Saisissez deux nombres (case de la partie entière + cases du numérateur et du dénominateur) et choisissez l’opération (+ − × ÷) dans la liste du milieu. Chaque nombre se lit « partie entière + fraction » ; les nombres entiers et les fractions seules fonctionnent aussi. Le résultat s’affiche en fraction irréductible, sous la forme « entier + fraction » et en nombre décimal, avec les étapes.
Saisissez un nombre entier dans chaque case. Laissez vides les cases inutiles (le numérateur et le dénominateur pour un entier seul, la partie entière pour une fraction seule). Pour un nombre négatif, mettez le signe moins dans la case de la partie entière (il porte sur tout le nombre).
Résultat
Saisissez deux nombres dans les champs à gauche, choisissez l’opération (+ − × ÷) au milieu et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formule
-
Écrire « entier + fraction » comme une seule fraction
-
Additionner (une seule fraction pour chaque nombre, même dénominateur, somme des numérateurs)
-
Soustraire (une seule fraction pour chaque nombre, même dénominateur, différence des numérateurs)
-
Multiplier (une seule fraction pour chaque nombre, produit des numérateurs et des dénominateurs)
-
Diviser (une seule fraction pour chaque nombre, puis multiplier par l’inverse)
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Simplifier, puis écrire le résultat sous la forme « entier + fraction »
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Additionnez, soustrayez, multipliez et divisez des nombres écrits sous la forme « entier + fraction », comme \(\left(2 + \dfrac{1}{3}\right) \times \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)\) : il suffit de saisir la partie entière, le numérateur et le dénominateur dans des cases séparées
- Le résultat s’affiche de trois façons : en fraction irréductible, sous la forme « entier + fraction » et en nombre décimal. Vous voyez aussi les étapes : écrire chaque nombre comme une seule fraction, réduire au même dénominateur, simplifier
- Vous pouvez aussi mélanger des nombres entiers et des fractions (inférieures ou supérieures à 1), et utiliser des nombres négatifs
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Pour \(2 + \dfrac{3}{4}\), saisissez 2 dans la case de la partie entière, puis 3 et 4 dans les cases du numérateur et du dénominateur : les deux s’additionnent. Pour un nombre entier seul ou une fraction seule, laissez vides les cases inutiles. Pour un nombre négatif, mettez le signe moins dans la case de la partie entière : il porte sur tout le nombre (partie entière -2, numérateur 3, dénominateur 4 donne \(-\left(2 + \dfrac{3}{4}\right) = -\dfrac{11}{4}\)).
À quoi sert ce calcul ?
Adapter une recette au nombre de personnes
Pour passer d’une recette pour 4 personnes à 6 personnes, on multiplie les quantités par \(\dfrac{6}{4} = 1 + \dfrac{1}{2}\). Une recette qui demande \(\dfrac{3}{4}\) de litre de lait en demande alors \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{8} = 1 + \dfrac{1}{8}\) litre, soit 1,125 L.
Dès qu’on agrandit ou réduit une recette, ce genre de calcul avec des fractions revient à chaque fois.
Compter les temps en musique
En solfège, un point après une note allonge sa durée de moitié : une noire pointée dure \(1 + \dfrac{1}{2}\) temps. Deux noires pointées durent donc \(\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) + \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) = 3\) temps, soit exactement une mesure à 3/4.
Pour vérifier qu’une mesure est complète ou compter les temps d’un rythme, on additionne sans cesse des entiers et des fractions.
Calculer le tissu ou le ruban pour la couture
Si un ouvrage demande \(1 + \dfrac{3}{4}\) m de tissu et un autre \(2 + \dfrac{1}{2}\) m, il en faut en tout \(\left(1 + \dfrac{3}{4}\right) + \left(2 + \dfrac{1}{2}\right) = 4 + \dfrac{1}{4}\) m.
En mercerie, le tissu se vend souvent au mètre par tranches de 10 cm : en écrivant \(4 + \dfrac{1}{4}\) m sous la forme décimale 4,25 m, vous savez qu’il faut demander 4,30 m, sans en acheter trop ni trop peu.
Planifier son temps de travail ou de révision
Réviser \(1 + \dfrac{1}{2}\) heure (1 h 30) par jour, 6 jours par semaine, fait \(\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) \times 6 = 9\) heures par semaine.
Le temps se prête bien aux fractions (30 minutes = \(\dfrac{1}{2}\) heure, 15 minutes = \(\dfrac{1}{4}\) heure) : en sachant multiplier ces nombres, on estime vite le total d’un planning.
Vérifier les devoirs de maths d’un enfant (de l’école au collège)
En France, on apprend à écrire une fraction comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 en CM1-CM2 (9-11 ans), à additionner des fractions dont les dénominateurs sont multiples l’un de l’autre en 5e (12-13 ans), puis à additionner, multiplier et diviser des fractions quelconques en 4e (13-14 ans).
