons de choisir A et, pour chacune, \(b\) façons de choisir B, il y a \(a \times b\) façons en tout. Multiplier les permutations circulaires avec le bloc par les \(2\) ordres utilise cette règle. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir les points de ce tableau est le plus court chemin.
| Bases du dénombrement (de la seconde à la terminale, 15-18 ans) |
|
| Arrangements et factorielle (terminale, 17-18 ans) |
|
| Diviser pour supprimer les répétitions (du CE2 au CM2, 8-11 ans) |
|
| Rotations et symétries des figures (du CM1 à la 3e, 9-15 ans) |
|
| L’événement contraire (seconde, 15-16 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver les permutations circulaires (n−1)!
| Nombre d’éléments n | 8 |
| Permutations circulaires (n−1)! | =FACT(B1-1) |
Tableau pour trouver les permutations circulaires de r éléments parmi n
| Nombre total n | 8 |
| Nombre en cercle r | 3 |
| Façons en ligne nPr | =PERMUTATION(B1;B2) |
| Permutations circulaires nPr÷r | =B3/B2 |
Tableau pour trouver les colliers (n−1)!÷2
| Nombre d’éléments n | 5 |
| Nombre de colliers | =SI(B1<=2;1;FACT(B1-1)/2) |
Tableau pour trouver les permutations circulaires avec 2 éléments donnés côte à côte ou séparés
| Nombre d’éléments n | 6 |
| Sans condition (n−1)! | =FACT(B1-1) |
| Les 2 côte à côte 2×(n−2)! | =2*FACT(B1-2) |
| Les 2 séparés | =B2-B3 |
Après le collage, les lignes du haut (les nombres d’éléments) sont vos valeurs et les lignes du bas se calculent automatiquement.
FACT calcule la factorielle (n!) et PERMUTATION les arrangements (nPr).
Le premier tableau correspond à 8 personnes autour d’une table ronde : la réponse est 5 040.
Le deuxième fait asseoir 3 personnes parmi 8 autour d’une table ronde : nPr vaut 336, et en divisant par r on obtient 112.
Le SI du troisième tableau traite le cas où n vaut 2 ou moins, où il ne faut pas diviser par 2. Entrez 5 pour n et vous obtenez 12.
Le quatrième tableau reprend l’exemple de 6 personnes autour d’une table ronde : 120 sans condition, 48 côte à côte et 72 séparés.
FACT calcule la factorielle (n!) et PERMUTATION les arrangements (nPr).
Le premier tableau correspond à 8 personnes autour d’une table ronde : la réponse est 5 040.
Le deuxième fait asseoir 3 personnes parmi 8 autour d’une table ronde : nPr vaut 336, et en divisant par r on obtient 112.
Le SI du troisième tableau traite le cas où n vaut 2 ou moins, où il ne faut pas diviser par 2. Entrez 5 pour n et vous obtenez 12.
Le quatrième tableau reprend l’exemple de 6 personnes autour d’une table ronde : 120 sans condition, 48 côte à côte et 72 séparés.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver les permutations circulaires (n−1)!
| Nombre d’éléments n | 8 |
| Permutations circulaires (n−1)! | =FACT(B1-1) |
Tableau pour trouver les permutations circulaires de r éléments parmi n
| Nombre total n | 8 |
| Nombre en cercle r | 3 |
| Façons en ligne nPr | =PERMUTATION(B1;B2) |
| Permutations circulaires nPr÷r | =B3/B2 |
Tableau pour trouver les colliers (n−1)!÷2
| Nombre d’éléments n | 5 |
| Nombre de colliers | =SI(B1<=2;1;FACT(B1-1)/2) |
Tableau pour trouver les permutations circulaires avec 2 éléments donnés côte à côte ou séparés
| Nombre d’éléments n | 6 |
| Sans condition (n−1)! | =FACT(B1-1) |
| Les 2 côte à côte 2×(n−2)! | =2*FACT(B1-2) |
| Les 2 séparés | =B2-B3 |
Les mêmes formules que dans Excel (FACT, PERMUTATION et SI) fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres d’éléments par les vôtres.