Si un adulte peut expliquer la démarche avec des mots (une seule fraction → même dénominateur → calcul → simplification), la correction ne se limite plus à « juste » ou « faux ». Les étapes de cette page suivent le même ordre.
Formule
Écrire « entier + fraction » comme une seule fraction
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a + \dfrac{b}{c}\)
\(=\)
\(\dfrac{a \times c + b}{c}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
partie entière \(a\) plus la fraction inférieure à 1 \(\dfrac{b}{c}\)
\(=\)
②
\(\dfrac{\text{partie entière × dénominateur + numérateur}}{\text{même dénominateur}}\)
La formule en mots
①
Pour le nombre formé de la
partie entière \(a\) plus la fraction inférieure à 1 \(\dfrac{b}{c}\)
, on multiplie la partie entière \(a\) par le dénominateur \(c\) et on ajoute le numérateur \(b\). Ce résultat devient le nouveau numérateur, et on obtient une seule fraction
②
\(\dfrac{\text{partie entière × dénominateur + numérateur}}{\text{même dénominateur}}\)
Exemple simple
Écrire \(2 + \dfrac{1}{3}\) (deux plus un tiers) comme une seule fraction donne
entier + fraction \(2 + \dfrac{1}{3}\)
\(=\)
une seule fraction \(\dfrac{2 \times 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}\)
\(2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \times 3}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \times 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}\)
L’idée clé
Le nombre \(2 + \dfrac{1}{3}\) est une somme : on écrit la partie entière 2 sous la forme \(\dfrac{6}{3}\), puis on l’ajoute à la fraction. C’est de là que vient la règle « partie entière × dénominateur + numérateur ».
Dans les pays anglo-saxons, on écrit ce nombre collé, \(2\tfrac{1}{3}\) (un « nombre mixte ») ; en France, on écrit la somme \(2 + \dfrac{1}{3}\), qui dit exactement ce que le nombre vaut.
Pour un nombre négatif, le signe moins porte sur tout le nombre : \(-\left(2 + \dfrac{3}{4}\right) = -\dfrac{11}{4}\).
Pour additionner, soustraire, multiplier ou diviser de tels nombres, le plus sûr est toujours de commencer par écrire chacun comme une seule fraction.
Additionner (une seule fraction pour chaque nombre, même dénominateur, somme des numérateurs)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a + \dfrac{b}{c}\)
\(+\)
\(\left(d + \dfrac{e}{f}\right)\)
\(=\)
\(\dfrac{a \times c + b}{c}\)
\(+\)
\(\dfrac{d \times f + e}{f}\)
\(=\)
\(\dfrac{(a \times c + b) \times f + (d \times f + e) \times c}{c \times f}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
nombre de gauche \(a + \dfrac{b}{c}\)
\(+\)
②
nombre de droite \(d + \dfrac{e}{f}\)
\(=\)
③
\(\dfrac{\text{gauche : partie entière × dénominateur + numérateur}}{\text{dénominateur de gauche}}\)
\(+\)
④
\(\dfrac{\text{droite : partie entière × dénominateur + numérateur}}{\text{dénominateur de droite}}\)
\(=\)
⑤
\(\dfrac{\text{somme des numérateurs après réduction}}{\text{dénominateur commun (produit des dénominateurs)}}\)
La formule en mots
①
On prend le
nombre de gauche \(a + \dfrac{b}{c}\)
②
et le
nombre de droite \(d + \dfrac{e}{f}\)
, et pour chacun, « partie entière × dénominateur + numérateur » devient le nouveau numérateur. On obtient ainsi
③
le nombre de gauche écrit comme une seule fraction \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)
④
et
le nombre de droite écrit comme une seule fraction \(\dfrac{d \times f + e}{f}\)
. On les réduit au même dénominateur et on additionne les numérateurs pour obtenir
⑤
\(\dfrac{\text{somme des numérateurs après réduction}}{\text{dénominateur commun (produit des dénominateurs)}}\)
Exemple simple
Pour \(\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) + \left(2 + \dfrac{1}{3}\right)\), on écrit les fractions \(\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{7}{3}\), puis on les réduit au dénominateur 6 (le PPCM de 2 et 3)
nombre de gauche \(1 + \dfrac{1}{2}\)
\(+\)
nombre de droite \(2 + \dfrac{1}{3}\)
\(=\)
somme des deux nombres \(3 + \dfrac{5}{6}\)
\(\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) + \left(2 + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{9}{6} + \dfrac{14}{6} = \dfrac{23}{6}\)
\(\dfrac{23}{6} = 3 + \dfrac{5}{6}\ \ (\approx 3{,}833)\)
L’idée clé
On bute souvent en voulant additionner directement des fractions de dénominateurs différents. En écrivant d’abord chaque nombre comme une seule fraction, il ne reste qu’une addition de fractions ordinaire : on réduit au même dénominateur et on additionne les numérateurs.
Multiplier les deux dénominateurs entre eux, \(c \times f\), donne toujours un dénominateur commun, mais prendre le PPCM des dénominateurs garde des nombres plus petits et facilite la simplification à la fin (par exemple, avec les dénominateurs 4 et 6, on prend 12 plutôt que 24).
On peut aussi additionner séparément les parties entières et les fractions (\(1 + 2 = 3\) et \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\), donc \(3 + \dfrac{5}{6}\)) : le résultat est le même. Mais quand les fractions dépassent 1 ensemble (par exemple \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{6} = 1 + \dfrac{1}{6}\)), il faut reporter 1 sur la partie entière. En cas de doute, la méthode « une seule fraction » est la plus sûre.
Soustraire (une seule fraction pour chaque nombre, même dénominateur, différence des numérateurs)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a + \dfrac{b}{c}\)
\(-\)
\(\left(d + \dfrac{e}{f}\right)\)
\(=\)
\(\dfrac{a \times c + b}{c}\)
\(-\)
\(\dfrac{d \times f + e}{f}\)
\(=\)
\(\dfrac{(a \times c + b) \times f - (d \times f + e) \times c}{c \times f}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
nombre de gauche \(a + \dfrac{b}{c}\)
\(-\)
②
nombre de droite \(d + \dfrac{e}{f}\)
\(=\)
③
\(\dfrac{\text{gauche : partie entière × dénominateur + numérateur}}{\text{dénominateur de gauche}}\)
\(-\)
④
\(\dfrac{\text{droite : partie entière × dénominateur + numérateur}}{\text{dénominateur de droite}}\)
\(=\)
⑤
\(\dfrac{\text{différence des numérateurs après réduction}}{\text{dénominateur commun (produit des dénominateurs)}}\)
La formule en mots
①
On prend le
nombre de gauche \(a + \dfrac{b}{c}\)
②
et le
nombre de droite \(d + \dfrac{e}{f}\)
, et pour chacun, « partie entière × dénominateur + numérateur » devient le nouveau numérateur. On obtient ainsi
③
le nombre de gauche écrit comme une seule fraction \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)
④
et
le nombre de droite écrit comme une seule fraction \(\dfrac{d \times f + e}{f}\)
. On les réduit au même dénominateur et on soustrait le numérateur de droite de celui de gauche pour obtenir
⑤
\(\dfrac{\text{différence des numérateurs après réduction}}{\text{dénominateur commun (produit des dénominateurs)}}\)
Exemple simple
Pour \(\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{3}{4}\), on écrit le nombre de gauche \(\dfrac{3}{2}\), puis on le réduit au dénominateur 4 (le PPCM de 2 et 4)
nombre de gauche \(1 + \dfrac{1}{2}\)
\(-\)
fraction de droite \(\dfrac{3}{4}\)
\(=\)
gauche moins droite \(\dfrac{3}{4}\)
\(\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}\)
L’idée clé
L’idée est exactement la même que pour l’addition : on écrit chaque nombre comme une seule fraction, on réduit au même dénominateur, puis on soustrait les numérateurs.
Soustraire séparément les parties entières et les fractions oblige à « emprunter » 1 à la partie entière quand la fraction de gauche est trop petite (par exemple dans \(\left(2 + \dfrac{1}{4}\right) - \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)\), on ne peut pas faire \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}\) sans passer par un nombre négatif). On se trompe facilement, donc la méthode « une seule fraction » est la plus sûre.
Si l’on soustrait un nombre plus grand d’un plus petit, le résultat est une fraction négative (par exemple \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}\)). Le calculateur affiche les résultats négatifs tels quels.