Calculer avec Python
from math import factorial, perm
n = 8 # nombre d’éléments
r = 3 # nombre d’éléments rangés en cercle (quand on choisit parmi n)
# permutations circulaires : les n éléments en cercle
circular = factorial(n - 1)
# permutations circulaires : r éléments parmi n en cercle
circular_select = perm(n, r) // r
# colliers : un retournement ne change rien
# quand n vaut 1 ou 2, retourner ne change pas le rangement : 1 façon, sans diviser par 2
necklace = 1 if n <= 2 else factorial(n - 1) // 2
# permutations circulaires avec 2 éléments donnés côte à côte / séparés (pour n au moins égal à 3)
adjacent = 2 * factorial(n - 2)
not_adjacent = factorial(n - 1) - adjacent
print(f"Permutations circulaires : {circular}")
print(f"Permutations circulaires de {r} parmi {n} : {circular_select}")
print(f"Colliers : {necklace}")
print(f"Côte à côte : {adjacent} Séparés : {not_adjacent}")
Fonctionne avec le seul module math de la bibliothèque standard (perm n’existe pas dans les très anciennes versions de Python). Pour diviser des entiers, utilisez « // », qui ne transforme pas le résultat en nombre décimal. Cet exemple affiche 5 040 permutations circulaires, 112 permutations circulaires de 3 parmi 8, 2 520 colliers, 1 440 côte à côte et 3 600 séparés. Modifiez n et r, puis exécutez.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Permutations circulaires \((n-1)!\) (les \(n\) éléments en cercle)
N = n! ÷ n = (n−1)!
N = \frac{n!}{n} = (n-1)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
N = (n!)/n = (n-1)!
N = (n - 1)!
N := (n-1)!;
N = factorial(n-1);
N = n!/n = (n-1)!
Permutations circulaires \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) éléments parmi \(n\) en cercle)
N = ₙPᵣ ÷ r
N = \frac{{}_{n}P_{r}}{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mmultiscripts><mi>P</mi><mi>r</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts></mrow>
<mi>r</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (nPr)/r
N = (n!/(n - r)!)/r
N := numbperm(n, r)/r;
N = nchoosek(n,r)*factorial(r)/r;
N = nPr/r
Colliers \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (un retournement ne change rien)
M = (n−1)! ÷ 2
M = \frac{(n-1)!}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>M</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
M = ((n-1)!)/2
M = (n - 1)!/2
M := (n-1)!/2;
M = factorial(n-1)/2;
M = (n-1)!/2
Permutations circulaires avec 2 éléments donnés côte à côte : \(2 \times (n-2)!\)
A = 2 × (n−2)!
A = 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
A = 2 * (n-2)!
A = 2 (n - 2)!
A := 2*(n-2)!;
A = 2*factorial(n-2);
A = 2(n-2)!
Permutations circulaires avec 2 éléments donnés séparés : \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
B = (n−1)! − 2 × (n−2)!
B = (n-1)! - 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>B</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
B = (n-1)! - 2 * (n-2)!
B = (n - 1)! - 2 (n - 2)!
B := (n-1)! - 2*(n-2)!;
B = factorial(n-1) - 2*factorial(n-2);
B = (n-1)! - 2(n-2)!
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en mathématiques (dénombrement). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). 8 personnes s’assoient autour d’une table ronde. Calcule les 4 choses suivantes : 1. Les permutations circulaires des 8 personnes (deux placements identiques après une rotation comptent pour une seule façon) 2. Le nombre de façons de choisir 3 des 8 personnes et de les asseoir autour d’une table ronde de 3 places 3. Le nombre de colliers formés en enfilant 8 perles sur un anneau (deux rangements identiques après une rotation ou un retournement comptent pour une seule façon) 4. À la table ronde de 8, le nombre de placements où 2 personnes données sont côte à côte, et où elles ne le sont pas En Python, calcule de façon exacte avec le module standard math (factorial et perm), et indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution. Explique aussi pourquoi chaque formule a cette forme.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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Fonctions connexes
Arrangements et combinaisons (nPr, nCr)
Calcule les arrangements nPr (rangement en ligne) et les combinaisons nCr (choix sans ordre)
Combinaisons avec répétition, k-uplets et anagrammes
Compte les possibilités quand un même élément peut être choisi plusieurs fois, et les anagrammes avec lettres répétées