Multiplier (une seule fraction pour chaque nombre, produit des numérateurs et des dénominateurs)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\left(a + \dfrac{b}{c}\right)\)
\(\times\)
\(\left(d + \dfrac{e}{f}\right)\)
\(=\)
\(\dfrac{a \times c + b}{c}\)
\(\times\)
\(\dfrac{d \times f + e}{f}\)
\(=\)
\(\dfrac{(a \times c + b) \times (d \times f + e)}{c \times f}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
nombre de gauche \(a + \dfrac{b}{c}\)
\(\times\)
②
nombre de droite \(d + \dfrac{e}{f}\)
\(=\)
③
\(\dfrac{\text{gauche : partie entière × dénominateur + numérateur}}{\text{dénominateur de gauche}}\)
\(\times\)
④
\(\dfrac{\text{droite : partie entière × dénominateur + numérateur}}{\text{dénominateur de droite}}\)
\(=\)
⑤
\(\dfrac{\text{produit des numérateurs}}{\text{produit des dénominateurs}}\)
La formule en mots
①
On écrit le
nombre de gauche \(a + \dfrac{b}{c}\)
②
et le
nombre de droite \(d + \dfrac{e}{f}\)
chacun comme une seule fraction :
③
le nombre de gauche \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)
④
et
le nombre de droite \(\dfrac{d \times f + e}{f}\)
. On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux pour obtenir
⑤
\(\dfrac{\text{produit des numérateurs}}{\text{produit des dénominateurs}}\)
Exemple simple
Pour \(\left(2 + \dfrac{1}{3}\right) \times \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)\), on écrit les fractions \(\dfrac{7}{3}\) et \(\dfrac{3}{2}\), puis on multiplie
nombre de gauche \(2 + \dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
nombre de droite \(1 + \dfrac{1}{2}\)
\(=\)
produit des deux nombres \(3 + \dfrac{1}{2}\)
\(\left(2 + \dfrac{1}{3}\right) \times \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{7 \times 3}{3 \times 2} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3 + \dfrac{1}{2}\)
L’idée clé
Contrairement à l’addition et à la soustraction, la multiplication et la division n’ont pas besoin d’un dénominateur commun. En revanche, on ne peut pas multiplier les parties entières d’un côté et les fractions de l’autre : c’est une erreur fréquente. Par exemple, le bon résultat de \(\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) \times \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)\) est \(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4} = 2 + \dfrac{1}{4}\), alors que multiplier les parties entières (\(1 \times 1 = 1\)) puis les fractions (\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)) donne \(1 + \dfrac{1}{4}\), ce qui est faux. On oublie en fait les produits croisés, comme pour \((a + b)(c + d)\) en développant. Écrivez toujours chaque nombre comme une seule fraction avant de multiplier.
Diviser (une seule fraction pour chaque nombre, puis multiplier par l’inverse)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\left(a + \dfrac{b}{c}\right)\)
\(\div\)
\(\left(d + \dfrac{e}{f}\right)\)
\(=\)
\(\dfrac{a \times c + b}{c}\)
\(\times\)
\(\dfrac{f}{d \times f + e}\)
\(=\)
\(\dfrac{(a \times c + b) \times f}{c \times (d \times f + e)}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
nombre à diviser \(a + \dfrac{b}{c}\)
\(\div\)
②
diviseur \(d + \dfrac{e}{f}\)
\(=\)
③
\(\dfrac{\text{gauche : partie entière × dénominateur + numérateur}}{\text{dénominateur de gauche}}\)
\(\times\)
④
\(\dfrac{\text{dénominateur du diviseur}}{\text{diviseur : partie entière × dénominateur + numérateur}}\)
\(=\)
⑤
\(\dfrac{\text{produit des numérateurs (gauche × inverse)}}{\text{produit des dénominateurs (gauche × inverse)}}\)
La formule en mots
①
On écrit le
nombre à diviser \(a + \dfrac{b}{c}\)
②
et le
diviseur \(d + \dfrac{e}{f}\)
chacun comme une seule fraction. On multiplie
③
le nombre à diviser écrit comme une seule fraction \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)
par
④
l’inverse du diviseur \(\dfrac{f}{d \times f + e}\)
(le diviseur avec son numérateur et son dénominateur échangés), et on obtient
⑤
\(\dfrac{\text{produit des numérateurs (gauche × inverse)}}{\text{produit des dénominateurs (gauche × inverse)}}\)
Exemple simple
Diviser le nombre entier 4 par \(1 + \dfrac{1}{3}\) (soit \(\dfrac{4}{3}\)) revient à multiplier par l’inverse \(\dfrac{3}{4}\)
nombre à diviser : 4
\(\div\)
diviseur \(1 + \dfrac{1}{3}\)
\(=\)
4 divisé par \(1 + \dfrac{1}{3}\) : 3
\(4 \div \left(1 + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{4}{1} \div \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{1} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)
L’idée clé
Diviser par \(\dfrac{1}{2}\) revient à multiplier par 2. De la même façon, diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse (la fraction « retournée »). Pensez « diviser par X » comme « combien de fois X tient dedans » : dans 1, il y a deux moitiés, donc diviser par \(\dfrac{1}{2}\) double le résultat.
Pour diviser par un nombre entier, on utilise la même formule en l’écrivant comme une fraction, par exemple \(\dfrac{4}{1}\). Mais on ne peut jamais diviser par 0.
Simplifier, puis écrire le résultat sous la forme « entier + fraction »
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\dfrac{p}{q}\)
\(=\)
\(\dfrac{p \div g}{q \div g}\)
\(\dfrac{p}{q}\)
\(=\)
\(w + \dfrac{r}{q}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
fraction avant simplification \(\dfrac{p}{q}\)
\(=\)
②
\(\dfrac{\text{numérateur divisé par le PGCD}}{\text{dénominateur divisé par le PGCD}}\)
③
résultat qui est une fraction supérieure à 1 (numérateur ⩾ dénominateur)
\(=\)
④
entier + fraction (partie entière = quotient \(w\) de numérateur ÷ dénominateur, numérateur = reste \(r\))
La formule en mots
①
On divise le numérateur et le dénominateur de la
fraction avant simplification \(\dfrac{p}{q}\)
par le plus grand nombre qui les divise tous les deux (le PGCD \(g\)), et on obtient
②
\(\dfrac{\text{numérateur divisé par le PGCD}}{\text{dénominateur divisé par le PGCD}}\)
(une fraction irréductible, qu’on ne peut plus simplifier)
③
Un
résultat qui est une fraction supérieure à 1 (numérateur ⩾ dénominateur)
peut s’écrire autrement : le quotient \(w\) de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur donne la partie entière, et le reste \(r\) le nouveau numérateur. On obtient
④
entier + fraction (partie entière = quotient \(w\) de numérateur ÷ dénominateur, numérateur = reste \(r\))
Exemple simple
En simplifiant \(\dfrac{21}{6}\), obtenu dans l’exemple de la multiplication (le PGCD de 21 et 6 est 3), on obtient
fraction avant simplification \(\dfrac{21}{6}\)
\(=\)
numérateur et dénominateur divisés par 3 : \(\dfrac{7}{2}\) (soit \(3 + \dfrac{1}{2}\))
\(\dfrac{21}{6} = \dfrac{21 \div 3}{6 \div 3} = \dfrac{7}{2} = 3 + \dfrac{1}{2}\)
L’idée clé
La règle est de simplifier un résultat en fraction à la fin, jusqu’à ce qu’on ne puisse plus le simplifier (fraction irréductible).
Si le résultat simplifié est une fraction supérieure à 1 (numérateur ⩾ dénominateur), on peut l’écrire comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. On fait la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : le quotient est la partie entière, le reste est le nouveau numérateur (par exemple, pour \(\dfrac{7}{2}\) : \(7 = 2 \times 3 + 1\), donc \(\dfrac{7}{2} = 3 + \dfrac{1}{2}\)). Le calculateur affiche le résultat sous les deux formes : fraction et « entier + fraction ».
Pour calculer avec des nombres de la forme « entier + fraction », on commence toujours par écrire chacun comme une seule fraction. Pour additionner ou soustraire, on réduit au même dénominateur et on calcule sur les numérateurs. Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser, on multiplie par l’inverse. Enfin, on simplifie par le PGCD, et si le résultat est une fraction supérieure à 1, on peut l’écrire sous la forme « entier + fraction ».
Symboles et termes
Symboles
| \(\dfrac{a}{b}\) | a sur b | Une fraction. Le nombre du haut \(a\) est le numérateur, celui du bas \(b\) est le dénominateur. Elle a la même valeur que \(a \div b\). Le dénominateur \(b\) ne peut pas être 0. |
| \(a + \dfrac{b}{c}\) | a plus b sur c | Le nombre de gauche : la partie entière \(a\) plus la fraction inférieure à 1 \(\dfrac{b}{c}\). Dans les pays anglo-saxons, on l’écrit collé, \(a\tfrac{b}{c}\) (nombre mixte). Dans le calculateur, on le saisit dans des cases séparées : partie entière, numérateur et dénominateur. |
| \(d + \dfrac{e}{f}\) | d plus e sur f | Le nombre de droite. On utilise d’autres lettres pour le distinguer de celui de gauche dans les formules ; il se lit de la même façon. |
| \(g\) | g | Le PGCD utilisé dans la formule de simplification : le plus grand nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur (par exemple 3 pour 21 et 6). |
| \(\div\) | divisé par | Le signe de la division. Pour diviser par une fraction, on multiplie par l’inverse du diviseur. |
Termes
| nombre mixte | Un nombre formé d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, comme « trois et demi ». Dans les pays anglo-saxons, on l’écrit collé, \(3\tfrac{1}{2}\) ; en France, on écrit la somme \(3 + \dfrac{1}{2}\) (on dit aussi « fraction mixte » ou, en Belgique et au Québec, « nombre fractionnaire »). Son avantage : on voit sa taille d’un coup d’œil. |
| fraction supérieure à 1 | Une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur (ou égal), comme \(\dfrac{7}{2}\). Pour calculer, surtout pour multiplier et diviser, c’est la forme la plus pratique. Le quotient et le reste de la division du numérateur par le dénominateur donnent la forme « entier + fraction ». (Au Québec, on dit « fraction impropre ».) |
| fraction inférieure à 1 | Une fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur, comme \(\dfrac{1}{2}\) ou \(\dfrac{3}{4}\). Sa valeur est toujours inférieure à 1. Dans l’écriture « entier + fraction », la fraction est inférieure à 1. |
| numérateur | Le nombre du haut d’une fraction. Le dénominateur dit en combien de parts égales on partage 1, le numérateur dit combien de ces parts on prend. |
| dénominateur | Le nombre du bas d’une fraction. Il dit en combien de parts égales on partage 1. Il ne peut pas être 0 (cela reviendrait à diviser par 0). |
| dénominateur commun | Un même dénominateur pour plusieurs fractions. « Réduire au même dénominateur » des fractions de dénominateurs différents se fait en général avec le PPCM des dénominateurs. C’est nécessaire avant d’additionner ou de soustraire, mais pas pour multiplier ou diviser. |
| simplifier | Diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même diviseur pour l’écrire plus simplement. En divisant par le PGCD, on termine en une seule étape (par exemple \(\dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2}\)). |
| PPCM (plus petit commun multiple) | Le plus petit multiple commun à deux nombres. Exemple : le PPCM de 4 et 7 est 28. On l’utilise comme dénominateur commun. |
| PGCD (plus grand commun diviseur) | Le plus grand nombre qui divise deux nombres à la fois. Exemple : le PGCD de 21 et 6 est 3. Il sert à simplifier. |
| inverse | La fraction dont on a échangé le numérateur et le dénominateur (par exemple, l’inverse de \(\dfrac{4}{3}\) est \(\dfrac{3}{4}\)). Un nombre multiplié par son inverse donne 1. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Le sens d’une fraction (CM1, 9-10 ans) |
|
| Écrire une fraction comme « entier + fraction » (CM1-CM2, 9-11 ans) |
|
| Simplifier, réduire au même dénominateur, multiples et diviseurs (6e-3e, 11-15 ans) |
|
| Additionner et soustraire des fractions (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Multiplier et diviser des fractions (4e, 13-14 ans) |
|
| Les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour écrire « entier + fraction » comme une seule fraction
| Partie entière a | 2 |
| Numérateur de la fraction b | 1 |
| Dénominateur de la fraction c | 3 |
| Numérateur de la fraction unique (a×c+b) | =B1*B3+B2 |
| Dénominateur de la fraction unique (c) | =B3 |
Tableau pour additionner deux fractions
| Numérateur de gauche a | 3 |
| Dénominateur de gauche b | 2 |
| Numérateur de droite c | 1 |
| Dénominateur de droite d | 3 |
| Numérateur du résultat (a×d+c×b) | =B1*B4+B3*B2 |
| Dénominateur du résultat (b×d) | =B2*B4 |
| En nombre décimal | =B5/B6 |
Tableau pour soustraire deux fractions
| Numérateur de gauche a | 3 |
| Dénominateur de gauche b | 2 |
| Numérateur de droite c | 3 |
| Dénominateur de droite d | 4 |
| Numérateur du résultat (a×d−c×b) | =B1*B4-B3*B2 |
| Dénominateur du résultat (b×d) | =B2*B4 |
| En nombre décimal | =B5/B6 |
Tableau pour multiplier deux fractions
| Numérateur de gauche a | 7 |
| Dénominateur de gauche b | 3 |
| Numérateur de droite c | 3 |
| Dénominateur de droite d | 2 |
| Numérateur du résultat (a×c) | =B1*B3 |
| Dénominateur du résultat (b×d) | =B2*B4 |
| En nombre décimal | =B5/B6 |
Tableau pour diviser deux fractions
| Numérateur de la fraction à diviser a | 4 |
| Dénominateur de la fraction à diviser b | 1 |
| Numérateur du diviseur c | 4 |
| Dénominateur du diviseur d | 3 |
| Numérateur du résultat (a×d) | =B1*B4 |
| Dénominateur du résultat (b×c) | =B2*B3 |
| En nombre décimal | =B5/B6 |
Tableau pour simplifier et écrire le résultat sous la forme « entier + fraction »
| Numérateur avant simplification p | 21 |
| Dénominateur avant simplification q | 6 |
| Numérateur simplifié (p÷PGCD) | =B1/PGCD(B1;B2) |
| Dénominateur simplifié (q÷PGCD) | =B2/PGCD(B1;B2) |
| Partie entière (quotient) | =QUOTIENT(B3;B4) |
| Numérateur de la fraction restante (reste) | =MOD(B3;B4) |
Une cellule Excel ne peut pas contenir « entier + fraction » tel quel : on saisit donc séparément la partie entière, le numérateur et le dénominateur. Dans chaque tableau, les lignes du haut sont vos données, et les formules en vert gras se calculent automatiquement.
Pour calculer, écrivez d’abord chaque nombre comme une seule fraction avec le premier tableau, reportez ces numérateurs et dénominateurs dans les tableaux 2 à 5, puis simplifiez le numérateur et le dénominateur du résultat avec le sixième tableau.
Par exemple, le quatrième tableau, celui de la multiplication (\(\dfrac{7}{3} \times \dfrac{3}{2}\)), donne un numérateur de 21 et un dénominateur de 6. Le sixième tableau donne alors \(\dfrac{7}{2}\), soit la partie entière 3 et le numérateur 1 (\(3 + \dfrac{1}{2}\)).
PGCD calcule le PGCD (plus grand commun diviseur), QUOTIENT la partie entière d’une division et MOD le reste.
Pour calculer, écrivez d’abord chaque nombre comme une seule fraction avec le premier tableau, reportez ces numérateurs et dénominateurs dans les tableaux 2 à 5, puis simplifiez le numérateur et le dénominateur du résultat avec le sixième tableau.
Par exemple, le quatrième tableau, celui de la multiplication (\(\dfrac{7}{3} \times \dfrac{3}{2}\)), donne un numérateur de 21 et un dénominateur de 6. Le sixième tableau donne alors \(\dfrac{7}{2}\), soit la partie entière 3 et le numérateur 1 (\(3 + \dfrac{1}{2}\)).
PGCD calcule le PGCD (plus grand commun diviseur), QUOTIENT la partie entière d’une division et MOD le reste.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour écrire « entier + fraction » comme une seule fraction
| Partie entière a | 2 |
| Numérateur de la fraction b | 1 |
| Dénominateur de la fraction c | 3 |
| Numérateur de la fraction unique (a×c+b) | =B1*B3+B2 |
| Dénominateur de la fraction unique (c) | =B3 |
Tableau pour additionner deux fractions
| Numérateur de gauche a | 3 |
| Dénominateur de gauche b | 2 |
| Numérateur de droite c | 1 |
| Dénominateur de droite d | 3 |
| Numérateur du résultat (a×d+c×b) | =B1*B4+B3*B2 |
| Dénominateur du résultat (b×d) | =B2*B4 |
| En nombre décimal | =B5/B6 |
Tableau pour soustraire deux fractions
| Numérateur de gauche a | 3 |
| Dénominateur de gauche b | 2 |
| Numérateur de droite c | 3 |
| Dénominateur de droite d | 4 |
| Numérateur du résultat (a×d−c×b) | =B1*B4-B3*B2 |
| Dénominateur du résultat (b×d) | =B2*B4 |
| En nombre décimal | =B5/B6 |
Tableau pour multiplier deux fractions
| Numérateur de gauche a | 7 |
| Dénominateur de gauche b | 3 |
| Numérateur de droite c | 3 |
| Dénominateur de droite d | 2 |
| Numérateur du résultat (a×c) | =B1*B3 |
| Dénominateur du résultat (b×d) | =B2*B4 |
| En nombre décimal | =B5/B6 |
Tableau pour diviser deux fractions
| Numérateur de la fraction à diviser a | 4 |
| Dénominateur de la fraction à diviser b | 1 |
| Numérateur du diviseur c | 4 |
| Dénominateur du diviseur d | 3 |
| Numérateur du résultat (a×d) | =B1*B4 |
| Dénominateur du résultat (b×c) | =B2*B3 |
| En nombre décimal | =B5/B6 |
Tableau pour simplifier et écrire le résultat sous la forme « entier + fraction »
| Numérateur avant simplification p | 21 |
| Dénominateur avant simplification q | 6 |
| Numérateur simplifié (p÷PGCD) | =B1/PGCD(B1;B2) |
| Dénominateur simplifié (q÷PGCD) | =B2/PGCD(B1;B2) |
| Partie entière (quotient) | =QUOTIENT(B3;B4) |
| Numérateur de la fraction restante (reste) | =MOD(B3;B4) |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles (Google Sheets en français connaît aussi PGCD, QUOTIENT et MOD). Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres saisis par vos propres fractions.
Calculer avec Python
from fractions import Fraction
# On écrit « entier + fraction » tel quel
# (pour un nombre négatif, le signe moins porte sur tout le nombre : -(Fraction(2) + Fraction(3, 4)))
left = Fraction(2) + Fraction(1, 3) # 2 + 1/3 → une seule fraction 7/3
right = Fraction(1) + Fraction(1, 2) # 1 + 1/2 → une seule fraction 3/2
answer = left * right # remplacez par + pour additionner, - pour soustraire, / pour diviser
print(f"Fraction irréductible : {answer}") # 7/2 (simplifiée automatiquement)
print(f"Nombre décimal : {float(answer)}") # 3.5 (Python écrit le point décimal)
# Écrire la fraction sous la forme entier + fraction (ex. 7/2 → 3 + 1/2)
whole = abs(answer.numerator) // answer.denominator # partie entière (quotient de numérateur ÷ dénominateur)
part = abs(answer.numerator) % answer.denominator # nouveau numérateur (reste)
sign = "-" if answer < 0 else ""
print(f"Entier + fraction : {sign}({whole} + {part}/{answer.denominator})")
Fonctionne avec le seul module fractions de la bibliothèque standard. Fraction calcule exactement avec les fractions, réduit au même dénominateur et simplifie tout seul. Remplacez left et right en haut par vos propres nombres et exécutez.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Écrire « entier + fraction » comme une seule fraction
a + b/c = (a×c + b)/c
a + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times c + b}{c}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mi>c</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
a + b/c = (a xx c + b)/c
a + b/c
improper := (a*c + b)/c;
improper = (a*c + b)/c;
a + b/c = (a×c + b)/c
Additionner (une seule fraction pour chaque nombre, même dénominateur, somme des numérateurs)
(a + b/c) + (d + e/f) = (a×c + b)/c + (d×f + e)/f
\left(a + \dfrac{b}{c}\right) + \left(d + \dfrac{e}{f}\right) = \dfrac{a \times c + b}{c} + \dfrac{d \times f + e}{f}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>d</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mi>c</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>d</mi><mo>×</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi></mrow>
<mi>f</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(a + b/c) + (d + e/f) = (a xx c + b)/c + (d xx f + e)/f
(a + b/c) + (d + e/f) // Together
answer := normal((a + b/c) + (d + e/f));
answer = simplifyFraction((a + b/c) + (d + e/f));
(a + b/c) + (d + e/f) = (a×c + b)/c + (d×f + e)/f
Soustraire (une seule fraction pour chaque nombre, même dénominateur, différence des numérateurs)
(a + b/c) − (d + e/f) = (a×c + b)/c − (d×f + e)/f
\left(a + \dfrac{b}{c}\right) - \left(d + \dfrac{e}{f}\right) = \dfrac{a \times c + b}{c} - \dfrac{d \times f + e}{f}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mi>d</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mi>c</mi>
</mfrac>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>d</mi><mo>×</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi></mrow>
<mi>f</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(a + b/c) - (d + e/f) = (a xx c + b)/c - (d xx f + e)/f
(a + b/c) - (d + e/f) // Together
answer := normal((a + b/c) - (d + e/f));
answer = simplifyFraction((a + b/c) - (d + e/f));
(a + b/c) - (d + e/f) = (a×c + b)/c - (d×f + e)/f
Multiplier (une seule fraction pour chaque nombre, produit des numérateurs et des dénominateurs)
(a + b/c) × (d + e/f) = ((a×c + b) × (d×f + e))/(c×f)
\left(a + \dfrac{b}{c}\right) \times \left(d + \dfrac{e}{f}\right) = \dfrac{(a \times c + b) \times (d \times f + e)}{c \times f}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>d</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>×</mo><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>×</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>c</mi><mo>×</mo><mi>f</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(a + b/c) xx (d + e/f) = ((a xx c + b) xx (d xx f + e))/(c xx f)
(a + b/c)*(d + e/f) // Together
answer := normal((a + b/c)*(d + e/f));
answer = simplifyFraction((a + b/c)*(d + e/f));
(a + b/c) × (d + e/f) = ((a×c + b) × (d×f + e))/(c×f)
Diviser (une seule fraction pour chaque nombre, puis multiplier par l’inverse)
(a + b/c) ÷ (d + e/f) = (a×c + b)/c × f/(d×f + e)
\left(a + \dfrac{b}{c}\right) \div \left(d + \dfrac{e}{f}\right) = \dfrac{a \times c + b}{c} \times \dfrac{f}{d \times f + e}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac><mo>)</mo>
<mo>÷</mo>
<mo>(</mo><mi>d</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mi>c</mi>
</mfrac>
<mo>×</mo>
<mfrac>
<mi>f</mi>
<mrow><mi>d</mi><mo>×</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(a + b/c) -: (d + e/f) = (a xx c + b)/c xx f/(d xx f + e)
(a + b/c)/(d + e/f) // Together
answer := normal((a + b/c)/(d + e/f));
answer = simplifyFraction((a + b/c)/(d + e/f));
(a + b/c) ÷ (d + e/f) = (a×c + b)/c × f/(d×f + e)
Simplifier, puis écrire le résultat sous la forme « entier + fraction »
p/q = (p ÷ g)/(q ÷ g)
\dfrac{p}{q} = \dfrac{p \div g}{q \div g}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><mi>p</mi><mi>q</mi></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>p</mi><mo>÷</mo><mi>g</mi></mrow>
<mrow><mi>q</mi><mo>÷</mo><mi>g</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
p/q = (p -: g)/(q -: g)
Simplify[p/q]
answer := simplify(p/q);
answer = simplifyFraction(sym(p)/sym(q));
p/q = (p÷g)/(q÷g)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul de fractions. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python (le module fractions est conseillé), et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). Pour les nombres 2 + 1/3 (deux plus un tiers) et 1 + 1/2 (un plus un demi), calcule les quatre opérations suivantes : 1. Addition ((2 + 1/3) + (1 + 1/2)) 2. Soustraction ((2 + 1/3) − (1 + 1/2)) 3. Multiplication ((2 + 1/3) × (1 + 1/2)) 4. Division ((2 + 1/3) ÷ (1 + 1/2)) Donne chaque résultat de trois façons : en fraction irréductible, sous la forme « entier + fraction inférieure à 1 » et en nombre décimal (avec une virgule). Présente dans un tableau les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
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Aucune compétence requise – simple et intuitif
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Utilisable dès l'ouverture de la page
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Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
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